. matrizes parte 3 , Manual de Álgebra Linear. Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET/RJ)
Reinaldo101883
Reinaldo10188323 de fevereiro de 2015

. matrizes parte 3 , Manual de Álgebra Linear. Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET/RJ)

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Propriedades de Matrizes.
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22/02/2015 .:: Matrizes ­ parte 3 ::.

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Matrizes Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,

 é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre       a ij = a ij.    

Matriz oposta: matriz ­A obtida a partir de A trocando­se o sinal de todos os elementos de A. Por

exemplo,  .

  Igualdade de matrizes    Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

.   Operações envolvendo matrizes Adição

   Dadas as matrizes  , chamamos de soma dessas matrizes a matriz  ,

tal que Cij = aij + bij , para todo  :

A + B = C Exemplos:

   

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. Propriedades    Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição: a) comutativa: A + B = B + A b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C) c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n d) elemento oposto: A + ( ­ A) = (­A) + A = 0 Subtração

   Dadas as matrizes  , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A ­ B = A + ( ­ B ) Observe:

    

22/02/2015 .:: Matrizes ­ parte 3 ::.

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Multiplicação de um número real por uma matriz    Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:

B = x.A     Observe o seguinte exemplo:

  Propriedades    Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: x . (yA) = (xy) . A b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A

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