Matemática Superior para Engenharia Vol.2 Erwin Kreyszig, Manual de Cálculo Avançado. Universidade Federal do Paraná (UFPR)
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mariana-garcia31 de março de 2017

Matemática Superior para Engenharia Vol.2 Erwin Kreyszig, Manual de Cálculo Avançado. Universidade Federal do Paraná (UFPR)

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Cálculo 4, números complexos, séries, equação da onda, equação do calor.
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Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

CAPÍTULO 11 Séries, Integrais e Transformadas de Fourier

CAPÍTULO 12 Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

A análise de Fourier relaciona-se aos fenômenos periódicos, que ocorrem com bastante freqüência em engenharia e outras aplicações — considere, por exemplo, as peças rotativas de máquinas, as correntes elétricas alternadas ou o movimento dos planetas. As funções periódicas relacionadas a esses fenômenos podem ser complicadas. Tal situação impõe a importante tarefa prática de representar essas funções com- plicadas por meio de funções periódicas simples, a saber, de senos e cossenos. Essas representações serão as séries infinitas, chamadas de séries de Fourier.1

A criação dessas séries foi um dos eventos mais decisivos da matemática aplicada, e vale dizer que também exerceu uma considerável influência na matemática como um todo, no que se refere ao conceito de função, à teoria da integração, à teoria da convergência das séries etc. (veja a Ref. [GR7] no Apêndice 1).

O Capítulo 11 trata principalmente das séries de Fourier. Entretanto, as idéias subjacentes podem também ser estendidas a fenômenos não-periódicos. Isso leva às integrais e transformadas de Fourier. Um nome comum para toda essa área é análise de Fourier.

O Capítulo 12 trata das equações diferenciais parciais (EDPs) mais importantes da física e da engenharia. Esta é a área onde a análise de Fourier tem suas aplicações mais fundamentais, relacionadas a problemas de limite e de valor inicial em mecânica, fluxo de calor, eletrostática e outros campos.

P A R T E C

1 JEAN-BAPTISTE JOSEPH FOURIER (1768–1830), físico e matemático francês, que viveu e lecionou em Paris, acompanhou Napoleão na Guerra do Egito e foi posteriormente prefeito de Grenoble. Os tópicos iniciais sobre as séries de Fourier podem ser encontrados nos trabalhos de Euler e de Daniel Bernoulli, porém foi Fourier quem os empregou de um modo sistemático e geral em seu trabalho principal, Théorie analytique de la chaleur (Teoria Analítica do Calor, Paris, 1822), onde desenvolveu a teoria da condução do calor (equação do calor; veja a Seção 12.5), fazendo dessas séries uma das ferramentas mais importantes da matemática aplicada.

C A P Í T U L O 1 1 Séries, Integrais e Transformadas de Fourier

As séries de Fourier (Seção 11.1) são séries infinitas concebidas para representar funções periódicas gerais em termos de funções simples, a saber, de senos e cossenos. Elas constituem uma ferramenta muito impor- tante, especialmente na solução de problemas envolvendo EDOs e EDPs.

Neste capítulo, discutiremos as séries de Fourier e seu uso em engenharia de um ponto de vista prático, em conexão com as EDOs e com a aproximação das funções periódicas. A aplicação disso nas EDPs é apresentada no Capítulo 12.

A teoria das séries de Fourier é complicada, embora veremos que a aplicação destas séries é um tanto simples. As séries de Fourier são, num certo sentido, mais universais que as conhecidas séries de Taylor do cálculo, porque muitas funções periódicas descontínuas de interesse prático podem ser desenvolvidas em séries de Fourier, porém, naturalmente, não têm representações em séries de Taylor.

Nas últimas seções (11.7–11.9) consideraremos as integrais de Fourier e as transformadas de Fourier, que estendem as idéias e técnicas das séries de Fourier às funções não-periódicas e que têm aplicações fundamentais nas EDPs (o que será mostrado no próximo capítulo).

Pré-requisito: cálculo integral elementar (necessário para os coeficientes de Fourier) Seções que podem ser omitidas num curso mais curto: 11.4–11.9 Referências e Respostas dos Problemas: Parte C do Apêndice 1 e Apêndice 2.

11.1 Séries de Fourier As séries de Fourier são a ferramenta básica para se representar as funções periódicas, as quais desempenham um importante papel nas aplicações. Uma função f(x) é chamada de função periódica se f(x) for definida para todo x real (talvez exceto em alguns pontos, como x = p/2, 3p/2, • • • para tan x) e se existir algum número p positivo, denominado período de f(x), tal que

(1) ƒ(x  p)  ƒ(x) para todo x.

O gráfico de uma função assim é obtido pela repetição periódica de seu gráfico num intervalo qualquer de com- primento p (Fig. 255).

Funções periódicas conhecidas são as funções do seno e cosseno. Exemplos de funções que não são periódicas são x, x2, x3, ex, cosh x, e ln x, para mencionarmos apenas algumas.

Se f(x) tem período p, ela também tem o período 2p, pois (1) implica que ƒ(x  2p)  ƒ([x  p]  p)  ƒ(x  p)  ƒ(x), etc.: portanto, para qualquer inteiro n = 1, 2, 3, • • •,

(2) ƒ(x  np)  ƒ(x) para todo x.

x

f(x)

p

Fig. 255. Função periódica

Capítulo 11: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 3

Além disso, se f(x) e g(x) têm período p, então af(x) + bg(x) com quaisquer constantes a e b também tem o período p.

Nosso problema nas primeiras seções deste capítulo será representar várias funções f(x) de período 2p em termos das funções simples

(3) 1, cos x, sen x, cos 2x, sen 2x, • • • , cos nx, sen nx, • • • .

Todas essas funções têm o período 2p. Elas constituem o chamado sistema trigonométrico. A Fig. 256 mostra as primeiras delas (exceto para a constante 1, que é periódica com qualquer período).

A série a ser obtida será uma série trigonométrica, ou seja, uma série da forma

(4)

a0  a1 cos x  b1 sen x  a2 cos 2x  b2 sen 2x  • • •

 a0   

n1

(an cos nx  bn sen nx).

a0, a1, b1, a2, b2, • • • são constantes, chamadas de coeficientes da série. Observamos que cada termo tem o período 2p. Logo, se os coeficientes são tais que a série convirja, sua soma será uma função de período 2p.

Pode-se demonstrar que, se a série no lado esquerdo de (4) convergir, então a inserção de parênteses à direita fornece uma série que converge e que tem a mesma soma da série à esquerda. Isso justifica a igualdade em (4).

Agora suponha que f(x) seja uma dada função de período 2p e seja tal que possa ser representada por uma série (4), ou seja, (4) converge e, além disso, possui a soma f(x). Então, usando o sinal de igualdade, escrevemos

(5) ƒ(x)  a0   

n1 (an cos nx  bn sen nx)

0 2ππ

cos x

0 2ππ

sen x

0 2ππ

sen 2x

0 2ππ

sen 3x

0 2ππ

cos 2x

0 2ππ

cos 3x

Fig. 256. Funções cosseno e seno de período 2p

e dizemos que (5) é a série de Fourier de f(x). Provaremos que, neste caso, os coeficientes de (5) são os chamados coeficientesdeFourier de f(x), dados pelas fórmulas de Euler

(6)

(a) a0 ƒ(x) dx

(b) an ƒ(x) cos nx dx

(c) bn ƒ(x) sen nx dx 1

1

1

2

n  1, 2, • • •

n  1, 2, • • • .

O nome “série de Fourier” é às vezes também usado no caso excepcional em que (5), com os coeficientes (6), não converge ou não tem a soma f(x) — issopode acontecer, embora tenha um interesse meramente teórico. (Sobre Euler, veja a nota de rodapé 4 na Seção 2.5.)

Um Exemplo Básico Antes de obtermos as fórmulas de Euler (6), vamos nos familiarizar com a aplicação de (5) e de (6) para o caso de um exemplo importante. Como você trabalhará com outras funções similares a esta, tente compreender total- mente cada detalhe das integrações, as quais, devido ao n envolvido, diferem um tanto das que você já praticou no cálculo. Você deve evitar o uso rotineiro do computador, preferindo, ao invés disso, fazer observações: de que

4 Parte C • Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

modo funções contínuas (cossenos e senos) podem representar uma dada função descontínua? Como a qualidade da aproximação aumenta à medida que consideramos um número crescente de termos da série? Por que as funções de aproximação, chamadas de somas parciais da série, são sempre nulas em 0 e p? Por que o fator 1/n (obtido na integração) é importante?

EXEMPLO 1 Onda Retangular Periódica (Fig. 257a) Encontre os coeficientes de Fourier da função periódica f(x) na Fig. 257a. A fórmula é

(7) ƒ(x) e ƒ(x 2 ) ƒ(x). x 0

0 x

se

se

k

k As funções desse tipo ocorrem como forças externas agindo em sistemas mecânicos, forças eletromotrizes em circuitos elétricos etc. (O valor de f(x) em um único ponto não afeta a integral; logo, podemos deixar f(x) indefinida em x = 0 e x = p.)

Solução. De (6a), obtemos a0= 0. Também podemos ver isto sem integração, pois a área sob a curva f(x) entre –p e p é nula. De (6b),

an ƒ(x) cos nx dx

0

( k) cos nx dx 0

k cos nx dx

k 0

k 0

0 sen nx

n

sen nx

n

1

11    

porque sen nx = 0 em –p, 0 e p para todo n = 1, 2, • • •. Similarmente, de (6c), obtemos

bn ƒ(x) sen nx dx

0

( k) sen nx dx 0

k sen nx dx

k 0

k 0

. cos nx

n

cos nx

n

1

11    

k

k

x

f(x)

0 2π–π π

(a) A função dada f(x) (onda retangular periódica)

(b) As três primeiras somas da série de Fourier correspondente

k

sen 3x

k

x –π π

S 1

k

k

x –π π

S 1 S

2

4k___ 3π

sen 5x4k___ 5π

k

k

x –π π

S 2 S3

Fig. 257. Exemplo 1

Capítulo 11: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 5

Como cos (–a) = cos a e cos 0 = 1, isto fornece

bn [cos 0 cos ( n ) cos n cos 0] (1 cos n ). 2k

n

k

n

Ora, cos p = –1 cos 2p = 1, cos 3p = –1 etc.; em geral,

cos n e, portanto, 1 cos n 2 para n ímpar,

0 para n par,

para n ímpar,

para n par,

1

1  Como os coeficientes de Fourier bn de nossa função são

b1 , b2 0, b3 , b4 0, b5 , • • • . 4k

5

4k

3

4k

Como os an são nulos, a série de Fourier de f(x) é

(8) sen x sen 3x sen 5x • • • . 1

5

1

3

4k   As somas parciais são

S1 sen x, S2 sen x sen 3x , 1

3

4k4k   etc., Seus gráficos na Fig. 257 parecem indicar que a série é convergente e tem a soma f(x), a função dada. Notemos que, em x = 0 e em x = p, os pontos de descontinuidade de f(x), todas as somas parciais valem zero, que é a média aritmética dos limites –k e k da nossa função nesses pontos.

Além disso, supondo que f(x) seja a soma da série e fazendo x = p/2, temos

portanto,

ƒ k 1 • • • .

1 • • • . 4

1

7

1

5

1

3

1

5

1

3

4k

2   

Este é um famoso resultado obtido por Leibniz em 1673 a partir de considerações geométricas, e ilustra o fato de que os valores de várias séries com termos constantes podem ser obtidos avaliando-se as séries de Fourier em pontos específicos. 

Demonstração das Fórmulas de Euler (6) A chave para as fórmulas de Euler (6) é a ortogonalidade de (3), um conceito de importância fundamental, como se segue.

TEOREMA 1 Ortogonalidade do Sistema Trigonométrico (3)

O sistema trigonométrico (3) é ortogonal no intervalo p  x  p (logo, também no intervalo 0 x  2p ou em qualquer outro intervalo de comprimento 2p, devido à periodicidade); ou seja, a integral do produto de duas funções quaisquer em (3) sobre esse intervalo vale 0, de modo que, para quaisquer n e m inteiros,

(a)  

cos nx cos mxdx  0 (n  m)

(9)(b)  

sen nx sen mxdx  0 (n  m)

(c)  

sen nx cos mxdx  0 (n  m ou n  m).

PROVA A demonstração disso é feita por uma simples transformação trigonométrica dos integrandos, passando-os de produtos para somas. Em (9a) e (9b), por (11) do Apêndice A3.1,

 

cos nx cos mxdx  1  2

 

cos (n  m)xdx  1  2

 

cos (nm)xdx

 

sen nx sen mxdx  1  2

 

cos (nm)xdx 1  2

 

cos (n  m)xdx.

Como m  n (inteiro!), as integrais no lado direito são todas iguais a 0. Similarmente, em (9c), para todos os m e n inteiros (sem exceção; você pode ver por quê?),

 

sen nx cos mxdx  1  2

 

sen (n  m)xdx  1  2

 

sen (nm)xdx  0  0. 

6 Parte C • Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

Aplicação do Teorema 1 à Série de Fourier (5) Provemos (6a). Em (5), integrando de –p a p em ambos os lados, obtemos

ƒ(x) dx a0 n 1

(an cos nx bn sen nx) dx.  Suponhamos agora que seja possível integrar termo a termo. (Na prova do Teorema 2, diremos quando isso é verdadeiro.) Então, obtemos

ƒ(x) dx a0 dx n 1

an cos nx dx bn sen nx dx .  O primeiro termo no lado direito é igual a 2pa0. A integração mostra que todas as outras integrais são nulas. Logo, a divisão por 2p fornece (6a).

Provemos (6b). Multiplicando (5) em ambos os lados por cos mx com qualquer inteiro positivo fixom e inte- grando de –p a p, temos

(10) ƒ(x) cos mx dx a0 n 1

(an cos nx bn sen nx) cos mx dx.  Agora, integramos termo a termo. Então, no lado direito, obtemos uma integral de a0 cos mx, que vale 0; uma integral de an cos nx cos mx, que é igual a amp para n = m e 0 para n  m segundo (9a); e uma integral de bn sen nx cos mx, que é 0 para todo n e m segundo (9c). Logo, o lado direito de (10) é igual a amp. Dividindo por p, obtemos (6b) (com m no lugar de n).

Finalmente, provemos (6c). Multiplicando (5) em ambos os lados por sen mx com qualquer inteiro positivo fixom e integrando de –p a p, obtemos

(11)ƒ(x) sen mx dx a0 n 1

(an cos nx bn sen nx) sen mx dx.  Integrando termo a termo, obtemos no lado direito uma integral de a0 sen mx, que é 0; uma integral de an cos nx sen mx, que é 0 por (9c); e uma integral bn sen nx sen mx, que é bmp se n = m e 0 se n  m, por (9b). Isto implica (6c) (com n representado por m) e completa a prova das fórmulas de Euler (6) para os coeficientes de Fourier. 

Convergência e Soma de uma Série de Fourier A classe das funções que podem ser representadas por séries de Fourier é surpreendentemente grande e geral. As condições de suficiência válidas na maioria das aplicações são as seguintes.

TEOREMA 2 Representação por Séries de Fourier

Consideremos que f(x) seja periódica, tenha o período 2p e seja contínua por intervalos (veja a Seção 6.1) no intervalo p  x  p. Além disso, consideremos que f(x) possua derivadas tanto à esquerda quanto à direita de cada ponto desse intervalo. Então, a série de Fourier (5) de f(x) [com os coeficientes (6)] converge. Sua soma é f(x), excetuando-se nos pontos x0, onde f(x) é descontínua. Nesses pontos, a soma da série é a média dos limites de f(x) à esquerda e à direita2 de x0.

2O limite à esquerda de f(x) em x0 é definido como o limite de f(x) à medida que x se aproxima de x0 pela esquerda, sendo comumente representado por f(x0– 0). Portanto,

ƒ(x0 0)  lim h→0

ƒ(x0 h) quando h → 0 por valores positivos.

O limite à direita é representado por f(x0+ 0) e

ƒ(x0  0)  lim h→0

ƒ(x0  h) quando h → 0 por valores positivos.

As derivadas à esquerda e à direita de f(x) em x0 são definidas como os limites de

e , ƒ(x0 h) ƒ(x0 0)

h

ƒ(x0 h) ƒ(x0 0)

h respectivamente, à medida que h → 0 por valores positivos. Naturalmente, se f(x) é contínua em x0, o último termo em ambos os numeradores é simplesmente f(x0).

x

f(x)

f(1 – 0)

f(1 + 0)

1

10

Fig. 258. Limites esquerdo e direitoƒ(1 0) 1,

ƒ(1 0) 1_2

da funçãoƒ(x) se x 1x2

x/2

Capítulo 11: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 7

PROVA Provemos a convergência no Teorema 2. Provaremos a convergência para uma função contínua f(x) que possui derivadas primeiras e segundas contínuas. Integrando (6b) por partes, obtemos

an ƒ(x) cos nx dx ƒ (x) sen nx dx. 1

n

ƒ(x) sen nx

n

1

O primeiro termo no lado direito vale zero. Uma outra integração por partes fornece

an ƒ (x) cos nx dx. 1

n2 ƒ (x) cos nx

n2

O primeiro termo à direita é nulo por causa da periodicidade e continuidade de f (x). Como f é contínua no intervalo de integração, temos

ƒ (x) M

para uma constante apropriada M. Além disso, cos nx  1. Segue-se que

an ƒ (x) cos nx dx M dx . 2M

n2 1

n2 1

n2

Similarmente, bn < 2 M/n2 para todo n. Logo, o valor absoluto de cada termo da série de Fourier de f(x) é, no máximo, igual ao termo correspondente da série

a0 2M 1 1 • • • 1

32 1

32 1

22 1

22  que é convergente. Logo, essa série de Fourier converge e a prova fica completa. (Os leitores já familiarizados com a convergência uniforme verão que, pelo teste de Weierstrass na Seção 15.5, sob as suposições aqui presen- tes, a série de Fourier converge uniformemente, e nossa demonstração de (6) usando a integração termo a termo justifica-se então pelo Teorema 3 da Seção 15.5.)

A prova da convergência no caso de uma função f(x) contínua por intervalos e a prova de que, sob as suposi- ções mencionadas no teorema, a série de Fourier (5) com os coeficientes (6) representa f(x), são substancialmente mais complicadas; veja, por exemplo, a Ref. [C12]. 

EXEMPLO 2 Convergência em um Salto, como Indicada no Teorema 2 A onda retangular no Exemplo 1 apresenta um salto em x = 0. Neste ponto, seu limite à esquerda é –k e seu limite à direita é k (Fig. 257). Logo, a média desses limites é 0. A série de Fourier (8) para a onda de fato converge para este valor quando x = 0, porque nesse caso todos os seus termos são nulos. Algo similar ocorre com os outros saltos. Isto está em concordância com o Teorema 2. 

Resumo. Uma série de Fourier de uma função dada f(x) de período 2p é uma série com a forma (5) e que tem os coeficientes dados pelas fórmulas de Euler (6). O Teorema 2 determina as circunstâncias suficientes para que essa série convirja e tenha o valor f(x) em cada x, exceto nas descontinuidades de f(x), onde a série é igual à média aritmética dos limites de f(x) à direita e à esquerda nesses pontos.

P R O B L E M A S P R O P O S T O S 1 1 . 1

1. (Revisão de cálculo) Reveja as técnicas de integração para as integrais com maior probabilidade de surgir nas fórmulas de Euler, como, por exemplo, as integrais definidas de x cos nx, x2 sen nx, e–2x cos nx etc.

2–3 PERÍODO FUNDAMENTAL

Período fundamental é o menor período positivo. Encontre-o para

2. cos x, sen x, cos 2x, sen 2x, cos px, sen px, cos 2px, sen 2px

3. cos nx, sen nx, cos 2px 

k , sen

2px 

k , cos

2pnx 

k , sen

2pnx 

k 4. Mostre que f = const. é periódica com qualquer período, mas não

possui período fundamental.

5. Se f(x) e g(x) têm o período p, mostre que h(x) = af(x)+ bg(x) (a, b, constantes) tem o período p. Portanto, todas as funções de período p constituem um espaço vetorial.

6. (Mudança de escala) Se f(x) tem período p, mostre que f(ax), a  0, e f(x/b), b  0, são funções periódicas de x e têm os períodos p/a e bp, respectivamente. Dê exemplos.

7–12 GRÁFICOS DE FUNÇÕES PERIÓDICAS 2p Esboce ou faça o gráficode f(x), que tem período 2p e, para –p < x < p, é dada como segue.

7. ƒ(x) x 8. ƒ(x) e x

9. ƒ(x) x 10. ƒ(x) sen 2x

11. ƒ(x)

12. ƒ(x) x 0

0 x

se

se

1

cos 1_2x

x 0

0 x

se

se

x3

x3 

8 Parte C • Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

13–24 SÉRIES DE FOURIER Mostrando os detalhes do que fizer, encontre a série de Fourier da f(x) dada, que se supõe ter o período 2p. Esboce ou represente graficamen- te as somas parciais até a parte contendo cos 5x e sen 5x. 13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. ƒ(x)  x2 (  x )

22. ƒ(x)  x2 (0 x 2)

23. ƒ(x) 1_ 2 x

1_ 2

1_ 2 x

3_ 2

se

se

x2

1_ 4

2 24. ƒ(x)

x 0

0 x

se

se

4x

4x 25. (Descontinuidades) Verifique a última sentença do Teorema 2,

referente às descontinuidades de f(x) no Problema 13.

26. EXPERIMENTO DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL.Grá- ficos. Escreva um programa para representar graficamente as

somas parciais das séries a seguir. Com base no gráfico, tente adivinhar qual função f(x) a série em questão pode representar. Então, confirme ou não sua suposição utilizando as fórmulas de Euler.

(a) 2(sen x 1_3 sen 3x 1_ 5 sen 5x • • •)

2( 1_2 sen 2x 1_ 4 sen 4x

1_ 6 sen 6x • • •)

(b) 1_2 (cos x 1_ 9 cos 3x

_1 25 cos 5x • • •)

(c) 2_3 2 4(cos x 1_4 cos 2x

1_ 9 cos 3x

_1 16 cos 4x

• • •)

4 2

27. EXPERIMENTO DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL. Ordem dos Coeficientes de Fourier. A ordem parece ser 1/n se f for des- contínua; 1/n2 se f for contínua, mas f= df/dx é descontínua; 1/n3 se f e f são contínuas, mas f é descontínua etc. Tente verificar isto por meio de exemplos e tente prová-lo integrando por partes as fórmulas de Euler. Qual é o significado prático disto?

28. PROJETO. Fórmulas de Euler em Termos de Saltos sem Inte- gração. Mostre que, para uma função cuja derivada terceira é iden- tificada nula,

an js sen nxs js cos nxs

js sen nxs

bn js cos nxs js sen nxs

js cos nxs 1

n2

1

n

1

n

1

n2

1

n

1

n  

 

onde n = 1, 2, ... e a soma é feita sobre todos os saltos js, js, j s de f, f, f, respectivamente, situados em xs.

29. Aplique as fórmulas do Projeto 28 à função do Problema 21 e compare os resultados.

30. EXPERIMENTO DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL. Orto- gonalidade. Integre e represente graficamente a integral do produto cos mx cos nx (com vários inteiros m e n de sua escolha) de –a até a como uma função de a, e confirme a ortogonalidade de cos mx e cos nx (m  n) para a = p a partir do gráfico. Para quais m e n obteríamos a ortogonalidade para a = p/2, p/3, p/4? Um outro a? Estenda esse experimento para cos mx sen nx e sen mx sen nx.

0–π π

π

0–π 1 2 π

1

0–π π

1

0–π π

1 2 π

1 2 π

0–π π

π

0–π π

π

0–π π

1 2 π

1 2 π

1 2 π1

2 π0–π

–π

π

π

11.2 Funções de um Período Qualquer p =2LAs funções que consideramos até agora tinham um período de 2p, para que as fórmulas ficassem mais simples. Naturalmente, as funções periódicas nas aplicações terão em geral outros períodos. Entretanto, mostraremos agora que a transição do período p = 2p para um período 2L é algo bastante simples de se fazer. A notação p = 2L é prática porque L terá o comprimento de uma corda de violino (Seção 12.2) ou o comprimento de uma haste na condução do calor (Seção 12.5), e assim por diante.

A idéia é simplesmente encontrar e usar uma mudança de escala que forneça, a partir de uma função g(v) de período 2p, uma função de período 2L. Ora, de (5) e (6) na última seção, com g(v) ao invés de f(x), temos a série de Fourier

(1) g(v)  a0   

n1

(an cos nv  bn sen nv)

Capítulo 11: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 9

com os coeficientes

a0  1

 2 





g(v) dv

(2) an  1  

 

g(v) cos nvdv

bn  1  

 

g(v) sen nvdv.

Podemos agora escrever a mudança de escala como v = kx com k tal que o período anterior v = 2p fornece para a nova variável x o novoperíodo x =2L. Portanto, 2p = k2L. Logo, k = p/L e

(3) v = kx = px/L.

Isto implica que dv = (p/L) dx, o que, ao se fazer a substituição em (2), cancela 1/2p e 1/p, dando, no lugar disso, os fatores 1/2L e 1/L. Escrevendo

(4) g(v) = f(x),

obtemos assim de (1) a série de Fourier da função f(x) de período 2L

(5) ƒ(x) a0 n 1

an cos x bn sen x n

L

n

L  com os coeficientes de Fourier de f(x) dados pelas fórmulas de Euler

(a)a0  1

 2L

 L

L ƒ(x) dx

(6)(b)an  1  L

 L

L ƒ(x) cos

nx 

L dxn  1, 2, • • •

(c)bn  1  L

 L

L ƒ(x) sen

nx 

L dx n  1, 2, • • • .

Como na Seção 11.1, continuamos a dizer que (5) com coeficientes quaisquer é uma série trigonométrica. E podemos integrar de 0 a 2L, ou sobre qualquer outro intervalo de comprimento p = 2L.

EXEMPLO 1 Onda Retangular Periódica Encontre a série de Fourier da função (Fig. 259)

ƒ(x) p 2L 4, L 2.

1

1

2

x

x

x

2

1

1

se

se

se

0

k

0 

Solução. De (6a), obtemos a0 = k/2 (verifique!). De (6b), obtemos

an

2

2

ƒ(x) cos dx

1

1 k cos dx sen .

n

2

2k

n

n x

2

1

2

n x

2

1

2

Portanto, an = 0 se n for par e

an  2k /n se n  1, 5, 9, • • • , an  2k /n se n  3, 7, 11, • • • .

De (6c), constatamos que bn = 0 para n = 1, 2, • • • Logo, a série de Fourier é

ƒ(x) cos x cos x cos x • • • . 5

2

1

5

3

2

1

32

2kk

2   

x

f(x)

0 21–2 –1

k

Fig. 259. Exemplo 1

10 Parte C • Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

EXEMPLO 2 Onda Retangular Periódica Encontre a série de Fourier da função (Fig. 260)

ƒ(x) p 2L 4, L 2. 2 x 0

0 x 2

se

se

k

k Solução.a0 = 0 de (6a). De (6b), com 1/L = 1/2,

an

0

2

( k) cos dx

2

0

k cos dx

sen 0

2 sen

2

0 0,

n x

2

2k

n

n x

2

2k

n

1

2

n x

2

n x

2

1

2    

de modo que a série de Fourier não possui nenhum termo em cossenos. De (6c),

bn cos 0

2 cos

2

0

(1 cos n cos n 1) se n 1, 3, • • •

se n 2, 4, • • • .

4k/n

0

k

n

n x

2

2k

n

n x

2

2k

n

1

2

  

Logo, a série de Fourier de f(x) é

ƒ(x) sen x sen x sen x • • • . 5

2

1

5

3

2

1

32

4k   É interessante o fato de que poderíamos chegar a esta fórmula a partir de (8) da Seção 11.1, a saber, pela mudança de escala (3). Real-

mente, escrevendo v no lugar de x, temos em (8) da Seção 11.1,

sen v sen 3v sen 5v • • • . 1

5

1

3

4k   Como o período 2p em v corresponde a 2L = 4, temos que k = p/L = p/2e v = kx = px/2 em (3); logo, obtemos a série de Fourier de f(x), como antes. 

f(x) k

x

–k –2 2

t

u(t)

0π ω– / π ω/

Fig. 260. Exemplo 2 Fig. 261. Retificador de meia-onda

EXEMPLO 3 Meia-onda Retificadora Uma tensão senoidal E sen ωt, onde t é o tempo, atravessa um retificador de meia-onda que absorve a porção negativa da onda (Fig. 261). Encontre a série de Fourier da função periódica resultante

u(t) p 2L , L . 2L t 0,

0 t L

se

se

0

E sen t 

Solução.Como u = 0 quando –L < t <0, obtemos de (6a), com t no lugar de x,

a0

/

0

E sen t dt E

2

e, de (6b), usando a fórmula (11) do Apêndice A3.1 com x = ωt e y = nωt,

an

/

0

E sen t cos n t dt

/

0 [sen (1 n) t sen (1 n) t] dt.

E

2

Se n = 1, a integral à direita é zero, e se n = 2, 3, • • •, prontamente obtemos

an 0

/

. cos (1 n) 1

1 n

cos (1 n) 1

1 n

E

2

cos (1 n) t

(1 n)

cos (1 n) t

(1 n)

E

2  

  Se n é ímpar, essa expressão é igual a zero e, para n par, temos

an 2E

(n 1)(n 1)

2

1 n

2

1 n

E

2   (n  2, 4, • • •).

Capítulo 11: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 11

De modo similar, encontramos de (6c) que b1 = E/2 e bn = 0 para n = 2, 3, • • • Conseqüentemente,

u(t) sen t cos 2 t cos 4 t • • • . 1

3 5

1

1 3

2EE

2

E   

P R O B L E M A S P R O P O S T O S 1 1 . 2

1–11 SÉRIES DE FOURIER DE PERÍODO p = 2L Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p = 2L, e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.)

1. ƒ(x)  1 ( 2 x 0), ƒ(x)  1 (0 x 2), p  4

2. ƒ(x)  0 ( 2 x 0), ƒ(x)  4 (0 x 2), p  4

3. ƒ(x)  x2 ( 1 x 1), p  2

4. ƒ(x)  px3/2 ( 1 x 1), p  2

5. ƒ(x)  sen px (0 x 1), p  1

6. ƒ(x)  cos px ( 1 2 x 1

2 ), p  1

7. ƒ(x)  x ( 1 x 1), p  2

8. ƒ(x)  1  x se 1 x 01 x se 0 x 1, p  2 9. ƒ(x)  1 x2 ( 1 x 1), p  2

10. ƒ(x)  0 ( 2 x 0), ƒ(x)  x (0 x 2), p  4

11. ƒ(x)  x ( 1 x 0), ƒ(x)  x (0 x 1), ƒ(x)  1 (1 x 3), p  4

12. (Retificador) Encontre a série de Fourier da função obtida quando passamos a tensão v(t) = V0 cos 100pt através de um retificador de meia-onda.

13. Mostre que as conhecidas identidades

cos3 x  34 cos x  1 4 cos 3x e sen

3 x  34 sen x 1 4 sen 3x podem

ser interpretadas como expansões em séries de Fourier. Desenvolva cos4 x.

14. Obtenha a série do Problema 7 a partir da série do Problema 8.

15. Obtenha a série do Problema 6 a partir da série do Problema 5.

16. Obtenha a série do Problema 3 a partir da série do Problema 21 (em Problemas Propostos 11.1).

17. Usando o Problema 3, mostre que

1 14  1 9

1 16  • • • 

1 12p

2.

18. Mostre que 1 14  1 9

1 16  • • • 

1 12p

2.

19.PROJETO DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL. Séries de Fourierde Funções de Período 2L. (a) Escreva um programa para obter as somas parciais de uma série de Fourier (1).

(b) Aplique o programa aos Problemas. 2–5, representando num mesmo gráfico as primeiras somas parciais de cada uma das quatro séries. Escolha as primeiras cinco ou mais somas parciais, até elas se aproximarem razoavelmente bem da função dada. Compare e comente.

20. EXPERIMENTO DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL. Fenô- meno de Gibbs. As somas parciais sn(x) de uma série de Fourier apresentam oscilações perto de um ponto de descontinuidade. Essas oscilações não desaparecem com o aumento de n, mas, ao invés disso, aproximam-se cada vez mais de “picos” agudos. Isso foi matematicamente explicado por J. W. Gibbs3. Faça o gráfico de sn(x) no Problema 10. Quando n valer, digamos, 50, você verá de modo bastante distinto essas oscilações. Considere similarmente outras séries de Fourier de sua escolha. Faça com- parações.

11.3 Funções Pares e Ímpares. Expansões de Meia-escala

No Exemplo 1 da Seção 11.2, a função é par, e sua série de Fourier tem somente termos em cossenos. Já no Exemplo 2 da Seção 11.2, a função é ímpar, e sua série de Fourier tem somente termos em senos.

Lembre que g é parse g(–x)= g(x), de modo que seu gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical (Fig. 262). Já uma função h é ímpar se h(–x) = –h(x) (Fig. 263).

3 JOSIAH WILLARD GIBBS (1839–1903), matemático norte-americano, assumiu a cátedra de física matemática em Yale em 1871 e foi um dos fundadores do cálculo vetorial [o outro foi O. Heaviside (veja a Seção 6.1)], da termodinâmica matemática e da mecânica estatística. Seus trabalhos foram de grande importância para o desenvolvimento da física matemática.

y

x

y

x

Fig. 262. Função par Fig. 263. Função ímpar

12 Parte C • Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

Ora, na série de Fourier (5) da Seção 11.2, os termos em cossenos são pares e os termos em senos são ímpa- res. Assim, não deve constituir uma surpresa o fato de que uma função par seja representada por uma série de termos em cossenos, e uma função ímpar, por uma série de termos em senos, conforme mostram as Figs. 262 e 263 e o Teorema 1.

TEOREMA 1 Séries de Fourier de Cossenos, Séries de Fourier de Senos

A série de Fourier de uma função par de período 2L é uma “série de Fourier de cossenos”

(1) ƒ(x)  a0   

n1 an cos

n  L

x (ƒ par)

com os coeficientes (observe: a integração é feita somente de 0 a L!)

(2) a0  1  L

L 0

ƒ(x) dx, an  2  L

L 0

ƒ(x) cos nx 

L dx, n  1, 2, • • •.

A série de Fourier de uma função ímpar de período 2L é uma “série de Fourier de senos”

(3) ƒ(x)   

n1 bn sen

n  L

x (ƒ ímpar)

com os coeficientes

(4) bn  2  L

L 0

ƒ(x) sen nx 

L dx.

PROVA Como a integral definida de uma função fornece a área entre os limites da integração sob a curva da função, temos que

L L

g(x) dx  2 L 0

g(x) dx para g par

L L

h(x) dx  0 para h ímpar

conforme fica óbvio pelos gráficos de g e h. (Prove isso formalmente.) Consideremos agora que f seja par. Então, (6a) da Seção 11.2 fornece a0 em (2). Além disso, o integrando em (6b) da Seção 11.2 é par (um produto de funções pares é par), de modo que (6b) fornece an em (2). Além disso, o integrando em (6c) da Seção 11.2 é a função par f multiplicada pelo seno ímpar, de modo que o integrando (o produto) é ímpar, a integral é zero e não há em (1) qualquer termo dado em seno.

Similarmente, se f é ímpar, em (6a) e (6b) da Seção 11.2, as integrais para a0 e an são nulas, f vezes o seno em (6c) é par, (6c) implica (4) e não há em (3) qualquer termo em cossenos. 

O Caso do Período 2p. Se L = p, entãoƒ(x)  a0   

n1

an cos nx (f par) com os coeficientes

(2*) a0  1  

 0

ƒ(x) dx, an  2  

 0

ƒ(x) cos nxdx, n  1, 2, • • •

e ƒ(x)   

n1

bn sen nx (f ímpar) com os coeficientes

(4*) bn  2  

 0

ƒ(x) sen nxdx, n  1, 2, • • • .

Uma ilustração disso está no Exemplo 1 da Seção 11.1, onde f(x) é ímpar e é representada por uma série de Fourier em senos.

Outras simplificações resultam da seguinte propriedade, cuja prova, bastante simples, é deixada para o estu- dante.

Capítulo 11: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 13

TEOREMA 2 Soma e Múltiplo Escalar

Os coeficientes de Fourier de uma soma f1 + f2 são as somas dos correspondentes coeficientes de Fourier de f1 e f2.

Os coeficientes de Fourier de cf são o produto de c pelos correspondentes coeficientes de Fourier de f.

EXEMPLO 1 Pulso Retangular A função f*(x) na Fig. 264 é a soma da função f(x) no Exemplo 1 da Seção 11.1 com a constante k. Portanto, desse exemplo e do Teorema 2, concluímos que

ƒ*(x) k sen x sen 3x sen 5x • • • . 1

5

1

3

4k    EXEMPLO 2 Retificador de Meia-onda

No Exemplo 3 da Seção 11.2, a função v(t) tem uma série de Fourier de cossenos mais um único termo v(t) =(E/2) sen ωt. Concluímos disso e do Teorema 2 que u(t) v(t) deve ser uma função par. Verifique isto graficamente. (Veja a Fig. 265.) 

x

f*(x)

0

2k

–π 2π 3π 4ππ

y

t0–

0,5

ππ

Fig. 264. Exemplo 1 Fig. 265. u(t) v(t) com E  1, v  1.

EXEMPLO 3 Onda Dente-de-serra Encontre a série de Fourier da função (Fig. 266)

ƒ(x)  x   se  x  e ƒ(x  2)  ƒ(x).

y

x

y

0–

5

π π

(b) Somas parciais S1, S2, S3, S20

S1

S2

S3

S20

f(x)

x–π π

(a) A função f(x)

Fig. 266. Exemplo 3

14 Parte C • Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

Solução. Temos que f = f1 + f2, onde f1 = x e f2 = p. Os coeficientes de Fourier de f2 são nulos, à exceção do primeiro (o termo constante), que é igual a p. Logo, pelo Teorema 2, os coeficientes de Fourier an, bn são os de f1, à exceção de a0, que é igual a p. Como f1 é ímpar, an = 0 para n = 1, 2,• • •, e

bn 0

ƒ1(x) sen nx dx 0

x sen nx dx. 22

Integrando por partes, obtemos

bn 0 0

cos nx dx cos n . 2

n

1

n

x cos nx

n

2   Logo b1  2, b2  2/2, b3  2/3, b4  2/4, • • • , e a série de Fourier de ƒ(x) é

ƒ(x) 2 sen x sen 2x sen 3x • • • . 1

3

1

2  

Expansões de Meia-escala As expansões de meia-escala são séries de Fourier. A idéia é simples e útil, e é explicada pela Fig. 267. Desejamos representar f(x) na Fig. 267a por uma série de Fourier, onde, por exemplo, f(x) pode ter a forma de uma corda distorcida de um violino ou representar a temperatura numa barra metálica de comprimento L. (Os problemas correspondentes serão discutidos no Capítulo 12.) Vem-nos então a seguinte idéia.

x

f1(x)

x

f(x)

L

L L

x

f2(x)

L L

(a) A função dada f(x)

(b) f(x) estendida como uma função periódica par de período 2L

(c) f(x) estendida como uma função periódica ímparde período 2L

Fig. 267. (a) Função f(x) dada sobre um intervalo 0  x  L (b) Extensão par da “escala” (intervalo) cheia –L  x  L (curva grossa) e a extensão periódica de período 2L sobre o

eixo x(c) Extensão ímpar sobre –L  x  L (curva grossa) e extensão periódica de período 2L sobre o eixo x

Poderíamos estender f(x) como uma função de período L e expandir a função estendida numa série de Fourier. Porém, em geral tal série conteria tanto termos em cossenos como em senos. Podemos então melhorar isso e obter uma série mais simples. Com efeito, para nossa função f dada, podemos calcular os coeficientes de Fourier a partir de (2) ou de (4) do Teorema 1, optando pelo caminho que nos parecer mais prático. Se usarmos (2), obteremos (1). Esta é a extensão periódica parf1 de f na Fig. 267b. Se, em vez disso, escolhermos (4), obteremos (3), a extensão periódica ímparf2 de f na Fig. 267c.

Ambas as extensões têm o período 2L, e a isso se deve o nome expansões de meia-escala: f é dada (e tem inte- resse físico) somente na metade da escala, ou seja, na metade do intervalo de periodicidade de comprimento 2L.

Ilustremos essas idéias com um exemplo de que também precisaremos no Capítulo 12.

EXEMPLO 4 O “Triângulo” e Suas Expansões de Meia-escala Encontre as duas expansões de meia-escala da função (Fig. 268)

ƒ(x)

se 0 x L

2

se L

2 x L.

2

L

k x

2

L

k (L x)

Capítulo 11: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 15

Solução. (a) Extensão periódica par. De (2), obtemos

a0

L/2

0

x dx

L

L/2 (L x) dx ,

n

L/2

0

x cos x dx

L

L/2 (L x) cos x dx

n

L

2k

L

n

L

2k

L

2

L

k

2

2k

L

2k

L

1

L  

 a Consideremos an. Para a primeira integral, a integração por partes fornece-nos

L/ 2

0

x cos x dx sen x 0

L/2 L/2

0

sen x dx

sen cos 1 . n

2

L2

n2 2 n

2

L2

2n

n

L

L

n

n

L

Lx

n

n

L

  Similarmente, para a segunda integral, obtemos

L

L/ 2 (L x) cos x dx (L x) sen x

L

L/ 2

L

L/ 2 sen x dx

0 L sen cos n cos . n

2

L2

n2 2 n

2

L

2

L

n

n

L

L

n

n

L

L

n

n

L

     Insiramos esses dois resultados na fórmula de an. Os termos em seno se cancelam e o mesmo ocorre com um fator L². Isso dá

an 2 cos cos n 1 . n

2

4k

n2 2  

Portanto,

a2  16k/(2 22), a6  16k/(6

22), a10  16k/(10 22), • • •

e an = 0 se n  2, 6, 10, 14, • • • Logo, a primeira expansão de meia-escala de f(x) é (Fig. 269a)

ƒ(x) cos x cos x • • • . 6

L

1

62 2

L

1

22 16k

2

k

2   Essa série de Fourier em cossenos representa a extensão periódica par da função f(x) dada, de período 2L.

(b)Extensão periódica ímpar. Similarmente, de (4) obtemos

(5)bn sen . n

2

8k

n2 2

Logo, a outra expansão de meia-escala de f(x) é (Fig. 269b)

ƒ(x) sen x sen x sen x • • • . 5

L

1

52 3

L

1

32L

1

12 8k

2   Esta série representa a extensão periódica ímpar de f(x), de período 2L.

Aplicações básicas destes resultados serão mostradas nas Seções 12.3 e 12.5. 

x

k

0 L/2 L

Fig. 268. A função dada no Exemplo 4

x0 LL

x0–L L

(a) Extensão par

(b) Extensão ímpar

Fig. 269. Extensões periódicas de f(x) no Exemplo 4

16 Parte C • Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

11.4 Séries de Fourier Complexas. Opcional Nesta seção opcional, mostraremos que a série de Fourier

(1) ƒ(x)  a0   

n1

(an cos nx  bn sen nx)

pode ser escrita na forma complexa, o que às vezes simplifica os cálculos (veja o Exemplo 1 a seguir). Essa forma complexa pode ser obtida porque, no caso complexo, a função exponencial eit relaciona-se a cos t e sen t pela fórmula básica de Euler (veja (11) na Seção 2.2)

(2) eit  cos t  i sen t. Portanto, eit  cos ti sen t.

Inversamente, adicionando e subtraindo essas duas fórmulas, obtemos

(3) (a) cos t  1  2 (e

it  eit), (b) sen t  1

 2i (e

iteit).

De (3), usando 1/i = –i em sen t e fazendo t = nx em ambas as fórmulas, obtemos

an cos nx  bn sen nx  1  2

an(einx  einx)  1

 2i

bn(einxeinx)

 1  2

(anibn)einx  1  2

(an  ibn)einx.

P R O B L E M A S P R O P O S T O S 1 1 . 3

1–9 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES

As seguintes funções são pares, ímpares, ou nem pares nem ímpares?

1. x, x2 sen nx, x + x2, e–x, ln x, x cosh x 2. sen (x2), sen2 x, x senh x, x3, epx, xex, tang 2x, x/(1 + x2) As funções a seguir, que se supõem ser periódicas e de período 2p, são pares, ímpares, ou nem pares nem ímpares?

3. ƒ(x)  x3 ( pxp)

4. ƒ(x)  x2 ( p/2 x 3p/2)

5. ƒ(x)  e4x ( pxp)

6. ƒ(x)  x3 sen x ( pxp)

7. ƒ(x)  xx x3 ( pxp) 8. ƒ(x)  1 x  x3 x5 ( pxp)

9. ƒ(x)  1/(1  x2) se px 0, ƒ(x)  1/(1  x2) se 0 xp

10. PROJETO. Funções Pares e Ímpares. (a) As expressões a seguir são pares ou ímpares? Somas e produtos de funções pares e de funções ímpares. Produtos de funções pares por funções ímpares. Valores absolutos de funções ímpares. f(x) + f(–x) e f(x) – f(–x) para f(x) arbitrária.

(b) Escreva ekx, 1/(1 – x), sen (x + k), cosh (x + k) na forma de somas de uma função par com uma função ímpar.

(c) Encontre todas as funções que são simultaneamente pares e ímpares.

(d) A função cos3 x é par ou ímpar? E sen3 x? Encontre a série de Fourier dessas funções. Você reconhece identidades familiares?

11–16 SÉRIES DE FOURIER DE FUNÇÕES PARES E ÍMPARES A função dada é par ou ímpar? Encontre sua série de Fourier. Faça um esboço ou gráfico da função e de algumas somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.)

11. ƒ(x)   x (  x )

12. ƒ(x)  2 xx ( 1 x 1)

13. ƒ(x)

14. ƒ(x)

15. ƒ(x)

16. ƒ(x) ( p 8) 2 x 2

2 x 6

se

se

1 1_2 x

0

x 0

x 2

2

0

2 se

0 se

x 0

x0

se

se

e x

ex

/2 x /2

/2 x 3 /2

se

se

x

x 

 

 17–25 EXPANSÕES DE MEIA-ESCALA Encontre (a) a série de Fourier de cossenos, (b) a série de Fourier de senos. Faça um esboço de f(x) e de suas duas extensões periódicas. (Mostre os detalhes do que fizer.)

17. ƒ(x)  1 (0 x 2) 18. ƒ(x) x (0 x 1_2)

19. ƒ(x)  2 x (0 x 2)

20. ƒ(x)

21. ƒ(x)

22. ƒ(x) (0 x /2)

( /2 x )

x

/2

1 (0 x 1)

2 (1 x 2)

0 (0 x 2)

1 (2 x 4)   

23. ƒ(x)  x (0 xL)

24. ƒ(x)  x2 (0 xL)

25. ƒ(x)   x (0 x )

26. Ilustre as fórmulas na prova do Teorema 1 com exemplos. Prove as fórmulas.

Capítulo 11: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 17

Insiramos esta expressão em (1). Escrevendo a0 = c0, 12(anibn) = cn e 1 2 (an + ibn) = kn, obtemos de (1)

(4) ƒ(x)  c0   

n1

(cneinx  kneinx).

Os coeficientes c1, c2, • • •, e k1, k2, • • • são obtidos de (6b) e (6c) na Seção 11.1 e então (2) acima com t = nx,

cn  1  2 (anibn) 

1  2 





ƒ(x)(cos nxi sen nx) dx  1

 2 





ƒ(x)einxdx

(5)

kn  1  2 (an  ibn) 

1  2 





ƒ(x)(cos nx  i sen nx) dx  1

 2 





ƒ(x)einxdx.

Finalmente, podemos combinar (5) numa única fórmula usando o truque de escrever kn = c–n. Então, (4), (5) e c0 = a0 em (6a) da Seção 11.1 fornecem (com a soma começando de –!)

ƒ(x)   

n cneinx,

(6)

cn  1

 2

 

 ƒ(x)einxdx, n  0, 1, 2, • • • .

Esta é a chamada forma complexa da série de Fourier ou, mais sucintamente, série complexa de Fourier de f(x). Os cn são chamados de coeficientes complexos de Fourier de f(x).

Para uma função de período 2L, esse raciocínio nos leva à série complexa de Fourier

ƒ(x)   

n cneinx/L,

(7)

cn  1

 2L

 L

L ƒ(x)einx/Ldx, n  0, 1, 2, • • • .

EXEMPLO 1 Série Complexa de Fourier Encontre a série de Fourier de f(x) = ex se –p < x < p e f(x + 2p) = f(x), e obtenha a partir dela a série de Fourier usual.

Solução. Como sen np = 0 para n inteiro, temos

ein  cos n  i sen n  cos n  ( 1)n.

Com isto, obtemos de (6), por integração,

cn e xe i nx dx ex i nx

x (e e )( 1)n.

1

1 in

1

2

1

1 in

1

2

1

2

No lado direito,

e e e 2 senh . 1 in

1 n2 1 in

(1 in)(1 in)

1

1 in

Logo, a série complexa de Fourier é

(8) ex

n

( 1)n ei nx ( x ). 1 in

1 n2 senh

Obtenhamos disto a série real de Fourier. Usando (2) com t = nx e i2 = –1, temos em (8)

(1  in)einx  (1  in) (cos nx  i sen nx)  (cos nxn sen nx)  i(n cos nx  sen nx).

Ora, (8) também possui um termo correspondente com –n em vez de n. Como cos (–nx) = cos nx e sen (–nx) = –sen nx, obtemos neste termo

(1 in)einx  (1 in) (cos nxi sen nx)  (cos nxn sen nx) i(n cos nx  sen nx).

Se somarmos essas duas expressões, as partes imaginárias se cancelam. Portanto, sua soma é

2(cos nxn sen nx), n = 1, 2, • • •.

Para n = 0, obtemos 1 (e não 2) porque há somente um termo. Logo, a série real de Fourier é

(9) ex (cos x sen x) (cos 2x 2 sen 2x) • • • . 1

1 22 1

1 12 1

2

2 senh  

18 Parte C • Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

Na Fig. 270, a aproximação ruim que ocorre próximo dos saltos em p é um caso do fenômeno de Gibbs (veja o experimento de álgebra computacional em Problemas Propostos 11.2). 

y

x0–

10

5

15

20

25

ππ

Fig. 270. Soma parcial de (9), termos de n = 0 a 50

P R O B L E M A S P R O P O S T O S 1 1 . 4

1. (Revisão de cálculo) Faça uma revisão de números complexos.

2. (Funções pares e ímpares) Mostre que os coeficientes complexos de Fourier de uma função par são reais e que os de uma função ímpar são imaginários puros.

3. (Coeficientes de Fourier) Mostre que

a0  c0, an  cn  cn, bn  i(cncn).

4. Verifique os cálculos no Exemplo 1.

5. Encontre mais alguns termos em (9) e, usando o computador, repre- sente graficamente as somas parciais.

6. No Exemplo 1, obtenha a série real diretamente a partir das fór- mulas de Euler na Seção 11.

7–13 SÉRIE COMPLEXA DE FOURIER Encontre a série complexa de Fourier das seguintes funções. (Mostre os detalhes do que fizer.)

7. ƒ(x)  1 se  x 0, ƒ(x)  1 se 0 x 

8. Converta a série do Problema 7 para a forma real.

9. ƒ(x)  x (  x )

10. Converta a série do Problema 9 para a forma real.

11.f(x) = x2(–p < x < p)

12. Converta a série do Problema 11 para a forma real.

13.f(x) = x (0 < x < 2p)

14. PROJETO. Coeficientes Complexos de Fourier. É muito inte- ressante o fato de cn em (6) poder ser obtido diretamente por um método similar ao utilizado para an e bn na Seção 11.1. Para isto, multiplique a série em (6) por e–imx com um m inteiro fixo e integre termo a termo de –p a p em ambos os lados (o que é permitido, por exemplo, no caso da convergência uniforme), a fim de obter

 

ƒ(x)eimxdx   

n

cn  



ei(nm)xdx.

Mostre que a integral no lado direito é igual a 2p quando n = m e 0 quando n  m [use (3b)], de modo a obter a fórmula do coeficiente em (6).

11.5 Oscilações Forçadas As séries de Fourier têm importantes aplicações em conexão com as EDOs e EDPs. Mostraremos isto para um problema fundamental modelado por uma EDO. Várias aplicações em EDPs serão mostradas no Capítulo 12. Isto evidenciará a enorme utilidade da engenhosa idéia de Euler e de Fourier de decompor as funções periódicas em funções as mais simples possíveis.

Da Seção 2.8, sabemos que as oscilações forçadas de um corpo de massa m em uma mola de módulo k são governadas pela EDO

(1)my + cy + ky = r(t)

onde y = y(t) é o deslocamento em relação à posição de repouso, c é a constante de amortecimento, k é a constante da mola (constante elástica) e r(t) é a força externa dependente do tempo t. A Fig. 271 mostra o modelo, e a Fig. 272, a sua analogia para o caso elétrico, num circuito RLC governado por

(1*)LI  RI  1  C

I  E (t) (Sec. 2.9).

Capítulo 11: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 19

Consideremos (1). Se r(t) for uma função seno ou cosseno e se houver amortecimento (c > 0), então a solução de regime permanente é uma oscilação harmônica com a freqüência igual à de r(t). Entretanto, se r(t) não for uma função pura de senos ou cossenos, mas qualquer outra função periódica, então a solução de regime permanente será uma superposição de oscilações harmônicas com as freqüências iguais à de r(t) e de múltiplos inteiros desta última. E se uma dessas freqüências estiver próxima da freqüência de ressonância (prática) do sistema vibratório (veja a Seção 2.8), então a oscilação correspondente pode ser a parte dominante da resposta do sistema à força externa. Isto é o que o uso da série de Fourier nos mostrará. Naturalmente, trata-se de algo bastante surpreendente a um observador não familiarizado com as séries de Fourier, as quais têm uma enorme importância no estudo de sistemas vibratórios e de ressonância. Discutamos agora toda essa situação por meio de um exemplo típico.

EXEMPLO 1 Oscilações Forçadas sob uma Força Impulsora Periódica e Não-senoidal Em (1), façamos m = 1 (g), c = 0,05 (g/s) e k = 25 (g/s2), de modo que (1) torna-se

(2) y + 0,05y + 25y = r(t)

onde r(t) é medida em g cm/s2. Fazendo (Fig. 273)

r(t) r(t 2 ) r(t).

t 0,

t ,0

se

se

t 2

t 2

 Encontre a solução y(t) de regime permanente.

Amortecedor

Força externa r(t)

Massa m

Mola

E(t)

C

R L

Fig. 271. Sistema vibratório considerado Fig. 272. Analogia elétrica do sistema da Fig. 271 (circuito RLC)

t

r(t)

π

π/2

–π π/2–

Fig. 273. Força do Exemplo 1

Solução. Representemos r(t) por uma série de Fourier, encontrando

(3)r(t) cos t cos 3t cos 5t • • • 1

52 1

32 4  

(considerando a resposta do Problema 11 em Problemas Propostos 11.3 menos 12p e escrevendo t no lugar de x). Então, tomemos a EDO

(4) y 0,05y 25y cos nt 4

n2 (n  1, 3, • • •)

cujo lado direito é um termo único da série (3). Da Seção 2.8, sabemos que a solução de regime permanente yn(t) de (4) tem a forma

(5) yn = An cos nt + Bn sen nt.

Substituindo isto em (4), vemos que

(6)An , Bn , 0,2

n Dn

4(25 n2)

n2 Dn onde Dn  (25 n

2)2  (0,05n)2.

Como a EDO (2) é linear, podemos esperar que a solução de estado permanente seja

(7) y = yl + y3 + y5 + ...

onde yn é dada por (5) e (6). De fato, isso decorre prontamente da substituição de (7) em (2) e do uso da série de Fourier de r(t), contanto que seja possível fazer a derivação termo a termo de (7). (Os leitores já familiarizados com a noção de convergência uniforme [Seção 15.5] podem provar que é possível derivar (7) termo a termo.)

20 Parte C • Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

De (6), vemos que a amplitude de (5) é (um fator Dn se cancela)

Cn An 2 Bn

2 . 4

n2 Dn

Os valores numéricos são

C1  0,0531

C3  0,0088

C5  0,2037

C7  0,0011

C9  0,0003.

A Fig. 274 mostra a entrada (multiplicada por 0,1) e a saída. Para n = 5, a quantidade Dn é muito pequena, o denominador de C5 é pequeno e C5 é tão grande que y5 é o termo dominante em (7). Logo, a saída é quase uma oscilação harmônica com cinco vezes a freqüência da força impulsora, um pouco distorcida devido ao termo y1, cuja amplitude corresponde a cerca de 25% da amplitude de y5. Pode-se fazer essa situação ficar ainda mais extrema diminuindo-se a constante c. Tente fazê-lo. 

y

t0 1 2 3–1–2–3

0,1

–0,1

–0,2

0,2

0,3

Saída

Entrada

Fig. 274. Entrada e saída de regime permanente do Exemplo 1

P R O B L E M A S P R O P O S T O S 1 1 . 5

1. (Coeficientes) Obtenha a fórmula para Cn a partir de An e Bn.

2. (Constante da mola) O que aconteceria às amplitudes Cn no Exemplo 1 (e, portanto, à forma da vibração) se mudássemos o valor da constante da mola para 9? E se usássemos uma mola mais dura, com k = 81? Responda primeiro por palpite.

3. (Amortecimento) No Exemplo 1, substitua c por 0,02 e discuta como isso altera a saída.

4. (Entrada) O que aconteceria no Exemplo 1 se substituíssemos r(t) por sua derivada (a onda retangular)? Qual é a razão entre esse novo valor de Cn e os anteriores?

5–11 SOLUÇÃO GERAL Encontre uma solução geral da EDO y + v2y = r(t) com r(t) conforme dada. (Mostre os detalhes do que fizer.)

5.r (t)  cos t,   0,5; 0,8; 1,1; 1,5; 5,0; 10,0

6.r (t)  cos 1t  cos 2t (2  12, 22)

7.r (t)   N

n1

an cos nt,   1, 2, • • • , N 8. r (t) sen t 1_3 sen 3t

1_ 5 sen 5t

1_ 7 sen 7t

9. r (t) t 0

t0

se

se

t

t e r (t  2)  r (t),   0, 1, 3, • • •

10. r (t) /2

3 /2

t

t

/2

/2

se

se

t

t 

e r (t  2)  r (t),   1, 3, 5, • • •

11.r (t)    4

sen t if  t  e r (t  2)  r (t),

  0, 2, 4, • • • 12. (PROGRAMA DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL) Escreva

um programa para resolver as EDOs do problema anterior e que também seja capaz de representar graficamente a entrada e a saída de um problema de valor inicial envolvendo essa EDO. Aplique o programa aos Problemas 5 e 9, com valores iniciais de sua esco- lha.

13. (Sinal dos coeficientes) No Exemplo 1, alguns An são positivos, e outros, negativos. É isto fisicamente compreensível?

14–17 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS DE REGIME PERMANENTE Encontre a oscilação de regime permanente de y + cy + y = r(t) com c > 0 e r(t) conforme dada. (Mostre os detalhes do que fizer.)

14.r (t)  an cos nt

15.r (t)  sen 3t

Capítulo 11: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 21

11.6 Aproximação por Polinômios Trigonométricos As séries de Fourier desempenham um papel proeminente nas equações diferenciais. Um outro campo onde elas também possuem aplicações muito importantes é a teoria da aproximação, que trata da aproximação de funções por outras (usualmente mais simples). Em conexão com a série de Fourier, a idéia é a seguinte.

Consideremos que f(x) seja uma função no intervalo –p  x  p e que possa ser representada por uma série de Fourier neste intervalo. Então a N-ésima soma parcial da série

(1) ƒ(x) a0   N

n1

(an cos nx  bn sen nx)

é uma aproximação da função f(x) dada. É natural perguntar se (1) é a “melhor” aproximação de f por um polinô- mio trigonométrico de grau N, isto é, por uma função da forma

(2) F(x)  A0   N

n1

(An cos nx  Bn sen nx) (N fixo)

onde “melhor” significa que o “erro” da aproximação é tão pequeno quanto possível. Naturalmente, primeiro é preciso definir o que queremos dizer com o erroE dessa aproximação. Poderíamos

escolher o valor máximo de fF. Porém, em conexão com as séries de Fourier, é melhor escolher uma defi- nição que meça o grau de concordância entre f e Fno intervalo inteirop  x  p. Isto parece ser preferível, particularmente se f apresentar saltos: na Fig. 275, F é uma boa aproximação geral de f, porém o valor máximo de f – F (mais precisamente, o valor supremo) é grande (equivalendo a menos da metade do salto de f em x0). Escolhemos

(3) E   

 (ƒ F)2 dx .

Chamamos isto de erro quadrado de F relativo à função f no intervalo –p  x  p. Obviamente, E  0. Sendo N fixo, desejamos determinar os coeficientes em (2) tais que E seja mínimo. Como (f F)2 = f2 –

2fF + F2, temos

(4) E   

ƒ 2 dx 2  

ƒFdx   

F 2 dx.

Elevamos (2) ao quadrado, inserimos esse valor na última integral em (4) e calculamos o valor das integrais existentes. Isto fornece as integrais de cos2 nx e de sen2 nx (n  1), que são iguais a p, e das integrais de cos nx, sen nx e (cos nx) (sen mx), que valem zero (exatamente como na Seção 11.1). Portanto,

F2 dx A0

N

n 1

(An cos nx Bn sen nx) 2

dx    (2A02  A12  • • •  AN2  B12  • • •  BN2).

Insiramos agora (2) na integral de fF em (4). Isto fornece as integrais de f cos nx, bem como de f sen nx, como nas fórmulas de Euler, na Seção 11.1, para an e bn (havendo em cada caso uma multiplicação por An ou Bn). Logo,

 

ƒFdx   (2A0a0  A1a1  • • •  ANaN  B1b1  • • •  BNbN).

16. r (t) /2

3 /2

t

t

/2

/2

se

se

t

( t) 

e r (t  2)  r (t)

17.r (t)   N

n1

bn sen nt

18. EXPERIMENTO DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL. Ter- mo Máximo de Saída. Represente graficamente e discuta as saídas de y + cy + ky = r(t) com r(t) como no Exemplo 1 para diversos valores de c e k, com ênfase no Cn máximo e na razão entre este e o segundo maior Cn.

19–20 CIRCUITO RLC Encontre a corrente de regime permanente I(t) no circuito RLC da Fig. 272, onde R = 100 Ω, L = 10 H, C = 10–2 F e E(t) V é como segue, além de ter um período de 2p. Faça um esboço ou gráfico das quatro primeiras somas parciais. Note que os coeficientes da solução diminuem rapidamente.

19.E(t)  200t(2 t2) (  t )

20. E(t) t 0

t0

100 ( t t2) se

100( t t2) se

22 Parte C • Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

Com essas expressões, (4) torna-se

(5)

E ƒ2 dx 2 2A0a0

N

n 1

(Anan Bnbn)

2A0 2

N

n 1

(An 2 Bn

2) .

   

x 0

f

F

x

Fig. 275. Erro de aproximação

Agora fazemos An = an e Bn = bn em (2). Então, em (5), a segunda linha cancela a metade da expressão sem a integral na primeira linha. Logo, para essa escolha dos coeficientes de F, o erro quadrado, que chamaremos de E*, é

(6) E* ƒ2 dx 2a0 2

N

n 1

(an 2 bn

2) .  Finalmente, subtraímos (6) de (5). Então, as integrais se cancelam e obtemos os termos An2 –2Anan + an2 =(An an)2 e os termos similares (Bn – bn)2:

E E* 2(A0 a0) 2

N

n 1

[(An an)2 (Bn bn)2] . Como, no lado direito, a soma dos quadrados de números reais não pode ser negativa,

EE*  0, portanto, E  E*,

e E = E* se e somente se A0 = a0, • • •, BN = bN. Isto prova a seguinte propriedade fundamental do valor mínimo das somas parciais das séries de Fourier.

TEOREMA 1 Erro Quadrado Mínimo

O erro quadrado de F em (2) (com N fixo) relativo a f no intervalop  x  pé mínimo se e somente se os coeficientes de F em (2) forem os coeficientes de Fourier def. Esse valor mínimoE*é dado por (6).

De (6), vemos que E* não pode aumentar à medida que N aumenta, mas pode diminuir. Logo, com N crescente, as somas parciais da série de Fourier de f fornecem aproximações cada vez melhores de f, consideradas sob o ponto de vista do erro quadrado.

Como E*  0 e (6) se verificam para cada N, obtemos de (6) a importante desigualdade deBessel

(7) 2a02   

n1 (an2  bn2) 

1  

 

 ƒ(x)2 dx

para os coeficientes de Fourier de qualquer função f para a qual a integral no lado direito existe. (Sobre F. W. Bessel, veja a Seção 5.5.)

Pode-se mostrar (veja C12 no Apêndice 1) que, para tal função f, o teorema de Parseval se verifica; isto é, a fórmula (7) é verdadeira com o sinal da igualdade, de modo a se transformar na identidade de Parseval4

(8) 2a02   

n1 (an2  bn2) 

1   



 ƒ(x)2 dx.

4 MARC ANTOINE PARSEVAL (1755–1836), matemático francês. Uma interpretação física da identidade é apresentada na próxima seção.

Capítulo 11: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 23

EXEMPLO 1 Erro Quadrado Mínimo para a Onda Dente-de-serra Calcule o erro quadrado mínimo E* de F(x) com N = 1, 2, • • •, 10, 20, • • •, 100 e 1000 em relação a

f(x) = x + p (–p < x < p)

no intervalo –p  x  p.

Solução. F(x) 2(sen x sen 2x sen 3x • • • sen Nx) ( 1)N 1

N

1

3

1

2 pelo Exemplo 3 na Seção 11.3. Disto e de (6),

E* (x )2 dx 2 2 4 N

n 1

. 1

n2  Os valores numéricos são:

N E* N E* N E* N E*

1 8,1045 6 1,9295 20 0,6129 70 0,1782

2 4,9629 7 1,6730 30 0,4120 80 0,1561

3 3,5666 8 1,4767 40 0,3103 90 0,1389

4 2,7812 9 1,3216 50 0,2488 100 0,1250

5 2,2786 10 1,1959 60 0,2077 1000 0,0126

F = S1, S2, S3 são mostradas na Fig. 266 na Seção 11.3, e F = S20 é mostrada na Fig. 276. Embora f(x) – F(x) seja grande em p (quão grande?), onde f é descontínua, F aproxima-se bastante bem de f no intervalo inteiro, exceto nas proximidades de p, onde as “ondas” per- manecem em decorrência do fenômeno de Gibbs (veja o experimento de álgebra computacional 20, em Problemas Propostos 11.2).

Você poderia imaginar funções f para as quais E* diminui mais rapidamente à medida que N aumenta? 

Este é o final da nossa discussão sobre as séries de Fourier, que enfatizou os aspectos práticos dessas séries, conforme exigem as aplicações. Nas três últimas seções deste capítulo, mostraremos como as idéias e as técnicas envolvendo as séries de Fourier podem ser estendidas a funções não-periódicas.

x

π

π

π0π

2

Fig. 276.F com N = 20 do Exemplo 1

P R O B L E M A S P R O P O S T O S 1 1 . 6

1–9 ERRO QUADRADO MÍNIMO Encontre o polinômio trigonométrico F(x) com a forma (2) para o qual o erro quadrado em relação à função f(x) dada no intervalo –p  x  p é mínimo, e calcule o valor mínimo para N = 1, 2, ..., 5 (ou também para valores maiores, caso você estiver usando um computador).

1. ƒ(x)  x (  x )

2. ƒ(x)  x2 (  x )

3. ƒ(x)  x (  x ) 4. ƒ(x)  x3 (  x )

5. ƒ(x)  sen x (  x ) 6. ƒ(x)  ex (  x )

7. ƒ(x) x 0

x0

se

se

1

1 

8. ƒ(x) x 1_2

x 3_2

1_ 2

1_ 2

se

se

x

0 

9. ƒ(x)  x(x  ) se  x 0, ƒ(x)  x( x  ) se 0 x 

10. EXPERIMENTO DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL. Tama- nho e Decréscimode E*. Compare o tamanho do erro quadrado mínimo E* para funções de sua escolha. Encontre experimental- mente os fatores dos quais depende a diminuição de E* com o aumento de N. Para cada função considerada, encontre o menor N tal que E* < 0,1.

11. (Monotonicidade) Mostre que o erro quadrado mínimo (6) é uma função monotonamente decrescente de N. Como podemos usar isso na prática?

12–16 IDENTIDADE DE PARSEVAL Usando a identidade de Parseval, prove que as séries têm as somas indicadas. Calcule as primeiras somas parciais para verificar que a convergência é rápida.

12. 1 • • • 1,01467 8032

(Use o Problema 15 da Seção 11.1.)

13. 1 • • • 1,23370 0550

(Use o Problema 13 da Seção 11.1.)

2

8

1

52 1

32

4

96

1

74 1

54 1

34

14. • • •

0,11685 0275

(Use o Problema 5 da presente seção.)

15. 1 • • • 1,08232 3234

(Use o Problema 21 da presente seção.)

16. 1 • • • 1,00144 7078

(Use o Problema 9 da presente seção.)

6

960

1

76 1

56 1

36

4

90

1

34 1

24

1

2

2

16

1

52 72 1

32 52 1

12 32

24 Parte C • Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

11.7 Integral de Fourier As séries de Fourier são ferramentas poderosas para se lidar com problemas envolvendo funções que sejam periódicas ou que tenham interesse apenas em intervalos finitos. Tal fato já foi ilustrado nas Seções 11.3 e 11.5, e várias outras aplicações serão mencionadas no Capítulo 12. Visto que, naturalmente, muitos problemas envolvem funções que são não-periódicas e que têminteresse sobre todo o eixo x, perguntamo-nos o que podemos fazer para estender o método das séries de Fourier a tais funções. Esta idéia nos levará às “integrais de Fourier”.

No Exemplo 1, começaremos com uma função especial fL de período 2L e veremos o que acontece à sua série de Fourier se fizermos L → . Então, faremos o mesmo com uma função arbitráriafL de período 2L. Isto nos dará uma justificativa e uma sugestão para chegarmos ao resultado principal desta seção, que é uma representação integral dada no Teorema 1 (a seguir).

EXEMPLO 1 Onda retangular Considere a onda retangular periódica fL(x) de período 2L > 2 dada por

ƒL(x)

1

1

L .

x

x

x

L

1

1

0 se

1 se

0 se 

A parte esquerda da Fig. 277 mostra esta função para 2L = 4, 8, 16, bem como a função não-periódica f(x), que obtemos de fL se fizermos L → ,

ƒ(x) lim L

ƒL(x) 1 se 1 x 1

0 nos demais casos. Investiguemos agora o que acontece aos coeficientes de Fourier de fL à medida que L aumenta. Como fL é par, bn = 0 para todo n. Para

an, as fórmulas de Euler (6) na Seção 11.2 dão

a0

1

1 dx , an

1

1 cos dx

1

0 cos dx .

sen (n /L)

n /L

2

L

n x

L

2

L

n x

L

1

L

1

L

1

2L

Esta seqüência de coeficientes de Fourier é chamada de amplitude espectral de fL porque an é a amplitude máxima da onda an cos (n px/L). A Fig. 277 mostra esse espectro para os períodos 2L = 4, 8, 16. Vemos que, para valores crescentes de L, essas amplitudes tornam-se cada vez mais densas sobre a parte positiva do eixo wn, onde wn = n p/L. De fato, para 2L = 4, 8, 16, temos 1, 3, 7 amplitudes por “meia- onda” da função (2 sen wn)/(Lwn) (linhas pontilhadas na figura). Logo, para 2L = 2k, temos 2k–1 – 1 amplitudes por meia-onda, de modo que a densidade dessas amplitudes terminará por abarcar todo o eixo wn positivo (e cairá para zero).

O resultado deste exemplo dá-nos uma impressão intuitiva do que devemos esperar se passarmos de nossa função especial para uma função arbitrária, que é o que faremos a seguir. 

x

f L (x)

2L = 4

n = 1

1 w

n = nπ/L

Espectro de amplitudes a n (w

n )Forma da onda f

L (x)

0–2 2

x

f L (x)

0 4–4

2L = 8

x

f L (x)

w n

w n

w n0 8–8

2L = 16

x

f(x)

0–1 1

n = 2

n = 5

n = 10

n = 7

n = 4 n = 20

n = 6 n = 14

1_ 2

1_ 4

n = 3

n = 28n = 12

Fig. 277. Formas de onda e espectros de

amplitude do Exemplo 1

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