Matemática para concursos, Exercícios de Eletrônica
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Treine com exercícios simulados e tenha um excelente desempenho no concurso pretendido
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS Matemática para Concursos Sumário Números Naturais Conjuntos numéricos: racionais e rea Divisibilidade -----======= =... nono nona nano nana Números Primos ----====—=== =... nono nn nn nm Máximo Divisor Comum (mdc mmc) --==---—==-———.......— Números Racionais -----=-----= =... .... canso Números Fracionários -------—===........ ncia Números Decimais ------==—====. =... nn n no Potenciação -— Radiciação -- Razões e Proporções Média ---———————————..——. Produtos Notáveis ------=---........ nino nona Divisão Proporcional -----=—————— =... Regra de Três: Simples e Composta --------——————........— Porcentagens --======== =... =. nnnaanaaanaonaaanaonaaaananaanam Juros Simples -----=====...... nin nono nano nona anna Juros Compostos -----==—=——.......... nino Sistemas de Medidas ---- Sistema Métrico Decimal Equações do 1.º grau - Equações do 2.º grau - Sistemas -----=======....... inn Equações ------= =... ... nino nc aann ano caannamam Progressão aritmética --------=-=-=—=== ==... Progressão geométrica ------———=........... nm Noções de trigonometria -------——————— =... ...... nm Teorema de Pitágoras ----=—=——————.......... uno Funções exponenciais - Logaritmos Polinômios -- Geometria ---============= =... nn nana nn n o Noções de probabilidade ------—==-........ nana Noções de estatísticas ---------=......... anna nn 03 05 10 12 13 15 16 21 23 24 25 27 28 29 31 32 34 35 45 47 51 56 57 62 64 65 os 69 71 73 76 Polícia Rodoviária Federal 1» Matemática para Concursos Editado por: Flávio Nascimento Números Naturais Conjunto dos Números Inteiros Este é mais um conjunto numérico que devemos conhecer para futuros estudos, representado pela letra Z. Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N. O conjunto N = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................ >, este conjunto é infinito ou seja não tem fim. Este ficou pequeno para a matemática, observe os exemplos: a)9-12=? b)8-100=? Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, ou seja as respostas estão dentro do conjunto dos números inteiros. Vamos conhecer este conjunto: O conjunto Z = (....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....), observe que este conjunto é formado por números negativos, zero e números positivos. Vale lembrar que zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo. No seu dia a dia você já dever ter deparado com números inteiros. Quando temos um crédito temos um número positivo, um débito é um número negativo, temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relação ao nível do mar, os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do nível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos números negativo e positivos. Reta Numérica Inteira | | | | / | / | | | | | | | | | | [+++ AHHH -8-7-6-5-4-3-2 -1 0 +1+2+344+5+647 Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles estão crescendo da esquerda para a direita, -7 é menor que -6, O é maior que -1 e assim em diante. Vamos comparar alguns números inteiros. a) -5>-10, b) +8 > -1000, c) -1 > -200.000, d) -200 < 0, e)-234 -1, 9) 9)-9) d)(+6)x(-7)=-42(+x- =>) eQ(-8B):(-2)=+4(-: +) D(+I8):(-6)=-3(+:-=0) 9) (+48) :(+2)=+24 (+: +=+) h) C19):(7D)=+2(-:-=+) Lembrete: Observe que a multiplicação ou divisão de números de mesmo sinal o resultado e sempre positivo, a multiplicação ou divisão de números de sinais diferentes o resultado é sempre negativo. Potenciação de Números Inteiros Exemplos: a)(+32=(+3)x(+3)=+9 b)(-25)=(-2)x(-2)x(-2)x(-2)x(-2)=-32 c) (-8)º? = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) d) (+9)º = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) e) (18)! = 18 (todo número elevado a um é igual a ele mesmo) Importante: (-22 =(-2)x(-2)=4 édiferentede-22=-(2)x(2)=-(4)=-4 No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no segundo caso apenas o número está elevado ao quadrado. Radiciação de Números Inteiros Exemplos: a) (25 =5 (lembre-se que 5x 5 =25) b) (43=7 (lembre-se que 7x7 =49) c) 436 = (lembre-se não existe raiz quadrada de número inteiro negativo) d) -«s8i=-s (observe que neste caso o menos está fora da raiz, sendo assim existe a raiz) e) 3&"s=->2 (lembre-se (-2) x (-2) x (-2) = - 8) Neste caso é raiz cúbica e não raiz quadrada. d) 35 => (lembre-se (2)x(2)x(2) =8) Polícia Rodoviária Federal 4 Matemática para Concursos Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros Primeiro eliminamos os parênteses, como antes dele tinha um sinal de menos todos os números saíram com sinais trocados, logo depois eliminamos os colchetes, como também tinha um sinal de a)-[-3+2-(4-5-6)] =-[-34+2-4+5+6] 3-2+4-5-6 = e 13 menos todos os números saíram com os sinais trocados, somamos os positivo e o negativos Primeiro resolvemos dentro do parênteses, depois DESTE EI SD multiplicamos o resultado por 3, logo após =€-5+[-8+15-3) eliminamos os colchetes, como antes deste tinha =[5-8+15-3) um sinal de mais, todo os números saíram sem =-5-8415-3 trocar sinal, eliminamos também as chaves, =-16+15 observe que também não teve troca de sinais pelo =1 mesmo motivo anterior, juntamos positivo e negativos. Conjunto Conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = (2,4,6,8,10,12,... 5. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: P=(x|xéparepositvo) =(2,4,6,...). Relação de pertinência Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x € A, onde o símbolo Esignifica "pertence a”, Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y A. O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por q . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos: dD=(x;xexpeU=(x;x=x>. Subconjunto Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A C B. Notas: a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. (AC A) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (2C A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Polícia Rodoviária Federal 5 Matemática para Concursos Assim, se A = fc, d) , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = Conjunto dos números inteiros Z =. "43,2,1,0,1,2,3,...> Obs: é evidente que NC Z. Conjunto dos números racionais Q=(x;x=p/qcompEZ,qEZegão). Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero! São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3,7 = 7/1, etc. Notas: a)éevidentequeNCZC q. b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração. Exemplo: 0,4444... = 4/9 . Conjunto dos números irracionais 1= (x; x é uma dízima não periódica). Exemplos de números irracionais: TT = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não periódica) V 3 = 1,732050807... (raiz não exata). Conjunto dos números reais R=4x;x éracional ou x é irracional). Notas: a)éóbvioqueNTZC QC R b)ICR JIUQ=R d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese! Intervalos numéricos Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q, chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir pe q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos. Polícia Rodoviária Federal 6 Matemática para Concursos TIPOS REPRESENTAÇÃO | OBSERVAÇÃO INTERVALO FECHADO inclui os limites p e [pal=(xERpSxS a pea INTERVALO ABERTO exclui os limites p e q (pg) =(xERip INTERVALO SEMI-FECHADO valores menores ou iguais a q. (o ;ql=(xERixp> valores maiores do que p. Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -00; + co). Operações com conjuntos União (U) Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto união A UB=(x;x E Aoux E B). Exemplo: 40,1,3) U 4 3,4,5 ) = £0,1,3,4,5). Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Propriedades imediatas: aJAUA=A bDAUQq=A JAUB=BUA (a união de conjuntos é uma operação comutativa) dAUU=U,ondeU éo conjunto universo. Interseção () Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto interseção AN B = (x;x E Aex E B). Exemplo: £0,2,4,5) N 4 4,6,7) = (4). Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B. Propriedades imediatas: aJANA=A DANH=a JANB=BNA(a interseção é uma operação comutativa) d)JANU =A onde Uéo conjunto universo. São importantes também as seguintes propriedades : PLAN(BUC)=(ANB)U (AN) (propriedade distributiva) PLRAU(BNC)=(AUB)NÇAUC) (propriedade distributiva) P3B.AN(AU B)=A (lei da absorção) P4. AU (AMB) = (lei da absorção) Polícia Rodoviária Federal 7 Matemática para Concursos Obs: SeANB = q, então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos. Diferença A-B=(x;xEAex É B). Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Exemplos: 10,5,7) - 40,7,3) = (5). 11,2,3,4,5) - (1,2,3) = (4,5). Propriedades imediatas: aJA-p=A b)o-A=q oO)JA-A= d)JA-B+B-A(a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa). Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que BC A, a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de Bem relação a A . Simbologia: CAB = A-B. Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ouseja ,U - B,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: B'=(x;x É B). É óbvio, então, que: a)BNB' b)BNB' Jq'=U DU =q. " c Partição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: 1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio. 2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio. 3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A. Exemplo: Seja A = (2,3, 5) Os subconjuntos de A serão: (23, 43), (5), 42,3), (2,5), (3,5), 42,3,5), e o conjunto vazio -D. Assim, o conjunto das partes de A será: P(A) = 4 425, (3), (5), (2,3), (2,5), (3,55, 12,3,55, 0 > Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X=1 (25, (3,55) Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois: a) nenhum dos elementos de X é B. Ce Na sE-9 O) (2) U (3,5) =(2,3,5) = A Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A. Observe que Y = 1 12,5), (3) ); W=( (5), (2), (3) );S=( (3,2), (5) ) são outros exemplos de partições do conjunto A. Outro exemplo: o conjunto Y = 1 40,2,4,6,8,...),41,3,5,7,...) ) é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois (0, 2,4,6,8,...) [1(41,3,5,7,..)=De(0,2,4,6, 8. )U4L,3,5,7.)=N. Polícia Rodoviária Federal 8 Matemática para Concursos Número de elementos da união de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B). Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto. Representando o número de elementos da interseção A (NB por n(A N B) e o número de elementos da união A U B por n(A U B), podemos escrever a seguinte fórmula: n(AU B) = n(A) + n(B)-n(AU B) Exercícios 1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que: a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; b) quando chove de manhã não chove à tarde; c) houve 5 tardes sem chuva; d) houve 6 manhãs sem chuva. Podemos afirmar então que n é igual a: a)? b)8 c)9 d)1o ejt1 2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era: 1 - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B; II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A; III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B. Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a: a)48 b)35 c)36 d)47 e)37 3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi: a) 29 b) 24 co) 11 d)8 e)5 4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas: a)século XIX b)século XX c)antes de 1860 d)depois de 1830 e)nenhuma das anteriores Pode-se garantir que a resposta correta é: aja b)b cc dd eje Polícia Rodoviária Federal Matemática para Concursos 5) - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a: a)5 b)6 co)7 d)9 ejio 6) - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ? a)1 b)2 co)3 d)4 ejo 7) PUC-SP - Se A = eB=(),então: ajAEB bDAUB=O co)JA=B DANB=B eJBCA 8) FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A/1B é30,0 número de elementos de A () C é 20 e o número de elementos de A (IB MN Cé 15. Então o número de elementos de A N (BU C) é igual a: a)35 b)15 c)5Oo d)45 e)20 9) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A=a,b, lab, (b>, ta,b) ) são: a)2 ou 5 b)3 ou 6 c)iou 5 d)2 ou 6 e)4 ou 5 RESULTADO 1)c2)a3)a4)c5)e6)a 7)a 8)a 9)a Critérios de di ilidade São critérios que nos permite verificar se um número é divisível por outro sem precisarmos efetuar grandes divisões. Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4,ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. Polícia Rodoviária Federal 10 Matemática para Concursos Exemplos : 8490 é divisível por 2, pois termina em 0. 895 não é divisível por 2, pois não é um número par. Di dade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 870 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 8+7+0=15, como 15 é divisível por 3, então 870 é divisível por 3. Di lidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 9500 é divisível por 4, pois termina em 00. 6532 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4. 836 é divisível por 4, pois 36 é divisível por 4. 9870 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 70 não é divisível por 4. Di lidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em O ou 5. Exemplos: 425 é divisível por 5, pois termina em 5. 78960 é divisível por 5, pois termina em 0. 976 não é divisível por 5, pois não termina em O nem em 5. Di tempo. Exemplos: 942 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 6456 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 984 não é divisível por 6, é divisível por 2, mas não é divisível por 3. 357 não é divisível por 6, é divisível por 3, mas não é divisível por 2. lidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo Di ilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos: 2000 é divisível por 8, pois termina em 000. 98120 é divisível por 8, pois 120 é divisível por 8. 98112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 78341 não é divisível por 8, pois 341 não é divisível por 8. Di dade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 6192 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 6+1+9+2=18, e como 18 é divisível por 9, então 6192 é divisível por 9. Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Exemplos: 8970 é divisível por 10, pois termina em 0. 5987 não é divisível por 10, pois não termina em 0. Di ilidade por 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. Exemplos: 87549 Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp=22-11=11 Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11. 439087 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 Polícia Rodoviária Federal q Matemática para Concursos Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 Si-Sp=10-21 Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0. Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. Divisibilidade por 12 Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. Exemplos: 1200 é divisível por 12, porque é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. 870 não é divisível por 12 é divisível por 3, mas não é divisível por 4. 8936 não é divisível por 12 é divisível por 4, mas não é divisível por 3. Di lidade por 15 Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. Exemplos: 9105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. 9831 não é divisível por 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 5. 680 não é divisível por 15 é divisível por 5, mas não é divisível por 3. Números Primos Devemos antes de tudo lembrar o que são números primos. Definimos como números primos aqueles que são divisíveis apenas por 1 e ele mesmo. Exemplos: 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é primo. 23 tem apenas os divisores 1 e 23, portanto 23 é primo. 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é primo. Atenção: 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor ele mesmo. 2 é o único número primo que é par. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 36 tem mais de dois divisores então 36 é um número composto. Como saber se um número é primo Devemos dividir o número dado pelos números primos menores que ele, até obter um quociente menor ou igual ao divisor. Se nenhum das divisões for exata, o número é primo. Decomposição em fatores primos Todo número natural, maior que 1, pode ser escrito na forma de uma multiplicação em que todos os fatores são números primos. É o que nós chamamos de forma fatorada de um número Decomposição do número 36: 36 =9x4 36=3x3x2x2 36=3x 3x2x2=22x3º No produto 2 x 2x 3x 3 todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 36 a decomposição de 36 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 36 é2? x 3? Método Prático Escrever a Forma Fatorada de um Número Natural Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo: º Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º A seguir, dividir o quociente obtido pelo seu menor divisor primo. 3º Proceder dessa forma, daí por diante, até obter o quociente 1. 4º Aforma fatorada do número 120=22x3x5 Polícia Rodoviária Federal 12 Matemática para Concursos 10 |2 mocentem E) |2 a jo 513 5 |5 Determinação dos divisores de um número Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 72: 1º Fatoramos o número 72. 2º Traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número. 3º Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo. 4º Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. Então o conjunto dos divisores de 72 = (1,2,3,4,6,8,9,12,18,36,72) Máximo Divisor Comum (mdc) O máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos (números diferentes de zero) é o maior número que é divisor ao mesmo tempo de todos eles. Não vamos aqui ensinar todos as formas de se calcular o mdc, vamos nos ater apenas a algumas delas. Regra das sões sucessivas Esta regra é bem prática para o calculo do mdc, observe: Exemplo: Vamos calcular o mdc entre os números 160 e 24. Polícia Rodoviária Federal 13 Matemática para Concursos 1º: Dividimos o número maior pelo menor. quocientes 2 2 2º: Como não deu resto zero, dividimos o divisor pelo resto da | números dados 160 | 64 | 32 divisão anterior. 3º; Prosseguimos com as divisões restos YZ | q sucessivas até obter resto zero. O mdc (64; 160) = 32 Para calcular o mdc entre três ou mais números, devemos coloca-los em ordem decrescente e começamos a calcular o mdc dos dois primeiros. Depois, o mdc do resultado encontrado e o terceiro número dado. E assim por diante. Exemplo: Vamos calcular o mdc entre os números 18, 36 e 63. quocientes 2 quocientes 3 2 números dados 936 | 18 números dados 693 | 18 9 restos O restos 9 o Omdcentre 36 e 18é 18 o mdc entre 63 e 18 é 9, logo o mdc (18, 36,63) = 9 Observe que primeiro calculamos o mdc entre os números 36 e 18, cujo mdc é 18, depois calculamos o mdc entre os números 63 e 18(mdc entre 36 e 18). O mdc (18; 36,63) = 9. Regra da decomposição simultânea Escrevemos os números dados, separamos uns dos outros por vírgulas, e colocamos um traço vertical ao lado do último. No outro lado do traço colocamos o menor dos fatores primos que for divisor de todos os números de uma só vês. O mdc será a multiplicação dos fatores primos que serão usados. Exemplos: mdc (80; 40; 72; 124) mdc (12; 64) 40, 72, 80, 124/2 64, 12)2 20, 36, 40,62 |2 32 6 |2 10, 18,20, 31 16 3 como não existe um divisor primo comun como não existe um divisor primo, que seja atodos omdcserão produto de2 x 2=4 divisor de 15 e 3 ao mesmo tempo o mdc o mdc (40, 72, 80,124) = 4 entreeles é o produto de 2x2 = 4. mdc(12, 64) = 4 Propriedade: Observe o mdc (4, 12, 20), o mdc entre estes números é 4. Você deve notar que 4 é divisor de 12, 20 e dele mesmo. Exemplo mdc (9, 18, 27) = 9, note que 9 é divisor de 18 e 27. mdc (12, 48, 144) = 12, note que 12 é divisor de 48 e 144. Mínimo Múltiplo Comum (mmc) O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais não nulos(números diferente de zero), é o menor número que múltiplo de todos eles. Regra da decomposição simultânea Polícia Rodoviária Federal 14 Matemática para Concursos Devemos saber que existe outras formas de calcular o mmc, mas vamos nos ater apenas a decomposição simultânea. OBS: Esta regra difere da usada para o mdc, fique atento as diferenças. Exemplos: mmc (18, 25, 30) = 720 1º; Escrevemos os números dados, separados por vírgulas, e 30, 36, 48) 2 colocamos um traço vertical a ie a za 5 de a 5 direita dos números dados. a 2º: Abaixo de cada número 15, 9, 6 2 - ia : 15, 9, 3/3 16x9x5=720 divisível pelo fator primo 5 a 1 la colocamos o resultado da divisão. 5. 1 1 |5 forma fatorada, observe que o 2 O números não divisíveis pelo 1 1 1 apareceu 4 vezes, O 3 apareceu fator primo são repetidos. ros 2 vezes e O 5 apareceu 1 vez 3º; Continuamos a divisão até obtermos resto 1 para todos os números. Observe o exemplo ao lado. mmc (4, 8, 12, 16) = 48 mm (10, 12, 15) = 60 4,8, 12,16)2 10, 12, 15|2 2,4, 6 8|2 5, 6, 15/2 14,2, 3, 4|2 5, 3,15/3 1,1, 3 2]2 5 1 55. ted x 1 L 11 2x3x5=4x3x45=60 4 2Zx3=1l6x3=48 Propriedade: Observe, o mmc (10, 20, 100) , note que o maior deles é múltiplo dos menores ao mesmo tempo, logo o mmc entre eles vai ser 100. Exemplo: mmec (150, 50 ) = 150, pois 150 é múltiplo de 50 e dele mesmo mmec (4, 12, 24) = 24, pois 24 é múltiplo de 4, 12 e dele mesmo Números Racionais O conjunto dos Números Racionais (Q) é formado por todos os números que podem ser . escritos na forma a/bondeaebiZeb 0 ( 1º Mandamento da Matemática: NÃO DIVIDIRAS POR ZERO) 23 1 -5 Exemplos: q" /0,25 5 (simplificando) , qu Operações As operações com número racionais segue as mesma regras de operação das frações. Adição e Subtração Reduz-se as frações ao mesmo denominador. Para isso devemos encontrar o mmc dos denominadores, criarmos uma mesma seqgiiência de fração com o novo denominador e numerador igual ao resultado da divisão do novo denominador pelo velho multiplicado pelo numerador velho, Exemplo: 2 =t+ ommc(3,4)=12entt— +— dividindo-se 12 por 3 e multiplicando-se por 2, 3 4 1 12 8.317 5 >+D=L=1— 1W 12 12/12 Polícia Rodoviária Federal 15 Matemática para Concursos depois dividindo-se 12 por 4 e multiplicando-se por 3 temos Multiplicação Multiplica-se os numeradores e os denominadores obtendo-se assim o resultado. É importante observar se o resultado da multiplicação não pode ser simplificado ( dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número) , normalmente isso é possível e evita que se faça operações com números muito grandes : = E simplificando por 3 temos como resu Édo ta | tm va | Divisão Deve-se multiplicar a primeira pelo inverso da seg 35 365 e D.D=0D=— simplificando por 2 ficamos 4545 com — tú Expressões Quando se resolve expressões numéricas devemos observar o seguinte: a. Deve-se obedecer a seguinte prioridade de operação: 1º - multiplicação e divisão na ordem em que aparecer 2º - soma e subtração na ordem em que aparecer b. Deve-se primeiro resolver as operação dentro do parênteses, depois do colchete e por fim da chave, e dentro de cada separador obedecer as regras do item a Exemplos: E 3) 5 resolva a operação que esta dentro do parenteses : mme(2, 2 =6 3 44 = 75.35 —“+— As + — -2=DD GG 5 5 G g > 4 2d EE) eiro os parenteses, e no segundo parênteses primeiro a multiplicação [5-5] [5-5 = tdi -di2]) Loo -iZzzito o -123 — > = 15 3 3 45 3 135 Números Fracionários Frações Polícia Rodoviária Federal 16 Matemática para Concursos à Será representado em nossa apostila da seguinte forma: a/b b O símbolo E significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: a/b de fração; a de numerador; b de denominador. Se a é múltiplo de b, então a/b é um número natural. Veja um exemplo: A fração 12/3 é igual a 12:3. Neste caso, 12 é o numerador e 3 é o denominador. Efetuando a divisão de 12 por 3, obtemos o quociente 4. Assim, 12/3 é um número natural e 12 é múltiplo Oirênte muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário. O significado de uma fração Algumas vezes, a/b é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de a/b? Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. Exemplo: Michele comeu 4/7 de um bolo. Isso significa que o bolo foi dividido em 7 partes iguais, Aline teria comido 4 partes: Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Aline, e a parte branca é a parte que sobrou do bolo. Como se lê uma fração As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2,3,4,5,6,7,8,9e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ... 1/2 um meio 2/5 Dois quintos 1/3 um terço 4/7 quatro sétimos 1/4 um quarto 7/8 sete oitavos 1/5 um quinto 12/9 doze nonos 1/6 um sexto 1/10 um décimo 1/7 um sétimo 1/100 um centésimo 1/8 um oitavo 1/1000 um milésimo 1/9 um nono 5/1000 Cinco milésimos Frações Próprias São frações que representam uma quantidade menor que o inteiro, ou seja representa parte do inteiro. Exemplos: Polícia Rodoviária Federal 17 Matemática para Concursos 50 + Observe que neste tipo de fração o numerador é sempre menor que o denominador. tam Ga ]in “o Frações Impróprias São frações que representam uma quantidade maior que o inteiro, ou seja representa uma unidade mais parte dela. Exemplos: 5715 =>.» — , observe que neste tipo de frações o numerador é sempre maior que o 340" 4 denominador. Frações Aparentes São frações que representam uma unidade, duas unidades etc. Exemplos: 58 18 ; a K dei , 583" observe que neste tipo de frações o numerador é sempre múltiplo do denominador. Frações Equivalentes Duas ou mais frações que representam a mesma quantidade da unidade são equivalentes. Exemplos: 1.5 1.5 > e 1" são frações equivalentes, ou seja > = 19 (1/2 é a metade de 2/2 e 5/10 é a metade de 10/10) Simplificando Frações Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número, esta não se altera. Encontramos frações equivalentes a fração dada. Exemplos: 3/4 = 6/8, observe que numerador e denominador foram multiplicados por 2. 12/18 = 4/6, observe que numerador e denominador foram divididos por 3. Reduzindo Frações ao Mesmo Denominador Exemplo: 257 —TÊ— : : : “ = : x = 3'4 2 ,a primeira coisa a se fazer é encontrar frações equivalentes às frações dadas de tal forma que estas tenham o mesmo denominador. Basta determinar o m.m.c entre os denominadores, que neste caso é 12. 8 15 42 12'12 12 , para obtermos, pegamos o m.m.c, dividimos pelo denominador, pegamos o resultado e multiplicamos pelo numerador, observe: 12 :3 =4,4x2 = 8e assim com as outras frações. Adição e Subtração de Frações 1º Caso Denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Polícia Rodoviária Federal 18 Matemática para Concursos Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Exemplos: 4,3 9 Ss 7 1 +40=0 Ools— 5 5 5 15 15 15 2º Caso Denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, devemos reduzir as frações ao menor denominador comum e, em seguida, adicionar ou subtrair as frações equivalentes às frações dadas. Para obtermos estas frações equivalentes determinamos m.m.c entre os denominadores destas frações. Exemplo: 5 ane HD Vamos somar as frações 4 & Obtendo o m.m.c dos denominadores temos m.m.c(4,6) = 12. 12:4=3e3x5=15 12:6=2e2x1=2 15,2 17 D+ =— 12 12 12 Multiplicação e Divisão de Frações Multiplicação 1º Caso Multiplicando um número natural por uma fração Na multiplicação de um número natural por uma fração, multiplicamos o número natural pelo numerador da fração e conservamos o denominador. Exemplos: 3x2=É à,3- É 5 5 7 7 Multiplicando Fração por Fração Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador. Exemplos: 2.5. 10 3.1.5 15:35 Eul=-— Dx—xD=—T=— (o resultado foi simplificado) 372 8 2 3 483 16 Divisão Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Exemplos: 4 23 27.14 34,7 28 Del=ixi=— 2=-xo=D 5 7 5 3 15 535.15 7 Polícia Rodoviária Federal 19 Matemática para Concursos Potenciação e radiciação de números fracionários Potenciação Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente: Exemplos: 9) 333.9 — =>K—-K— = — a) 4 44 64 Na radiciação, quando aplicamos a raiz a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador: Exemplos: E 255 48.2 16 4 819 27 3 Fracao geratriz Conforme você já estudou, todo número racional (Conjunto Q), resulta da divisão de dois número inteiros, a divisão pode resultar em um número inteiro ou decimal. Convém lembrar que temos decimais exato. Exemplo: 2,45; 0,256; 12,5689; 12,5689 Temos também decimais não exato (dízima periódica) Exemplo: 2,555555....; 45,252525....; 0,123123123...; 456,12454545; 7,4689999.... Você deve saber, que em uma dízima periódica a parte decimal que repete, recebe o nome de período, a parte que não repete é chamada de ante-período, a parte não decimal é a parte inteira. Exemplo: Dízima periódica composta Dízima periódica simples 2,4555... 2.555... CD Períodos CR período 5 Ante-período Parte inteira Parte inteira Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima Periódica Dízima periódica simples: Devemos adicionar a parte decimal à parte inteira. Devemos lembra que a parte decimal será transformada em uma fração cujo numerador é o período da dízima e o denominador é um número formado por tantos noves quantos sãos os algarismos do período. Exemplos: 2 0+2 & 25 D+25 25 4 g+4 13 02222, =0+)=>"L.Í qoasasos,.=q+— =D =— 1444, =1+0= = 9 q 9 og 99 99 9 9 9 Dízima periódica composta Devemos adicionar à parte inteira uma fração cujo numerador é formado pelo ante-período, seguindo de um período, menos o ante-período, e cujo denominador é formado de tantos noves quantos são os algarismos do período seguidos de tantos zeros quanto são os algarismos do ante-período. Exemplos: Polícia Rodoviária Federal 20 Matemática para Concursos Período = 47(implica em dois noves) Ante-período = 1 (implica em um 0) 07-0 77 + =p. =À ao 90 SO Período = 7 Ante-período = O 0,0777...=0 Números Decimais Fração Decimal São frações em que o denominador é uma potência de 10. 3. d7 3 1 5 47 10" 10" 100) 100º 1000" 10000 Toda fração decimal é escrita na forma de número decimal. Exemplos: 3 ao du 3a sai 3 a . sc HE sa — Três décimos; — Três centésimos; — Três milésimos; Três décimo de milésimo 10 100 1000 10000 Números Decimais 3 3 3 — = 03 — = 0,03 ——— = 0,003 10 100 1000 10000 = 0,0003 Lendo número decimais: 0,25 = Vinte e cinco centésimos; 2,24 = Dois inteiros e vinte e quatro centésimos 12,002 = Doze inteiros e dois milésimos; 0,0002 = Dois décimos de milésimos Transformando uma fração decimal em número decimal: 25 13 121 325 45 4225 — = 0,25, —=1,3) — =12,1, — = 3,25; —>—— = 0,045, —— = 422,5 100 10 10 1 1000 10 Observe: Denominador 10 um número depois da vírgula, denominador 100 dois números depois da vírgula, denominador 1000 três números depois da vírgula e assim por diante. Transformando um número decimal em fração decimal: 2 25 231 2 443 2313 10023 0,2-—; 2,5-—; 231=—; 0,02 = ——; 4,43=——, 2,313 =, 1,0023 = 10 10 100 100 100 1000 10000 Observe: Um número depois da vírgula denominador 10, dois números depois da vírgula denominador 100, três números depois da vírgula denominador 1000 e assim por diante. Propriedade: Um número decimal não se altera ao acrescentarmos zeros a direita do seu último número. Exemplos: 0,4 = 0,400 = 0,4000 = 0,40000 0,23 = 0,230 = 0,2300 = 0,23000 = 0,230000 1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000, 1,20000 Adição Na adição de números decimais devemos somar os números de mesma ordem de unidades, décimo com décimo, centésimo com centésimo. Antes de iniciar a adição, devemos colocar vírgula debaixo de vírgula. Polícia Rodoviária Federal 2 Matemática para Concursos Exemplos: 7,400 03+081 0,30 1,42 1,250 1,42 +2,03 ,DBl 205 , atiz 7,4 + 1,23 +3,122 Lt 3,45 Ns Subtração A subtração de números decimais é efetuada da mesma forma que a adição. 4,4-1,21;2,21-1,211;9,1-4,323 4,40 2,210 9,100 Lelo Bill 4323 3,19 0,999 art Multiplicação Efetuamos a multiplicação normalmente. Em seguida, contam-se as casas decimais de cada número e o produto fica com o número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores. Exemplos: 494 aa naus ani nasua a " 421 023 0,42 *2,1 142 RR 421 dá nas + Bda 0G6 + 042 sB41 + 023 0,504 D,3266 Divisão Na divisão de números decimais, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo número de casas decimais. Devemos igualá-las antes de começar a divisão. 7,02:3,51 z,02/3,51 702 |351 Observe: O número de casas decimais são iguais, eliminamos a 702 & vírgula e efetuamos a divisão normalmente. & divisão é exata O Doo resto é zero. 11,7:2,34 Observe: Eliminamos a vírgula e efetuamos a divisão. aLr[254 ato [Em 1170 [234 o ra E - E Resto igual a zero divisão exata, Igualamos o número Ai7D de casas decimais. 0000 23:7 as |7 Observe: & divisão não é exata. O número 3,2 e3|7 21 representa o quociente aproximado, por falta, até eia dao décimo. Quando o quociente possui duas casa 02 14 decimais a aproximação, por falta, até centésimo e Divisão não exata, DE assim por diante. 9 2 Quando acrescentamos a virgula a direita do quociente 3 almentamos um zero no resto 2. Matemática para Concursos Potenciação Efetuamos da mesma forma que aprendemos com os números naturais. Exemplos: (0,22=0,2 x 0,2 = 0,04; (1,22= 1,2 x 1,2 = 1,44; (1,23)0= 1; (23,5)!= 23,5 Potenciação e Radiciação, Razões, Proporções Potenciação Chamamos de potenciação, um número real a e um número naturaln, com n 1 0, escrito na forma a”. Observe o seguinte produto de fatores iguais. 2x2x2 este produto pode ser escrito da seguinte forma, 2º onde o número 3 representa quantas vezes o fator 2 esta sendo multiplicado por ele mesmo. 93 —— Expoente Lo Base Expoente, informa quantas vezes o fator vai ser multiplicado por ele mesmo. Base, informa o fator a ser repetido. Potência, é o resultado desta operação 2? = lê-se, dois elevado a 32 potencia ou dois elevado ao cubo. Exemplos: 3? = três elevado a segunda potência ou três elevado ao quadrado. 6º = seis elevado a quarta potência. 7º = sete elevado a quinta potência. 2º = dois elevado a oitava potência. Observações: 1a) Todo número elevado a expoente um é igual a ele mesmo. 1 5] 4 22=2, 31=3, 5i=5, 6:=6, 131 =13, (1,2)! = 1,2, [5 3 2a) Todo número diferente de zero elevado a expoente zero é igual a um. 5) 49=1, 6º=1, 8-1, 34º=1, 26º =1, (35P=1, 7 : Potências de base 1 1º=1, 1 =1, 12 =1, =, 12 =1, toda potência de 1 é iguala 1. Potências de base 10 10º = 1, 10? = 100, 10º = 1000, 10? = 10000, toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. Propriedades da Potenciação 1a) Multiplicação de potência de mesma base. Somamos os expoentes e conservamos a base, observe. 2x22=282=25=32 Polícia Rodoviária Federal 23 Matemática para Concursos 32x3=3H1=3!=81 4x42x4º =4º = 4096 22) Divisão de potência de mesma base. Subtraímos os expoentes e conservamos a base, observe. 22:22=2!=2 34:32=32=9 7P:P=7=49 3a) Potência de potência. Conservamos a base e multiplicamos os expoentes. (322 =32 =3!=81 EGP = 3282 = 3125531441 Trabalhando com Potenciação Exemplos: a) 3!=3x3x3x3=81 b) 52=5x5=25 c) 6 =6x6x6=216 d) 18=1 e) 23º=1 f) 234º =1 9) 10º = 1.000 000 h) (12)=1,2x1,2=1,44 D) (0,52 = 0,25 5) (0,45 =0,4x 0,4x 0,4x 0,4x 0,4x 0,4 = 0,01024 3 1 1111 — =-X-X— =— k) 2 2228 D (-32=-3x-3=9 m) (-4)=-4x-4x-4=-64 Observação: Lembre-se que (-3)2 1 -32, (32 =-3x-3=9 -32=(3x3)=(9)=-9 Potência com Expoente Negativo Observe: sa (IPA es 1 pj.” 4) 16, 3) 283, 3 2 g Radiciação Radiciação é o ato de extrair a raiz de um número, lembrando que temos raiz quadrada, raiz cúbica, raiz quarta, raiz quinta e etc... Radiciação é a operação inversa da potenciação (procure revisar este conteúdo). índice radical fo =b-— raiz radicando Lembrando que: Se o Índice é um número maior que 1 (n > 1), se este for igual a dois (raiz quadrada "não escrevemos este valor, o local do índice fica vazio ou seja fica entendido que ali está o número 2"), se for igual a 3 (raiz cúbica "este valor deve aparecer no índice"), etc... Exemplo: Já -lemos raiz quadrada de 4, JB = lemos raiz cúbica de & Polícia Rodoviária Federal 24 Matemática para Concursos Raiz de um número real 1º caso:a > 0 ené par. vamos calcular a 449 onde n=2(parj e a= 49(número positivo) Temos que en =49 e um =40, então 440 = 47, Devemos lembrar que o resultado de uma operação deve ser único, então a 449 =7 2º caso: a > 0 en é ímpar. vamos calcular a 425 onde n=3(impar) e a= 125(número positivo) Temos que 2 125 = 5, porque 5? =5x5x5-=125 3º caso:a < O en é impar. vamos calcular a 35% onde n= a(impar) e a=-B(número negativo) Temos que 28 = -2, porque [0 =(-Dx(-BDxi-=-8 4º caso: a < 0 en é par. vamos calcular a q/-81 onde n=2(par) e a=-Sl(número negativo) Temos «FBi=não existe, porque não exite um número que elevado ao quadrado seja igual a -B1 Razão Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b 1 O, aoquociente entre eles. Indica-se a razão de a para b Es por oua:b. Exemplo: Na sala da 62 B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão) 20-5 . . Tas = z (Indica que para cada 4d rapazes existe 5 moças) Voltando, ao exercício anterior, vamos encontrar a razão entre o número de moças e rapazes. ——— = — (indica que para cada 5 moças existe 4 rapazes, 005 Ei que p ç pazes) 2 . E -se, 2está para 5ou 2 para 5 E -se,Bestá para 9 ou & para 9 Lendo Razões: 5 a Termos de uma Razão Antecedente s 6º 7 Consequente Grandezas Especiais Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real. Polícia Rodoviária Federal 25
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