Mecanismos - Dinâmica Dos ... Cinematica dos mecanismos - mecaplic - cap2, Notas de estudo de Engenharia Mecânica
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cames, biela, manivela, quadrilatero articulado
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MECÂNICA APLICADA

MECÂNICA APLICADA

Capítulo II

ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS ARTICULADOS

Curso de Licenciatura em Engenharia Mecânica

Departamento de Engenharia Mecânica Escola de Engenharia

UNIVERSIDADE DO MINHO

J.C.Pimenta Claro [e-version: 2004]

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 1

2.1 INTRODUÇÃO

Duas definições se impõem no início deste capítulo, a saber:

MECANISMO - conjunto de elementos que, interactuando, produzem um movimento específico.

CINEMÁTICA - estudo do movimento em si, não considerando as forças que o produzem; isto é, o estudo da posição, geometria, deslocamento, rotação, velocidade e aceleração num mecanismo.

2.2 ALGUNS CONCEITOS DE ANÁLISE VECTORIAL

2.2.1 Sistemas de Coordenadas

Os sistemas usualmente empregues na análise vectorial aplicada ao estudo da cinemática de mecanismos articulados são os de coordenadas cartezianas e de coordenadas polares, representados esquemáticamente nas Fig.2.1(a) e (b), respectivamente.

(a) (b)

Fig.2.1 - Sistemas de coordenadas

2.2.2 Notação vectorial

Usar-se-á, como norma, a seguinte notação:

letra maiúscula - vector (magnitude + direcção + sentido) - ex.: R - componente do vector, numa dada direcção - ex.: Rx

letra minúscula - magnitude do vector (valor escalar) - r - magnitude do vector, numa da direcção - rx (pode, alternativamente, ser utilizada a forma rx) - versores, nas direcçõs coordenadas - î , j , k

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Por sua vez, um vector poderá ser representado e quantificado de diferentes formas. Assim, e para o exemplo da Fig.2.2, teremos:

R = Rx + Ry (em coordenadas.cartezianas) = r ∠ θ (em coordenadas polares)

r = rx î + ry j (em coordenadas cartezianas) = rx + ry i (em coordenadas cartezianas e notação complexa) = r ⋅ eiθ (em coordenadas polares e notação complexa)

Fig.2.2 - Vector num espaço bidimensional

De notar que, geometricamente,

rx = r ⋅ cos θ

ry = r ⋅ sen θ

r = [ (rx)2 + (ry)2 ]½

θ = arctan (ry/rx)

sendo de recordar que, i = √ -1 eiθ = cos θ ± isen θ

2.2.3 Operações com Vectores

2.2.3.1 Adição e subtracção

Graficamente, estão representadas na Fig.2.3 as duas operações,

(a) adição (b) subtracção

Fig.2.3 - Operações com vectores

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que, em termos analíticos e coordenadas cartezianas, se traduzem por:

A + B = (ax + bx) î + (ay + by) j(2.1)

A - B = (ax - bx) î + (ay - by) j(2.2)

2.2.3.2 Produto vectorial

Do mesmo modo, graficamente:

Fig.2.4 - Produto vectorial

ou então, em coordenadas cartezianas:

A ∧ B = (a ⋅ b ⋅ sen θ) k(2.3)

B ∧ A = - (a ⋅ b ⋅ sen θ) k(2.4)

No caso de um vector no espaço,

A ∧ B = (ay ⋅ bz - az ⋅ by) î + + (az ⋅ bx - ax ⋅ bz) j + + (ax ⋅ by - ay ⋅ bx) k +

=  î j k   ax ay az   bx by bz 

De notar ainda que do produto vectorial resulta um novo vector, com uma direcção diferente da dos outros dois. Em termos de versores dos eixos cartezianos, os resultados são os seguintes:

îî = jj = kk = 0

îj = -jî = k

jk = -kj = î

kî = - î k = j

A x B

B A k

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2.2.3.3 Produto escalar

A ⋅ B = a ⋅ b ⋅ cos θ (2.5)

No caso de um vector no espaço, e em coordenadas cartezianas,

A ⋅ B = (ax ⋅ bx) + (ay ⋅ by) + (az ⋅ bz)

Nota 1: No caso de,

A ⋅ B = 0 ⇒ A = 0 ou B = 0 ou θ = 90o

Nota 2: Do produto escalar dos versores dos eixos cartezianos resulta,

îî = jj = kk = 1

îj = jî = jk = kj = îk = kî = 0

Nota 3: Sendo que,

R ⋅ î = rx R ⋅ j = ry R ⋅ k = rz

para o ponto (P) da Fig.2.5,

Fig.2.5 - Versor segundo um ponto

vem que: P px î + py j px py p =  =  =  î +  j(2.6) p [(px)2+(py)2]½ [(px)2+(py)2]½ [(px)2+(py)2]½

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Nota 4: No caso do produto:

C ⋅ (A ∧ B) = cx î + cy j + cz k ⋅  î j k   ax ay az   bx by bz 

= (cx ⋅ ay ⋅ bz) - (cx ⋅ by ⋅ az) + (cy ⋅ az ⋅ bx) -

- (cy ⋅ ax ⋅ bz) - (cz ⋅ by ⋅ ax) + (cz ⋅ ay ⋅ bx) (2.7)

Nota 5: Duas operações entre vectores são possíveis, utilizando a notação complexa:

A x B = (a ⋅ eiθA) x (b ⋅ eiθB)

= a ⋅ b ⋅ [(cos (θ + θB) + isen (θA + θB)] (2.8)

A / B = (a ⋅ eiθA) / (b ⋅ eiθB)

= a / b ⋅ [(cos (θA + θB) + isen (θA + θB)] (2.9)

sendo de notar, contudo, que estes resultados não têm qualquer representação vectorial.

2.2.4 Rotação de Eixos no Plano

Por vezes torna-se necessário proceder a uma rotação dos eixos coordenados, criando um novo sistema de eixos.

A Fig.2.6 ilustra o caso de um vector R,

Fig.2.6 - Rotação de eixos

cuja notação em coordenadas polares, relativamente aos eixos originais (x, y) é,

R = r ∠ θ

e que, relativamente aos eixos (x’, y’) rodados de um ângulo (ϑ) em relação aos primeiros, toma a forma,

R = r ∠ (θ - ϑ) (2.10)

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De notar que esta técnica pode ser particularmente útil no caso de se pretender determinar a magnitude dos componentes coordenados de um vector, conhecida a sua direcção, pois desde que se proceda a uma rotação de valor (ϑ) igual a (θ), então virá,

R = r, ou seja rx’ = r e ry’ = 0

2.2.5 Equações Vectoriais

Considerando a seguinte equação vectorial,

A + B + C = S

no espaço, temos então,

(ax + bx + cx) î + (ay + by + cy) j + (az + bz + cz) k = sx î + sy j + sz k

que, por sua vez, dá origem ao sistema de equações:

 ax + bx + cx = sx  ay + by + cy = sy  az + bz + cz = sz

passível de ser resolvido para determinação de até três incógnitas, entre magnitudes e direcções dos vectores envolvidos.

Como é evidente, para vectores no plano, e apenas duas coordenadas, o problema simplifica-se para,

A + B = S

em que três casos são possíveis:

a) magnitudes de A e de B desconhecidas b) magnitude de A e direcção de B desconhecidas c) direcção de A e de B desconhecidas

qualquer deles facilmente resolúvel graficamente, como se mostra na Fig.2.7.

(a) (b)

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(c)

Fig.2.7 - Resolução gráfica

2.2.6 Solução Analítica de Equações Vectoriais

Dos três casos da alínea anterior:

a) conhecidos (sx), (sy), (θA) e (θB),

pretendendo-se determinar as magnitudes de (A) e de (B), pode construir-se o sistema:

ax + bx = -sx

ay + by = -sy

ay = ax ⋅ tan θA

by = bx ⋅ tan θB

donde, por exemplo, sy - sx ⋅ tan θB ax =  tan θB - tan θA

e da mesma forma se determinariam as restantes incógnitas (ay), (bx) e (by), vindo finalmente:

a = [ (ax)2 + (ay)2 ]½

b = [ (bx)2 + (by)2 ]½

Nota: caso (θA) ou (θB) seja igual a 90o, a equação acima é indeterminada mas, nesse caso, ou (ax) ou (bx) tem valor nulo, pelo que a solução se torna trivial.

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b) conhecidos (sx), (sy), (θA) e (b),

pretendendo-se determinar a magnitude de (A) e a direcção (θB), vem que:

ax + bx = -sx

ay + by = -sy

ay = ax ⋅ tan θA

(by)2 = b - (bx)2

donde se torna possível a determinação de (ax), (ay), (bx) e (by) e finalmente, a partir destes, os valores de (a) e (θB).

c) conhecidos (sx), (sy), (a) e (b)

pretendendo-se determinar (θA) e (θB), torna-se útil recorrer a um sistema de eixos auxiliar (x’, y’) em que (x’) tenha a direcção de (S), pelo que este vector passará a ter, no novo sistema de eixos, as cooredenadas:

sx’ = s, sy’ = 0

o que se consegue colocando o novo sistema de eixos rodado de (θS) em relação ao sistema original:

Fig.2.8 - Sistemas de eixos

sendo então possível escrever,

s + ax’ + bx’ = 0

ay’ + by’ = 0

(ax’)2 + (ay’)2 = a2

(bx’)2 + (by’)2 = b2

e donde se retiram os valores de (ax’), (ay’), (bx’) e (ay’) e portanto, utilizando uma notação em coordenadas polares,

A = a ∠ ϕA e B = b ∠ ϕB

se pode retornar as sistema de eixos original (x, y), calculando:

A = a ∠ (ϕA+θS) e B = b ∠ (ϕB+θS)

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2.2.7 ‘Solução de Chace’ para Equações Vectoriais

(não se pretendendo, aqui, explanar quaisquer conceitos ou princípios inerentes à chamada ‘Solução de Chace’, listar-se-ão apenas os resultados dela decorrentes que têm directa aplicação ao subsequente estudo de mecanismos)

Supondo um qualquer mecanismo em que, após o cálculo de todas as soluções triviais, se chega a uma realidade traduzida pela seguinte equação vectorial,

A + B + S = 0

em que (S) é um vector do qual se conhece a magnitude (s) e a direcção (s, isto é θS), e sendo também conhecidas duas características dos vectores (A) e (B) - sejam as magnitudes (a e b), as direcções (a e b, isto é θA e θB) ou uma magnitude e uma direção - a questão reside na determinação das restantes duas características destes vectores.

Da ‘Solução de Chace’, aplicada a cada um dos casos apresentados nas alíneas anteriores, obtêm-se os seguintes resultados,

a) conhecidos (S), (a) e (b), com (a) e (b) desconhecidos:

s ⋅ (bk) A = -  a(2.11)b ⋅ (ak)

s ⋅ (ak) B = -  b(2.12)a ⋅ (bk)

b) conhecidos (S), (a) e (b), com (a) e (b) desconhecidos:

A = { - s ⋅ a – [ b2 - [s ⋅ (ak)]2 ]½ } ⋅ a(2.13)

b = cos θ (ak) + sen θ a(2.14) sendo cos θ = b ⋅ (ak)

c) conhecidos (S), (a) e (b), com (a) e (b) desconhecidos:

 b2 - a2 + s2 2 b2 - a2 + s2   ½ A = ± b2 -   (sk) +  - s  s(2.15)   2 S   2 S  

 b2 - a2 + s2 2 b2 - a2 + s2   ½ B = +  b2 -   (sk) +  - s  s(2.16)   2 S   2 S  

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2.3 Posição e Deslocamento

2.3.1 Revisão de Alguns Conceitos

POSIÇÃO - definida pelas respectivas coordenadas - exemplo: x, y, z

DESLOCAMENTO - definido pelas coordenadas, em função do tempo - exemplo: x(t), y (t), z(t)

TRANSLAÇÃO - quando cada ponto de um corpo rígido tem exactamente o mesmo movimento de todos os outros pontos que compõem o dito corpo

TRANSLAÇÃO RECTILÍNEA - quando o movimento é executado segundo uma linha recta - exemplo: Fig.2.9, barra 6

TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA - quando o movimento é executado segundo uma linha curva - exemplo: Fig.2.9, barra 3

ROTAÇÃO - quando existe uma linha recta tal que qualquer ponto de um corpo rígido que seja com ela coincidente tem velocidade nula; esta linha designa-se por eixo de rotação

- exemplo: Fig.2.9, barras 2 e 4

MOVIMENTO PLANO - quando a trajectória dos pontos que compõem um corpo rígido descrevem trajectórias que se inscrevem num mesmo plano

- exemplo: Fig.2.9, barra 5

GRAUS DE LIBERDADE - quantificação do tipo de movimentos que um corpo ou mecanismo; o número de graus de liberdade de um mecanismo pode, assim, ser

definido como o número de coordenadas necessárias para especificar completamente a posição de todos os seus componentes

- exemplo: ponto no espaço ⇒ 3 coordenadas (translação, segundo x, y e z) " no plano ⇒ 2 " (translação, segundo x, y) " em rotação ⇒ 1 " (eixo de rotação) " em translação ⇒ 1 " (eixo de direcção) corpo no espaço ⇒ 6 coordenadas (translação e rotação, segundo x, y e z) " no plano ⇒ 3 " (translação segundo x e y, rotação em z)

Fig.2.9 - Tipos de deslocamento, no plano

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2.3.2 Deslocamento Absoluto

2.3.2.1 de um ponto

Para um ponto (R), o deslocamento pode ser definido pela variação do seu vector-posição de (R1) para (R2) - Fig.2.10,

Fig.2.10 - Deslocamento de um ponto, no plano

o que, em notação vectorial, se traduz por:

R2 = R1 + ∆R ou seja ∆R = R2 - R1

2.3.2.2 de um corpo rígido

Considerando, como corpo rígido, a recta [PQ] - Fig.2.11,

Fig.2.11 - Deslocamento de um corpo, no plano

o deslocamento no plano pode ser considerado como de translação de cada um dos pontos (P) e (Q) ou como de translação de um dos pontos (P ou Q) e rotação (θ) do conjunto, mas nunca das três simultâneamente uma vez que, para um corpo rígido, são variáveis dependentes.

Assim, em notação vectorial:

∆Q = Q2 - Q1 (translação) ∆P = P2 - P1 (translação) ∆θ = θ2 - θ1 (rotação)

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2.3.3 Posição e Deslocamento Relativos de um Ponto

2.3.3.1 Posição relativa

A posição do ponto (B), relativamente a um outro ponto (A) - Fig.2.12,

Fig.2.12 - Posição relativa

define-se como:

RB = RA + RBA ou seja RBA = RB - RA

2.3.3.2 Deslocamento relativo de translação

Supondo que os pontos (A) e (B), pertencendo a um mesmo corpo rígido, sofrem uma translação de (∆RA) e (∆RB), respectivamente - Fig.2.13,

Fig.2.13 - Translação relativa

então, sendo o corpo rígido, por definição:

∆RA = ∆RB e também RB1A = RB2A

pelo que: ∆RBA = 0

ou, seja, a variação de posição de (B) relativamente a (A) é nula, o que é de esperar que aconteça se ambos pertencerem a um corpo rígido.

Nota: mesmo assim, a equação,

∆RB = ∆RA + ∆RBA

é válida, embora neste caso se simplifique, por anulação do termo (∆RBA).

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2.3.3.3 Deslocamento relativo de rotação

Partindo dos mesmos pressupostos da alínea anterior, supondo agora uma rotação em torno de (A) - Fig.2.14,

Fig.2.14 - Rotação relativa

para um corpo rígido:

RB2A = RB1A

mas,

∆RB = RB2A - RB1A = ∆RBA

Nota: também neste caso a equação,

∆RB = ∆RA + ∆RBA

é válida, embora seja nulo o termo (∆RA).

2.3.3.4 Deslocamento relativo de translação e rotação

Supondo uma translação A1→A2 e B1→B2 seguida de uma rotação B2→B3, como ilustrado na Fig.2.15,

Fig.2.15 - Translação e rotação relativa

então, ∆RB = ∆RA + ∆RBA em que: ∆RA - componente de translação ∆RBA - componente de rotação

A1 B1

B2

B3

RA ∆RB1B2 = ∆RA

RB2B3 = ∆RBA

RB

y

x

A2

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2.3.4 Posição e Deslocamento num Mecanismo

2.3.4.1 Métodos analíticos

a) análise geométrica

Para o sistema biela-manivela da Fig.2.16, supondo:

- conhecidos: r1, r2, r3 - dado: θ2 - pretendendo-se: ax, ay, bx

Fig.2.16 - Sistema biela-manivela

temos que: ax = r2 ⋅ cos θ2

ay = r2 ⋅ sen θ2

ou então, e como a terceira incógnita (bx) é, geometricamente, o máximo valor de intercepção de um círculo de raio (r3) e centro (ax, ay) com o eixo (xx), vem:

r2 ⋅ sen θ2 = r3 ⋅ sen θ3

donde,

sen θ3 = r2/r3 ⋅ sen θ2

pelo que:

bx = r2 ⋅ cos θ2 - r3 ⋅ cos θ3

Uma vez que:

cos θ3 = ± [ 1 - sen2 θ3 ]½

= - (1/r3) ⋅ [ r32 - r22 ⋅ sen2 θ2 ]½

vem, finalmente:

bx = r2 cos θ2 + [ r32 - r22 ⋅ sen2 θ2 ]½

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b) análise vectorial

Considerando o mecanismo de quatro barras da Fig.2.17, do tipo manivela-barra oscilante, e supondo:

- conhecidos: r1, r2, r3, r4 - dado: θ2 - pretendendo-se: θ3, θ4

Nota: trata-se de um problema de adição de três vectores, análogo ao exposto na alínea (c) do ponto 2.2.6, e que pode ser resolvido através da 'Solução de Chace'.

Fig.2.17 - Mecanismo de quatro barras

Assim, tomando:

R = R1 + R2

vem que,

R + R3 = -R4 ⇒ R + R3 + R4 = 0

ou seja,

R + r3 r3 + r4 r4 = 0

A este problema correspondendo a solução:

  r32 - r42 + R2 2  r32 - r42 + R2   ½ r3 = +  r32 -   (rk) -   r   2 R   2 R     r32 - r42 + R2 2  r32 - r42 + R2   ½ r4 = –  r32 -   (rk) +   r   2 R   2 R  

valores a partir dos quais é possível calcular (θ3) e (θ4).

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c) análise vectorial, utilizando notação complexa

Tendo o mecanismo de corrediça da Fig.2.18, e supondo:

- conhecidos: r1, r2 (e também θ1) - dado: θ2 - pretendendo-se: r4, θ4

Fig.2.18 - Mecanismo de corrediça

virá, em notação vectorial,

R1 + R2 = R4 ⇒ R1 + R2 - R4 = 0

Considerando que,

R = r ⋅ eiθ

então:

r1 ⋅ eiθ1 + r2 ⋅ eiθ2 - r4 ⋅ eiθ4 = 0

e ainda, como:

r ⋅ eiθ = r ⋅ (cos θ + isen θ)

logo:

r1 ⋅ (cos θ1 + isen θ1) + r2 ⋅ (cos θ2 + isen θ2) - r4 ⋅ (cos θ4 + isen θ4) = 0

Separando as componentes real e imaginária:

 r1 ⋅ cos θ1 + r2 ⋅ cos θ2 - r4 ⋅ cos θ4 = 0   r1 ⋅ sen θ1 + r2 ⋅ sen θ2 - r4 ⋅ sen θ4 = 0

e sendo que, neste caso,

θ1 = 180o ⇒ cos θ1 = -1 e sen θ1 = 0

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 17

vem, finalmente: r2 ⋅ cos θ2 - r1 r4 =   r2 ⋅ sen θ2  cosarc tan    r2 ⋅ cos θ2 - r1   r2 ⋅ sen θ2  θ4 = arc tan    r2 ⋅ cos θ2 - r1 

2.3.4.2 Método gráfico

Consiste na representação do mecanismo na posição, ou posições, de maior interesse para a sua análise. A sua aplicação prática torna-se mais evidente na determinação (gráfica) de velocidades, pelo que será abordada no ponto seguinte.

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2.4 VELOCIDADE

2.4.1 Velocidade Linear

Na Fig.2.19 podemos observar a trajectória de um ponto.

Figura 2.19 - Trajectória de um ponto

Se [R1] e [R2] forem duas posições do mesmo, o deslocamento entre eles pode ser representado por

∆r = r2 - r1

em que [r1] e [r2] são os vectores posição que definem a localização do ponto, no começo e no fim do intervalo de tempo considerado. A velocidade média do ponto, durante o intervalo de tempo (∆t), é (∆r/t). A velocidade instantânea, ou simplesmente a velocidade, é o limite desta razão, ou seja: . v = lim∆t→0 (∆r/∆t) = (dr/dt) = r

A velocidade do ponto, movendo-se ao longo da sua trajectória, pode ser ilustrada de uma outra maneira. Na Fig.2.20 o ponto (P) descreve a trajectória [AB].

Figura 2.20 - Trajectória de um ponto

Consideremos um sistema de eixos [τ, µ, υ] em (P), e tal que [τ] seja tangente à trajectória, [µ] normal a esta e [υ] seja dado por:

υ = τ x µ

Definindo (∆s) como o arco (em valor, escalar) desde (P) a (Q) e (∆r) como a corda correspondente, então o limite de (∆r/s), quando (∆s) tende para zero, é igual à unidade. Assim,

v = lim∆s→0 (∆r/∆s) = (dr/ds) = τ

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Como (∆r) e (∆s) são funções do tempo, no intervalo (∆t) entre (P) e (Q) temos que:

v = lim∆t→0 (∆r/∆s)⋅(∆s/∆t) = (dr/ds)⋅(ds/dt)

Então, a velocidade em relação ao sistema de eixos [τ, µ, υ], será dada por: . v = ds/dt τ = s τ

em que (s) é a velocidade de (P) ao longo da trajectória e [τ] é o vector unitário tangente a essa trajectória. Resulta daqui que o vector velocidade é sempre tangente à trajectória. Se,

r = x i + y j + z k

então a velocidade, em coordenadas rectangulares será: . . . v = x i + y j + z k

2.4.2 Velocidade Angular

Na Fig.2.21 está representado um corpo rígido, rodando em torno do eixo [OA]. Então, todos os pontos do corpo, tal como o ponto (P), movem-se em trajectórias em torno de [OA].

Figura 2.21 - Velocidade angular

A velocidade angular do corpo é dada pelo vector [ω], com a direcção de [OA] e o sentido dado pelas usuais regras do 'saca-rolhas' ou da ‘mão direita’. Designando o deslocamento angular de qualquer linha normal ao eixo de rotação por (∆φ) e o intervalo de tempo correspondente por (∆t), então a grandeza do vector velocidade angular será, . ω = lim∆t→0 [(∆φ)/(∆t)] = (dφ)/(dt) = φ

Supondo que o eixo de rotação [OA] é fixo, o vector r define a posição de um ponto (P), fixo ao corpo. Considerando o vector resultante do produto [ω x r], o seu módulo será (ω⋅rsenφ) em que (φ) é o ângulo entre [ω] e [r], sendo tangente à trajectória de (P). Então,

. r = v = ω x r

ou seja, a velocidade de um ponto, pertencente a um corpo rígido, rodando em torno de um eixo fixo.

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2.4.3 Velocidade de um Ponto num Sistema Referencial Móvel

Ao analisar os movimentos dos vários elementos dos mecaninmos, muitas vezes surge o problema de descrever o movimento de um ponto que se move relativamente a um outro sistema móvel.

Tomando um sistema de eixos coordenados [Xo, Yo, Zo], com origem no ponto (O), e um outro sistema [X, Y, Z], com origem no ponto (Q) e móvel relativamente ao primeiro, considere-se um ponto (P) que segue uma dada trajectória fixa no sistema [X, Y, Z] - Fig.2.22.

Figura 2.22 - Referencial móvel

Num dado instante, a posição do ponto (P), referida ao sistema fixo [Xo, Yo, Zo], será dada pelo vector [Do]. Este pode decompor-se em:

Do = DQ + D

Por outro lado, [D] pode escrever-se na forma:

D = x i + y j + z k

e, como as coordenadas [x, y, z] do ponto (P) e os versores do sistema de eixos [i, j, k] são funções do tempo - uma vez que mudam de direcção devido ao efeito de rotação do sistema [X, Y, Z] - então a derivada da equação em ordem ao tempo vem como:

D' = (x i + y j + z k) + (x' i + y' j + z' k) (2.17)

em que o segundo membro do lado direito da equação representa a velocidade do ponto (P), relativamente ao sistema móvel [X, Y, Z] e se designa por velocidade relativa.

O primeiro membro do lado direito da equação, que traduz as derivadas dos versores do sistema [X, Y, Z], podem ser analisados com mais pormenor. Assim, consideremos um sistema de eixos auxiliar [X', Y', Z'], com origem no ponto (Q), e cujos eixos não sofrem qualquer rotação em relação a [Xo, Yo, Zo] mas apenas translação.

yo

zo

xo

z’

x’

y’

ωy dt

ωz dt

ωx dt

x

y

z

DO DQ

D

O

Q

P S

di ωz dt j

ωy dt ki (t=0)

i+di (t=dt) j

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Admitindo que o sistema [X, Y, Z] está animado de uma velocidade de rotação [Ω], podemos observar o comportamento do versor [i], desde o instante (t=0), em que [i] coincide com [X'], até ao instante (t=dt).

Então, o versor [i], desde (t=0) até ao instante (t=dt), sofre um acréscimo (di) que pode ser expresso por:

di = ωz dt j - ωy dt k

Efectivamente, (di) é igual à soma de dois efeitos:

- (ωz dt), segundo o eixo dos [YY], com sentido positivo, devido à rotação de [i] em torno do eixo dos [ZZ];

- (ωy dt), segundo o eixo dos [ZZ], em sentido negativo, devido à rotação de [i] em torno do eixo dos [YY].

A rotação em torno do eixo dos [XX], ou seja (ωx dt), não influi em (di) pelo que não foi considerada.

Seguindo o mesmo raciocínio, para (dj) e (dk) teremos:

dj = ωx dt k - ωz dt i

dk = ωy dt i - ωx dt j

Dividindo ambos os membros por (dt), virá:

i = ωz j - ωy k

j = ωx k - ωz i

k = ωy i - ωx j

Substituindo estes valores na expressão (2.17) verifica-se que o primeiro membro do lado direito se pode traduzir no determinante:

ijk  = Ω ∧ D  ωx ωy ωz   x y z 

que traduz a velocidade absoluta de um ponto (S), momentaneamente coincidente com (P), mas pertencente ao sistema móvel [X, Y, Z].

Então, a equação da velocidade do ponto (P) pode, por derivação da equação,

Do = DQ + D

tomar a forma:

Vo = VQ + Ω ∧ D + V (2.18)

em que: Vo - velocidade absoluta de PVQ + D - velocidade de transporte V - velocidade relativa de P, em relação ao sistema móvel (= VP/S)

Uma aplicação do exposto pode ser vista, analisando o mecanismo da Fig.2.23.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 22

Figura 2.23 - Exemplo de aplicação

Tomando como sistema fixo [x, y] e para sistema móvel [x', y'], com origem em (A), seja (B3) o ponto (B) pertencente à ligação 3 e (B4) esse mesmo ponto, quanto pertencente considerado como pertencente à ligação 4. Supondo que (ω2) é conhecido, a questão é determinar (ω4). Assim, torna-se necessário conhecer a velocidade de um ponto pertencente à ligação 4, por exemplo (B4).

Numa analogia com o exposto anteriormente, aqui o ponto (A) será equivalente ao ponto (Q), assim como (B3) a (S) - solidário com o sistema móvel - e (B4) a (P).

Logo, [Vo] é [VB4], [VQ] é [VA] e [Ω D] é [VB3/A] - velocidade do ponto (B3) em relação a (A) - pelo que a expressão da velocidade de (B4) virá como,

VB4 = VA + VB3/A + VB4/B3

Notas: - a forma de determinação destas velocidades será abordado mais adiante; - de referir também que, nesta disciplina, serão abordados apenas os casos de mecanismos

planares, que constituem a maioria das aplicações práticas.

2.4.4 Velocidade de um Corpo Rígido

Considerando um corpo rígido animado de um movimento misto de rotação [Ω] e de translação que, para o ponto (A), tem o valor (VA) - Fig.2.24,

Figura 2.24 - Corpo animado de movimento misto

a posição de um outro ponto qualquer (B), pertencente ao corpo, é definida pela equação:

rB = rA + rB/A

sendo a sua velocidade de

VB = VA + VB/A

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 23

Sendo a velocidade (VA) conhecida, (VB/A) é a velocidade de (B) em relação a (A), isto é, a velocidade de (B) num sistema de referência que tenha (A) como origem, ou seja:

VB/A = Ω ∧ rB/A

donde,

VB = VA + Ω ∧ rB/A = VA + VB/A (2.19)

Comparando esta expressão com (2.18) verifica-se ser a primeira um caso particular da segunda, em que o ponto em estudo não tem velocidade relativamente ao sistema móvel, uma vez que pertence ao mesmo corpo rígido.

Da equação (2.19) também se pode concluir que a velocidade relativa de dois pontos quaisquer de um corpo rígido é dada pela diferença entre as velocidades absolutas dos mesmos, ou seja:

VB/A = VB - VA

Um outro exemplo encontra-se esquematizado na Fig.2.25.

Pretendendo conhecer a velocidade do ponto (C), conhecida a velocidade do ponto (B), e uma vez que (B) e (C) pertencem ao mesmo corpo rígido, então:

VC = VB + VC/B

e, mais uma vez, não existe o último termo da equação (2.18) dado o ponto (C) ser solidário com o sistema móvel [x, y].

Figura 2.25 - Sistema biela-manivela

2.4.5 Eixos e Centros Instantâneos de Rotação

Quando um corpo roda no espaço, relativamente a outro corpo, pode considerar-se a existência de um eixo comum de rotação, cuja posição em relação aos dois pontos pode, ou não, variar a cada instante.

Estes eixos designam-se por eixos instantâneos de rotação. Para movimentos no plano, os eixos instantâneos são sempre perpendiculares ao plano do movimento e interceptam os corpos em pontos que se designam por centros instantâneos de rotação.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 24

2.4.5.1 Propriedades

TEOREMA A velocidade de um ponto de um corpo rígido, relativamente a outro ponto do mesmo corpo, tem uma direcção prependicular ao segmento de recta que une os dois pontos considerados.

Para demonstrar este teorema, pode utilizar-se o método da redução ao absurdo, provando que a velocidade relativa de dois pontos de um corpo rígido não pode ter componente segundo o segmento que os une.

Assim, na Fig.2.26.a) representa-se um corpo rígido em que se consideram dois pontos, (A) e (B).

a) b) c)

Figura 2.26 - Corpo rígido

Supondo que a velocidade de (A) em relação a (B), ou seja (VA/B), é tal como representada na Fig.2.26.b), então pode ser feita a sua decomposição em direcções perpendiculares. Tendo um dos componentes a direcção [AB], isto equivaleria a que os dois pontos se estariam a aproximar (ou afastar) o que é contrário à noção de corpo rígido. Assim, a direcção de (VA/B) não pode ter componente segundo [AB], ou seja, será apenas e só segundo a perpendicular a [AB] - Fig.2.26c).

Considerando agora dois corpos, 1 e 2, sendo o corpo 2 fixo e movendo-se o corpo 1 no plano, relativamente ao corpo 2 - Fig.2.27 .

Figura 2.27 - Corpos com movimento relativo

Dois pontos, (A) e (B), pertencentes ao corpo 1 têm velocidades (VA) e (VB), respectivamente. Considerando os segmentos [op] e [qr], que passam pela origem dos vectores e são normais às respectivas linhas de acção, então todos os pontos de [op] têm velocidades, relativamente a 2, perpendiculares a [op], o mesmo acontecendo ao ponto I de intercepção das duas rectas.

Do mesmo modo, todos os pontos de [qr] terão velocidades, relativamente a 2, perpendiculares a [qr] e, igualmente para o ponto (I).

A

B

A

B

VA/B

A

B VA/B

A

B

VA

I

V

o

p

q

r

2

1

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 25

Como (VA) e (VB) são velocidades absolutas, dado que o corpo 2 é fixo, o ponto (I) teria uma velocidade absoluta segundo duas direcções diferentes, o que não é possível.

Assim, a velocidade do ponto (I) só pode ser nula, ou seja, será o ponto do corpo 2 em torno do qual roda o corpo 1 - isto é, por definição, o centro instantâneo de rotação dos dois corpos, sendo válido apenas no instante considerado.

A análise seria semelhante no caso de nenhum dos corpos ser fixo. Neste caso, no entanto, o centro instantâneo não seria fixo no plano mas continuaria a ser o ponto em torno do qual ambos os corpos não teriam movimento relativo.

Assim, pode concluir-se que: - centro instantâneo de rotação é um ponto em torno do qual roda uma ligação; - um centro instantâneo de rotação tem a mesma velocidade quer se considere como pertencente a

uma ou outra ligação; - o conhecimento da posição do centro instantâneo de rotação permite o cálculo directo da

velocidade de qualquer ponto da ligação; - inversamente, conhecidas as velocidades de dois pontos quaisquer, (A) e (B), de um corpo, a

posição do ponto (I) é determinada pela intersepção das normais aos vectores velocidade desses mesmos pontos.

O número (i) de centros instantâneos de rotação de um mecanismo determina-se combinando as ligações do mecanismo, duas a duas. Assim, sendo (n) o número de ligações, vem que:

i = n⋅(n-1)/2

A determinação da posição dos centros instantâneos de rotação pode ser feita por simples inspecção ou utilizando os Teoremas dos Três Centros e da Normal Comum.

Na Fig.2.28 encontram-se alguns exemplos de determinação por inspecção directa.

Figura 2.28 - Determinação por inspecção directa

O10

1

2

3 O23 1

O10

1

O10

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 26

TEOREMA DOS TRÊS CENTROS Quando três ligações têm movimento relativo, existem três centros intantâneos de rotação, situados sobre a mesma linha recta.

Considerando as três ligações representadas na Fig.2.29,

Figura 2.29 - Teorema dos três centros

a demonstração pode ser feita por redução ao absurdo.

Por simples inspecção, podem ser determinados os centros (O10) e (O20), ficando por determinar o centro (O12).

Supondo que (O12) se situa no ponto (P), então (VP1) e (VP2) serão as velocidades do ponto (P), quando considerado como pertencente aos corpos 1 e 2, respectivamente. No entanto, e por definição, estas velocidades têm de ser iguais.

Assim, o centro (O12) só poderá situar-se na linha [O10O20].

TEOREMA DA NORMAL COMUM

O centro instantâneo de rotação de duas ligações, em contacto directo segundo um ponto, situa-se na normal comum aos dois corpos, no ponto de contacto.

Com este teorema e com o anterior, torna-se possível localizar o centro instantâneo de rotação (O12), como mostra a Fig.2.30.

Figura 2.30 - Determinação do centro (O12)

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2.4.5.2 Exemplos de determinação

a) No caso do mecanismo de quatro barras da Fig.2.31,

Figura 2.31 - Mecanismo de quatro barras

de acordo com a expressão vista atrás, o número de centros instantâneos de rotação será dado por,

i = [4 x (4-1)]/2 = (4 x 3)/2 = 12/2 = 6

Por inspecção directa podem ser determinados os centros (O21), (O23), (O34) e (O41), já assinalados na Figura faltando, assim, os centros (O24) e (O31).

Recorrendo ao Teorema dos Três Centros, pode concluir-se que (O21), (O32) e (O31) ficarão sobre uma mesma linha recta, o mesmo sendo válido para o conjunto (O31), (O34) e (O41). Assim, o centro (O31) será determinado pela intersepção das linhas [O21O32] e [O41O34] e raciocinio análogo permite estabelecer o centro (O24) na intersepção de [O23O34] com [O21O41].

b) Para um sistema came-seguidor, como o representado na Fig.2.32, considerando a existência de três

ligações (além do fixe 1, teremos a came 2 e o seguidor 3) teremos,

i = [3 x (3-1)]/2 = (3 x 2)/2 = 6/2 = 3

A inspecção directa fornece a localização do centro (O21) de rotação da came. Também se torna evidente que, tendo o seguidor 3 um movimento de translação linear, o centro (O31) estará a uma distância infinita, segundo a perpendicular à direcção do movimento.

Figura 2.32 - Sistema came-seguidor

Para a determinação do restante centro (O23), o Teorema dos Três Centros localiza-o na linha [O21O31], ou seja na horizontal que passa por (O21). Por sua vez, pelo Teorema da Normal Comum, (O23) deverá estar localizado na normal ao ponto de contacto, neste caso representado por uma linha vertical. A intersepção destas duas linhas determina assim a sua posição.

O21

O23

O31 =

2

3

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2.4.6 Métodos Gráficos de Determinação da Velocidade

Os métodos gráficos, sendo expeditos e suficientemente rigorosos para a maior parte das aplicações, têm o defeito de serem válidos única e exclusivamente para a geometria e posição em que são traçados.

A sua utilidade resume-se, assim, ao estudo de casos pontuais, sendo excessivamente trabalhosos na análise completa do movimento de mecanismos.

2.4.6.1 Polígno de velocidades

Baseando-se nas Equações do Deslocamento e da Velocidade, já abordadas, e que se podem traduzir por:

DO = DQ + D

VO = VQ + Ω ∧ D + V

a sua aplicação é aqui ilustrada para um disco circular com rotação concentrica - Fig.2.33.a). Supondo conhecida a velocidade do ponto (A), pretende-se determinar a velocidade do ponto (B).

A equação de velocidades relativas dá-nos que,

VB = VA + VB/A

dos quais temos todos os dados relativamente a (VA) e sabemos que (VA/B) será perpendicular a [AB] e que (VB) será perpendicular ao segmento [OB].

Assim, torna-se possível traçar, a uma escala conveniente, o polígno de velocidades.

Começando por (VA), assinalam-se as perpendiculares referidas, respeitando na sua colocação relativamente a (VA), as regras de adição ou subtração de vectores, e seguindo a equação de velocidades - Fig.2.33.b) e c).

O resultado final encontra-se na Fig.2.33.d) onde, além da pretendida velocidade (VB), também se obtém (VA/B).

Figura 2.33 - Aplicação do polígno de velocidades

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2.4.6.2 Imagem de velocidades

Em mecanismos com elementos de ligação de geometria complicada, em que seja necessário conhecer a velocidade em pontos determinados, torna-se útil a obtenção de uma ‘imagem’ da velocidade do próprio elemento. A título de exemplo, na Fig.2.34.a) encontra-se esquematizado um elemento 2 de forma triangular, animado de rotação em torno do ponto (O2), a uma dada velocidade (ω2).

Figura 2.34 - Determinação da imagem de velocidades

Sendo as dimensões dos lados do triângulo (rA), (rB), e (rB/A), as respectivas velocidades serão:

VA = rA ω2

VB = rB ω2

VB/A = rB/A ω2

e como as direcções são conhecidas, torna-se possível construir a ‘imagem’ a uma dada escala- Fig.2.34.b) - obtendo-se uma réplica exacta do elemento, rodada de 90o, e cujos lados representam a velocidade de cada ponto considerado.

A partir desta ‘imagem’ é possível determinar a velocidade de qualquer outro ponto pertencente ao elemento, desde que conhecida a sua localização geométrica, traçando o respectivo vector com origem em Ov e extremo na ‘imagem’ desse mesmo ponto.

Para um mecanismo articulado, o método pode ser aplicado sucessivamente aos vários elementos, conforme ilustrado na Fig.2.35 para um sistema biela-manivela.

Figura 2.35 - Imagem de velocidades para um sistema biela-manivela

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2.4.6.3 Centros instantâneos de rotação

Utilizando os centros instantâneos de rotação, é possível a análise de velocidades uma vez que, por definição, conhecida a velocidade do extremo de uma ligação relativamente ao seu centro instantâneo de rotação, então essa velocidade relativa será exactamente a mesma para a extremidade da outra ligação cujo centro instantâneo é comum.

A Fig.2.36 mostra a aplicação deste princípio a um mecanismo em que a barra 2 é motora, sendo obviamente conhecida (ω2) e as dimensões (r1), (r2), (r3) e (r4) e pretendendo-se determinar a velocidade em vários pontos (A, B, C, D e E), quando o sistema se encontra na posição ilustrada. Após determinação de todos os centros instantâneos de velocidade - Fig.2.36.a) - e a partir do conhecimento de (ω2) e de (r2) calcula-se (VA). Conhecida esta, e uma vez que (O24) também pertence à barra 2, rotando (VA) sobre a linha de centros [O24O12O41] com centro em (O21) para a posição (VA’), por semelhança de triângulos pode calcular-se (V24) - Fig.2.36.b). Uma vez que (V24) é não só a velocidade de um ponto na barra 2 mas também na barra 4, pode agora ser utilizada para determinar a velocidade de outros pontos nesta barra, como sejam (VB) e (VE). Os triângulos semelhantes têm aqui (O41) como vértice comum e os respectivos vectores (VB’) e (VE’) podem depois ser rodados, para obtenção de (VB) e (VE) - Fig.2.36.c). Finalmente, para se calcular (VD), uma vez que o ponto (D) pertence à barra 3, que (VA) é conhecida e pertence à barra 2 e que a barra 1 é a referência fixa, procede-se à rotação de (VA) sobre a linha de centros [O12O13O23] com centro em (O13) e determina-se (VD’) que, rodado, dá origem a (VD). Adicionalmente, pode reconfirmar-se (VB), já que este ponto pertence simultaneamente às barras 3 e 4 - Fig.2.36.d).

Figura 2.36 - Determinação de velocidades através dos centros instantâneos de rotação

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 31

Adicionalmente, pode referir-se uma relação válida para qualquer mecanismo de quatro barras, conhecida como Teorema da Razão de Velocidades Angulares, e que postula que, ‘a razão de velocidades angulares entre dois elementos, relativamente a um terceiro, é inversamente proporcional ao comprimento dos segmentos formados na linha de centros pela intersepção do centro instantâneo comum’ e que, para o mecanismo da Fig.2.36, se pode traduzir em,

ω4/ω2 = [O12O24]/[O14O24]

Pode ainda provar-se que esta razão é positiva quando o centro instantâneo comum se encontra para lá dos dois centros fixos - como no exemplo acima - e é negativa quando o centro instantâneo comum se encontra entre os dois centros fixos.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 32

2.4.7 Métodos Analíticos de Determinação da Velocidade

Quando a análise de um mecanismo não se resume a uma ou algumas (poucas) posições, o recurso a métodos analíticos associados ou não ao processamento computacional torna-se imprescindível.

2.4.7.1 Método algébrico

Consiste, essencialmente, na dedução de uma expressão analítica que traduza a velocidade de um elemento do mecanismo, em função da velocidade da ligação motora.

Normalmente, a forma mais simples de o conseguir é por derivação em ordem ao tempo da expressão de posição, ou deslocamento, do elemento em causa.

Seguidamente dão-se alguns exemplos de aplicação, na sequência do explanado no ponto 2.3.4.1 relativamente à determinação analítica de posição e deslocamento.

Exemplo a)

Considerando a equação do deslocamento do pistão 4, em função do ângulo da manivela 2 do sistema da Fig.2.37, equação esta já deduzida no ponto acima referido e que pode ser reescrita como:

x = r ⋅ cos θ + l ⋅ [ 1 - (r/lsen φ)2 ]½

Figura 2.37 - Sistema biela-manivela

a sua derivação, atendendo a que (θ = ωt ), resulta na expressão da variação de (x) em função da variação do ângulo (θ) da manivela 2, ou seja, na equação da velocidade do pistão 4,

.  r ⋅ sen 2θ  x = - r ⋅ ω ⋅ sen θ +    2l ⋅ [ 1 - (r/lsen θ)2 ]½ 

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 33

Exemplo b)

Retomando o exemplo do mecanismo de quatro barras da Fig.2.38 para o qual,

r1 + r2 + r3 + r4 = 0

ou seja,

r1 ⋅ eiθ1 + r2 ⋅ eiθ2 + r3 ⋅ eiθ3 + r4 ⋅ eiθ4 = 0

sendo ainda,

R = r1 + r2 ; R + r3 + r4 = 0

e a partir do que se pode concluir que (1):

cos (θR - θ3) = (r42 - R2 - r32)/(2⋅R⋅r3)

cos (θ4 - θR) = (r42 + R2 + r32)/(2⋅R⋅r4)

Figura 2.38 - Mecanismo de quatro barras

da derivação da equação vectorial pode obter-se a solução para as velocidades angulares das barras 3 e 4, como se segue:

r2 ω2 sen (θ2-θ4) ω3 =   r3 sen (θ4-θ3)

r2 ω2 sen (θ2-θ3) ω4 =   r4 sen (θ4-θ3)

(1) A dedução completa destas equações, e das subsequentes, pode ser encontrada no Anexo a este capítulo

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 34

Exemplo c)

Para o mecanismo de corrediça da Fig.2.39, para o qual:

r1 + r2 - r4 = 0

ou seja,

r1 ⋅ eiθ1 + r2 ⋅ eiθ2 - r4 ⋅ eiθ4 = 0

resulta, como já visto, que: r2 ⋅ cos θ2 - r1 r4 =   r2 ⋅ sen θ2  cosarc tan    r2 ⋅ cos θ2 - r1   r2 ⋅ sen θ2  θ4 = arc tan    r2 ⋅ cos θ2 - r1 

Figura 3.39 - Mecanismo de corrediça

Por sua vez, retomando a equação vectorial e derivando-a em ordem ao tempo, obtemos a equação das velocidades:

dr1 dθ1 dr2 dθ2 dr4 dθ4  eiθ1 + r1 i  eiθ1 +  eiθ2 + r2 i  eiθ2 -  eiθ4 - r4 i  eiθ4 = 0 dt dt dt dt dt dt

Sendo os valores de r1, r2 e θ1 constantes, anulando os três primeiros termos, virá:

dθ2 dr4 dθ4 r2 i  eiθ2 -  eiθ4 - r4 i  eiθ4 = 0 dt dt dt ou,

. . . i r2 θ2 eiθ2 - r4 eiθ4 - i r4 θ4 eiθ4 = 0

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 35

em que: . . θ2 ≡ ω2 e θ4 ≡ ω4

Como: VA2 = A2 ⋅ ω2 (velocidade do ponto A, quando pertencente à ligação 2) VA4 = A4 ⋅ ω4 (velocidade do ponto A, quando pertencente à ligação 4) e, VA2/A4 = dr4/dt então, VA2 = VA4 + VA2/A4 Assim, e utilizando a fórmula de Euler a equação pode ser transformada em:

. i r2⋅ω2⋅(cos θ2 + isen θ2) - r4⋅(cos θ4 + isen θ4) - i r4⋅ω4⋅(cos θ4 + isen θ4) = 0

e, separando as componentes real e imaginária, .  -r2⋅ω2⋅sen θ2 - r4⋅cos θ4 + r4⋅ω4⋅sen θ4 = 0  .  r2⋅ω2⋅cos θ2 - r4⋅sen θ4 - r4⋅ω4⋅cos θ4 = 0

donde, finalmente: . r4 = r2 ⋅ ω2 ⋅ sen (θ4-θ2)

r2 ⋅ ω2 ω4 =  ⋅ cos (θ4-θ2) r4

2.4.7.2 Diferenciação gráfica

Especialmente útil na análise de velocidade e aceleração a partir de registos gráficos de deslocamento, obtidos por meios analógicos (registador x-t, osciloscópio ou mesmo imagem), tem como maior limitação o facto de apenas ser sensível a mudanças de magnitude da grandeza em estudo, seja de deslocamento linear ou angular, seja de velocidade ou aceleração.

Para uma função do tipo,

x = f(t)

tal como a ilustrada na Fig.2.40.a), e cuja derivada é, por definição:

dx/dt = lim∆t→0 (∆x/∆t)

é possível afirmar que, para um qualquer ponto (A), . x ≈ [CD]/[BD]

em que [BC] é a tangente à curva-função no ponto (A).

A aproximação será tanto maior quanto menor o intervalo utilizado, ou seja, o intervalo (∆t).

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 36

Figura 2.40 - Diferenciação gráfica

O processo passa pela traçagem de tangentes a vários pontos da curva, construindo triângulos, preferencialmente de abcissas [BD] iguais. Seguidamente torna-se possível construir um diagrama de derivadas, utilizando o mesmo eixo das abcissas (t) e, para cada ponto considerado, registando em ordenadas a altura [CD] do respectivo triângulo - Fig.2.40.b).

A escala da derivada, no gráfico resultante, é dada por, . x = x/h

em que (h) é o dobro do intervalo de tempo utilizado e igual a [BD].

2.4.7.3 Diferenciação numérica

Para uma função semelhante à referida para a diferenciação gráfica, a sua derivada pode ser escrita como,  f(x0+∆x) - f(x0)  f '(x) = lim∆x→0     ∆x 

pelo que, se (∆x) for suficientemente pequeno, se pode obter uma boa aproximação para f '(x).

Uma vez que (∆x) pode ser positivo ou negativo, neste último caso teremos,

f '(x) = lim∆x→0 [f(x0-∆x) - f(x0)] / (-∆x)

que será uma outra aproximação a f '(x).

A situação encontra-se ilustrada na Fig.2.41, em que (L-) e (L+) são as 'cordas' à esquerda e à direita do ponto considerado, ou seja, para (-∆x) e (+∆x) respectivamente.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 37

Figura 2.41 - Diferenciação numérica

À medida que os intervalos se reduzam, (L-) e (L+) tenderão a ter inclinações cada vez mais parecidas e, no limite, a inclinação da tangente à curva no ponto considerado - por definição, a derivada da função nesse ponto.

Embora não sendo regra, sobretudo se se tratar da vizinhança de um ponto de inflexão da curva, torna-se também evidente que a inclinação da 'corda' [PQ] é uma melhor aproximação à inclinação da tangente no ponto (A) que (L-) ou (L+) tomadas separadamente. Assim, torna-se mais conveniente e rápido o processo tomando um intervalo (2⋅∆x), ou seja,

f '(x) = lim∆x→0 [f(x0+∆x) - f(x0-∆x)] / (2⋅∆x)

Este método é empregue para funções - por exemplo, de posição ou deslocamento - para as quais não seja possível obter uma expressão, ou cuja derivação seja analiticamente impossível. É também o método implicitamente utilizado em sistemas informáticos de análise de curvas digitalizadas.

2.4.7.4 Integração gráfica

Método inverso ao de diferenciação gráfica, utilizando os mesmos princípios já enunciados, torna-se particularmente útil nos casos em que a resposta em velocidade, aceleração ou choque é acessível e registável e pretendendo-se, a partir de uma destas, analisar a causa a montante. Isto é,

choque (d3x/dt3)→ aceleração (d2x/dt2) → velocidade (dx/dt) → deslocamento (x)

Na Fig.2.42 mostra-se o procedimento a seguir, para uma função simples de patamares com intervalos de tempo iguais.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 38

Figura 2.42 - Integração gráfica

Escolhendo criteriosamente o valor (h), a escala do gráfico resultante é dada por (x = h ⋅ x)

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 39

2.5 ACELERAÇÃO

2.5.1 Definição

A aceleração linear, como taxa de variação da velocidade, pode ser definida analíticamente do seguinte modo: ∆v dv . .. a = lim∆t→0  =  = v = r ∆t dt

em que (∆v) é a variação da velocidade (v), ocorrida no intervalo de tempo (∆t).

Do mesmo modo, a aceleração angular define-se como:

∆ω dω . .. α = lim∆t→0  =  = ω = φ ∆t dt

2.5.2 Aceleração de um Ponto num Sistema Referencial Fixo

Como já visto atrás, a velocidade de um ponto (P) em movimento numa dada trajectória - Fig.2.43.a) - é dada por, . v = s τ

em que (s) é a velocidade de (P) ao longo da trajectória. Por seu lado, (τ) e (µ) são, respectivamente, tangente e normal à mesma trajectória.

Figura 2.43 - Trajectória de um ponto

Da derivação da equação da velocidade, em ordem ao tempo, resulta, .. . a = s τ + s τ (2.20)

em que o segundo termo do lado direito da equação merece alguma atenção.

Assim, sendo (φ) a inclinação de (τ) e o ponto (C) o centro instantâneo de rotação de (P), à medida que a trajectória é descrita (τ) e (µ) vão variando com (φ).

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 40

Isso mesmo é representado na Fig.2.43.b), em que (τ) passa a (τ+∆τ) quando (φ) sofre um acréscimo (∆φ). Então,

dτ ∆τ 2⋅sen(∆φ/2)µ  = lim∆φ→0  = lim∆φ→0  = µ (2.21)dφ ∆φ ∆φ

e como, . .ds dτ s ⋅ τ =   dt dt

então: . .ds dτ dφ ds s ⋅ τ =     (2.22)dt dφ ds dt

Sendo que (dφ/ds), com direcção tangente à variação da trajectória, representa a variação do ângulo (φ) com a distância (s), designa-se por curvatura e é, por definição, o inverso do raio (ρ) da trajectória. Assim,

1/ρ = dφ/ds (2.23)

pelo que, substituindo (2.21) e (2.23) em (2.22), se obtem, . . . s ⋅ τ = (s2/ρ) ⋅ µ

Finalmente, substituindo este resultado na equação (2.20) virá, .. . a = s ⋅ τ + s2/ρ ⋅ µ

pelo que se constata ter o vector aceleração duas componentes perpendiculares entre si, uma de direcção tangencial ao deslocamento e (s) de intensidade, outra normal e dirigida para o centro de curvatura (C), com um valor de (s2/ρ).

Assim, podemos escrever que,

a = at + an

Figura 2.44 - Componentes da aceleração

e, a partir da disposição ilustrada na Fig.2.44, afirmar que a componente tangencial será responsável pela variação (instantânea) de velocidade e a componente normal responsável pela manutenção da trajectória.

P

C

at

an

a

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 41

2.5.3 Aceleração de um Ponto num Sistema Referencial Móvel

Reportando ao ponto 2.4.3 - e respectiva Fig.2.22 - relativo à velocidade de um ponto num referencial móvel, aí definida como,

VO = VQ + Ω ∧ D + V

da sua derivação em ordem ao tempo vem,

V’O = V’Q + Ω‘∧ D + Ω ∧ D’ + V’ (2.24)

em que:

V’0 = a0 - aceleração de (P) em relação a [x0, y0, z0], ou absoluta

V’Q = aQ - aceleração de (Q) em relação a [x0, y0, z0], ou absoluta

= α - aceleração angular do sistema móvel [x, y, z] em relação a [x0, y0, z0]

D - variação de (Ω), em módulo e direcção

V’ - aceleração de (P) relativamente ao sistema móvel [x, y, z]

Uma vez que,

Ω ∧ D’ = Ω ∧ (Ω ∧ D + V)

= Ω ∧ (Ω ∧ D) + Ω ∧ V (2.25)

e que,

V’ = D” = (x i” + y j” + z k”) + (x” i + y” j + z” k)

da mesma forma que para a velocidade, temos agora para a aceleração:

V’ = Ω ∧ V + a (2.26)

em que (V) e (a) são, respectivamente, a velocidade e a aceleração do ponto (P) em relação ao sistema móvel [x, y, z]. Substituindo as equações (2.25) e (2.26) em (2.24) obtemos a forma mais geral da aceleração,

a0 = aQ + α ∧ D + Ω ∧ (Ω ∧ D) + 2⋅Ω ∧ V + a (2.27)

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 42

em que: a0 aceleração absoluta de (P)

aQ

( D)

α D

aceleração absoluta de (Q)

efeito da aceleração angular devida à rotação do sistema móvel

efeito da velocidade angular devida à rotação do sistema móvel

ACELERAÇÃO DE

TRANSPORTE

2⋅Ω V efeito combinado do movimento de (P) em relação ao sistema móvel e da rotação deste mesmo sistema

ACELERAÇÃO DE CORIOLIS

a aceleração de (P) relativamente a (Q), estando este fixo ao sistema móvel

ACELERAÇÃO NO SISTEMA MÓVEL

No caso mais particular do movimento plano, (Ω = ω k) pelo que,

Ω ∧ (Ω ∧ D) = (Ω⋅D)⋅Ω - (Ω⋅Ω)⋅D = -ω2 D

e a equação (2.27) simplifica-se para,

a0 = aQ + Ω‘∧ D - ω2 D + 2⋅Ω ∧ V + a (2.28)

2.5.4 Aceleração de um Corpo Rígido

Retomando a equação (2.28), se a velocidade relativa for nula - isto é, se (P) estiver fixo em [x, y, z] - então os dois últimos termos da equação são nulos e então:

a0 = aQ + Ω‘∧ D - ω2 D

sendo: Ω D - aceleração tangencial de (P) relativamente a (Q) ω2 D - aceleração normal de (P) relativamente a (Q) Nota: com sentido negativo, ou seja, de (P) para (Q)

pelo que a aceleração absoluta do ponto (P) se resume à soma da aceleração absoluta do referencial móvel, representada por (aQ), com a aceleração relativa (aP/Q) - representada aqui pelas suas componentes tangencial e normal, de forma análoga ao já visto para o caso de um referencial fixo.

Assim, podemos afirmar que, num corpo rígido em que um ponto (Q) esteja animado de velocidade e aceleração (Ω e ω) relativamente a um sistema fixo, a aceleração absoluta de um ponto (P) também pertencente a esse corpo será dada por:

aP = aQ + aP/Q

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 43

2.5.5 Centros Instantâneos de Aceleração Da mesma forma que, num mecanismo, se podem localizar centros instantâneos de rotação - ou seja, pontos para os quais a velocidade linear de determinada ligação é nula - é também possível definir centros instantâneos de aceleração como sendo pontos em relação aos quais determinada ligação não tem aceleração, em dado momento.

Muito embora a sua localização possa ser consideravelmente trabalhosa, especialmente em mecanismos complexos, apresenta-se aqui o denominado Método dos Quatro Círculos, que o permite fazer de uma forma razoavelmente expedita.

Na Fig.2.45 apresenta-se a ligação [AB] de um qualquer mecanismo e as respectivas acelerações (aA) e (aB). O procedimento, igualmente ilustrado, é o seguinte:

- prolongar (aA) e (aB) até à sua intercepção no ponto (K); - traçar um círculo, passando pelos pontos (A), (B) e (K); - traçar um círculo, passando pelos extremos dos vectores (aA) e (aB) e por (K); - localizar a intercepção dos dois círculos, ponto (J), e centro instantâneo de aceleração.

Figura 2.45 - Centro instantâneo de aceleração

2.5.6 Métodos Gráficos de Determinação de Aceleração

2.5.6.1 Polígno de acelerações

Baseia-se na solução gráfica das equações vectoriais de aceleração relativa, entre dois pontos (A e B) de um mesmo corpo rígido, ou seja:

aB = aA + aB/A

e na decomposição da aceleração nas suas direcções tangencial (at) e normal (an).

Na Fig.2.46.a) mostra-se a ligação 2 de um mecanismo, dotada de velocidade e aceleração angulares, respectivamente (ω) e (α), tal como indicadas.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 44

a) b)

Figura 2.46 - Aplicação do polígno de acelerações

Neste caso, as componentes da aceleração do ponto (B) serão:

aBt = R ⋅ α com a direcção de (α) aBn = R ⋅ ω2 com a direcção [BA]

sendo de notar que, neste exemplo, aA=0, pelo que aB/A=aB/An+aB/At.

No caso mais genérico em que o ponto (A) também tem uma dada aceleração - tal como ilustrado na Fig.2.46.b) - e sendo (A) o centro da curvatura do movimento de (B), então,

aB = aA + aB/A

= aA + aB/An + aB/At

continua a verificar-se.

Todavia, dois importantes conceitos devem estar sempre presentes:

1. a componente normal da aceleração de um ponto, relativamente a outro pertencente ao mesmo corpo rígido, é função da velocidade angular da ligação e da distância entre os dois pontos, tendo a direcção da linha de união dos dois pontos e o sentido do ponto de referência;

2. a componente tangencial da aceleração de um ponto, relativamente a outro pertencente ao mesmo corpo rígido, é função da aceleração angular da ligação e da distância entre os dois pontos, tendo a direcção perpendicular à linha de união dos dois pontos e o mesmo sentido da aceleração angular.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 45

2.5.6.2 Imagem de acelerações

A imagem de acelerações obtem-se seguindo os mesmos princípios já enunciados para a imagem de velocidades.

Tendo em consideração que, em termos de adição dos módulos dos respectivos vectores,

aB/A = aB/An + aB/At

= [( aB/An)2 + (aB/At)2 ]½

e como,

aB/An = ω2 ⋅ BA

aB/At = α ⋅ BA

então:

aB/A = BA ⋅ [ω4 + α2 ] ½ (2.29)

Da equação (2.29) pode concluir-se que, como (ω) e (α) são constantes para cada uma das ligações, então a aceleração de cada ponto relativamente a outro, numa mesma ligação, é proporcional à distância entre eles.

É também possível provar que a orientação da imagem de acelerações, de cada ligação, depende da aceleração angular dessa mesma ligação.

Assim:

- se a aceleração angular for nula, a imagem de velocidades encontrar-se-á rodada de 180o em relação à posição da respectiva barra, no sentido da velocidade de rotação;

- existindo uma componente de aceleração angular, a imagem encontrar-se-á rodada de um valor de [180o - tan-1(α/ω2)] em relação à posição dessa barra, no sentido da aceleração angular.

Para o mecanismo da Fig.2.47 teremos assim,

Figura 2.47 - Mecanismo de biela-manivela

e considerando a inexistência de aceleração angular da ligação 22=0), as imagens de velocidades e de acelerações encontram-se nas Fig.2.48.a) e b), respectivamente.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 46

a) b)

Figura 2.48 - Imagens de velocidades e de acelerações

É de notar que a imagem de acelerações da ligação 2, que não tem aceleração angular, apresenta uma rotação de 180o. Por seu turno para a ligação 3, animada de uma aceleração angular no sentido directo, a sua imagem aparece com uma rotação menor que 180o.

2.5.6.3 Centros Instantâneos de Aceleração

Para o caso genérico da Fig.2.49.a), supondo o ponto (J) como centro instantâneo de aceleração e conhecidas a aceleração (aA) do ponto (A) e a velocidade (ω) e aceleração (α) da ligação em causa, a equação vectorial da aceleração de (J) será,

aJ = aA + α ∧ r + ω ∧ (ω ∧ r) = 0

Uma vez que se trata de movimento plano, então (ω ≡ k), pelo que:

aA + r α (kr) - r ω2 r = 0

donde: aA = r ω2 r - r α (kr)

mas, uma vez que (r) e (kr) são vectores perpendiculares, então os dois termos do lado direito da equação acima representam uma soma vectorial cujo resultado é (aA), tal como ilustrado na Fig.2.49.b).

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 47

a) b)

Figura 2.49 - Determinação de acelerações através de centros instantâneos de aceleração

tornando-se, assim, possível calcular a magnitude e a direcção do vector (r),

aA r =  [ω4 + α2 ]½

γ = tan-1 (α/ω2)

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 48

2.5.7 Métodos Analíticos de Determinação de Aceleração

2.5.7.1 Método algébrico

A partir da expressão da velocidade, e por derivação em ordem ao tempo, ou a partir da expressão do deslocamento, derivando duas vezes, obtém-se a correspondente equação da aceleração.

Seguem-se exemplos de determinação, para os mecanismos já estudados em termos de análise de deslocamento, ponto 2.3.4.1, e análise de velocidades, ponto 2.4.7.1.

Exemplo a)

Para o mecanismo de biela-manivela da Fig.2.50, em que a expressão da velocidade é,

.  r ⋅ sen 2θ  x = - r ω ⋅ sen θ +    2l ⋅[1 - (r/lsen θ)2]½

Figura 2.50 - Sistema biela-manivela

a equação da aceleração resultante vem como,

..  r ⋅ sen 2θ   r ⋅ cos 2θ r3 ⋅ sen2 2θ  x = - r α ⋅ sen θ +   - r ω2 ⋅ cos θ +  +    2lcos φ   lsen φ 4l3 ⋅ cos3 φ 

em que, cos φ = [1 - (r/lsen θ)2]½

Dada a complexidade da expressão, e uma vez que os mecanismos usuais apresentam uma razão (l/r) elevada, é comum desprezar o último termo à direita, assim como tomar (cos φ ≈ 1), simplificando-se a equação para:

..  r   r  x = - r α ⋅ sen θ +  sen 2θ  - r ω2 ⋅ cos θ +  cos 2θ   2l   l

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 49

Exemplo b)

Quanto ao mecanismo de quatro barras da Fig.2.51, considerando que,

r1 + r2 + r3 + r4 = 0 (2.30)

Figura 2.51 - Mecanismo de quatro barras

e sendo as expressões da velocidade, como já visto,

r2 ω2 sen (θ2-θ4) ω3 =   r3 sen (θ4-θ3)

r2 ω2 sen (θ2-θ3) ω4 =   r4 sen (θ4-θ3)

da dupla derivação da equação vectorial (2.30), utilizando o mesmo procedimento de separação de raizes reais e imaginárias, resulta:

. r2 ω22 ⋅ cos (θ2-θ4) + r3 ω32 ⋅ cos (θ3-θ4) + r4 ω42 ω3 ≡ α3 =  r3 ⋅ sen (θ4-θ3)

. r2 ω22 ⋅ cos (θ2-θ3) + r4 ω42 ⋅ cos (θ3-θ4) + r3 ω32 ω4 ≡ α4 =  r4 ⋅ sen (θ4-θ3)

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 50

Exemplo c)

Para o mecanismo de corrediça da Fig.2.52, considerando,

r1 + r2 - r4 = 0

ou seja,

r1 ⋅ eiθ1 + r2 ⋅ eiθ2 - r4 ⋅ eiθ4 = 0

a dupla derivação em ordem ao tempo:

d2 θ2 d2 r4 d2 θ4 r2 i  eiθ2 -  eiθ4 - r4 i  eiθ4 = 0 d t2 d t2 d t2

atendendo a que (r1), (r2) e (θ2) são constantes, leva a: .. . . r2 i (α2 eiθ2 + i ω22 eiθ2) - r4 eiθ4 - r4 i ω4 eiθ4 - r4 i (α4 eiθ4 + i ω42 eiθ4) - r4 i ω4 eiθ4 = 0

donde, aplicando a fórmula de Euler e a separação de raizes reais e imaginérias, se torna possível deduzir as equações de aceleração linear da ligação 3-4 e de aceleração angular da ligação 4, conforme explanado no Anexo I,

.. .. r4 ≡ r3 = r4 ⋅ ω42 - r2 ⋅ ω22 ⋅ cos (θ2-θ4)

. r2 ⋅ ω22 ⋅ sen (θ4-θ2) - 2 r4 ⋅ ω4 α4 =  r4

Figura 2.52 - Mecanismo de corrediça

2.5.7.2 Diferenciação gráfica e numérica. Integração gráfica

Tudo o que, foi apresentado nos pontos 2.4.7.2, 3 e 4 em termos de determinação de velocidades, se aplica à determinação de acelerações, desde que a função ou respectiva curva de variação da velocidade seja conhecida.

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MECÂNICA APLICADA

Anexo ao

Capítulo II ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS ARTICULADOS

Curso de Licenciatura em Engenharia Mecânica

Departamento de Engenharia Mecânica Escola de Engenharia

UNIVERSIDADE DO MINHO

J.C.Pimenta Claro (1999) [e-version: 2004]

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados Anexo-1

Para o mecanismo de quatro barras da Figura,

temos que:

r1 + r2 + r3 + r4 = 0

ou seja,

r1 ⋅ eiθ1 + r2 ⋅ eiθ2 + r3 ⋅ eiθ3 + r4 ⋅ eiθ4 = 0 (2A.1)

Considerando, por uma questão de simplificação, a existência de um vector auxiliar (R) tal que,

R = r1 + r2

ou seja,

R ⋅ eiθR = r1 ⋅ eiθ1 + r2 ⋅ eiθ2

então: R⋅cos θR = r1⋅cos θ1 + r2⋅cos θ2  R⋅sen θR = r1⋅sen θ1 + r2⋅sen θ2

ou, uma vez que (θ1=180o),

R⋅cos θR = - r1 + r2⋅cos θ2  R⋅sen θR = r2⋅sen θ2

Elevando ao quadrado e somando membro a membro, vem:

R2 = r12 + r22 - 2 r2⋅ r2⋅cos θ2  θR = arc sen (r2/R⋅sen θ2)

e, como também,

R + r3 + r4 = 0 ⇒ r4 = R + r3

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados Anexo-2

então, r4⋅cos θ4 = R⋅cos θR + r3⋅cos θ3  (2A.2) r4⋅sen θ4 = R⋅sen θR + r3⋅sen θ3

Elevando novamente ao quadrado e somando membro a membro, teremos,

r42 = R2 + r32 + 2⋅R⋅r3⋅cos (θR-θ3)

pelo que: r42 - R2 - r32 cos (θR-θ3) =  2⋅R⋅r3

Retomando o sistema de equações (2A.2) e reescrevendo-o na forma:

r4⋅cos θ4 = r3⋅cos θ3 + R⋅cos θR  r4⋅sen θ4 = r3⋅sen θ3 + R⋅sen θR

e procedendo como anteriormente, virá:

r42 + R2 + r32 cos (θ4-θR) =  2⋅R⋅r4

Retomando a equação (2A.1), derivando-a, e tendo em atenção que (θ1, r1, r2, r3 e r4) são constantes, . . . r2 i θ2 eiθ2 + r3 i θ3 eiθ3 + r4 i θ4 eiθ4 = 0

Assim vem, r2 i ω2⋅(cos θ2 + isen θ2) + r3 ω3⋅(cos θ3 + isen θ3) + r4 i ω4⋅(cos θ4 + isen θ4) = 0

ou seja, r2⋅ω2⋅sen θ2 - r3⋅ω3⋅sen θ3 - r4⋅ω4⋅cos θ4 = 0  r2⋅ω2⋅cos θ4 + r3⋅ω3⋅cos θ3 + r4⋅ω4⋅cos θ4 = 0

donde: r2⋅ω2 sen (θ2-θ4) ω3 =  ⋅  r3 sen (θ4-θ3)

r2⋅ω2 sen (θ2-θ3) ω4 =  ⋅  r4 sen (θ4-θ3)

Raciocinio similar permitiria chegar a equações para a aceleração, tais como:

r2 ω22 ⋅ cos (θ2-θ4) + r3 ω32 ⋅ cos (θ3-θ4) + r4 ω42 α3 =  r3 ⋅ sen (θ4-θ3)

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados Anexo-3

r2 ω22 ⋅ cos (θ2-θ3) + r4 ω42 ⋅ cos (θ3-θ4) + r3 ω32 α4 =  r4 ⋅ sen (θ4-θ3)

Nota: . .. . θ = ω θ = ω = α Para o mecanismo de corrediça da Figura,

sendo a ligação 2 motora, rodando com uma velocidade ω2, numa posição definida pelo ângulo θ2, é também representado o sistema equivalente (b) em que cada ligação foi substituída pelo respectivo vector de posição. Assim, temos que, em notação vectorial, → → → r1 + r2 = r4

ou seja, → → → r1 + r2 - r4 = 0 → ou ainda, e porque r = r1 ⋅ ejθ, em notação complexa vem:

r1 ⋅ eiθ1 + r2 ⋅ eiθ2 - r4 ⋅ eiθ4 = 0 (2A.3)

em que, recorde-se, é suposto serem conhecidos r1, r2, θ1 e θ2. Como, pela fórmula de Euler,

r ⋅ ejθ = r⋅(cos θ + j⋅sen θ)

então:

r1⋅(cos θ1 + isen θ1) + r2⋅(cos θ2 + isen θ2) - r4⋅(cos θ4 + isen θ4) = 0 (2A.4)

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados Anexo-4

donde, separando raizes reais e imaginárias,

 r1 ⋅ cos θ1 + r2 ⋅ cos θ2 - r4 ⋅ cos θ4 = 0   r1 ⋅ sen θ1 + r2 ⋅ sen θ2 - r4 ⋅ sen θ4 = 0 sendo que, neste caso, θ1 = 180o ⇒ cos θ1 = -1 e sen θ1 = 0

Assim, obtem para a posição:

r2 ⋅ cos θ2 - r1 r4 =   r2 ⋅ sen θ2  cosarc tan    r2 ⋅ cos θ2 - r1 

 r2 ⋅ sen θ2  θ4 = arc tan    r2 ⋅ cos θ2 - r1 

Retomando a equação (2A.3) e derivando-a em ordem ao tempo

dr1 dθ1 dr2 dθ2 dr4 dθ4  e j θ1 + r1 j  e j θ1 +  e j θ2 + r2 j  e j θ2 -  e j θ4 – r4 j  e j θ4 = 0 dt dt dt dt dt dt

e, atendendo a que (r1), (r2) e (θ1) são constantes e que, portanto, a sua derivada se anula, vem:

dθ2 dr4 dθ4 r2 i  eiθ2 -  eiθ4 - r4 i  eiθ4 = 0 dt dt dt ou seja, . r2 i ω2 eiθ2 - r4 eiθ4 - r4 i ω4 eiθ4 = 0 (2A.5)

em que: . . θ2 ≡ ω2 e θ4 ≡ ω4 Como: VA2 = A2 ⋅ ω2 VA4 = A4 ⋅ ω4 VA2/A4 = dr4/dt a equação [2A.5] equivale a: VA2 = VA4 + VA2/A4

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados Anexo-5

Aplicando a fórmula de Euler à equação [2A.5], virá:

r2 i ω2⋅(cos θ2 + isen θ2) - r4⋅(cos θ4 + isen θ4) - r4 i ω4⋅(cos θ4 + isen θ4) = 0

e, separando as componentes real e imaginária, .  -r2⋅ω2⋅sen θ2 - r4⋅cos θ4 + r4⋅ω4⋅sen θ4 = 0  .  r2⋅ω2⋅cos θ2 - r4⋅sen θ4 - r4⋅ω4⋅cos θ4 = 0

obtem-se, para a velocidade: . r4 = r2 ⋅ ω2 ⋅ sen (θ4-θ2)

r2 ⋅ ω2 ω4 =  ⋅ cos (θ4-θ2) r4

Por sua vez, a derivação da equação da velocidade (2A.5), leva a: .. . . r2 i (α2 ei θ2 + i ω22 ei θ2) - r4 ei θ4 - r4 i ω4 ei θ4 - r4 i (α4 ei θ4 + i ω42 ei θ4) - r4 i ω4 ei θ4 = 0

a partir da qual, admitindo que (ω2) é constante e que, portanto (α2=0) e separando as componentes real e imaginária,

.. . -r2⋅ω22⋅cos θ2 - r4⋅cos θ4 + 2 r4⋅ω4⋅sen θ4 + r4⋅α4⋅sen θ4 + r4⋅ω42⋅cos θ4 = 0  .. . -r2⋅ω22⋅sen θ2 - r4⋅sen θ4 - 2 r4⋅ω4⋅cos θ4 - r4⋅α4⋅cos θ4 + r4⋅ω42⋅sen θ4 = 0

se torna possível escrever as equações das acelerações linear e angular:

.. r4 = r4 ⋅ ω42 - r2 ⋅ ω22 ⋅ cos (θ2-θ4)

. r2 ⋅ ω22 ⋅ sen (θ4-θ2) - 2 r4 ⋅ ω4 α4 =  r4

Nota: . .. . . .. . θ = ω θ = ω = α r = v r = v = a

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