MEDIDAS DE RESISTIVIDADE ELÉTRICA DC EM SÓLIDOS: COMO EFETUÁ-LAS CORRETAMENTE, Manuais, Projetos, Pesquisas de Engenharia Civil

Baixe MEDIDAS DE RESISTIVIDADE ELÉTRICA DC EM SÓLIDOS: COMO EFETUÁ-LAS CORRETAMENTE e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! Quim. Nova, Vol. 25, No. 4, 639-647, 2002      *e-mail: [email protected] # endereço atual: Departamento de Química, Universidade Estadual de Maringá, Av. Colombo, 5790, 87020-900 Maringá - PR MEDIDAS DE RESISTIVIDADE ELÉTRICA DC EM SÓLIDOS: COMO EFETUÁ-LAS CORRETAMENTE Emerson M. Girotto*# Instituto de Química de São Carlos, Universidade de São Paulo, CP 780, 13560-970 São Carlos - SP Ivair A. Santos Departamento de Física, Universidade Federal de São Carlos, CP 676, 13565-905 São Carlos - SP Recebido em 14/5/01; aceito em 24/8/01 DC ELECTRICAL RESISTIVITY MEASUREMENTS IN SOLIDS: HOW TO PROCEED CORRECTLY. This paper deals with the most common methods for determining the dc electrical resistivity in solid materials. A brief overview of the fundamental concepts related to the electrical resistivity on materials is introduced. Undoubtedly, the most common and useful procedure to determine the electrical resistivity () is the four-point probe method. Some crucial mistakes regarding the experimental procedure and the appropriated correction factors are found in the literature. Thus, the correction factor for the most common sample geometries were gathered and revised in order to provide an easy way to use and apply them. Keywords: resistivity; conductivity; four-point probe method; correction factors. INTRODUÇÃO Uma das linhas de pesquisa de maior interesse, tanto do ponto de vista acadêmico quanto tecnológico é, sem dúvida, o estudo e o desenvolvimento de novos materiais. Podemos encontrar uma vasta literatura relacionada a este assunto, o que reflete um crescimento contínuo do interesse pela procura de novos materiais, tais como cerâmicas, blendas, compósitos, polímeros, etc. Talvez uma das ha- bilidades mais desejáveis em um cientista moderno, e que atue nessa área específica do conhecimento, não seja a de inventar novos mate- riais, mas sim, a capacidade de conseguir agregar ou misturar os materiais já existentes, com características (físicas, químicas, etc.) bem estabelecidas, resultando na elaboração de novos materiais que apresentem características únicas em relação aos já existentes. Tal habilidade faz com que estes profissionais venham a desenvolver e agregar conhecimentos nas mais diversas áreas de atuação - tais como química, física, matemática ou engenharias - fato esse que claramen- te demonstra a multidisciplinaridade do estudo e desenvolvimento de novos materiais. Dentre as muitas propriedades físicas da matéria, suas proprie- dades elétricas são estritamente importantes tanto do ponto de vista acadêmico, para o entendimento do comportamento fundamental da matéria, quanto do ponto de vista tecnológico, para o desenvolvi- mento destinado a obtenção e caracterização de novos materiais. O comportamento elétrico global de muitos sistemas químicos ou físicos é muitas vezes ditado por uma série de processos, que às vezes são fortemente acoplados (e.g. interfaces sólido|líquido, sólido|sólido), e que possuem tempos de resposta distintos para qual- quer tipo de excitação sofrida pelo sistema. Quando nos deparamos com tais sistemas, uma das ferramentas mais eficazes para a identifi- cação destes processos é a técnica de espectroscopia de impedância. Por outro lado, um dos parâmetros físicos de grande importância, utilizado na caracterização elétrica de materiais é a resistividade elé- trica dc ( ), que é uma característica ou propriedade física de cada material ou elemento específico. Existem vários métodos experimen- tais usados para a sua determinação, que são freqüentemente de fácil compreensão e que não requerem conhecimentos aprofundados so- bre Física do Estado Sólido. Embora os métodos reportados na literatura para a determinação da resistividade elétrica não apresentem um elevado grau de sofistica- ção, é comum encontrarmos em textos de divulgação científica ou mesmo em teses ou dissertações, equívocos relacionados à montagem dessas técnicas ou relacionados à utilização da teoria envolvida (ex- pressões matemáticas versus formato/configuração da amostra), o que conseqüentemente resulta em uma interpretação equivocada dos da- dos advindos dos experimentos. Ainda existe, também, a possibilida- de de má interpretação na leitura de artigos ou de teses/dissertações, que pode induzir o leitor à conclusões equivocadas a respeito do as- sunto tratado. Por fim, a grande quantidade de métodos matemáticos e novas teorias que surgem, década após década, acabam por confundir os pesquisadores que usualmente fazem da medida de resistividade elétrica uma ferramenta útil para os seus devidos propósitos. Neste sentido, procuramos produzir um texto instrutivo, direcionado à técnicos, estudantes de graduação, de pós-graduação e também aos pesquisadores não-especialistas nesta área, que trata da determinação da resistividade elétrica dc em materiais sólidos, assim como da correta utilização das técnicas empregadas para este fim. O leitor irá encontrar uma apresentação sobre a maioria dos métodos comumente descritos na literatura, com uma descrição detalhada da- queles que consideramos serem os mais importantes e que por sua vez são mais amplamente utilizados, como por exemplo, uma descrição da montagem da sonda e da utilização correta do método de quatro pontas (que é um dos métodos mais usados e que mais causa confu- sões). É importante comentar neste ponto que o leitor irá encontrar no texto algumas “notas” destacadas que podem ser interpretadas como “dicas” para um bom entendimento do conteúdo dos parágrafos. A idéia de transformar frases de texto corrido em NOTAS baseou-se no fato de que estas notas em destaque devem ser estritamente obedeci- das para um uso correto das técnicas apresentadas, bem como para uma interpretação correta dos resultados obtidos. RESISTÊNCIA, RESISTIVIDADE E A LEI DE OHM1 Usualmente, o primeiro contato que se tem com a grandeza cha- mada “resistência elétrica”, acontece em disciplinas do ensino mé- 640 Quim. NovaGirotto e Santos dio, ensino profissionalizante ou mesmo em disciplinas introdutórias dos cursos superiores da área de ciências exatas. Porém, como afir- mamos anteriormente, existe uma outra grandeza com um nome muito parecido, a resistividade elétrica, ou simplesmente, resistividade. De fato, resistência elétrica (R, electrical resistance) é uma grandeza física que expressa o “impedimento” sofrido pelos portadores de carga, sujeitos à ação de um campo elétrico, ao atravessarem de um ponto a outro em um determinado “corpo”, sendo dependente das dimensões e do tipo de material do qual este corpo é constituído. Por outro lado, resistividade elétrica ( , electrical resistivity) é uma grandeza que também está relacionada a um impedimento sofrido pelos portadores de carga, porém, é uma propriedade intrínseca da matéria, sendo independente das dimensões do corpo estudado. Por- tanto, resistividade é uma propriedade da matéria. Outros exemplos de propriedade da matéria são: índice de refração, calor específico, densidade, dureza, elasticidade, viscosidade, temperatura de fusão, temperatura de transição vítrea, etc. Neste trabalho, estaremos discutindo métodos de medida de resistividade dc em materiais isotrópicos, nos quais as propriedades elétricas são as mesmas em qualquer direção analisada e que ainda possuam características ôhmicas (ver discussão adiante). Podemos definir a resistência entre dois pontos quaisquer de um material isotrópico, aplicando-se uma diferença de potencial V (ou tensão elé- trica) entre estes pontos e medindo a corrente elétrica i que flui entre eles. Desta forma, a resistência do material será dada pela equação 1. (1) A equação 1 é a expressão matemática para a lei de Ohm, que é verificada em muitos materiais isotrópicos. Neste caso, a corrente elétrica no interior do material varia linearmente com a tensão apli- cada, sendo a resistência elétrica R, a constante de proporcionalidade entre essas duas grandezas. Se a expressão 1 for verificada, dizemos que o material analisado é um condutor (ou resistor) ôhmico*. Por outro lado, quando estamos interessados em estudar fenô- menos elétricos localizados em um ponto específico da amostra, de- vemos focalizar não a diferença de potencial e a corrente elétrica neste ponto, mas sim, o campo elétrico e a densidade de corrente elétrica no ponto em questão. Em um condutor sujeito à ação de um campo elétrico dc
E, os portadores de carga fluem na direção deste campo. Sendo assim, podemos definir a densidade de corrente elé- trica nesse condutor como J = i/A, sendo A a área da seção transver- sal do condutor como mostra a Figura 1. A densidade de corrente elétrica no material se relaciona com o campo elétrico aplicado da seguinte maneira: (2) sendo a resistividade elétrica, que é uma grandeza intrínseca do material analisado. Podemos também definir a condutividade elétri- ca (), que é o inverso da resistividade elétrica, ou seja: (3) Partindo das definições de densidade de corrente elétrica e cam- po elétrico, podemos escrever a equação 4, que define matematica- mente a resistividade elétrica dc na forma: (4) Assim, podemos também definir a condutividade elétrica dc em um sólido na forma expressa pela equação 5. (5) As grandezas V, i e R são grandezas macroscópicas de grande interesse quando estamos fazendo medidas elétricas em materiais. Já a grandeza é importante quando o interesse é o comportamento fundamental da matéria, como estudado em Física da Matéria Condensada. NOTA 1: A unidade no S.I. para a resistência elétrica, R, é o V/A ou ohm (símbolo !), e para resistividade elétrica, , é o ohm.m (símbolo !m). Vale ressaltar que podemos encontrar na literatura, e principal- mente em medidas efetuadas em filmes finos, o símbolo !/
. Este símbolo expressa a chamada resistividade de superfície ( s ), que é dada em “ohm por quadrado”2. Isto pode ser afirmado porque um rearranjo da equação 1 leva à equação 6 (considerando área = wt, Figura 1), e a divisão l por w é equivalente a dividir a área do mate- rial em quadrados de lado w ao longo de l. (6) Por exemplo, na Figura 1 onde l = 2w, a área superficial do ma- terial é 2 quadrados. Assim, se a resistência entre os pontos A e B for igual a 100!, podemos dizer que a resistividade de superfície eqüivale a 100!/2
ou 50!/
. MÉTODOS EXPERIMENTAIS PARA MEDIDAS DE RESISTIVIDADE ELÉTRICA DC Existem vários métodos descritos na literatura que podem ser usados para o cálculo e a determinação da resistividade elétrica dc (direct current, corrente contínua) ou ac (alternating current, cor- rente alternada) em sólidos. A diferença entre a resistividade dc e a ac está simplesmente no tipo de excitação usada para sua determina- ção. No caso da resistividade dc, a amostra é excitada por um campo elétrico dc e no caso da resistividade ac, a amostra é excitada por um campo elétrico ac. * Vale ressaltar que, mesmo sendo um condutor ôhmico, este material pode perder suas características ôhmicas se a diferença de potencial aplicado for muito intensa. Por este motivo, diz-se que nenhum material existente na natureza obedece cegamente a lei de Ohm. Figura 1. Esquema de um material condutor de dimensões w, l e t 643Medidas de Resistividade Elétrica DC em Sólidos: como Efetuá-las CorretamenteVol. 25, No. 4 Para a utilização do método quatro pontas, faz-se necessário a utilização de “fatores de correção” que estão relacionados ao for- mato e arranjo das amostras. Tais fatores de correção são obtidos através de séries geométricas e da aplicação de técnicas matemáticas como o método das imagens, teoria de variáveis complexas, método das fontes de Corbino, funções de Green ou mapeamento conformacional6. Estas técnicas são utilizadas para o cálculo do cam- po elétrico estabelecido na amostra e são ferramentas muito impor- tantes e úteis no estudo de eletrodinâmica, sendo extensamente rela- tadas em livros-texto específicos sobre o assunto. O método das ima- gens, por exemplo, leva em consideração os gradientes de poten- cial* propagados no material quando este é colocado em contato com as sondas, sendo este contato entendido como se fosse uma carga pontual. Por este motivo, o formato e a disposição das pontas são também fatores essenciais para a determinação dos fatores de correção. É importante salientar, então, que todo o desenvolvimento matemático e teórico considera que a área de contato entre as pontas da sonda e a amostra é infinitesimal**. O objetivo deste trabalho não é discutir os métodos empregados na obtenção dos fatores de correção mencionados, mas associá-los às situações práticas mais comumente encontradas, alertando, desta forma, os usuários a respeito de sua importância. Contudo, para um maior aprofundamento no assunto, as referências bibliográficas de- vem ser consultadas. O fato mais importante neste ponto, é saber e lembrar que o arranjo das pontas, assim como o formato das amos- tras e sua disposição, exercem grande influência na determinação da condutividade elétrica de materiais pelo método quatro pontas. A sonda quatro pontas: como usá-la corretamente9 A Figura 4 mostra o esquema de como devem ser conectados os equipamentos de medida na sonda quatro pontas. Podemos observar que para a montagem experimental são necessários a princípio, três equipamentos. Nas pontas externas é conectada uma fonte de tensão dc que por sua vez é ligada em série com um multímetro que mede a corrente (i) entre estas pontas. Nas pontas internas é conectado um voltímetro que monitora a tensão (V) entre as mesmas. NOTA 3: O método quatro pontas foi desenvolvido originalmente para medir a resistividade de materiais cristalinos (rígidos). Porém, se sua amostra não é um material rígido, procure informações com o fabricante da sonda para saber se existe uma sonda especial para a determinação da resistividade elétrica dc de sua amostra (por exem- plo, existem sondas com pontas arredondadas no caso de amostras não-rígidas)2. Embora este seja o arranjo mais comum de uma sonda quatro pontas, podem ser encontrados na literatura alguns casos especiais, como a sonda proposta por Coleman15 em 1975, que é facilmente construída com fios de ouro muito finos (0,013-0,05 mm, portanto, maleáveis) dispostos lado a lado. A amostra (cristais orgânicos simi- lares a agulhas) é colocada em contato com a sonda, sendo que os contatos amostra-terminais comportam-se como contatos pontuais de área infinitesimal, como estabelecido pelo desenvolvimento teó- rico do método quatro pontas. O multímetro conectado às pontas internas deve monitorar uma tensão (V), que NÃO será a mesma aplicada pela fonte. Essa tensão monitorada nas pontas internas é originada pelo campo elétrico for- mado pela aplicação da tensão entre as pontas externas, e é esta ten- são MONITORADA que deve ser considerada no desenvolvimento matemático elaborado para o método quatro pontas (equações na próxima seção). Existem equipamentos comerciais onde temos to- dos os dispositivos acima (fonte e multímetros) devidamente conectados entre si numa forma compacta e que resulta em um só equipamento com as três funções embutidas. NOTA 4: O valor do potencial aplicado pela fonte NÃO é usado no cálculo da resistividade pelo método quatro pontas. Os valores de V e i a serem usados devem ser os valores medidos (ou monitorados). NOTA 5: O valor do potencial que se deve aplicar entre as pontas externas vai depender das características da amostra. Quanto mai- or a resistividade da amostra, maior deverá ser o valor do potenci- al. Todavia, a tensão aplicada pela fonte dc deve ser a menor possí- vel para que os gradientes de potencial estabilizem-se mais rapida- mente. Vale lembrar que a leitura da tensão entre as pontas internas só deve ser efetuada quando a estabilização já tiver sido alcançada. NOTA 6: Para evitar interferências eletromagnéticas que podem causar flutuações durante a leitura, é recomendado usar cabos blin- dados para conectar a sonda no equipamento usado na medida. NOTA 7: Para cada tipo de amostra existe um tipo recomendado de sonda (por exemplo, para medidas em semicondutores, é recomen- dado usar uma sonda de carbeto de tungstênio ou de ósmio, com pontas de 50-125 m de raio e que exerça uma pressão com 40-70 gramas/ponta sobre a amostra)2. Usando os valores de tensão e corrente para calcular a resistividade6 De maneira geral, a tensão V a uma distância s de um eletrodo que transporta uma corrente i em um material de resistividade elétri- ca é dada por: (10) Considerando-se um material de dimensões semi-infinitas, como mostrado na Figura 5, com a corrente entrando pela ponta 1 da son- da e saindo pela ponta 4, a tensão V se torna: (11) * A propagação destes gradientes de potencial deve se estabilizar após um determinado tempo, por isto, antes de anotar os valores de corrente e tensão que serão usados em seus cálculos, aguarde alguns minutos até que os valores lidos nos visores dos equipamentos se estabilizem. ** Por isto, durante suas medidas, observe se as pontas da sua sonda estão “entrando” na amostra, caso não seja uma amostra rígida. Você deve usar uma sonda onde a pressão seja suficiente para que ocorra apenas um contato superficial. Figura 5. Esquema mostrando o contato de uma sonda com quatro pontas colineares e eqüidistantes sobre uma amostra de dimensões semi-infinitas 644 Quim. NovaGirotto e Santos Sendo que s 1 e s 4 são as distância das pontas 1 e 4, respectiva- mente, com relação às pontas 2 e 3 que é onde nos interessa a tensão V. Determinando-se o valor de V para as pontas 2 e 3, temos que:  

  

     

e 

  

     
(12) Assim, a diferença de potencial total, V = V 2 - V 3 , eqüivale a: (13) Como o que nos interessa é a resistividade , rearranjando a equa- ção 13, temos: (14) Usualmente, o espaçamento entre as pontas das sondas é igual, portanto, s 1 = s 2 = s 3 e então a equação 14 se reduz à equação 15, sendo V o potencial elétrico medido nas pontas internas (em Volts) e i a corrente elétrica medida nas pontas externas (em ampères). (15) Contudo, existem situações onde não temos um material de di- mensões semi-infinitas e, portanto, a equação 15 deve ser corrigida para uma geometria finita. Para uma amostra de formato arbitrário, a resistividade elétrica é dada pela equação 16, sendo F o fator de correção que depende do formato da amostra, de suas dimensões, de onde são colocadas as pontas para a medida e ainda, de como está arranjada (tipo de substrato, por exemplo, no caso de um material depositado). (16) Fatores de correção6,9,16,17 Como já mencionado, o fator de correção depende da geometria da amostra e deve ser utilizado para corrigir efeitos de espessura, efeitos de fronteiras e efeitos de localização das pontas na amostra. Usualmente, o fator de correção F é um produto de vários fatores de correção independentes. Para amostras com espessura maior que o espaçamento entre as pontas da sonda (s), os fatores de correção con- tidos em F da equação 16 não são adequados devido às interações entre os efeitos de espessura e de fronteiras (bordas da amostra). Entretanto, felizmente, a espessura da amostra é geralmente menor que s e, assim, os fatores de correção podem ser independentemente calculados. Podemos encontrar na literatura, vários trabalhos onde são reportados os cálculos para os fatores de correção utilizando di- ferentes técnicas matemáticas6. Considerando os efeitos mencionados, podemos reescrever a equação 16, subdividindo o fator de correção F em três outros, como na equação 17, sendo F e o fator de correção para a espessura, F dl para as dimensões laterais e F lp o fator de correção para o local onde são colocadas as pontas (importante quando existem efeitos de borda). (17) Na próxima seção estarão apresentados os fatores de correção e as expressões apropriadas para a determinação da resistividade elé- trica em alguns tipos de formatos e arranjos substrato/amostra. Exemplos para tipos de amostras mais comuns Antes de iniciarmos a apresentação dos exemplos para os forma- tos e arranjos mais comuns de amostras submetidas às medidas da resistividade elétrica dc, é estritamente importante observar os se- guintes pontos: a) Todo o desenvolvimento teórico usado na elaboração das ex- pressões matemáticas a seguir foi feito considerando-se que a leitura da corrente (i) é feita nas pontas externas (1 e 4, Figura 5) e da tensão (V) nas pontas internas (2 e 3, Figura 5). Considera-se ainda, que as pontas da sonda são colineares e eqüidistantes. b) Para as medidas feitas em amostras de formato circular, retangu- lar ou de formato arbitrário, as pontas da sonda devem ser loca- lizadas o mais próximo do centro da amostra, com um erro má- ximo de 10%. Amostras depositadas sobre substratos condutores (e.g. ITO, metais, etc.) a) Amostras circulares de dimensões laterais semi-infinitas (diâmetro d  40 s) e espessura w (Figura 6): (18) sendo que F 1 pode ser calculado através da equação 19. A Tabela 1 apresenta alguns valores calculados de F 1 . (19) b) Amostras circulares de dimensões laterais finitas (d < 40 s) e es- pessura w (Figura 6): (20) sendo que F 2 pode ser calculado através da equação 21. A Tabela 2 apresenta alguns valores calculados de F 2 . Tabela 1. Valores de F 1 w fator de correção “F 1 ” s 0,1 528652,9922 0,2 292,4402 0,3 26,4022 0,4 8,3738 0,5 4,3669 0,6 2,9094 0,7 2,2225 0,8 1,8444 0,9 1,6141 1,0 1,4635 645Medidas de Resistividade Elétrica DC em Sólidos: como Efetuá-las CorretamenteVol. 25, No. 4 (21) c) Amostras retangulares de comprimento finito a, largura finita d e espessura w (Figura 7): (22) sendo que F 3 pode ser calculado através da equação 23. A Tabela 3 apresenta alguns valores calculados de F 3 . (23) NOTA 8: Existem também casos especiais onde a amostra possui limites (ou bordas) condutoras. Nestes casos, o contato da sonda pode ser feito de forma perpendicular ou paralelo com relação à borda condutora e um outro fator de correção deve ser usado. Para detalhes, consulte as referências 9, 16 e 17. É importante observar que no caso (c), as medidas podem também ser realizadas em amos- tras quadradas (a/d=1, Tabela 3). NOTA 9: As pontas da sonda devem estar paralelas ao comprimento “a”, como na figura. Amostras depositadas sobre substratos não-condutores (e.g. vidro, madeira, polímeros isolantes, etc.) a) Amostras circulares de dimensões laterais semi-infinitas e espes- sura w (Figura 8): (24) (25) sendo que F 4 pode ser calculado através da equação 26. A Tabela 4 apresenta alguns valores calculados de F 4 . (26) Figura 6. Exemplo de amostras de dimensões laterais semi-infinitas (d  40 s) ou finitas (d < 40 s) e espessura w, depositadas sobre substratos condutores Tabela 3. Valores de F 3 .  
      !      1,0 0,9988 0,9994 1,25 1,2467 1,2248 1,5 1,4788 1,4893 1,4893 1,75 1,7196 1,7238 1,7238 2,0 1,9454 1,9475 1,9475 2,5 2,3532 2,3541 2,3541 3,0 2,4575 2,7000 2,7005 2,7005 4,0 3,1137 3,2246 3,2248 3,2248 5,0 3,5098 3,5749 3,5750 3,5750 7,5 4,0095 4,0361 4,0362 4,0362 10,0 4,2209 4,2357 4,2357 4,2357 15,0 4,3882 4,3947 4,3947 4,3947 20,0 4,4516 4,4553 4,4553 4,4553 40,0 4,5121 4,5129 4,5129 4,5129 " 4,5324 4,5324 4,5325 4,5324 Figura 7. Exemplo de amostras retangulares de comprimento finito a, largura finita d e espessura w, depositadas sobre substratos condutores Tabela 2. Valores de F 2 w fator de correção “F 2 ” s 3 2,2662 4 2,9288 5 3,3625 6 3.6522 7 3,8512 8 3,9920 10 4,1712 20 4,4363 30 4,4892 40 4,5080 50 4,5167 200 4,5314 " 4,5323