Mecânica dos Materiais - Apostilas - Engenharia de Produção, Notas de estudo de Engenharia de Produção
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Apostilas de Engenharia de Produção sobre o estudo da Mecânica dos Materiais, Sistema Internacional de Unidades, Trigonometria, Alfabeto Grego, Momento de um sistema de forças coplanares, Lei de Hooke, Coeficiente de Poi...
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Microsoft Word - Mecanica-a.doc

RICARDO GASPAR

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Notas de aula da disciplina Resistência

dos Materiais ministrada pelo

Prof. Leandro Mouta Trautwein ao

curso de Engenharia Civil do Centro

Universitário Nove de Julho.

São Paulo 2005

Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar

SUMÁRIO 1MECÂNICA _____________________________________________________________________ 11.1Introdução ____________________________________________________________________ 11.2Conceitos Fundamentais _________________________________________________________ 21.3Sistema Internacional de Unidades _________________________________________________ 21.4Trigonometria__________________________________________________________________ 41.5Alfabeto Grego _________________________________________________________________ 62ESTÁTICA ______________________________________________________________________ 72.1Forças no plano ________________________________________________________________ 72.2Equilíbrio de um ponto material ___________________________________________________ 72.3Resultante de uma força _________________________________________________________ 82.4Momento de uma força _________________________________________________________ 142.4.1Momento de um sistema de forças coplanares _____________________________________ 142.4.2Teorema de Varignon ________________________________________________________ 142.4.3Momento de um binário ______________________________________________________ 152.4.4Equilíbrio de corpos rígidos ___________________________________________________ 182.5Apoios _______________________________________________________________________ 192.6Tipos de Estruturas ____________________________________________________________ 202.6.1Estruturas hipostáticas _______________________________________________________ 202.6.2Estruturas isostáticas_________________________________________________________ 202.6.3Estruturas hiperestáticas______________________________________________________ 203TRELIÇAS _____________________________________________________________________ 213.1Definição ____________________________________________________________________ 213.2Método do equilíbrio dos nós _____________________________________________________ 224TENSÕES E DEFORMAÇÕES_____________________________________________________ 284.1Introdução ___________________________________________________________________ 284.2Diagrama tensão-deformação ____________________________________________________ 294.3Tensão admissível______________________________________________________________ 304.4Lei de Hooke__________________________________________________________________ 304.4.1Coeficiente de Poisson________________________________________________________ 324.4.2Forma geral da Lei de Hooke __________________________________________________ 324.5Estruturas estaticamente indeterminadas ___________________________________________ 354.6Tensões iniciais e Tensões Térmicas _______________________________________________ 384.7Tensão de cisalhamento_________________________________________________________ 415CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS _________________________ 445.1Área_________________________________________________________________________ 445.2Momento Estático______________________________________________________________ 455.3Centro de Gravidade____________________________________________________________ 465.4Momento de Inércia ____________________________________________________________ 505.5Translação de eixos ____________________________________________________________ 515.6Módulo Resistente _____________________________________________________________ 535.7Raio de Giração _______________________________________________________________ 546ESFORÇOS SOLICITANTES ______________________________________________________ 576.1Introdução ___________________________________________________________________ 576.2Classificação dos esforços solicitantes _____________________________________________ 576.3Convenção de sinais____________________________________________________________ 587VIGAS _________________________________________________________________________ 607.1Introdução ___________________________________________________________________ 607.2Tipos de cargas________________________________________________________________ 607.2.1Cargas distribuídas __________________________________________________________ 607.3Apoios ou vínculos _____________________________________________________________ 617.4Equações diferenciais de equilíbrio________________________________________________ 758TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO _________________________________________ 858.1Hipóteses admitidas ____________________________________________________________ 858.2Tensões normais na flexão ______________________________________________________ 868.3Tensões de cisalhamento na flexão ________________________________________________ 929DEFORMAÇÕES NAS VIGAS _____________________________________________________ 97BIBLIOGRAFIA ____________________________________________________________________ 104

Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar

LISTA DE SÍMBOLOS letras maiúsculas A área E módulo de elasticidade F força I momento de inércia L comprimento M momento, momento fletor Ms momento estático N força normal P carga concentrada R resultante de forças, esforço

resistente S esforço solicitante V força cortante letras minúsculas a aceleração b largura g aceleração da gravidade h dimensão, altura l comprimento m metro, massa max máximo min mínimo q carga distribuída s segundo v deslocamento vertical x distância da linha neutra ao ponto de

maior encurtamento na seção transversal de uma peça fletida

letras gregas α, θ ângulo, coeficiente δ deslocamento φ diâmetro ε deformação específica

fγ coeficiente de majoração das ações σ tensão normal σ tensão normal admissível τ tensão tangencial τ tensão tangencial admissível υ coeficiente de Poisson índices adm admissível c compressão f ação t tração, transversal w alma das vigas max máximo min mínimo

Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar

1

MECÂNICA DOS MATERIAIS

1 MECÂNICA

1.1 Introdução

A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos movimentos. A Mecânica descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob a ação de forças.

A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, fornecendo, assim, os fundamentos para as aplicações da Engenharia.

A Mecânica é subdividida em três grandes ramos: Mecânica dos Corpos Rígidos, Mecânica dos Corpos Deformáveis e Mecânica dos Fluídos, como indicado abaixo.

Estática Mecânica dos corpos rígidos Cinemática Dinâmica Mecânica Mecânica dos corpos deformáveis Resistência dos Materiais Fluídos incompressíveis → líquidos Mecânica dos fluídos Fluídos compressíveis → gases

Mecânica dos corpos rígidos: é subdividida em Estática, Cinemática e Dinâmica.

A Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em equilíbrio, independentemente do movimento por elas produzido. Na Estática, os corpos analisados são considerados rígidos, conseqüentemente, os resultados obtidos independem das propriedades do material.

A Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem: • movimento uniforme – móvel percorrendo espaços iguais em tempos iguais para

quaisquer trechos de trajetória; • movimento uniformemente variado – a velocidade do móvel varia de valores iguais

em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o movimento será uniformemente acelerado; se houver decréscimo, o movimento será uniformemente retardado;

movimentos de rotação. A Dinâmica estuda a relação entre o movimento e a causa que o produz (força).

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2

Mecânica dos corpos deformáveis: as estruturas e as máquinas nunca são absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação das cargas a que estão submetidas. Estas deformações são geralmente pequenas e não alteram apreciavelmente as condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada.

No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura do material. A Mecânica dos corpos deformáveis é estudada pela Resistência dos Materiais, Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos, como também são conhecidas.

O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação da resistência mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais.

Mecânica dos fluídos: A Mecânica dos Fluídos é subdividida no estudo dos fluidos incompressíveis (líquidos) e fluidos compressíveis (gases). Uma importante subdivisão do estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica.

1.2 Conceitos Fundamentais

Os conceitos fundamentais da Mecânica baseiam-se na Mecânica Newtonia:

• espaço: o conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto material, o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos a partir de um certo ponto de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Estes comprimentos são conhecidos como as coordenadas do ponto;

• tempo: para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no espaço. O tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser dado;

• força: a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que tende a produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um vetor;

1.3 Sistema Internacional de Unidades

O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e unidades derivadas.

As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As unidades derivadas são, entre outras, força, trabalho, pressão, etc...

As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as três unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as medições.

A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F=m.a (segunda Lei de Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2.

As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos chamados dinamômetros.

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3

O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da Equação P=m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um corpo de massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a aceleração da gravidade.

A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular à direção da força 2/ mNPa = . Pascal é também unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento).

Múltiplos e submúltiplos

Nome Símbolo fator pelo qual a unidade é multiplicada exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 tera T 1012 = 1 000 000 000 000 giga G 109 = 1 000 000 000

mega M 106 = 1 000 000 quilo k 103 = 1 000 hecto h 102 = 100 deca da 10 deci d 10-1 = 0,1 centi c 10-2 = 0,01 mili m 10-3 = 0,001

micro µ 10-6 = 0,000 001 nano n 10-9 = 0,000 000 001 pico p 10-12 = 0,000 000 000 001

femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001

Conversão de Unidades

A unidadeé equivalente a1MPa 1 N/mm2 1 MPa 1 x 106 N/m2 1 GPa 1 x 109 N/m2

1 m 100 cm 1 cm 0,01 m 1 kgf 9,81 N 1 kgf 2,20 lb

1 polegada (ou 1") 2,54 cm 1 m2 10000 cm2

Exemplo de conversão de medidas de pressão:

422 10× ==

cm N

m NPa

1010 1010

242

6

2

6

× =

× ×

= ×

= cm

kN cm N

m NMPa

2

2

42

9

2

9 10 10

1010 cm

kN cm N

m NGPa ×=

× ×

= ×

=

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4

1.4 Trigonometria

Para o estudo da Mecânica necessitam-se dos conceitos fundamentais da trigonometria.

A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo.

Círculo e Funções Trigonométricas

EFsen OF=αcos

ABtg

DCg =αcot

OB=αsec OCec =αcos 1== ROE

Triângulo retângulo No triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90º e é determinada pela relação: 222 cba += .

Relações trigonométricas

a c

hipotenusa opostocatetosen ==α

a b

hipotenusa adjacentecateto

==αcos

b c

adjacentecateto opostocatetotg ==α

b a

adjacentecateto hipotenusa

==αsec

b carctg

a carcsen

a barccos=α

bC

a

α

A

B

c

triângulo retângulo

Relação fundamental da trigonometria: 1cossen 22 =+ xx

Razões Trigonométricas Especiais

30º 45º 60º

Seno 2 1

2 2

2 3

Cosseno 2 3

2 2 2

1

Tangente 3 3 1 3

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5

Exemplos 1. Calcule o valor de c da figura

20 º30 csen =

202 1 c =

202 =c mc 10=

2. Determine o valor de b da figura

20 º30cos b=

202 3 b =

3202 =b mb 310=

b

20 m

30°

c

3. Calcule o valor de a da figura 222 34 +=a

22 34 +=a ma 5=

4. Determine o valor do ângulo α da figura

4 3arctg=α º87,36=α

4 m

α

a 3 m

Triângulo qualquer

Lei dos senos: R C

c B

b A

a 2 sensensen

===

Lei dos cossenos

Abccba cos2222 ×−+=

Baccab cos2222 ×−+=

Cabbac cos2222 ×−+=

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6

1.5 Alfabeto Grego

Os problemas usuais em engenharia são definidos por formulações matemáticas, as quais, usualmente, utilizam letras do alfabeto grego. É, pois, necessário, seu conhecimento para as práticas comuns da Engenharia.

Alfabeto Grego

Símbolo Nome

Maiúscula Minúscula

Alfa Α α Beta Β β Gama Γ γ Delta ∆ δ Épsilon Ε ε Zeta Ζ ζ Eta Η η Teta Θ θ Iota Ι ι Capa Κ κ Lambda Λ λ Mi Μ µ Ni Ν ν Csi Ξ ξ Ômicron Ο ο Pi Π π Rô Ρ ρ Sigma Σ σ Thau Τ τ Upsilon Υ υ Phi Φ ϕ Chi Χ χ Psi Ψ ψ Omega Ω ω

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2 ESTÁTICA

2.1 Forças no plano

A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.

A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI).

A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura 1 abaixo.

F

α

F

α

Figura 2.1

O sentido da força é indicado por uma seta (vetor).

Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto de um corpo.

Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo.

2.2 Equilíbrio de um ponto material

Ponto material é uma pequena porção de matéria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espaço.

Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é nula, este ponto está em equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: “se a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em repouso (se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com velocidade constante (se originalmente estava em movimento)”.

Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto material, escreve-se:

0==Σ RF onde: F = força R = resultante das forças

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8

A representação gráfica de todas as forças que atuam em um ponto material pode ser representada por um diagrama de corpo livre, como indica a figura ao lado.

F3

F2

A

F4 F1

Figura 2.2

Exemplo: verificar se o sistema de forças indicado está em equilíbrio

As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio são:

0=Σ xF 0º302000º3010001500 =−−=Σ sensenFx

010005001500 =−−=Σ xF ok

0=Σ yF 0866º30cos1000º30cos2000 =−−=Σ yF

08668661732 =−−=Σ yF ok

xA F = 1500N1

F = 1000N3 F = 866N2 30°

y

F = 2000N4 30°

Resposta: O sistema de forças está em equilíbrio

2.3 Resultante de uma força

Constata-se experimentalmente que duas forças P e Q que atuam sobre um ponto material podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto material. Essa força é chamada de resultante de P e Q. Portanto, a resultante de um grupo de forças é a força que, atuando sozinha, produz ação idêntica à produzida pelo grupo ou sistema de forças. A resultante pode ser determinada por soluções gráficas ou analíticas.

a) Soluções gráficas: quando um ponto material está em equilíbrio sob a ação de mais de três forças o problema pode ser resolvido graficamente pelo desenho de um polígono de forças, como indicado nas figuras abaixo.

Regra do paralelogramo

Q

A P A P

Q R R

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Regra do Triângulo

A

Q

A

R=P+Q

P

Q

P

R=P+Q

Composição de forças

R=F1+F2-F3

F3

R=F1+F2

F1

F1

R=F1+F2+F3

F2

F3

F3

F2 F3

Decomposição de forças F

Fx

y

x

y

F

b) Soluções analíticas: os métodos analíticos utilizam a trigonometria e as equações de equilíbrio.

Exemplos

Determinar a Resultante das duas forças P e Q agem sobre o parafuso A.

Q=60 N

25º

20ºA P=40 N

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a. Soluções gráficas

35.0°

R=98 N

A 20º 25º

P=40 N

Q=60 N

R=98 N

Q=60 N

A P=40 N 35.0°

Regra do paralelogramo Regra do triângulo

b. Solução analítica: trigonometria

Cálculo da força resultante: Lei dos cossenos: BPQQPR cos2222 −+=

º155cos604024060 222 ×××−+=R NR 7,97=

Cálculo do ângulo α Lei dos senos

R senB

Q senA

= 7,97

º155 60

sensenA =

25,0=senA º15=A º20+= Aα º35º20º15 =+=α

A

R Q=60 N

α

P=40 N

B 155°

C

Sabendo-se que o parafuso está fixo, portanto em equilíbrio, existem forças de reação que equilibram as forças Q e P. Este princípio é explicado pela terceira lei de Newton: “A toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade, mesma direção e sentido contrário”. Portanto, o parafuso está reagindo por uma força de mesma intensidade da resultante de P e Q, mas em sentido contrário. A força de reação pode ser decomposta em duas forças Fx e Fy, que são suas projeções sobre os eixos (x e y).

NFx 80º35cos7,97 =×= NsenFy 56º357,97 =×=

A

R=97,7 N

35°

Fx=80 N 20º

Fy=56 N

R=97,7 N

P=40 N 25º

Q=60 N

35.0°

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Verificação do equilíbrio do ponto A Para que o ponto A esteja em equilíbrio é necessário que a somatória de todas as forças que

agem no ponto A sejam nulas, ou seja: 0 1

=∑ =

n

i nF

y

Q=60 N

Fy=56 N

x

25º

20ºAFx=80 N P=40 N

∑ = 0xF ∑ =−×+×= 080º20cos40º45cos60xF 00 = ok ∑ = 0yF ∑ =−×+×= 056º2040º4560 sensenFy 00 = ok

Um caso particular da terceira lei de Newton é a lei da gravitação que trata da atração da Terra sobre um ponto material localizado em sua superfície. A força de atração exercida pela Terra sobre o ponto material é definida como o seu peso (P). a intensidade do peso P de um ponto material de massa m é expresso como.

gmP ⋅=

onde g=9,81 m/s2 é a aceleração da gravidade.

2. Determinar as forças nos cabos.

gmP ⋅=

( )2/81,9)(75 smkgP ×= NP 736=

30°50° A

75 kg

C B

736 N

80°

60° ACT

40°

TAB

solução gráfica: desenho do polígono de forças.

º80 736

º40º60 sensen T

sen T ACAB ==

TAB = 647 N e TAC = 480 N

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12

50° 30°

A

736 N

TAB

ACT

solução analítica: equações de equilíbrio. 0=Σ xF

0º50cosº30cos =⋅−⋅ ABAC TT

º30cos º50cos⋅

= ABAC TT (1)

0=Σ yF 0736º30º50 =−⋅+⋅ senTsenT ACAB

Substituindo TAC pela relação (1), tem-se

736º30 º30cos

º50cosº50 =⋅⋅+⋅ senTsenT ABAB

TAB = 647 N e TAC = 480 N

Exercícios 1. Determinar a força F e o ângulo α.

A AT =2,5 kN BT = 2,5 kN

F y

α x

50°20°

C

20° B50°

α

F

Respostas: F=2,85 kN e α = 74,7º

2. Determinar as forças nos cabos

x

y

60°

20°

AT

TB

P

m=50 kg

A 60°

20°

B

Respostas: TA = 761,3 N e TB = 381 N

3. Determinar a resultante do sistema de forças indicado e o seu ângulo de inclinação em relação ao eixo x.

70°

F = 15 N3

F = 10 N1

x50°

F = 20 N2

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Roteiro:

a. Determinar inicialmente a resultante entre as forças F1 e F2 e seu respectivo ângulo (α12) em relação ao eixo x. Chamar a resultante de R12;

b. Em seguida, determinar a resultante de todo o sistema, chamando-a de R123 (R123 é a resultante entre R12 e F3);

c. Finalmente, determinar o ângulo (α123) de R123 em relação ao eixo x.

Respostas: R123 = 32,19 N e α123 = 61,46º

4. Determinar o valor da força F.

a) y

x

159,65 N

300 N

20°

60°

F

b)

x

F60°

346,41 N

30°

200 N y

Resp. F = 314,41 N Resp. F = 400 N c)

F

y

x

45°

45°

141,42 N

141,42 N

d) y

x

F30°

60°

45°

250 N

120 N 91,9 N

Resp. F = 200 N Resp. F = 255,45 N e)

329,36 N

100 N

100 N

F

60°

70°

45°

x

y

f)

65°

61 kg

45°

F 450 N

Resp. F = 321,74 N Resp. F=268,95 N

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2.4 Momento de uma força

Define-se Momento como a tendência de uma força F fazer girar um corpo rígido em torno de um eixo fixo. O Momento depende do módulo de F e da distância de F em ao eixo fixo.

Considere-se uma força F que atua em um corpo rígido fixo no ponto 0, como indicado na figura.

A força F é representada por um vetor que define seu módulo, direção e sentido. O vetor d é a distância perpendicular de 0 à linha de ação de F.

0

A

d

M0 F

Define-se o momento escalar do vetor F em relação a 0, como sendo

dFM ×=0

onde: M0= momento escalar do vetor F em relação ao ponto 0 0 = pólo ou centro de momento d= distância perpendicular de 0 à linha de ação de F, também chamada de braço de

alavanca

O momento M0 é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O sentido de M0 é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F.

Convenciona-se momento positivo se a força F tender a girar o corpo no sentido anti-horário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário.

M-M+

No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m). Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m).

2.4.1 Momento de um sistema de forças coplanares

Chama-se Momento de um sistema de forças coplanares S={(F1,A1),....,(Fn,An)} em relação ao ponto 0, à soma algébrica dos Momentos de cada força em relação ao mesmo ponto 0.

0 A

A

F F

3 1

1 2

A 2b1 b2

b3 F3

∑ =

= n

i FS i

MM 1

0,0,

2.4.2 Teorema de Varignon

Seja R a resultante do sistema de forças S. “O Momento da resultante de um sistema de forças em relação a um ponto é igual ao momento do sistema ou seja, a soma algébrica dos Momentos de todas as forças componentes em relação ao mesmo ponto O”.

∑ =

== n

i FSR i

MMM 1

0,0,0,

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2.4.3 Momento de um binário

Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes das duas forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. Apesar de as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo girar.

b

1-F 2A

A1 F1

Exemplos

1. Uma força de 450 N é aplicada no ponto A como ilustrado na figura. Determinar:

a) o momento da força em relação a D;

b) a menor força aplicada em D que ocasiona o mesmo momento em relação a D;

c) o módulo e o sentido da força vertical que, aplicada em C, produz o mesmo momento em relação a D;

d) a menor força que, aplicada em C, ocasiona o mesmo momento em relação a D.

B

30°

A

D

22 5m

m

225mm C

12 5m

m

300mm 450 N

30°

B

197.3mm

22 5m

m

C225mm

52.6°

D12 5m

m

300mm

37.4°325 30°

22.6° A

450 N

Solução

a) braço de alavanca 197,3 mm

Momento M=F×b

M=450×197,3= 88785 N.mm ou

M= 88,8 N.m

B

30°

A

22 5m

m 375 mm

225mm C 53.1°

36.9°

12 5m

m

D

300mm 450 N

b) Para se obter a menor força aplicada em B que ocasiona o mesmo momento em relação a D, deve-se utilizar o maior braço de alavanca, ou seja:

375300225 22 =+=b mm

b MF = 8,236

375,0 8,88 ==F N

c) b MF = 7,394

225,0 8,88 ==F N

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d) A menor força que, aplicada em C, ocasiona o mesmo momento em relação a D é aquela cujo braço de alavanca é o maior possível, ou seja:

2,318225225 22 =+=b mm

b MF = 279

3182,0 8,88 ==F N

30°

318,2 mm22 5m

m

C225mm

D1 25

m m

300mm

B

A

450 N

2. A figura abaixo representa uma junta rebitada, composta por dois rebites de mesmo diâmetro. Determinar as forças horizontais e verticais atuantes nos rebites.

Como os rebites são iguais, as cargas e as reações verticais em cada rebite também são iguais: RAV= RBV= 3000÷2= 1500 N.

O rebite A está sendo “puxado” para a direita, portanto, possuirá uma reação horizontal para a esquerda;

O rebite B está sendo “empurrado” para a esquerda, portanto, possuirá uma reação horizontal para a direita.

Determinação dos esforços horizontais: ∑ = 0AM RBH×200=3000×600 = 9000 N RAH= RBH=9000 N

B

RBV

ARAH

RAV

RBH

20 0m

m

600mm

3000 N

3. Determinar o Momento em A devido ao binário de forças ilustrado na figura

MA= F×b

MA= 500×0,12 = 60 N.m

30 0m

m

12 0m

m

F1=500 N

F2=500 N

A

30°

B

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4. Substituir o binário da figura por uma força F vertical aplicada no ponto B.

F1=F2= 500 N

MA= F×b

b MF = 400

15,0 60 ==F N

30 0m

m

150mm

AM =60N.m

12 0m

m

A

30°

F=400 N

B

5. Substituir o binário e a força F ilustrados na figura por uma única força F=400 N, aplicada no ponto C da alavanca. Determinar a distância do eixo ao ponto de aplicação desta força.

MA= (400×0,15) + (200×0,12) = 84 N.m

F Md = 21,0

400 84 ==d m = 210 mm

420 º60cos

210 ==AC mm

30 0m

m 12

0m m

AM

200 N

200 N

d=210mm

150mm

A

30°

F=400 N AC

B

C

5. Determinar a intensidade da força F para que atue no parafuso o torque (momento) de 40 N.m.

217 º23cos

200 ==a mm = 0,217 m

MA= F×b

b MF = 1,184

217,0 40 ==F N

6. Um grifo é utilizado para rosquear um tubo de φ 20 mm a uma luva, como mostra a figura. Determinar a intensidade da força F exercida pelo grifo no tubo, quando a força aplicada no aperto for 40 N.

∑ = 0AM 40 × 180 = F × 30

240 30

18040 =

× =F N

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2.4.4 Equilíbrio de corpos rígidos

Um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças externas que atuam sobre ele formam um sistema de forças equivalente a zero, isto é, quando todas as forças externas podem ser reduzidas a uma força nula e a um binário nulo.

0=ΣF 00=ΣM

As expressões acima definem as equações fundamentais de Estática.

Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas, encontram-se as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço:

x 0

y

z

0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ zF

0=Σ xM 0=Σ yM 0=Σ zM

Equilíbrio ou em duas dimensões As condições de equilíbrio de um corpo rígido simplificam-se consideravelmente no caso de uma estrutura bidimensional. Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura, tem-se:

x 0

y

0=zF 0== yx MM 0MM z=

para cada uma das forças aplicadas ao corpo rígido, então as seis equações de equilíbrio no espaço reduzem-se a:

0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ AM

onde A é um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas três equações podem ser resolvidas para um máximo de três incógnitas.

O equilíbrio em duas dimensões é também conhecido como equilíbrio no plano.

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2.5 Apoios

Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as

forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo

rígido está apoiado.

Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e

recebem a seguinte classificação:

Apoio móvel

ou

• Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao

plano do apoio;

• Permite movimento na direção paralela ao plano do

apoio;

• Permite rotação.

Apoio fixo

• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;

• Impede movimento na direção paralela ao plano do

apoio;

• Permite rotação.

Engastamento

• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;

• Impede movimento na direção paralela ao plano do

apoio;

• Impede rotação.

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2.6 Tipos de Estruturas

As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada.

Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais:

0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ AM

2.6.1 Estruturas hipostáticas

Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é inferior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.

A figura ao lado ilustra um tipo de estrutura hipostática. As incógnitas são duas: RA e RB. Esta estrutura não possui restrição a movimentos horizontais.

L

P

A RB

B

R

A

2.6.2 Estruturas isostáticas

Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é igual ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.

No exemplo da estrutura da figura, as incógnitas são três: RA, RB e HA. Esta estrutura está fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente pelas equações fundamentais da Estática.

RA

A

HA

L

P

RB

B

2.6.3 Estruturas hiperestáticas

Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é superior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.

Um tipo de estrutura hiperestática es’ta ilustrado na figura ao lado. As incógnitas são quatro: RA, RB, HA e MA. As equações fundamentais da Estática não são suficientes para resolver as equações de equilíbrio. São necessárias outras condições relativas ao comportamento da estrutura, como, p. ex., a sua deformabilidade para determinar todas as incógnitas. RA RB

HA A

AM

L

P

B

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3 TRELIÇAS

3.1 Definição

Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados unicamente nos nós.

Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um mesmo plano.

Para se calcular uma treliça deve-se:

a) determinar as reações de apoio;

b) determinar as forças nas barras.

A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é: vbn +=2

onde: b= número de barras n= número de nós v= número de reações de apoio

Adota-se como convenção de sinais:

barras tracionadas: positivo setas saindo do nó

barras comprimidas: negativo setas entrando no nó

Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e analíticos.

Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós, abaixo exemplificado.

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3.2 Método do equilíbrio dos nós

Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio.

No caso da treliça da figura, no nó A tem-se um apoio móvel e no nó B, um apoio fixo.

Como os apoios móveis restringem somente deslocamentos os perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical RA.

Como os apoios fixos restringem deslocamentos paralelos e perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical RB e uma reação horizontal HE.

C

RA

A F 2 m

B

50 kN 100 kN

D

2 m

RE

E

α

2 m

HE

50 kN

Verificar se a treliça é uma estrutura isostática

barras b = 9 nós n = 6 reações v = 3

vbn +=2 Conclusão:

3962 +=× a treliça é uma estrutura isostática

Cálculo do ângulo de inclinação das barras º45 2 2 ===

adjacentecateto opostocatetoarctgα

a) Cálculo das reações de apoio Equação de equilíbrio das forças na horizontal:

0=Σ HF conclusão: HE = 0

Equação de equilíbrio das forças na vertical:

0=Σ VF 05010050 =−−−+ EA RR 200=+ EA RR kN (1)

Equação de equilíbrio de momentos:

Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o nó A como referência, tem-se

0=Σ AM 021004504 =×−×−× ER 4 400 =ER 100=ER kN

Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se:

200100 =+AR kN logo 100=AR kN

b) Cálculo das forças nas barras Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori se as forças nas barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor

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