livro Stewart  volume 3  , Manual de Cálculo Diferencial e Integral. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ)
thais-dias
thais-dias29 de Agosto de 2017

livro Stewart volume 3 , Manual de Cálculo Diferencial e Integral. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ)

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Sumário

Aula 1: Integrais Duplas 11

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares . . . . . . . . 12

1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangulares Limitados 14

1.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Propriedades das Integrais Duplas . . . . . . . . . . 19

1.7 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 30

Aula 2: Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 33

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas . . . . . 34

2.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 46

Aula 3: Algumas Aplicações da Integral Dupla 47

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla . . . . . . . . 52

3.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 60

Aula 4: Integrais triplas 63

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípedais . . . . 64

4.3 Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Li-

mitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.6 Propriedades das Integrais Triplas . . . . . . . . . . 68

4.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 81

Aula 5: Mudança de Variáveis em Integrais tríplas 83

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas . . . . . . 84

5.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 104

Aula 6: Algumas Aplicações das Integrais tríplas 105

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.3 Algumas Aplicações da Integral Tripla . . . . . . . . 110

6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 120

Aula 7: Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3

123

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.2 Curvas em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.3 Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia de

Curvas em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.4 Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e Fluxo . . . 128

7.5 Independência do Caminho . . . . . . . . . . . . . . 130

7.6 Algumas Aplicações das Integrais de Linha . . . . . 133

7.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 143

Aula 8: Integrais de Superfícies 145

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.2 Superfícies em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.3 Área de Superfícies em R3 . . . . . . . . . . . . . . 147

8.4 Momento de massa e Momento de Inércia de Super-

fícies de Casca Fina em R3 . . . . . . . . . . . . . . 151

8.5 Superfícies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . 155

8.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 165

Aula 9: Teorema de Green e Teorema de Stokes 167

9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9.3 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9.4 Estendendo o Teorema de Green para Outras Regiões 175

9.5 Verificação do Teorema de Green . . . . . . . . . . 178

9.6 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.7 Aplicação do Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . 183

9.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 188

Aula 10: Teorema de Divergência 189

10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.3 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.4 Estendendo o Teorema da Divergência . . . . . . . . 194

10.5 Algumas Aplicações do Teorema da Divergência . . 196

10.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 203

AULA

1Integrais Duplas META:

Apresentar integrais duplas de funções de valores reais e domínio

em R2.

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:

Definir a integral dupla de funções de valores reais e domínio em

R2.

Calcular algumas integrais duplas de funções de valores reais e do-

mínio em R2.

PRÉ-REQUISITOS

Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-

mínio em R, da disciplina Cálculo I.

Integrais Duplas

1.1 Introdução

Caros alunos iniciamos aqui nosso curso de Cálculo III com o

tema “Integrais Dupla”. A integração dupla, em essência, é uma

extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida

como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração dupla

é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma

variável e considerando as demais como constantes. É o que de-

nominamos de integrais interadas. Suas características e detalhes

próprios serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas duas

aulas.

1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares

Começamos por considerar uma função f definida em um do-

mínio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b∧c ≤ y ≤ d}. Formal-

mente f : [a, b]× [c, d] 7→ R. Usando a imaginação, pensemos em R

coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que

dividem R em pequenos retângulos (Fig. 1.1) . Oficialmente, con-

sideraremos duas partições P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . ,

xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d} onde

como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xj < xj+1 <

· · · < xm e y0 < y1 < · · · < yk < yk+1 < · · · < yn.

Desta forma cada um dos Ij = [xj−1, xj ] e Jk = [yk−1, yk] pe-

quenos subintervalos têm comprimentos ∆xj = xj −xj−1 e ∆yk =

yk−yk−1, respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para

o retângulo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto carte-

siano das partições P [a, b] e P [c, d]. As retas retalham a região

R em uma série de retângulos Ajk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], 1 ≤

12

Cálculo III AULA

1

Figura 1.1: Partição de R = [a, b]× [c, d]

j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. A area de cada pequeno retângulo é dada

por ∆Ajk = ∆xj∆yk. Como tanto ∆xj quanto ∆yk são dife-

rentes de zero, a área de cada pequeno retângulo é também di-

ferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por:

|P | = max 1≤j≤m 1≤k≤n

(∆Ajk), que corresponde a maior área entre todos os

pequeno retângulo.

Pausa para respirar que já vamos definir a integral dupla sobre

domínios retangulares. Para isto tomamos um ponto (ξj , ζk) ∈ BIOGRAFIA

Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em Breselenz, Reino de Hanôver, 17 de Setembro de 1826 e morreu em Selasca, Itália, 20 de Junho de 1866, foi um matemático alemão, com contribuições fundamentais para a análise e a geometria diferencial. Wikipedia

[xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada pequeno retângulo e definimos a se-

guinte soma de Riemann:

Smn = m∑ j=1

n∑ k=1

f(ξj , ζk)∆Ajk

A integral dupla da função f(x, y) sobre o retângulo R, denotada∫ ∫ R f(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:

∫ ∫ R f(x, y)dxdy def= lim

|P |→0 Smn

13

Integrais Duplas

Figura 1.2: Soma de Riemann para f(x, y) em R = [a, b]× [c, d]

1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangula-

res Limitados

Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R

onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, co-

meçamos por considerar uma função F definida em um domí-

nio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal

que D ⊂ R e F (x, y) =

 f(x, y) , (x, y) ∈ D0 , (x, y) /∈ D . Formalmente F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f(x, y). Usando

a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas pa-

ralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos re-

tângulos e procedemos como na integral dupla sobre domínios re-

tangulares, considerando a uma partição para o retângulo R por

14

Cálculo III AULA

1P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xm =

b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d}. Do mesmo

modo definimos a norma da partição por: |P | = max 1≤j≤m 1≤k≤n

(∆Ajk)

onde ∆Ajk = ∆xj∆yk, ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1. To-

mamos um ponto (ξj , ζk) ∈ [xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada pequeno

retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função

estendida F (x, y):

Smn = m∑ j=1

n∑ k=1

F (ξj , ζk)∆Ajk

A integral dupla da função f(x, y) sobre o domínio D ⊂ R2, deno-

tada ∫ ∫

D f(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:

∫ ∫ D f(x, y)dxdy def= lim

|P |→0 Smn

Observem na partição (Fig. 1.3) que apenas os pequenos retân-

gulos cinza claro contribuem para a soma de Riemann os demais

têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes

estão fora de D ⊂ R2 e portanto F (ξj , ζk) = 0.

1.4 Interpretação Geométrica

Quando a função f(x, y) é positiva na região R, como a da

(Fig. 1.2), vemos que a soma de Riemann aproxima o volume do

prisma sólido reto limitado inferiormente por R e superiormente

pela superfície z = f(x, y) e quanto maior for o refinamento da par-

tição de R melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar

a integral dupla ∫ ∫

R f(x, y)dxdy como o volume do prisma sólido

15

Integrais Duplas

Figura 1.3: Partição para F (x, y) em R = [a, b]× [c, d]

reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície

z = f(x, y).

1.5 Integrais Iteradas

Do mesmo modo que para a integral simples, na integral dupla

a soma de Riemann não é um modo prático de se calcular uma

integral dupla. Vejamos agora um procedimento que facilitará o

cálculo de integrais duplas. Vamos exemplificar calculando o vo-

lume de um prisma reto de base retangular, limitado inferiormente

por [a, b] × [c, d] e superiormente pela função de valores positivos

f(x, y). para cada valor fixo de x no intervalo [a, b] consideremos

o perfil A(x) (área da seção transversal em x) (Fig. 1.4) fazemos

o produto por dx e integramos no intervalo [a, b]. Isto resulta no

16

Cálculo III AULA

1

Figura 1.4: A(x), x fixo, integramos em relação a y

volume do citado prisma.

V = ∫ b a A(x)dx

Por outro lado o perfil A(x) é dada pela área abaixo da curva

f(x, y), fixado o x, entre os valores de y no intervalo [c, d]. E como

vimos em Cálculo I A(x) = ∫ d c f(x, y)dy.

O volume do prisma pode ser então escrito como:

V = ∫ b a

[∫ d c f(x, y)dy

] dx

.

Podemos alternativamente calcular o mesmo volume considerando

os perfis A(y) (área da seção transversal em y) (Fig. 1.5) fazemos

o produto por dy e integramos no intervalo [c, d]. Isto resulta no

volume do citado prisma.

17

Integrais Duplas

Figura 1.5: A(y), y fixo, integramos em relação a x

V = ∫ d c A(y)dy

Da mesma forma como vimos em Cálculo I A(y) = ∫ b a f(x, y)dx.

O volume do prisma pode ser então escrito como:

V = ∫ d c

[∫ b a f(x, y)dx

] dy

.

Como o volume dado pelas duas expressões é o mesmo temos que:

∫ d c

[∫ b a f(x, y)dx

] dy =

∫ b a

[∫ d c f(x, y)dy

] dx

ou seja a ordem em que as integrais simples são executadas não

altera o resultado final da integração dupla em domínios retangu-

lares. Este procedimento e conhecido como integrais iteradas.

18

Cálculo III AULA

11.6 Propriedades das Integrais Duplas Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem de-

monstração, alguma das propriedades das integrais duplas. Caso

desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades,

recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na biblio-

grafia abaixo.

Propriedade 1.1. Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores

reais integrável em D e c ∈ R, então vale:

∫ ∫ D cf(x, y)dxdy = c

∫ ∫ D f(x, y)dxdy

Propriedade 1.2. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de

valores reais integráveis em D, então vale:

∫ ∫ D

(f + g)(x, y)dxdy = ∫ ∫

D f(x, y)dxdy +

∫ ∫ D g(x, y)dxdy

Propriedade 1.3. Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores

reais integrável em D tal que f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale:

∫ ∫ D f(x, y)dxdy ≥ 0

Propriedade 1.4. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de va-

lores reais integráveis em D tais que f(x, y) ≥ g(x, y),∀(x, y) ∈ D,

então vale:

∫ ∫ D f(x, y)dxdy ≥

∫ ∫ D g(x, y)dxdy

Propriedade 1.5. Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores

reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um

19

Integrais Duplas

número finito de curvas em R2, então vale:

∫ ∫ D f(x, y)dxdy =

∫ ∫ A f(x, y)dxdy +

∫ ∫ B f(x, y)dxdy

OBS 1.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “line-

aridade” do operador integral dupla. As terceira e quarta pro-

priedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta

propriedade é denominada “aditividade”.

1.7 Alguns Exemplos

Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exem-

plos e, vamos aqui fazer exatamente isto, ilustrar o conceito de

integral dupla com dois exemplos. Antes porém, vale observar que

a na prática uma integral dupla equivale a duas integrais simples e

neste caso uma pergunta fica no ar e não deixaremos sem resposta.

Qual das duas variáveis x ou y integraremos primeiro? Muito bem,

a resposta é dada pela propria expressão da integral dupla. Isto

é, na integral ∫ ∫

R f(x, y)dxdy primeiramente integramos na va-

riável x e depois na variável y. Já na integral ∫ ∫

R f(x, y)dydx

primeiramente integramos na variável y e depois na variável x.

Vamos diretamente para o primeiro exemplo de integral dupla so-

bre domínios retangulares. A saber:

Exemplo 1.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig.

1.6) dada por f(x, y) = exp(−x− y) e determine a integral dupla

I = ∫ ∫

R f(x, y)dxdy sobre a região R = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤

1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1}.

20

Cálculo III AULA

1

Figura 1.6: Função f : [0, 1]× [0, 1] 7→ R: f(x, y) = exp(−x− y)

SOLUÇÃO:

Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a

região R dada, segundo a ordem de integração:

I = ∫ 1

0

∫ 1 0

exp(−x− y)dxdy

Lembrando que: exp(−x− y) = exp(−x) exp(−y) temos:

I = ∫ 1

0

∫ 1 0

exp(−x) exp(−y)dxdy

Passo 2 integraremos na variável x considerando a variável y

como uma constante:

I = ∫ 1

0

( − exp(−x)

∣∣∣1 0

) exp(−y)dy

Substituindo os limites de integração temos:

I = ∫ 1

0 (− exp(−1)− (− exp(−0))) exp(−y)dy

Efetuando os cálculos temos:

I = ∫ 1

0 (1− exp(−1)) exp(−y)dy

Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável:

I = (1− exp(−1)) ( − exp(−y)

∣∣∣1 0

) Substituindo os limites de integração temos:

I = (1− exp(−1)) (− exp(−1)− (− exp(−0)))

Efetuando os cálculos temos:

21

Integrais Duplas

I = (1− exp(−1))2 

OBS 1.2. Daremos aqui um método prático para determinar os

limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não re-

tangular da forma: D.

Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando

as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D.

Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento

de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento

AB na Fig. 1.7)

Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na

Figura 1.7: Determinação prática dos limites para D

direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D

marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7).

Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na

direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D

marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7).

Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg-

22

Cálculo III AULA

1mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento

entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x),

ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D.

Nossa integral será efetuada assim:

∫ ∫ D f(x, y)dxdy =

∫ b a

∫ b(x) a(x)

f(x, y)dydx

Exemplo 1.2. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig.

1.8) dada por f(x, y) = y(3x− x2 − y) e determine a integral du-

pla I = ∫ ∫

R f(x, y)dxdy sobre a região D ∈ R2 interseção das

curvas y = 0 e y = 3x− x2.

Figura 1.8: Função f : [0, 1]× [0, 1] 7→ R: f(x, y) = x.y

SOLUÇÃO:

Passo 1 faremos o desenho das duas curvas que determinam os

limites para a região D. A saber y = 0 e y = 3x− x2 (Fig. 1.9).

Passo 2 usando o processo prático exposto acima determinamos

os limites de integração. A saber: a = 0, b = 3, a(x) = 0 e

b(x) = 3x− x2.

23

Integrais Duplas

Figura 1.9: Limites para o domínio D

A integral passa a ser escrita como:

I = ∫ ∫

f(x, y)dxdy = ∫ 3

0

∫ 3x−x2 0

y(3x− x2 − y)dydx

Operando no integrando fazendo o produto por y temos:

I = ∫ 3

0

∫ 3x−x2 0

(y(3x− x2)− y2)dydx

Passo 3 efetuando a integração em y temos:

I = ∫ 3

0 ( y2

2 (3x− x2)− y

3

3 ) ∣∣∣3x−x2 0

dx

Substituindo os limit3es de integração temos:

I = ∫ 3

0 ( (3x− x2)2

2 (3x− x2)− (3x− x

2)3

3 )dx

Efetuando as simplificações teremos:

I = ∫ 3

0

(3x− x2)3

6 dx

Expandindo o binômio de Newton temos:

I = 1 6

∫ 3 0

(27x3 − 27x4 + 9x5 − x6)dx

Passo 4 efetuando a integração em x temos:

I = 1 6

(27 x4

4 − 27x

5

5 + 9

x6

6 − x

7

7 ) ∣∣∣3 0

Substituindo os limit3es de integração temos:

I = 1 6

(27 34

4 − 273

5

5 + 9

36

6 − 3

7

7 )

Efetuando os cálculos, garantido muito trabalho, temos:

24

Cálculo III AULA

1 I =

729 280



1.8 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que a integral dupla é uma extensão

natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I. E se

por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área

sob a curva descrita pela função a ser integrada, a integral dupla

pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função

a ser duplamente integrada.

RESUMO

No nosso resumo da Aula 01 constam os seguintes tópicos:

Integração Dupla: Domínios retangulares

Considerando uma função f : R 7→ R onde R = {(x, y) ∈ R2|a ≤

x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} é um retângulo em R2. Podemos cobri-lo com

uma malha de retas formada pela partição: P = P [R] = P [a, b]×

P [c, d] onde cada P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xn = b}

e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , ym = d} são partições

dos intervalos [a, b] em x e [c, d] em y respectivamente. A ma-

lha divide R nos retângulos Ajk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], 1 ≤ j ≤

n, 1 ≤ k ≤ m de área ∆Ajk = ∆xj∆yk onde ∆xj = xj − xj−1

e ∆yk = yk − yk−1 são os comprimentos dos subintervalos Ij =

[xj−1, xj ] e Jk = [yk−1, yk] respectivamente. Defini-se a norma da

partição por: |P | = max 1≤j≤n 1≤k≤m

(∆Ajk). Toma-se um ponto (ξj , ζk) ∈

25

Integrais Duplas

[xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada retângulo Ajk e definimos a seguinte

soma de Riemann:

Snm = n∑ j=1

m∑ k=1

f(ξj , ζk)∆Ajk

A integral dupla da função f(x, ) sobre o retângulo R, denotada∫ ∫ R f(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:∫ ∫

R f(x, y)dxdy def= lim

|P |→0 Snm

Integração Dupla: Domínios não Retangulares

Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R

onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, co-

meçamos por considerar uma função F definida em um domí-

nio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal

que D ⊂ R e F (x, y) =

 f(x, y) , (x, y) ∈ D0 , (x, y) /∈ D . Formalmente F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f(x, y). A partir

daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da inte-

gral dupla em domínios retangulares. Podemos definir a integral

dupla de uma função f(x, y) em um domínio não retangular D por:

∫ ∫ D f(x, y)dxdy def= lim

|P |→0 Smn

onde: Smn = ∑m

j=1

∑n k=1 F (ξj , ζk)∆Ajk. é a soma de Riemann

para F (x, y)

Integrais Iteradas

As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R =

26

Cálculo III AULA

1[a, b]× [c, d] a ordem de execução das integrais simples não alteram o valor da integral dupla, que pode ser representada por:

∫ d c

[∫ b a f(x, y)dx

] dy =

∫ b a

[∫ d c f(x, y)dy

] dx

.

Propriedades das Integrais Duplas

As integrais duplas são de certo modo semelhantes às propriedades

das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma

extensão natural destas. As integrais duplas têm, entre outras, as

seguintes propriedades:

Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores

reais integrável em D e c ∈ R, então vale:

∫ ∫ D cf(x, y)dxdy = c

∫ ∫ D f(x, y)dxdy

Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valores

reais integráveis em D, então vale:

∫ ∫ D

(f + g)(x, y)dxdy = ∫ ∫

D f(x, y)dxdy +

∫ ∫ D g(x, y)dxdy

Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores

reais integrável em D tal que f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale:

∫ ∫ D f(x, y)dxdy ≥ 0

27

Integrais Duplas

Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valo-

res reais integráveis em D tais que f(x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D,

então vale:

∫ ∫ D f(x, y)dxdy ≥

∫ ∫ D g(x, y)dxdy

Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores

reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um

número finito de curvas em R2, então vale:

∫ ∫ D f(x, y)dxdy =

∫ ∫ A f(x, y)dxdy +

∫ ∫ B f(x, y)dxdy

Determinação dos Limites de Integração

Para determinar os limites de integração em uma integral dupla

sobre domínio não retangular da forma: D seguimos os seguintes

passos:

Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando

as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D.

Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento

de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento

AB na Fig. 1.7)

Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na

direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D

marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7).

28

Cálculo III AULA

1Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D

marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7).

Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg-

mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a

variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento

entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x),

ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D.

Nossa integral será efetuada assim:

∫ ∫ D f(x, y)dxdy =

∫ b a

∫ b(x) a(x)

f(x, y)dydx

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na in-

tegração dupla. O objetivo da mudança de variáveis em uma in-

tegral dupla será a de facilitar esta integração de uma de duas

formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A

segunda transformando o domínioD do integrando em um domínio

de forma geométrica mais simples.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais du-

plas.

ATIV. 1.1. Seja f : [−1,+1]× [−1,+1] 7→ R dada por f(x, y) =

29

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