Materia Disc...ilidade uece - tcomp cap3 hierarquia de chomsky corrigir, Notas de estudo de Informática
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Materia utilizado na Disciplina de Teoria da Computabilidade ministrada pelo professor Edson Pessoa da UECE
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CAPÍTULO 3

HIERARQUIA DE CHOMSKY

Uma gramática estruturada é um sistema formal apropriado para gerar palavras sobre um alfabeto. As produções ou regras de produção de uma gramática especificam as transformações permitidas para as formas sentenciais. Famílias de gramáticas são caracterizadas pela forma de suas produções. As gramáticas regulares e a livres de contexto já foram apresentadas. Neste capítulo nós vamos considerar as gramáticas irrestritas e sensíveis ao contexto. Estas quatro famílias de gramáticas se constituem na hierarquia de Chomsky, numa homenagem a Noam Chomsky, que as propôs como modelos de linguagens naturais.

Os Autômatos foram desenhados para reconhecerem mecanicamente as linguagens regulares e livres de contexto. Agora, nos vamos mostrar que a Máquina de Turing reconhece a linguagem gerada por uma gramática irrestrita. Já o Autômato Linear Limitado, obtido da máquina de Turing pela limitação da memória disponível, aceita as linguagens geradas pela gramáticas sensíveis ao contexto.

1. GRAMÁTICAS LIVRES DE CONTEXTO E REGULARES (REVISÂO)

As gramáticas livres de contexto e regulares já foram devidamente estudadas no curso de Teoria dos Autômatos e Linguagens Formais. Desse modo, os conceitos a seguir são apresentados apenas como uma rápida revisão do assunto.

Definição 3.1.1

Uma gramática livre de contexto é uma quádrupla G = (V, F 0E 5 , P, S), onde V é um conjunto finito de variáveis, F 0E 5 (alfabeto) um conjunto finito de símbolos terminais, com V F 0C 7 F 0E 5 = F 0C 6, SF 0C EV é um símbolo distinguido, chamado de símbolo de partida, e P é um conjunto finito de regras.

Uma regra, também chamada de regra de produção, é um elemento de Vx(VF 0C 8F 0E 5)*. A produção [A, w] é usualmente chamada de regra A, sendo denotada por AF 0A E w. Fazendo w = F 06 C, temos a regra AF 0A E F 06 C , que é chamada regra nula ou regra lambda.

Definição 3.1.2

Seja G = (V, F 0E 5 , P, S) uma gramática livre de contexto e vF 0C E(VF 0C 8F 0E 5)*. O conjunto das formas sentenciais deriváveis de G é definido recursivamente, como:

i) v é derivavel de v

ii) Se u=xAy é derivável de G e AF 0A Ew é um regra de produção, então xwy é derivável de v.

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iii) As palavras deriváveis de v são exatamente aquelas obtidas a partir de i) pela aplicação de ii) um número finito de vezes.

A linguagem gerada por G ou a linguagem de G, denotada por L(G), é o conjunto das palavras wF 0C EF 0E 5* tal que S F 0D E w, isto é, o conjunto das palavras deriváveis de S.

Exemplo 3.1.1

Considere a gramática G = (V, F 0E 5 , P, S), onde V = {S, A}, F 0E 5 = {a, b} e P = {SF 0A EAA, AF 0A EAAAF 0B DbAF 0B DAbF 0B Da}.

A palavra w = ababaa é gerada por G, conforme os modos a seguir indicados:

SF 0D EAA aA aAAA

abAAA abaAA

ababAA ababaA ababaa

SF 0D EAA AAA aAAA

abAAA abaAA

ababAA ababaA ababaa

SF 0D EAA Aa AAAa

AAbaAa AAbaa

AbAbaa Ababaa ababaa

SF 0D EAA aA aAAA

aAAa abAAa

abAbAa ababAa ababaa

Definição 3.1.3

Uma gramática regular é uma gramática livre de contexto cujas produções têm as seguinte forma:

i) AF 0A Ea ii) AF 0A EaB iii) AF 0A EF 06 C, onde A, B F 0C E V e aF 0C EF 0E 5 .

Teorema 3.1.1

i) Seja L uma linguagemlivre de contexto. Então, existe um Autômato de Pilha M = (Q, F 0E 5, F 04 7, F 06 4, q0, F) que aceita L, isto é, L(M) = L.

ii) Seja L uma linguagem regular. Então, existe um Autômato FinitoDeterminístico M = (Q, F 0E 5 , F 04 7 , F 06 4, q0, F) tal que L(M) = L.

2. GRAMÁTICAS IRRESTRITAS

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Definição 3.2.1

Uma gramática irrestrita e uma quíntupla G = (V, F 0E 5, P, S), onde V é um conjunto finito de variáveis, F 0E 5 o alfabeto (F 0E 5 F 0C 7 V = F 0C 6), S é o símbolo inicial e P o conjunto de produções. Uma produção de P tem a forma uF 0A Ev, onde uF 0C E(VF 0C 8F 0E 5)+ e vF 0C E (VF 0C 8F 0E 5)*.

Exemplo 3.2.1

A gramática a seguir é irrestrita e gera a linguagem L = { aibici , para i F 0B 30 }.

V = {S, A, C} F 0E 5 = {a, b, c}

SF 0A EaAbcF 0B DF 06 C AF 0A EaAbCF 0B DF 06 C CbF 0A EbC CcF 0A Ecc

A seguir anunciamos três importantes teoremas sobre linguagens irrestritas, sem, no entanto, apresentarmos as correspondentes demonstrações:

Teorema 3.2.1

i) Seja G = (V, F 0E 5, P, S) uma gramática irrestrita. Então L(G) é uma linguagem recursivamente enumerável.

ii) Seja L uma linguagem recursivamente enumerável. Então existe uma gramática irrestritaG com L(G) = L.

iii) O conjunto das linguagens recursivamente enumeráveis é fechado sobre união, concatenação e estrela de Kleene.

3. GRAMÁTICAS SENSÍVEIS AO CONTEXTO

As gramáticas sensíveis ao contexto representam um estágio intermediário entre as gramáticas livres de contexto e gramáticas irrestritas. Aqui, nenhuma restrição é imposta ao lado esquerdo da produção, porém é requerido que o tamanho do lado direito da produção seja no mínimo igual ao tamanho do seu lado esquerdo.

Definição 3.2.1

Uma gramática G = (V, F 0E 5 , P, S) é chamada de sensível ao contexto se cada uma de suas produções tem a forma uF 0A Ev, onde uF 0C E (VF 0C 8F 0E 5)+, vF 0C E (VF 0C 8F 0E 5)+ e F 0B DuF 0B DF 0A 3F 0B DvF 0B D .

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Essas gramáticas são também chamadas de monotônicas, uma vez que o tamanho do que é derivado permanece o mesmo ou cresce com a aplicação de cada regra.

As gramáticas sensíveis ao contexto foram originalmente definidas como aquelas cujas regras de produção eram da forma uAvF 0A Euwv, onde AF 0C EV, wF 0C E(VF 0C 8F 0E 5)+ e u,vF 0C E(VF 0C 8F 0E 5)*. Uma regra dessa forma indica que a variável A pode ser transformada em w somente quando aparece no contexto em que A é precedido de u e seguido de v.

O fato de se exigir queF 0B DuF 0B DF 0A 3F 0B Dv, garante que a palavra nula ( F 06 C ) não é um elemento de uma linguagem sensível ao contexto. Removendo a regra SF 0A EF 06 C do exemplo 3.2.1, obtemos a gramática irrestrita a segui, a qua gera L = { aibici , para i > 0 }.

SF 0A EaAbc AF 0A EaAbCF 0B DF 06 C CbF 0A EbC CcF 0A Ecc ,

A presença da regra AF 0A EF 06 C, contudo, faz com que a gramática resultante não seja uma gramática sensível ao contexto. Podemos, entretanto, abolir esta produção, resultando na seguinte gramática,

SF 0A EaAbcF 0B Dabc AF 0A EaAbCF 0B DabC

A qual é sensível ao contexto e gera a mesma linguagem L = { aibici , para i F 03 E0 }.

4. AUTOMATOS LINEAR LIMITADO

Conforme ficou demonstrado quando estudamos a máquina de Turing, as diversas alterações introduzidas na Máquina de Turing Padrão não alteram o poder computacional da mesma, isto é, o conjunto das linguagens reconhecidas permanece inalterado. Agora, vamos impor a restrição de que a quantidade de memória disponível (fita) para a MT está limitada ao tamanho da entrada. Para isto, vamos acrescentar ao alfabeto de entrada da máquina os símbolos < e >, que serão usados para indicar as fronteiras esquerda e direita da fita, determinando assim, o tamanho da memória disponível. Como veremos, tal restrição diminui o poder computacional da máquina.

Definição 3.4.1

Um Autômato Linear Limitado (ALL) é uma estrutura M = (Q, F 0E 5, F 04 7 , F 06 4, q0, F 03 C, F 03 E , F), onde Q, F 0E 5 , F 04 7 , F 06 4 , q0, e F são os mesmos de uma Máquina de Turing Determinística. Os símbolos F 03 C e F 03 E são elementos distinguidos de F 04 7.

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A configuração inicial de uma computação de uma ALL é q0F 03 CwF 03 E , a qual requer F 0 B DwF 0B D+2 posições da fita(memória). Os marcadores F 03 C e F 03 E são inscritos na fita, mas não são considerados parte da entrada e delimitadores da memória. A computação da ALL fica restrita as fronteira F 03 C e F 03 E. Estas marcas podem ser lidas, porém não podem ser apagadas. A transição F 06 4(q0 , F 03 E) sempre moverá a cabeça de leitura para a direita, enquanto F 06 4(q0 , F 03 C) sempre moverá a cabeça de leitura para a esquerda. Uma palavra w F 0C E ( F 04 7 - { F 03 C, F 03 E } )* é aceita por um ALL se a computação com entrada F 0 3 C w F 03 E pára em um estado final.

O Autômato Linear Limitado a seguir, simula a aplicação da regra SaF 0A EaAS.

Teorema 3.4.1

Seja L uma linguagem sensível ao contexto. Então, existem uma ALL M com L(M)=L.

Teorema 3.4.2

Seja L uma linguagem aceita por um ALL. Então L - {F 06 C } é uma linguagem sensível ao contexto.

De acordo com estes dois teoremas, que não serão aqui demonstrados, as linguagens sensíveis ao contexto são precisamente aquelas reconhecidas pelos ALL’s.

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5. A HIERARQUI DE CHOMYSKY

Chomsky numerou quatros famílias de gramáticas e linguagens que compõem a sua hierarquia. As gramáticas Irrestritas, Sensíveis ao Contexto, Livres de Contexto e Regulares, as quais são referenciadas como tipo 0, tipo 1, tipo 2 e tipo3, respectivamente. As restrições impostam as gramáticas crescem com o número da gramática. A relação de inclusão de tais gramáticas são assim sumarizadas:

tipo 3 F 0C C tipo 2 F 0C C tipo 1 F 0C C tipo 0

Na hierarquia de Chomsky, cada classe de linguagem é caracterizada como uma linguagem gerada por uma família de gramáticas e aceita por um tipo de máquina. As relações entre geração e reconhecimento são sumarizadas na tabela seguinte.

Gramática Linguagem Máquina Tipo 0

Gramática Irrestrita Recursivamente

Enumerável Máquina de Turing

Determinístico e Não Determinístico

Tipo 1 Gramática Sensível ao

Contexto, Gram. Monotônica

Sensível ao Contexto Autômato Linear Limitado

Tipo 2 Gramática Livre de Contexto

Livre de Contexto Autômato de Pilha

Tipo 3 Gramática Regular,

Gram. Linear à Esquerda, Gram. Linear à Direita

Regular Autômato Finito Determinístico e

Não Determinístico

EXERCÍCIOS

Seja G uma gramática sensível ao contexto:

G: SF 0A ESBAF 0B Da BAF 0A EAB aAF 0A EaaB BF 0A Eb

a) Mostre a derivação de aaabbbb

b) Qual a L(G)?

c) Construa uma linguagem livre de contexto que gera L(G).

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