Sobre Fatoração - Fatoração - Álgebra, Resumos de Matemática
Futebol13
Futebol13

Sobre Fatoração - Fatoração - Álgebra, Resumos de Matemática

6 páginas
1Números de download
13Número de visitas
Descrição
Material de Fatoração para estudo de Álgebra Matemática para Enem
0 pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
Baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 6
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 6 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 6 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 6 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 6 páginas
Baixar o documento

Fatoração Parte 1 * Definição O termo fatoração leva ao pensamento de fatores ou partes. Como já falado em alguns tutoriais, fatores são elementos constantes de multiplicação. Desta forma fatorar um número, é expressá-lo no formato de uma multiplicação de fatores. Vamos a alguns exemplos: a) O número 32 pode ser escrito como uma multiplicação de fatores de várias formas: 32 = 2 x 16 32 = 4 x 8 32 = 2 x 2 x 8 b) O número 12 pode ser escrito como uma multiplicação de fatores das seguintes formas: 12 = 2 x 6 12 = 4 x 3 12 = 1 x 6 x 2 No caso de uma expressão numérica, cujas parcelas têm um fator comum no problema, é possível fatorar da seguinte forma : 6 x 3 + 5 x 3 = (6 + 5) x 3 (Esta é a forma fatorada da expressão fornecida) 4 x 2 + 7 x 2 = (4 + 7 ) x 2 (Forma fatorada da expressão) Fatorar, então é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores. Observe: Ex: ax + ay = a.(x+y) Ex.: bz + bw = b.(z + w)

* Simplificação de cálculos algébricos com fatoração Considerando um terreno qualquer com formato dado abaixo, ou seja, dois lotes de comprimentos diferentes de larguras iguais:

É possível calcular a área total do terreno de duas maneiras distintas: » Somam-se os comprimentos dos lotes e calcula-se diretamente a área do terreno. » Calculando a área de cada lote e depois soma-se ambas. Ambas as formas de cálculo dão o mesmo resultado, então podemos escrever da seguinte forma: Área do lote 1 = ax

Área do lote 2 = bx Somam-se então as duas áreas dos lotes dados: ax + bx Comprimento total do terreno = (a + b) Área do terreno = (a + b) . x Desta forma: ax + bx = (a + b) x Onde: ax + bx = soma de duas parcelas (a + b)x = produto de dois fatores Resumindo: Toda vez que em uma soma de duas ou mais parcelas de qualquer problema houver fator comum a todas as parcelas dadas (como no exemplo o x em “ax + bx”), é possível fatorar essas expressão, e esse fator comum no problema será um dos fatores da expressão após ser fatorada. Então, é possível ter a seguinte dúvida: Como fazer para descobrir o outro fator da expressão fatorada no problema? Simplesmente divida a expressão que vai ser fatorada pelo fator comum. * Exemplos para fixação de conteúdo 1) Use o método de fatoração para calcular facilmente a seguinte expressão: 7.544 . 49 + 455 . 49 Solução: 7.544 . 49 + 455 . 49 = 49 . (7544 + 455) = 49 . (7999) = 391951 2) Indique qual a alternativa correta: (x + 1).(x – 1) é a forma fatorada de qual expressão: a) x2 + 2x + 1 b) x2 – 20 c) x2 - 1 Calculando: (x + 1) . (x – 1) = x2– x + x – 1 = x2 - 1 A resposta corre é a letra C. * Casos de fatoração Existem vários casos do sistema de fatoração, veja abaixo: 1) Fatorar por agrupamento Este método se faz aplicando duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios (já vistos anteriormente) especiais. Veja o exemplo: ax + ay + cx + cy Os dos primeiros termos do caso possuem em comum o fator “a”, os dois últimos termos do problema possuem em comum o fator b. Então, colocam-se esses termos em evidência:

a. (x + y) + c.(x + y)

Este novo polinômio possui o termo (x + y) em comum. Desta forma, temos: (x + y).(a + c) Resumindo: ax + ay + cx + cy = (x + y) . (a +c) Exemplo: a) Fatore a seguinte expressão: x2 -2x + ax – 2a = x(x – 2) + a(x – 2) = (x – 2) . (x + a) – Forma fatorada “x” é o fator comum “a” é fator comum também. (x – 2) é fator comum. 2) Fator comum em evidência Esse método é aplicado quando os termos apresentam fatores comuns. Observe os seguintes polinômios: cx + cy --à Ambos os termos apresentam o fator “c” em evidência. Desta forma: cx + cy = c.(x + y) - forma fatorada do problema Exemplo: Fatore as seguintes expressões: a) cx + cy –cz = c.(x+y-z) b) 3x2 – 6xy = 3x.(x – 2y) * Exercícios resolvidos de fatoração Fatore, colocando os fatores comuns em evidência: a) ax+3a = a(x+3) b) b²-c² = (b+c)(b-c) c) a² - 4ab + 4b² = (a-2b)² d) 2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1)

Fatoração (Parte II) * Revisão Como visto, o termo fatoração leva ao pensamento de fatores ou partes e fatores são elementos constantes de multiplicação. Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores. Observe: Ex: ax + ay = a.(x+y) Ex.: bz + bw = b.(z + w) * Formas de fatoramento

1) Fatoramento por diferença de quadrado Como estamos vendo as formas de fatoração, e dando continuidade no tutorial de número 30, este método se baseia em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, extraindo a raiz quadrada de cada quadrado. Desta forma: X2 – 36 = (x + 6) . (x – 6) X2 – 49 = (x + 7) . (x – 7) Exemplos para fixação de conteúdo: Fatore as seguintes expressões: a) x2 – y2 = (x + y) . (x – y) b) 4a2 – 1 = (2a + 1) . (2a – 1) c) 1 – 16x4 = (1 + 4x2) . (1 – 4x2) = (1 + 4x2) . (1 + 2x) . (1 – 2x) – Note aqui que é possível fatorar a expressão duas vezes

2) Fatoração do trinômio quadrado perfeito O termo trinômio que se encontra quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito. Veja alguns exemplos de trinômios: (a2 + 2ab + b2 ) ( a2 - 2ab + b2 ) Estes trinômios são considerados perfeitos pois são obtidos quando as expressões (a +b) e (a-b) são elevados ao quadrado, respectivamente. Observe os cálculos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Assim: x2 + 8x + 16 | | | | 2x 4 |________| | 2x.4 = 8x » note que é igual ao segundo termo de x2 + 8x + 16 Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito. x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 » forma fatorada |______________________________| Sinal Logo: x2 - 8x + 16 = (x - 4 )2 » forma fatorada

|_____________________________| Sinal

Exemplos: a) X2 – 10x + 25 = (x – 5)2 b) 16x2 + 24xy + 9y2 = (4x + 3y)2 Obs.: Vale lembrar que ao fatorarmos uma expressão algébrica, deve fatorá-la por completo: Veja abaixo: a) 4x2 + 8x + 4 = 4(x2 + 2x + 1) = 4(x + 1)2 b) 25a4 - 100b2 = 25.(a4 - b2) = 25(a2 + b).(a2 - b) - Exemplo de trinômio quadrado “não perfeito” a) a2 + 8a + 9 2 . a. (quadrado de a2) + 3 (quadrado de 9) 6a # 8a Nesse caso o trinômio não é quadrado perfeito e por tanto não pode ser fatorado. * Exercícios passo a passo para fixação de conteúdo fatoração Como em matemática, devemos manter uma praticidade grande nos temas abordados, para uma melhor compreensão, vamos procurar adotar mais exercícios. Busque resolver sem olhar as respostas. a) Fatore a expressão 3xy + 6x Podemos observar que os valores 3 e x são comuns às duas parcelas. Então é possível escrever a expressão na seguinte forma: 3xy + 6x = 3x . (3xy/3x + 26x/3x) ---àsimplificando as frações 3x = (3xy/3x + 26x/3x) 3xy + 6x = 3x(y + 2) Aqui o valor “3x” foi colocado em destaque. Na prática, estes cálculos (dentro dos parênteses) são feitos na maioria das vezes “de cabeça”. b) Fatore a seguinte expressão 2a2b – 4ab2 Observando, temos que os fatores comuns neste problema são 2, a e b. Vamos colocar os valores 2.a.b em “destaque”, obtemos: 2a2b – 4ab2 = 2ab . (a – 2b) Vamos ter certeza que esta divisão está certa: Faça o seguinte: 2ab. (a – 2b) = 2a2b – 4ab2

Neste caso, usamos a propriedade distributiva da multiplicação (estudando em tutoriais anteriores) para checar se os cálculos de fatoração estão corretos. c) Aprendemos que a2 – b2 é o resultado obtido do produto (a + b) . (a –b). Desta forma, fatore as expressões abaixo: * 4x2 - 9 4x2 = (2x)2 9 = 32 Temos então: (2x + 3) . (2x + 3) ---à forma fatorada * 36a2 - 1 36a2 = (6a)2 1 = 12 Temos então: (6a + 1) . (6a – 1) ----> forma fotorada * 16 –x2 25 16 = 42 x2 = (x/5)2 25 Temos então: (4 + x/5) . (4 – x/5) ----à forma fotorada d) Caso surja mais de um caso de fatoração, veja como resolver: Exercícios: * ax2 – ay2 a.(x2 – y2) a. (x – y) . (x + y) * x2 + 2ax + a2 - 9 (x + a)2 – 9 [(x + a) – 3] . [x + a + 3] (x + a – 3) . (x + a - )

Até o momento nenhum comentário
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 6 páginas
Baixar o documento