mec dos solidos deformaveis, Notas de estudo de Engenharia Civil
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Mecânica dos Solidos Deformaveis

Prof. Dr. Marco Lucio Bittencourt Eng. Wallace Gusm~ao Ferreira

1 de Junho de 2001

Conteudo

1 Solidos 3

1.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 De nic~ao da Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Movimento de Corpo Rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Lei de Hooke Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Formulac~ao Empregando Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9.1 Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9.2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9.3 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9.4 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9.5 Movimentos de Corpo Rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.9.6 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9.7 Aplicac~ao do PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9.8 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Casos Particulares 35

2.1 Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.2 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.3 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.4 PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.5 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Flex~ao Pura em Vigas Prismaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.2 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.3 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.4 PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.5 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Torc~ao de Eixos Circulares Prismaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1

2.3.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.2 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.3 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.4 PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.5 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Estado Plano de Tens~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Estado Plano de Deformac~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Soluc~ao Aproximada 46

3.1 Forma Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Forma Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Aproximac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Aplicac~oes 53

4.1 Metodos Analticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Equac~oes de Compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.2 Barra - Soluc~ao 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.3 Torc~ao de Eixos Circulares Prismaticos - Soluc~ao 3D . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.4 Viga - Soluc~ao 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Metodos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.1 Estudo de Casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Bibliogra a 72

2

Captulo 1

Solidos

1.1 Introduc~ao

O proposito deste texto e a apresentac~ao de uma metodologia para o tratamento e analise

de tens~oes e deformac~oes em corpos solidos. Inicialmente sera descrita a cinematica do problema,

pemitindo estabelecer o conceito geral de deformac~ao. Atraves do conceito de Trabalho Interno e da

aplicac~ao do Principio dos Trabalhos Virtuais ser~ao deduzidas as equac~oes diferenciais para o equilibrio

tridimensional, apos a introduc~ao do conceito de tens~ao. Finalmente ser~ao deduzidas as equac~oes de

Navier, atraves das aplicac~ao do modelo consitutivo (relac~oes entre tens~ao e deformac~oes em func~ao do

tipo de material), nesse caso a lei de Hooke, para materiais elasticos, homogêneos e isotropicos. A m

de permitir uma notac~ao mais compacta e generalizada para a formulac~ao dos modelos, as equac~oes

ser~ao reescritas utilizando o conceito matematico de tensores, seguindo-se os mesmos passos descritos

anteriormente.

Com o intuito de exempli car e aplicar os resultados obtidos com a formulac~ao geral para a

analise de tens~oes e deformac~oes em solidos tridimensionais, ser~ao formulados os modelos unidimen-

sionais de problemas de barra, viga , torc~ao e estados planos (tens~ao e deformac~ao), deduzidos do

modelo mais geral, levando-se em conta as hipoteses cinematicas simpli cadoras para cada caso.

A formulac~ao apresentada sera baseada na mecânica dos meios continuos que e o ramo da

mecânica que trata do estudo de tens~oes em solidos, liquidos e gases, bem como a deformac~ao e o

uxo desses materiais. O termo continuo aqui utilizado signi ca que s~ao desconsiderados os efeitos

decorrentes da estrutura molecular da materia, imaginando-a como sendo isenta de vazios e descon-

tinuidades. Do ponto de vista matematico isso implica em dizer que as func~oes empregadas na mod-

elagem devem ser suaves e possuir derivadas continuas em todo o dominio analizado.

O conceito de contnuo permite o uso de artifcios matematicos do calculo diferencial, possibil-

itando o estudo de distribuic~oes complexas e n~ao uniformes de tens~ao e deformac~ao dos corpos e, ao

mesmo tempo, de nir modelos fsicos considerados aceitaveis na descric~ao do comportamento materia

como um todo. Esta metodologia permite que ramos da mecânica como elasticidade, plasticidade e

mecânica dos fuidos establecam previs~oes quantitativas bastante razoaveis para uma larga faixa de

problemas de analise de tens~oes, deformac~oes e uxo material no campo da engenharia.

Considerando-se que atualmente o uso de ferramentas computacionais e uma realidade cada vez

mais presente no cotidiano da engenharia, para a soluc~ao de problemas envolvendo grande complexi-

dade, como a soluc~ao analitica de equac~oes diferenciais, sera apresentada uma proposta de aproximac~ao

da soluc~ao das equac~oes de equilibrio, permitindo o uso de ferramentas numericas, como o ja consagra-

do Metodo dos Elementos Finitos (MEF), entre outros. De forma simpli cada, o metodo utilizado

consiste em, partindo-se da forma forte das equac~oes diferenciais, atraves da integrac~ao por partes

deve-se obter uma forma fraca para o modelo, ou seja, a reduc~ao da ordem de diferenciabilidade das

func~oes incognitas, permitindo a obtenc~ao de uma solucao aproximada, atraves de modelos discretos,

3

mais faceis de serem implementados computacionalmente. Ao nal ser~ao demonstrados alguns exem-

plos de aplicac~ao das soluc~oes, de forma analitica, utilizando o equacionamento desenvolvido e de

forma numerica, utilizando o programa de elementos nitos ANSYS.

1.2 De nic~ao da Cinematica

Considere um corpo tridimensional B e um sistema de referência cartesiano ilustrados na Figura

1.1. Seja P1 um ponto qualquer do corpo B com coordenadas (x; y; z) segundo o sistema de referência

adotado, denotando-se P1(x; y; z). Sendo fex; ey; ezg uma base ortonormal do sistema de referência,

o vetor posic~ao rP1 do ponto P1 e de nido como

rP1 = xex + yey + zez.

Suponha agora que o corpo B sofra um deslocamento. Neste caso, o ponto P1 assume a posic~ao nal

P 01(x 0; y0; z0) e o respectivo vetor posic~ao e dado por

rP 0 1

= x0ex + y 0ey + z

0ez.

Figura 1.1: Cinematica de um Corpo Solido

De ne-se o vetor deslocamento u do ponto P1como a diferenca entre as suas posic~oes nal

(x0; y0; z0) e inicial (x; y; z), ou seja,

u = rP 0 1

� rP1 = (x 0 � x)ex + (y

0 � y)ey + (z 0 � z)ez. (1.1)

Observa-se que u = (x0 � x), v = (y0 � y) e w = (z0 � z) s~ao, respectivamente, as componentes do

vetor deslocamento u nas direc~oes x, y e z. Logo, a express~ao anterior pode ser reescrita como

u = uex + vey + wez , (1.2)

ou em forma matricial,

u =

8>< >:

u

v

w

9>= >; . (1.3)

Devido a hipotese de meio contnuo, o corpo B possui in nitos pontos. Cada um destes pontos

apresenta um vetor deslocamento u quando o corpo se desloca. Logo, a cinematica de um corpo

solido e descrita por in nitos vetores deslocamentos do tipo (1.3). Estes in nitos vetores de nem um

campo vetorial de deslocamento u(x; y; z). Assim, ao se substituir as coordenadas (x; y; z) de um

ponto arbitrario P1, u(x; y; z) fornece o respectivo vetor de deslocamentos u do ponto de acordo com

4

(1.3). Assim, a cinematica de um corpo solido e dada pelo campo vetorial de deslocamentos

u(x; y; z)= u(x; y; z)ex + v(x; y; z)ey + w(x; y; z)ez =

8>< >:

u(x; y; z)

v(x; y; z)

w(x; y; z)

9>= >; . (1.4)

1.3 Deformac~ao

Deseja-se agora caracterizar a variac~ao de distância entre dois pontos arbitrarios do corpo solido

antes e depois da ac~ao de deslocamento. Isto permitira de nir o que se entende por deformac~ao do

corpo solido. Considere os pontos arbitrarios P1(x; y; z) e P2(x +x; y + y; z +z) ilustrados na

Figura 1.2 e seus respectivos vetores posic~ao

rP1 = xex + yey + zez e (1.5)

rP2 = (x+x)ex + (y +y)ey + (z +z)ez. (1.6)

De acordo com a Figura 1.2, a distância d entre os pontos P1 e P2 e dada pela diferenca entre

o seus vetores posic~ao, ou seja,

d = rP2 � rP1 = xex +yey +zez.

Apos a ac~ao de deslocamento do corpo de acordo com a cinematica (1.4), os pontos P1 e P2 assumem,

respectivamente, as posic~oes nais P 01(x 0; y0; z0) e P 02(x

0 + x0; y0 + y0; z0 + z0) com os seguintes

vetores posic~ao

rP 0 1

= x0ex + y 0ey + z

0ez e (1.7)

rP 0 2

= (x0 +x0)ex + (y 0 +y0)ey + (z

0 +z0)ez. (1.8)

Portanto, a distância d0 entre os pontos P1 e P2 apos o deslocamento do corpo e dada por

d0 = rP 0 2

� rP 0 1

= x0ex +y 0ey +z

0ez.

Figura 1.2: Deformac~ao de um Corpo Solido

A partir da Figura 1.2 e adotando procedimento analogo ao utilizado na obtenc~ao da equac~ao

(1.4), tem-se que os vetores deslocamento dos pontos P1e P2 entre as con gurac~oes inicial e nal s~ao

dados, respectivamente, por

u(x) = rP 0 1

� rP1 = u(x)ex + v(x)ey + w(x)ez ,

u(x0) = rP 0 2 � rP2 = u(x

0)ex + v(x 0)ey + w(x

0)ez,

sendo x = (x; y; z) e x0 = (x+ d) = (x+x; y +y; z +z).

5

A partir destas express~oes, pode-se escrever os vetores posic~ao dos pontos P 01 e P 0

2 em func~ao de

seus vetores deslocamento, ou seja,

rP 0 1

= rP1 + u(x) = [x+ u(x)] ex + [y + v(x)] ey + [z + w(x)] ez,

rP 0 2

= rP2 + u(x 0) =

 x+x+ u(x0)

 ex +

 y +y + v(x0)

 ey +

 z +z + w(x0)

 ez.

Portanto, expressa-se d0 como

d0 = rP 0 2 � rP 0

1 = (x+u)ex + (y +v)ey + (z +w)ez, (1.9)

sendo a diferenca dos deslocamentos entre os pontos P1 e P2 nas direc~oes x, y e z dados por

u = u(x0)� u(x) = u(x+x; y +y; z +z)� u(x; y; z),

v = v(x0)� v(x) = v(x+x; y +y; z +z)� v(x; y; z),

w = w(x0)� w(x) = w(x+x; y +y; z +z)� w(x; y; z).

Finalmente, a variac~ao de distância d e dada por

d = d0 � d =uex +vey +wez: (1.10)

Considere-se agora os elementos tridimensionais ilustrados na Figura 1.3 cujas diagonais s~ao

dadas, respectivamente, por d e d0. O elemento n~ao-deformado e um cubo de dimens~oes x, y e

z e suas arestas s~ao linhas retas formando ângulos retos entre si. Apos o deslocamento, este cubo

se deforma para uma nova con gurac~ao entre os pontos P 01e P 0

2 com dimens~oes x 0, y0 e z. As

arestas se alongam e os ângulos entre as arestas deixam de ser retos apresentando distorc~oes. Deseja-se

caracterizar estes alongamentos e distorc~oes de nindo a deformac~ao em cada ponto do corpo solido.

Para facilitar a apresentac~ao, consideram-se os planos xy, xz e yz individualmente.

(a) Forma Inicial (b) Forma Deformado

Figura 1.3: Elementos Diferenciais

As Figuras 1.4a e 1.4b ilustram as projec~oes dos elementos n~ao-deformado e deformado no plano

xy com os respectivos deslocamentos u e v dos pontos P1 e P2 e as distorc~oes 1 e 2. Analisa-se

inicialmente apenas o caso em que ocorre somente alongamentos do elemento nas direc~oes x e y, con-

forme ilustrado na Figura 1.4a. O alongamento na direc~ao x sera dado pela variac~ao de comprimento

x0 �x dividido pelo comprimento inicial x, ou seja,

x0 �x

x .

Por sua vez, a partir da Figura 1.4a, tem-se que x0 = x+u. Logo,

x0 �x

x =

x+u�x

x =

u

x . (1.11)

Fazendo x pequeno, tem-se que o ponto P1 se aproxima de P2 e de ne-se a deformac~ao espec ca

longitudinal do ponto P1 na direc~ao x como o limite para x tendendo a zero, ou seja,

"xx(x; y; z) = lim x!0

u

x = lim

x!0

u(x+x; y +y; z +z)� u(x; y; z)

x . (1.12)

6

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 1.4: Deformac~oes do elemento diferencial

O limite anterior e a propria de nic~ao de derivada parcial pois o deslocamento u depende das coorde-

nadas (x; y; z) de cada ponto. Portanto,

"xx(x; y; z) = @u(x; y; z)

@x . (1.13)

Este mesmo procedimento pode ser repetido para se obter a deformac~ao espec ca longitudinal

de P1 na direc~ao y, ou seja,

"yy(x; y; z) = lim y!0

v

x = lim

y!0

v(x+x; y +y; z +z)� v(x; y; z)

y . (1.14)

Portanto,

"yy(x; y; z) = @v(x; y; z)

@y . (1.15)

De maneira analoga, conforme a Figura 1.4c, analisando somente a direc~ao para a y onde ocorre

7

apenas uma distorc~ao 1, a seguinte relac~ao trigonometrica e valida

tan 1 = v

x . (1.16)

Tomando-se x pequeno, tem-se que a tangente de 1 e aproximadamente igual a 1, ou seja, tan 1 

1. Logo, a seguinte relac~ao e valida

1 = lim x!0

v

x = lim

x!0

v(x+x; y +y; z +z)� v(x; y; z)

x =

@v(x; y; z)

@x . (1.17)

Considerando agora apenas uma distorc~ao 2, conforme Figura 1.4d, nesse caso,

tan 2 = u

y .

Tomando-se agora y pequeno, tem-se que tan 2  2 e portanto

2 = lim y!0

u

y = lim

y!0

u(x+x; y +y; z +z)� u(x; y; z)

y =

@u(x; y; z)

@y . (1.18)

A distorc~ao total no plano xy, denotada como  xy(x; y; z), e dada pela soma de 1 e 2, ou seja,

 xy(x; y; z) = 1 + 2 = @v(x; y; z)

@x +

@u(x; y; z)

@y . (1.19)

Analogamente para o plano xz, Figura 1.4e, com os respectivos deslocamentos u e w dos pontos

P1e P2 e as distorc~oes 3 e 4, efetua-se o mesmo procedimento anterior, determinando-se a deformac~ao

especi ca longitudinal do ponto P1 na direc~ao z como

"zz(x; y; z) = @w(x; y; z)

@z (1.20)

e a distorc~ao  xz(x; y; z) no plano xz

 xz(x; y; z) = 3 + 4 = @u(x; y; z)

@z +

@w(x; y; z)

@x . (1.21)

Finalmente, tomando-se o plano yz,Figura 1.4f, tem-se a distorc~ao  yz(x; y; z) dada por

 yz(x; y; z) = 5 + 6 = @v(x; y; z)

@z +

@w(x; y; z)

@y : (1.22)

As componentes de deformac~ao anteriores podem se reorganizadas numa forma matricial da

seguinte maneira

8>>>>>>< >>>>>>>:

"xx(x; y; z)

"yy(x; y; z)

"zz(x; y; z)

 xy(x; y; z)

 xz(x; y; z)

 yz(x; y; z)

9>>>>>>= >>>>>>>;

=

2 666666666666666664

@

@x 0 0

0 @

@y 0

0 0 @

@z @

@y

@

@x 0

@

@z 0

@

@x

0 @

@z

@

@y

3 777777777777777775

8>< >:

u(x; y; z)

v(x; y; z)

w(x; y; z)

9>= >; , (1.23)

ou ainda

f"g = [L]fug,

sendo [L] um operador diferencial.

Assim, tem-se que o estado de deformac~ao em cada ponto de um corpo solido e caracterizado

por 6 componentes de deformac~ao. Observa-se que as componentes de deformac~ao espec cas "xx,

"yy e "zz s~ao quantidades adimensionais, as quais estabelecem uma relac~ao de variac~ao espec ca das

componentes de deslocamento ao longo de uma determinada direc~ao. Por sua vez, as distorc~oes  xy,

 xz e  yz representam deformac~oes angulares e s~ao dadas em radianos.

Finalmente, deve-se ressaltar que a deduc~ao anterior, assim como a Mecânica do Contnuo, esta

8

totalmente baseada na ideia de diferencial. A partir da Figura 1.2, comparou-se a cinematica relativa

de dois pontos arbitrarios P1e P2 do corpo solido. A distância d entre estes pontos pode ser feita t~ao

pequena quanto se queira, de tal forma que pode-se falar do estado de deformac~ao em P1.

1.4 Movimento de Corpo Rgido

Se as normas dos vetores d e d0 ilustrados na Figura 1.2s~ao iguais ent~ao o corpo solido sofreu um

deslocamento rigido. De ne-se corpo rigido como aquele em que a distância entre dois pontos quaisquer

permanece constante para qualquer ac~ao de movimento. Isto implica que todas as componentes de

deformac~ao em cada ponto do corpo s~ao nulas, ou seja,8>>>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>>>>>:

"xx(x; y; z) = @u(x; y; z)

@x = 0

"yy(x; y; z) = @v(x; y; z)

@y = 0

"zz(x; y; z) = @w(x; y; z)

@z = 0

 xy(x; y; z) = @v(x; y; z)

@x +

@u(x; y; z)

@y = 0

 xz(x; y; z) = @u(x; y; z)

@z +

@w(x; y; z)

@x = 0

 yz(x; y; z) = @v(x; y; z)

@z +

@w(x; y; z)

@y = 0

. (1.24)

Se a cinematica u(x; y; z) = fu(x; y; z) v(x; y; z) w(x; y; z)gT e tal que as componentes de

deslocamento u; v e w s~ao constantes para todos os pontos de B, ent~ao tem-se apenas uma translac~ao

rgida. Nesse caso, as condic~oes anteriores s~ao satisfeitas.

Se agora o corpo apresenta rotac~oes x, y e z constantes em torno dos eixos x, y e z respecti-

vamente, o vetor deslocamento e dado por

u(x; y; z) = r  = det

2 64 ex ey ezx y z x y z

3 75 = (yz �zy)ex+(zx �xz)ey+(xy �yx)ez,(1.25)

sendo (y z � zy) = u, (z x � xz) = v e (x y � yz) = w. Novamente, o deslocamento anterior

implica que as componentes de deformac~ao sejam nulas.

Dessa forma, um deslocamento rgido geral e dado pela soma de uma translac~ao e uma rotac~ao

rgida da seguinte forma

u(x; y; z) = u0 + r  =

8>< >:

u0 v0 w0

9>= >;+

8>< >:

(yz � zy)

(zx � xz)

(xy � yx)

9>= >; ; (1.26)

sendo u0, v0, w0, x, y e z constantes para todos os pontos do corpo B:

1.5 Trabalho Interno

No caso de corpos deformaveis, emprega-se o conceito de trabalho interno para se determinar os

esforcos internos associados as deformac~oes decorrentes das ac~oes cinematicas impostas ao corpo. O

trabalho interno associa as deformac~oes um conjunto de esforcos internos compativeis com as proprias

componentes de deformac~ao e com a cinematica do problema.

Assim, associado as componentes de deformac~ao normal "xx, "yy e "zz em cada ponto do corpo,

tem-se as respectivas tens~oes normais xx, yy e zz. Da mesma maneira, associadas as distorc~oes  xy,

 xz e  yz, tem-se as respectivas componentes de tens~ao cisalhante xy, xz e yz. O trabalho interno

9

para um elemento diferencial de volume dV do corpo solido e dado por

dTi = � [xx"xx + yy"yy + zz"zz + xy xy + xz xz + yz yz] .

O sinal � e introduzido apenas por conveniência quando da aplicac~ao do Princpio dos Trabalhos

Virtuais.

O trabalho interno total e obtido atraves da soma do trabalho de cada elemento diferencial, ou

seja, atraves da integral de volume

Ti = �

Z V

" xx(x; y; z)"xx(x; y; z) + yy(x; y; z)"yy(x; y; z) + zz(x; y; z)"zz(x; y; z)

+xy(x; y; z) xy(x; y; z) + xz(x; y; z) xz(x; y; z) + yz(x; y; z) yz(x; y; z)

# dV .(1.27)

Fazendo uma analise dimensional do primeiro termo no integrando da express~ao anterior, sabe-se

que a unidade resultante deve ser igual a trabalho interno, ou seja,

[xx(x; y; z)"xx(x; y; z)dV ] =

 N

m2

  m

m

 [m3] = [Nm] . (1.28)

Logo, associada a deformac~ao "xx(x; y; z), que e um numero adimensional por de nic~ao, deve existir

uma func~ao contnua xx(x; y; z); representando os esforcos internos normais na direc~ao x, com di-

mens~ao

 N

m2

 . Assim, ao se realizar a integrac~ao no volume do corpo V , expresso em [m3], obtêm-se

unidades de trabalho ou energia [Nm]. A func~ao xx(x; y; z) e denominada componente de tens~ao

normal na direc~ao x.

Substituindo as componentes de deformac~ao na express~ao do trabalho, tem-se que

Ti = �

Z V

2 6666664

xx(x; y; z) @u(x; y; z)

@x + yy(x; y; z)

@v(x; y; z)

@y + zz(x; y; z)

@w(x; y; z)

@z

+xy(x; y; z)

 @v(x; y; z)

@x +

@u(x; y; z)

@y

 + xz(x; y; z)

 @u(x; y; z)

@z + @w(x; y; z)

@x



+yz(x; y; z)

 @v(x; y; z)

@z +

@w(x; y; z)

@y



3 7777775 dV (1.29)

As tens~oes normais representadas por xx, yy e zz na equac~ao (??) s~ao responsaveis pelo

alongamento do corpo nas direc~oes x, y e z respectivamente. Por sua vez, as tens~oes de cisalhamento

xy, xz e yz s~ao responsaveis pelas distorc~oes nos planos xy, xz e yz respectivamente.

Em geral, deseja-se obter uma express~ao em termos das componentes do deslocamento do corpo

e n~ao de suas derivadas, como aparecem na equac~ao (??) para o trabalho interno. Considerando

que as componentes de tens~ao e de deslocamento presentes na equac~ao (??) s~ao contnuas em todo

o domnio do corpo, pode-se realizar o procedimento de integrac~ao por partes de forma a reduzir a

sua ordem de diferenciac~ao nas componentes de deslocamento. De uma forma geral, a integrac~ao por

partes para func~oes contnuas quaisquer f e g dependentes de x, y e z e de nida como8>>>>>>< >>>>>>:

Z V

f(x; y; z) @g(x; y; z)

@x dV = �

Z V

@f(x; y; z)

@x g(x; y; z)dV +

Z S

f(x; y; z)g(x; y; z)nxdSZ V

f(x; y; z) @g(x; y; z)

@y dV = �

Z V

@f(x; y; z)

@y g(x; y; z)dV +

Z S

f(x; y; z)g(x; y; z)nydSZ V

f(x; y; z) @g(x; y; z)

@z dV = �

Z V

@f(x; y; z)

@z g(x; y; z)dV +

Z S

f(x; y; z)g(x; y; z)nzdS

,(1.30)

sendo f(x; y; z) e g(x; y; z) func~oes escalares e contnuas no domnio V e nx, ny e nz s~ao as componentes

do vetor n =nxex + nyey + nzez normal a superfcie S (contorno de V ), ver Figura 1.5.

Aplicando esse conceito para cada integral de volume na express~ao do trabalho interno (??),

10

Figura 1.5: Integrac~ao por partes tridimensional

tem-se que8>>>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>>>>:

Z V

xx @u

@x dV =

Z V

@xx

@x udV �

Z S

xxunxdS

Z V

yy @v

@y dV =

Z V

@yy

@y vdV �

Z S

yyvnydS

Z V

zz @w

@z dV =

Z V

@zz

@w wdV �

Z S

zzwnzdS

Z V

xy( @u

@y +

@v

@x )dV =

Z V

@xy

@y udV �

Z S

xyunydS +

Z V

@xy

@x vdV �

Z S

xyvnxdS

Z V

xz( @u

@z + @w

@x )dV =

Z V

@xy

@z udV �

Z S

xzunzdS +

Z V

@xz

@x wdV �

Z S

xzwnxdS

Z V

yz( @v

@z +

@w

@y )dV =

Z V

@yz

@z vdV �

Z S

yzvnzdS +

Z V

@yz

@y wdV �

Z S

yzwnydS

.(1.31)

Substituindo as express~oes anteriores na equac~ao (??) e reagrupando os termos, obtem-se

Ti = T V

i + T S

i , (1.32)

sendo

T V i

=

Z V

 @xx

@x +

@xy

@y +

@xz

@z

 u+

 @xy

@x +

@yy

@y +

@yz

@z

 v (1.33)

+

 @xz

@x +

@yz

@y +

@zz

@w

 w

 dV (1.34)

e

T Si = �

Z S

[(xxnx + xyny + xznz)u+ (xynx + yyny + yznz) v (1.35)

+ (xznx + yzny + zznz)w] dS. (1.36)

Fazendo uma analise dimensional dos integrandos das express~oes de T V i

e T S i , observa-se que

@xx

@x

 =

 N

m2 1

m

 =

 N

m3

 , (1.37)

[xxnx] =

 N

m2

 : (1.38)

Logo, o termo

 @xx

@x

 representa uma densidade de forca interna por unidade de volume do solido,

conhecida tambem como forca interna de corpo. Ja o termo [xxnx] representa a carga interna dis-

tribuda na superfcie do solido, tambem conhecida como forca interna de superfcie. Assim, T V i

e T S i

representam o trabalho interno, respectivamente, das forcas internas de volume e superfcie do corpo.

11

1.6 Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV)

Os objetivos do PTV s~ao estabelecer os esforcos externos compatveis com os esforcos internos

e determinar uma express~ao local para o equilbrio entre estes esforcos. Este princpio estabelece que,

se o corpo esta em equilbrio, os trabalhos externo e interno s~ao os mesmos para qualquer ac~ao virtual

de movimento

û(x; y; z) =

8>< >:

û(x; y; z)

v̂(x; y; z)

ŵ(x; y; z)

9>= >; , (1.39)

aplicada sobre o corpo, a partir de sua con gurac~ao deformada. O termo ac~ao virtual signi ca que o

princpio e valido para toda e qualquer ac~ao hipotetica de movimento, pequena ou grande, desde que

compatvel com a cinematica do problema.

Para avaliar intuitivamente o peso de um corpo qualquer a partir de sua con gurac~ao de

equilbrio, imp~oe-se uma ac~ao de movimento û(x; y; z) para retirar o corpo do seu estado de equilbrio.

Dessa forma, pelo PTV pode-se concluir que, o trabalho das forcas externas necessario para fazer com

que o corpo abandone sua con gurac~ao de equilbrio e igual a energia potencial gravitacional (trabalho

das forcas internas, nesse caso o peso) armazenada no corpo na nova con gurac~ao de equilbrio. De

maneira simpli cada, ergue-se o corpo ate uma altura generica h, realizando um trabalho externo

Te. Aplicando o PTV e possvel concluir que Te = �Ph, sendo P o peso do corpo em quest~ao. E

importante salientar que, o peso P do corpo e sempre possvel de ser determinado, independentemente

do valor de numerico de h, por isso que a ac~ao de movimento û(x; y; z); que levou o corpo da sua

con gurac~ao original de equilbrio ate a altura h e de nida como virtual.

De ne-se o PTV como

Te + Ti = 0, (1.40)

sendo Te e Ti os trabalhos das forcas externas e internas agindo sobre o corpo. Substituindo o resultado

da equac~ao (??) em (1.40), obtem-se

Te = �Ti = �T V

i � T S

i . (1.41)

Para que ocorra equilbrio, e preciso que haja em contrapartida aos esforcos internos, esforcos

externos de volume e superfcie, de tal forma que,

T V e + T S

e = �T V

i � T S

i , (1.42)

sendo T Ve e T S

e , respectivamente, o trabalho externo das forcas de corpo e de superfcie necessarios

para garantir o equilbrio.

De nindo b(x; y; z) como sendo a densidade das forcas externas por unidade de volume e t(x; y; z)

como a forca externa distribuda na superfcie do solido, tem-se

Te = T V

e + T S

e (1.43)

=

Z V

bT (x; y; z)û(x; y; z)dV +

Z S

tT (x; y; z)û(x; y; z)dS (1.44)

=

Z V

(bxû+ byv̂ + bzŵ)dV +

Z S

(txû+ tyv̂ + tzŵ)dS. (1.45)

Para que haja equilbrio entre os trabalhos dos esforcos externos e internos e preciso que para

qualquer ac~ao virtual û(x; y; z)

T V e

= �T V i , (1.46)

T S e

= �T S i . (1.47)

12

Substituindo as express~oes dos trabalhos das forcas de volume e superficie da equac~ao (1.45) em

(1.46) e (1.47) e agrupando os termos das integrais de volume e de superficie tem-se queZ V

 @xx

@x +

@xy

@y +

@xz

@z + bx

 û+

 @xy

@x +

@yy

@y +

@yz

@z + by

 v̂

+

 @xz

@x +

@yz

@y +

@zz

@w + bz

 ŵ

 dV = 0

(1.48)

e Z S

[(xxnx + xyny + xznz � tx) û+ (xynx + yyny + yznz � ty) v̂

+(xznx + yzny + zznz � tz) ŵ] dS = 0 (1.49)

Como û(x; y; z) = fû(x; y; z) v̂(x; y; z) ŵ(x; y; z)gT e uma ac~ao de deslocamento virtual arbi-

traria compatvel com a cinematica do problema, pode-se concluir que as equac~oes (??) e (1.49) ser~ao

satisfeitas somente quando as equac~oes diferenciais8>>>>>< >>>>>:

@xx

@x + @xy

@y +

@xz

@z + bx = 0

@xy

@x +

@yy

@y +

@yz

@z + by = 0

@xz

@x +

@yz

@y + @zz

@w + bz = 0

(1.50)

e as condic~oes de contorno8>< >:

xxnx + xyny + xznz � tx = 0

xynx + yyny + yznz � ty = 0

xznx + yzny + zznz � tz = 0

, (1.51)

forem satisfeitas simultaneamente. O conjunto de equac~oes em (1.50) de ne o sistema de equac~oes

diferenciais de equilbrio entre as forcas de volume externas e internas valido em todo o domnio do

corpo solido. O conjundo de equac~oes em (1.51) de ne as condic~oes de contorno na superfcie do

solido.

Os sistemas de equac~oes em (1.50) e (1.51) de nem o Problema de Valor de Contorno (PVC) para

o equlbrio de solidos em três dimens~oes. Nenhuma hipotese simpli cadora foi introduzida, alem da

continuidade das ac~oes cinematicamente possveis e de pequenas deformac~oes. Assim, esta formulac~ao

e valida para qualquer meio contnuo independentemente do tipo de material com o qual o meio e

formado.

1.7 Lei de Hooke Generalizada

Ate o momento, foram estabelecidos os conceitos de deformac~ao e tens~ao aplicaveis a qualquer

material em equilbrio que satisfaca as hipoteses de meio contnuo. Agora ser~ao de nidas equac~oes,

caracterizando o comportamento de um determinado tipo de material e suas respostas dado um car-

regamento aplicado. Tais equac~oes s~ao denominadas equac~oes constitutivas, pois descrevem o com-

portamento do material em decorrência de sua constituic~ao interna. As equac~oes constitutivas corre-

spondem a formulac~ao matematica do modelo de comportamento de um material idealizado, visando

aproximar as observac~oes experimentais do comportamento do material em uma determinada faixa de

aplicac~ao.

Nesse contexto, de ne-se o solido elastico, linear, homogêneo e isotropico, que obedece o modelo

constitutivo conhecido como Lei de Hooke. Por elastico deve-se entender que o material retorna a sua

forma inicial, ou seja, n~ao existem deformac~oes permanentes apos cessar o carregamento. Linear

signi ca que a relac~ao entre as tens~oes e deformac~oes e uma func~ao linear. Assim, um aumento no

valor das tens~oes provoca um aumento proporcional no valor das deformac~oes. Homogêneo indica

que o as propriedades do material s~ao iguais para todos os pontos do corpo. Isotropico signi ca que

13

as propriedades mecânicas medidas ao longo de uma direc~ao s~ao iguais quando medidas em todas as

outras direc~oes. Um exemplo de materiais que obedecem esta lei para uma faixa de nida como faixa

elastica, s~ao os materiais metalicos (aco, alumnio, cobre, etc.) a temperatura ambiente.

Observa-se, atraves de experimentos que, quando esses materiais s~ao solicitados uniaxialmente,

ou seja, tens~oes normais em uma unica direc~ao, existe uma faixa onde a relac~ao tens~ao versus defor-

mac~ao apresenta um comportamento linear elastico de nido como

xx = E"xx ) "xx = xx

E , (1.52)

sendo E de nido como Modulo de Elasticidade Longitudinal ou Modulo de Young, representando o

comportamento elastico do material, quando submetido a um carregamento uniaxial.

Percebe-se tambem que tais materiais s~ao isotropicos, na maioria dos casos, apresentando o

mesmo comportamento em todas as direc~oes. Logo,

yy = E"yy ) "yy = yy

E , (1.53)

zz = E"zz ) "zz = zz

E . (1.54)

No caso de um carregamento unixial, observam-se deformac~oes nas direc~oes perpendiculares ao

carregamento. Considerando um alongamento "xx do corpo na direc~ao x, veri cam-se encurtamentos

do corpo nas direc~oes perpendiculares (neste caso y e z), os quais s~ao proporcionais ao alongamento

na direc~ao x. Por exemplo, para o caso de uma barra tracionada na direc~ao longitudinal, ocorre uma

reduc~ao do diâmetro. O inverso ocorre no caso de compress~ao. Assim, no caso de um carregamento

na direc~ao x, tem-se que

"yy = "zz = �v"xx ) "yy = "zz = � v

E xx. (1.55)

Analogamente para as outras direc~oes, considerando a isotropia do material

"xx = "zz = �v"yy ) "xx = "zz = � v

E yy, (1.56)

"xx = "yy = �v"zz ) "xx = "yy = � v

E zz. (1.57)

A propriedade v e denominada Coe ciente de Poisson. Um valor tpico para o aco e v = 0; 33. O

sinal de � nas equac~oes (1.55) (1.56) e (1.57) e empregado apenas para representar o fenômeno fsico

observado.

Para carregamentos triaxiais (tens~oe normais nas direc~oes x, y e z; simultaneamente) observa-se

que existe uma sobreposic~ao dos efeitos dos carregamentos em cada direc~ao. Portanto, superpondo os

efeitos vem que

"xx = xx

E �

v

E yy �

v

E zz =

1

E [xx � v(yy + zz)], (1.58)

"yy = yy

E �

v

E xx �

v

E zz =

1

E [yy � v(xx + zz)], (1.59)

"zz = zz

E �

v

E yy �

v

E xx =

1

E [zz � v(yy + xx)]. (1.60)

Considerando agora o caso de cisalhamento puro do material, veri ca-se que

xy = G xy = E

2(1 + v)  xy )  xy =

2(1 + v)

E xy, (1.61)

xz = G xz = E

2(1 + v)  xz )  xz =

2(1 + v)

E xz, (1.62)

yz = G yz = E

2(1 + v)  yz )  yz =

2(1 + v)

E yz. (1.63)

O termo G e denominado Modulo de Elasticidade Transversal. A Figura 1.1 iustra os tipos de car-

regamentos atuante em um corpo solido.

14

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 1.6: Carregmentos atuando sobre um corpo tridimensional

Deve-se observar, atraves das equac~oes (1.61) (1.62) e (1.63), que os efeitos do cisalhamento em

um determinado plano n~ao provocam distorc~oes nos outros planos. Desta forma, xy; xz e yz s~ao

independentes (desacoplados).

Pode-se escrever as relac~oes anteriores na forma matricial8>>>>>>< >>>>>>:

"xx "yy "zz  xy  xz  yz

9>>>>>>= >>>>>>;

= 1

E

2 66666664

1 �v �v 0 0 0

�v 1 �v 0 0 0

�v �v 1 0 0 0

0 0 0 2(1 + v) 0 0

0 0 0 0 2(1 + v) 0

0 0 0 0 0 2(1 + v)

3 77777775

8>>>>>>< >>>>>>:

xx yy zz xy xz yz

9>>>>>>= >>>>>>; ; (1.64)

ou seja,

f"g = [C]fg:

A matriz [C] pode ser invertida, permitindo expressar as componentes de tens~ao em func~ao das

15

componentes de deformac~ao8>>>>>>< >>>>>>>:

xx yy zz xy xz yz

9>>>>>>= >>>>>>>;

= E (1+v)(1�2v)

2 66666664

1� v v v 0 0 0

v 1� v v 0 0 0

v v 1� v 0 0 0

0 0 0 1�2v 2

0 0

0 0 0 0 1�2v 2

0

0 0 0 0 0 1�2v 2

3 77777775

8>>>>>>< >>>>>>>:

"xx "yy "zz  xy  xz  yz

9>>>>>>= >>>>>>>; , (1.65)

ou em forma compacta

fg = [D]f"g.

Expandindo a express~ao para xx, tem-se que

xx = E

(1 + v)(1 � 2v) "xx +

Ev

(1 + v)(1� 2v) ("yy + "zz). (1.66)

Somando e subtraindo o termo Ev

(1 + v)(1 � 2v) "xx do lado direito da equac~ao (??) e rearranjando,

obtem-se

xx = E

(1 + v) "xx +

Ev

(1 + v)(1 � 2v) ("xx + "yy + "zz) = 2"xx + e, (1.67)

sendo  e  os coe cientes de Lame dados por

 = E

2(1 + v) , (1.68)

 = Ev

(1 + v)(1� 2v) . (1.69)

O termo e representa a dilatac~ao do corpo, ou seja,

e = "xx + "yy + "zz:

Efetuando o mesmo procedimento para as demais componentes de tens~ao normal, tem-se ao nal

as express~oes da Lei de Hooke generalizada para um material elastico, linear, homogêneo e isotropico8>>>>>>>< >>>>>>:

xx = 2"xx + e

yy = 2"zz + e

zz = 2"zz + e

xy =  xy xz =  xz yz =  yz

. (1.70)

1.8 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva

As express~oes anteriores fornecem para um solido elastico, linear, homogêneo e isotropico as

componentes de tens~ao em cada ponto do corpo em func~ao das respectivas componentes de deformac~ao.

Substituindo estas relac~oes nas equac~oes de equilibrio (1.50) obtêm-se as condic~oes de equilibrio em

termos das componentes de deslocamento.

Para a primeira equac~ao de (1.50) vem que

@

@x (2"xx + e) +

@

@y ( xy) +

@

@z ( xz) + bx = 0

 @e

@x + 2

@"xx

@x + 

@

@y ( @u

@y +

@v

@x ) + 

@

@z ( @u

@z + @w

@x ) + bx = 0. (1.71)

Observa-se que

@

@y ( @u

@y +

@v

@x ) =

@2u

@y2 +

@

@x ( @v

@y ) =

@2u

@y2 +

@"yy

@x , (1.72)

16

@

@z ( @u

@z + @w

@x ) =

@2u

@z2 +

@

@x ( @w

@z ) =

@2u

@y2 +

@"zz

@x . (1.73)

Substituindo estas relac~oes em (1.71), tem-se que

 @e

@x + 2

@"xx

@x + 

@

@y ( @2u

@y2 +

@"yy

@x ) + 

@

@z ( @2u

@y2 + @"zz

@x ) + bx = 0. (1.74)

Lembrando-se que e = "xx + "yy + "zz e @"xx

@x =

@2u

@x2 e reagrupando os termos

(+ ) @e

@x + (

@2

@x2 +

@2

@y2 +

@2

@z2 )u+ bx = 0. (1.75)

Efetuando o mesmo procedimento para as duas outras equac~oes em (1.50), obtêm-se ao nal as

Equac~oes de Navier em termos das componentes de deslocamento e da dilatac~ao e, ou seja,8>>>>>>< >>>>>>:

(+ ) @e

@x + (

@2

@x2 +

@2

@y2 +

@2

@z2 )u+ bx = 0

(+ ) @e

@y + (

@2

@x2 +

@2

@y2 +

@2

@z2 )v + by = 0

(+ ) @e

@z + (

@2

@x2 +

@2

@y2 +

@2

@z2 )w + bz = 0

. (1.76)

Observa-se que enquanto as equac~oes de equilbrio (1.50) s~ao validas para qualquer meio contnuo

tridimensional em pequenas deformac~oes, as equac~oes de Navier fornecem o equilbrio em termos de

deslocamentos apenas para um material que obedece a lei de Hooke.

E importante salientar que a soluc~ao analtica do sistema de equac~oes em (1.76) pode ser obtida

apenas em alguns casos muito particulares. No caso de n~ao existir uma soluc~ao fechada para um dado

problema, aplicam-se tecnicas de soluc~ao numerica como o Metodo dos Elementos Finitos (MEF).

1.9 Formulac~ao Empregando Tensores

A formulac~ao empregada ate agora utilizou numeros escalares e vetores como entes matematicos

basicos. Um outro conceito matematico de grande importância no estudo de problemas de Mecânica

e o tensor. O seu uso permite apresentar de forma compacta e elegante a formulac~ao de varios

problemas. Uma outra vantagem e que as equac~oes expressas na forma tensorial s~ao independentes do

sistema de coordenadas empregado. Assim, e possivel concentrar-se apenas nos conceitos envolvidos

nas equac~oes sem se preocupar com detalhes desnecessarios sob o ponto de vista da apresentac~ao de

uma formulac~ao. Estes detalhes ser~ao importantes apenas quando se adota um sistema de coordenadas

especi co para o estudo de um problema.

Na verdade, o conceito de tensor representa uma generalizac~ao.de escalares e vetores, pois estes

podem ser de nidos, respectivamente, como tensores de ordens zero e um. Os tensores de segunda

ordem s~ao usados extensivamente em Mecânica, podendo-se citar os tensores de deformac~ao, de tens~ao

e de inercia. Por sua vez, tensores de quarta ordem s~ao empregados para a representac~ao de equac~oes

constitutivas de materiais.

A seguir, formula-se o problema de corpos solidos introduzindo o conceito de tensor. Para tanto

ser~ao seguidos os mesmos passos utilizados anteriormente. Antes disso porem, torna-se importante

apresentar uma de nic~ao para um corpo.

1.9.1 Corpo

O espaco geometrico em considerac~ao no estudo da Mecânica do Continuo e o espaco euclidiano

tridimensional E . Os elementos de E s~ao denominados pontos.

Todo corpo tem como caracterstica fsica principal o fato de ocupar regi~oes do espaco euclidiano

17

tridimensional. Assim, um corpo qualquer pode ocupar diferentes regi~oes em tempos distintos. Embora

nenhuma destas regi~oes possa ser associada ao corpo, torna-se conveniente selecionar uma delas,

denominada con gurac~ao de referência B, identi cando pontos do corpo com as suas posic~oes em B.

Desta maneira, um corpo B passa a ser uma regi~ao regular de E , sendo os pontos de B denominados

pontos materiais. Qualquer subregi~ao regular limitada de B e chamada parte, a qual e indicada por P.

Os contornos do corpo B e da parte P s~ao indicados, respectivamente, por @B e @P. Estes conceitos

est~ao ilustrados na Figura 1.7.

Como um corpo pode ocupar diferentes regi~oes ao longo de um movimento, torna-se necessario

a introduc~ao de um parâmetro t 2 [t0; tf ], designando uma certa con gurac~ao Bt do corpo. Observa-se

que em varios problemas t n~ao representa necessariamente o tempo.

Figura 1.7: De nic~ao de Corpo

1.9.2 Vetores

Intuitivamente, observa-se que a soma de dois pontos n~ao possui nenhum signi cado. Entretanto,

a diferenca entre dois pontos x e y e de nida como sendo um vetor, ou seja,

v = y� x x;y 2 E : (1.77)

Pode-se ent~ao colocar a seguinte importante observac~ao. Um vetor e de nido formalmente como

a diferenca de pontos de E . Apenas quando se adota um sistema de coordenadas, pode-se falar das

componentes de um vetor, assim como da sua direc~ao e sentido.

O conjunto de vetores obtidos pela diferenca de pontos de E forma na verdade um espaco de

vetores ou espaco vetorial V. Observa-se ainda que a soma entre um ponto x e um vetor v de ne um

novo ponto y, isto e,

y = x+ v x 2 E ; v 2 V . (1.78)

Um sistema de coordendas consiste de uma base ortonormal fe1; e2; e3g e um ponto arbitrario

o de E denominado origem. A partir da, as coordenadas de qualquer ponto x passam a ser dadas

pelo vetor posic~ao r = x� o em relac~ao a origem o. Estes conceitos est~ao ilustrados na Figura 1.8

A seguir apresenta-se a formulac~ao de solido introduzindo o conceito de tensor. Apesar de uma

das vantagens de se empregar tensores e obter express~oes gerais para qualquer sistema de coordenadas,

utilizam-se a seguir coordenadas cartesianas (x; y; z) para manter compatibilidade com a notac~ao

empregada na primeira parte deste captulo.

18

(a) (b)

Figura 1.8: De nic~ao de Vetores e Sistemas de Referência

1.9.3 Cinematica

Como visto na Sec~ao 1.2, a cinematica de um corpo solido e descrita por um campo vetorial u,

o qual para cada ponto do corpo, com coordenadas (x; y; z), fornece as componentes de deslocamento

u, v e w nas direc~oes ex, ey e ez, respectivamente. Logo, a cinematica de um solido tridimensional em

termos de deslocamento pode ser denotada como

u(x; y; z) =

8>< >:

u(x; y; z)

v(x; y; z)

w(x; y; z)

9>= >; . (1.79)

1.9.4 Deformac~ao

Seja f(x) uma func~ao da variavel x: Assim, para cada valor de x, f(x) fornece um numero real

ou escalar. Por exemplo, f(x) pode representar o deslocamento axial num problema de barra, ou

ainda o deslocamento transversal num problema de ex~ao de vigas. Pode-se expandir a func~ao f na

vizinhanca de x utilizando a serie de Taylor, ou seja,

f(y) = f(x) + df(x)

dx d+

1

2

d2f(x)

dx2 d2 + : : :+

1

n!

d(n)f(x)

dx(n) dn +

1

(n+ 1)! dn+1 (1.80)

= f(x) + df(x)

dx d+O(d2), (1.81)

sendo d = (y � x) e O(d2) um termo de ordem d2: Isso signi ca que quando y se aproxima de x, ou

seja, d = (y � x) vai para zero, d2 tende a zero mais rapidamente. Logo,

lim y!x

d2

y � x = lim

y!x

(y � x)2

y � x = lim

y!x (y � x) = 0. (1.82)

Suponha agora que f e uma func~ao que fornece valores escalares, mas depende das variaveis

x; y e z. Pode-se dizer que f depende do vetor posic~ao x = (x; y; z) de um ponto do corpo solido,

denotando-se como f = f(x; y; z) = f(x). Utilizando-se a serie de Taylor, pode-se expandir f em

torno de x da seguinte maneira

f(y) = f(x) +rfT (x)d+O(kdk2), (1.83)

sendo d =(y � x) o vetor diferenca entre as posic~oes y = (x0; y0; z0) e x =(x; y; z). A norma euclidiana

de d e indicada por kdk e kdk2 = (x0 � x)2 + (y0 � y)2 + (z0 � z)2. Assim, O(kdk2) e um termo de

ordem kdk2.

19

Como f e agora uma func~ao de 3 variavies, a primeira derivada df

dx em (1.81) e substituda pelo

vetor gradiente de f , ou seja

frf(x)g =

8>>>>>< >>>>>:

@f(x)

@x @f(x)

@y @f(x)

@z

9>>>>>= >>>>>; . (1.84)

Por sua vez, o termo O(kdk2) signi ca que o mesmo vai para zero mais rapidamente do que a

norma kdk quando y tende a x; isto e,

lim y!x

kdk2

ky � xk = lim

y!x

ky � xk2

ky � xk = lim

y!x ky � xk = 0. (1.85)

Seja f agora uma func~ao vetorial dependente das variaveis x; y e z, ou seja, f = f(x; y; z) = f(x):

Desta maneira, f tem componentes nas direc~oes x, y e z: Logo

ff(x)g =

8>< >:

fx(x)

fy(x)

fz(x)

9>= >; . (1.86)

Expandindo f em torno do ponto x, tem-se que

f(y) = f(x) +rf(x)d+O(kdk2). (1.87)

Nesse caso, o gradiente de f(x) e dado por

rf(x) =

 @f(x)

@x

@f(x)

@y

@f(x)

@z

 . (1.88)

Por sua vez como f e uma func~ao vetorial, cada um dos compnentes do lado direito da equac~ao

(??) e um vetor analogo ao da equac~ao (1.84). Expandindo cada um dos componentes vem que

[rf(x)] =

2 6666664

@fx(x)

@x

@fx(x)

@y

@fx(x)

@z @fy(x)

@x

@fy(x)

@y

@fy(x)

@z @fz(x)

@x

@fz(x)

@y

@fz(x)

@z

3 7777775 , (1.89)

Assim, o gradiente de uma func~ao vetorial f dependente do vetor posic~ao x = (x; y; z) e uma matriz de

ordem 3. Na verdade a equac~ao (1.89) e a representac~ao matricial do tensor rf(x) segundo o sistema

cartesiano. Observe que ao se multiplicar a representac~ao matricial do tensor rf dada em (1.89) por

um vetor v com componentes cartesianas (vx; vy; vz), tem-se como resultado um outro vetor, ou seja,2 6666664

@fx

@x

@fx

@y

@fx

@z @fy

@x

@fy

@y

@fy

@z @fz

@x

@fz

@y

@fz

@z

3 7777775

8>< >:

vx vy vz

9>= >; =

8>>>>>>< >>>>>:

@fx

@x vx +

@fx

@y vy +

@fx

@z vz

@fy

@x vx +

@fy

@y vy +

@fy

@z vz

@fz

@x vx +

@fz

@y vy +

@fz

@z vz

9>>>>>>= >>>>>; .

Torna-se importante aqui estabelecer o conceito de tensor. De forma analoga ao caso de vetores,

tem-se uma de nic~ao formal do conceito de tensor. Apenas quando se utiliza um sistema de coorde-

nadas, pode-se falar das componentes de um tensor. Assim, formalmente, de ne-se um tensor T como

uma transformac~ao linear do espaco vetorial V em V denotando-se como

Tu = v. (1.90)

Isto implica que ao se aplicar o tensor T num vetor qualquer u, tem-se como resultado o vetor v.

Como a tranformac~ao e linear, as seguintes propriedades s~ao validas

T(u+ v) = Tu+Tv, (1.91)

20

T( u) = (Tu), (1.92)

sendo um numero escalar.

As equac~oes (1.90) e (1.92) de nem um tensor. Utilizando um sistema de coordenadas com uma

base fe1; e2; e3g, de nem-se as componentes de T como

Tij = ei Tej.

Desta maneira, em termos de componentes as equac~oes (1.90) e (1.92) s~ao dadas, respectiva-

mente, por2 64 T11 T12 T13T21 T22 T23 T31 T32 T33

3 75 8>< >:

u1 u2 u3

9>= >; =

8>< >:

v1 v2 v3

9>= >; ,

2 64 T11 T12 T13T21 T22 T23 T31 T32 T33

3 75 0 B@ 8>< >:

u1 u2 u3

9>= >;+

8>< >:

v1 v2 v3

9>= >; 1 CA =

2 64 T11 T12 T13T21 T22 T23 T31 T32 T33

3 75 8>< >:

v1 v2 v3

9>= >;

+

2 64 T11 T12 T13T21 T22 T23 T31 T32 T33

3 75 8>< >:

u1 u2 u3

9>= >; ,

2 64 T11 T12 T13T21 T22 T23 T31 T32 T33

3 75 0 B@

8>< >:

u1 u2 u3

9>= >; 1 CA =

0 B@ 2 64 T11 T12 T13T21 T22 T23 T31 T32 T33

3 75 8>< >:

u1 u2 u3

9>= >; 1 CA .

A cinematica de um corpo solido tambem e descrita por uma func~ao vetorial u dependente do

vetor posic~ao x = (x; y; z) como indicado em (1.79). Expandindo u(x) na vizinhanca de x de forma

analoga a equac~ao (1.87) vem que

u(y) = u(x) +ru(x)d+O(kdk2), (1.93)

sendo ru(x) o gradiente do campo de deslocamentos calculado em x , cuja representac~ao no sistema

cartesiano e dada por

[ru(x)] =

2 6666664

@u(x)

@x

@u(x)

@y

@u(x)

@z @v(x)

@x

@v(x)

@y

@v(x)

@z @w(x)

@x

@w(x)

@y

@w(x)

@z

3 7777775 . (1.94)

Como d = y � x; tem-se que y = x+ d. Logo, a express~ao (1.93) pode ser reescrita como

u(x+ d) = u(x) +ru(x)d+O(kdk2). (1.95)

Observe que o tensor gradiente do campo de deformac~ao pode ser escrito como

ru(x) = 1

2 ru(x) +

1

2 ru(x)

= 1

2 ru(x) +

1

2 ruT (x) +

1

2 ru(x)�

1

2 ruT (x) (1.96)

= 1

2 [ru(x) +ruT (x)] +

1

2 [ru(x)�ruT (x)]. (1.97)

21

Neste caso, ruT (x) e o tensor transposto de ru(x). Para se obter a representac~ao matricial de

ruT (x) no sistema cartesiano, basta trocar as linhas pelas colunas em (1.94), ou seja,

[ruT (x)] =

2 6666664

@u(x)

@x

@v(x)

@x

@w(x)

@x @u(x)

@y

@v(x)

@y

@w(x)

@y @u(x)

@z

@v(x)

@z

@w(x)

@z

3 7777775 . (1.98)

De nem-se os tensores de deformac~ao E e rotac~ao in nitesimais, respectivamente, como

E(x) = 1

2 [ru(x) +ruT (x)], (1.99)

(x) = 1

2 [ru(x)�ruT (x)]. (1.100)

A representac~ao matricial do tensor de pequenas deformac~oes E no sistema cartesiano e obtida

substituindo (1.94) e (1.98) em (1.99). Efetuando as operac~oes indicadas vem que

[E(x)] =

2 6666664

@u(x)

@x 1 2

 @v(x)

@x +

@u(x)

@y

 1 2

 @w(x)

@x +

@u(x)

@z

 1 2

 @u(x)

@y +

@v(x)

@x

 @v(x)

@y 1 2

 @w(x)

@y +

@v(x)

@z

 1 2

 @u(x)

@z +

@w(x)

@x

 1 2

 @v(x)

@z +

@w(x)

@y

 @w(x)

@x

3 7777775 . (1.101)

Observa-se que as componentes cartesianas de E(x) apresentam uma relac~ao direta com as

componentes de deformac~ao deduzidas anteriormente na Sec~ao ??. Logo, pode-se reescrever (1.101)

como

[E(x)] =

2 64 "xx(x)

1 2  xy(x)

1 2  xz(x)

1 2  xy(x) "yy(x)

1 2  yz(x)

1 2  xz(x)

1 2  yz(x) "zz(x)

3 75 . (1.102)

E comum escrever o tensor de deformac~ao in nitesimal da seguinte maneira

[E(x)] =

2 64 "xx(x) xy(x) xz(x) yx(x) "yy(x) yz(x) zx(x) zy(x) "zz(x)

3 75 . (1.103)

As componentes da diagonal principal "xx(x); "yy(x) e "zz(x) representam as deformac~oes espec cas

nas direc~oes x; y e z calculadas no ponto x. As componentes fora da diagonal principal s~ao as compo-

nentes de deformac~ao cisalhante ou distorc~ao. O tensor E e simetrico pois

xy(x) = yx(x), xz(x) = zx(x), yz(x) = zy(x) . (1.104)

Em geral, a simetria de um tensor T e de nida como

T = TT . (1.105)

Em termos de componentes, isto implica que

T12 = T21, T13 = T31, T23 = T32 , (1.106)

ou de forma geral

Tij = Tji, i; j = 1; 2; 3 . (1.107)

Lembre-se que a primeira letra em xy indica o plano x, enquanto o subscrito y indica a direc~ao

da deformac~ao. Analogamente, para xz e yz (veja Figura 1.4). Observe que as distorc~oes totais  xy,

 xz e  yz nos planos xy, xz e yz dadas em (1.23) s~ao duas vezes as respectivas distorc~oes xy, xz e

yz, ou seja,

 xy(x) =2 xy(x),  xz(x) =2 xz(x),  yz(x) =2 yz(x) . (1.108)

22

Analogamente, obtem-se as componentes do tensor de rotac~ao in nitesimal (x) substituindo

(1.94) e (1.98) em (1.100). Logo

[ (x)] =

2 6666664

0 1 2

 @u(x)

@y �

@v(x)

@x

 1 2

 @u(x)

@z �

@w(x)

@x



�1 2

 @u(x)

@y �

@v(x)

@x

 0 1

2

 @v(x)

@z �

@w(x)

@y



�1 2

 @u(x)

@z �

@w(x)

@x

 �1

2

 @v(x)

@z �

@w(x)

@y

 0

3 7777775 . (1.109)

Pode-se escrever o tensor (x) da seguinte maneira

[ (x)] =

8>< >:

0 � z(x) y(x)

z(x) 0 � x(x)

� y(x) x(x) 0

9>= >; , (1.110)

pois x(x); y(x) e z(x) indicam as rotac~oes in nitesimais de cada ponto x em torno dos eixos

cartesianos x; y e z respectivamente.

Para veri car que isto e verdadeiro, considere o elemento diferencial de um meio solido sofrendo

uma distorc~ao 1 no plano xy, conforme mostrado na Figura 1.9a. Observe que a diagonal do elemento

apresenta uma rotac~ao 1 em torno do eixo z no sentido anti-horario. Dos ângulos indicados na Figura

1.9a, as seguintes relac~oes s~ao validas

2 = 2 + 1 ) = a+ 1

2 1, (1.111)

+ 1 = a+ 1. (1.112)

Substituindo () (1.112) vem que

a+ 1

2 1 + 1 = a+ 1 ) 1 =

1

2 1. (1.113)

Considerando agora que o elemento sofra uma distorc~ao 2, mostrada na Figura 1.9b, tem-se

que a diagonal do elemento apresenta uma rotac~ao 2 em torno de z no sentido horario e, portanto,

de valor negativo. Da Figura 1.9b

2 = 2 + 2 ) = a+ 1

2 2, (1.114)

� 2 = a+ 2, (1.115)

e substituindo (1.114) em (1.115)

2 = � 1

2 2. (1.116)

Para o caso geral, onde o elemento sofre uma distorc~ao total 1+ 2 (ver Figura 1.9c), a diagonal

apresenta uma rotac~ao rgida local z(x) dada por

z(x) = 1 + 2. (1.117)

Substituindo (1.113) e (1.116) em (??) e lembrando que 2 = @v

@x e 2 =

@u

@y vem que

z(x) = 1

2

 @v(x)

@x �

@u(x)

@y

 . (1.118)

Analogamente, para os demais planos (ver Figuras 1.9d e 1.9e), tem-se que

x(x) = 1

2

 @v(x)

@z �

@w(x)

@y

 , (1.119)

y(x) = 1

2

 @u(x)

@z �

@w(x)

@x

 . (1.120)

23

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 1.9: Rotac~oes de Corpo Rgido

Observe ainda de (1.110) que o tensor (x) e anti-simetrico. De forma geral, um tensor T e

anti-simetrico se

T = �TT . (1.121)

Em termos de componentes, isto implica que

T12 = �T21, T13 = �T31, T23 = �T32 , (1.122)

T11 = T22 = T33 = 0, (1.123)

ou de forma geral, para i; j = 1; 2; 3

Tij = �Tji, i 6= j ; (1.124)

Tij = 0 i = j . (1.125)

Substituindo (1.99) e (1.100) em (1.97) tem-se que

ru(x) = E(x) + (x), (1.126)

24

ou seja, o tensor gradiente de deslocamento e dado pela soma de um tensor simetrico E(x) e um tensor

anti-simetrico (x): Esta decomposic~ao e valida para qualquer tensor A. Logo,

A = AS+AA, (1.127)

sendo as partes simetrica AS e anti-simetrica AA de A dadas, respectivamente, por

AS = 1

2 (A+AT ), (1.128)

AA = 1

2 (A�AT ). (1.129)

Diz-se assim que E e representam, respectivamente, as partes simetrica e anti-simetrica do

gradiente de u, denotando-as da seguinte forma

E(x) = rSu(x), (1.130)

(x) = rAu(x). (1.131)

Substituindo agora (1.126) em (1.95) vem que

u(x+ d) = u(x) +E(x)d+ (x)d+O(kdk2). (1.132)

Esta relac~ao e bastante importante, pois mostra que o campo de deslocamnentos de um meio

contnuo tridimensional contem uma parcela relativa a deformac~ao in nitesimal, dada pelo tensor E,

e outra compreendendo uma rotac~ao in ntesimal, dada pelo tensor . Logo, apenas as componentes

de deformac~ao em E n~ao s~ao su cientes para levar um corpo da sua con gurac~ao original ate a sua

con gurac~ao deformada. Uma rotac~ao rgida in nitesimal ocorre na vizinhanca de cada ponto do

corpo.

Para ilustrar este fato considere a viga em balanco tratada como um corpo, conforme ilustrado

na Figura 1.10a. Suponha que a viga seja construida de chapas unidas atraves de pinos. A Figura

1.10b ilustra a geometria deformada da viga conforme esperado. Removendo os pinos da parte

superior e etindo cada chapa separadamente, observa-se que, se a rotac~ao rigida n~ao estiver presente,

a geometria deformada obtida n~ao e correta (ver Figura 1.10c), a menos que exista uma rotac~ao rigida

dos pontos. Logo, este exemplo simples mostra que a parcela da rotac~ao in nitesimal (1.132) esta

sempre presente quando um corpo sofre uma deformac~ao.

(a) (b) (c)

Figura 1.10: Interpretac~ao da rotac~ao rgida de uma viga.

Considerando agora que os pontos y = x+ d e x, ilustrados na Figura 1.11, estejam bem

proximos, tem-se que a norma do vetor d e bem pequena. Assim, na equac~ao (1.132), despreza-

se o termo O(kdk2) e obtem-se a seguinte express~ao para o campo de deslocamentos in nitesimal na

vizinhanca de y = x+ d

u(x+ d) = u(x) +E(x)d+ (x)d, (1.133)

ou ainda,

u(x+ d) = u(x) +ru(x)d. (1.134)

25

Pode-se utilizar a espress~ao anterior para mostrar que as componentes do tensor E est~ao real-

mente relacionadas ao caso de pequenas deformac~oes. Rescreve-se (1.134) como

u(x+ d)� u(x) = ru(x)d. (1.135)

A partir da Figura 1.11, observa-se que

d0 = d+ u(x+ d)� u(x).

Substituindo (1.134) na express~ao anterior vem que

d0 = d+ru(x)d =[I+ru(x)]d, (1.136)

sendo I o tensor identidade cuja representac~ao matricial e dada por

I =

2 64 1 0 00 1 0 0 0 1

3 75 . (1.137)

Denominando agora

F(x) = I+ru(x), (1.138)

como o tensor gradiente de deformac~ao, tem-se que (1.136) assume a seguinte forma

d0 = F(x)d. (1.139)

Figura 1.11: Deformac~ao de um Corpo Solido

A equac~ao (1.139) permite determinar a dsistância d0 entre P 01 e P 0

2 apos a deformac~ao, atraves

do tensor F e da distância inicial d. Para se obter a deformac~ao do ponto P1, basta tomar a diferenca

entre os comprimentos dos vetores d0 e d. Lembre-se que o comprimento kvk2 de um vetor qualqer v

e obtido pelo produto escalar com ele mesmo, ou seja, kvk2 = v  v. Logo usando (1.139)

d = d0  d0 � d  d = F(x)d  F(x)d� d  d. (1.140)

Dado um tensorA, tem-se que o transpostoAT deA e o unico tensor com a seguinte propriedade

u Av = ATu  v, (1.141)

para quaisquer vetores u e v.

Com base nesse conceito, a express~ao (1.140)

d = FT (x)F(x)d  d� d  d

= [FT (x)F(x) � I]d  d. (1.142)

Denominando

E(x) = 1

2 [F

T (x)F(x) � I], (1.143)

26

como o tensor de deformc~ao de Cauchy-Green, a equac~ao (1.142) pode ser reescrita como

d =2E(x)d  d. (1.144)

Substituindo (1.138) em (1.143), vem que

E(x) = 1

2 f[I+ru(x)]T [I+ru(x)]� Ig. (1.145)

Dados dois tensores A e B; tem-se que

(A+B)T = AT +BT . (1.146)

Como IT= I, portanto

E(x) = 1

2 f[I+ruT (x)][I+ru(x)]� Ig

= 1

2 [I+ru(x)+ruT (x)+ruT (x)ru(x)� I]

= 1

2 [ru(x)+ruT (x)] +

1

2 ruT (x)ru(x)

= E(x) + 1

2 ruT (x)ru(x). (1.147)

Com base na equac~ao (1.147), pode-se observar que o tensor de Cauchy-Green fornece uma

medida de deformac~ao geral, aplicavel tanto para pequenas quanto para grandes deformac~oes. No

entanto, para pequenas deformac~oes as normas de u e ru s~ao pequenas, ou seja, kuk < " e kruk < ";

com " da ordem de 10�4 por exemplo. Neste caso, o termo n~ao-linear 1 2 ruT (x)ru(x) torna-se

desprezivel e o tensor E se reduz ao proprio tensor de deformac~ao in nitesimal E.

1.9.5 Movimentos de Corpo Rgido

Como se sabe, um corpo tridimensional tem 6 movimentos rigidos, correspondentes as 3 translac~oes

nas direc~oes x; y e z e 3 rotacoes em torno dos eixos x; y e z;conforme Figura 1.12. Deseja-se veri car

como as ac~oes rigidas podem ser representadas utilizando os conceitos apresentados na sec~ao anterior.

Figura 1.12: Movimentos de Corpo Rgido

Uma deformac~ao e homgênea se o gradiente do campo de deslocamento ru e constante para

todos os pontos x do corpo, indicando-se ru = ru0. Nesse caso, a express~ao (1.95) simpli ca-se para

u(x+ d) = u(x)+ru0d. (1.148)

Observa-se que o termo O(kdk2) e nulo pois sendo ru0 constante, os demais termos da serie de Taylor

s~ao automaticamente iguais a zero.

27

Como exemplo de deformac~ao homogênea, tem-se uma translac~ao a partir de uma posic~ao.

Como todos os pontos do corpo sofrem um mesmo deslocamento,ver Figura 1.11, logo

u(x+ d) = u(x). (1.149)

Substituindo esta relac~ao em (1.148), tem-se que

ru0d = 0, (1.150)

Como d e a distância entre dois pontos arbitrarios do corpo, ent~ao a express~ao anterior e nula se

ru0 = 0: (1.151)

Dessa forma, como o gradiente do campo de deslocamentos e nulo, tem-se que o campo de

deslocamentos u0 para uma translac~ao e constante para todos os pontos do corpo, ou seja,

u(x) = u(x+ d) = u0 =

8>< >:

u0 v0 w0

9>= >; , (1.152)

sendo u0; v0 e w0 as componentes de translac~ao nas direc~oes x; y e z: Como u0; v0 e w0 s~ao constantes,

as respectivas componentes do tensor de deformac~ao E s~ao nulas, o que caracteriza um movimento de

corpo rgido.

Considere agora uma rotac~ao rigida do corpo em torno do ponto P1. Alem disso, suponha que

o sistema de referência cartesiano esteja centrado em P1, conforme ilustrado na Figura 1.13. Nesse

caso, o deslocamento u(x) do ponto P1 na equac~ao (1.148) e nulo. Logo,

u(x+ d) = (ru)d. (1.153)

Figura 1.13: Rotac~ao Rgida Local

Como o movimento e rgido, a parte simetrica de ru, ou seja, o tensor de deformac~ao in nites-

imal E e nulo. Portanto,

u(x+ d) = d. (1.154)

Associado a todo tensor anti-simetrico , existe um vetor axial !, tal que

v = !  v, (1.155)

para todo vetor v = fv1 v2 v3g T : Nesse caso, as componentes do vetor !; s~ao x; y e z; ou seja,

as rotac~oes rgidas em torno dos eixos x, y e z: Para veri car isto, basta expandir os dois lados, isto e,

v =

2 64 0 � z y z 0 � x � y x 0

3 75 8>< >:

v1 v2 v3

9>= >; =

8>< >:

v3 y � v2 z v1 z � v3 x v2 x � v1 y

9>= >; , (1.156)

28

!  v =

2 64 ex ey ez!1 !2 !3

v1 v2 v3

3 75 8>< >:

v1 v2 v3

9>= >; =

8>< >:

v3!2 � v2!3 v1!3 � v3!1 v2!1 � v1!2

9>= >; . (1.157)

Portanto,8>< >:

!1 = x !2 = y !3 = z

. (1.158)

Com base nesses resultados, pode-se escrever

u(x+ d) = !  d. (1.159)

Logo, um movimento geral de corpo rgido sera dado pela superposic~ao dos movimentos de translac~ao

e rotac~ao, expressos por (1.152) e (1.159). Assim uma ac~ao rgida geral pode ser escrita como

u(x) = u0 + !  d, (1.160)

como obtido anteriormente na Sec~ao 1.4.

1.9.6 Trabalho Interno

No caso geral de pequenas deformac~oes num solido, o estado de deformac~ao em cada ponto e

dado pelas 9 componentes indicadas em (1.103). Associadas as deformac~oes normais "xx(x), "yy(x) e

"zz(x), tem-se as respectivas componentes de tenss~ao normal xx(x), yy(x) e zz(x) representando,

respectivamente, o estado das forcas internas no ponto x nas direc~oes x; y e z. Da mesma maneira,

associadas as distorc~oes xy(x), yx(x), xz(x), zx(x), yz(x) e zy(x), tem-se as 6 componentes

de tens~ao de cisalhamento xy(x), yx(x), xz(x), zx(x), yz(x) e zy(x), fornecendo o estado das

forcas internas cisalhantes no ponto x segundo os planos xy, xz e yz. Assim, o estado de tens~ao em

cada ponto de um corpo solido segundo um sistema cartesiano e dado pelas 9 componentes de tens~ao

ilustradas em Figura 1.14.

Figura 1.14: Estado de Tens~oes em um ponto de um corpo solido.

A partir da, a express~ao geral do trabalho interno para um corpo tridimensional e escrita como

Ti = �

Z V

[xx(x)"xx(x) + yy(x)"yy(x) + zz(x)"zz(x)

+xy(x) xy(x) + yx(x) yx(x) + xz(x) xz(x) (1.161)

+zx(x) zx(x) + yz(x) yz(x) + zy(x) zy(x)] dV . (1.162)

O integrando da express~ao anterior representa uma densidade de trabalho interno. Para veri car

29

este fato, faz-se uma analise dimensional do termo xx(x)"xx(x): Adimitindo que a tens~ao e dada em N

m2

 , tem-se que

[xx(x)"xx(x)] =

 N

m2

  m

m

 =

 Nm

m3

 . (1.163)

Logo, a unidade do termo xx(x)"xx(x) e dada como trabalho por unidade de volume.

Denotando por ti a densidade de trabalho interno, ou seja,

ti = xx(x)"xx(x) + yy(x)"yy(x) + zz(x)"zz(x)

+xy(x) xy(x) + yx(x) yx(x) + xz(x) xz(x)

+zx(x) zx(x) + yz(x) yz(x) + zy(x) zy(x), (1.164)

tem-se que a express~ao (1.162) pode ser reescrita como

Ti = �

Z V

tidV . (1.165)

Denotam-se as componentes de tens~ao no ponto x atraves do tensor de tens~oes de Cauchy T(x),

cuja representac~ao matricial no sistema cartesiano e a seguinte

[T(x)] =

2 64 xx(x) xy(x) xz(x)yx(x) yy(x) yz(x)

zx(x) zy(x) zz(x)

3 75 . (1.166)

O tensor de tens~oes de Cauchy T representa o estado interno de tens~oes para cada ponto x de

coordenasdas x; y e z de um solido tridimensional.

Sabe-se que produto escalar de dois vetores a(a1; a2; a3) e b(b1; b2; b3) e calculado como

a  b = a1b1 + a2b2 + a3b3. (1.167)

Este produto escalar de vetores e um caso particular do conceito mais geral de produto interno, o qual

pode ser aplicado a outras entidades matematicas, tais como func~oes e tensores. Observa-se tambem

que o produto interno de vetores e comutativo, ou seja,

a  b = b  a. (1.168)

Tomando-se os tensores de pequenas deformacoes E e de tens~oes T, o produto interno E  T e

de nido como

E T = tr(ETT), (1.169)

sendo tr o traco de um tensor, o qual e dado pela soma dos termos da diagonal principal. Substituindo

as componentes cartesianas de E e T e efetuando o produto

E T = tr

0 B@ 2 64 "xx xy xz yx "yy yz zx zy "zz

3 75 T 2 64 xx xy xzyx yy yz

zx zy zz

3 75 1 CA

= xx"xx + yy"yy + zz"zz + xy xy + yx yx + xz xz + zx zx + yz yz + zy zy.(1.170)

Comparando este resultado com (1.164), observa-se que a densidade de trabalho interno ti e o

proprio produto interno E T; ou seja,

ti = T(x)  E(x). (1.171)

Assim, pode-se escrever a express~ao nal do trabalho interno da seguinte forma

Ti = �

Z V

T(x) E(x)dV . (1.172)

Uma constatac~ao importante da Mecânica dos Meios Continuos e que o tensor de tens~oes de

Cauchy e simetrico. A simetria de T e um dos resultados mais importantes do conhecido Teorema de

Cauchy. Para veri car este fato, considera-se o trabalho interno associado a um movimento de corpo

rigido. Para um movimento de corpo rigido as componentes de deformac~ao s~ao nulas. Sabe-se ainda

30

que o trabalho interno de deformac~ao associado a uma rotac~ao de corpo rigido deve ser nulo, portanto

Ti =

Z V

T(x)  E(x)dV +

Z V

T(x)  (x)dV

Ti =

Z V

T(x)  (x)dV = 0.

Expandindo o produto interno indicado tem-se que

Ti =

Z V

f[yx(x)� xy(x)] z + [xz(x)� zx(x)] y + [yz(x) � zy(x)] xg dV = 0.

Para que a express~ao anterior seja verdadeira tem-se que o integrando deve ser nulo, assim

[yx(x)� xy(x)] z + [xz(x)� zx(x)] y + [yz(x)� zy(x)] x = 0:

Como as componentes x; y e z s~ao arbitrarias, a expess~ao anterior so e satisfeita quando8>< >:

xy(x) = yx(x)

xz(x) = zx(x)

yz(x) = zy(x)

.

Este resultado implica que o tensor de tens~oes de Cauchy T e simetrico, ou seja, T = TT . Dessa

forma, s~ao necessarias apenas 6 componentes para se estabelecer por completo o estado de tens~oes de

um ponto qualquer de um corpo solido.

Um outro importante resultado e que o produto interno de um tensor simetrico A por um tensor

antisimetrico B e sempre nulo, ou seja,

A B =0.

Resta agora integrar por partes a express~ao do trabalho interno. Para isso, de nem-se os con-

ceitos de divergência de um vetor e de um tensor.

Dado um vetor v, de ne-se o seu divergente como

div v = tr(rv). (1.173)

Expandindo a express~ao anterior em termos das compnentes cartesianas de v(v1; v2; v3), tem-se que

div v = tr

0 BBBBBB@

2 6666664

@v1

@x

@v1

@y

@v1

@z @v2

@x

@v2

@y

@v2

@z @v3

@x

@v3

@y

@v3

@z

3 7777775

1 CCCCCCA =

@v1

@x +

@v2

@y +

@v3

@z , (1.174)

ou ainda,

div v =

8>>>>>< >>>>>:

@

@x @

@y @

@z

9>>>>>= >>>>>; 

8>< >:

v1 v2 v3

9>= >; = r  v.

Por sua vez, a divergência de um tensor A e de nida como

(div A)  v = div (ATv). (1.175)

Desenvolvendo o lado direito da express~ao anterior

(div A)  v = div

0 B@ 2 64 A11 A12 A13A21 A22 A23 A31 A32 A33

3 75 T 8>< >:

v1 v2 v3

9>= >; 1 CA

= div

8>< >:

A11v1 +A21v2 +A31v3 A12v1 +A22v2 +A23v3 A13v1 +A23v2 +A33v3

9>= >; . (1.176)

31

Aplicando agora o conceito de divergência de um vetor

(div A)  v =

8>>>>>< >>>>>:

@

@x @

@y @

@z

9>>>>>= >>>>>; 

8>< >:

A11v1 +A21v2 +A31v3 A12v1 +A22v2 +A23v3 A13v1 +A23v2 +A33v3

9>= >; . (1.177)

Realizando o produto escalar e colocando v1; v2 e v3 em evidência

(div A)  v =

8>>>>>>< >>>>>:

( @A11

@x + @A12

@y +

@A13

@z )

( @A21

@x + @A22

@y +

@A23

@z )

( @A31

@x + @A32

@y +

@A33

@z )

9>>>>>>= >>>>>; 

8>< >:

v1 v2 v3

9>= >; .

Portanto,

div A =

8>>>>>< >>>>>>:

( @A11

@x +

@A12

@y +

@A13

@z )

( @A21

@x +

@A22

@y +

@A23

@z )

( @A31

@x +

@A32

@y +

@A33

@z )

9>>>>>= >>>>>>; : (1.178)

Observe que a divergência de um vetor e um numero escalar, enquanto a divergência de um tensor e

um vetor.

Sendo A um tensor e u um vetor, a seguinte relac~ao e valida

A  ru = div (ATu)� (div A)  u. (1.179)

Usando esta relac~ao em (1.172) e lembrando que E =rSu e T = TT

Ti = �

Z V

h div (TT (x)u(x)) � (div T(x))  u(x)

i dV

=

Z V

(div T(x))  u(x)dV �

Z V

div (Tu(x))dV . (1.180)

O teorema da divergência permite transformar uma integral ao longo do volume V numa integral

ao longo da superfcie S do corpo. Sendo v um campo vetorial, este teorema implica queZ V

div v(x)dV =

Z S

v(x)  n(x)dS, (1.181)

sendo n o campo vetorial das normais a superfcie S:

Aplicando este teorema na segunda integral da equac~ao (1.180) vem queZ V

div (T(x)u(x))dV =

Z S

(T(x)u(x))  n(x)dS. (1.182)

Usando a de nic~ao de tensor transposto (1.141) e a simetria de TZ S

u(x) TT (x)n(x)dS =

Z S

u(x) TT (x)n(x)dS =

Z S

T(x)n(x)  u(x)dS. (1.183)

Substituindo este resultado em (1.180), obtem-se

Ti =

Z V

(divT(x))  u(x)dV �

Z S

T(x)n(x)  u(x)dS, (1.184)

que representa a integrac~ao por partes da express~ao do trabalho interno na forma tensorial.

32

1.9.7 Aplicac~ao do PTV

Conforme visto na Sec~ao ??, a express~ao do trabalho externo compativel com (1.184) e dada

por

Te =

Z V

bT (x)û(x)dV +

Z S

tT (x)û(x)dS, (1.185)

sendo b e t; respectivamente, a densidade de forca externa por volume e a carga externa distribuida

na superficie do solido e û uma dada ac~ao cinematica virtual. Aplicando o PTV

Te + Ti = 0, (1.186)

e reagrupando os termos de forma conveniente, tem-seZ V

(divT(x) + b(x))  û(x)dV +

Z S

(�T(x)n(x) + t(x))  û(x)dS = 0, (1.187)

para todo deslocamento virtual û: Para que a express~ao anterior seja nula, considerando que û e

arbitrario, os termos entre parênteses devem ser simultâneamente nulos, ou seja,( divT(x) + b(x) = 0

T(x)n(x) = t(x) . (1.188)

As equac~oes anteriores representam o mesmo Problema de Valor de Contorno (PVC) em ter-

mos de tens~ao, obitido em na Sec~ao ??. No entanto, (1.188) e, sem duvida, uma apresentac~ao mais

compacta e elegante para o problema de equilbrio de corpos tridimensionais. Alem disto, a notac~ao

anterior e abstrata, pois e valida para qualquer sistema de coordenadas adotado. Como observado an-

teriormente, o PVC (1.188) e valido para qualquer meio contnuo (solido, lquido ou gas) em pequenas

deformac~oes.

1.9.8 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva

A Lei de Hooke geral dada em (1.70) na Sec~ao ??, pode ser escrita tensorialmente como

T(x) = 2E(x) + e(x)I, (1.189)

sendo T o tensor de tens~oes de Cauchy, E o tensor de pequenas deformac~oes, { o tensor identidade,

e(x) = "xx + "yy + "zz a dilatac~ao e  e  os coe cientes de Lame.

Para veri car que (1.70) e (1.189) s~ao idênticas, expande-se (1.189) segundo o sistema de coor-

denadas cartesiano, ou seja,2 64 xx(x) xy(x) xz(x)yx(x) yy(x) yz(x)

zx(x) zy(x) zz(x)

3 75 = 2

2 64 "xx(x) xy(x) xz(x) yx(x) "yy(x) yz(x) zx(x) zy(x) "zz(x)

3 75+ e(x)

2 64 1 0 00 1 0 0 0 1

3 75 . (1.190)

Por exemplo,

xx(x) = 2"xx(x) + e(x),

xy(x) = 2 xy(x),

as quais s~ao as mesmas express~oes que s~ao obtidas a partir de (1.70).

O PVC de equilibrio em (1.188) esta dado em termos das componentes de tens~ao. Para obter

as equac~oes de Navier em termos dos deslocamentos, basta substituir (1.189) em (1.188). Logo

div [2E(x) + e(x)I] +b(x) = 0. (1.191)

Como os coe cientes de Lame s~ao constantes, a divergência e um operador linear e E e func~ao de ru;

pode-se escrever

div ru(x) + div rTu(x)+div e(x)I+ b(x) = 0. (1.192)

33

Analisando o primeiro termo da express~ao anterior, tem-se que

div ru(x) = div

2 6666664

@u

@x

@u

@y

@u

@z @v

@x

@v

@y

@v

@z @w

@x

@w

@y

@w

@z

3 7777775 =

8>>>>>>< >>>>>>:

( @2u

@x2 +

@2u

@y2 +

@2u

@z2 )

( @2v

@x2 +

@2v

@y2 +

@2v

@z2 )

( @2w

@x2 +

@2w

@y2 + @2w

@z2 )

9>>>>>>= >>>>>>;

=

 @2

@x2 @2

@y2 @2

@z2

 

8>< >:

u(x)

v(x)

w(x)

9>= >; = u(x), (1.193)

sendo  o operador Laplaciano.

Para o segundo termo de (1.192), a seguinte express~ao e valida

div rTu(x) = r(div u(x)): (1.194)

Por sua vez,

div u(x) = tr(ru(x)) = @u(x)

@x +

@v(x)

@y +

@w(x)

@z = "xx(x) + "yy(x) + "zz(x) = e(x). (1.195)

Logo,

div rTu(x) = re(x). (1.196)

Para o terceiro termo de (1.192) observa-se o seguinte

div e(x)I = div

2 64 e(x) 0 00 e(x) 0

0 0 e(x)

3 75 =

8>>>>>>< >>>>>>:

@e(x)

@x @e(x)

@y @e(x)

@z

9>>>>>>= >>>>>>;

= re(x). (1.197)

Substituindo (1.193), (1.196) e (1.197) em (1.192), tem-se as equac~oes de Navier validas para

um solido de Hooke em notac~ao tensorial, isto e,

u(x) + (+ )re(x) + b(x) = 0. (1.198)

Expandindo a equac~ao anterior no sistema cartesiano, obtem-se as mesmas 3 equac~oes dadas em (1.76).

34

Captulo 2

Casos Particulares

Neste capitulo ser~ao exempli cados os resultados obtidos com a formulac~ao geral de solidos tridi-

mensionais, considerando os modelos unidimensionais de problemas de barra, viga e torc~ao, deduzidos

do modelo mais geral, levando-se em conta as hipoteses cinematicas simpli cadoras para cada caso.

2.1 Barra

Pode-se de nir como barra, um elemento estrutural, cuja principal caracteristica geometrica e

possuir o comprimento bem maior que as dimens~oes da sec~ao transversal. No caso de barra submetidas

a esforcos de trac~ao e/ou compress~ao, cosidera-se a barra como sendo um elemento unidimensional e

analisa-se o seu comportamento ao longo da direc~ao paralela a dimens~ao longitudinal, ou seja, no caso

do sistema cartesiano, a direc~ao do eixo x.

2.1.1 Cinematica

A cinematica do modelo de barra consiste de ac~oes de moviemento axiais, ou seja, as sec~oes

transversais permanecem perpendiculares ao eixo da barra, apos a deformac~ao. As ac~oes de movimento

rgido correspondem a translac~oes na direc~ao do eixo x; nesse caso

u(x) =

8>< >:

u(x)

v(x)

w(x)

9>= >;) u(x) =

8>< >:

u(x)

0

0

9>= >; . (2.1)

Assim, so existem ac~oes cinematicas ao longo do eixo x, sendo agora as componentes v(x) e w(x)

nulas e o vetor deslocamento somente dependente da direc~ao x:

2.1.2 Deformac~ao

Com base na hipotese cinematica anterior, o tensor de pequenas deformac~oes se reduz a

[E(x)] = 1

2

 ru(x) +rTu(x)

 =

2 664

du(x)

dx 0 0

0 0 0

0 0 0

3 775 , (2.2)

ou seja

[E(x)] =

2 64 "xx(x) 0 00 0 0

0 0 0

3 75 : (2.3)

35

2.1.3 Trabalho Interno

Associada a deformac~ao "xx(x) deve existir, nesse caso, somente a componente de tens~ao normal

xx(x), assim o tensor de tens~oes de Cauchy se reduz a

[T(x)] =

2 64 xx(x) 0 00 0 0

0 0 0

3 75 . (2.4)

Consequentemente, a express~ao do Trabalho Interno para o problema da barra e dada por

Ti = �

Z V

T  E = �

Z V

xx(x)"xx(x)dV

= �

Z V

xx(x) du(x)

dx dV = �

Z L

0

Z A

xx(x)dA

 du(x)

dx dx

= �

Z L

0 xx(x)A

du(x)

dx dx = �

Z L

0 Nx(x)

du(x)

dx dx, (2.5)

sendo L o comprimento da barra, A a area da sec~ao transversal, considerada constante ao longo do

comprimento, e Nx(x) = xx(x)A a forca interna normal a super cie da sec~ao transversal.

Integrando por partes a express~ao do trabalho interno, vem

Ti =

Z L

0

dNx(x)

dx u(x)dx�Nx(L)u(L) +Nx(0)u(0): (2.6)

2.1.4 PTV

A m de se avaliar os esforcos externos agindo sobre a barra, sera aplicado o PTV, assim

Te + Ti = 0: (2.7)

Portanto, os trabalho externo compatvel com a cinematica da barra, para qualquer ac~ao cinematica

virtual û(x) deve ser

Te =

Z L

0 p(x)û(x)dx+ PLû(L) + P0(0)û(0),

sendo p(x) a carga externa distribuda por unidade de comprimento axialmente sobre a barra e PL e

P0 os esforcos externos axiais concentrados nas extremidades em x = 0 e x = L.

Dessa forma, atraves do equilibrio entre os trabalhos externo e interno, pode-se estabelecer o

problema de valor de contorno para uma barra submetida a carregamentos axiais da seguinte maneira8>>< >>:

dNx(x)

dx = A

dxx(x)

dx = �p(x) para x 2 (0; L)

Nx(0) = P0 em x = 0

Nx(L) = PL em x = L

. (2.8)

2.1.5 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva

Apesar de existirem, para o caso tridimensional as componentes de tens~ao yy e yy e as com-

ponentes de deformac~ao "yy e "zz, devido ao efeito de Poisson, no caso unidimensional, esses efeitos

s~ao desconsiderados, dessa forma, para o modelo de barra a lei de Hooke simpli ca-se para

xx = (2+ )"xx (2.9)

ou, lembrando-se que,

 = E

2(1 + v) , (2.10)

 = Ev

(1 + v)(1� 2v) , (2.11)

36

tem-se a lei de Hooke simpli cada para o modelo unidimensional de barra

xx(x) = E"xx(x) = E du(x)

dx (2.12)

Substituindo essa equac~ao no PVC do modelo de barra tem-se que

A d

dx

 E du(x)

dx

 = �p(x)

EA d2u(x)

dx2 = �p(x), (2.13)

considerando E constante. Assim o problema de valor de contorno para uma barra segundo a lei de

Hooke e8>>< >>:

EA d2u(x)

dx2 = �p(x) para x 2 (0; L)

u(0) = u0 em x = 0

u(L) = uL em x = L

. (2.14)

Veri ca-se que as equac~oes de Navier, permitem a obtenc~ao do mesmo resultado, lembrando-se que

"yy e "zz s~ao desconsiderados no modelo unidimensional, assim

(+ ) @"xx

@x + 

@2u

@x2 + bx = 0

(+ ) d"xx

dx + 

d2u

dx2 + bx = 0

(+ ) d

dx ( du

dx ) + 

d2u

dx2 + bx = 0

(2+ ) d2u

dx2 = �bx

E d2u

dx2 = �bx, (2.15)

sendo admitidas soemente forcas de corpo na direc~ao longitudinal da barra. Cosiderando o peso

proprio distribuido ao longo do volume

bx = (x)g

A ,

sendo (x) a massa especi ca por unidade de comprimento g a acelerac~ao da gravidade local e A a

area de sec~ao trasnversal da barra, tem-se que a equac~ao (2.15) se reduz para

EA d2u

dx2 = �(x)g, (2.16)

que e um resultado equivalente ao obtido em (2.13).

2.2 Flex~ao Pura em Vigas Prismaticas

O modelo de viga, assim como a barra, e um modelo unidimensional, pois considera a dimens~ao

longitudinal muito maior que as dimens~oes da sec~ao transversal. Sera apresentado nessa sec~ao o

modelo de viga de Euler-Bernoulli que desconsidera os efeitos de cisalhamento, o que e razoavel para

vigas de grande comprimento. Se forem considerados os efeitos de cisalhamento, nesse caso trata-se

do modelo de viga de Timoshenko.

2.2.1 Cinematica

Na teoria de Euler-Bernoulli ou ex~ao pura, consideram-se vigas prismaticas uniformes (de

sec~ao transversal constante) com comprimento longitudinal como dimens~ao predominante. Nesse

caso, o interesse e focado em ac~oes de movimento chamadas de ac~oes de ex~ao, ou seja, deslocamentos

37

transversais na direc~ao do eixo y do sistema cartesiano, associados a rotac~oes das sec~oes transversais

em torno do eixo z.

A hipotese cinematica do modelo de Euler-Bernoulli consiste em supor que as ac~oes de movimento

possveis devem ser tais que as sec~oes permanecem planas, indeformadas e ortogonais ao eixo x da

viga, antes e depois da con gurac~ao deformada. Resumidamente, duas sec~oes paralelas permanecem

paralelas apos a deformac~ao. Dessa forma, pode-se mostrar que o campo de deslocamentos deduzido

a partir dessas hipoteses e

u(x) =

8>< >: �y(x)

v(x)

0

9>= >; , (2.17)

sendo

(x) = dv(x)

dx ,

a rotac~ao das sec~oes em relac~ao ao eixo horizontal. Dessa forma, a componente u(x) = �y(x) varia

linearmente com a posic~ao y de cada ponto da sec~ao transversal e v(x) e o deslocamento vertical das

sec~oes.

2.2.2 Deformac~ao

Com base nessas hipoteses o tensor de pequenas deformac~oes se reduz para

[E(x)] = 1

2

 ru(x) +rTu(x)

 =

2 664 �y

d2v(x)

dx2 0 0

0 0 0

0 0 0

3 775 , (2.18)

ou seja

[E(x)] =

2 64 "xx(x) 0 00 0 0

0 0 0

3 75 . (2.19)

Apesar de existir uma componente de deslocamento a direc~ao y, ou seja, v(x); a mesma, com base nas

hipoteses adotadas, deve ser constante para todos os pontos de uma mesma sec~ao transversal, o que

a caracteriza como uma componente de movimento de corpo rigido, ou seja

dv(x)

dx = 0: (2.20)

O modelo de Euler-Bernoulli desconsidera os efeitos de cisalhamento, de modo que para este modelo

de viga, a unica componente de deformac~ao n~ao nula e "xx(x):

2.2.3 Trabalho Interno

Associada a deformac~ao "xx(x) deve existir, nesse caso, somente a componente de tens~ao normal

xx(x), assim o tensor de tens~oes de Cauchy se reduz a

[T(x)] =

2 64 xx(x) 0 00 0 0

0 0 0

3 75 . (2.21)

Consequentemente, a express~ao do Trabalho Interno para o problema da viga de Euler-Bernoulli e

dada por

Ti = �

Z V

T  E = �

Z V

xx(x)"xx(x)dV

38

= �

Z V

xx(x)

�y

d2v(x)

dx2

! dV = �

Z L

0

Z A

�yxx(x)dA

 d2v(x)

dx2 dx

= �

Z L

0 Mz(x)

du(x)

dx dx, (2.22)

sendo L o comprimento da viga, A a area da sec~ao transversal, considerada constante ao longo do

comprimento, e Mz(x) o momento etor interno agindo na viga ao longo do eixo longitudinal.

Integrando por partes duas vezes a express~ao do trabalho interno, vem

Ti =

Z L

0

d2Mz(x)

dx2 v(x)dx �

dMz(L)

dx v(L) +

dMz(0)

dx v(0) +Mz(L)

dv(L)

dx �Mz(0)

dv(0)

dx , (2.23)

ou

Ti =

Z L

0

d2Mz(x)

dx2 v(x)dx � Vy(L)v(L) + Vy(0)v(0) +Mz(L)(L)�Mz(0)(0), (2.24)

sendo

Vy(x) = dMz(x)

dx , (2.25)

a forca cortante interna atuando na sec~ao e

(x) = dv(x)

dx ,

a rotac~ao da sec~ao transversal.

2.2.4 PTV

A m de se avaliar os esforcos externos agindo sobre a viga, sera aplicado o PTV, assim

Te + Ti = 0: (2.26)

Portanto, os trabalho externo compatvel com a cinematica da viga de Euler Bernoulli, para qualquer

ac~ao cinematica virtual v̂(x) deve ser

Te =

Z L

0 q(x)v̂(x)dx+ VLv̂(L) + V0v̂(0) +M0̂(L) +ML̂(0),

sendo q(x) a carga externa distribuda por unidade de comprimento trasnversalmente sobre a viga,

ML e M0 os momentos externos concentrados e VL e V0, as caragas concentrados nas extremidades

em x = 0 e x = L.

Dessa forma, atraves do equilibrio entre os trabalhos externo e interno, pode-se estabelecer o

problema de valor de contorno para uma viga submetida a carregamentos transversais da seguinte

maneira8>>>>>>< >>>>>>:

d2Mz(x)

dx2 = q(x) para x 2 (0; L)

Mz(0) = M0 em x = 0

Mz(L) = ML em x = L

Vy(0) = V0 em x = 0

Vy(0) = VL em x = L

. (2.27)

2.2.5 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva

Analogamente ao caso da barra, para o modelo de viga a lei de Hooke simpli ca-se para

xx(x) = E"xx(x) = E du(x)

dx = �E

d2v(x)

dx2 y (2.28)

Pela de nic~ao do momento etor tem-se que

Mz(x) =

Z A

�yxx(x)dA

39

Mz(x) =

Z A

E d2v(x)

dx2 y2dA = E

d2v(x)

dx2

Z A

y2dA. (2.29)

De nindo o momento estatico de area ou momento de inercia para sec~ao transversal

Iz(x) =

Z A

y2dA. (2.30)

Considerando E e Iz constantes e substituindo a express~ao de Mz(x) no PVC para a viga tem-se que

d2

dx2

EIz

d2v(x)

dx2

! = q(x)

EIz d4v(x)

dx4 = q(x), (2.31)

Assim o problema de valor de contorno para uma viga segundo a lei de Hooke e,8>>>>>>>< >>>>>>>:

EIz d4v(x)

dx4 = q(x) para x 2 (0; L)

Mz(0) = M0 em x = 0

Mz(L) = ML em x = L

Vy(0) = V0 em x = 0

Vy(0) = VL em x = L

, (2.32)

sendo8>>>>>< >>>>>:

Vy(x) = EIz d3v(x)

dx3

Mz(x) = EIz d2v(x)

dx2

(x) = dv(x)

dx

. (2.33)

2.3 Torc~ao de Eixos Circulares Prismaticos

Analogamente aos modelos de barra e de viga, o modelo de torc~ao para eixos considera que

o eixo e unidimensional, ou seja, possui apenas uma dimens~ao predominante que e o comprimento

longitudinal. Este modelo e aplicado apenas a eixos circulares prismaticos, macicos ou tubulares,

sendo que o interesse principal e a determinar a rotac~ao das sec~oes ao longo do eixo x; isto e, a torc~ao

da sec~oes, em func~ao das tens~oes de cisalhamento aplicadas no eixo.

2.3.1 Cinematica

No caso da torc~ao de eixos com sec~oes transversais circulares, as seguintes hipoteses cinematicas

s~ao consideradas. Primeiramente assume-se que as sec~oes trasnversais planas permanecem planas

e normais ao eixo longitudinal x; como no caso da barra. Alem do mais, assume-se que as sec~oes

paralelas mantêm mesma distância entre si, ou seja, n~ao ha deformac~ao longitudinal. Veri ca-se que

esta hipotese e verdadeira para eixos prismaticos com sec~ao circular, o que n~ao ocorre para eixo com

sec~oes n~ao circulares. Nesses casos ocorre uma rotac~ao e empenamento das sec~oes em relac~ao ao eixo

z, n~ao permanecendo planas consequentemente.

Adimite-se tambem que as ac~oes de movimento produzem uma rotac~ao nos pontos de uma sec~ao

transversal, que cresce linearmente a partir de zero no centro da sec~ao e atingindo o valor maximo na

periferia. Em outras palavras, cada sec~ao transversal sofre uma rotac~ao rgida constante.

Com base nessas hipoteses cinematicas, avaliando a rotac~ao de um ponto generico de uma sec~ao

40

circular, pode-se chegar ao seguinte campo de deslocamentos em coordenadas cartesianas

u(x) =

8>< >:

0

�z(x)

y(x)

9>= >; ; (2.34)

sendo (x) a rotac~ao ou ângulo de torc~ao das sec~oes ao longo do eixo x:

2.3.2 Deformac~ao

Com base nas hipoteses cinematicas assumidas para o problema de torc~ao de eixos circulares,

pode-se concluir que as unicas componentes de deformac~ao possveis, s~ao as distorc~oes totais nos planos

xy e xz, ou seja o tensor de pequenas deformac~oes se reduz a

[E(x)] =

2 64 0

1 2  xy(x)

1 2  xz(x)

1 2  xy(x) 0 0

1 2  xz(x) 0 0

3 75 , (2.35)

ou

[E(x)] =

2 666664

0 �1 2 z d(x)

dx 1 2 y d(x)

dx

�1 2 z d(x)

dx 0 0

1 2 y d(x)

dx 0 0

3 777775 . (2.36)

2.3.3 Trabalho Interno

Associadas as deformac~oes  xy(x) e  xz(x) devem existir as componentes de tens~ao xy(x) e

xz(x); de forma que o tensor de tens~oes de Cauchy se reduz a

[T(x)] =

2 64 0 xy(x) xz(x)xy(x) 0 0 xz(x) 0 0

3 75 . (2.37)

Consequentemente, a express~ao do Trabalho Interno para o problema de torc~ao e dada por

Ti = �

Z V

T  E = �

Z V

[xy(x)xy(x) + xy(x)xy(x)] dV

= �

Z V

 xy(x)

 �z

d(x)

dx

 + xy(x)

 y d(x)

dx

 dV

= �

Z V

[�zxy(x) + yxy(x)] d(x)

dx dV (2.38)

= �

Z L

0

Z A

[�zxy(x) + yxy(x)] dA

 d(x)

dx dx, (2.39)

sendo L o comprimento da barra, A a area da sec~ao transversal, considerada constante ao longo do

comprimento, e de nindo

Mx(x) =

Z A

[�zxy(x) + yxy(x)] dA, (2.40)

como sendo o momento longitudinal ou torcor interno na sec~ao trasnversal. Deve-se observar que o

momento torcor, varia linearmente em cada sec~ao do eixo x; de forma analoga ao ângulo de torc~ao

(x): Assim, pode-se se reescrever a express~ao do trabalho interno como

Ti = �

Z L

0 Mx(x)

d(x)

dx dx. (2.41)

Integrando por partes a express~ao do trabalho interno, vem

Ti =

Z L

0

dMx(x)

dx (x)dx�Mx(L)(L) +Mx(0)(0): (2.42)

41

2.3.4 PTV

A m de se avaliar os esforcos externos agindo sobre o eixo, sera aplicado o PTV, assim

Te + Ti = 0: (2.43)

Portanto, os trabalho externo compatvel com a cinematica da barra, para qualquer ac~ao cinematica

virtual ̂(x) deve ser

Te =

Z L

0 t(x)̂(x)dx + TL̂(L) + T0(0)̂(0),

sendo t(x) o torque externo distribudo por unidade de comprimento axialmente sobre o eixo e TL e

T0 os torques externos concentrados nas extremidades em x = 0 e x = L.

Dessa forma, atraves do equilibrio entre os trabalhos externo e interno, pode-se estabelecer o

problema de valor de contorno para um eixo da seguinte maneira8>>< >>:

dMx(x)

dx = �t(x) para x 2 (0; L)

Mx(0) = T0 em x = 0

Mx(L) = TL em x = L

. (2.44)

2.3.5 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva

Para o problema de torc~ao de eixos circulares a lei de Hooke simpli ca-se para( xy = "xy = G xy xz = "xz = G xz

, (2.45)

sendo G o Modulo de Elasticidade Trasnversal. Substituindo as componentes de deformac~ao8>< >:

xy = �Gz d(x)

dx

xz = Gy d(x)

dx

: (2.46)

Adotando-se um sistema de coordenadas polares para as sec~oes transversais do eixo, de ne-se uma

tens~ao de cisalhamento tangencial, perpendicular ao raio da sec~ao, dada por

t(x; r; ) = G d(x)

dx r, (2.47)

sendo r2 = y2 + z2 o raio de posic~ao do ponto em analisado e a deformac~ao cisalhante longitudinal

 t(x; r; ) =  xy(x) +  xz(x) = d(x)

dx r. (2.48)

Sendo assim, e possivel demonstrar que

Mx(x) =

Z A

t(x; r; )rdA. (2.49)

E atraves da lei de Hooke

Mx(x) = G d(x)

dx

Z A

r2dA

= GIP (x) d(x)

dx , (2.50)

sendo IP (x) o Momento Polar de Inercia da sec~ao transversal do eixo.

Substituindo essa equac~ao no PVC do modelo torc~ao tem-se que

d

dx

 GIP (x)

d(x)

dx

 = �t(x)

GIP d2(x)

dx2 = �t(x), (2.51)

42

considerando G e IP constantes. Assim o problema de valor de contorno para um eixo segundo a lei

de Hooke e8>>< >>:

GIP d2(x)

dx2 = �t(x) para x 2 (0; L)

(0) = 0 em x = 0

(L) = L em x = L

. (2.52)

2.4 Estado Plano de Tens~oes

O modelo simpli cado para o estado plano de tens~oes e razoavel quando duas dimens~oes prevale-

cem e o carregamento e aplicado apenas da direc~ao do plano principal do corpo, por exemplo, em

problemas envolvendo chapas com o comprimento o e a largura muito maiores que a espessura, como

ilustrado na Figura 2.1.

Figura 2.1: Estado Plano de Tens~oes

As hipoteses basicas para os problemas de estado plano tens~ao s~ao:

 a espessura do corpo e pequena se comparada com as dimens~oes nas direc~oes x e y;

 n~ao ha forcas agindo nas faces normais ao eixo z;

 as componentes de forcas de volume agem somente no plano xy e s~ao independentes de z, isto

e, bx = bx (x; y), by = by (x; y) e bz = 0;

 todas as forcas agindo no corpo s~ao planares e independentes de z, ou seja, tx = tx (x; y),

ty = ty (x; y) e tz = 0.

Com estas hipoteses1, assume-se que as componentes de tens~ao no plano z (zz, zy, zx) s~ao

pequenas comparando-se com xx, yy e xy. Alem disso, a variac~ao destas ultimas em relac~ao

a z e desprezivel, sendo func~ao apenas de x e y. Logo as as componentes o tensor de tens~oes de

Cauchy simpli cam-se para,

xx = xx (x; y) yy = yy (x; y) xy = xy (x; y) zz = zy = zx = 0 (2.53)

1Deve-se observar, entretanto, que apesar destas hipoteses serem razoaveis para a pratica da engenharia, as mesmas s~ao apenas aproximadas, pois violam as equac~oes de compatibilidade do modelo tridimensional, que ser~ao tratadas posteriormente, ver sec~ao 4.1.1.

43

Observa-se ainda que w 6= 0 e a deformac~ao "zz = @w

@z pode ser determinada em func~ao de xx

e yy.

Tomando-se (2.53), simpli cam-se as equac~oes da elasticidade como,

[T] =

" xx (x; y) xy (x; y)

xy (x; y) yy (x; y)

# b =

( bx (x; y)

by (x; y)

)

div T+ b = 0)

8>>< >>:

@xx (x; y)

@x +

@xy (x; y)

@y + bx (x; y) = 0

@xy (x; y)

@x +

@yy (x; y)

@y + by (x; y) = 0

(2.54)

Tn = t)

( xxnx + xyny = tx xynx + yyny = ty

(2.55)

Seguindo o mesmo esquema, a equac~ao constitutiva assume a seguinte forma,2 64 xx xy 0xy yy 0

0 0 0

3 75 = 2

2 64 "xx xy 0 xy "yy 0

0 0 "zz

3 75+ 

2 64 e 0 00 e 0 0 0 e

3 75 (2.56)

sendo "xx = @u

@x , xy =

1 2

 @u

@y +

@v

@x

 , "yy =

@v

@y , "zz =

@w

@y e e =

@u

@x +

@v

@y +

@w

@z .

De (2.56), determina-se a deformac~ao "zz como,

2 @w

@z + 

 @u

@x +

@v

@y +

@w

@z

 = 0 ) "zz =

@w

@z = �



(+ )

 @u

@x +

@v

@y

 (2.57)

Assim, a equac~ao de Navier pode ser reescrita da seguinte forma,



8>>< >>:

@2u

@x2 +

@2u

@y2

@2v

@x2 +

@2v

@y2

9>>= >>;+ (+ )

8>>< >>:

@2u

@x2 +

@2v

@x@y @2u

@x@y +

@2v

@y2

9>>= >>;+

( bx (x; y)

by (x; y)

) = 0 (2.58)

2.5 Estado Plano de Deformac~oes

Este modelo geralmente e usado para representar o comportamento de estruturas de grande

comprimento, tais como tubulac~oes, ver Figura 2.2. Por este motivo, os deslocamentos normais a essa

direc~ao podem ser assumidos como nulos. As hipoteses de deformac~ao plana s~ao:

 os deslocamentos das faces normais ao eixo z s~ao nulos, pois a espessura do corpo e muito grande

em comparac~ao as dimens~oes representativas nas direc~oes x e y.

 as forcas de volume e aquelas aplicadas nas superficies do corpo, normais as direc~oes x e y, s~ao

independentes de z.

Com estas hipotese tem-se,

u = u (x; y) v = v (x; y) w = 0 (2.59)

Isto signi ca que as deformac~oes decorrentes de w tambem se anulam, ou seja,

"zz = "yz = "xz = 0 (2.60)

sendo as demais independentes de z, isto e "xx = "xx (x; y), "yy = "yy (x; y), "xy = "xy (x; y). Neste

caso, zz 6= 0 e pode ser determinado a partir do valor das outras componentes.

44

Figura 2.2: Estado Plano de Deformac~oes

Considerando as hipoteses (2.59) e (2.60), as seguintes simpli cac~oes s~ao possveis nas equac~oes

do caso solido:

[T] =

2 64 xx (x; y) xy (x; y) 0xy (x; y) yy (x; y) 0

0 0 zz (x; y)

3 75 b =

8>< >:

bx (x; y)

by (x; y)

0

9>= >;

div T+ b = 0)

8>>>>>>< >>>>>:

@xx (x; y)

@x +

@xy (x; y)

@y + bx (x; y) = 0

@xy (x; y)

@x +

@yy (x; y)

@y + by (x; y) = 0

@zz (x; y)

@z = 0

(2.61)

Tn = t)

( xxn1 + xyn2 = tx xyn1 + yyn2 = ty

(2.62)

Seguindo o mesmo esquema, a equac~ao constitutiva (??) assume a seguinte forma,2 64 xx xy 0xy yy 0

0 0 zz

3 75 = 2

2 64 "xx xy 0 xy "yy 0

0 0 0

3 75+ 

2 64 e 0 00 e 0 0 0 e

3 75 . (2.63)

De (2.56) determina-se a componente de tens~ao zz,

zz = 2 ("xx + "yy) (2.64)

A equac~ao de Navier e exatamente a mesma obtida para tens~ao plana. De fato, a unica diferenca

entre os dois casos (estado plano de deformac~oes e de tens~oes) s~ao as condic~oes de contorno usadas na

resoluc~ao da equac~ao de Navier.

45

Captulo 3

Soluc~ao Aproximada

Como ja foi mencionado anteriormente, a soluc~ao analtica das equac~oes de quilbrio para um

corpo solido tridimensional, nem sempre pode ser obtida de maneira simples e sistematica para todos

os tipos de problema, o que exige a utilizac~ao de metodos numericos de aproximac~ao de equac~oes

diferenciais. O objetivo desta Sec~ao e apresentar uma metodologia basica e sistematica para a aprox-

imac~ao das soluc~oes obtidas com a formulac~ao da mecânica dos corpos deformaveis, permitindo o uso

de ferramentas computacionais utilizando o Metodo dos Elementos Finitos.

3.1 Forma Forte

A Forma Forte nesse caso representa o problema de valor de contorno ou os sistemas de equac~oes

diferenciais e as condic~oes de contorno. para o equilibrio geral de solidos. Nesse caso o PVC para

solidos e8>>>>>< >>>>>>:

@xx

@x + @xy

@y +

@xz

@z + bx = 0

@xy

@x +

@yy

@y +

@yz

@z + by = 0

@xz

@x +

@yz

@y + @zz

@w + bz = 0

para o dominio V , (3.1)

sujeito as condic~oes de contorno8>< >:

xxnx + xyny + xznz � tx = 0

xynx + yyny + yznz � ty = 0

xznx + yzny + zznz � tz = 0

para o contorno S de V . (3.2)

Ou ainda, na forma tensorial( divT+ b = 0 para o dominio V

Tn = t para o contorno S de V . (3.3)

3.2 Forma Fraca

A Forma Fraca para as equac~oes diferenciais de equilbrio e obtida multipicando-se as express~oes

em (3.1) por func~oes v1(x); v2(x) e v3(x) e integram-se as mesmas no volume do solido, assimZ V

 @xx

@x +

@xy

@y +

@xz

@z + bx

 v1dV = 0;Z

V

 @xy

@x +

@yy

@y +

@yz

@z + by

 v2dV = 0 eZ

V

 @xz

@x +

@yz

@y +

@zz

@w + bz

 v3dV = 0.

(3.4)

46

Logo, Z V

@xx

@x v1dV +

Z V

@xy

@y v1dV +

Z V

@xz

@z v1dV +

Z V

bxv1dV = 0,Z V

@xy

@x v2dV +

Z V

@yy

@y v2dV +

Z V

@yz

@z v2dV +

Z V

byv2dV = 0 eZ V

@xz

@x v3dV +

Z V

@yz

@y v3dV +

Z V

@zz

@w v3dV +

Z V

bzv3dV = 0.

(3.5)

Integrando por partes as três primeiras integrais em cada uma das express~oes anterioresZ V

@xx

@x v1dV = �

Z V

xx @v1

@x dV +

Z S

xxv1nxdS,Z V

@xy

@y v1dV = �

Z V

xy @v1

@y dV +

Z S

xyv1nydS,Z V

@xz

@z v1dV = �

Z V

xz @v1

@z dV +

Z S

xzv1nzdS,Z V

@xy

@x v2dV = �

Z V

xy @v2

@x dV +

Z S

xyv2nxdS,Z V

@yy

@y v2dV = �

Z V

yy @v2

@y dV +

Z S

yyv2nydS,Z V

@yz

@z v2dV = �

Z V

yz @v2

@z dV +

Z S

yzv2nzdS,Z V

@xz

@x v3dV = �

Z V

xz @v3

@x dV +

Z S

xzv3nxdS,Z V

@yz

@y v3dV = �

Z V

yz @v3

@y dV +

Z S

yzv3nydS,Z V

@zz

@w v3dV = �

Z V

zz @v3

@w dV +

Z S

zzv3nzdS.

(3.6)

Substituindo as relac~oes anteriores nas express~oes dadas em (3.5) e somando os resultados, vem

que

Z V

2 664 xx

@v1

@x + xy

@v1

@y + xz

@v1

@z + xy

@v2

@x + yy

@v2

@y +

yz @v2

@z + xz

@v3

@x + yz

@v3

@y + zz

@v3

@w

3 775 dV+

Z S

[xxnx + xyny + xzv1nz] v1dV+Z S

[xynx + yyny + yznz] v2dV+Z S

[xznx + yzny + zznz] v3dV+Z V

[bxv1 + byv2 + bzv3] dV = 0: (3.7)

A primeira integral de volume na express~ao anterior corresponde ao produto interno T E dos

tensores de tens~ao de Cauchy T e de pequenas deformac~oes E; calculado em v(x). As componentes

cartesianas de v(x); E(v(x)) e T(x), s~ao dadas por

fvg =

8>< >:

v1 v2 v3

9>= >; , (3.8)

[E(v)] = [rSv] =

2 6666664

@v1

@x 1 2

 @v2

@x +

@v1

@y

 1 2

 @v3

@x + @v1

@z

 1 2

 @v1

@y +

@v2

@x

 @v2

@y 1 2

 @v3

@y + @v2

@z

 1 2

 @v1

@z +

@v3

@x

 1 2

 @v2

@z +

@v3

@y

 @v3

@x

3 7777775 , (3.9)

47

[T] =

2 64 xx xy xzyx yy yz

zx zy zz

3 75 . (3.10)

Observa-se que

T  E = xx @v1

@x + yy

@v2

@y + zz

@v3

@z

+xy

 @v1

@y +

@v2

@x

 + xz

 @v1

@z +

@v3

@x

 + yz

 @v2

@z +

@v3

@y

 (3.11)

O integrando na integral de superficie total em (3.7) e denotado de forma geral como Tn  v.

Em componentes cartesianas

[T]fng =

2 64 xx xy xzyx yy yz

zx zy zz

3 75 8>< >:

nx ny nz

9>= >; =

8>< >:

xxnx + xyny + xzv1nz xynx + yyny + yznz xznx + yzny + zznz

9>= >; (3.12)

e

fTng  fvg = [xxnx + xyny + xzv1nz] v1 + [xynx + yyny + yznz] v2

+ [xznx + yzny + zznz] v3. (3.13)

Por ultimo, a segunda integral de volume em (3.7) pode ser escrita como b  v, pois

b  v = bxv1 + byv2 + bzv3. (3.14)

Logo, pode-se escrever a express~ao (3.7) de forma compacta comoZ V

T  E(v) =

Z V

b  vdV �

Z S

Tn  vdS, (3.15)

ou ainda,Z V

T  rSv =

Z V

b  vdV �

Z S

t  vdS. (3.16)

A equac~ao (3.16) e a forma fraca do PVC (forma forte) dado em na sec~ao anterior, sendo valida

para qualquer meio contnuo tridimensional, em pequenas deformac~oes.

Para um material elastico, linear, homogêneo e isotropico, a relac~ao entre T e E e dada pela

lei de Hooke, ou seja

T = 2E+ (tr E)I, (3.17)

sendo T o tensor de tens~oes de Cauchy, E o tensor de pequenas deformac~oes, tr E = e a dilatac~ao, 

e  os coe cientes de Lame e I o tensor identidade.

A relac~ao constitutiva pode ser denotada de forma resumida como

T = CE(u), (3.18)

sendo C o tensor de elasticidade de quarta ordem, expresso por

CE(u) = 2IIE(u) + (tr E(u))I, (3.19)

sendo II, o tesor identidade de quarta ordem.

Substituindo (3.18) em (3.16), tem-se a equac~ao da forma fraca valida para um solido que

obedece a lei de Hooke, isto eZ V

CE(u) E(v)dV =

Z V

b  vdV �

Z S

Tn  vdS. (3.20)

Em termos das componentes cartesianas, a relac~ao constitutiva pode ser escrita matricialmente

como 2 64 xx xy xzyx yy yz

zx zy zz

3 75 = 2

2 64 "xx xy xz yx "yy yz zx zy "zz

3 75+ 

2 64 e 0 00 e 0 0 0 e

3 75 , (3.21)

48

e expandindo as equac~oes tem-se8>>>>>>< >>>>>>>:

xx = 2"xx + e = (2+ )"xx + ("yy + "zz)

yy = 2"zz + e = (2+ )"yy + ("xx + "zz)

zz = 2"zz + e = (2+ )"zz + ("yy + "xx)

xy = 2 xy xz = 2 xz yz = 2 yz

. (3.22)

Deve-se lembrar que os tensores E e T s~ao simetrticos, ou seja

xy = yx, xz = zx, yz = zy (3.23)

e

xy = yx, xz = zx, yz = zy. (3.24)

As distorc~oes totais  xy,  xz e  yz, s~ao dadas respectivamente por

 xy = 2 xy = 2 yx,  xz = 2 xz = 2 zx,  yz = 2 yz = 2 zy . (3.25)

A partir da as componentes de tens~ao cisalhante podem ser expressas como

xy = yx =  xy, xz = zx =  xz, yz = zy =  yz. (3.26)

Os coe ciente de Lame podem ser escritos em func~ao do modulo de elasticidae E e do coe ciente de

Poisson  como

 = E

2(1 + ) e  =

E

(1 + )(1� 2) . (3.27)

Logo, as equac~oes constituitivas podem ser expressas como8>>>>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>>>>>:

xx = E(1� )

(1 + )(1� 2) "xx +

E

(1 + )(1� 2) ("yy + "zz)

yy = E(1� )

(1 + )(1� 2) "yy +

E

(1 + )(1� 2) ("xx + "zz)

zz = E(1� )

(1 + )(1� 2) "zz +

E

(1 + )(1� 2) ("yy + "xx)

xy = E

2(1 + )  xy

xz = E

2(1 + )  xz

yz = E

2(1 + )  yz

. (3.28)

A express~oes anteriores pode ser reescritas matricialmente como8>>>>>>< >>>>>>>:

xx yy zz xy xz yz

9>>>>>>= >>>>>>>;

= E (1+v)(1�2v)

2 66666664

1� v v v 0 0 0

v 1� v v 0 0 0

v v 1� v 0 0 0

0 0 0 1�2v 2

0 0

0 0 0 0 1�2v 2

0

0 0 0 0 0 1�2v 2

3 77777775

8>>>>>>< >>>>>>>:

"xx "yy "zz  xy  xz  yz

9>>>>>>= >>>>>>>; , (3.29)

ou ainda de forma compacta

[] = [D]f"g, (3.30)

sendo [D] a matriz de elasticidade.

49

Devido a simetria do tensor de pequenas deformac~oes, as componentes do vetor f"g podem ser

escritas como

8>>>>>>< >>>>>>>:

"xx "yy "zz  xy  xz  yz

9>>>>>>= >>>>>>>;

=

2 666666666666666664

@

@x 0 0

0 @

@y 0

0 0 @

@z @

@y

@

@x 0

@

@z 0

@

@x

0 @

@z

@

@y

3 777777777777777775

8>< >:

u

v

w

9>= >; ;

ou de forma compacta

f"g = [L]fug: (3.31)

Se for efetuado o produto interno entre fg e f"g, obtem-se

  " = xx"xx + yy"yy + zz"zz + xy xy + xz xz + yz yz, (3.32)

agora, expandindo as componentes de distorc~ao totais

  " = xx"xx + yy"yy + zz"zz + xy( xy + yx) + xz( xz + zx) + yz( yz + zy). (3.33)

A partir deste resultado, pode-se observar que

  " = T E. (3.34)

Assim, a express~ao para a forma fraca pode ser reescrita comoZ V

  "dV =

Z V

b  vdV �

Z S

t  vdS, (3.35)

ou matricialmente de forma compactaZ V

[D][L]fug  [L]fvgdV =

Z V

fbg  fvgdV �

Z S

ftg  fvgdS. (3.36)

3.3 Aproximac~ao

Deseja-se obter uma soluc~ao aproximada para a forma fraca do problema de solidos de nida em

(3.36). Para isso, s~ao necessarias aproximac~oes para as func~oes representadas por u(x) e v(x):

De forma geral, aproximam-se as componentes de fu(x)g atraves das seguintes combinac~oes

lineares de n func~oes, como se segue8>< >:

u1(x) = P

n

i=1Ni(x)a1i u2(x) =

P n

i=1Ni(x)a2i u3(x) =

P n

i=1Ni(x)a3i

, (3.37)

sendo Ni(x) as func~oes de interpolac~ao globais e os a1i, a2i e a3i os coe cientes de ponderac~ao a serem

determinados. Matricialmente pode-se escrever8>< >:

u1(x)

u2(x)

u3(x)

9>= >; =

nX i=1

2 64 Ni(x) 0 00 Ni(x) 0

0 0 Ni(x)

3 75 8>< >:

ai1 ai2 ai3

9>= >; , (3.38)

ou seja,

fun(x)g = nX i=1

[Ni(x)] faig : (3.39)

50

Analogamente, a aproximac~ao para a func~ao v(x) e dada por

fvn(x)g = nX

j=1

[Nj(x)] fbjg , (3.40)

sendo fbjg = n bj1 bj2 bj3

o T

os coe cientes de ponderc~ao a serem determinados.

Substituindo (3.39) e (3.40) em (3.36), vem que nX i=1

nX j=1

Z V

[D][L] [Ni] faig  [L] [Nj] fbjg dV �

Z V

fbg [Nj] fbjg dV +

Z S

ftg [Nj ] fbjg dS

 = 0:(3.41)

Denota-se a matriz de deformac~ao [B i ] como

[B i ] = [L] [Ni] . (3.42)

Em forma expandida

[B i ] =

2 666666666666666664

@Ni

@x 0 0

0 @Ni

@y 0

0 0 @Ni

@z @Ni

@y

@Ni

@x 0

@Ni

@z 0

@Ni

@x

0 @Ni

@z

@Ni

@y

3 777777777777777775

. (3.43)

Sabendo-se que fbjg e constante e utilizando o conceito de transposic~ao de matrizes, pode-se

reescrever nX

j=1

fbjg 

" nX i=1

Z V

 [B

j ]T [D][B

i ]dV

 faig �

Z V

[Nj] T fbgdV +

Z S

[Nj] T ftgdS

# = 0. (3.44)

Para que esta express~ao seja nula, e necessario que o termo entre colchetes seja nulo, assimP n

i=1

R V

 [B

j ]T [D][B

i ]dV

 faig =

P n

i=1

R V [Nj ]

T fbgdV � R S [Nj ]

T ftgdS

j = 1; 2;    ; n . (3.45)

Reescrevendo de uma forma compacta

[K]fag = ffg, (3.46)

sendo [K] a matriz de rigidez global, fag o vetor dos coe cientes incognitas e ffg o vetor golbal dos

carregamentos, dados respectivamente por8>>>>>< >>>>>:

[K] = P

n

i=1

R V

 [B

j ] T [D][B

i ]dV

 fag =

P n

i=1 faig

ffg = ffbg � ffsg

ffbg = P

n

i=1

R V [Nj ]

T fbgdV

ffsg = P

n

i=1

R S [Nj ]

T ftgdS

j = 1; 2;    ; n. (3.47)

Nesse caso, ffbg e ffsg correspondem as parcelas de carregamento distribudo no volume e na superfcie

do corpo.

Analisando localmente para um elemento e da discretizac~ao, pode-se escrever as aproximac~oes

da seguinte maneira

fue n (x)g =

neX i=1

[N e i (x)] fae

i g , (3.48)

sendo ne o numero de nos do elemento.

51

Podem-se se escrever agora as respectivas matrizes e vetores locais para o elemento e8>>>>>>>< >>>>>>>:

[Ke] = P

ne

i=1

R Ve

 [Be

j ]T [D][Be

i ]dVe

 faeg =

P ne

i=1 fa e

i g

ff eg = ff e b g � ff e

s g

ff e b g =

P ne

i=1

R Ve

h N e j

i T

fbegdVe

ff e s g =

P ne

i=1

R Se

h N e j

i T

ftegdSe

j = 1; 2;    ; ne. (3.49)

O procedimento de construc~ao das matrizes e vetores globais e conhecido como montagem, ou

assembly, e e baseado na superposic~ao das matrizes e vetores locais obtidos para cada elemento da

discreitizac~ao individualmente, considerando compartilhamento dos nos por diferentes elementos da

estrutura.

Finalmente, deve-se solucionar o sistema de equac~oes algebricas global, obtido em (3.46), a m

de se obter os valores dos coe cientes incognitas faig para a aproximac~ao. Existem varios metodos

para determinar as func~oes de interpolac~ao ou func~oes de forma de nidas por fNig. Os polinômios

de Lagrange, bem como as aproximac~oes de base utilizando a pirâmide de Pascal, s~ao muito utilizados

com o Metodo dos Elementos Finitos, e s~ao ditas, nesse caso, func~oes de forma nodais.

A vantagem de se efetuar uma aproximac~ao do tipo nodal e que os valores dos coe cientes faig;

obtidos dessa maneira, representam sicamente o valor dos deslocamentos para cada no da malha de

elementos nitos utilizada na discretizac~ao, no caso de um problema de solidos. Existem entretanto,

outras maneiras de se obterem as func~oes de forma, como por exemplo os polinômios hierarquicos,

nesse caso os coe cientes da aproximac~ao n~ao apresentam necessariamente um signi cado fsico.

52

Captulo 4

Aplicac~oes

Neste captulo ser~ao aplicados os conceitos da formulac~ao de solidos tridimensionais na resoluc~ao

de problemas de forma analtica a numerica. Primeiramente, ser~ao resolvidos os problemas de barra,

viga e torc~ao de forma analtica, utilizando a formulac~ao tridimensional, comparando os resultados

obtidos com a teoria unidimensional, abordada no captulo (2) e posteriormente ser~ao solucionados al-

guns problemas de forma aproximada, atraves do Metodo dos Elementos Finitos, utilizando o software

Ansys.

4.1 Metodos Analticos

4.1.1 Equac~oes de Compatibilidade

Um problema fundamental a ser resolvido no caso de solidos tridimensionais, e determinar o

estado de tens~oes em um ponto qualquer do corpo, em outras palavras o tensor de Tens~oes de Cauchy

T(x) para cada ponto do solido, em func~ao dos carregamentos aplicados.

Deve-se notar que, conhecidos as três componentes u(x), v(x) e w(x) de deslocamento em cada

ponto do corpo, ou seja, quando e conhecido o campo de deslocamentos u(x) a qual o corpo esta

submetido, e possvel obeter as componentes do tensor de pequenas deformac~oes E(x) e, consequente-

mente, atraves do equilbrio e das leis constitutivas, o estado de tens~oes e conhecido.

Por outro lado, e muito comum, principalmente no tratamento analtico de problemas tridimen-

sionais, que as variavies conhecidas s~ao as componentes do tensor de pequenas deformac~oes, desejando

se conhecer o campo de deslocamentos resultante desse estado de deformac~oes. A obtenc~ao das compo-

nentes de deslocamento, nesse caso, representa um sistema de equac~oes superdeterminado, possuindo

seis equac~oes e três incognitas, ou seja8>>>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>>>>:

"xx(x) = @u(x)

@x

"yy(x) = @v(x)

@y

"zz(x) = @w(x)

@z

 xy(x) = @v(x)

@x +

@u(x)

@y

 xz(x) = @u(x)

@z + @w(x)

@x

 yz(x) = @v(x)

@z +

@w(x)

@y

. (4.1)

A soluc~ao desse sistema de equac~oes so e possivel, quando estabelecidas algumas condic~oes de

restric~ao, conhecidas como Equac~oes Diferenciais de Compatibilidade ou simplesmente Equac~oes de

53

Compatibilidade.

O signi cado fisico da necessidade de condic~oes de compatiblidade pode ser eplicado da seguinte

maneira. Imagine que um corpo solido antes de ser submetido a deformac~ao, seja subdividido em em

pequenos cubos. Deforma-se agora cada cubo individualmente. Observa-se que ao serem agrupados

novamente os cubos deformados, o resultado n~ao representa mais a deformac~ao do corpo solido por

inteiro, a menos que a deformac~ao em cada cubo seja relacionada com os cubos vizinhos atraves das

equac~oes de compatibilidade, que garantem a continuidade do corpo. Dessa forma, a deformac~ao de

cada parte individualmente correspondera a deformac~ao do corpo solido por inteiro.

Abtenc~ao das equac~oes de compatibilidade segue o seguinte procedimento. Diferenciando aquac~oes

para "xx(x); "yy(x) e  xy(x) do sistema em (4.1), obtem-se que8>>>>>>>< >>>>>>:

@2"xx(x)

@y2 =

@3u(x)

@x@y2

@2"yy(x)

@x2 =

@3v(x)

@y@x2

@2 xy(x)

@x@y =

@3u(x)

@x@y2 +

@3v(x)

@y@x2

, (4.2)

de forma que

@2"xx(x)

@y2 +

@2"yy(x)

@x2 =

@2 xy(x)

@x@y . (4.3)

Analogamente, para as outras equac~oes de (4.1), podem ser obtidas as relac~oes8>>< >>:

@2"zz(x)

@y2 +

@2"yy(x)

@z2 =

@2 yz(x)

@y@z @2"xx(x)

@z2 +

@2"zz(x)

@x2 =

@2 xz(x)

@x@z

. (4.4)

Agora, seguindo o procedimento de diferenciac~ao8>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>:

@2"xx(x)

@y@z =

@3u(x)

@x@y@z @ yz(x)

@x =

@2v(x)

@x@z +

@2w(x)

@x@y @ xz(x)

@y =

@2u(x)

@w@z +

@2w(x)

@x@y @ xy(x)

@z =

@2u(x)

@y@z +

@2v(x)

@x@z

, (4.5)

chega-se a

2 @2"xx(x)

@y@z =

@

@x

 � @ yz(x)

@x +

@ xz(x)

@y +

@ xy(x)

@z

 : (4.6)

Analogamente,8>>< >>:

2 @2"yy(x)

@x@z =

@

@y

 @ yz(x)

@x � @ xz(x)

@y +

@ xy(x)

@z



2 @2"zz(x)

@x@y =

@

@z

 @ yz(x)

@x +

@ xz(x)

@y �

@ xy(x)

@z

 . (4.7) Dessa forma, obtem-se o sistema de 6 equac~oes diferenciais de compatibilidade, dado por8>>>>>><

>>>>>>:

@2"xx

@y2 +

@2"yy

@x2 =

@2 xy

@x@y 2 @2"xx

@y@z =

@

@x

 � @ yz

@x +

@ xz

@y +

@ xy

@z

 @2"zz

@y2 +

@2"yy

@z2 =

@2 yz

@y@z 2 @2"yy

@x@z =

@

@y

 @ yz

@x �

@ xz

@y +

@ xy

@z

 @2"xx

@z2 +

@2"zz

@x2 =

@2 xz

@x@z 2 @2"zz

@x@y =

@

@z

 @ yz

@x +

@ xz

@y �

@ xy

@z

 . (4.8)

A partir da aplicac~ao da lei de Hooke no sistema de equac~oes anterior, pode-se determinar um

54

sistema de de compatibilidade para um material linear, elastico, homogêneo e isotropico, em termos

de componentes de tens~ao, como se segue.

Tomando por base a equac~ao

@2"zz

@y2 +

@2"yy

@z2 =

@2 yz

@y@z

e aplicando a lei de Hooke, obtem-se

(1 + )

@2yy

@z2 + @2zz

@y2

! � 

@2e

@z2 +

@2e

@z2

! = 2(1 + )

@2yz

@y@z . (4.9)

Partindo das equac~oes de equilibrio dadas por8>>>>>< >>>>>>:

@xx

@x + @xy

@y +

@xz

@z + bx = 0

@xy

@x +

@yy

@y +

@yz

@z + by = 0

@xz

@x +

@yz

@y + @zz

@z + bz = 0

,

diferenciando a primeira em relac~ao a x; a segunda em relac~ao a y, a terceira em relac~ao a z e somando

os resultados obtem-se

2 @yz

@y@z =

@2xx

@x2 �

@2yy

@y2 �

@2zz

@z2 + @bx

@x �

@by

@y � @bz

@z .

Substituindo esta relac~ao em (4.9) e usando o operador laplaciano  obtem-se

(1 + )

e�xx �

@2e

@x2

! � v

e�

@2e

@x2

! = (1 + )

 @bx

@x �

@by

@y �

@bz

@z

 . (4.10)

Duas outras equac~oes, similares a essa, podem ser obtidas com procedimento analogo, aplicado as

equac~oes

@2"xx

@y2 + @2"yy

@x2 =

@2 xy

@x@y ,

@2"xx

@z2 +

@2"zz

@x2 =

@2 xz

@x@z .

Somando agora esses resultados chega-se a

(1� )e = �(1 + )

 @bx

@x �

@by

@y � @bz

@z

 . (4.11)

Substituindo essa express~ao para e em (4.10) vem que

xx + 1

(1 + )

@2e

@x2 = �



(1� )

 @bx

@x � @by

@y �

@bz

@z

 � 2

@bx

@x . (4.12)

De maneira analoga podem ser obtidas as seguintes relac~oes

yy + 1

(1 + )

@2e

@y2 = �



(1� )

 @bx

@x �

@by

@y �

@bz

@z

 � 2

@by

@y , (4.13)

zz + 1

(1 + )

@2e

@z2 = �



(1� )

 @bx

@x �

@by

@y �

@bz

@z

 � 2

@bz

@y . (4.14)

Da mesma maneira, para as equac~oes de compatibilidade restantes

2 @2"xx

@y@z =

@

@x

 � @ yz

@x +

@ xz

@y +

@ xy

@z

 ,

2 @2"yy

@x@z =

@

@y

 @ yz

@x �

@ xz

@y +

@ xy

@z

 ,

2 @2"zz

@x@y =

@

@z

 @ yz

@x +

@ xz

@y �

@ xy

@z

 ,

55

s~ao obtidas as relac~oes

xy + 1

(1 + )

@2e

@x@y =

@bx

@x �

@by

@y , (4.15)

xz + 1

(1 + )

@2e

@x@z =

@bx

@x �

@bz

@z , (4.16)

yz + 1

(1 + )

@2e

@y@z = �

@by

@y � @bz

@z . (4.17)

Finalmente, se forem desconsideradas as forcas de corpo, chega-se ao sistema de equac~oes de

compatibilidade para um solido elastico, linear, homogêneo e isotropico.8>>>>>>>< >>>>>>>:

(1 + )xx + @2e

@x2 = 0 (1 + )yz +

@2e

@y@z = 0

(1 + )yy + @2e

@y2 = 0 (1 + )xz +

@2e

@x@z = 0

(1 + )zz + @2e

@z2 = 0 (1 + )xy +

@2e

@x@y = 0

. (4.18)

A partir das equac~oes obtidas em (4.8) ou (4.18), juntamente com as equac~oes de equilibrio, as con-

dic~oes de contorno e as leis constitutivas, e possivel determinar agora as componentes do campo de

delocamento em func~ao das deformac~oes.

4.1.2 Barra - Soluc~ao 3D

Sera considerada nessa sec~ao a soluc~ao, com base no equacionamento para um solido tridimen-

sional, o alongamento de uma barra, de material segundo a lei de Hooke, submetia ao seu peso proprio,

conforme ilustrado na Figura 4.1.

Figura 4.1: Esquema de uma Barra Tridimensional

Analisando o problema, conclui-se que as forcas de corpo por unidade de volume, podem ser

expressas por

b =

8>< >:

bx = 0

by = 0

bz = �g

9>= >; , (4.19)

sendo g o peso por unidade de volume da barra.

Adimitindo que cada sec~ao transversal esta submetida a uma tens~ao normal uniforme provocada

pelo peso da porc~ao imediatamente inferior da barra, tem-se que as equac~oes de equilbrio para o

56

volume do solido dadas em (1.50) s~ao satisfeitas quando( zz = gz

xx = yy = xy = xz = yz = 0 , (4.20)

sendo zz = gz uma distribuic~ao linear do carregamento provocado pelo peso proprio da barra na

direc~ao axial.

No caso da superfcie lateral n~ao existem esforcos concentrados (as forcas de superfcie s~ao nulas),

ou seja,

t =

8>< >:

tx = 0

ty = 0

tz = 0

9>= >; (4.21)

os vetores normais a superfcie s~ao representados por vetores unitarios sempre perpendiculares ao exio

z, assim, considerando um caso particular onde n = ey

n =

8>< >:

nx = 0

ny = 1

nz = 0

9>= >; . (4.22)

Dessa forma, consisderando (4.20) t e n, as condic~oes de contorno (1.51) s~ao satisfeitas, pois8>< >:

(0)(0) + (0)(1) + (0)(0) � 0 = 0

(0)(0) + (0)(1) + (0)(0) � 0 = 0

(0)(0) + (0)(1) + (gz)(0) � 0 = 0

. (4.23)

Analogamente para a extremidade inferior da barra (z = 0),

t =

8>< >:

tx = 0

ty = 0

tz = 0

9>= >; (4.24)

e

n =

8>< >:

nx = 0

ny = 0

nz = �1

9>= >; , (4.25)

assim, as condic~oes de contorno s~ao igualmente satisfeitas8>< >:

0 = 0

0 = 0

0 = 0

. (4.26)

Ja para a extremidade superior (z = l), zz = gl,

t =

8>< >:

tx = 0

ty = 0

tz = gl

9>= >; , (4.27)

sendo l o comprimento da barra, e

n =

8>< >:

nx = 0

ny = 0

nz = 1

9>= >; , (4.28)

assim8>< >:

0 = 0

0 = 0

(gl)(1) � gl = 0

. (4.29)

Observa-se que as equac~oes de compatibilidade para um material segundo a lei de Hooke s~ao

57

igualmente satisfeitas, pois8>>>< >>>:

xx = yy = xy = xz = yz = 0

zz = gz ) @zz

@z = g )

@2zz

@z2 = 0

@2zz

@x2 =

@2zz

@y2 = 0

(4.30)

e, atraves da lei deHooke8>>< >>:

 xy =  xz =  yz = 0

"zz = gz

E "xx = "yy = �

gz

E

, (4.31)

ou seja, as derivadas parciais de segunda ordem para as componentes de tens~ao e deformac~ao se

anulam, bem como as derivadas parciais de primeira ordem das forcas de corpo, que s~ao constantes

nesse caso.

O proximo passo da soluc~ao e a caracterizac~ao do campo de deslocamentos resultante para este

problema. Sabendo-se que8>>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>>>:

"xx = @u

@x = �

gz

E

"yy = @v

@y = �

gz

E

"zz = @w

@z =

gz

E

 xy = @v

@x +

@u

@y = 0

 xz = @u

@z +

@w

@x = 0

 yz = @v

@z + @w

@y = 0

, (4.32)

os deslocamentos u; v e w podem ser determinados atraves do procedimento de integrac~ao. Nesse caso

w(x; y; z) =

Z @w

@z dz ) w(x; y; z) =

Z gz

E dz ) w(x; y; z) =

gz2

2E + w0(x; y); (4.33)

sendo w0(x; y) uma func~ao de x e y a ser determinada posteriormente. Assim, substituindo este

resultado em8>>< >>:

 xz = @u

@z +

@w0(x; y)

@x = 0

 yz = @v

@z + @w0(x; y)

@y = 0

(4.34)

e atraves da integrac~ao8>>< >>:

@u

@z = �

@w0(x; y)

@x ) u(x; y; z) = �

R @w0(x; y) @x

dz ) u(x; y; z) = �z @w0(x; y)

@x + u0(x; y)

@v

@z = �

@w0(x; y)

@y ) v(x; y; z) = �

R @w0(x; y) @y

dz ) v(x; y; z) = �z @w0(x; y)

@x + v0(x; y)

,(4.35)

sendo u0(x; y) e v0(x; y) func~oes de x e y a serem determinadas posteriormente. Substituindo em

@u

@x = �

gz

E @

@x

 �z

@w0(x; y)

@x + u0(x; y)

 = �

gz

E

�z @2w0(x; y)

@x2 +

@u0(x; y)

@x = �

gz

E (4.36)

e @v

@y = �

gz

E

58

@

@y

 �z

@w0(x; y)

@y + v0(x; y)

 = �

gz

E

�z @2w0(x; y)

@y2 +

@v0(x; y)

@y = �

gz

E : (4.37)

Lembrando-se que u0 e v0 n~ao dependem de z, conclui-se que estas equac~oes so s~ao verdadeiras se

@u0(x; y)

@x =

@v0(x; y)

@y = 0

@2w0(x; y)

@x2 =

@2w0(x; y)

@y2 =

g

E . (4.38)

Substituindo as express~oes para u(x; y; z) e v(x; y; z) das equac~oes (4.35) em

 xy = @v

@x +

@u

@y = 0 (4.39)

ent~ao

�2z @2w0(x; y)

@x@y +

@v0(x; y)

@x +

@u0(x; y)

@y = 0. (4.40)

Novamente, como u0 e v0 n~ao dependem de z, chega-se a

@v0(x; y)

@x =

@u0(x; y)

@y = 0

@2w0(x; y)

@x@y = 0 . (4.41)

Analisando as equac~oes (4.38) e (4.41), pode-se obter uma forma geral para as express~oes de u0;

v0 e w0; dadas por8>>< >>:

u0 = Æy + Æ1 v0 = �Æx+ 1

w0 = g

2E

� x2 + y2

 + x+ y +

, (4.42)

sendo ; ; Æ, Æ1; ; 1 constantes arbitrarias. Agora expressando os delocamentos totais, com base

em (4.33) e (4.35)8>>< >>>:

u(x; y; z) = � g

E xz � z + Æy + Æ1

v(x; y; z) = � g

E yz � z � Æx+ 1

w(x; y; z) = g

2E z2 +

g

2E

� x2 + y2

 + x+ y +

. (4.43)

A determinac~ao das constantes pode ser obtida atraves da analise dos graus de liberdade do suporte

da barra. O suporte deve ser tal que impeca os movimentos de corpo rgido da barra. De forma a

impedir o movimento de translac~ao, sera estabelicido um suporte no centroide da sec~ao da extremidade

superior, dado pelo ponto A de coordenadas (0; 0; l): Assim, para o ponto A tem-se que u = v = w = 0.

Considerando agora as rotac~oes rgidas, as mesmas podem ser impedidas fazendo @u

@z =

@v

@z =

@v

@x = 0

para o ponto A:

Aplicando estas condic~oes de contorno para o suporte em A; nas express~oes para u, v e w, vem

que

� l + Æ1 = 0 � l + 1 = 0 gl2

2E + = 0 ,

ent~ao,8>>>>>>>>< >>>>>>>>>:

= 0

Æ1 = 0

= 0

1 = 0

Æ = 0

= � gl2

2E

. (4.44)

59

Finalmente as express~oes nais para os deslocamentos, s~ao8>>>>< >>>>:

u(x; z) = � g

E xz

v(y; z) = � g

E yz

w(x; y; z) = g

2E z2 +

g

2E

� x2 + y2

 �

gl2

2E

. (4.45)

Observa-se que para os pontos situados no eixo z, ou seja x = y = 0; apresentam apenas

desolcamentos verticais dados por

wz(z) = � g

2E

 l2 � z2

 . (4.46)

Ja os outros pontos, fora do eixo z; devido a contrac~ao lateral da barra, efeito de Poisson, apresentam

tambem deslocamentos horizontais. Este resultado faz com que as linhas inicialmente paralelas ao eixo

z, se tornem inclinadas conforme aFigura 4.1. As sec~oes transversais inicialmente perpendiculares ao

eixo z, apresentam-se curvas na forma de um paraboloide, ou seja, as sec~oes planas n~ao permanecem

planas na con gurac~ao deformada.

Se for considerada uma sec~ao transversal generica dada por z = c, antes da deformac~ao,. a

mesma se apresentara na posic~ao z0, apos a deformac~ao, dada por

z0 = z + w = c+ w = c+ g

2E c2 +

g

2E

 x2 + y2

 �

gl2

2E . (4.47)

Esta superfcie e um paraboloide perpendicular a todas as bras longituidais da barra, que se apre-

sentam inclinadas apos a deformac~ao, de modo que n~ao ha variac~ao angular, ou seja, as deformac~oes

cisalhantes s~ao nulas.

Para efeito de comparac~ao este problema sera resolvido pela teoria uinidimensional, que consid-

era que as sec~oes inicialmente planas, permanecem planas apos a deformac~ao. Nesse caso o problema

de valor de contorno e dado por8>>>>< >>>>:

EA d2u(z)

dz2 = gA para z 2 (0; l)

u(l) = 0 em z = 0 (deslocamento)

EA du(0)

dz = 0 em z = 0 (forca normal)

. (4.48)

Integrando a equac~ao diferencial8>>< >>:

EA du(z)

dz = gAz + C1

EAu(z) = gAz2

2 + C1z + C2

e aplicando as condic~oes de contorno8>< >>:

EA du(0)

dz = 0) gA(0) + C1 = 0) C1 = 0

u(l) = 0 ) gAl2

2 + C2 = 0) C2 = �

gAl2

2

,

portanto o deslocamento axial e dado por

EAu(z) = gAz2

2 �

gAl2

2

u(z) = � g

2E

 l2 � z2

 . (4.49)

Comparando esse resultado com o resultado obtido pelo calculo tridimensional, tem-se que

wz(z) = u(z) = � g

2E

 l2 � z2

 , (4.50)

ou seja, a soluc~ao para o eixo z; no caso tridiemensional e idêntica a obtida pelo modelo unidimensional,

porem o caso unidimensional apresenta um erro de aproximac~ao, por considerar que as sec~oes planas

permanecem planas, o que, como foi visto, n~ao ocorre de fato. Entretanto, se for considerada a equac~ao

60

para o modelo tridimensional, tem-se que

w(x; y; z) = g

2E z2 +

g

2E

 x2 + y2

 �

gl2

2E

w(x; y; z) = � g

2E

 l2 � z2

 +

g

2E

 x2 + y2

 u(z) = w(x; y; z) �

g

2E

 x2 + y2

 . (4.51)

Assim, para barras com o comprimento muito maior que as dimens~oes da sec~ao transversal (l >> xmax e l >> ymax), o erro da aproximac~ao do modelo unidimensional dado pelo termo

g

2E

 x2 + y2

 ,

e muito pequeno, podendo ser desprezado, o que torna a hipotese para o modelo de barra unidimen-

sional bastante razoavel.

4.1.3 Torc~ao de Eixos Circulares Prismaticos - Soluc~ao 3D

Atraves do modelo unidimensional para a torc~ao de eixos circulares prismaticos e possvel ob-

servar que a tens~ao de cisalhamento resultante na sec~ao e tangencial e perpendicular ao raio, dada

por

t(x; r; ) = G d(x)

dx r. (4.52)

E se for decomposta em duas componentes paralelas ao eixo z e y respectivamente, devido a geometria

do problema8>< >:

xy = �Gz d(x)

dx

xz = Gy d(x)

dx

. (4.53)

Figura 4.2: Torc~ao de um Eixo Prismatico

Segundo o modelo unidimensional, as outras componentes de tens~ao s~ao nulas, ou seja,

xx = yy = zz = yz = 0. (4.54)

Pode-se mostrar que essas hipoteses garantem uma soluc~ao correta para o problema (sob o ponto

de vista tridiemnsional), desde que assumidas certas condic~oes.

Ja que as componentes de tens~ao, ou s~ao nulas ou representam func~oes lineares, ent~ao dessa

forma, as equac~oes de compatibilidade para um solido segundo a lei de Hooke (4.18) s~ao satisfeitas

automaticamente, pois as mesmas apresentam derivadas parciais de segunda ordem e as forcas de

volume s~ao nulas para este problema. As equac~oes de equilbrio (1.50) tambem s~ao satisfeitas por

61

essas condic~oes, pois8>>>>>>< >>>>>>:

@0

@x +

@

@y

 �Gz

d(x)

dx

 +

@

@z

 Gy

d(x)

dx

 + 0 = 0

@

@x

 �Gz

d(x)

dx

 +

@0

@y +

@0

@z + 0 = 0

@

@x

 Gy

d(x)

dx

 +

@0

@y +

@0

@w + 0 = 0

. (4.55)

Com procedimento analogo ao empregado na sec~ao 4.1.2, pode-se mostrar que as condic~oes de contorno

para a superfcie lateral do eixo s~ao igualmente satisfeitas. N~ao existem esforcos externos distribudos

na superfcie lateral e os vetores normais a superfcie s~ao sempre perpendiculares ao eixo longitudinal

e paralelos ao plano yz.

Pode-se observar que estas hipoteses so s~ao validas para sec~oes circulares (eixos cilndricos),

onde a decomposic~ao da tens~ao de cisalhamento tangencial em duas componentes paralelas aos eixos

y e z e favorecida pela geometria do problema, permitindo a satisfazer as equac~oes de equilbrio e

as condic~oes de contorno simultaneamente. Quando se deseja caracterizar a torc~ao de sec~oes n~ao

circulares, o problema e um pouco mais complexo, onde essas hipoteses n~ao s~ao validas, ocorrendo um

empenamento das sec~oes em relac~ao ao eixo longitudinal.

Atraves da avaliac~ao das condic~oes de contorno para as sec~oes das extremidades do eixo, percebe-

se que a distribuic~ao de tens~ao deve ser a mesma que a atuante em todas as outras sec~oes do eixo, para

que as hipoteses iniciais sejam validas. Entretanto, com base do princpio de Saint-Venant, pode-se

conculir que para eixos su cientemente longos, a uma distância caracterstica das extremidades, a

distribuic~ao de tens~ao e dependente apenas do torque resultante aplicado nas extremidades do eixo,

de maneira praticamente independente da distribuic~ao de tens~oes nas sec~oes extremas.

A caracterizac~ao do campo de deslocamentos por abrodagem tridimensional segue um procedi-

mento analogo ao aplicado ao problema de barra tridimensional, visto na sec~ao 4.1.2.

Considerando a lei de Hooke e as hipoteses para o problema tem-se que8>>>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>>>:

"xx = @u

@x = 0

"yy = @v

@y = 0

"zz = @w

@z = 0

 xy = @v

@x +

@u

@y =

xy

G = �z

d(x)

dx

 xz = @u

@z +

@w

@x =

xz

G = y

d(x)

dx

 yz = @v

@z + @w

@y = 0

, (4.56)

Como

"xx = @u

@x = 0, (4.57)

ent~ao u(x; y; z) = 0 n~ao depende de x: Considerando-se que o eixo esta engastado no ponto A, ent~ao

em x = 0; para todos os pontos da sec~ao u(x; y; z) = 0 e, alem disso, as sec~oes n~ao devem apresentar

rotac~oes rgidas alem de x, ent~ao,

@u

@y =

@u

@z = 0. (4.58)

e u(x; y; z) e constante ou nulo para todas as sec~oes. Assim,8>< >:

 xy = @v

@x = �z

d(x)

dx

 xz = @w

@x = y

d(x)

dx

(4.59)

62

e, atraves da integrac~ao,( v = �z(x) + v0 w = y(x) + w0

, (4.60)

sendo v0 e w0 func~oes apenas de y e z.

Substituindo estes resultados em "zz; "yy e  yz, vem que8>>>>>< >>>>>:

"yy = @v

@y = 0)

@

@y (�z(x) + v0) = 0)

@v0

@y = 0

"zz = @w

@z = 0)

@

@z (y(x) + w0) = 0)

@w0

@z = 0

 yz = @v

@z + @w

@y = 0)

@

@z (�z(x) + v0) +

@

@y (y(x) + w0) = 0)

@w0

@y = �

@v0

@z

. (4.61)

Analisando estes resultados, e possvel concluir que v0 so depende de z e w0 so depende de y e

que v0 e w0 s~ao func~oes lineares dadas por

v0 = z + 1 w0 = �y + 2 , (4.62)

sendo , 1 e 2 constantes arbitrarias a serem determinadas.

Agora os deslocamentos totais s~ao expressos na forma( v = �z(x) + z + 1 w = y(x)� y + 2

. (4.63)

Analisando as condic~oes do suporte, u(x; y; z) = v(0; y; z) = w(0; y; z) = 0 e @u(x; y; z)

@z =

@w(x; y; z)

@y =

@v(x; y; z)

@z = 0, ent~ao

@v(0; y; z)

@z = 0)  = 0. (4.64)

Substituindo nas express~oes de v e w, para o engaste( v(0; y; z) = 0) 1 = 0

w(0; y; z) = 0) 2 = 0 .

Ent~ao o campo de deslocamentos pode ser expresso na forma

u(x; y; z) =

8>< >:

0

�z(x)

y(x)

9>= >; ,

que e o mesmo resultado proposto pela formulc~ao unidimensional visto na sec~ao 2.3.

Este resultado permite veri car que, para eixos cilndricos, as hipoteses do modelo de torc~ao

unidimensional permitem a obtenc~ao de uma soulc~ao correta para o problema, sob o ponto de vista

da formulac~ao tridimenmsional.

4.1.4 Viga - Soluc~ao 3D

Considere uma viga prismatica, sob a ac~ao de dois momentos etores Mz conforme a Figura 4.3.

Estabelecendo o centro do sistema de coordenadas no baricentro da sec~ao transversal e o plano plano

xz como o plano onde ocorre a ex~ao, as componentes de tens~ao, conforme a teoria unidimensional

para a ex~ao pura, s~ao dadas por

zz = Ex

R yy = xx = xy = xz = yz = 0 , (4.65)

sendo R o raio de curvatura da viga apos a deformac~ao.

A analise das hipoteses segue os mesmos passos que os utilizados no caso da barra e da torc~ao

tridimensionais. Considerando que n~ao haja forcas de corpo, e possvel veri car que esta soluc~ao sat-

isfaz as condic~oes de equilbrio e as equac~oes de compatibilidade para um solido tridimensional. As

63

(a) (b)

Figura 4.3: Esquema de uma Viga Tridimensional

condic~oes de contorno, para a superfcie lateral da viga, tambem s~ao satisfeitas, pois n~ao existem es-

forcos externos aplicados. As condic~oes de contorno para as sec~oes da extremidade da viga exigem que

a distribuic~ao de tens~ao ocorra da mesma maneira que zz: Apenas sob essas condic~oes, a distribuic~ao

de tens~ao proposta, e a soluc~ao correta para o problema.

O momento etor e dado pela equac~ao

Mz =

Z A

zzxdA =

Z A

Ex2

R dA =

EIy

R ,

sendo Iy o momento de inercia da sec~ao transversal da viga em relac~ao a linha neutra, passando pelo

baricentro da sec~ao, paralela ao eixo y. A partir dessa equac~ao e possvel escrever

1

R =

EIy

Mz . (4.66)

Para caracterizar os deslocamentos, inicialmente considere-se a lei de Hooke8>>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>>>>:

"zz = @w

@z =

zz

E =

x

R

"yy = @v

@y = �

x

R

"xx = @u

@x = �

x

R

 xy = @v

@x +

@u

@y = 0

 xz = @u

@z +

@w

@x = 0

 yz = @v

@z + @w

@y = 0

. (4.67)

Utilizando essas equac~oes diferenciais e as condic~oes de vinculac~ao da viga no ponto A(0; 0; 0); e

possvel caracterizar o campo de deslocamentos, da mesma forma que nos problemas de barra e torc~ao

tridimensionais.

Atraves da integrac~ao de "zz

w = xz

R + w0, (4.68)

sendo w0 uma func~ao apenas de x e y:

Considerando as outras deformac~oes, obtêm-se

@u

@z = �

z

R �

@w0

@x

@v

@z = �

@w0

@y , (4.69)

64

de forma que, atraves da integrac~ao,8>< >>:

u = � z2

2R � z

@w0

@x + u0

v = �z @w0

@y + v0

, (4.70)

sendo u0 e v0 func~oes de x e y a serem determinadas posteriormente.

Substituindo estes resultados em "xx e "yy

�z @2w0

@x2 +

@u0

@x = �

x

R �z

@2w0

@y2 +

@v0

@y = �

x

R , (4.71)

estas equac~oes devem ser satisfeitas par qualquer valor de z, ent~ao

@2w0

@x2 = 0

@2w0

@y2 = 0 (4.72)

e integrando

u0 = � x2

2R + f1(y) v0 = �

x2

2R + f2(x) . (4.73)

Sabendo-se que

 xy = @v

@x +

@u

@y = 0, (4.74)

ent~ao

2z @2w0

@x@y �

@f1(y)

@y �

@f2(x)

@x � 

y

R = 0. (4.75)

Nota-se que, apenas o primeiro termo dessa equac~ao dependede de z, de forma que

@2w0

@x@y = 0

@f1(y)

@y �

@f2(x)

@x � 

y

R = 0 , (4.76)

assim,8>< >>:

w0 = mx+ ny + p

f1(y) =  y2

2R + y +

f2(x) = � x+

, (4.77)

sendo m; n; p; ; constantes arbitrarias. Os delocamentos agora s~ao escritos8>>>>< >>>>:

u = � z2

2R �mz � 

x2

2R  y2

2R + y +

v = �nz �  xy

R � x+

w = xz

R +mx+ ny + p

. (4.78)

A determinac~ao das constantes arbitrarias e realizada com base nos graus de liberdade do suporte

u = v = w = 0 @u

@z =

@v

@z =

@v

@x = 0 , (4.79)

o que exige que as constantes arbitrarias sejam nulas, assim as express~oes nais dos deslocamentos s~ao8>>>>< >>>>:

u = 1

2R

 z2 + 

� x2 � y2

 v = �

xy

R w =

xz

R

. (4.80)

Considerando uma sec~ao transversal situada em z = c, a mesma se encontrara, apos a deformac~ao

em

z0 = c+w = c+ cz

R , (4.81)

que signi ca que uma sec~ao plana permanece plana apos a deformac~ao, conforme as hipoteses da teoria

unidimensional. Para examinar as deformac~oes ocorrendo nesse plano, considere os lados y = b,

65

conforme a Figura 4.3. Apos a deformac~ao, tem-se

y0 = b+ v = b

 1� 

xy

R

 ,

que representam duas retas inclinadas, coforme demonstrado na Figura 4.3. Ja para os lados x = a,

x0 = a+ u = a� 1

2R

h c2 + 

 a2 � y2

i , (4.82)

que representam duas curvas com formato parabolico, conforme a Figura 4.3,de forma que a con-

cavidade dessas curvas e oposta a con gurac~ao deformada da viga, por exemplo enquanto a viga

encontra-se com a concavidade voltada para cima, a concavidade da parabloa do lado superior da

sec~ao encontra-se voltada para baixo.

Resolvendo este problema agora, pela teoria unidimensional, tem-se que8>>>>>< >>>>>:

EIy d4u(z)

dz4 = 0 para z 2 (0; L)

My(L) = �M em z = L

Vx(0) = 0 em z = 0 du(0)

dz = 0 em z = 0

. (4.83)

Integrando a equac~ao diferencial8>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>:

EIy d4u(z)

dz4 = 0

EIy d3u(z)

dz3 = C1

EIy d2u(z)

dz2 = C1z + C2

EIy du(z)

dz =

C1z 2

2 + C2z + C3

EIyu(z) = C1z

3

6 +

C2z 2

2 + C3z + C4

e aplicando as condic~oes de contorno vem que8>>< >>>:

C1 = 0

C2 = �M

C3 = 0

C4 = 0

,

assim a equac~ao nal para a ex~ao e

u(z) = � Mz2

2EIy . (4.84)

Se agora forem considerados x = y = 0, nas express~oes dos deslocamentos tridimensionais,

pode-se obter a expres~ao da ex~ao para a linha neutra (eixo z)

u = � z2

2R = �

Mz2

2EIy v = 0 w = 0 , (4.85)

que e exatamente a soluc~ao encontrada para o modelo unidimensional.

Observa-se que, igualmente ao exemplo da barra, se forem consideradas vigas com o comprimento

muito maior que as dimens~oes da sec~ao transversal, as diferencas entre os dois modelos (unidimensional

e tridimensional) podem ser desprezadas, de forma que a aproximac~ao se torna bastante razoavel.

4.2 Metodos Numericos

Nesta sec~ao sera abordado o tratamento de problemas envolvendo solidos estruturais tridimen-

sionais, de forma aproximada, atraves do Metodo dos Elementos Finitos, utilizando o software Ansys.

66

Para a aplicac~ao de modelos de solidos estruturais tridimensionais o Ansys permite a utilizac~ao

de 5 tipos diferentes de elementos, ilustrados na Figura 4.4, sendo listados a seguir:

 SOLID45: elemento hexaedrico, possuindo 8 nos (interpolac~ao linear) e 3 graus de liberdade por

no, sendo os deslocamentos nas direc~oes cartesianas x; y e z.

 SOLID72: elemento tetraedrico, possuindo 4 nos (interpolac~ao linear) e 6 graus de liberdade por

no, sendo os deslocamentos e as rotac~oes ao longo das direc~oes cartesianas x; y e z.

 SOLID73: elemento hexaedrico, possuindo 8 nos (interpolac~ao linear) e 6 graus de liberdade por

no, sendo os deslocamentos e as rotac~oes ao longo das direc~oes cartesianas x; y e z.

 SOLID92: elemento tetraedrico de alta ordem, posuindo 10 nos (interpolac~ao quadratica) e 3

graus de liberdade por no, sendo os deslocamentos ao longo das direc~oes cartesianas x; y e z.

 SOLID95: elemento hexaedrico de alta ordem, posuindo 20 nos (interpolac~ao quadratica) e 3

graus de liberdade por no, sendo os deslocamentos ao longo das direc~oes cartesianas x; y e z.

(a) SOLID45 (b) SOLID72

(c) SOLID92 (d) SOLID95

Figura 4.4: Elementos Solidos no Ansys

Os elementos hexaedricos (SOLID45, SOLID73 e SOLID95) s~ao mais utilizados, pois permitem

a obtenc~ao de malhas pouco distorcidas e de gerac~ao mais simpli cada. O elemento SOLID73 garante

resultados mais precisos que o SOLID45 convencional , por possuir mais graus de liberdade por no,

alem de exigir menor custo computacional que o SOLID95, entretanto e menos preciso que o elemento

quadratico SOLID95.

Ja os elementos tetraedricos s~ao mais adequados na resoluc~ao de problemas envolvendo mal-

has mais distorcidas. O elemento SOLID72 pode substituir o SOLID92, demandando menor custo

computacional e, apesar de possuir mais graus de liberdade por no, apresenta menor precis~ao nos

resultados do que o seu equivalente quadratico SOLID92.

67

De uma forma geral, para esses elementos, os dados de entrada devem ser as suas coordenadas

geometricas em func~ao do sistema de referência adotado, conforme Figura 4.4, as propriedades do

material, os carregamentos e as condic~oes de contorno.

Os resultados que podem ser obtidos s~ao os deslocamentos (translac~ao e rotac~ao) nodais e as

componentes de tens~ao e deformac~ao atuantes em cada elemento da malha. Alternativamente, podem

ser obtidas algumas prorpiedades geometricas como, centroides, momentos de inercia e de massa,

volume e massa, para os elementos e/ou para a estrutura como um todo.

Estes resultados podem ser con gurados para serem fornecidos em forma de tabelas ou gra cos.

Algumas propriedades especiais, como anisotropia, n~ao-linearidades, dependência da temperatura e/ou

do tempo, etc. tambem podem ser atribudas e adaptadas a esses elementos.

As tabelas abaixo resumem os principais atributos e os dados de entrada para os elementos

SOLID45 e SOLID72.

SOLID45

Numero de Nos 8 (I,J,K,L,M,N,O,P)

Graus de Liberdade UX, UY, UZ

Propriedades do Material EX, EY, EZ, NUXY, NUXZ, NUYZ, ALPX, ALPY, ALPZ

Propriedades do Material DENS, GXY, GXZ, GYZ, DAMP

Cargas de Superfcie Cargas distribudas nas faces do elemento

Cargas de Corpo Temeperaturas nodais

SOLID72

Numero de Nos 4 (I,J,K,L)

Graus de Liberdade UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ

Propriedades do Material EX, EY, EZ, NUXY, NUXZ, NUYZ, ALPX, ALPY, ALPZ

Propriedades do Material DENS, GXY, GXZ, GYZ, DAMP

Cargas de Superfcie Cargas distribudas nas faces do elemento

Cargas de Corpo Temeperaturas nodais

Os dados de entrada para os demais elementos s~ao similares, levando-se em considerac~ao suas

caractersticas particulares.

Nas tabelas acima UX, UY, UZ, representam os deslocamentos nodais, ROTX, ROTY, ROTZ,

s~ao as rotac~oes. No caso das propriedades do material, EX, EY, EZ s~ao os modulos de elastici-

dade, NUXY, NUXZ, NUYZ os coe cientes de Poisson, GXY, GXZ, GYZ, os modulos de elasticidade

transversal e ALPX, ALPY, ALPZ, os coe cientes de dilatac~ao termica, medidos em cada direc~ao.

Observa-se que para problemas isotropicos, e necessario atribuir valores dessas propriedades apenas

em uma direc~ao. O parâmetro DENS representa a massa espec ca do material e DAMP, o coe ciente

de amorteciamento.

As cargas de superfcie podem ser con guradas, de forma a indicar as direc~oes e sentidos de

aplicac~ao. Podem ser aplicados tambem carregamentos concentrados diretamente aos nos da malha.

As cargas de corpo permitidas s~ao as decorrentes das tens~oes devidas a dilatac~ao termica do material,

quando submetido a um gradiente de temperatura. As cargas de corpo devidas ao peso proprio

n~ao s~ao atribudas diretamente ao elemento, devendo ser computadas em func~ao dos efeitos inerciais

(acelerac~oes como a gravitacional, por exemplo) em cada direc~ao. Nesse caso, os efeitos dinâmicos s~ao

tratados como carregamentos estaticos (Princpio de D'Alambert), sendo necessario atribuir um valor

ao parâmetro DENS. Observa-se que os efeitos decorrentes de acelerac~ao centrpeta tambem podem

ser considerados.

68

4.2.1 Estudo de Casos

A m de exempli car a uitlizac~ao do software Ansys na soluc~ao de problemas estruturais em três

dimens~oes, ser~ao estudados dois exemplos. O primeiro trata da simulac~ao do alongamento de uma bar-

ra de sec~ao constante, engastada e sob a ac~ao do peso proprio, analisando a convergência dos resultados

(Modelo Tridiemensional versus Unidimensional) a medida em se aumenta o comprimento em func~ao

das dimens~oes da sec~ao transversal. O segundo visa comparar os resultados analticos e numericos

para uma barra de sec~ao trasnversal variavel, usando diferentes tipos de elementos disponveis no

programa Ansys.

Barra tridimensional com sec~ao cosntante

Este exemplo visa ilustrar a aplicac~ao do programa de Elementos Finitos Ansys na soluc~ao do

problema de uma barra tridimensional engastada e submetida ao peso proprio. A Figura4.5 mostra

o esquema do problema. O material da barra e o aco estrutural comum, com modulo de elasticidade

E = 210 GPa, coe ciente de Poisson  = 0; 3 e massa espec ca  = 7885 kg=m3. A acelerac~ao da

gravidade foi cosiderada g = 9:816 m=s2. O tipo de elemento utilizado foi o o elemento hexaedrico de

8 nos e três graus de liberdade por no (SOLID45).

Figura 4.5: Barra tridimensional com sec~ao constante

Sabe-se que a soluc~ao unidimensional leva em conta apenas o deslocamento da linha neutra da

barra, desconsiderando os deslocamentos transversais da sec~ao, efeito de Poisson. A soluc~ao analtica

apresentada para o problema evidenciou que a soluc~ao para a linha neutra no modelo tridimensional

equivale a soluc~ao do modelo unidimensional e que, para comprimentos muito maiores que as dimens~oes

da sec~ao transversal, o erro presente no modelo unidimensional para pontos fora da linha neutra pode

ser desprezado.

O objetivo, nesse caso e fazer varias simulac~oes do problema tridimensional variando a raz~ao de

aspecto R = L

a , que indica a proporc~ao entre o comprimento e a largura da sec~ao transversal quadrada

e observar o comportamento da soluc~ao, ou seja, o desvio do resultado para o deslocamento de ponto

extremo da sec~ao (erro maximo) em relac~ao ao delsocamento da linha neutra (soluc~ao exata).

Foram feitas 10 simulac~oes com R variando de 1 a 10, nesse caso o comprimento foi mantido

constante, variando-se as dimens~oes da sec~ao transversal, veri cando-se o desvio da soluc~ao e entre

um ponto extremo (ponto maximo na diagonal) e um ponto na linha neutra pra varias sec~oes par-

tir do engaste. As Figuras 4.8 a 4.12 ilustram a malha de elementos utilizada e os resultados dos

deslocamentos na direc~ao axial e transversal para os casos R = 10 e R = 1.

69

Observou-se que, para pontos longe do engaste, o erro maximo obtido foi da ordem de 12%

(para R = 1) decaindo para valores menores que 1% (R = 10). A Figura 4.6 apresenta um gra co

que ilustra a variac~ao do desvio percentual da soluc~ao em func~ao da variac~ao da raz~ao de aspecto R,

percebendo-se claramente a convergência da soluc~ao para barras longas.

0 2 4 6 8 10 Razao de Aspecto R

0

2

4

6

8

10

12

D e s v i o %

Convergencia 3D x 1D

L6

L5

L4

Figura 4.6: Desvio da soluc~ao em func~ao de R

A seguir tem-se a listagem do arquivo de entrada de dados utilizado na simulac~ao.

! Analise Estatica de uma barra 3D, sob a acao da gravidade

! Iniciando o Pre-Processamento

/PREP7

/TITLE, TRACAO DE UMA BARRA 3D, RAZAO DE ASPECTO = 10

! Definindo o tipo de analise

ANTYPE,STATIC ! Analise Estatica

! Definindo o tipo de elemento

ET,1,SOLID45 ! Solido Estrutural 3D, Cubo de 8 nos e 3 DOFs por no

! Definindo as propriedades do material

MP,EX,1,210E9 ! Modulo de Elasticidade E = 210 GPa

MP,NUXY,1,.3 ! Coeficiente de Poisson NU = 0.3

MP,DENS,1,7885 ! Massa Especifica RO = 7885 Kg/m^3

! Definindo a Geometria da Estrutura

! Area da Secao A = B^2 = 1 m^2

! Comprimento L = 10 m

70

! Razao de Aspecto R = L/B = 10

! Definindo os "Keypoints"

K,1,.5,,.5

K,2,-.5,,.5

K,3,-.5,,-.5

K,4,.5,,-.5

K,5,.5,10,.5

K,6,-.5,10,.5

K,7,-.5,10,-.5

K,8,.5,10,-.5

V,1,2,3,4,5,6,7,8 ! Definindo o volume

SMRT,OFF ! Desativando o "SmartSizing" do gerador de malhas

! Definindo as dimensoes da malha de elmentos

LSEL,S,LINE,,5,11,2

LESIZE,ALL,,,6

LSEL,ALL

ESIZE,,6

MOPT,VMESH,ALTE

VMESH,1 ! Gerando a malha sobre o volume

OUTPR,BASIC,ALL

! Aplicando as condicoes de contorno

NSEL,S,LOC,Y,0

D,ALL,ALL ! Engastamento na base do modelo (Y=0)

NSEL,ALL

FINISH ! Finalizando o pre-processamento

! Iniciando o SOLVER

/SOLUTION

ACEL,0,-9.816,0 ! Aplicando o efeito da gravidade G = 9.816 m/s^2

SOLVE ! Resolvendo o probelma

FINISH ! Finalizando o SOLVER

! Iniciando o Pos-Processamento

/POST1

! Reorientando o modelo na area de trabalho

/VIEW,1,1

/VUP,1,-Y

! Visualizacao dos resultados

71

PLNSOL,U,Y ! Plotando os deslocamentos axiais (UY)

!PRNSOL,U,Y ! Listando os deslocamentos nodais (UY)

FINISH ! Fim da Analise.

Barra tridimensional com sec~ao variavel

Este exemplo encontra-se em detalhes no manual de veri cac~ao do software Ansys (Ansys Ver-

i cation Manual, VM37: Elongation of a Solid Bar).

O objetivo e determinar o alongamento axial maximo Æ de uma barra de aluminio de compri-

mento L, com sec~ao trasnversal variavel, engastada, submetida a um carregamento concentrado F e a

tens~ao axial yy atuante na sec~ao transversal situada em seu ponto medio L

2 . A Figura 4.7 apresenta

o esquema do probelma e o respectivo modelo de elementos nitos utilizado na soluc~ao. Nesse caso

foram considerados: L = 254 mm, d = 50; 8 mm, E = 70; 71 GPa,  = 0; 3, e F = 44; 48 kN .

(a) Esquema do Problema (b) Malha para SOLID45 ou SOLID73

Figura 4.7: Barra tridimensional com sec~ao variavel

O problema foi resolvido usando três tipos de elementos (SOLID45, SOLID72 e SOLID73) e seus

resultados ser~ao comparados com a soluc~ao analtica. As tabelas abaixo apresentam estes resultados.

A Figura 4.13 apresenta o resultado da simulac~ao para o deslocamento axial da barra utilizando o

elemento SOLID45.

SOLID45 Resultado Teorico Ansys Raz~ao

Æ (mm) 0,1221156 0,1208278 0,989

yy (MPa) (Elem. 4) 30,6403 30,6196 0,999

SOLID73 Resultado Teorico Ansys Raz~ao

Æ (mm) 0,1221156 0,1188364 0,973

yy (MPa) (Elem. 4) 30,6403 30,6403 0,999

SOLID72 Resultado Teorico Ansys Raz~ao

Æ (mm) 0,1221156 0,1194257 0,978

yy (MPa) (y = L

2 ) 30,6403 30,8540 1,007

72

Figura 4.8: Malha de Elementos para Barra com sec~ao constante

73

Figura 4.9: Deformac~ao Axial para R = 1

74

Figura 4.10: Deformac~ao Transversal para R = 1

75

Figura 4.11: Deformac~ao Axial para R = 10

76

Figura 4.12: Deformac~ao Transversal para R = 10

77

Figura 4.13: Deformac~ao Axial para o problema VM-37

78

Bibliogra a

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