Mecanica dos fluidos gabriel, Manual de Engenharia Química. Universidade de Taubaté (Unitau)
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jr25252 de agosto de 2015

Mecanica dos fluidos gabriel, Manual de Engenharia Química. Universidade de Taubaté (Unitau)

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Prof° J. Gabriel F. Simões 1

MECÂNICA DOS FLUIDOS

Capítulo 1

1.1- Introdução - Aplicações

Mecânica dos fluidos é a ciência que tem por objetivo o estudo do comportamento

físico dos fluidos e das leis que regem este comportamento.

Aplicações:

 Ação de fluidos sobre superfícies submersas. Ex.: barragens.

 Equilíbrio de corpos flutuantes. Ex.: embarcações.

 Ação do vento sobre construções civis.

 Estudos de lubrificação.

 Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica. Ex.: elevadores

hidráulicos.

 Cálculo de instalações hidráulicas. Ex.: instalação de recalque.

 Cálculo de máquinas hidráulicas. Ex.: bombas e turbinas.

 Instalações de vapor. Ex.: caldeiras.

 Ação de fluidos sobre veículos (Aerodinâmica).

1.2- Definição de fluido

Fluido é uma substância que não tem forma própria, e que, se estiver em repouso,

não resiste a tensões de cisalhamento.

Classificação - Líquidos:  admitem superfície livre

   são incompressíveis

   indilatáveis

Gases:  não admitem superfície livre

   compressíveis

   dilatáveis

Pressão (p)

A Fn

p =

Introdução Definição de Fluido

Propriedades

Prof° J. Gabriel F. Simões 2

Tensão de cisalhamento (τ )

A Ft=τ

1.3- Viscosidade absoluta ou dinâmica (µ)

Princípio da aderência:

As partículas fluidas junto ás superfícies sólidas adquirem as velocidades dos pontos

das superfícies com as quais estão em contato.

Junto à placa superior as partículas do fluido têm velocidade diferente de zero.

Junto à placa inferior as partículas têm velocidade nula.

Entre as partículas de cima e as de baixo

existirá atrito, que por ser uma força tangencial

formará tensões de cisalhamento, com sentido

contrário ao do movimento, como a força de

atrito.

As tensões de cisalhamento agirão em todas

as camadas fluidas e evidentemente naquela

junto à placa superior dando origem a uma

força oposta ao movimento da placa superior.

A.Ft A Ft τ==τ

Vo F

τ τ τ

Ft

τ V1

V2

1a.

Prof° J. Gabriel F. Simões 3

Quando FFt = a placa superior adquirirá movimento uniforme, com velocidade constante ov .

Lei de Newton: A tensão de cisalhamento τ é proporcional ao gradiente de velocidade dv/dy. O coeficiente de proporcionalidade µ: viscosidade absoluta ou dinâmica.

∴ dy dvµ=τ

Fluidos Newtonianos: os que seguem a Lei de Newton.

Simplificação prática:

Como ε é muito pequeno, na prática admite-se distribuição linear de velocidades, segundo a normal às placas.

=

∆∆

AC AB

'C'A 'B'A

'C'B'A ~ABC

.cte V

dy dv 0 =

ε =

dy dv

:Mas µ=τ

∴ .cte V0 = ε

µ=τ

Unidade de µ:

Prof° J. Gabriel F. Simões 4

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] (P) Poise 0,01 (cP) centiPoise 1 ""/.:...

/P :Obs .)..(P /.:...

/.:*

. /

,

. V

V

2

2 aa

2

2

2 2

00

0

= ==

=⋅==

=

= /

/=

===

PoisecmsdSGC

mNISsmsNSKM

mskgfSMK

L TF

TL L

L F

VA Ft

µ µ µ

µµ

εµετµ ε

µτ

1.4- Massa específica (ρ)

V m=ρ

Unidades:

[ ]

.

:C.G.S.

(S.I.) .

:...

. :..*.

.V m

4

2

3

4

2

3

4

2

3

4

2

3 2

cm sd

cm g

un

m sN

m kg

unSKM

m skgf

m utm

unSKM

L FT

L T L

F aV F

V a F

==

==

==

=====

ρ

ρ

ρ

ρρ

Ex.:

Água: ρ = 1000 kg / m³ ≅ 100 utm/ m³ = 1g / cm³ Mercúrio: ρ = 13600 kg/ m³ ≅ 1360 utm / m³ = 13,6 g/ cm³ Ar: ρ = 1,2 kg/ m³ ≅ 0,12 utm / m³ = 0,0012 g/ cm³

1.5- Peso específico (γ)

V G=γ

Unidades:

m = massa V = volume

G: Peso V: Volume

Prof° J. Gabriel F. Simões 5

3

3

3

).(

cm d

C.G.S.: un

IS m N

M.K.S.: un

m kgf

nM.K*.S.: u

=

=

=

γ

γ

γ

Ex.:

Água: γ = 1000 kgf/m³ ≅ 10000 N/m³ Mercúrio: γ = 13600 kgf/m³ ≅ 136000 N/m³ Ar: γ = 1,2 kgf/m³ ≅ 12 N/m³

Relação entre ρ e γ ==γ g

V m

V G

g ρ=γ

Peso específico relativo (γ r)

OH2 G

G r =γ Não tem unidades (n.º puro)

V V

G G

G V

G

VG

OHOH r

OHOH OH

OH

v

V G

22

22

2

2

γ γγ

γγ

γγ ==

  

 



==

==

OH r

2

γ γγ = =

OH r

2

ρ ργ =

Ex.: Água: γr = 1 Mercúrio: γr = 13,6 Ar: γr = 0,0012

1.6- Viscosidade cinemática (ν)

ρ µ=ν

Unidades:

Prof° J. Gabriel F. Simões 6

[ ] [ ][ ] [ ]

(St) stoke 0,01 (cSt) centiStoke 1 Stoke"" cm²/s un :C.G.S.

(S.I.) m²/s un :M.K.S. m²/s un :S. .*K M.

2

4

2

2

= ==

= =

=

//

==

/

/

ν ν

ν

ν ρ µν

T L

L FT L TF

Ex.: Água: m²/s10 6-=ν (20º C) OBS:

a) µ depende da temperatura (θ)

b) µ independe da pressão c)

µ = 1fluidez

EXERCÍCIOS:

1 - Um fluido tem massa específica ρ = 80 utm/m³. Qual é o seu peso específico e o peso específico relativo?

10 . 80. / 10

1000 2

3 2

== =

=

γργ

γ

g

smg

kgf/mDados OH

3 800 kgf/m

1000 800

OH r

2

= γ

γ=γ

8,0r =γ

Determinar a massa específica em g/cm³

Prof° J. Gabriel F. Simões 7

kg 10utm 1 ; k 10.80

80 33 ≅== m g

m utmρ

36

3

3

01

10 800800

cm

g m kg ==ρ

3cm/g 8,0=ρ

2 - A viscosidade cinemática de um óleo é s

m 028,0

2

, e o seu peso específico

relativo é 0,9. Determinar a viscosidade dinâmica em unidades dos sistemas M.K*.S.e C.G.S.

Dados:

?

9,0 /028,0

/8,9

/k 1000

2

2

3 2

= =

=

=

=

µ γ γ

γ

r

OH

sm

smg

mgf

OHr OH

r 2 2

.: de Cálculo

.

γγ=γ∴ γ

γ=γγ

ρν=µ∴ ρ µ=ν

 



==

=∴=

= =

3 42

2

3

/ . kgf 91,8 / /

. 8,9

900

g : de

900 1000 . 9,0

m utm

ms sm mkgf

gCálculo

kgf/m³MK*S

ρ

γρργρ

γ γ

3m utm

8,91S*MK =ρ

8,91 x 028,0:S*MK .: de Cálculo

=µ ρν=µµ

2s/m . 57,2 kgf

24

5

cm10 s . dina 10 . 8,9

57,2:.S.G.C =µ

)( /s . dina 8,251 2 Poisecm

s cm10

028,0 s

m 028,0

s/cm em Determinar 242

2

=

ν

s/cm280 2=ν (Stoke)

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3 - São dadas duas placas paralelas a distância de dois milímetros.

A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto que a inferior está

fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo

( )3utm/m 90 Stokes; 0,1 == ρν : a) Qual será a tensão de cisalhamento no óleo?

b) Qual a força necessária para rebocar a placa superior de área A = 0,5 m2 ?

24

5

s/m 10 9

90 10

kgfx

x

a)

=

=

=

µ µ

ρνµ

m10.2mm 2 s/m 4v

m/utm 90 s/m10s/cm 0,1

3 0

2

252

==ε =

=ρ ==ν

3 40

10 x 2 4

x10 x 9 v

. − −=

ε µ=τ

2kgf/m 8,1=τ

5,0 . 8,1 A. Ft F A Ft

)b =τ==∴=τ

kgfF 9,0=

4 - Uma placa quadrada de 1m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano

inclinado de 30º sobre uma película de óleo.

A velocidade da placa é de 2 m/s, constante.

Qual é a viscosidade dinâmica do óleo se a espessura da película é 2 mm ?

µ = ?

A = 1 m² G = 20N

Condição de V cte: Gt = Ft ( 1 )

Prof° J. Gabriel F. Simões 9

2

3-

tt t

t t

1 x 2 10 x 2 x 0,5 x 20

VA sen G

A v

sen G

:(1) em (3) e (2) doSubstituin

(3) A v

F A F A F

(2) sen GG G G

sen

αε=µ ε

µ=α

ε µ=∴τ==τ

α==α

2 2

s/m . N 10 −

=µ (Pa.s)

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Capítulo 2

2.1- Conceito de pressão

A Fn

P =

2

I

kgf/cm 2

50 100

P

=

==

I

I

P

A F

2 II

II

kgf/cm 1P

100 100

P

=

== IIA

F

2.2- Teorema de Stevin

“A diferença de pressões entre dois pontos de um fluido em repouso é o produto do

peso específico do fluido pela diferença de cotas entre os dois pontos considerados”.

Recipientes de base quadrada com água ( γ = 1000 kgf/m³ ) Qual a pressão no fundo dos recipientes?

Fn

Superfície de área A

0,5 m 0,5 m

2 m

(I)

1 m

1 m

2 m

(II)

2 m

2 m

2 m

(III)

Pressão Medida de Pressão

Carga Ampliação de forças por Intermédio da Pressão

Prof° J. Gabriel F. Simões 11

33

I

m 2 x 0,5 x 0,5 x kgf/m 1000

,P

(I)

=

===

I

II I

I

I

I

G

VG V G

onde A G γγ

25,0 500

P

m 0,25 0,5 x 0,5 A

kgf 500

I

2 I

=

==

=IG

2 I / 2000P mkgf=

1 2000

P

A G

P

(II)

II

II

II II

=

=

2

33

m 1 1 x 1

kgf 2000

m 2 x 1 x 1 x kgf/m 1000 .

==

= ==

II

II

IIII

A

G

VG γ

2kgf/m 2000=IIP

4 8000

P

A G

P

III

III

III III

=

=

2m 4 2 x 2

kgf 8000

2 x 2 x 2 . 1000 .

==

= ==

III

III

IIIIII

A

G

VG γ

2kgf/m 2000=IIIP

Genericamente:

A h.A.

A V

A G

P / /γ=γ==

hP γ=

( ) 

h

12

p

12 22

11 hhPP h P h P

∆∆

−γ=−   

γ= γ=

hP ∆γ=∆

Prof° J. Gabriel F. Simões 12

Observação importante:

a) O Teorema de Stevin só se aplica a fluidos em repouso.

b) ∆ h é a diferença de cotas e não a distância entre os dois pontos considerados. c) Todos os pontos de um fluido num plano horizontal tem a mesma pressão.

d) A pressão independe da área, ou seja, do formato do recipiente.

2.3- Lei de Pascal

“A pressão num ponto de um fluido em repouso é a mesma em todas as direções”.

Realmente, se tal não ocorresse, havendo desequilíbrio, teríamos movimento da

partícula fluida.

Lei de Pascal:

A pressão aplicada a um ponto de um fluido incompressível, em repouso, transmite-

se integralmente a todos os demais pontos do fluido.

P1 = 0,1 kgf/cm²

P2 = 0,2 kgf/cm²

P3 = 0,3 kgf/cm²

P4 = 0,4 kgf/cm²

2kgf/cm 1

100 100

=

==

P

A F

P

P1 = 0,1 + 1 = 1,1 kgf/cm²

P2 = 0,2 + 1 = 1,2 kgf/cm²

P3 = 0,3 + 1 = 1,3 kgf/cm²

P4 = 0,4 + 1 = 1,4 kgf/cm²

F

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2.4- Transmissão e Ampliação de uma força

a) Prensa hidráulica

∴=

==

=

A F

A F

: (2) e (1) de

(2) A F

P F A. P

(1) A F

P

2

2

1

1

2

2 22

1

1

1

2

1

2

A A

F F =

b) Cilindro b. 1 - Cilindro de ação simples

P.Ap F =

b. 2 - Cilindro de dupla ação ou regenerativo

( ) HPP

HPP

PA AP - AP F F A-A P A. P

+//= +=

Prof° J. Gabriel F. Simões 14

H A. P F =

2.5- Carga de pressão (h)

É a altura de fluido suportada por uma pressão. Ex.:

h p P P BA γ=== γ = ph

2.6- Escalas de pressão

a) Escala efetiva (relativa): É aquela que toma como referência (zero) a pressão

atmosférica. As pressões nessa escala dizem-se efetivas (relativas).

b) Escala absoluta: é aquela que toma como referência (zero) o vácuo absoluto. As

pressões nessa escala são chamadas absolutas.

Prof° J. Gabriel F. Simões 15

I - Comparação com as escalas de temperatura

II - Diagrama comparativo das duas escalas

atmefabs P P P ==

Ao nível do mar: Patm = 10330 kgf/m²

Pressão atmosférica

normal ou padrão Patm = 1,033 kgf/cm²

Observações importantes:

a) a - A pressão absoluta é sempre positiva.

b) b - A pressão efetiva pode ser positiva ou negativa.

Pressão efetiva negativa = “depressão” ou “vácuo”.

c) c - Indicação de pressão efetiva: 1 kgf/m².

d) d - Indicação de pressão absoluta: 1 kgf/m² (abs).

2.7- Unidades de pressão

a - Unidades de pressão propriamente ditas:

A Fn

P =

ºK

Prof° J. Gabriel F. Simões 16

Ex.:

dina/cm² ; N/m² ; kgf/m² ; N/cm²; kgf/cm² . Obs: N/m2=Pa; KPa=103Pa; MPa=106Pa

psi = lbf/pol2 ≅ 0,07 kgf/cm²

20 psi = 1,4 kgf/cm²

24 24

2 kgf/m 10 10

11 == − m kgf

kgf/cm

b - Unidades de carga de pressão utilizadas para indicar pressões:

γ = P h

Ex.:

m.c.a. (metros de coluna de água)

m.c.o. (metros de coluna de óleo)

mmHg,

m. c. ar, etc.

c - Transformações de unidades

psi 14,7 psi 07,0

033,1 kgf/cm 033,1

760 76,0 13600 10330

h

m.c.a. 33,10 1000 10330

;033110330

2

22

==

====

====

mmHgm P

P h kgf/cm, kgf/m

γ

γ

atm 1 psi 14,7 mmHg 760 101,325KPa101325Pa m.c.a. 10,33 / 033,1kgf/m 10330 22

=== ===== cmkgf

Exemplo:

Determinar o valor da pressão de 380 mmHg em kgf/cm² e psi na escala efetiva em

kgf/m² e atm na escala absoluta.

Dado: Patm = 10.330 kgf/m².

a - Escala efetiva

Prof° J. Gabriel F. Simões 17

a.1 - ] kgf/cm²

  

x - mmHg 380 kgf/cm 1,033 - mmHg 760 2 2/ 5165,0 cmkgfx =

a.2 - ] psi

  

y - mmHg 380 psi 14,7 - mmHg 760 psi 35,7y =

b - Escala absoluta

atmefabs PPP += b.1 - ] kgf/m² Pabs = z + 10330 kgf/m²

  

z - mmHg 380 kgf/m 10330 - mmHg 760 2 2/ 5165 mkgfz =

)( /k 15495 2 absmgfPabs =

b. 2 - ] atm 1 w Pabs +=

  

w- mmHg 380 atm 1 - mmHg 760 atm 5,0w =

)abs( atm 5,1Pabs =

2.8- Aparelhos medidores de pressão.

a - Barômetro (Medida da Patm)

Hg

atm Hg

P h

γ =

HgHgatm .hP γ=

Ao nível do mar: hHg = 760 mm Patm = 0,76 m x 13600 kgf/m³ 2/ 10330 mkgfPatm =

Prof° J. Gabriel F. Simões 18

b - Piezômetro

h . p γ=

Desvantagens: 1) Não serve para medir pressões de gases

2) Não serve para medir pressões negativas

3) Não serve para medir pressões elevadas

c - Manômetro com tubo em U

h . p γ=

Mede pressões positivas

h P-O h P-P 12

γ= γ=

h P γ−=

Prof° J. Gabriel F. Simões 19

Mede pressões negativas. O ponto mais baixo tem pressão maior que p, que é negativa.

Mede também pressões de gases.

d - Manômetro Metálico (Tipo Bourdon)

21m P - P P =

0P P Se atm2 == 1m P P =

22m

11m

21m

12m

P 0PP P 0PP

PPP PPP

D

C

B

A

=−= =−=

−= −=

Prof° J. Gabriel F. Simões 20

2.9- Equação Manométrica

Teorema de Stevin A e 1 AAA1 h.PP γ=− 1 e 2 1121 h.PP γ=− 2 e 3 2223 h.PP γ=− 3 e 4 3343 h.PP γ=− 4 e B BBB4 h.PP γ=−

BB332211AABA hhhh.hPP γ+γ+γ−γ+γ−=−

BBB332211AAA PhhhhhP =γ−γ−γ+γ−γ+

Regra prática:

Cotam-se os planos de separação dos diversos líquidos manométricos.

Em seguida, convencionalmente, percorre-se o manômetro da esquerda para a

direita somando (ou subtraindo) as pressões das colunas de fluidos conforme se

desça (ou suba) segundo os diversos ramos do manômetro.

( )

( )

BB332211AABA

BBB4BBB4

33433343

22232223

11211121

AAA1AAA1

hhhh.h.PP

h.PP h.PP h.PP h.PP h.PP 1Xh.PP

h.PP h.PP h.PP 1Xh.PP

γ+γ+γ−γ+γ−=−

γ=−/γ=− γ=/−/γ=−

γ−=/+/−−γ=− γ=/−/γ=−

γ−=+/−−γ=−

Prof° J. Gabriel F. Simões 21

Exercícios:

1 - Determinar a pressão p.

0 1020 - 25 P 0 0,075 . 13600 - 0,025 . 1000 P

P h.h.P

atm

HgHgOHOH 22

=+ =+

= =γ−γ+

2kgf/m 995P =

Dados:

  −

+= ==

=

=

atm x

atm m kgf

PPP

P, Se P

kgf/m

kgf/m

atmefabs

absatmatm

Hg

OH

9,0 1/10330

?90

13600

1000

2

3

3 2

γ

γ

2/ 9297 mkgf

9297995Pabs +=

)( / 10292 2 absmkgfPabs =

2 - Determinar a indicação do manômetro metálico da figura.

0'P'P ?Pm −=

=

2

1 / 1 cmkgfP =

= =γ−

0,15 x 13600P 0h.P

2

HgHg2 22

2 / 204,0/ 2040 cmkgfmkgfP ==

0,204 - 1 P - P P 21m ==

kgf/cm² 0,796 Pm =

Prof° J. Gabriel F. Simões 22

3 - Calcular Par e Pm nas escalas efetiva e absoluta.

Dados: 3

3

/ 850

/ 1000 2

mkgf

mkgf

óleo

OH

=

=

γ

γ 

− −

x 710 / 10330 760 3

mmHg

mkgfmmHg

mmHgP

mkgf

atm

Hg

740

/ 13600 3

=

=γ 2/ 10058 mkgfxPatm ==

680 700 4080 700P P 0,8 . 850 - 0,7 . 1000 - 0,3 . 13600 0,7 . 10000

?P ?Pa

ar

ar

abs arar

−−+= =++

==−

P = 3400 kgf/m²

100583400P PPP

abs

atmefabs

+= +=

)( / 13458 2abs absmkgfP =

M

Móleoóleoar

absMM

P 30,0 . 850 3400 Ph.P

?P ?Pb

=+ =γ+

==−

2 M / 3655 mkgfP =

100583655P PPP

absM

atmMabsM

+= +=

)( / 13713P 2 absmkgfabsM =

Prof° J. Gabriel F. Simões 23

4 - Calcular P para o equilíbrio do sistema FA = 20 kgf

Equilíbrio de momentos

10 x F 20 x 20 x F x F

B

BBAA

= = 

kgf 40 FB =

22

2

1 B2

2

B 2 1

2 2

B 2 12

B

1

5 25

40 d d

FP d F

d P

4 d

F

4 d P

A F

A P

 



= 



==

/ π/

=

/ π

=

F = 1000 kgf

5 - Calcular o valor do peso G.

Prof° J. Gabriel F. Simões 24

2 5

2 4

2 3

2 2

2 H

2 1

cm10A cm20A

cm5A cm5,2A

cm2A cm10A

1

= = = = =

=

33

2 1

/ 0136,0/ 13600

200 2

/ 5

cmkgfmkgf

cmmh

cmkgfP

Hg ==

== =

γ

Considerar o ar incompressível.

Desprezar o peso do pistão.

G = ?

5,2 . 72,2.'

/ 72,2/ 27200'

'2 13600 '0:F de Cálculo

222

22 2

222

== ==

=∴=+

APF

cmkgfmkgfP

PxPhHgγ

kgf 6,8F2 =

5.10 A. P F : F de Cálculo 1111 ==

F = 50 kgf

( ) 8 2,43

A F

P:P de Cálculo

kgf 43,2FFF

11 22

21

= − ∆=

=−=∆

HA

P2 = 5,4 kgf/cm²

20 27

A F

F:F de Cálculo 4

3 33 ==

P3 = 1,35 kgf/cm²

G = P3 . A5 = 1,35 . 10

G = 13,5 kgf

Prof° J. Gabriel F. Simões 25

Capítulo 3

3.1- Noções Fundamentais

Movimento permanente

Quando fixado um ponto num sistema de referência, neste ponto, com o decorrer do

tempo, não mudam as propriedades.

Ex.:

instante inicial instante t qualquer

Movimento variado

Ex.:

Em caso contrário

instante inicial instante t

Vazão em volume (Q)

Noções fundamentais de Escoamento de Fluidos Equação da Continuidade

2 m/s 4 m/s 6 m/s

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