matematica 01, Notas de estudo de Engenharia Aeronáutica
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Profª. Suely Trevisam Araújo 

Conjuntos Numéricos 

Objetivos 

Explicar como se resolvem:  ­ problemas sobre operações com números inteiros, frações ordinárias e números decimais  ­ operações básicas com números inteiros relativos  ­ operações que envolvem potências e radicais 

Tópicos 

1.  O que são conjuntos numéricos  2.  Operações com números fracionários  3.  Números decimais  4.  Números relativos  5.  Operações com números decimais em fórmulas 

1. O que são conjuntos numéricos 

OBJETIVO  Definir os conjuntos numéricos que serão revistos ao longo deste curso. 

Freqüentemente, estamos avaliando os objetos, considerando principalmente dois aspectos:  qualidade e quantidade. 

A matemática preocupa­se exclusivamente com o aspecto quantidade. 

A quantidade envolve a noção de contagem, expressa por números. Um elemento é tomado como  base dessa contagem – é a "unidade". 

A contagem mais simples dos números sempre existiu, desde os povos primitivos. E era feita  baseando­se na quantidade de dedos das mãos (contagem digital). 

Tal contagem, até dez, não foi suficiente para resolver os problemas que surgiam; houve  necessidade de se estender a contagem além de dez. 

Para representar os números, lançaram mão de sinais (ou símbolos). 

Cada povo tinha sua maneira própria de escrever os números, o que acabou sendo muito  importante para efetuar os cálculos. 

No desenvolvimento deste curso, serão utilizados os conjuntos numéricos citados abaixo: 

Conjunto dos números naturais 

Conjunto dos naturais não nulos

­Conjunto dos naturais inteiros 

Ao conjunto de todos os números que podem ser escritos da forma  , com a e b inteiros, sendo 

b  0, chama­se conjunto dos números racionais. 

O conjunto dos números racionais é representado pela letra "Q" e o indicaremos assim: 

(/  significa "tal que" e  "pertence a") 

Lembre­se que a representação decimal dos números racionais será decimal exata ou dízima  periódica (simples ou composta). 

1.1 Saiba Mais 

Matemática com Humor 

O problema dos números primos. Todos os números ímpares são primos? 

Matemático: 3 é número primo, 5 é número primo, 7 é primo, portanto, por dedução todos os  números ímpares inteiros são números primos. 

Estatístico: A amostra 5, 13, 37, 41 e 53 contém somente números primos. Portanto todos  números ímpares inteiros são números primos. 

Físico: 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo, 9 é ... ops... temos um erro experimental, 11 é primo, 13  é primo. Portanto, todos números ímpares inteiros são números primos. 

Físico moderno: 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo, 9/3 é primo, 11 é primo, 13 é primo, 15/3 é  primo... 

Físico quântico: Todos números pares e ímpares são primos até serem submetidos à  observação. 

Químico: 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo... já é o suficiente! 

Químico: 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo... Uau! Vamos publicar?! 

P rofessor: 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo, o restante fica como tema de casa para os alunos. 

Engenheiro: 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo, 9 é..., 9 é..., vamos usar a aproximação de que 9 é  primo! 

Engenheiro: 3 é primo, 5 é primo e 7 é primo. A partir deste ponto, precisamos fazer um  orçamento do trabalho para saber quanto isto vai te custar. 

Economista: 2 é primo, 4 é primo, mas na atual conjuntura dos processos de globalização... 

Fonte: http:/ / www.humornaciencia.hpg.ig.com.br/ miscelanea/ primo.htm 

2. Operações com números fracionários 

OBJETIVO  Rever como se efetuam as operações – adição e subtração, multiplicação e soma – com  números fracionários. 

a) Adição e Subtração

Para somar frações homogêneas (com mesmo denominador), somam­se os numeradores e  conserva­se o denominador. 

Exemplos: 

1º) 

2º) 

Para somar frações heterogêneas (com denominadores diferentes), é necessário reduzi­las a um  denominador comum. O processo para transformá­las a um denominador comum segue os  passos abaixo: 

1º passo: Determina­se o m.m.c (mínimo múltiplo comum) dos denominadores das  frações dadas. O resultado obtido é o novo denominador. 

m.m.c. (4, 5, 10) 

m.m.c. (4, 5, 10) = 20 (denominandor comum) 

2º passo: Divide­se o m.m.c encontrado pelos denominadores das frações dadas. 

20 : 4 = 5; 20 : 5 = 4; 20 : 10 = 2 

3º passo: Multiplica­se o quociente encontrado, em cada divisão, pelo numerador da  respectiva fração. O produto é o novo numerador. 

Logo, temos: 

b) Multiplicação 

Para multiplicar duas ou mais frações, multiplicam­se entre si os numeradores e os  denominadores. 

Exemplo: 

c) Divisão 

Para dividir uma fração por outra, multiplica­se a primeira pela inversa da segunda. 

Exemplo: 

2.1 Saiba Mais

Desafios matemáticos 

1. Um caracol sobe um muro com 10 metros de altura. A cada dia sobe 2 metros, mas à noite  deixa­se escorregar 1 metro. Ao fim de quantos dias chega o caracol ao topo do muro? 

Resposta: No primeiro dia, o caracol sobe 2 m e escorrega 1 m. Total de 1 m. No segundo dia, o caracol sobe mais 2  m e escorrega 1 m. Total de 2 m. No terceiro dia, o caracol sobe mais 2 m e escorrega 1 m. Total de 3 m. No  sétimo dia, o caracol sobe mais 2 m e escorrega 1. Total de 7 m. No oitavo dia, o caracol sobe mais 2 m e escorrega  1. Total de 8 m. No nono dia, o caracol sobe mais 2 m e não escorrega, visto que 8 + 2 é igual a 10m. Portanto, ele  chega ao topo em 9 dias. 

2. Um negociante tinha dois cavalos. Vendeu o primeiro por R$ 198,00, tendo um lucro de 10%.  No dia seguinte vendeu o outro por R$ 198,00 e perdeu 10%. Nos dois negócios, ele teve lucro ou  prejuízo? De quanto? 

Resposta: Teve prejuízo de R$ 4,00. Seu lucro no primeiro cavalo foi de R$ 18,00, mas ele perdeu R$ 22,00 no  segundo animal. 

3. Dois homens queriam entrar numa casa, mas tinham perdido a chave; resolveram então  descer pela chaminé. Quando conseguiram chegar dentro da casa, olharam­se. Um deles estava  coma cara preta de fuligem, mas o outro estava com a cara limpa. Sem dizer uma palavra, o  homem que estava com a cara limpa foi lavar o rosto, enquanto o homem com a cara suja nada  fez. Como você explica isso? 

Resposta: Após descerem pela mesma chaminé, cada um dos homens pensou estar igual ao outro. Quando o que  estava com a cara limpa olhou para o que estava com a cara suja, resolveu se lavar. O que estava com a cara suja,  olhando para o de cara limpa, achou que não era preciso. 

Fonte: http:/ / www.matematicaemevidencia.hpg.ig.com.br/ index­page80.html 

3. Números decimais 

OBJETIVO  Definir números decimais e sua forma de representação, explicando como fazer operações com  eles. 

Os numerais decimais são racionais pois podem ser escritos na forma  , como veremos a 

seguir:

Frações Decimais: São as frações cujos denominadores são 10 ou potências de 10. 

Exemplos: 

As frações decimais podem ser escritas em outra forma, denominada numerais decimais,  dividindo o numerador pelo denominador. Os numerais decimais constituem­se de 2 partes: uma  parte inteira e a outra decimal. 

Exemplo:  quando dividimos 1125 por 100, temos: 

Observação: Os algarismos da parte decimal são denominados pela ordem das casas decimais da  esquerda para a direita, respectivamente, décimos, centésimos, milésimos, etc... 

Transformação de numerais decimais em frações 

Todo numeral decimal é igual a uma fração em que o numerador é o numeral decimal sem a  vírgula e o denominador é a unidade seguida de tantos zeros quantas forem suas ordens  decimais. 

Exemplos:

1)  simplificando, isto é, dividindo o numerador e o denominador por 25, iremos obter 

a fração equivalente:  . Logo, 

2) 

3) 

Operações com Numerais Decimais 

Com o uso da calculadora, ficou mais fácil efetuar operações numéricas, principalmente com  números decimais. Porém, é necessário termos um conhecimento de como elas são efetuadas.  Afinal, conhecimento nunca é demais. Concorda? 

1) Adição e Subtração de Números Decimais 

Só podemos adicionar e subtrair unidades de mesma ordem decimal (unidade com unidade,  décimos com décimos, etc). Para isso, é necessário que, ao se montar a operação, as vírgulas se  correspondam. 

Exemplos: 

a) 13,15 + 0,051 + 2,0001 = 

b) 89 ­ 72,147 = 

2) Multiplicação de Números Decimais 

É feita como a de números naturais. Separam­se no produto tantas ordens decimais quantas  forem as dos fatores. 

Exemplo: 

3) Divisão de números decimais 

Para se efetuar a divisão, quando o divisor é um número decimal, é preciso transformar esse  mesmo divisor em número inteiro (multiplicando­o por 10, 100, 1000..., dependendo do número  de classes decimais), e compensar no dividendo, efetuando a mesma multiplicação.

3.1 Saiba Mais 

Curiosidades matemáticas 

A origem da palavra algarismo 

No ano de 825 d.C. o trono do Império Árabe era ocupado pelo Califa al­Mamum. Ele tinha  interesse que seu reino se transformasse em um grande centro de ensino, onde se pudessem  dominar todas as áreas do conhecimento. E, para atingir esse objetivo, contratou e trouxe para  Bagdá os grandes sábios muçulmanos daquela época. 

Entre esses sábios, estava al­Khowarizmi, o maior matemático árabe de todos os tempos, a quem  foi destinada a função de traduzir para o árabe os livros de matemática vindos da Índia. 

O termo algarismo usado para denominar os símbolos de 0 a 9 é uma homenagem a esse  matemático árabe, que mostrou à humanidade a utilidade desses dez e magníficos símbolos.  Observe a semelhança entre algarismo e al­Khowarizmi. 

Fonte: http:/ / www.matematica21e.cjb.net/  

4. Números relativos 

OBJETIVO  Definir números relativos e explicar como fazer operações com eles. 

a) Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de  valores em sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de  temperatura ou reais em débito ou em haver etc... Esses números, que se estendem  indefinidamente, tanto para o lado direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são  chamados números relativos. 

b) Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação,  sem o sinal. 

c) Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. 

Operações com Números Relativos 

1) Adição e Subtração de números relativos 

a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o  sinal. 

b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai­se o numeral de menor valor e dá­se o sinal  do maior numeral. 

Exemplos: 

3 + 5 = 8  4 ­ 8 = ­ 4  ­ 6 ­ 4 = ­ 10  ­ 2 + 7 = 5

2) Multiplicação e Divisão de Números Relativos 

a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. 

b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. 

Exemplos: 

­ 3 x 8 = ­ 24  ­ 20  (­4) = + 5  ­ 6 x (­7) = + 42  28  2 = 14 

4.1 Saiba Mais 

Matemática com Humor 

Curtpissimas 

Se um pedaço de queijo suíço tem muitos buracos, logo, quanto mais queijo, mais buracos. Se  cada buraco ocupa o lugar do queijo, logo, quanto mais buracos, menos queijo. Se quanto mais  queijo, mais buracos e quanto mais buracos, menos queijo, logo, quanto mais queijo, menos  queijo! 

(Fonte: http:/ / www .beggars.hpg.com.br/ piadas.htm) 

Antigamente eu não sabia nada de matemática, mas depois mudei radicalmente: trezentos e  sessenta graus! 

(Fonte: http:/ / www .hottopos.com/ regeq2/ secao_humor.htm) 

P: Por que o livro de matemática cometeu suicídio?  R: Porque tinha muitos problemas. 

(Fonte: http:/ / www .uv.es/ ~jaguilar/ hmate1.html) 

P: Quanto é 8 dividido em duas partes?  R: Na vertical é 3 e na horizontal é 0. 

(Fonte: maelmill@EUnet.at (Elisabeth)) 

5. Operações com números decimais em fórmulas 

OBJETIVO  Explicar como fazer operações com números decimais usando fórmulas matemáticas. 

Fórmula é um modo abreviado de indicar determinados cálculos matemáticos. É muito comum  usarmos fórmulas para resolver problemas da vida profissional. Veja o exemplo abaixo: 

De modo geral, encontramos o valor de uma letra da fórmula seguindo os passos abaixo: 

­ substituímos as letras da fórmula pelos valores indicados no problema; 

­ fazemos as operações. 

Para fazer as operações, é preciso obedecer à seguinte ordem: 

­ resolver primeiro as potências e raízes; 

­ depois, as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem;

­ e, por fim, as adições e subtrações na ordem em que aparecem. 

Exemplo:  Determine o valor de A na fórmula A =  .r ², sendo r = 12 e  = 3,14 (Número Irracional –  constante) 

A =  .r ²  A = 3,14 x 12 2  substitua as letras pelos valores dados  A = 3,14 x 144  primeiramente, resolva a potenciação  A = 452,16  depois, resolva a multiplicação 

5.1 Saiba Mais 

Gente que faz 

P itágoras, o gênio de Samos 

"Prestem atenção: num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos  quadrados dos catetos. Ou seja: a 

2  = b 

2  + c 

2  . Está claro?" 

O professor larga o giz e se volta para a classe: "Pois este é o enunciado do teorema de Pitágoras.  Vamos passar agora à demonstração". Enquanto o professor se vira de novo para o quadro negro,  alguns alunos se entreolham: "E quem foi esse Pitágoras?" 

Um grego – o nome não engana ninguém. Um matemático – óbvio, caso contrário não faria  teoremas. Um gênio – claro, senão quem não se preocuparia com ele e seus teoremas 25 séculos  após sua morte? Um astrônomo – bem, vá lá, astronomia e matemática sempre andaram juntas.  Mas Pitágoras foi mais que isso: conhecia também música, moral, filosofia, geografia e medicina. 

Pitágoras viveu há 2500 anos (mais precisamente entre 580 e 497 a.C.) e não deixou obras  escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas idéias é uma mistura de lenda e história real. A  lenda começa antes mesmo de Pitágoras nascer: por volta de 580 a.C., a sacerdotisa do deus  Apolo disse a um casal que vivia na ilha de Samos, no mar Egeu: 

"Tereis um filho de grande beleza e extraordinária inteligência; será um dos homens mais sábios  de todos os tempos." No mesmo ano, o casal teve um filho. Era Pitágoras. 

Lenda ou não lenda, a inteligência do jovem Pitágoras assombrava os doutos das melhores  escolas de Samos: não conseguiam responder às perguntas do moço de 16 anos. Nessas  condições, só havia uma coisa a fazer: despachá­lo a Mileto, para que estudasse com Tales – o  maior sábio da época, provavelmente o primeiro grego a se dedicar cientificamente aos números. 

Adulto, Pitágoras resolveu ampliar seus interesses. E começou a somar, além dos números, idéias  sobre a ciência e a religião de outros povos. 

Acreditando que era preciso ver para crer, arrumou as malas e disse "até logo" a seus patrícios:  foi à Síria, depois à Arábia, à Caldéia, à Pérsia, à Índia e, como última escala, ao Egito, onde  passou mais de 20 anos e se fez até sacerdote para melhor conhecer os mistérios da religião  egípcia. Dizem que quando Cambises conquistou o Egito, Pitágoras foi levado em cativeiro para a  Babilônia. Curioso como era, o grego aproveitou a chance para descobrir em que pé andavam as  ciências naquele país. 

Muito tempo tinha passado e Pitágoras já dobrava a curva dos 50. Seu desejo era voltar a Samos  e abrir uma escola. Mas Samos tinha mudado e o ditador Polícrates, que governava a ilha, não  queria saber nem de escolas nem de templos. Aí Pitágoras seguiu adiante, a Crotona, no sul da  Itália, onde as melhores famílias da cidade lhe confiaram prazerosamente a educação de seus  filhos. E Pitágoras pôde, por fim, fundar sua escola, onde passou a ensinar aritmética, geometria,  música e astronomia. E, permeando essas disciplinas, aulas de religião e moral. 

Mais que uma escola, Pitágoras conseguira criar uma comunidade religiosa, filosófica e política. Os  alunos que formava saíam para ocupar altos cargos do governo local; cientes de sua sabedoria  torciam o nariz antes as massas ignorantes e apoiavam o partido aristocrático. Resultado: as  massas retrucaram pela violência e – segundo dizem uns – incendiaram a escola, prenderam o  professor e o mataram. Outros são mais otimistas: contam que Pitágoras foi só exilado para

Metaponto, mais ao norte, na Lucânia, onde morreu, esquecido, mas em paz, com mais de 80  anos de idade. 

Assim se demonstra o teorema de Pitágoras: somando os quadradinhos dos quadrados menores,  que correspondem aos catetos, vê­se que seu número é igual aos do quadrado maior, cujo lado  constitui a hipotenusa de um triângulo. 

"Tudo são números"  

Pitágoras imaginava os números como pontos, que determinam formas. E o Universo, o que é,  senão um conjunto de átomos, cuja disposição dá forma à matéria? 

De qualquer modo, Pitágoras não se contentava em dizer frases; demonstrou que era necessário  provar e verificar geometricamente um enunciado matemático, ou seja, expressá­lo como  teorema. E formulou vários, além daquele mais conhecido. Por exemplo: a soma dos ângulos  internos de um triângulo é igual à soma de dois ângulos retos (a + b + c = 180º); a superfície de  um quadrado é igual a multiplicação de um lado por si mesmo. Donde a expressão "elevar ao  quadrado": 2 x 2 = 2 

2  ; o volume de um cubo é igual à sua aresta multiplicada três vezes por si 

mesma: 2 x 2 x 2 = 2  3  , o que originou a expressão "elevar ao cubo". 

Pitágoras também mostrou que música e matemática são parentes: o comprimento e a tensão  das cordas de uma lira, por exemplo, podem ser convertidos em expressões matemáticas. 

O gênio de Samos era um homem religioso, acreditava na transmigração da alma: quando um  homem morre, sua alma passa para outro ou para um animal. Só pela vida "pura" a alma poderia  libertar­se do corpo e viver no céu. E vida pura significava, para Pitágoras, austeridade, coragem,  piedade, obediência, lealdade. Dizia a seus alunos: 

"Honra os deuses sobre todas as coisas. Honra teu pai e tua mãe. Acostuma­te a dominar a fome,  o sono, a preguiça e a cólera". 

Mas acreditava igualmente numa série de superstições: não comer carne por causa da  reencarnação, não comer favas, não atiçar o fogo com ferro, não erguer algo caído do chão. 

O melhor meio de purificar a alma, ensinava Pitágoras, era a música. O Universo – afirmava – era  uma escala, ou um número musical, cuja própria existência se devia à sua harmonia. 

Como astrônomo, seu principal mérito foi conceber o Universo em movimento. Como teórico de  medicina, achava que o corpo humano era constituído basicamente por uma harmonia: homem  doente era sinal de harmonia rompida. Como filósofo, deu origem a uma corrente que se  desenvolveu durante os séculos seguintes, inspirando – entre os principais pensadores gregos –  inclusive Platão. 

Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer. Abril Cultural. Disponível em: http:/ /   www.professorrobson.hpg.ig.com.br/ pitgoras.htm 

Bibliografia 

GIOVANI JÚNIOR, José Ruy. Matemática Pensar e Descobrir. São Paulo: FTD, 2000. 

IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar, 1: Conjuntos e Funções. São Paulo:  Atual, 1993. 

MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática: Temas e Metas ­ Conjuntos Numéricos e  Funções. São Paulo: Atual, 1986. 

SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas,  2002.

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