Maquina de Atwood, Notas de estudo de Engenharia de Produção
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Máquina de Atwood - Física Geral
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POLIAS

POLIAS

DISCIPLINA: FÍSICA GERAL

CURSO: ENGENHARIA ELETRÔNICA – 2° MÓDULO

MÁQUINA DE ATWOOD – CAP. 04(Serway – pág. 126)

1. Polia fixa

Na fig. 1 representamos dois corpos A e B ligados por um fio ideal que passa por uma

polia que pode girar sem atrito em torno de um eixo preso ao teto. Vamos supor que a

massa da polia seja desprezível (polia ideal).

Na fig. 2, PA e PB são as intensidades dos pesos de A e B. Entre o corpo A e o fio há um

par de forças de intensidade T e entre o corpo B e o fio também há um par de forças de intensidade T.

Supondo que PA > PB, se abandonarmos o sistema em repouso, a tendência será A

descer e B subir, isto é,

faculdade

ANCHIETA

PA > T

e T > PB

Assim, aplicando a segunda lei de Newton aos blocos obtemos:

PA - T = mA . a

T - PB = mB . a

onde a é o módulo da aceleração de cada bloco. Resolvendo o sistema formado pelas duas equações obtemos os valores de a e T.

Observando a Fig. 2 percebemos que a força exercida sobre o eixo da polia tem

intensidade 2T (Fig. 3).

Exemplo 1

No sistema representado ao lado o fio e a polia são ideais. São dados:

g = 10 m/s2, mA = 6,0 kg e mB = 4,0 kg. Abandonando-se o sistema em

repouso, calcule:

A) O módulo da aceleração dos blocos

B) O módulo da tração no fio

C) O módulo da força exercida pelo fio sobre a polia

Resolução

A)

mA = 6,0 kg

mB = 4,0

kg

g = 10

m/s2

PA = mA . g = (6,0 kg) (10 m/s 2) = 60

N

PB = mB . g = (4,0 kg) (10 m/s 2) = 40

N

Sendo PA > PB teremos:

PA > T

e T > PB

Apliquemos a segunda lei de Newton aos corpos A e B:

corpo A  PA - T = mA . a

corpo B  T - PB = mB . a

Substituindo os valores das massa e dos pesos temos:

60 - T = (6,0) . a (I)

T - 40 = (4,0) . a

(II)

Fazendo a soma membro das equações temos:

60 - 40 = 10 . a

a = 2,0 m/s2

B) Para calcular o valor de T substituímos o valor de a na equação I ou na

equação II. Vamos fazer a substituição na equação II:

T - 40 = (4,0) . a

T - 40 = (4,0) . (2,0)

T - 40 = 8

T = 48 N

C) A força exercida pelo fio sobre a polia tem intensidade 2 T:

2 T = 2 (48) = 96 N

2T = 96 N

Exemplo 2

No sistema representado a seguir, os corpos A e B têm massas mA = 16 kg e

mB = 4,0 kg. O fio e a polia são ideais e não há atrito entre o corpo A e a

superfície S. Adotando g = 10 m/s2 e abandonando-se o sistema em repouso,

calcule:

A) A aceleração dos blocos

B) O módulo da tração no fio

C) O módulo da força exercida pelo fio sobre a polia.

Resolução

 (PA)

 (FN) A) Neste caso, o peso de A é cancelado pela força normal

PB = mB . g = (4,0 kg) (10 m/s 2) = 40 N

Apliquemos a segunda lei de Newton aos corpos A e B:

corpo A  T = mA . a  T = 16 . a (I)

corpo B  PB - T = mB . a  40 - T = (4,0). a (II)

Efetuando a soma membro a membro das equações I e II temos:

40 = 20 . a

a = 2,0 m/s2

B) Substituindo o valor de a na equação I temos:

T = 16 . a = 16 (2,0) = 32 N

T = 32 N

C) Na figura a seguir representamos as forças entre os blocos e o fio.

F é a intensidade da força exercida pelo fio sobre a polia.

2. Polia móvel

Na fig. 4 representamos um sistema onde há duas polias. A polia  é fixa, isto é, o seu

eixo é fixo; ela pode apenas girar em torno do seu eixo. Já a polia  é móvel; ela pode

subir ou descer dependendo dos valores das massas de A e de B.

As forças exercidas nos blocos e nos fios estão representadas na Fig. 5. Suporemos

que os fios e as polias são ideais.

Pelo fato de o bloco B estar ligado ao eixo da polia , a força "para cima" que atua

sobre B, tem intensidade 2T

Condição de equilíbrio

Suponhamos inicialmente, que o sistema esteja em equilíbrio, isto é, ele está em repouso ou em movimento uniforme.

Observando a Fig. 6, percebemos que:

Equilíbrio de A  PA = T

Equilíbrio de B  PB = 2T

Portanto:

PB = 2T = 2PA

PB = 2PA

mBg = 2mAg

mB = 2mA

Vemos então que um sistema formado por uma polia fixa e uma polia móvel é útil para suspender objetos (Fig. 7).

Na fig. 7 quando o indivíduo aplica ao fio uma força de intensidade T, consegue manter suspenso um corpo de peso 2 T. Esse é o princípio de funcionamento dos guindastes.

Sistema com aceleração

Vimos que, se mB = 2 mA o sistema estará em equilíbrio (Fig. 8). Assim,

I. Se mB > 2 mA, o bloco B terá aceleração para baixo e o bloco A terá aceleração

para cima (Fig. 9).

II. Se mB < 2 mA, o bloco B terá aceleração para cima e o bloco A terá aceleração para baixo (Fig. 10).

Quando os blocos tiverem aceleração, elas não serão iguais; como veremos a seguir, teremos:

aA = 2 aB

Para percebemos isso analisemos as figuras 11 e 12.

Suponhamos que, inicialmente o sistema esteja na posição da Fig. 11 e que após um

intervalo de tempo t esteja na posição da fig. 12. O bloco A percorreu um espaço sA

e o bloco B percorreu um espaço sB. Observando a figura vemos que:

__ GC

__ HD (I) sB = =

por outro lado, devemos ter:

__ GC

__ HD (II) sA = +

Substituindo I em II:

__ GC

__ HD sA = +

sA = sB + sB

sA = 2(sB) (III)

A igualdade III vale para qualquer intervalo de tempo. Portanto, podemos escrever:

vA = 2 vB (IV)

onde vA é a velocidade A e vB é a velocidade de B. Pode-se demostrar que a relação IV

acarreta:

aA = 2 aB

Exemplo 3

No sistema representado abaixo as massas de A e B são mA = 6,0 kg e mB = 16

kg. Supondo g = 10 m/s2. Calcule as acelerações dos blocos e a tração no fio.

Resolução

Aqui temos:

mB > 2 mA

isto é: 16 > 2 (6,0)

Portanto, a aceleração de B ( ) é para baixo e a aceleração de A ( ) é para

cima (Fig. 13).

Isto significa que (Fig. 14):

T > PA

PB > 2T

Apliquemos a segunda lei de Newton aos blocos (Fig. 14):

bloco A  T - PA = mA . aA

bloco B  PB - 2T = mB . aB

Substituindo os valores conhecidos:

T - 60 = (6,0) . aA (I)

160 - 2T = 16 . aB (II)

Mas, sabemos que : aA = 2 aB. Substituindo na equação I:

T - 60 = 6,0 (2aB) = 12aB (III)

Temos então o sistema formado pela equações III e II:

T - 60 = 12 . aB (III)

160 - 2T = 16 . aB (II)

Dividindo os termos da equação II por 2 obtemos

T - 60 = 12 . aB (III)

80 - T = 8 . aB (IV)

Somando membro a membro:

80 - 60 = 20 aB

20 = 20 aB

aB = 1,0 m/s 2

Como aA = 2 aB temos:

aA = 2,0 m/s 2

Substituindo o valor de aB na equação III:

T - 60 = 12 . aB

T - 60 = 12 .(1,0)

T = 72 N

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