Matemática elementar, Exercícios de Matemática Elementar

Baixe Matemática elementar e outras Exercícios em PDF para Matemática Elementar, somente na Docsity! Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ GELSON IEZZI SAMUEL HAZZAN FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 4 ELEMENTAR SEQUÊNCIAS MATRIZES DETERMINANTES SISTEMAS 42 exercícios resolvidos 306 exercícios propostos com resposta 310 testes de vestibular com resposta 2º edição ATUAL EDITORA Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ Capa Roberto Frankiin Rondino Sylvio Ulhoa Cintra Filho Rua Inhambu, 1235 — S. Paulo Composição e desenhos AM Produções Gráficas Ltda. Rua Castro Alves, 135 — S, Paulo Artes Atual Editora Ltda Fotolitos H.0O.P. Fotolitos Ltda. Rua Delmira Ferreira, 325 — S. Paulo Impressão e acabamento Gráfica Editora Hamburg Ltda. Rua Apeninos, 294 278-1620 — 278-2648 — 279-9776 São Paulo — SP — Brasil Crp-resil, Caran. Câmara Sexvileica do Liyra, SP ratemética elementar [par] Gel- outros) Sêo Peula, Atual Fundamentos ce oan Tozzi Edo, 1997. Co-autores: Gerlas Murnkenl, Dsvalda Bolce e Samuel Hazzen; a autoria dos volumes indi- vidunis yario entre ne 4 stores. Contrário: v.l. Conjuntos, funçõem.-v.2. Logará tras, Seglencioa, matrizes determi nantes, aistanas.=y.5, Gonbingtória, probebi- Aitedo.-v.6. Complexos, polincaica, equações. 1. Matemática (20 grau) 1. Dolce, Osvaldo, 19380 TI, Igzrá, Eelson, 1938- IIf. Hsrzan, L, 1946- Tó, Murakand, Carlos, 1943- 1323 cop-sin Indice, para catálogo eietenático; 1. Metemátics 510 Todos os direitos reservados a ATUAL EDITORA LTDA Rua José Antônio Coelho, 785 Telefones: 71-7795 e 549-1720 CEP 04011 São Paulo — SP — Brasil ara mais ara mais http: http: ibular.com.br APRESENTAÇÃO “Fundamentos de Matemática Elementar” é uma coleção em dez volumes elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática, ao nível da escola de 2º grau, Desenvolvendo cs programas em geral adotados para o curso colegial, os “Fundamentos” visam aos alunos em preparativos para exames vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e também, como é óbvio, âqueles alunos de colegial mais interessados na “rainha das ciências", No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de “Fundamentos” procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos é propriedades. Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições € teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações. Na estruturação das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenação crescente de dificuldade, Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A sequência do texto sugere uma dosagem para teoria e exercícios. Os exercícios resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a resposta para cada problema proposto e assim, ter seu reforço positivo ou partir à procura do erra cometido. A última parte de cada volume é constituída por testes de vestibulares até 1,977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria estudada. Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindivel para que pudéssemos homenagear nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas vidas e suas obras. Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores e o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores uma apre- ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quais agra- decemos. Os autores ara mais, Napoleão demite ministro do interior Pierre-Simon de Laplace francês, de descendência humilde, estudou na Academia Militar por influência de amigos. Sem grandes convicções políticas, pouco participou de atividades revolu- cionárias embora tenha sido nomeado por Napoleão para o cargo de Ministro do Interior do qual foi despojado logo mais pois, como dizia o próprio Napoleão, “ele transportava o espírito do infinitamente pequeno à direção dos negócios de sua pasta”, Mesmo assim, acabada a Revolução Francesa, recebeu o título de marquês e em suas obras procurava sempre incluir elogios fervarosos ao grupo que estivesse no poder, procurando assim fazer as pazes com cada regime que aparecesse. Laplace foi professor na Escola Normal e na Escola Politécnica, participando também do Comitê de Pesos e Medidas. Seus principais resultados foram em Teoria das Probabilidades, publicando uma cobra admirável que é a “Teoria Anafítica das Probabilidades” em 1812, onde mostra ter conhecimentos avançados de Análise. Em “Ensaio filosófico das probabilidades” escreveu que “no fundo a Teoria das probabilidades é apenas o senso comum expresso em números”. Em “Teoria Analítica” encontramos entre outros resultados, o cálculo de m através dos problemas das agulhas de Buffon, esquecido há muitos anos, e um estuda da probabilidade inversa iniciado por Bayes. Em “Exposição do Sistema do Mundo”, de 1796, e em “Mecânica Celeste”, de 1799, apresentou sua hipótese de que o sistema solar se originou de um gás incandescente girando em torno de um eixo que, ao esfriar, se contraiu causando rotação cada vez mais rápida até que da camada externa se desprenderam sucessivos anéis que formaram os planetas. O centro restante da massa de gás, em rotação, constituiu o sol. Esta publicação marcou o auge da teoria de Newton, explicando todas as perturbações do sistema solar, sua estabilidade e seu movimento que é secular, não lhe parecendo mais necessário admitir a intervenção divina em certas ocasiões. Para Laplace a natureza era a essência e a Matemática apenas uma coleção de instrumentos, que ele sabia manejar com muita habilidade sempre mantendo um sentimento de honestidade intelectual com as Ciências. em http http CAPÍTULO 1 SEQUÊNCIAS 1. NOÇÕES INICIAIS 1. Definição Chama-se sequência finita ou mupla toda aplicação f do conjunto NE = (1,23... njemR Assim, em toda sequência finita, a cada número naturali(l < 1 < n) está associado um número reai a; t= Uta), (2, a2), (3, 25),.0. + ln, anhh. 2. Definição Chama-se segúência infinita toda aplicação f de Nº emiR. Em toda sequência infinita, a cada 1 € Nºestáassociadouma; E IR. f= (11,99), (2,32) (3,a35).. cetiad,. Vamos, daqui em diante, indicar uma sequência f anotando âpenas a ima gem de f: f= (araras red onde aparecem entre parênteses ordenadamente, da esquerda para a direita, as ima- gens dos naturais 1,2,3,...,l,... om.br 1-D Exemplos indi iênci ; acesse: httpiifuvestibular.com.br/ Quando queremos indicar uma sequência f qualquer, escrevemos Pers mais, acesse: httpyltuvestlbular f= lake & lemos “segiência f dos termos a; onde o conjunto de Índices é 1”. 3 Exemplos 19) (1,2,3, 4, 6, 12) é a sequência ffinita) dos divisores inteiros positivos de 12 dispostos em ordem crescente, 20) (2,4,6,8,....,2i,...) é a sequência finfinita) dos múltiplos inteiros positivos de 2, 39) (2,3,5,7,11,. «- ) é à segiiência (infinita) dos números primos positivos. Observando o 2º exemplo, notamos que estão indicadas entre parênteses as imagens de 1,2,3,..., na aplicação f: Nº > IR dada por fi) = 25. H. IGUALDADE 4. Sabemos que duas aplicações f e 9 são iguais quando têm domínios iguais e fl) = gtx) para todo x do domínio. Assim, duas sequências infinitas f = (aj);cn* e 9 = (biljgn» são iguais quando Fi) = gti), isto é, aj = bi paratodoi E Nº, Em simbolos: f=9e-a=b, VIEN hi. LEI DE FORMAÇÃO interessam à Matemática as sequências em que os termos se sucedem obe- decendo a certa regra, isto é, aquelas que têm uma lei de formação. Esta pode ser apresentada de três maneiras: 5. Por fórmula de recorrência São dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo (a,) e outra Para calcular cada termo (an) a partir do antecedente tan). 1º) Escrever a seguência finita f cujos termos obedecem a seguinte fórmula de recorrência:a;= 282n = an + 3, Yn E (2,3,4,5, 6). Temos: n=2>a-at3=-2+3=5 n=35a=29+3-5+3-8 n=4 >24=23+3=-8+3=11 n=5 >a=a+3=11+3=14 n=6 >a,=a9+3=14+3=17 então f = 12,5,8,11,14, 17). 29) Escrever os cinco termos iniciais da segiiência infinita g dada pela seguinte fórmula de recorrência: b=1 e bg =3"bh, YnNENenz2 Temos: n=2=-bp=3-b-3-1=3 n=3ob;=3.b,=3-3=9 n=4 >b,=3-b=3:9=27 n=S>b,=3-ba=3:27=81 entãog = (1,3,9,27,81,...). Expressando cada termo em função da sua posição É dada uma fórmula que expressa an em função de n. Exemplos à n 19) Escrever a sequência finita f cujos termos obedecem à lei ag = 2", ne(1,2,3, 4. Temos: a=2'-2,a,-2-4,83=2'=8ea;=2*- 16então f=(2,4,8, 16). 1= . ' 29) Escrever 05 cinco termos iniciais da sequência infinita q em que os termos verificam a relação bn =30+1,Yn€ Nº Temos = =3- 1=10 =3:1+1=4,b2=3:2+1=7, ba=3-34 - Da 3 é b;-3.541-16 então 9=(4,7,10,13.18...). a = Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 2-D 3-D 7. Por propriedade dos termos É dada uma propriedade que os termos da sequência devem apresentar. Exemplos 19) Escrever a sequência finita f de seis termos em que cada termo é igual ao número de divisores inteiros do respectivo índice. Temos: DM =(1,-1) =a=2 D(29) =[1,-1,2,-2) >= 4 DI) =(1,-1,3-3) > a =4 Dia) =(1,-1,2,-2,4,-4) > a, = 6 Dt5) =11,-1,5,-5) »aç= 4 D(6) = [1,-1,2,-2,3,-3,8,-6) > a; = B então f = (2,4,4,6,4,8). 2º Escrever os cinco termos iais da sequência infinita q formada pelos números primos positivos colocados em ordem crescente. Temos g = (2,3,5,7,11,...). Notemos que esta sequência não pode ser dada por fórmula de recorrência bem como não existe fórmula para calcular o n-ézimo número primo positivo a partir de n. EXERCICIOS D.1 Escrever os seis termos iniciais das sequências dadas pelas seguintes fórmulas de re corrência: a) 2a +2 Vaz? d) -2º'bry Ynz2 o ten Ynz2 dk (EP cdo tn e) = tema), nx D.2 Escrever os seis termos iniciais das sequências dadas pelas seguintes teis: al aj -3-2 VYnzl bbby= 2:81 Von 21 denenin4t1pynZ1 da = (2 Vozt een nã, Wins. 0.3 Descrever por meio de uma fórmula de recorrência cada uma das sequências abaixo: a) (3,6,9,12,15,18, , bj 41,2,4,8, 16,32...) SO (Mt d) 15,6,7,8,9,10,. e 10,1,2,3,4,5, Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ CAPÍTULO II PROGRESSÃO ARITMÉTICA 1. DEFINIÇÃO 8. Chama-se progressão aritmética (P.A.) uma segiência dada pela seguinte fórmula de recorrência: a -& ana tr YnENnD2 onde a e r são números reais dados, Assim, uma P.A, é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante r dada. Eis alguns exemplos de progressões aritméticas: n=(,3579,...) ondea = 1er=2 bo = (0,-2,-4,-6,-8,. ondem =0er=-2 = ondea = 4er='0 1 = 9 onde a =7er=1 = 1 ondea-4er=-5 ll. CLASSIFICAÇÃO As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias: 13) crescentes são as P.A. em que cada termo é maior que o anterior. E imediato que isto ocorre somente se r > 0, pois: nai aaa >0=r>0 Exemplos: f, e fa. Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 4D 5D o D.25 Obter a 129,0270€0 1009 termos da PA (2,5,8,11 ) Para mais, acesse: http://fuvestibular.com; neão vt Temosia, <O >ajtin-1hk LO =>60+n-1hLH<CO 0-1 D.26 Obter a razão da P.A. em que o primeiro termo é -8 e o vigésimo é 30. o? =>n 25 =95. Solução dp = a +19 =>30--8+1% >r=2 . Concluímos que an < O paran = 10,11,12,..., portanto, o primeiro termo negativo da PA bao. D27 ObterarazãodaP.A emqueay - 8 e aj - 45 - Me D.37 Provar que se (81, 23,94... an) 6 PA, comn > 2, então D.28 Obter o primeiro termo da P.A. de razão 4 cujo 239 termo é as. 2 z 2 2 2.42 a-a,aj-ab,....0h-ah.4) também é D.29 Qual é 0 termo igual à BO na P.A. em que o 2º termo é 24 ea razão é 2? D.38 Provar que se uma P.A. apresenta am — x. = Ve ap = 2, então verifica-se a relação: D.30 ObteraP.A emqueag - 7 e ay in-phex + toombey 4 tmenher= 0 Solução D.39 Pruvar que os termos de uma P.A, qualquer onde O não participa verificam a relação: Para escrever a P.A. 6 necessário determinar a, é r 1 1 1 1 n=1 os + E dio Ba) asa ên-1ên 21h Temos: - Cao 7 =a+9 = 7 (7) am 8 Sap+ir= 8 (2) o V. INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA Resolvendo o sistema acima, temos: Em toda sequência finita lay, a2,..., An-1, ank, OS termos a, e ap são chamadas extremos e os demais são chamados meios, Assim, na P.A, (0,3, 6,9, 12, 15) as extremos são O e 15 enquanto os meios são 3, 6, 9e 12. DO sxm-dser-- EEN 15 ED sa tatha ta E interpolar, inserir ou intercalar k meios aritméticos entre os números a e b significa obter uma P.A. de extremos a, = ae a, = bcomn= k + 2 termos. , Japa é (E ; , i - a foi . *& portanto, a PA. é ( Para determinar os meios dessa P.A, é necessário calcular a razão, o que é feito assim: me 134 119 2:22 D.31 Determinar a P.A, em que o 6º termo é 7 80 102615, b-a m que o 6º termo é 7 80 109615, an = a tincIer a b=atlktijer sro D.32 Qual é a P.A. em que o 1º termo é 208099 termo 644? D.33 Determinar a P.A. em qua se verificam as relações: Exemplo a + a - 302 e a; + Bag - 446. Interpolar 5 meios aritméticos entre 1 e 2. P.34 Na PA emque ap = e ay: 8 compfa, calcular o termo apso. : P a P pta Vamos formar uma P.A. com 7 termos onde a, = 1 e 3, = 2. Temos: D.35 (IME-1965) Determine a relação que deve existir entre os números m, n, p eq, para que aca 2-11 se verifique a seguinte igualdade entre os tarmos da mesma progressão aritmética: aq=a 146: 51=-D[— === 8 6 6 am + an = ap + ag 1891 n entãoa PA é (1, 2 5 6º 6" 6" 2. id Qual é o primeiro termo negativo da P.A, (BO, 53, 48,...)7 Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 10-D 11-D EXERCÍCIOS plp + 1) Para mais, acesse: http://fuvestibular. compra 2 +3 +... +p D.40 Intercalar 5 meios aritméticos entre -2 e 40. e provemos para n = +1: Solução se P Devemos abter a razão da PA. com 7 termos (2 extremos e 5 meios) em que r+zrsr + pe tpa-PEEDO qem a-=-2ea=40Temosaj-a+B >40=2+6 Sr=7 . p ” entãoa P.A é (2, 5, 12, 19, 26, 33, 40] plp+1) + Ap+1) (p+(p+2 = Petit + April tptt pt A 2 2 meios D.81 Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para que a razão da Então t+ 2 +34... 40 -DLD ren x 1 2 interpolação seja 7? Exemplo D,A2 Inserir 42 meios aritméticos entre 100 e 200. ) A ii nm . voc É” Quantos números inteiros e positivos, formados cor 3 algarismos, são múltizlos de 13? soma dos 50 termos iniciais da sequência dos inteiros positivos é: De 100 8 1000 quantos são os móltipias de 2 gu 3? 1+2+3+... +50 = Son tah =25X 51- 1275, Quantos números inteiras e positivos, formados de dois ou três algarismos, não são divisíveis por 7? ininias / termos iniciais da PA, (ay, By ..., Bh... Utilizando a fórmula do termo geral, podemos calcular a soma Sn dos à h DAS (ITA-66) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, não divisíveis nem por 5 e nem por 7? 12. Teorema 2 D.47 IMAPOFEI-75] Inscrevando-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexta termo de PA? - q Em toda PA. temse: Sp = nã + seo, VI. SOMA Demonstração Vamos deduzir uma fórmula para calcular à soma Sn dos n termos iniciais aj = a de uma PA, a=atr ag=a t2r + 11. Teorema 1 : na . . o Mn + 1) an=a+tn-1er A sema dos n primeiros números inteiros positivos é 2" atatat...+an=tag+a+ +a)b +(r+2r +... +(n- Br) = Demonstração por indução finita n parcelas HW Paran = 1 temos: 1 = UM, dadeira) an = 1, temos: 3 sentença verdadeira =enatM+D+r tino er 11) Admitamos a validade da fórmula para n = p: Pelo teorema 1: 1 +2+...+(n-1) =! Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 12-D 13-D para mais, acesse httpy/uvestbulaEXERSÍCIOS +a+tast+...+an = na + ay ta 3 n D.48 Calcular a soma dos 25 termos i s da PA (1,7,13,.. isto é: * Solução Sendoa, = 1 e r = 6, temos: aos = ap +2r=-1+24 X6- 145 250) + dog) 261 + 145) = e -= 1825 Szs D.49 Obter à soma dos 200 primeiros termos da seqliência dos números Impares positivos. 3 Caleular também a soma dos n termos iniciais da mesma segiiência, 13. Teorema Solução Em toda P.A. tem-se: A sequência (1,3,5,...)tuma PA emquea, = 1 vr=2, então mo = aj +199er=1+199x2 299 nla, + an) 8, =- 200taj + azgo) 20011 + 388 " 2 Sago = "51 1 fz00) — “81 49000 2 2 anca ttn-lr-S+(n-1).2020-1 Demonstração Sn - DEL) mto = 15,0 208 tom(n= tr nÃ2a + tn be] À D.50 Qual é à soma das números inteiros de 1 a 3507 Mm to r= 20 2 [ (not atas ta D.51 Quai é a soma dos 120 primeiros números pares positivos? E a sema das n primeiras? nas ta + (n-1r] nt tan . | 2 415.52 Obter a soma dos 12 primeiros termos da P.A, (6, 14,22, ...). D.53 Obter a soma dos n ejementos iniciais da sagiiência: (lou 2-n 300º, Exemplos É, 19) A soma dos 15 termos iniciais da P.A, (-2,1,4,7,...) é: D.54 Determinar a P.A. em que o vigésimo termo é 2 e à soma dos 50 termos iniciais é 650. Solução 15-14 - . Sis = 1562) + 53 = -30 + 916 = 286. Determinar uma P.A, é obter aj é + Temos: ao -2 0 +199=2 (1) 22) A soma dos múltiplos inteiros de 2 desde 4 até 100 pode ser calculada sa mo + s0t2a, + 490, 550 = 29, am = 26 e notando-se que (4, 6, 8,..., 100) é uma P.A, de 49 termos em que a; = 4e 20 , da = v00:" Resolvendo o sistema (1) e (2) obtemos a, =-36 e +=2, portanto, a P.Ã. pro- curada é (-36, -34,-32,...) so - 44 + 100 gx 62 - 2548, . . o o 2 D.55 Qual É o 23º elemento da P,A, de razão 3 em que a soma dos 30 termos iniciais é 255? Para mais, acesse: http://fuvestibular.com.br/ 14-D 15-D NOTAÇÕES ESPECIAIS ara mais Para a obtenção de uma P.G. com 3 ou 4 ou 5 termos é muito prática a notação seguinte: 18) para 3 termos: (x, xa, xq?) ou 5 x, xa) 24.3 x x 22) para 4 termos: (x, xq, xq”, xq”) ou fe Y xy, xy?) 32) para 5 termos: (x, xq, xq”, xq”, xq*) ou co J x, xq, xq2) EXERCÍCIOS D.73 D.75 D.76 D37 D.78 20-D Qual é 0 número que deve sar somado & 1, 9 e 15 para que se tenha, nessa orem, três números em P,G,7? Solução Para que (x + 1,x +9,x + 15) seja P,G., devemos ter x+9 x+15 x+1 x+ 9 e, então: AO = (ut) let IBi= ÉH BX+B1 = xt 1Bx + 15 2x = 68 => == x = 33. (MAPOFEI-74) Qual é o número x que deve ser somado aos números a-2,4 e at3 para que a-2+x,atx e a+3+x formem uma PG? 1FAM-65) Sabendo-se que x, x+9 e x+45 estão em P.G,, determinar o valor de x. A sequência (x + 1,x43,x+4, 1 E uma P.G. . Calcular O seu quarto termo. tEPUSP-59) Que tipo de progressão vonstitue a sequência: senx, sentx + 77), sentx + 27),..., sentx + nm) comsen x É O Classifique as santanças abaixo em verdadeira (V) ou feisa LF): al na PG emquea; > 0 é q > 0, tados os termos são positivos. bi naP.G. emqueas < O e q > 0, todas as termos são negativos. c) naP.G emquea, > 0 e q < O, todos os termos são negativos. d) na P.G.emquea; <Q e q < 0, todos os termos são negativos. ek na P.G. de números reais em que q < 0 8a; É 0, os sinais dos termos são aiter- nados, isto é, a P.G. é alternante, f) na P.G. alternante, todos as termos de Índice Impar têm o sinal de ay e os de índice par têm sina! contrário 30 de aj. http: http: bu s! se uma P.G. formada com números reais apresenta dois termos com sinais contrários, pular. combr D.81 D.82 0.83 DB4 D.85 D.86 D.87 Des D.89 D.90 D.91 D.9z então a P.G. é alternante, h) exista uma P.G. de números reaisem qua a; > 0 e a; < O. ij existe umaR.G. de números reaisem que a, > 0 e ay <0. ) seq > 0,aP.G é crescente. ki sea >0e q >0,aP.G é crescente, Ih seq > 1,2 P.G é crescente 2” Determinar três números reais em P.G. de modo que sua soma seja q" soma de seus . 189 quadradas seja ra Obter a P.G. de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois últimos é 300. 121 Determinar cinco números inteiros em P.G, sabendo que sua soma é — e seu pro- duta é 243. 3 (FAUUSP-66) Numa progressão” geométrica ds seis termos a soma das termos de ordem ímpar é 182 e a dos de ordem par é 546. Determinar a progressão, Dbrter quatro números a, b, e, d sabendo que: Da+d- 32 HD ta, b, c) 6 P.G. Db +e = 24 IV tb, e, dh é PA. (IME-B6) A soma de três números que farmam uma P.A, crescente é 36. Determine esses números, sabendo que se somarmos 6 unidades so último, eles passam a cons- tituir uma P.G. Provar que se x, y, 2 estão em P.G. nesta ordem, vale a relação: xtyrale-y + za x + y? + Sea, b, c, d estão em P.G, nesta ordem, então (b— c)? = ac + bd - Zad. Provar que se a, b, c formam neste ordem uma P.A, e uma P.G,, então a = Provar que se os números a, b, e, d formam nesta ordem uma P.G. então vals a relação tb-c)2 + (c-al2 + td-bi2 = (ad) Os lados de um retângulo apresentam medidas em P.G. . Calcular a razão da P.G.. Os lados de um triângulo formam uma P.G. crescente, Daterminar a razão ds P.G. . As medidas dos lados de um triângulo são expressas por números intairos em P.G, e seu produto é 1 728. Calcular as medidas dos lados. IMAPOFE|-76) Calcular todos Ds ângulos x, em radianos, de mado que os números sen x , sen x, tg x formem uma progressão geométrica om.br 21-D IV. FÓRMULA DO TERMO GERAL 15. Utilizando a fórmula de recorrência pela qual se define uma P.G. e admitindo dados o primeiro terma (a, É 0), a razão tg É 0) e o índice (n) de um termo desejado, temos: a-ag a = aq as = 83ºQ dn = Ent Multiplicando essas n - 1 igualdades, temos: araras... Bn = Arade age. lo o LL | cancelamese n e, então, an = aj * q"7!, o que sugere o seguime 16. Teorema Na P.G, em que o primeiro termo é a, e a razão é q, o mézimo termo é no nar! Demonstração Demonstra-se pelo princípio da indução finita. ExERcicios D.93 Obter o 10º e o 159 termas da PG. (1,248...) Solução mocatg=1:2º- 512 aus -meql= 1.28. 4096 D.84 Obter a 1009 termo da P.G. (2,6, 18,...] D.95 Calcular o 219 termo da sequência (1,0,3,0,9,0,.. Para mais, acesse: http://tuvestib RES orm.br7 UTA-59) Dada uma P.G. finita (ay, 2, a3, ., 319) de modo que ay - 2 e aq pergunta-se se é correta a igualdade - (arolÊ - 3:12) D.97 (MAPOFEI-76] Uma empresa produziu, no ano de 1975, 100 000 unidades de um produto. Quantas unidades produzirá no ano de 1980, se o aumento anual de produção é de 20%? D.98 Obter a P.G, cujos elementos verificam as relações: ata taç= 10 astas+a = 30 0.89. Caicular o número de termos da P.G. que tem razão 5, 19 termo 6 144 é último termo 3. D.100 Provar que se a, b, c são Os elementos de ordem p, q, r. respectivamente, de mesma P.G,, então: ate br-Pecp-q = 1 D.104 Provas que se (ay, à3, ay... | é uma P.G, com termos todos diferentes de zero, então o 1.) tambémé PG. aa a D.102 Provar que se lay, âz, à3, são P.G. .) é uma P.G,, então (ay, 23,25...) € (a9.a4. 6) também V, INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA Interpolar k meios geométricos entre os números a e b significa obter uma P.G, de extremos a = ae an = b comn= k + 2 termos, Para determinar os meios dessa P,G, é necessário calcular a razão. Assim, temos: Ro an=acql sbsa qt sg- a Exemplo Interpolar B meios geométricos (reais) entre 5 e 2 560. Formemos uma P.G. com 10 termos onde a, = 5 e aço = 2 560. Temos: 9 ao ao o q=0/0 9/2580 V52-2 1 então a P,G, é (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1 280, 2 560). Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ EXERCÍCIOS D.103 Inserir 6 meios geométricos reais entre 640 e 5. D.104 Quantos meios se deve intercalar entre 78 125 a 128 para obter uma P.G, de tazão É? D.105 Qual é o número mínimo de meios geométricos que se dave intarpolar entre 1 458 e 2 para & razão de interpolação ficar menor que 3 D.106 (EESCUSP-58) Sendo a e b números dados, achar outros dois x a y tais que a, x, y,b formem uma P.G. VI, PRODUTO Vamos deduzir uma fórmula para calcular o produto P, dos n termos inicpis de uma P.G. 17. Teorema Emtoda P.G. tem-se: Pa =al.q Demonstração a = a az = a,*q x [aca ans ara! amas can = (arara. ajlg-q2-...c qr) = n fatores nina) +24... +04 2 = ape qt? dl =aTq isto é: task a Z Pasaea EXERCÍCIOS Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ D.107 Em cada uma das P.G. abaixo caíçule o produto dos n termos iniciais: af (1,2,4,8,..ben=10 b) (-2,-6,-18, -54, ...Je n= 20 ct (3, -6,12,-24, ben = 25 d) U-2)9, (211, 212, (233, ..) e n= 66 e) ((-3)25, (-aja, f) tal, -22,a2, «a D.108 (MAPOFEI-71 al Calcular a soma S = tagpa + log; 2a + tagada + .. + loga 2a b) Qual o valor dease 8 =n+17 0.109 Calcular 0 produto dos 101 termos iniciais da P.G. alternante em que as) = D.110 Uma sequência é tal que: 1) ps termos de ordem par são ordenadamente as potências da 2 cujo expoente é igual ao indice do termo, isto é, a2n = 22 para todon 21 1) os termos de ordem impar são ordenadamente as potências de -3 cujo expoente é igual 20 indica do termo, ista é, aan. = (3)2M para todan 21, Calcular o produto dos 55 termos iniciais dessa sequência VII. SOMA DOS TERMOS DE P.G, FINITA 18. Sendo dada uma P.G., isto é, conhecendo-se os valores de a, e q, procuremos uma fórmula para calcular a soma S, dos n termos iniciais da sequência. Temos: S,=artag+raq +. +aql? + agr! O) Multiplicando ambos os membras por q, obtemos: aS=agtag) tag +. tag! + ag” e) Comparando os segundos membros de(1)e(Z), podemos observar que a par- Cela a só aparece em(1), a parcela a,q" só aparece em(2)e todas as outras par- celas são comuns às duas igualdades, então, subtraindo, temos: OM =qS,-S,=aq”-a > S lg-N=ag'-a Supondo q É 1, resulta: no, ag” - a Sn = q71 Este resultado sugere o seguinte teorema: Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 2a-D 25-D TEOREMA e à) Se lar, à, &a, S-ayta+as Demonstração Vamos provar que o limite da segiência (S,, So. Ss, parciais dos termos da P.G. é Temos: S, - Para mais, acesse: http:/fuvestibular ) é uma P.G. com razão q tal que -1 <q <1, então 3 tata da das somas «m Sn e a l-q aa” & constante; lem- Lembrando que a, e q são constantes, notamos que - = 0. Resulta, portanto, o seguinte. brando que, para -1 lim - n>+e6 Sa isto é: <q< 1, temos lim né tos lim dd = no a ao Me -qco-o S=tim: Sjá cio oq MET 28. Observações O, a condição -1 <q < 1 é desnecessária para a convergência da , ---) e'sua soma ). Neste caso, é óbvio que a P.G. é (0,0,0, 18) Se a, = seqiiência (S,, Sy, 85, er que seja q. é zero, qualqu 28): a, *Deq<-1 ouq>1, a sequência (8,, S,, 84...) não converge. Neste caso, é impossível calcular a soma dos termos da P.G. 29. 30-D Exemplos 19) Calcular a soma dos termos da P.G t Como a -Ze-1<5 <1, decorre S = 1a “20)' Calcular a soma dos termos da P.G. (2, -1 a -ce-1 <-3<1, decorre: 5 Como q = Z 8,12, 24 2 125 39) Calcular S = 3 +54 55 Como as parcelas formam uma P.G a <2<1vems- 5 EXERCÍCIOS [2.121 Calcular a soma dos termos das seguintes sequências 1 1 22 bi ta segui a nã. 25" 125 3.8 1 42 14 os dy Cos To ) D.122 Calcular a soma da série infinita | renda dede Deus to +2-49) D.123 Qual é o número para o qual converge a série D.125 Qual é à geratriz das dízimas periódicas abaixo? bl 54212121 d) 9,3858585... 0.126 (MAPOFEI-75) Determinar a fração geratriz do número decimal periódico N Pragas. D.127 Qual o erro cometido quando, em vez de soma a soma dos infinitos elementos da P.G. abaixo? 22, ng Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ infinita com razão q = r Os 1000 elementos iniciais, calcula-se . ; 1 ; D.128 (FEI-1967) Mostre que existe a P.G. cujos três primeiros termos são a De B determine O limits da soma dos n primeiros termos, quando n>s. D.128 (FAUSP-67] A soma dos termos de ordem ímpar de uma P.G. infinita é 20 e à soma das termos de ordem par é 10. Obter o primeiro termo. D.130 A soma dos termos de ordem impar de uma P.G. infinitaeé 17 e a soma dos termos de 7 ordem par é u - Calcular O primeiro termo da progressão. 2 2 D.131 (ENE-59) Numa P.G a - — 28º (o, Matt Ma2+41) ME com a > 0, Pede-se: a) estabelecer à conjunto de valores de a para Os quais a P.G. é decrescente b) calcular o limite da soma dos termos para q = a - 1. D.132 (EPUSP-67) Divíde-sa um segmento de comprimento m em três partes iguais e retira-se a perte central; para cada um dos segmentos repete-se o procasso, retirando-se suas partes centrais é assim sucessivamente. Calcular a soma dos comprimentos retirados, D.133 (EPUSP-65I É dado um triângulo de perímetro p. Com vértices nos pontos médios dos seus lados, constrói-sa um 29 triângulo, Com vértices nos pontos médios dos lados do 2º constrói-sa um 3º triângulo é assim por diante. Qual é o limite cia soma dos perímetros dos triêngulos construídos? D.134 (FAUUSP-67) É dada uma segúência infinita de quadriláteras, cada um, a partir do segundo, tendo por vértices os pontos médios dos lados do anterior. Obter a soma das áreas das quadritáteros em função da área A do primeiro. D.135 Num triângulo equitátero de lado a se inscreve uma circunferência de raio r. Nesta circunferência, se inscreve um triângulo equilátero de lado 4º e neste inscreve-se uma circunferência de raio r, Repere-se indefinidamente a operação de inscrição A>054A Pede-se calcular: a) o limite da soma dos lados dos triângulos; bj o limite da soma dos raios das circunferências; e) é limite da soma das áreas dos triângulos; d) o limite da soma das áreas dos círculos. B.138 Num quadrado de lado 8 inscreve-se um círculo; nesta círculo se inscreve um novo qua- drado e neste um novo círculo. Repetindo-se a operação indefinidamente, pede-se: a) a soma dos perimetos de todos os quadrados; bl a soma das perimatros de todos os círculos; c) a soma das áreas de todos os quadrados; d) a soma das áreas de todos os círculos. http: OS MAIORAIS EM ÁLGEBRA Solicitado a relacionar os vinte maiores aigebristas de todos os tempos, 9 grande matemático francês André Veil, um dos componentes do grupo Bourbaki, alinhou os seguintes nomes: Fermat (1601 — 1665) Euler (1707 — 1783) Lagrange (1736 — 1813) Legendre (1752 — 1833) Gauss (1777 — 1855) Dirichlet (1805 — 1859) Kummer (1810 — 1893) Hermite (1822 — 1901) Eisenstein (1823 — 1852) Kronecker (1823 — 1891) Riemann (1823 — 1891) Dedekind (1831 — 1921) H. Weber (1842 — 1913) Hensal (1861 — 1941) Hilbert (1862 — 1943) Takagi (1875 — 1960) Hecke (1887 — 1947) Artin (1898 — 1962) Hasse t1gas — , Chevalley (1909 — ) : : o Esta lista é, no entanto, considerada incompleta uma vez que, por uma que: butãoderelegância, Veil não se incluiu na relação, faltando com a verdade. Para mais, acesse: http:fuvestibular. com br/ CAPÍTULO IV MATRIZES |. NOÇÃO DE MATRIZ Dados dois números m e n naturais e não nulas, chama-se matriz m por n findicase m x n) toda tabela M formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas. 30. Exemplos 3 5/41 y êmatiz2X3 o & vã 5 4.3 2 |5 2)émaviz3x2 a fo .s 1 7)émarizixa 4, 1| êmariz 3X 1 1 2 j 5) é matriz 2X 2 3 7 - Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 38. Exemplos Para mais, acesse: htrprituvestibukgpomifiipondo À + A = M = 0, resulta: 123 44 4 144 2.1 3+1 19 + “ - 4 5 6 4 0 -6 4-4 5+0 6-6 5 14 “lo 5 o , B 01 7+0 8+1 79 29) + - = 929 23 9+2 943 na 5 1 5+1 6 a fil + |-z[=|n-2h-]9 3 3 3 15 4] at a 39. Teorema A adição de matrizes do tipo m x n goza das seguintes propriedades: (1) éassociativa: (A + B)+C- A+(B+C) quaisquer que sejam A, Be C do tipo m X n. (2) é comutativa: A + B-=B + A quaisquer que sejam A e B, do tipo mX n. (3) tem elemento neutro: 3 MIA + M = A qualquer que seja A do tipo m X n. (4) toda elemento tem simétrico: para todo A do tipo mX nº 3 ATA+A-M. Demonstração (1) Fazendo (A +B)+C=Xe A+(B+C)=Y, temos: xp = lag+bj+e att) vi para todo i e todo j. (2) Fazendo ÀA + B=XeB+A=õY, temos: Xj=aptbj=bjtaj=yi (3) Impondo A + M= A, resulta: aytmj=ag=—= mj=-0->M=0 isto é, o elemento neutro é a matriz nula do tipo m x n. 40D aj taj= 0== aj = cai VLS isto é, a simétrica da matriz A para a adição é a matriz A' de mesmo tipa que A, na qual cada elemento é simétrico do correspondente em A. 40. Definição Dada a matriz A = (aim x n. Chama-se oposta de A (indica-se - A) a matriz A” tal que A+A'=0. Exemplos 12 10 -2 1 A= => À = 4 4 -3 5 3 “5 8 7 9 O - ==» "A = ZA Lá oq [3 0 1 9. Definição Dadas duas matrizes A = (ajjjmxn & B= (bijlmxn, Chama-se diferença 4 - 8 a matriz soma de A com a oposta de B. Exemplo “ 81 00 1.1]. 4 71 47 8/41 n ga o casca IH 98 70 Cla 47 4 7.8 4 5 3.1.2 EXERCICIOS 5 8 o =1 D.141 Dadas A = eB= . calcular A+BeA-B Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 41-D 15 q 2 4 6 q 4 es iramais acesse nutpy/nyvesbulD.148/esolver a equação matricial X - A - B = C, sendo dadas: 0.142 Dadas A = B= ec- 3 9 1 8 10 12 1 47 calcular A+B+CA-B+CA-B-Ce A+B-C D.143 Calcular & soma C = (cijlaxs das matrizes A = (ajlaxs e E = (bj)3x3 tais que aj=P+P e bj-2j D.146 Seja C = (cijla xa à soma das matrizes A = eB- Calcular a soma cy + cx + 03) D.145 Determinar, €, À, y é 5 de modo que se tenha: qa 2 8 3 2 + - 1.2 [E 7 ô D.146 Determinar x e y de modo que se tenha v3 3x -, x? 14 ER + + - v2 4x Wo x? 2.2 101 D.147 Dadas as matrizes: 1 2 [E A As B- eC= 2.3 7 6 5-2 determinar a matriz X tal Solução 1 xy Fazendo X = + 2. 22+2=2et+3=8) — o 4 —» (x Qy-=-42=-0et=5 então X= o 5 Solução 2 Utilizando as propriedades da adição, temos: X+A=-B-C==X+A-A=B-C/ADDSK=-B-C-A 47 1.2 o 4 então: X= - - - 10 1.5 1-2 A= .B- ec- 72 2 4 3. 5 D.148 Obter X tal que 1 5 1 x+laj=|7l+]- 7 2 -2 V. PRODUTO DE NÚMERO POR MATRIZ 42. Definição Dado um número k e uma matriz A — taylm x n chama-se produto kA a ma- triz 8 - (bijkmxn tal que bj = k aj para todo i e todo j Isto significa que multipli- car uma matriz À por um número k é construir uma matriz B formada pelos ele- mentos de À todos multiplicados por k. 48. Exemplos 1 7 2 199 3+ = 5 -1.-2 4 4 -& 3 2 6 15 -3 -6 02 012 2) 4 6 =|4 3 2 10 12 5 6 -3 44, Teorema O produto de um número por uma matriz goza das seguintes propriedades: (Da-tb-A)=(ab): A Qla-(A+B)=a-A+a-B Bla+b).A-a A+b-A MM 1: A=A onde A e B são matrizes quaisquer do tipo m x ne ae b são números reais quaisquer. Deixamos a demonstração deste teorema coma exercício para o leitor. Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ EXERCÍCIOS Para mais, acesse: http://fuvestibulap D.150 Calcular as matrizes 2A, 38. e 5 ta + B), sendo dadas 1 A-= 5 E a determinar X em cada uma das equaçãas abaixo: a) 2X+A=3B+C O CG IXHA=B-X 1 1 x b)Xx+A=5(B-€C) SD X-A-B=qix c) D,152 Hesaiver o sistema: Xx+Y=3A 2 0 1 5 onde A = eB= X-Y=28 oa 3 0 Solução Somando membro à membro as duas equações, resulta: X+V+X-Y=3A+78 ===52%-3A+28 =x = 5 (34 +28) Subtraindo membro a membro as duss equações, resulta: X+V-X+Y=3A-28 ===22y. 34-28 = v = tia - 281 epa eso elo) lo 2] D.153 Determinar as matrizes X e Y que satisfazem o sistema t +Y=A X-v.8 senda dadas A =[1 4 ve B=-f2 1 5] D.154 Obter X e Y a partir do sistema: 1 2 2X +3Y=A+B onde A-|3)] eB-|5 3X +4Y=A-B 9 o "PRODUTO DE MATRIZES 45. Definição Dadas duas matrizes A = (ajjlmxn & B = (bjkln xp. Chama-se produto AB a matriz C = (ciklmxp tal que n ck = an cb tam eba tas bat... tam o bok = z aij Dik Jetodo kE (1,2, para todo E (1, 2... 46. Observações 12) À definição dada garante a existência do produto AB somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B, pois À é do tipom x ne Bédo tiponxp. 22) A definição dada afirma que o produto AB é uma matriz que tem o núme- to de linhas de A e o número de colunas de B, pois C = AB é do tipom x p. 32) Ainda pela definição, um elemento ci da matriz AB deve ser obtido pelo procedimento seguinte: (1) toma-se a linha i da matriz A. tn efementos) (LI) toma-se a coluna k da matriz B: in elementos) Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/  dn tam + and to +a +. + ando =ag-Otap-O+tazeO+.tajeit.tancO=a; para todos 1 e j, então A «lp = A, IH) Analogamente 49. Teorema A multiplicação de matrizes goza das propriedades seguintes: (1) é associativa: (ABJC = A(BC) quaisquer que sejam as matrizes A = (a;Jmxn. B = (bjelnxp € C = (ckLpxr (2) é distributiva à direita em retação à adição: (A + BIC = AC + BC quaisquer que sejam as matrizes À = (ajlmxn, B = (bjlmxn €C= (eudoxp (3) é distributiva à esquerda: CIA + Bj = CA + CB quaisquer que sejam as matrizes A = (ajlmxn. B = (bilmxn e C= (Ceilpxm (4) (KAJB = A(kB) - k(AB) Quaisquer que sejam o número ke as matrizes À = lajlmxo eB= (bjklnxp Demonstração (tt) Fazendo D = AB = (diidmxp: E = (AB) C =fegimx,e F = BC = = (fiBnxr temos: Pp P n eu= dk * Cf = y y aj by | Cg= k=1 k=t A j=1 »/ a n e 250 Dactuema=S a 3 beca) KA ja fds k=1 = aj tg j= então, (AB)C = A(BC) Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 50-D Para mais, acesse: http:fuvestibular.com, py ê Fazendo D = (A + BJ C = (dy)mxp. temos n n dk = j la; + Bj) ck = y tapo ok + bro) = j=1 i=1 o n aj Gk + z bi * cu então, ist ic1 (A +B)C=AC+BC (3) Análoga a (2) (4) Fazendo C=kA = ttilmn D=KkB = (dicdnxp º E= AB = teme temos: n n a õ cnrbu= 5 kaj) by = KY asj * Dik is i= ia n n 5 ar dk =5 ajrtkobyd = Kaio by i=1 j=1 in então, (KA)B = A(kB) = k(AB) 50. Observações 12) É muito importante notar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, para duas matrizes quaisquer A e E é falso que AB = BA necessariamente. Exemplos 19) Há casos em que existe AB e não existe BA. Isto ocorre quando À é mxnBénxpemáp: A e B =» 3 AB ma a mXn nXp =... E nd B e. .A — BA [EÓR) —— nXp mXn 20) Há casos em que existem AB e BA, porém são matrizes de tipos diferentes e, portanto, AB * BA. Isto ocorre quando À é m x n, Bénxmem A e 8 Rd a AB PRA — pa mXn nXm mXm A —, a BA PEA A mx as nXn 30) Mesmo nos casos em que AB e BA são do mesmo tipo (o que ocorre quando A e B são quadradas e de mesma ordem), temos quase sempre AB + BA. Assim, por exemplo: 10 . [4 5 4 5 A- e B- =» AB = e 23 so 26 10 1415 BA = s o 23) Quando A e B são tais que AB = BA, dizemos que À e B comutam. Notemos que uma condição necessária para 4 e B comutarem é que sejam quadradas e de mesma ordem. men Se hitpuntuvestibularcom 88) É importante observar também que a implicação: AB-O >A -0 o B-D não é válida para matrizes, isto é, é possível encontrar duas matrizes não mulas cujo produto é a matriz nula. Exemplo 1 0 oo oo o o|le 1] lo o EXERCIGIOS 1 4 D.162 Sendo A = - À qual das matrizes abaixo comut: com A? [8 2.2 oo 5.2 D- E- MA 1 1.0 D 3 D.163 saberia xey de Da que as matrizes 1.2 01 A- e B- comum. 10 xy 1 1 D.164 Obter todas as motrizes B que comutam com A = [ | 3.0 Solução Natemos inicialments que uma condição necessária pare que A e B sejam comutávais é que A e B sejam quadracas e de mesma ordem. Assim, fazendo se?» 1 alfa b a blj1i a - temos: = k ca 3 olic a calls o) et a-cea+3b (1) a-c b-d a+3b a b-d=-a B 3a ab | oras ce | Se J=c+3d ) 3h = -c 0) De (1) e (3) vemce 3h De(2)e (3) vemd=-a+b a b Resposta: B = coma, b CIR -% a+b Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ Exemplos a b 1 0 19) comuta com cd 04 a b oo 29) comuta com cd 0 a b d -b 39) comuta com c d = a 52-D 53-D D.165 Calcular, em cada caso, as matrizes que comutam com A. 241 01 100 a) A = b) A = cl A = 1.0 11 1410 914 D.186 Provar que se A e 8 são matrizes comutáveis, então vale a igualdade: A+ BIIA-B)-A?-B? Solução Lembrando que AB = BA <> BA - AB = 0, temos: tA+BLIA-BI=A(A-BI+4B(A-B)= Ai -AB+BA-Bi= AZ +(BA-AB)-B2. A2+0-Bi-a?.B? D.167 Provar que se A e B são matrizes comutáveis, então valem as seguintes igualdades: a da+B? 248 + 8? bi ta - BI 2AB + B2 o (A + Bj? 3A?B + 3AB? + Bà ata -B? - 3A?B + 3AB? - E? e; (AB)? - AP 13 o 8 D.168 Sendo A = eB- , calcular: 2 4 3 q ata +e? e A QA + AE bi (A + BI tA - B) dA D.169 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que x” Salução ab a blla b oo Fazendo X =| | resulta; e alle alo o at +bc ab+bd o 0 = então co+de crd o o 2 +be-o (1) be+a-0 (2) clata=0 (3) rbe+di-o (4) *º possibilidade: b = 0 Dosd-0-2-0 Dogs a o fora tdo 0 (O) é mta VER Para mals, acesse: httpu//fuvestibular.com br28 possibilidade: b & O Q)=e+d=-0=d - a OO E Respasta: c 0 a b x-| dJomeen ou X= a coma, b,cEIR D.170 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X = ly D.171 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X2 = X. Vil. MATRIZ TRANSPOSTA 51. Definição Dada uma matriz A = (ajjlmxn: chama-se transposta de A a matriz A! = (ajbnxm tal que af ij, para todo i e todo j. Isto significa que, por exemplo, ai, 851. a%, =, By. SãO respectivamente iguais a aj, 412, ass eu Aini vale dizer que a 12 coluna de A! é igual à 12 linha de A. Repetindo o raciocínio, chegarfamos à conclusão de que as colunas de A! são ordenadamente iguais às linhas de A. 52. Exemplos ma=[? = anel? 1] cd bd a d a be 2PjA- =» al-|b e def cf o 3 aMA=|1 3 5 7/|-> At-= [ ] 5 7 Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 54-D  e então: 3 3 ] Para mais, acesse: http:/fuvestlbular.com.br/ ? 39) Qual é a inversa da matriz a-[é q a+2c0=1,4+80=0,b+2d-0c4b+8d=1 impossível impossível “ a b Fazendo A =] « temos: portanto, não existem a, b, 6, d satisfazendo a definição. ASAS ab 3.9 10 va "calls nJlo ay 59) Qual éa inversa damaviza=)2 3 1]? 3+5b Ja+tlb 10 181 — - 3% +5d Te+1id 01 a bo a ; Pela definição de igualdade de matrizes, temos: Fazendo AC =| d e f |, resulta: 9 hi 3% +5b=-1 , 7 =" 20" € b=5 a bc 11 o 0 ft Mb=0 AtA-Leld e t|l2 3 14j-Jo 1 0|= é Gg hi 4 91 0 01 3 + 5d = 0 s,4 E pt at tc0a a+2b+4 a+3b+M atb+c 20 te + Md = = |d+%+4f d+3+9 dte +t |= 1 mn 7 9g+2h+4 9+3h+9 g+h+Hi 0 à ci õ isto é, A! = pois temos também: Devemos ter: [4 +2b+4c=1 + -s a+3b+90=0D == 93=-3 b=4,c=-1 at+b+c=0 - 5 d+2% +4t- aad3 0? 2 ro -+ d+3e+9f=1 == d-10=- 5,1 5 5 5 3 01 dte+f=0 2 2 9gt+2h+4-0 5 1 g+3h+9-0 =»9-3h=- qul= 5 1 2 a E 49) A matriz Josi (não é inversível) pois se A! | ] gth+i=1 48 cd a portanto vem: o a 8 cd 01 as 2a a+2e b+2d 1 0 2 ? - - a 5 4 44 +8c 4b+8d 0/1 2 2 Para mais, acesse: http://fuvestibular.com.br/ 61-D 60-D 60. Observação Do exposto observamos que, para determinar a inversa de uma matriz quadrada de ordem n, temos de obter nº incógnitas, resolvendo n sistemas de n equações a n incógnitas cada um. Isto não é nada prático. No final do capitulo sobre determinantes expomos um outro método para obter a inversa de uma matriz. Uma aplicação prática da inversa de uma matriz é exposta no início do capítulo sobre sistemas lineares. ExERCÍCIOS D.176 Determinar a inversa de cada matriz abaixo: eo des) 110 101 1 9 5 A-|[1 0 17 B=[1 c- 1.2 01 1 1 2 4 4 4 D.178 Resolver a equação matricial: 3 4 4 x- 23 4. Solução 1 4 1 ' , Fazendo É | =A d! 1 ] = E, vamos que à equação dado é AX - B. 23 o Temos: FAX Aé2X20XEMXn-=m=2 AX=B e Bégxi=n=1 a Fuzendo X = [ | vem: b 3 alla 4 32 + 4b a [area - cs - = 2 3])lb a 22 + 3h A [20 +36 0-1 11 e en, sem ct entao x | 1 Para mais, acesse: http://tuvestibular com Solução 2 Notando que se A é maviz inversível, então AX = B «+ X = A"! 8, temos: LTD] D.179 Resolver as equações matriciais abaixo: 1.2 13 cosa sena cos2a a) Xx= eh X- 1a 18 -sena cosa sen 2a 3 4 7 01 9 b) x = at X= 2.3 5 10 -7 D.180 Resolver as equações matriciais abaixo: 1 0 5 0 4 + a) 214.0 Xx=|7 bh x o 1 2|=|-3 3.4 2 123 -6 D.181 Expressar X em função de A, B e CG, mbendo que A, B e C são matrizes quadradas de ordem n inversívais e AXB - C Solução Vamos multiplicar ambos os membros da igualdade AXB = C por A”!; at axe = AlÇ exe = ATC e» xB = AIC Vamos multiplicar ambos os membros da igualdade XB = AIC por B xs! = Alea! eo xp o Atol es x Alcg Temos, portanto: x = Alca! * D.182 Sendo A é E matrizes inversíveis de ordem n, isolar X a partir de cada equação abaixo: a) Ax-B di BAX-A b) AXB= In eh (AxX)Í- E co) taxit=e 9 ta+xt=s D.183 Determinar X tal que: 1 2 2.3 0 1 a) x - 1 3 3 5 1.0 2 2 1 2 17 bi + .X= ER 3 5 2 7 Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 62-D 63-D D.aB4 D.185 D.186 Provar que se A e B são matrizas inversíveis de ordem n, emtão (ABIT og LAT acesse hitpouvestibular.com bo Solução Para provarmas que C - BIAL é a matriz inversa de AB, basta mostrar que CtABh = (AB) C = Ih. De fato: cias = (B/a-" (ap) = BA TAB - 88 = BB - In aeic- (am (Bla l)=ate DAT ana to As ls ta Provar que se A, B e € são matrizes inversíveis de ardem n, então (ABC * = C !BTtar!, Verificar diretamente que sa A é uma matriz inversível de ordem 2, então (A!) Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ D.191 Calcular os determinantes pela regra de Sarrus: Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 110 13. 2 351 7 alo 10 bi 0 2 o 2. 1-3 011 25 1 54 2 D.182 Calcular os determinantes peta regra de Sarrus: 97 4 O a 2.1.0 aa j-2 1/13 bi|-c Ob dlm on 2 s 3 6 a bo 3 5 4 D,193 Determinar x tal que 1 = x 1 na 1 x 2 a]? 2 1 |-0b | 1 1 x |-0 0 | -2 x 4 |=0 3 x+1 4 1x 1 103 0.194 Determinar x tal que 3x 2x 4x ll. MENOR COMPLEMENTAR E COMPLEMENTO ALGÉBRICO 64. Definição Consideremos uma matriz M de ordem n 2 2; seja aj um elemento de M, Definimos menor complementar do elemento aj & indicamos por Dj, como sendo o determinante da matriz que se obtém, suprimindo a linha i e coluna j de M. 65. Exemplos 3 1NSejaM-|2 1 5 e calculemos Du, Day, Da. 3 3. 2 . Qua 1 Temos: 2 4 5 |emão Dy =-13 ! 2 332 4 3 4 &oD 3 4 : - ' . -- 1—5 lemão Dy =| 4 3 32 4 32 4 | 3 4 2 4 5 [então Dy = 5 Da: e calculemos Di, Do. então Dy, = |5l = 5. 66. Definição Consideremos uma matriz de ordem n 2 2; seja a; um elemento de M. Detinimos complemento algébrico do elemento 2; (ou cofator de aj), é indicamos par A;j, como sendo o número (-1)%. Dj. Exemplo 2 3.- SejaM=| 1 4 8 | ecolculemos Ay, Aú, Ar: 75 3 Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 70-D 71-D  3.2 67. Exemplos Para mais, acesse: http://fuvestibular.com.br/ Temos 1/4 8 jentão Ay = (It -28 19) b | " q [53º Antec Ansa (WE laloce (cn. Ibl=ad-be 7 5 3 29,| Fã b c &| e f|=a Antd-Antg: Ay= gd hi então Ar = (-1)!t2 = 53 que coincide com a definição particular dada em II. - 2-3) -2 1 8 +de(-1'. +get=1)t. + 4 8 então Ap = (-1)3 : -23 | =a (1). =alei - ht) - dtbi - ch) +albf - ce) = aei + dhe + gbf - gos - dbi - ahf que coincide com & definição dada em (1) (ver regra de Sarrus). k IV DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE POR RECORRENCIA o : (Caso Geral) Spsf1 2-2 aso Geral : O) 2 O Já vimos em (11) a definição de determinante para matrizes de ordem ola 4 2 [730 AntO AntD An+D: Ag 1, 2 e 3 Vamos agora, com o auxílio de conceito do cofator (complemento : a o o algébrico) dar a definição de determinante, válida para matrizes de ordem $/1 33 n qualquer. 20 4 . Seja M uma matriz de ordem n. Definimos determinante da matriz M, =3-.An=3- (la 1 2 1.3.62-186. e indicamos por det M, da seguinte forma: 1 3.3 1º) Se M é de ordem ?, então M = lay] e detM = ay sflid2 1a 29) Se M é de ordem n > 2, então gia 4 au dn am ã o =1:Ant2:A9+3:AytdeAn= M= am le definimos det M = - 4 2 5 1 1 2141 am =| 0 -2. o 2|+3.]1 4 3 n =ant Antanc Antas Ant tan Am SO ae Ai 3 2.- -5 3 -5 211 . . 4 -4.|1 4 3 =20- 4-9 + 3. (-48) - 4. (14) = 176. Isto é, o determinante de uma matriz de ordem n 2 2 é a soma dos pro- dutos dos elementos da 12 coluna, pelos respectivos cofatores. 0 Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 72-D 73D 68. Observação V. TEOREMA FUNDAMENTAL (DE LAPLACE) XE Para mais, acesse: http://fuvestl Notemos que fexemplo 4º), quando a 12 coluna não possui zeros, o cálculo do determinante torna-se trabalhoso, Isto pode ser atenuado, de certo modo, com o teorema que veremos a seguir, O determinante de uma matriz M, de ordem n > 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fita qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Isto é, a) Se escolhermos a coluna j da matriz M EXERCICIOS dn dn dj) mn D.195 Seja u an à ag). am 2 1 3 A , errar M= 5 2 1 am An e | êni) Am [3 To- Calcular Day. Da, Das, então detM-ayAj ta At tamo An; D.196 Encontrar o cofator de 3 na matriz . . r bj Se escolhermos a linha i da matriz M D.197 Seja j aj ia in + o o o o za o cantam nana M= + calcular Dy3, Dos, Dy. D. 3 3 * a “ àn 2n2 2nn 4 5 7.8 « o então detM=a - Aytap: At. tam o Ain D.198 Seja x r - Portanto, para calcularmos um determinante, não precisamos necessariamente 10 2.0 dos etementos da 12 coluna e seus cofatores; qualquer outra coluna (ou linha) com 13/40 seus cofatores permitem seu cálculo. M = + calcular Di, Dao, Das, Das 5 2. 42 Para calcularmos o determinante. 2.2 03 L 12414 D.199 Calculor os determinantes das matrizes abaixo, usando é definição: 2143 10 4 24 2 4 23 4 2 041.0 3002 ab M — bo M= 053 o 2 1 43 25 41 00 3010 Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 74-D 75-D 1141 111 =5-7-2-.2-]1 2 2/=140:]1 2 318 31 39) 123 1 Ki[4 5 6j=|4 5 6 |-|4 718 5 1 8 5 78 4º) Se A é matriz de ordem n, então detta- Aj=0" . dera, * 72. (P,) Troca de filas paralelas Seja M uma matriz de ordem n, 2, Se trocarmos de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) abteremos uma nova matriz Mº tal que detM' = -detM. Demonstração Vamos usar o princípio da indução finita. Ê Parte Provemos que a propriedade vale para n = 2 : au Bu Seja M = .detM = an aa ap» 8a da dm Trocando de posição as linhas, obtemos: à a Me[O Ci detM=ay a - Bm: Bm = -deiM êm nm Trocando de posição as colunas, obtemos: ar an = 2 => detM' = am aan * a =-detM. da da 2? Parte Admitamos que a propriedade seja válida para matrizes de ordem (n - 1) e provemos que ela também será válida para matrizes de ordem n. Para mais, acesse: httpyituvestibular. coigmemos a linha i, admitindo que ela não seja nenhuma das duas que tenham sido trocadas de lugar. Desenvolvendo det M-e det M' por esta linha, temos: a n derM = 5" aj" Ay é der = 5" aj e i=+ j=t Como cada cofator Aí é obtido de Aj trocando de posição duas linhas e, por hipótese de indução, Dj = Dj. Yj E (1, 2, .., nº, segue que, Aj =-Aj, VIC (1,2.., n; e, portanto, detM' = -detM, A demonstração seria análoga se trocássemos de posição duas colunas. Exemplos 19/3 4 72 =-22, = 22 72 3 4 21 4 4 714 1 1 2) = 37, 21 3/-=37 3.2 230 Ko. (Pç) Filas paraleias iguais «Ou Se uma matriz M de ordem n = 2 tem duas filas paratelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então det M = 0, Demonstração Suponhamos. que as linhas de índices i e k sejam formadas por elementos respectivamente iguais, isto é, ay - aj Vi e 2Z,nh De acordo com a propriedade Ps, se trocarmos de posição estas duas linhas, obteremos uma nova matriz M' tal que det M' = -derM (I). Por outro lado, M = M' (pois as filas paralelas trocadas são iguais), Logo detM' = detM (II). De (l) e (11) concluímos que detM = -deiM —>» 2 detM = O => det M = O. Analogamente se demonstra para o caso de duas colunas iguais. Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 8o-D B1-D Exemplos e bic 3) 2 [3 147 Ô vw 8 1] =0. —— 7) 2 (7) a b e] 74. (Pç) Teorema de Cauchy A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz M, ordenadamente, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela, é igual a zero, Demonstração Seja Substituindo em M a s'ésima linha pela r'ésima, obteremos a matriz an Em an a àm am an am am M = à an am | linhas Para mais, acesse: http://fuvestibular.conPela Pç, det M' = Desenvolvendo det Mº pela s'ésima linha, detM =a, - Ag tê * Ag to. tam" An = 0 Observemos que os cofatores dos elementos da s'ésima linha de M, são os mesmos que os da s'ésima linha de Mº, A demonstração é análoga se tomarmos em M duas colunas. Exemplo 3 4 2] 125 18 linha 42] 38 linha ay dy dya + elementos Asi Ay Ass > cofatores 3 4 An = o 13 =5 2 3 [71% Ano 2 [213 6 Ano an Antaro Antas: Ag=-30 1444: (13542: 5-0 K75. (P,) Filas paralelas proporcionais Se uma matriz M de ordem n = 2 tem duas filas paraleias (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais então detM = 0. Demonstração Suponhamos que as linhas de índices i e p de M sejam formadas por ele- mentos proporcionais, isto é aj-Kay TEL Então Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 82-D 83-D linha i » Kas Kao KBpa | P P, p p: pr Papo, 50 det M = api Apr 2pn dinl ha p am êna Zmn an anz Inn A demonstração seria análoga se tivéssemos duas colunas proporcionais. Exemplo 1 2x x 2 | y ll: O (22 e 32 colunas proporcionais). 3 iZzz z LEO] EXERCÍCIOS D.203 Calcular os determinantes, utilizando as propriedades anteriores: a) lax da a? bjx xy? x x 4 q xo yo y x 6 2 ovo x ol2 3 68 mn a|3 50 4 7 7 149 22 213 019 17 4” 15 55 92 27 0 25 35 8 49 30 121 16 51 O 42 47 27 3 0 M 49 D,204 Provar gue us determinantes abaixo são múltiplos de 12, sem desenvalvê-los. 112 4 21 3 mn 12.5 Di=|5 24 13 o 48 12 8 Da-[3 115 7 36 17 “Cho 5 918 5 13 25 1 7 3/15 Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ D.205 Sem desenvolver, dizer at 4 3 5 9 b)ja 201/15 27 b 20 12 25 41 c 28 223 35 64 d D.206 Sem desenvolver nenhum dos determinantes, 2 y3 yê vovlo yo y D= z 22 23 24 vt toa be D.207 Sem desenvoiver provar que: ac ab Solução porque o valor dos determinantes abaixo é zero. a ab oO |x xy xy bc vo vz xyz cb 2 xz x? da provar que D' - 8 + D, sabendo que: Ex 2x2 qdo axt dolo yo az mo 23 2 a to yo q a? Toa al b2j=[1 b2 63 o 1.2 Multiplicamos a 12 Jinha por 4,a 2 porbea 22 por e de uv a? abe a? ao bb) lap pê ab cel be abe «2 2Y D.208 Sem desenvolver provar que: | xz xy 76. (Ps) Adição de detarminantes tais que: apo by ta ag = by + Ca; 23 - by + 03 isto é M= anj= bj * Cm então, teremos: Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 84-D a b3 va a 1a? a abe d2 pil=li pb? pi abc - 1 e e 1.02 [ros =|1 y2 y 1 22 É Seja M uma matriz de ordem n, onde os elementos da j'ésima coluna são an (byte am êm e (byte am do cm byte. Bm 85-D Exemplos 10 -H Para mais, acesse: htrp:/tuvestibuRhR bn Bponstrar à identidade : 5 7 -8 à multiplicada por (-3) 1 9 w o 00 -s 4 5 352.2 1 0 41 Adicionamos à 22 coluna, a 12 multiplicada por (-2). Adicionamos à 3? coluna, a 14 multiplicada por (-3) Adicionamos à 42 81. Observação coluna, a 12 multiplicada por (-4). A importância desta propriedade, reside no fato de que podemos “intro- duzir zeros” numa fila de uma matriz, sem alterar seu determinante; com isto, podemos facilitar bastante seu cálculo através do teorema de Laplace. EXERCÍCIOS D.209 (IE-HTAJUBÁ-65! Completar o que falta atbtc a-bte a-b-c D.210 tIME-65) Calcular a valor de 1 2 e 7 W 12 16.17 = 22 90-D 1 3 5 3 a 13 18 23 2 4 |: 8 4 9 14 19 24 5 10 o noos Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ D.212 D.213 Dia D.215 D216 a bc a bt e x y zl=|x yt2 2 mon p m nt+2p p 1FAM-64-MACK-68] Quais as condições necessárias e suficientes para que um deter- minante se anule? IFEI-64) Veriticar a identidade seguinte, aplicando as propriedades dos determinantes cos2a costa senta cos2b costb senlb| O cosze case sente Demonstrar sem desenvolver o determinante que: a-bom-n x-y bt-ec n-p y-2]=0 c-a p-m 2-x (EESCUSP) Enunciar as propriedades que permitem escrever sucessivamente: 123 1 3 4 112 42 as 8|-|4 9 »m|-6:[4 3 5|=6+[12 3 5]-0 78» 7 15 16 75 8 2 5 8 Provar que a determinante é múltiplo de 17, sem desenvolvêlo. Dado: 119 D-|1 8 7 1 3 Solução Olbservemos que se as etementos de uma matriz são números inteiros, então o deter- minante da matriz tumbém é número inteiro, portanto, provar que D é divisível por 17 & provar que: D-17+0' onde D' é o determinante de uma matriz de elementos inteiros. Temos, por exemplo Wo dO 9 100 do 119 1 1 1 me 7|= —— = D- mo" | 100 80 Tomo |100 SO 187 mo 50 3 100 50 158 11/19 117 =| 8 asrl=i-|1i 8 mn 1 5 153 15 9 , DEZ 2.217 Provar que o determinante é mútiplo de 13, sem" desenvolvêlo: 13 0 147 1.5 6 D.218 Demonstrar que o determinante D é divisível por x + 3a sem desenvolvêlo. Dado x a a a ax aa as xa aaa x D.279 Provar que atx btx c+x a+y b+y c+y)=Ib-clic-ala-bix-yl a? bz e D.220 Demonstrar a identidade a-b-c 2a % 2 b-c-a 2b -tasb+o) Ze Ze e-o-b D.22% Mostrar que (a + b + c) é lotar de: fb + ez bz e? a ta + cl e a? b2 fa + b)2 D.222 Sem desunvoiver, demonstrar que: cos0 cosa cos2a casa cosZa cosJa cos2a cos3a cosda D.223 Mostrar que 9 determinante da matriz coslx+a) sentx+a) 1 cosix+b) sentx+b) 1 costx+c) sentxte) 1 é independente de x. D.224 Provar que: a? ta+22 (a+4 (a+22 tara (a+62]=-2 +42 (+62 tara? para mais, acesse: hupytuvesibulBZem Pi) Matriz triangular Chamamos matriz triangular aquela cujos elementos situados “de um mes- mo lado” da diagonal principal são iguais a zero, isto é M = (aj) é triangular se =0 parai<i ou -=0 paraiDi O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Demonstração Consideremos a matriz triangular onde a; = O parai < | lo caso a; = 0 para > j é análogo). an 0 o o 0 an àm O o 0 M=|an am as O o nn mn 2n3 = ânn Aplicando sucessivamente o teorema de Laplace, através da 12 linha, é ime- diato que: detM=an* dp” Exemplos 199 |3 0 0 25 0/=3-+-5.1=15 4 341 23 235 014 7 =3:1:2-6-36 0 22 0 o 6 Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 93-D á 83. tP;;) Teorema de Binet . Para mais, acesse: Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então dettA - B) = (det Aj- (det B). 2.3 - temos, o 5 | det (AB) = 58 - 78 = -20 Exemplos 12 Sejam as matrizes À — 34 2% ArB= [: 29 detAÃ=4-6=-2 derB-10-0-10[ tdet A) + tdetB) = -20 = det (AB) Conseguência 1 Decorre do teorema que det (A) — . que det (A!) = a De fato, se = At, então: Acad =l, — det(A + Al =detl, > detta)- der(A!= 1 —s 1 =— det (A) É U- . —— det (A) + e det A ar VIt. ABAIXAMENTO DE ORDEM DE UM DETERMINANTE — REGRA DE CHIÓ Como consegiiência do teorema de Jacobi (Pro), veremos agora um proces- so útil, bastante prático, para reduzirmaos de uma unidade a ordem de um deter- mina 94-D nte de ordem n 2 2, sem alterá-lo, e consequentemente facilitar seu cálculo, Consideremos uma matriz M de ordem n 22, tal que ay = 1, isto é To am au êm an do as ain an do à am am ànz ana 2nn Para mais, acesse: . a a no o hupumestpulacom bficionemos à 28 coluna, a 18 multiplicada por -aa. Adicionemos à 32 coluna, a 12 multiplicada por -313. Adicionemos à f'ésima coluna, a 12 multiplicada por «ar. Adicionemos à n'ésima coluna, a 12 multiplicada por “Ay. to am ds Bin aj &m as az à 2» da San ani ênz ns ênn 1 o o au 0 dn dg - 2 td du — Bo + dt dan — dz * Bin detM' =) az aan dr dus Bs * da dan — 8 * din Ani Bozo Ant do Boa Bar" ds ànn — ân1* dim Pelo teorema de Laplace, temos: do» — do * dy da — dn * dis dn — do * Rm , az Ban d33- By cdi êm — am * am detM = an2 — Bai" da 3n3— ên1* An ênn — &n1* din onde det M' é de ordem (n - 1). isto pode ser resumido através da regra, conhecida como regra de Chió: 19) Desde que M tenha ay, = 1, suprimimos & 12 linha e 12 coluna de M. 29) De cada elemento restante na matriz, subtraímos o produto dos elem- tos que se encontram nas “extremidades das perpendiculares” traçadas do elemento considerado, à 12 linha e 12 coluna. httpifuvestibular.com.br/ 2 Parte Para mais, acesse: http:/fuvestibular.co Suponhamos a propriedade válida para matrizes de ordem tn- 1) e provemos sua validade para matrizes de ordem n. 1 1 1 =. 1 (a a a; as = a Ca) af aí a al fa) v= sentido das operações Adicionemos à linha de índice », a de índice n - 7 multiplicada por -a1. Adicionemos à linha de índice n - 7, a de índice n - 2 multiplicada por -a,. Adicionemos à tinha de índice 3, a de índice 2 multiplicada por -a,. Adicionemos à linha de índice 2, a de índice 1 multiplicada por -a1. Obteremos o determinante equivalente 14 1 4 0 a-a a- a . ana O antas - ay) dalas - aj) « anlan- a) -2 = - (nz- a) as2ta-a) apa, -a) Pelo teorema de Laplace e por (3) temos: 1 1 1 1 a a “an V=lay-a)betas-a)ertaç-a) | ad a ou apr? aprD o apo? Y Mas Wº é um determinante de Vandermonde de ordem n - 1, logo, por hipótese de indução V= E, assim, a propriedade é válida para matrizes de ordem n, Y n>2 87. Exemplos jr a Ra 2.3 4l-(4-3.-B.43-2)52 2 3 4] 9 A 16 De EXERCÍCIOS D.236 Calcular os determinantes: a fra 1 1 bjs e az) o li 11 2. a 5 7 3/5 a bo 2 4 9 25 49 “9 25 2a B 27 125 343 a boo doe a b? E a? é a [5 é E e do do e Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 100-D 101-D D.238 Caicular o determinante D.244 Demonstrar que se os elementos de uma matriz quadrada M, são números inteiros, 231 Para mais, acesse: httpy//fuvestibular. com bentão o determinante de M é um número inteiro. vox do voyvoyoy D.245 Calcular o determinante 2-3 41 p+2 1 7 z z » Pp ' k : vd “io 30 vv Êo p+1 (Pt 2 p»13, D.239 (EPUSP-57) Dado o polinômio vao 2148 vova a a +3 + + 153 vo CS is Ph) dizer quais são us raízes de Plxh. 1 a 9 pI3 p+4 p+5 1 8 27 1 8% fa É) .240 (EE LI D.240 [FE LINS-66) Calcular o determinante Sugestão: Relação de Stifei Voa va a 2 4 1 5 6 D.246 Demanstrar à identidade 2 24 E a bed 3 3 3 b e d a 2 aa 5 =-tasbsc+dila-b+c-allta-cP+ bd] Prga soe c das Posadas datos D.241 (IME-66) Determinar 0 valor numérico do determinante abaixo D.247 Demonstrar que num determinante de ums matriz simétrica, os complementos 1 1 : 1 algébricas de dois elementos situados simetricamonte em relação à diagonal principal são iguais. log 7 log 70 log 700 lag 7000 tlog 7)? (log 702 og 700)? (log 7000)? D.248 Em uma matriz quadrada de ordem n 3, os elementos de cada linha estão em P.G.. 3 23 é 3 Mostrar que o determinante de M se anula, quando 2 somente quando, duas progressões flog 7) Hog 70) tlog 700) (log 7000) têm a mesma razão. D.242 Resolver u equação D.249 Mostrar que na 1 122 2 12 «x -5 2 2 2 a -0 22 1/4 & 25 228 2[--2n-2u 18 125 EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES D.250 Provar que D.243 (EPUSP-61) Supondo positivos todos os elementos literais da matriz quadrada cotg À cog Bo cg E a a a 2 2 Z diodo da O a b ce l-o 1 , 1 no o o sendo A, 8, €, ângulos de um triângulo e a, b, e os lados respectivamente, opostos aos . . mesmos ângulos. e sendo n múltiplo de 4, qual & o sinal do determinante correspondente? s Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 102-D W3-D D.251 (FEIUC-58) Quantos termos se obtém no desenvolvimento do determinante de uma . APÊNDICE | matriz quadrada de 6 filas? ará mais, acesse: http//fuvestibular.com.br/ D.252 (ESAN-PUC-64) Determinar o valor de m que verifica a igualdade DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE LAPLACE Am,2 Ama Ama Vamos usar o princípio da indução finira. Cm,2 m 3 =-m 12 Parte mt mfm - 1) mn o Provemos que o teorema é válido para matrizes de ordem 2 D.253 Demonstrar que tada matriz anti-simétrica de ordem ímpar e elementos reais têm a z i “ 2 determinante nulo, Desenvolvendo pela 22 coluna: M an [am an Auta Ap=antlanltan(-1)clagl=am"a22 md * do detM. am ên Desenvolvendo pela 28 linha: M = age Anta Ao =amt-1) lanltag-lanl=agta-an- a =detM. Portanto, a propriedade é válida para n = 2, 22 Parte Admitamos que a propriedade seja válida para determinantes de ordem tn - 1) e provemos que ela também é válida para determinantes de ordem n. Seja M uma matriz de ordem n > 2. Os menores complementares dos elementos de M serão determinantes de ordem (n - 1). Vamos usar o símbolo DE para designar o determinante da matriz que se obtém, suprimindo as linhas i e k e as colunes j e £ da matriz M. É claro que Dij* é um determinante de ordem tn - 2). Fixemos a coluna k da matriz M(1 < k « n) e calculemos o número Came Am take Am tag Ag too tank Ank Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 104-D 105-D 3. Teorema Para mais, acesse: http: “se M é matriz quadrada de ordem n e 1, é matriz identidade de ordem n então MeM=M-M= det(M 1 Demonstração Seja M- M = (by). Por definição de produto de matrizes, a n bi — y aj Bj = y aj" A it io Logo, se i = k => by - det (M) (teorema de Laplace! se jk => by = O tteorema de Cauchy) Logo, M. M é a matriz diagonal detM 0 o o dim o o o dum = detMe 1, 0 0 0. dem Portanto, M- M = detM- 1 Analogamente, seja M + M = (cy). Por definição de produto de matrizes, Ei Logo, se i=k = cj = det |M) (teorema de Laplace) seifk => cx =0 (teorema de Cauchy) Logo, M- M é a matriz diagonal detM o 0 =. 0 0 detM o = deiM: o 0 det M q o 0 o o detM Portanto, M-M = det(M)- 1, (11) De | e Il concluímos então que: M-M=M-M=det(iM-l, inuvestipuldrom [Processo de cálculo da inversa de uma matriz quadrada M Teorema “Se M é uma matriz quadrada de ordem n e detM & 0, então a inversa de M é Demonstração Usando o teorema anterior, temos: 1 a 1 det M Mec MM So ctn=ta dD Mem MO ça! Do gordo ln ato Ly 1 a det M . - AM-M - =. " Cat MM = cem MM = guria 0! tm De (1) e (II) segue-se, por definição de matriz inversa, que 1 al MO = qu Retomando os exemplos anteriores, temos: 1 2) 4-2 19) M = | [esmo 3 4 -301 -2 1 -2 Logo Mt= 1 | 4 o -2|3 1 3.4 2 2 oz -3 2-2 2M=|2 1 3/.M=-|9 -6 1/.detM=-5 10 4 4 Logo 3.2 2 5 5 5 -3 2 2 - 1 8 8 1 1 el - + = Mmi=- cleo cs tds é 5 1 q , 1 1 1 1 5 505 Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 110-D nT-D Corolário Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ “Seja M uma matriz quadrada de ordem n. A inversa de M existe, se é somente se, det M = 0”. Demonstração a) Se det M & 0, pelo teorema anterior vimos que existe a inversa, e Ml = dam O M bjSe JM! então M.MI=1, e pelo teorema de Binet, (det M) (det M!) = detl, = 10, portanto, derM + 0. EXERCÍCIOS D.254 Calcular, usando a teoria precedente, as inversas das seguintes matrizes: & 3 7 -2 sena -cos a A- . B= .C- 8 b —10 5 cosa sena 1 o 0 91 0 1 0 0 D=[0 2 0/, E-=|[1 0 1|)eF-|3 10 o 03 110 5 7/4 Solução A matsiz M é inversívol se, e somente se, det M 5º O. Assim, temos: 5 5 m detM = «mM-5%0 => m£5 e ms D.256 Qual a condição sobre a para que a matriz 1 a a M=[|a 1 a] sia inversívai? a as Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ n12-D  “Deus criou os números inteiros” Leopold Kronecker nasceu na Alemanha, de pais judeus embora tenha optado pelo protestantismo. Foi um homem de negócios muito próspero e que mantinha fortes ligações com professores da Universidade de Berlim, onde aceitou um posto em 1883. Em contato com Weierstrass, Dirichtet, Jacobi e Steiner obteve seu doutora- mento em 1845 cam uma tese sobre teoria algébrica dos números. De acordo com Weierstrass, aprovava a aritmetização universal da Análise mas defendia uma Aritmética finita, entrando em conflito com Cantor. Insistia na idéia de que Aritmética e Análise deveriam basear-se nos números inteiros, os quais considerava como tendo sentido dado por Deus e rejeitava a construção dos números reais porque não poderia ser feita por processos finitos. Achava que os números irracionais não existiam, lutando pela sua extinção. Diz-se que perguntava à Lindemann para que servia sua prova de que 7 não é algébrico, já que os números irracionais não existiam. Kroneccker contribuiu significativamente para a Álgebra embora suas idéias na época, fossen consideradas metafísicas. Seu finitismo chegava a embaraçar Weierstrass mas foi a Cantor que atacou mais gravemente, opondo-se a que lhe dessem uma po- sição na Universidade de Berlim e, além disso, tentando derrotar e extinguir o ramo da Matemática que Cantor estava criando sobre a existência dos números transfinitos. Cantor defendeu-se num de seus artigos dizendo que numerações definidas podem ser feitas com conjuntos infinitos tão bem quanto com finitos, mas Kronecker conti- nuava seus ataques e críticas. Este conflito entre Cantor e Kronecker é considerado como a mais forte controvérsia do século XIX. Em 1887, com seu domínio de racio- nalidade, provou que o conjunto dos núme- ros da forma atb 2 onde aeb são racionais, é um corpo. Às vezes se diz que seu movimento sobre finitismo morreu de inanição mas reapareceria sob nova forma na obra de Poincaré e Brouwer. Leopold Kronecker (1823 — 1891) ara mais http: http: ibular.com.br CAPÍTULO VI SISTEMAS LINEARES 1. INTRODUÇÃO 88. Equação linear Chamamos de equação linear, nas incógnitas xy, xa, -.., Xn toda equação do tipo anx: +anX +anxst.tamk sb Os números aj, da, 213, am, todos reais, são chamados coeficientes e b, também real é O termo independente da equação. Exemplos 1º)3x + 4x, - 5xy- x, 5 29)2x -x-x4- 0 39) 0x, + 0x3 + Dxa = 4 49) 0x; + Ox, + 0x; + Oxg = O Observemos que não são lineares as equações: 19) 2x7 + 4x, + x5= 0 Bm trtra=3 9a tv -m= 4 89. Solução de uma equação linear Dizemos que a sequência ou ênupla ordenada de números reais tos, da, Ga os En) é uma solução da equação linear aux, Fax + ax +. anko=b se ano tana + ana +. lbular.com.br + ainOn = b for uma sentença verdadeira. 115-D es item á ses 1 > Exemplos D.262 Quais são os sistemas correspondentes às representações matriciais? Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 2X +y-3 2 1 2 1 3 ab 24 8 x o 51 A = e B- 10 n|-|y|]-|o Lx-v=4 1.1 1/14 3 7 s A o [x -ytz=1 3 11 - 1 S A- e B= bi x Léxty=7 4 10 1 0 7 É 5213 vj.|-2 15 24 2 3 EXERCÍCIOS t D.257 Dizer quais das equações abaixo são lineares: ad lab « a” Fox x + -2x4- 3 cds - ab A a ta ; xa . y 2 bl x) + mx + x3=n onde re n são constantes dadas et b od x-2y+37=4 dl ax +azx + asx = bonde u e b são constantes dades boji z x 1 e) 2x, + logx + xa - log2 o 2 3/-l|yl=[= Mr -mtm-Bxg-m-23=0 MEN Ba + NV 2xa + x3 = 5 Da + 3x dx + Bxg — 10 - 2x D.258 Verificar se (2, 0, -3) é solução de 2x4 + 5x2 + 2x3 = -2. D.259 Verificar se (1,1, -1, -1) é solução de 5x1 - 10x, - xa + 2x4 = O, D.260 Encontrar uma solução para a equação linear 2x) - xa - xa = O, diferente da solução 10,0, O. D.26% Escrever na forma matricial os seguintes sistemas: a (x-yvtz=-2 bj (3x -Sy+42-1=8 -x+2y +27 =6 Px ty -Ze=-3 x -yt52=1 -x-Bytz-R=t bx = y + 6t= 4 ch [axt+by+ez=d ad [VI -3y+22=7 “mx + ny = é +y-2=0 abx - b2y + mz a f Lax+ Ny + 2 = f) ax -by +22=1 dx-brtz-3 a (xty-z=3-1 h) tsena) x — (senb) y = 1 -x-y-22=1-R lcasb) x + 2 cosa) y = -1 Bx+3-7+1 tsenb) x -(3casa) y = -2 | onde a, b, são constantes dadas, D.263 Verificar se (0, -3, -4) é solução da sistema Cat y-z=) 2x- yrz- Lx+2y+z=2 D.264 Verificar se (1, 0, -2, 1) é solução do sistema x +3y-22-41=5 2x -4y +32 -5t=-8 -x+2y -52+31=12 D.265 Construir as matrizes incompleta e completa dos sistemas: al 3x -2y - 4 à-ax4 y-O Lage bt (xt dy o 7 =x gy -24 alça o pascy+ bz e coxrabz=d L-by + az = onde, a, b, €, d, e são dados. aC x+t y= 2x +3y =x +2y ei v=7 1 4 Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 120-D 121-D H. TEOREMA DE CRAMER Consideremos um sistema linear onde o número de equações é igual ao número de incógnitas (isto é, m = n). Nestas condições, A é matriz quadrada; seja D = det (A). 95. Teoreria Seja S um sistema linear dom número de equações igual ao de incógnitas. Se D * 0, então o sistema será possível e terá solução única (Ly, Gy Ga, css Gn), tal que À vic1,23 ny ande D; é o determinante da matriz obtida de A, substituindo-se a i coluna pela coluna dos termos independentes das equações do sistema. Demonsiração Consideremos o sistema: anX + ak + aaX Fo ft amXn O aunXi + BazXz + ajaX3 do f Ann S canxt ak + agxs dot aanXn DantXy + AnaX2 + ansXs + Consideremos as matrizes aro dm ce Mi e Bin x br dp am e dj am xa ba A-lan as ago an X=|x3]) cC=]b; âmo êm e Bm o êm xa by O sistema S pode ser escrito na forma matricial A. X = C, Provemos que tal equação matricial admite solução única. Por hipótese, D = 0, logo 3A!, Consideremos a matriz Xo = A provemos que ela é solução da equação matricial AX = €, Para mais, acesse: http://tuvestibular.com 8 fato: ATAC =(A-A!). Ca I,+C=C o que prova a existência da solução Xo = A.C Para provarmos que Xo = A"!. € é solução única, admitamos que AX = € tenha outra solução Xy, isto é AX, = C. Então: Xj = InXy = [ATAX, = ATAX,| = ATC Xo. Concluímos, assim, que Xp é efetivamente solução única de AX = €. Por outro lado, já vimos que A”* pode ser calculada pela fórmula An Au An Am Av An As e An As An Au Am Am Am e Am onde Aj é o cofaior do elemento aj da matriz A. Logo An An As bs An An Am bz Xo= A.C E : Ai Au As b; An Am Am Am br Tendo em conta que: o “a Xo =| às &n concluímos que aj é dado por a; = É tube + Aguda + Anda to + Anibod 4 D Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 122-D 123-D 96. Exemplo Seja o sistema fa +tytz 6 1 1 1 pXoy 2-4 temos: D=[1 tt 1 |[=4+0 Pe-ytz=1 24 1 Logo, o sistema tem solução única. Determinemos esta sotução o: Para mais, acesse: http:/fuvestibulárico 267 Resolver os sistemas abaixa “fue x- y-2 Lx+2+ D.268 (MAPOFE!-75) ferros -2x + 3y - 3 x+2-1 da -2+ -4y 1 37 3x + 2y 2-0 2-1 2-4 z Resalver, U f 2 La D.269 Hesolver o sistema pela regra de Cramer 6) 141 1 [6a D-|lal 3 4 |= D=| 1 |-4/-1 |=-12 a 2 [4/1 1 1 5 Da=-|1 4 |a]i- ca 2 4a Da a Da 8 Logo 2 3 2 DA 2 Portanto a solução única do sistema é (1, 3, 2). 97. Observação [xtvtaca $SBcy o 241 4 [BIZ By Solução admitindo 32 +2 40 e 2x +y £0, temos: Bay 3 2+1 2x ty então, temos o seguinte sistema x x x x x x x apiicando à regra de +y -Y +3 + yrz+t 12 t - viro t + yoz+m Cramer, -1€>2x-y - B+2<>2x-y- 3-2 =leoztlaBtyesaxty-z-1 o seguinte sistema: ' : 2 ini ai 4 - Os sistemas lineares que têm solução única são chamados possíveis e deter. a ; + 4 , , vm minados. BiyD EXERCICIOS va D= 24. -3 |[=10-6-4%0 D.266 Resolver os sistemas pela reyra de Cramer 244 a x-4y=0 fm y-2 3x +2y=5 x+3=-3 T]1 4 - 4 cor. De. 8.3 dra Dat y- 2-5 D: 2j1 3 ox doi 2x + x+W +42 -4 1/1441 Lda + LB toy-Zr= rx n xtytz+ to? 1 fila | x tt -2 D=-|2 |2/3|+ ..5 x M- y-z- to 4 2x x-9y+2+2t:0 2 u]Ju 124-D Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 125-D 2Mfx+y-zo + =0 D.275 Resolver os sistemas abaixo. +2t- Stz-a Para mais, acesse: http:fuvestibularcom lay (x +3y-2=1 bb fxtay-z=2 As vai is di de Ww+2z-2 ytz-3 variáveis livres são y e t; transpondo-as para o 20 membro das equaçõo 52-10 Teremos o sistemy as equações u fx-zevytot 3 = 4-% - y+3 772-0 Fazendo y = a & k-z=0+ 8 (O i 3- 4-2 O sistema é agora do 1º ti Resolvendo, O sm e factby= t=8 ão nú i n =BloeBsão números reais) teremos my-n Pp 2 a premeicaa l onda, à, b, 6, m, n são dados E atQlQem do. po (determinado), para cacta valor de a e def. IV. SISTEMAS EQUIVALENTES ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA em (0) x P, . . 100. Definição . ortanto, às soluções do sistema são as quédruplas ordenadas do tipo Satã +4 4- : : . : “ Lia d É Blonde a SR eger. Eis algumas: Dizemos que dois sistemas linsares S; e S, são equivalentes, se toda solução de S, for solução de S, e toda solução de S, for solução de S.. qa=0e8=-0-(4.q 4. B O 0 Exemplo x+2y=3 acMeB=2 > (11:02 s [ATHOS q=-1eg=3 -2.3 , 3 ss jrtw-3 ao EXERCICIOS Sy e S, são equivalentes, pois ambos são determinados (D + O, nos dois) e admitem m4.1.5 coma solução (- ..; 2). D.274 Quais dos sistemas abaixo estão na forma escalonada? 3 ) . Já que sistemas equivalentes têm as mesmas soluções lou ambos não tem a X-2y 8 Sib) [x-y- 2459 e 2x - 3y-0 . . . de . - yo Rs | WB ma v nenhumas, o que iremos fazer é transformar um sistema linear qualquer num ” . -8t— + 3 - . - “a os » , se ? outro equivalente, mas na forma escalonada. Isto porque sistemas na forma - É 2= a gal N . a escalonada são fáceis de serem resolvidos, Precisamos, então, saber que recursos E : va r usar para transformar um sistema $, num outro equivalente S,, na forma escalo- f Ie 5 PM lm-ys act nada. Estes recursos são dados por dois teoremas que veremos a seguir. v- 3-1 Se - 2-3 Br-M=3 130-D Para mais, acesse: http://fuvestibular.com.br/ 131-D 101. Teorema 1 Colocando tar, do, «., an) no 1º membro da iésima equação de 5, Para mais, acesse: http://luvestibulieçemos! *Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de um sistema li- near S, por um número K £ 0, o navo sistema S" obtido, será equivalente a 5º. Demonstração Seja aux +amnXa + tank = by ax taxa +. + anXn = bo Multiplicando a i'ésima equação de S por K £ O obteremos o sistema: aux tax +. tank =by dx, +azrxo +. Fam - bz st amixi + Am2x2 +... + amnXn = bm A única diferença entre S e S' é a Fósima equação. Portanto devemos nos preocupar apenas com ela. a) Suponhamos que (o, Ga, ., &n) é uma solução de S. Provemos que ela também será solução de Sº. De fato: por hipótese, aa, + apãy +... + amôn = bi; Colocando la, à2, an) no 19 membro da i'ésima equação de S', teremos: Kapú, + Kaga, + ... + Kanon = Ktanay + anão + + anên) = Kb; — di por hipótese o que prova que (aj, O», ..., Qn) satisfaz a i'ésima equação de S”. Logo (ot, à2, ., Gp) é solução de Sº. b) Suponhamos agora que (01, «5, ..., &n) é uma solução de S' e provemos que ela também será solução de S. De fato: por hipótese, Kaye + Kapta +... + Kajntn = Kbi K K K antty + ado +... + ant = ano + K aj +. + K einQn = K 1 | 1 = q lKanor + Kanao +. + Kamanl= Kb =bi [SO Kb; tpor hipótese) o que prova que (GQ, w>, -.. Gn) satisfaz a i'ésima equação de 5, Logo (or. to, ., Cn) é solução de S. 102. Teorema 2 «Se substituirmos uma equação de um sistema linear S, pela soma membro dela com uma ouira, O. Demonstração Seja “anXxo faX te +amkn by 2X tank to tank =by s axo tapxo +. tank —bi ] amiX * AmaXo + + amnXn = Substituindo a i'ésima equação de S, pela soma membro a membro, dela com a j'ésima equação, obteremos o sistema: (Bu tankx + tam — br an tank + tam = ha low taghxs + (em + aplxo +... + tam + ana = bi +b; ax tapxo totem Dj Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 132-D 133-D iferença entre S e S' é a i'ésima equação. Portanto devemos nos 103. Escalonsmento de um sistema única ç; preocupar apenas com ela Para mais, acesse: http://fuvestibular.com.br/ Para escalonarmos um sistema, teremos que seguir vários passos, todos eles a) Suponhamos que (o. Gp, -., An) é solução de S e provemos que eia baseados nos teoremas 1 e 2 também será solução de S' o De fato, por hipótese: 1º Passo Colocamos: como 12 equação aquela em que o coeficiente da 12 incógnita + = I E ant + ada + tanto = bi tl) seja diferente de zero. Seja diferente de zero, ajnon + Bia o Hen = bj dO ira a ' o Colocando (aj. G4, ., Gn) no 1º membro da iésima equação de s, 20 Passo teremos: Anulamos o coeficiente da 12 incógnita de todas as equações (com exceção da 12) substituindo a fésima equação (i > 2) pela sema da mesma com a 1à multipticada por um número conveniente. (as + ajplay + ton faplas +. + lan 4 anlan = ' ; =b+b; = (an + ação + 4 Bin) + (apo + apl + + Ajnn) bi + Dj bi tpor hipótese (1) bj tpor hipótese (11h Á a x : = o que prova que (ay, 3, «., Qn) satisfaz a Yésima equação de Sº. Logo Deixamos de lado a 12 equação e aplicamos o 19 e 2º passas nas equações (or, 04, -., En) é solução de Sº. «estantes. a , o bj Suponhamos agora que (cy, 2, «., An) é solução de S', e provemos que do£asso ela também será solução de 5. Deixamos de lado a 12 e 2º equações e aplicamos o 10 e 20 passos nas De fato, por hipótese quações restantes, e assim diante, até q si tiça € fato, por np a seguir esclarecerão o assunto, Clan tados + lap tapa ++ (am tamos =botb; e apos 4 ada + oo 1 aj = bj “an 104. Exemplos Das igualdades (1) e (Il), concluímos que: ao, + apo !... + anQn = Di o que prova que (o, 02, «.. Qn) satisfaz à ésima equação de S. Logo an) é solução de 5. x+W+ 229 Six + y- 2.3 3x - y-22--4 19) Vamos escalonar o sistema tor Ma, Exemplo Os sistemas: Temos: EEE. AS x+W+2=9 JD 1 eva] 2= Uax+tys 2-0 3x - y-22=-4 são equivalentes, pois Sº foi obtido a partir de S, substituindo a 2a equação, pela Substituímos a 22 equação pela soma da mesma com a 12 multiplicada soma membro a membro dela com à 12 equação. por -2 Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 134-D 135-D D.279 (ITA-48) Resolver o sistema x -wy+%-2 + y+az = a -Y+2zna D.280 (FAM-85) Resolver o seguinte sistema da equações [emma x-W+ 2--18 Lox- y+3=-14 D.281 Discutir o sistema abaixo ax t Jay - O 21 ay-4 Solução |. Sabemos que se a 3% ? a xo, .282 Discutir o sistema abaixo Para mais, acesse: http://fuvestibular.com q x- v=2 o sistema tem solução única (Teorema de Cramer). Assim, os valores de a para os quais D = O são os que tornam o sistema indeterminado ou impossível este caso: fer? -a2-Ga-alo-6)=0=+4 ou ta -6 a Ja 2 a 11. Sea = 0, o sistema lica: Ox 10y-0 o. 2x +07 -4 »x-2e y é qualquer, Logo, O sistema é indeterminado. H Sea - 6, a sistema tica: Ex +18/=0 px t3y= m+ 6-4 Cy no Escalonando vem: x+3-0 Ox +0y=2 O sistema é impossível, Resumindo, temos: a&D e a 6 + sistema possível determinado a-o — sistema indeterminado a-6 — sistema impossível. 140-D Examinemos 2x tay=b Solução 1. Se VA D - o, 2. u pelo Teorema de Cramer o sistema tem solução única, Se D = O, o sistema poderá ser indeterminado ou impossível. Examinernos este caso, a+2-0= a - W. Se a = 2, o sistema fica: [x y-2 fx-v-2 Lamb Ox tOy-b-4 b-4 « Q-— sistema passível indeterminado então se . D-4 0 — sistema impossível HI, Resumindo, temas: af —» sistema possível determinado a=-2e b-4— sistema possível indeterminado a=-2eb%4-— sistema impossivel. D.283 Discutir os seguintes sistemos nas incógnitas x e y: ad fxt y=3 by ja +ay 2 +my=6 x - 3y o J-x-2y=-ax d) ax-y. 1 Dx tray y la- xt Zay- 4 D.284 (FEIUC-58) Discutir q sistema (2a — 12x + (da? = dy — (2a 417 (da -1)x + (2a 4 My — (48201) segundo os valores de a. D.285 (EPUSP-59) Apresente 3 valores de a para os quais o sistema: xIy-a alxiy-a seja, respectivamente, indeterminado, incompativel, determinado. Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 141-D D.286 (FEIUC-65) Discutir o sistema linear nas incógnitas x e y. mer y=-1-a Lxtm-o Para mais, acesse: http://fuvestibular.com D.287 Discutir o sistema / x +2y-1 La +ayeb D.288 Resolver o sistema [ 2x + 3401 x+M- b D.289 (EPUSP-62) Obter f x +my- im Loma + ay +(m m, para que a sistema, nas incógnitas x, y. 2, aboixo, seja compatível. +12-1 -1:-3 D.290 (MACK -55) Discutir o sistema pmery=1 xty=2 x vam D.291 (ITA-57) Se abed O determinar p e q de mado que o sistema l D.292 FAUUSP. 69) Resolver o sistema ax +by-c px + ay a Seia indeterminado, Cm ry=2 x-y-m x+ty-2 D.293 (MAPOFE)-1974) Determinar as valores de a e b para que o sistema t D.284 (MAPOFEI-74 Discutir e resolver o sistema abaixo. 6x toy = 12 am 1 ay po Seia indeterminado, (oxtyt 2-0 x yIim=? mm ty t ze Solução |. Sabemos que se 141 a D=[1 4 ml|£0, m 241 (9 sistema tem solução única (Teorema de Cramer). Assim, os valores de m para os quais D - O, são aqueles que tornarm o sistema indeterminado ou impossível. Resolvamos o sistema supondo D + Q. 1 1 1 jmão D- 14 m emim- AO = + e m 2 1 um aa o 1 1 Di = 24 ml-0-m -1 z 1 1 o 1 b=[ 4 2 mj=H-m mo -1 1 1 1 o Ds — 14 2 = 2lm -1) m 24 Do o 2. Ds 2 Come oDoUmcDêa Solução do sistema (- 1, - m H. Sem — O, temos: x+ yt 2-0 Cx+ y+rz-0 x+ yt z=:D x- yt0O2-2 — 40x-2y-2-02 —4Ux-2y- 2-2 Ox ty + 2-4 Ox +2y+2=-1 Ox 1 Oy 02-14 O sistema é impossível. mm. Sem — 1, temos: [x+ y+2-0 [xt y1 2-0 dx yrz2o = 40x-2 0-2 Lxemrz0a Ox t y+02.4 omão y--1e x=1 2; solução do sistema (1 - q, -1, ot O sistema é possível indeterminado. 1V. Resumindo temos — sistema possível determinado — sistema possível indeterminado — sistema impossível (mgEOemel m=1 Im-o Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 142-D 143-D D.295 Discutir o sistema axty+22-b Zax-y+22-1 2 +yt2-3 Solução 1 Se a 12 v-[% 4 2 |%0, 2.143 pelo teorema de Cramer o sistema tem solução única. Estudemos o caso em que D = 0. a 1 2 D-|2%2 1 2 |--A+8.0 +a-2 2 1.2 Il Sea — 2,0 sistema fica: W+y+2-b + y+22-b ex yt2- to = 4 0-3y-22=-1-2 ZX+ty+2-3 L 0=3-b Se b £ 3 — sistema impossível b = 3 — sistema possível indeterminado HI. Resumindo, temos: as? —» sistema possível determinado a-2e b=ã3-s sistema possível indeterminado a-2eb*3- sizema impossível D.296 Discutir, segundo os valores do parâmetro m, os seguintes sistemas: ad [mx+ vt z=1 b) [mt2 + 2-1 x tmy+ z=m x- ytme-2 x+ ytme=-2 x+ vem? D.297 Discutir, segundo os valores do parâmetro a, os seguintes sistemas: a) xtaly+z=1 bl) [4x +y+taz- vw talx + 2) “DX +y- 2-8 2 +alx ty) ex +y - 144-D D.298 Discutir 0 sistema Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ px- yt2=0 xtpz-p LB ty +pz=5 D.299 (ITA-53) Discutir o sistema mx+ y-z-4 x+my+2-0 x- y=2 0,300 Discutir o sistema (me +y De ty Laxtytmz D.301 (OURO PRETO-53) Discutir o sistema mk+ yt 208 xemy+ z=b x+ ytm=e onde a, , 6 sãa diferentes dois a dois 6 têm sema nula. D.302 (EPUSP-59) Estudar o sistema linear fox y+ 2-0 x- ytmzs2 mx12+ 201 D.303 Discutir e resolver o sistema mx -ytmz-m x tmz=3 mx t+my=2 D.304 Discutir e resolver q sistema x +my + mz x ytm x-my + z=-m D.305 Discutir e resolver o sistema x-my+ 2-0 x. ytm=3 m-Wtm-2 Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 145-D D.321 Determinar a, de modo que o sistema Para mais, acesse: metes RARACUERÍSTICA DE, E x+ y-az=0 x-2W+ 2-0 - yta- Zx- ytaz-0 108. Matriz escalonada admita soluções próprias. Dada a matriz A = (aj)mxn. dizemos que A é uma matriz escalonada ou D.322 Determinar k de modo que o sistema que está na forma escalonada se o número de zeros que precedem o primeiro kx 1» A etemento não nulo de uma linha aumenta, linha por linha, até que restem even - z x » “dee dy tualmente apenas linhas nulas. admita soluções próprias. Determiná-las. Exemplo As matrizes À, B, C estão na forma escalonada. D.323 Dado o sistema x+my+2-0 52 3 3124 8 x+ y+z-Q -——+, mx + y+2-0 3 B 0;4 = c 90,2 0.3 determinar m de modo que admita solução prápria e resolvêilo. 5 2 0;3 20 0 0,1 ; qo o o 0 00 0. D.324 Para que valores de m o sistema possue solução própria? xtmy+22-0 2x + my «dt = O 109. Matrizes linha-equivalentes x- 3y-mz=0 Qual o grau de indeterminação? Dizemos que a matriz A' é linha-eguivalente à matriz A, se A! for obtida g de A através de uma segiiência finita de operações, chamadas operações e/emen- D.325 Determinar p de modo que » sistema tenha soluções próprias, ares sobre linhas. Tais operações são: x+2y+ 2-0 , a - Cmt y- 2-0 7 Troca de posição de duas linhas. 2x1 2+32-0 2) Multiplicação de uma linha qualquer por um número K £ O. D.326 (EEM-IMT-65) É dado o sistema 3) Substituição de uma linha, pela soma desta com outra qualquer. Im + Nx tem - Dig + tm Tha txg- O . = : . Am + 284 4 kem = 20 + (em - 2b4 4x4 = 0 Com estas três operações podemos, dada uma matriz A, encontrar uma matriz Dota ima tio + mt ibatrg=0 A! na forma estalonada, linha-equivalente a A. Lotm? + 1x + im? + 1x + im2 + es + xg = O Exemplo Determinar os valores de m treais), para os quais a sistema admite solução diferente da imprópria (trivial). Dada a matriz D.327 (ÁLVARES PENTEADO-68) Qual o valor de k pars que o sistema 13 20 4 3 141 ç x- y- 2-0 Btkyt z=0 3 0 03 1 x-2y-2-0, vamos encontrar uma matriz A” escalonada, tinha-equivalente a A, admita solução própria? Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 150-D 151-D Temos [13 43 3 0 substituição da 22 linha pela soma da mesma com a 12 multiplicada por -4. [1 320 09 91 [3 003 substituição da 32 linha pela soma da mesma com a 1º multiplicada por -3, 13 20 o 9 9 1]D jo 9 63 substituição da 32 linha pela soma da mesma com a 22 multiplicada por - 1. 1 320 D'9 91 Do 0:32 A matriz 1 32 2/0] A=|0 9 91 o 032 é uma matriz escalonada linha-equivalente a A, Notemos que as operações elementares sobre linhas de uma matriz À são análogas às operações para o escalonamento de um sistema linear. Tal fato será evi- denciado quando, mais adiante, estudarmos o teorema de Aouché-Capelli. 110, Característica de uma matriz Seja A uma matriz qualquer e A” uma matriz escalonada, linha-equivalente a A, Chamamos de característica da matriz A, e indicamos por p (A), ao número de linhas não nulas de A”, 111. Exemplos Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 19) A EXERCÍCIOS 5 E] ' escalonando a matriz À, obteremos 5 | Logo p(A) = 2, 3 4 5 - escalonando a matriz A, obtaremos 4 +40 3 4 -1 -9|. Logo, pfA) = 2. o 0 1141 2 2 2|, escalonando a matriz À, obteremos 3 111 o 0 01) Logo, p(Aj=1. o D.328 Determinar as características das seguintes matrizes: a) no n b o a Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 152-D 80 w bj1 212 aji 4 10 avisa 2341 1010 o 242 3148 Blz 1.3 oj1 10 2.0 244 243 434 428 52 2 153-D para mais, acesse: rrpyvesippofigorema de Rouché-Capelli -2 1 2310 4 213 1 210 Consideremos um sistema linear 3 12.8 AnXi + Bnx +. tamo = by D.329 (EPUSP-58) g JS + daaxa +. tank = bo al O que é característica de uma matriz? bj Qual é à característica da matriz abaixo? 100 q 0100 o 1 o 0 0001 D.320 (ITA-62) justificando a resposta, calcular a característica da matriz 2340 24 04 O sistema linear S será possível se, e somente se, o (A) = p(B). 4741 Demonstração D.331 (ITA-64) Qual o valor máximo da caracter stica de uma matriz 3 X 4? Suponhamos que S seja possível e seja S' um sistema escalonado equiva- 0.332 Discutir, segundo os valares do parâmetro a, as características das seguintes matrizes lente à S. dji 1a ad Sejam 1.3 1.8 A": matriz incompleta de 5” 1148 B': matriz completa de S'. a Por definição de matrizes linha-equivalentes, ddj1i 2.4 8 A! é escalonada e linha-equivalente a A B* é escalonada e linha-equivalente a B. Sendo S possível, S' poderá ter um dos tipos: : La! r , « D.333 Determinar m de modo que a característica da matriz seja igual a 2. aux tafox +. tai = bs 1 ma O anx +... tax =b ondeaAHO, VIE (1,2, nk ou + = +BinXo =b " (>2) AkeXr toe tank = bk (r>j ecomk<n). Para mais, acesse: http:/fuvestibular.com.br/ 154-D 155-D Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ RESPOSTAS CAPÍTULO | D1 a) 5,7.9,11,13,15 03 a m=-3eon b) 3,6, 12, 24, 48, 96 bhbr=1ebn cj 2,22,2%,28, zls, 23 dia a, -4,-4,4,4 cla tec e) -2, 22, 28, 22, 210, 20 d) dy - Beda D2 ai 1,4,7,10,13,16 Je-Des b) 6, 18, 54, 162, 486, 1458 e) 2, 6, 12, 20, 30, 42 d) -2,4,-8, 16, -22, 64 e) 1,8, 27, 64, 125, 216 CAPÍTULO 11 D?7 (-1,0,1).10,1,2)ou 1,23) na33 (89,93, 97, 08 42,6,10) ou (10,6, 2) pru D.29 sp D31 €3,-1,1,3,. D32 20, 23, 28, ..) ana + 3 Y 2ºbor. Y em doa tt en tt, D8 10,0,0) ou (8, 12, 18) D34 apsa= pra DO (-1,1,3h0u (3,1,-1) Diz [9,-4,1,6) D13 (3,2, 1% 15) ou (-15,-11,.-7, -3) D14 (t,4,7,,10) ou (10,7,4,1) D.16 (2,0, -2 -4, -8) 13 7 ss ts: D18 (2,2,2,2,2) D.25 35, 80 e 299 D27 3 D.28 -2 Para mais, acesse: http://fuvestibular.com.br/ D17 ( ento ) D35 mtn=-Pp+q D.50 61425 0,51 14520 nto + 1) D.52 600 nz2 nz2 nz22 nz? nz2 161-D  pao CAPÍTULO D74 D75 n76 B77 D78 D79 D.B0 D.81 n82 D.83 D.84 Deo Dao D.97 Doz Das D.95 D.s6 D.97 x-6-a x-3 1 2 .G, da razão 1 a V biV oc F Fev tv VE dy HE BESGE :3 Ga 12, 10, 50, 250) 1,4, 16, 64, 256) (2 6, 18, 54, 162, 486) a=2b-6c=18€e d=30 ou vice-versa, te, 12, 18; vs 1<Xa< 1EvS 12,12, 12 0u 8, 12, 18 *eknous= + +27, com k inteiro ago = 2:39 am = 319 não 248 832 162-D 29 262 D.63 4549050 D.64 7142135 D66 y=5er-2 DOE q -KerkEZ D70 13,4,5,6,7,8] D7 (9,-4,1,6) DS a = 557 2073 D.99 12 Dio3a = À 103 q = 5 D. 1046 D.1056 2. 1 1.2 ã 5.pã Diggx-a?.bly-3).b DiD7a) 245 bj 220.319 «) 325.9300 aj-alas epa f) asosu nin+1) D.108a) log)a"tl.2 ? 1-2 bja-2 D.109-1 D.110 2756 + 3784 1023 Dig 20 1 Dar DS (3,6, 12, 24, 48,96, 192, a84, 768, Para mais, acesse: http://fuvestibular.com.br 536, 3072) 5 9 Dita bl: 25 8 Sd -— 8 15 D1224 4a paza 2 Dizas- 139 189 Dizsa) sã bl 35 47 4646 das dt 705 12022 nr CAPÍTULO IV D.138 10 0 º a=ja 1 0/e8=|a o oq 1 Di39x-1 e y=0 D140x-0v-32-4t-1 DAM A+B- D.142 A+BIC A-B-C Das 8 c-|9 16 2 36 D.144 42 Digsa=-B-7-8-1 D146x- -3ey Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 1,41 D.127> + (398 12 5) D.128/2 +1 D.12915 136 D.130 > . 1. 125 pib Cal; Sa<ze Di32m D.1332p D.134 24 av3 a2y3 ma? ve ap FE Di35a) 22 bl E. cd Did D136a) dalz + VD) blmract21 2) 2 o) 282 a 163-D D.149 5 x=|2 -7 D.150 2.2 0.2 1 2a = ,5B- 10 14]'3 3 D151 a Ba) z - 0 x e a)o *s , 5 - e) ! la 52 9 x= + 2 X = 4 3 14 24 35 18 Dissx= [5 2 «ti ê sx-lisblev-L550 0154 -15 -38 |eY= a jm sa 3 13 -6 -14 nO ajo oo 2a Bisa [34] bi[ 6 1 56 14.2 164-D x = -8 Dissa, |2 3) b [3 11 47 | . 11612) [a Para mais, acesse: http:/uvestibular.com. br/ 0.162 E D163x = 5 17 1 2 2 D165al [o esta +B)= â 7 5 bh 15 o) [a -2 5 -8 c Z D16ga) [6 20 5 27 D170 * x o x= 13 x= 8 1.2 1 2 8 16 4 8.3 01725) x- b) x- Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ e 2 bifa b e 1.40 :| 8 dec sl-ti o q 5 2 + É 9 hi 240 1 Z b b) fa coma DER coma bE R a-2 b Bt D 0 a O|cmabcER ba 1] mfo 19] fis oTafs 129 5 5 86 0:18 a2 54 Tux | TE b ou X= ou + e -JT-be 1=be b e ec onde b, cERebe<1 e Jt-be 41 4be b ou e 1. Z onde bcERobe< 1 1, SIA a e 2 2 1a ) ia e 2 13 2.1 5 5 1 5 2 7 2 5 4 q d) o -3 X= 5 5.2 4.5 165-D  D.2754) (-3,0, 2) b) (62 - 10,3 - 2,2) 8 -174+43 -70+11 2-a4 cb iG.3,0 digg gu e) 2) 0 tsm+38+5,30-28-2,0,8) D.276 3) sistema possível determinado b) sistema possível indeterminado D277/1,2) tema possível determinado D.278 Soluções a) sistema possível determinado |-11,-8, -8) b) sistema possível indeterminado (-12 - 136,-11 - 110,6, 5 +50) c) impossível d) sistema possível indeterminado 6-144 2-74 1-144 Toro sistema passível dererminado (- : 12 5'5 f) sistema impossível D279 1-0, -1-0.0) D.280 1, 3, 41 o e 1 ot D.283 5) ( É2 — sistema possível determinado m= 2 — sistema passível indeterminado b) fa É-1 —+ sistema possível determinado a = 1 — sistema impossivel ch G *-1ea 3 — sistema possivel determinado a = -1 oua=3 — sistema possível indeterminada 1 : da £s ea É —— sistema possível determinado 1 e F0u8=-1 — sistema impossível z 14 5 02842 £0, - e —> determinado 1 a=0 0-7 —> indeterminado z — impossívet D2859=t1; Va aba D286 (mfiemf-1 — — determinado —— indeterminado -—> impossível 170-D Para mais, acesse: http://fuvestibular.com.br b=-3 — indeterminado =6eb*3 —> impossível D.288 | D.289 Ym CIR D.287 [a £6 — determinado a-6e a 2-3b 22b-1 ia) 43- 3' 44 “3 + Plto nigo nto —+ D290 [m=0 1,1 138 me > 5,5) mÉGOem É-1-:— impassível d pagp- qe! pas [m-1 — 5,5) m:-2—+ 10,2) mftem É-2 -—— impassível D293v=6eb=8 D.296a) [(m É1 em É-2 — determinado m=-1 — impossível m--2 — impossível dj(mFtem *-1 — determinado m=1 — impessível m = -1 —-— impossível p2o7a [a He -1 — determinado a -1 — indeterminado 1 A a-=- z — impassível bfo Élea É-4 — determinado a --4 = > impossível a=1 — indeterminado D.298 [pÉlep É-2 ——» determinado Pp 1 — indeterminado p=-2 —— impossível Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 171-D D299 (m É-1 ——— determinado m=-1 —— impassível m=1 —— indeterminado D300 (m fl em É-4 —— determinado m=-4 ——— impossível m=1 — impossível m=-2 — indeterminado D.301 [7 *-Z2em É1 —— determinado m=0————— impossível m 0.302 [m£O e mfI—— + determinado ——— + impossível D303 [fm £gem £1 —— determinado m-2 4-m m+4 m m m2 ( m=1 —> indeterminado 3-0 1+é 2 t «0 uer m-0 —— impossível D.304 [ param tem *-1, sistema possível determinado emem-) om (o 2m m+1 1-mê param = *1 sistema impossível m AZ —> determinado (m + 2,1, -2) D305 | m- 2 —» indeterminado (2 - 2, 1, 2) 17 - 40x 16 D3ogal k=6, bt a--2 —> impossívei aÉfteaf-z — determinado D.309 E = 1 impossível D3Nm = D312 5 —— indeterminado ——+ impossível ——> indeterminado svesa 172-D Para mais, acesse: httpu/tuvesibu 313 (9, 9, 0) B31 314 (-0, a, a coma E E pais(ãa, -je a com «E R D316 (2x, 20,0), «E FR Datgal gm É3 —— daterminada m=3 ——+ indeterminado blifmÉ3Zem És —— determinado m=3oum=5 —— indeterminado D39 [k$IOkE-S —— determinado k=1 ouk= -5 —» indeterminado [4 a D3200--1——> 1-3, Sa) 3 m=--5—— 0, -€, 0 Dara =) 2-7 14 -34 -ba = 014 qqr Sa e pazzk-- De Ea, 0 ER D3zm-1, tHa-Baf) a ER PER. 0.324 (m = -2 ou m = 0) e grau de indeterminação 1 n325p=- 5 P>-z D326(.5.-1,0,1) D327k= 1 O3mal2 b4 d3 3 2 n3 93 hn4 D329b) 3 D.3302 D3313 DB2a) [af ——p Ei, —— SS p=1 bfaÉfzenta —— p=3 a=2—>p=-2 a=3—>p=2 Para mais, acesse: http:/fuvestibular.com.br/ 173-D D333m = 104 m=-2 D334m E1 D,337 Soluções a) Possível determinado (t, - , bj Indeterminado (| - 24, 34 - 1,0), KE!R c) Impossível d) Impossível e) Impossivel tl Possível determinado (1,0, 1) “im oia D.338a) Indeterminado b) Determinado e) Determinado d) indeterminado e) indeterminado f) Impossivel Poe [gal ipor nm Ére tado bla=-1 clasteb=tv2Z D.340 indeterminado «+ k = -2 impossível > k = 12 Disto = o ib-o) D342 Ya ER - (if D.343 (1, -2, 4) D.344 Sistema indeterminado — —» (GINA O + senB 4, sen E senc D.345 impossível D.348 Pixi = ax? — 20x3 + bx? + (a - bx + e W4-D Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ TESTES SEQUÊNCIAS TD.1 (PUC-76) A definição por recorrência aj=a e p=apa tr sendo a E E e rE R*,comp€ Nº pode definir uma segiência do tipo ab 15,4,7,9,3,18,..) b) (2,4,8, 16, 32, + ci (4,9, 14, 19, 24, dj (4, 7,13, 25, , TD.2 TD.3 (FFCLUSP-68| Considere a segência tay, az, a3, ..., an «.! Cujo termo geral é an = (-H"onesen 1. Quai das alternativas é verdadeira? n al o limite da sucessão lan) é -1 b) o limite da sucessão (an) é 1 c) a sucessão (an) não converge e nem diverge db a sucessão (an) diverge para +co; e) nenhuma das respostas anteriores é verdadeira TD.4 (CESCEM-72) A sucessão t 1 1 atlia-Na+ Lia-dia+ +: 2 3 anti amei a) oscilante b) convergente para a c) estritamente crescente Para mais, acesse: httpu//tuvestbular confhy divergente d) estritamente decrescente TD.42 [GV-70) A soma dos termos de uma progressão aritmética, cujo primeiro termioié Bxis o ultimo termo é 46 a a razão é igual do número de termos, é: al 50 bi 100 o 175 a) 150 ek nenhuma das respostas anteriores. TD.43 (PUC-70) Sendo f: IR >IR, definida por f(x] = 2x +3, então MN + Hz) + HM +... + + 1125) é igual a: aj 725 bj 753 co) 653 dy 1375 e) 400 TD.44 (CESCEA-75) Seja n um número inteiro 2 Tesejam A-l+2+3+...+n e Be1+3+,,.+(2n-1) Assinale a afirmação carreta: 4 z 4 a A+B= Ent pas o armor sit 2 2 nO = mk A n+41 sA-B- 5 dg “ TD.AS (SANTA CASA-77) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. À soma do sexto termo dessa P.A, com o décimo quinto termo vale: a) 30 b)1,5 c) 1,0 dj -1,5 e) -30 TD.46 ICESCEM-77) O primeiro termo de uma pragressão aritmética é -10 é a soma dos oito primeiros termos 60. A razão é: 5 15 ab -7 b) 7 os o) 28 e) 35 TD.47 (CESCEM-75! Numa progressão aritmética limitada em que o 1º termo é 3 e o dltimo 31, a soma de seus termos é 136. O número de termos dessa progressão é: ai 8 bl 10 c) 16 d) 26 e, 52 TD.48 (CESGRANRIO-76) Uma progressão aritmética de 9 termos tem razão 2 é soma de seus termos igual a O. O sexto termo da progressão é: a 2 b+3 oe dj 7 yo TD.491GV-74) A razão de uma P.A. é igual a 8% do primeiro termo. Sabendo-se que O Nº termo vale 36, então a soma dos 26 primeiros termos desta P.A, 6: a) 1080 bi 1060 c) 1092 d) 1020 e) 1040 TD.50 (CESCEA-74) Numa progressão aritmética de onze termos s soma dos termos é 176; a diferença dos extramos é 30. O valor do produto ar, onde a é o 1º termo e r >0 a tazão, é: al 3 b) 6 cd B d) 12 e) não sei. TD.STÍCESCEA-71) Seja a PA. iajça2,..., Big onde ay =4€ 42 =4k. O valor de k, para o qual a sama dos termos da P.A. é 250, é: e) não sei. 14 13 26 19 ab 3 b) ç e 3 dh 7 180-D (uvesirDasa(gv-72] Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem uma certa distância x; no segundo dia percorre o dobro do que percarreu no primeiro dia; no terceiro dia percorre o triplo do 19 dia; e assim sucessivamente, Aq final de 20 dias percorreu uma distância de 6.300 km. A distância percorrida no primeiro dia foi de: a) t5km b) 30 km ce) 20 km dk 25 km e) 35 km TD.53(CONSART-75) Um matemática (com pretensões à carpinteiro) compra uma peça de madeira de comprimento suficiente para cortar os 20 degraus de uma escada de obra. Se os comprimentos dos degraus formam uma progressão aritmética, se o pri meiro degrau made 50 em e o último 30 em e supondo que não há desperdício de madeira no corte, o camprimento mínimo da peça é de: ai Bm b)9m Sd Tm d) 7.5m si 65m TD.54 (GV-75) Um jardineiro tem que regar 60 roseiras plantadas ao longo de uma vereda retilfnea e distando 1 m uma da outra. Ele enche seu regador numa fonte situada no mesma vereda, a 15 m da primeira roseira, e a cada viagem raga 3 roseiras. Começando e terminando na fonte, qual é o percurso total que eta terá que caminhar até regar tadas as raseiras? ai 1240m b) 1380m ct 1860m dt 1630 m e) 2000 m TD.SS(FECLUSP-68) A média aritmética de 50 números em P.A. é 100. Retirando-se dessa PA. os 3º, 5º, 469,e 48º tármos, a média aritmética dos 46 elementos restantes é a) 100 b) menor que 100 c) insuficiência de dados d) maior que 100 e) nenhuma das respostas anteriores TD.SG(USP-67) 1:2-3+2-3:4+3-4-5+.,.nin+%) In+2) é igual a: a 6.57! bl 6(3n2-5n+3) co 6(n3-302+6n-3] dif nn+ 0 (n+2)(n+3) e) nenhuma das afirmações unteriares é verdadeira. nes TD.57 IMACK-76] Se z 4(x-3)- An?+ BntC ovalorde A+B é: x=5 a) 10 b) -8 cds a B el iz TD.58 (CESCEM-65) Três números iguais constituem a) uma P.A. de razão 1 b) uma P.G. de razão O c) uma PA. de razão O e uma P.G. de razão + d) uma P.A, e P.G. de razões iguais &) tenhuma das respostas anteriores. om.br 181-D é — TD.S9IMACK-69) — A razão da PG. 30) va, 4-2V3 18- 1043 a 3: V3 m3-V3 3 3 é) nenhuma das respostas anteriores TD.80 (GV-74) Das progressões gaométricas abaixo, identificar a de maior razão: a V5,5.5V5,. mil, 77 5 15 45 cd 109,93. tog,99, loggB1, .. do 03. 108,9, [09,9 3 33 e) 10, -50, 250, ... TD.69 |PUC-72) Somando-se um mesmo número à 1, 3, € 2, nessa ordem, obtém-se uma progressão geométrica. O número somado é: 4 7 5 2 4 bp -L s 42 13 3 Ss ' e) nenhuma gas respostas anterivres. TD.62 (CESCEA-70) Calculando-se x de modo que a sucessão 2, a+x, ax com a £n, seja uma P.G,, O primeiro termo será: x a - br o ed -S 040 dy -2 as 1 2 TD.63/CESCEM-74) O número real x é estritamente positivo e diferente de 1. O quadrado de x, o próprio x e logx formam, nesta ordem, uma P.G., então x vale ala bi O a 1 aa o) 10 10 TD.64 (CESCEM-73+ Na ordem em que são dados, os números x, y, z formam uma PA. e os números 1, 1, — formam uma progressão geométrica. Pode-se concluir que w y' xrZ a) a razão da PA. é igual a 3, qualquer que seja x b)y+z=-5x c) a razão da PG. é iguala L d) yz = 8x2 3 e) não existem os números x, y, 2, nas condições acima. TD.65 (MACK-75) A segiiência (ay, ag, -... 9m. ...] com an - 3n + 2: a) é uma progressão aritmética de razão 3 b) é uma progressão aritmática de razão 2 cl é uma progressão geométrica de razão d) é uma progressão geométrica de razão cala o|n e) não é uma progressão. 182-D Para mais, acesse: httpy/fuvestT 86 16-70) Uma progressão ne qual o 1º termo é 2, a razão 5 e o último termo é 3 242 a) não pode ser nem P.A. nem P.G. b) pode ser tanto P.A. como P.G e) é uma PA. dl é uma P.G. 2) não é progressão. TD.67 ICESCEM-73) As diferenças entre os termos consecutivas da sucessão dos quadrados perfeitos a) formam a sucessão dos númeras primos b) formam uma nova sucessão de quadrados perfeitos e) formam uma P.G. d) formam uma PA. 2) formam uma sucassão constante TD.68 (CESCEA -58) Suponha que a sucessão real de termo geral xn seja uma P.A. de razão r. Então, a sucessão cujo termo geral é yn « axn com a E 0 e real, é: a) uma P.G. b) uma P.A. de razão ur c) nem PA, nem PG. d) uma P.A. de razão 2ar el uma P,A, se excluirmos os 5 primeiros elementos. TD.69tFEI-72) Dada a função fin) - an+b a £O eb O, definida no conjunto s=-[0,1,2,3,..) a) os números f(1, F(2), (3)... estão am P.A. b) os números f(1), f(2), ft) c) a função é cresceme di 2) = +01), (3) = f12b, ft4) — 4(3) ... são números em PA, e) A função tem derivada igual a a. .. estão em P,G. TD.70 (CESCEM-70) Se a, b e € são números reais positivos que estão em P.A. podemos garantir que: a) log,a, log,b, log,e estão em P.G b) loga, logçb. log c estão cem PA. cl e2, e, eº estão em P.G ai e?, 62, eº estão em PA. el nenhuma das respostas anteriores. TD.71 (GV-72) Se os números x, y, z & u formam uma Progressão Geométrica, nessa ordem, de termos reais e positivos, então log x!, log y, log? e logu?: a) não é passível saber se formam PA. ou P.G. bi formam uma sucessão que tem termos em PA. e P.G. c) formam ums Progressão Aritmética d) formam uma Progressão Geométrica e nda. Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 183-D TD.72(CESCEA-$8) Considere a progressão geométrica finita, 5 x, 32 ande x 0. Poderges, acesse: nitpo//nvesriiTRy7Z /RYC-68) Se a razão de uma P.G. é maior que 1 8 O primeiro termo é negativo, a afirmar que: a x= se , pois, em uma P.G. o termo central é média aritmética entra os extremos b) x-16 c) x - 8, pois, em uma P.6. o termo central 6 a metade do produto dos extremos dx=-2 e x-4. TD.73(CESCEM-70) Se ar, 83, -.., By, então em P.A,, então bÊl, b?2, em P.G. de razão: ad am-a b) p?2rdt TD.74 ICESCEM-70) So log,x; = -K + log,xj+, então a) xy. Xp, «o, Xn formam uma P.G. de razão K b) xp, X2, «e, Xn formam uma P.G, de razão é! d logaxa, logaxa, --, o8aXn formam uma P.G. de razão K d) loggxi. logaX2+ «=. 108aXn formam uma P.G, de razão a el nenhuma das respostas anteriores TD.75(CESCEM-74) Os termos da sequência lan)ne co formam uma P.A. A partir desta sequência, construimos duas outras da seguinte maneira: 2 bn = 3h cn - Pa+i - Dn Nestas condições, os tarmos da sequência cn formam a) outra PA. bh uma P.G c) uma sequência constante q) uma segiiência de termos positivos e) uma segiiéncia de tarmos alternados, TD.76 (CESCEM-71) A sequência lag): n - 0, 1,2, ... é uma PA, de razão Y&0 e de primeiro termo 7. A sequência (bn): n = 0, 1, 2... é uma P.G, de razão (> 0 é primeiro termo cu. 1 Nestas condições, a sequência lbnin/in = 0,1,2, al não monotônica b) éstritamente crescente c) constante d) estritamente dscratcente e) nenhuma das anteriores. P.G. 5 chamada; e) decrescente bl crescente ch constante d) alternante e) nenhuma das respostas anteriores TD.78(CESCEA-68) Para que a progressão gcométrica a, aq, ag”, .. seja decrescente é necessário e suficiente que: ata<1 ba>0 e q<0 dla<L08q>1) ou (a>0 e 0<LQ<1) gd la>0eq<1) ou G>00 0<9<1) aloe qo TD.78 [GV-70) No gráfico, os pontos represen- tam os termos de uma progressão, sendo na número de termos € sn o nésimo termo. Então a progressão representada á: a) uma P.G, de razão 2 bi) uma P.A. de razão 3 c) uma P.G. de razão 4 dj uma P.A. de razão 2 e) nenhuma das respostas anteriores. enero TD.BQ(MACK-74) O gráfico de uma progressão geométrica de razão q, q = tlea—1 está contido a) numa reta não horizontal bh numa parábola c) numa hipérbole dy numa curva exponencial e) numa curva logarítmica. TD.81 (CESGRANRIO-77) Os três primeiros termos de uma progressão geométrica são a =N2 = 2 6 43- "2 O quarto termo é: 1 bi a vz a VT ds 2" a) TD.82 (CESCEM-75) Dada a progressão geométrica , V3-1.2-43 ” 2 .) o termo que precede 1 é a 1-V3 bV3+1 PRES E DV3B-1 e) TD.83 MACK-75) Se o oitavo termo de uma progressão geométrica é 1 ea razão é + o primeiro termo dessa progressão é: al 2 b) 2 o 2 d) 28 Para mais, acesse: http:/uvestibular.com.br/ 184-D 185-D