. matrizes parte 4 , Manual de Álgebra Linear. Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET/RJ)
Reinaldo101883
Reinaldo10188323 de Fevereiro de 2015

. matrizes parte 4 , Manual de Álgebra Linear. Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET/RJ)

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Propriedades de Matrizes.
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22/02/2015 .:: Matrizes ­ parte 4 ::.

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Matrizes Multiplicação de matrizes    O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.    Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p  e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i­ésima linha de A pelos elementos da j­ésima coluna B.

   Vamos multiplicar a matriz   para entender como se obtém cada Cij:

1ª linha e 1ª coluna

   

1ª linha e 2ª coluna

   

2ª linha e 1ª coluna

   

2ª linha e 2ª coluna

   

   Assim,  .

   Observe que:

   Portanto,  .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

   Vejamos outro exemplo com as matrizes  :

22/02/2015 .:: Matrizes ­ parte 4 ::.

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    Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

     A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):

Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1    

Propriedades    Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C ) b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n    Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.

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