Máquinas Elétricas I - Apostila Unesp [aula 8], Notas de estudo de Engenharia Elétrica
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Máquinas Elétricas I - Apostila Unesp [aula 8], Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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Notas de aula do Prof. Dr. Marcos J. Rider usadas em sala de aula na Unesp de Ilha Solteira.
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Aula 9

1. MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA

• Equações básicas para o estudo da dinâmica

• Revisão e exercícios

Equações básicas para o estudo da dinâmica

• As equações e análises desenvolvidas até agora são adequadas para representar e compreender o comportamento de geradores e motores cc em regime permanente (equações algébricas).

• Contudo, para análise da resposta transitória dessas máquinas devido a uma perturbação (e.g., variação da tensão do circuito de campo, variação da tensão terminal, etc) é necessário empregar um conjunto de equações diferencias representando a dinâmica da máquina.

• No modelo apresentado aqui, as seguintes suposições (simplificações) são consideradas:

A saturação magnética é desprezada: portanto as indutâncias das máquinas são constantes e não dependem da corrente.

A força magnetomotriz produzida pelo enrolamento de campo e de armadura agem somente no eixo d e q, respectivamente: portanto não indutância mútua entre esses enrolamentos e nem reação de armadura.

Equações dinâmicas de um gerador de cc

aa

maa

iKT

Ke

Φ=

Φ= ω

mffa iKe = ω

• Transitórios do circuito de campo:

As equações de tensão de velocidade e de torque são:

Assumindo linearidade magnética, temos

aff iiKT =

dt

di LiRv

f

ffff +=

A equação diferencial representando a dinâmico do circuito de campo é dada por

Aplicando-se a transformada de Laplace, temos:

onde: Tf = Lf/Rf: constante de tempo do circuito

de campo (elevada) ( )fffff f

fffff

sTRsLRsV

sI

ssILsIRsV

+ =

+ =

+=

1

11

)(

)(

)()()(

(1)

Equações dinâmicas de um gerador de cc

fgmffa iKiKe == ω

• Transitórios do circuito de campo:

Além disso, considerando que a máquina está operando em vazio com velocidade constante, temos:

Aplicando Laplace:

Com base em (1) e (2), temos

)()( sIKsE fga = (2)

gKsE )(

( )fff a

sTRsV + =

1)(

Para um degrau de variação na tensão de campo, temos:

( ) ( )fTt f

fg

a e R

VK te

/ 1

− −=

Que é a resposta amortecida de um circuito de primeira ordem. Em regime permanente, temos

Ea = ea(∞)=KgVf/Rf=KgIf

Equações dinâmicas de um gerador de cc

• Transitórios do circuito de campo:

Representação por diagrama de blocos:

Equações dinâmicas de um gerador de cc

• Transitórios do circuito de armadura:

A equação representado a dinâmica do circuito de armadura é dada por:

dt

di LiRe

dt

di LiR

dt

di LiRe

a tata

a LaL

a aqaaa

+=

+++=

sendo: R = R + R e L = L +Lt a L t a L

No domínio da freqüência, temos:

onde: Ta = Lt/Rt: constante de tempo do circuito de campo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aa

a

asata

sTRtsE

sI

ssILsIRsE

+ =

+=

1

1

Equações dinâmicas de um gerador de cc

• Transitórios do circuito de armadura:

A resposta da corrente de armadura no domínio do tempo para um degrau da tensão de armadura é:

( )aTt a

a a e

R

E ti

/1)( −−=

Que é a resposta amortecida de um circuito de primeira ordem. Em regime permanente, temos

Ia = ia(∞)=EaRa

Equações dinâmicas de um gerador de cc

• Transitórios do circuito de armadura e de campo:

A resposta da corrente de armadura no domínio do tempo para um degrau da tensão de campo é:

( ) ( ) ( )( )afatf

g

f

a

sTsTRR

K

sV

sI

++ =

11

afaf

fg

faaaff

af

TtTt

a

TTRR

VK A

TTT

A A

TTT

A ATATA

eAeAAti af

=

 





 



 +

−  

  

 − =

 





 



 +

 





 



 − ==

++= −−

111111

)(

321

/ 3

/ 21

Equações dinâmicas de um gerador de cc

• Transitórios do circuito de armadura e de campo:

Representação por diagrama de blocos:

Equações dinâmicas de um motor de cc

mmmffmaa

amaffaa

KiKKe

iKiiKiKT

ωωω ==Φ=

==Φ=

Considerando um motor com excitação independente, assumindo linearidade magnética e considerando corrente de campo constante, temos:

Aplicando Laplace:

)()(

)()(

sKsE

sIKsT

mma

am

ω=

=

A equação do circuito de armadura é dada por:

dt

di LiRK

dt

di LiRev aaaamm

a aaaat ++=++= ω

Aplicando Laplace:

( )aaammaaaammt sTRsIsKssILsIRsKsV ++=++= 1)()()()()()( ωω

Equações dinâmicas de um motor de cc

A equação dinâmica representando o sistema mecânico é dada por:

Lm m

am TB dt

d JiKT ++== ω

ω

Sendo:

J = momento de inércia do conjunto rotor do gerador e carga

B = constante de fricção do conjunto rotor do gerador e carga

TL= torque mecânico da carga

Aplicando Laplace, temos:

)()()()( sTsBsJssT Lmm ++= ωω

Solucionado para a velocidade:

( )m Lam

m sTB

sTsIK s

+

− =

1

)()( )(ω

Sendo: Tm = J/B = constante de tempo mecânica

Equações dinâmicas de um motor de cc

Visto que Ea(s) = Kmωm(s), temos:

( ) ( )aa mmt

aa

at a

sTR

sKsV

sTR

sEsV sI

+

− =

+

− =

1

)()(

1

)()( )(

ω

Portanto, o diagrama de bloco representado a dinâmica do motor de cc é dado por:

Equações dinâmicas de um motor de cc

Exemplo: torque mecânico proporcional a velocidade (TL = BLωm). Qual a resposta da velocidade para um degrau na tensão terminal?

( )( )am m

a m

t

m

sTsT K

BR K

sV

s

++ 

  

 +

=

11

1

)(

)(ω

Este é um sistema de segunda ordem e a resposta pode ser sobre ou sub amortecida, dependendo dos valores de Km, B e Ra.

Revisão: • As equações de tensão de velocidade e de torque são dadas por:

aa

maa

IKT

KE

Φ=

Φ= ω

• A curva de magnetização de uma máquina de corrente contínua pode ser representada nos espaço tensão induzida Ea versus corrente de campo

Revisão: • A máquina de corrente contínua pode ser excitada de diferentes formas:

Revisão: • Cada forma de excitação leva a diferente característica de regulação: tensão terminal versus corrente terminal (geradores) e velocidade mecânica versus torque (motores)

Revisão: Reação de armadura refere-se ao efeito provocado pelo campo produzido pela corrente de campo o que, na prática, leva a um redução do campo magnético no entreferro da máquina (efeito desmagnetizante)

Revisão: gerador • Obtenção da curve de regulação de tensão de geradores cc

Equações representando os circuitos elétricos de campo e de armadura

Equações representando a tensão induzida Ea e o torque produzido T

Curva de magnetização

Máquina com excitação independente:

 



 

×=

×Φ×=

×+=

×=

aLt

maa

aata

fff

IRV

KE

IRVE

IRV

ω aaat IREV ×−=

Vt

Ia

Ea

Revisão: gerador Máquina com excitação independente: efeito da reação de armadura pode ser traduzido (imaginado/interpretado) como uma diminuição da corrente de campo, ou seja: If (efetiva) = If (real) - If (RA)

Ea

Ea

Ea0 = Vt0

Vt + Ra Ia

If(RA)

Vt

Ia

Ea Vt,operação

Sem reação

de armadura

ponto de

operação

Característica de

carga Vt = RLIa

Vra Com reação

de armadura

If If (efetiva) If (real)

Revisão: gerador Máquina com excitação paralela:

Ea

If

Ear

Reta de resistência do circuito de campo Rf If versus If

P

Ea1

Ea2

If1 If2

São necessárias três condições para que o

If

Ea

Resistência crítica do

circuito de campo

Rf4 Rf3 Rf2 Rf1

Vt4

Vt2 Vt1

gerador CC com excitação paralela possa fornecer valores adequados de tensão de armadura:

a) Deve existir magnetismo residual na

armadura;

b) O fluxo produzido pela corrente de

campo deve ser aditivo em relação ao

magnetismo residual;

c) A resistência do circuito de campo deve

ser menor que a resistência crítica.

Revisão: gerador Máquina com excitação paralela: obtenção da curva de regulação

Objetivo: obter curva Vt em função de Ia. Essa curva pode ser obtida através da curva de magnetização da máquina e da reta da resistência do circuito de campo.

Para um dado valor da corrente de campo a distância entre a curva de magnetização e a reta da resistência do circuito de campo representa a queda de tensão na resistência da armadura.

Prova:

Ea

Curva Rf If

Ea

Vt

RaIa =Va

k

p

aaaffa

ffaaa

fft

aaat

VIRIRE

IRIRE

IRV

IREV

∆=×=×−

×=×−



×=

×−=

ou

Uma “varredura” sobre a reta da resistência juntamente com a curva de magnetização fornece os valores pares de Vt e Ia para obter a curva de regulação, por exemplo:

O ponto (k) fornece o valor da tensão terminal (Vt);

A distância RaIa = Va fornece o valor da corrente de armadura (Ia = Va/Ra).

A repetição dos passos 1 e 2 para todos os pontos da reta de carga do circuito de campo irá gerar um conjunto de pontos (Vt,Ia) que compõem a curva de regulação de tensão da máquina para o caso em que a reação da armadura é desprezada.

If

Revisão: gerador Máquina com excitação paralela : obtenção da curva de regulação

Revisão: gerador Máquina com excitação composta:

Modelo de Regime Permanente

(composto curto):

fat

tsraaat

III

IRIREV

−=

×−×−=

Modelo de Regime Permanente

(composto longo):

( )

fcfw

t f

fat

sraaaasraaat

RR

V I

III

RRIEIRIREV

+ =

−=

+×−=×−×−=

( ) msrshaa KE ω×Φ±Φ×=

Adicionalmente, para ambas as conexões, e supondo linearidade magnética, temos que:

Revisão: gerador Máquina com excitação composta:

Revisão: gerador Máquina com excitação série:

( )

fLat

asraat

asraata

IIII

IRREV

ou

IRIRVE

===

×+−=

×+×+=

Revisão: gerador Máquina com excitação série:

A curva de regulação de tensão pode ser obtida através da curva de magnetização da máquina e da reta dada por (Ra+Rsr)Ia.

Para uma dada corrente de armadura a distância entre a curva de magnetização e a reta (Ra+Rsr)Ia representa ao valor da tensão terminal da maquina Vt.

Vt sem reação

de armadura

Ea

(R +R )I

Vt com reação

de armadura

If (RA)

A medição (com régua) desses valores para cada valor de Ia fornecerá um conjunto dos pontos (Vt,Ia) que compõem a curva de regulação de tensão da máquina.

Vt

Ia = It

Ia = It Ia

a sr a

A inclusão da reação de armadura produzirá uma queda de tensão adicional na tensão terminal.

Revisão: motor

•Tp = torque de perdas rotacionais

Convenção de sinais

Revisão: motor

•Tp = torque de perdas rotacionais

Convenção de sinais

Revisão: motor Máquina com excitação independente:

fff

aa

aatmaa

aaat

IRV

IKT

IRVKE

IREV

=

×Φ×=

×−=×Φ×=

×+=

ω

fat

aa

aatmaa

aaat

III

IKT

IRVKE

IREV

+=

×Φ×=

×−=×Φ×=

×+=

ω

Máquina com excitação paralela:

Revisão: motor Máquina com excitação independente:

fff

aa

aatmaa

aaat

IRV

IKT

IRVKE

IREV

=

×Φ×=

×−=×Φ×=

×+=

ω

fat

aa

aatmaa

aaat

III

IKT

IRVKE

IREV

+=

×Φ×=

×−=×Φ×=

×+=

ω

Máquina com excitação paralela:

Revisão: motor Máquina com excitação independente:

( ) T

K

R

K

V

K

IR

K

V

K

IRV

IKT

IRVKE

a

a

a

t

a

aa

a

t m

a

aat m

aa

aatmaa

× Φ×

− Φ×

= Φ×

× −

Φ× =

Φ×

× =

×Φ×=

×=×Φ×=

2

:que temos(3), em (2) de

(3) -

:que temos(1), de

(2)

(1)-

ω

ω

ω

( ) x T reta da inclinação a é

vazioa máquina da e velocidada é onde

22

21

m

a

a

a

t

m

K

R k

K

V

Tkk

ω

ω

Φ× =

Φ×

−=ωm

T, Ia

Φ×a

t

K

V

Revisão: motor Controle de velocidade

( ) T

K

R

K

V

a

a

a

t

m × Φ×

− Φ×

= 2

ω

1. Controle de velocidade via tensão terminal (Vt)

2. Controle de velocidade via corrente de campo (Φ ∝ If)

3. Controle de velocidade via resistência de armadura (Ra)

Revisão: motor Controle de velocidade

ωm

TT1 T2 T3

Vt3

Vt2

Vt1

ωm = cte

T

ωm

T1 T2 T3

If1

If2 If3

ωm = cte

If

Rfc = 0

Rfc|max

controle via tensão terminal controle via corrente de campo

ωm

P

ωbase ωmax

T

Controle por

Vt

Controle por If

Revisão: motor Controle de velocidade

controle resistência de armadura

T

ωm

T3

Rae1

Rae2 Rae3

Rae|max

Rae = 0

ωcte

T2T1

Revisão: motor Motor série

asra

msraa

IKT

KE

×Φ×=

×Φ×= ω

( )

sr

sraea

asr

t m

asr

a m

asraeata

K

RRR

IK

V

IK

E

IRRRVE

++ −

× =

× =

×++=

ω

ω :que temos, Como

-

sr

sraea

sr

t m

sr

a

K

RRR

TK

V

K

T I

++ −

× =

=

ω

, doSubstituin

ωm

Rae = 0

Rae

Vt = cte

T1 T2 T3

ω

Revisão: motor Motor universal

Assumindo linearidade magnética, o fluxo é proporcional à corrente de armadura:

Conseqüentemente, o torque mecânico desenvolvido pelo motor série será uma função quadrática da corrente de armadura, pois:

( )

:Portanto aasraa IIKIKT ××=×Φ×=

asrsra IKK ×=Φ×

2 asr IKT ×=

Revisão: motor Motor composto

( ) ( )

( ) ( ) T

K

RR

K

V

IRIRVE

IIIIRIRVE

IKIKT

KKE

srsha

sra

srsha

t m

asraata

aattsraata

asrshaaa

msrshamaa

× Φ±Φ×

+ −

Φ±Φ× ==

××=

<<≈××=

×Φ±Φ×=×Φ×=

×Φ±Φ×=×Φ×=

22

f

)longocomposto(--

))I( mas curto,composto(--

ω

ωω

Revisão: motor Motor composto

Composto subtrativo: A desmagnetização fluxo (Φsh - Φsr) provoca aumento de velocidade se comparada com a máquina com excitação shunt/independente.

Composto aditivo: O aumento do fluxo (Φsh + Φsr) provoca queda adicional de velocidade se comparada com a máquina com excitação shunt/independente.

ωm Composto subtrativo

T

Shunt/Independente

Composto aditivo

Série

Revisão: motor Dispositivo de partida e proteção

aea

t a

RR

V I

+ = corrente de partida elevada

( ) T

IK

R

IK

V

ff

a

ff

t m ×

× −

× =

2 ω perda do campo

Revisão: motor Dispositivo de partida e proteção: projeto

Revisão: motor Frenagem

Exercício 4.11

A máquina CC auto-excitada do exercício 4.10 (10 kW, 250 V, 1000 rpm) produz corrente nominal quando é acionada a 1000 rpm. As perdas rotacionais são 500 W.

Os parâmetros da máquina são: Ra=0,2 Ω, Rfw=133 Ω.

a)Determine a tensão de armadura gerada;

b) Determine o torque da máquina;

c)Determine a eficiência;

Exercício 4.11

a) Obs 1: dados de placa se referem ao terminal da máquina

AI FL t 40250

10000 ==Corrente terminal a plena carga:

A R

V I

f

t f 88,1133

250 === AIII fta 88,414088,1 =+=+=

VIRVE aata 37,25888,412,0250 =×+=×+=

b) Obs 2: O torque desenvolvido a

N.m 103,3

60

21000

10821P T

W1082188,4137,258

m

elet =

 

  

 ×× ==∴

=×=×=

πω elet

aaelet IEP

c)

qual se refere o exercício é o torque eletromagnético e não o mecânico.

%34,88 5001.88133+41.880.2+40250

40250

50010821

40250 22

22

= +×××

× =

+

× =

= +++×

× =

++

× ==

rotffaatt

tt

a

P

rotelet

tt

in

out

PIRIRIV

IV

RPP

IV

P

P

mech



η

Exercício 4.23

Uma máquina CC auto-excitada é conectada a uma tensão de 240 V, sendo acionada a 1200 rpm e gerando tensão de armadura de 230 V. A corrente de armadura é igual a 40 A.

a) A máquina está funcionando como motor ou gerador?

b) Determine a resistência do circuito de armadura;

c) Determina as perdas na resistência do circuito de armadura e a potência eletromagnética;

d) Determine o torque eletromagnético em N.m.;

e) Se a carga for retirada, qual será a velocidade em rpm, assumindo:

i. Que não há reação de armadura;

ii. 10% de redução do fluxo devido a reação de armadura para 40 A de corrente de armadura.

Exercício 4.23

a) A máquina funciona como motor, uma vez que a tensão terminal Vt = 240 V é maior que a tensão de armadura Ea = 230 V.

Ω= −

=

×+=

25,0 40

230240 a

aaat

R

IREV

c) WIRP aaRa 4004025,0

22 =×=×=

b)

N.m ,337

60

21200

9200P T

m

elet =

 

  

 ×× ==∴

πω elet

d)

WIEP aaelet 920040230 =×=×=

Exercício 4.23

e.i)

Para T = 0 e desprezando-se a reação de armadura, temos que:

( ) T

K

R

K

V

a

a

a

t m ×

Φ× −

Φ× =

2 ω

60

rad/s 131,1 83,1

240

Logo, altera. se não carga, aretirar Ao

83,1

60

21200

230

== Φ×

=

Φ×

=

 

  

 ×× ==Φ×

ω

πω

a

t m

a

m

a a

K

V

K

E K

e.ii) Nesse caso, o valor de KaΦ considerando reação de armadura deve ser maior que o valor de KaΦ sem reação calculado no item e.ii), ou seja:

rpm 3,1252 2

= ×

×= π

ωmn

( ) ( )

( )

( ) rpm 1127,3

2

60

033,2

240

2

60

2

60

Logo,

033,2 9,0

83,1

Portanto,

)redução de 10%(x9,0

RA sem

RA sem

RA semRA com

= ×

×= ×

× Φ×

= ×

×=

==Φ×

Φ×=Φ×

πππ ω

a

t m

a

aa

K

V n

K

KK

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