Medidas Logaritmicas, Notas de estudo de Engenharia Informática
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Microsoft Word - Medidas Logaritmicas.doc

1

Medidas logarítmicas

1. Introdução

Medir uma grandeza física significa compará-la com outra de mesma espécie que através de convencionamento se tornou a unidade de medida. Em qualquer ramo de atividade uma unidade possui os seus múltiplos e submúltiplos, que são usados no sentido de facilitar o manuseio das mesmas. Como exemplo pode-se usar a pesagem de um carro e de uma lata de sardinha. O peso de um carro de médio porte é de aproximadamente 1,24T enquanto que o da lata de sardinha é 132g, matematicamente estaria correto afirmar que o peso do carro é 1.240.000g e o da lata de sardinha são 0,000132 T, no entanto, isto não seria conveniente devido à falta de praticidade.

Em telecomunicações tem-se um problema ainda maior, pois se trabalha ora com níveis muito baixos e ora com níveis muito altos em um mesmo sistema, o que implica variações significativas de valores. Como exemplo pode-se apresentar a radiodifusão de TV em grandes centros que emprega dezenas de milhares de watts na transmissão dos sinais para garantir níveis de recepção da ordem de dezenas de bilionésimos de watts.

Para solucionar este problema trabalha-se com unidades logarítmicas, pois uma variação de 100.000.000.000 na escala linear corresponde logaritmicamente a uma variação de apenas 11. Nota-se que ocorreu uma compressão de escala, que pode ser melhor verificada analisando-se o gráfico da figura 1.

Figura 1: Função matemática logarítmica

2

Através do gráfico da figura 1 verifica-se que yx ∆>>∆ . Sendo assim é possível trabalhar com apenas uma escala de medidas envolvendo valores de pequena e grande magnitude, sem a necessidade em muitos casos da utilização de diferentes múltiplos e submúltiplos para representar as medidas realizadas em um dado sistema.

Em telecomunicações será possível trabalhar com escalas logarítmicas para representar valores de ganho, atenuação, tensão, corrente, potência e outras medidas que serão apresentadas ao longo do texto.

Este trabalho é voltado para engenharia na área de telecomunicações, mas a escala logarítmica é largamente empregada em várias áreas tecnológicas e científicas, pela funcionalidade e pelas facilidades de análise que a mesma pode trazer.

2. Conceitos básicos de telecomunicações

Existem conceitos básicos empregados em qualquer sistema de telecomunicações. Estes conceitos são utilizados para analisar, medir e parametrizar diferentes etapas e sistemas utilizados em todo o processo de comunicação, tanto na concepção analógica como na concepção digital.

2.1. Ganho e Atenuação

Em sistemas ou circuitos sempre é importante comparar o sinal de saída com o sinal de entrada, para diferentes e variadas análises. Ao comparar a amplitude dos sinais de saída e entrada é possível que o nível de saída seja maior ou menor do que o nível de entrada. Quando o nível de saída for maior que o nível de entrada conclui-se que o sinal de entrada foi amplificado ou que sofreu um ganho. Nesta condição o circuito ou sistema analisado se comporta como um amplificador. De forma contrária se o sinal de saída possuir uma amplitude menor que o sinal de entrada, conclui-se que o sinal foi atenuado e o circuito ou sistema se comporta como um atenuador.

Através das definições realizadas no parágrafo anterior pode-se afirmar que o ganho e a atenuação são encontrados sempre da mesma forma, ou seja, por meio da relação entre o nível de saída pelo nível de entrada. O que difere uma da outra é a análise do resultado desta relação. Se o resultado for maior que a unidade a razão entre as duas grandezas indica ganho, mas se o resultado for menor que a unidade a razão representa atenuação, como demonstra o equacionamento a seguir.

1>= IN

OUT

IN

OUT

P

P para

P

P G

1<= IN

OUT

IN

OUT

P

P para

P

P A

(1)

Quando a razão entre os níveis de entrada e saída é igual à unidade, conclui-se que não existe nem ganho nem atenuação.

Outra conclusão que pode ser tirada da definição de ganho e atenuação é que ganho e a atenuação são condições inversas e, portanto matematicamente podem se relacionar através da equação 2.

3

A Gou

Atenuação Ganho

11 == (2)

O ganho e a atenuação podem ser expressos através de escalas logarítmicas. Em telecomunicações é comum a utilização dos logaritmos decimais ou dos logaritmos naturais. Quando é utilizada a escala logarítmica com base decimal a unidade é o BEL (B) e quando se trabalha com a escala logarítmica com base natural a unidade é o Neper (Np). Como o BEL apresenta uma compactação muito grande da escala é comum se trabalhar com um submúltiplo conhecido como decibel (dB). As equações (3) e (4) apresentam estas duas condições.

( ) ( )  

  

 ⋅=⋅=

IN

OUT

P

P GdBG log10log10 (3)

( ) IN

OUT

P

P NpG ln= (4)

Na escala logarítmica os resultados deverão ser analisados para sabermos se o sistema opera como um amplificador ou um atenuador, como já comentado anteriormente. Quando a relação de potência é igual a 1 na escala linear, o resultado nas escalas logarítmicas será de 0dB ou 0(Np). Sendo assim, quando o resultado nas escalas logarítmicas for positivo trata-se de ganho e quando for negativo de atenuação, ou baseando-se na (2), pode-se representar um ganho de valor negativo por uma atenuação de mesma magnitude com sinal positivo, pois nas escalas logarítmicas, tem-se:

( ) ( ) ( )A A

GdBG log10 1

log10log10 ⋅−= 

  

 ⋅=⋅= (5)

( ) )ln( 2

1 )ln(

2

1 ln AGGneperG −=⋅== (6)

A definição de ganho e atenuação é feita pela relação das potências de saída e de entrada. No entanto, pode-se trabalhar com tensão ou corrente que também são formas para medir a intensidade dos sinais em circuitos e sistemas. As equações (7) e (8) apresentam a obtenção do valor de potência através dos níveis de tensão ou corrente.

Z

E P

2

= (7)

ZIP ⋅= 2 (8)

Pode-se nas expressões usadas para cálculo de atenuação ou ganho do sistema, trabalhar com as potências em função da tensão e da impedância, como apresentado na equação (9).

4

OUT

IN

IN

OUT

IN

IN

OUT

OUT

Z

Z

E

E

Z

E

Z

E

dBG log10log20log10)( 2

2

⋅+⋅=⋅=

OUT

IN

IN

OUT

Z

Z

E

E dBG log10log20)( ⋅+⋅=

(9)

Trabalhando-se com corrente e impedância, os valores de ganho ou atenuação podem ser obtidos pela equação (10).

IN

OUT

IN

OUT

Z

Z

I

I dBG log10log20)( ⋅+⋅= (10)

É de grande importância analisar as equações (9) e (10) com relação aos valores de impedância. Se as impedâncias de entrada e saída forem iguais entre si e também iguais ao sistema de medida empregado na leitura dos níveis, o resultado do segundo termo das equações em questão será igual à zero. Portanto, se for empregada uma impedância padrão em todo o processo, os resultados de ganho e atenuação dependem apenas das leituras de tensão.

2.2. Relação entre decibel e neper

O mais comum é a indicação de ganho e atenuação em dB, mas existem alguns estudos e projetos que trabalham com equações desenvolvidas em Neper. Por este motivo, este item mostrará como é feita a conversão de uma grandeza em Neper para dB e vice-versa. Matematicamente esta operação se baseia na mudança de base como apresentado na equação (11).

( ) e

P

P

P

P

P

P

P

P neperG IN

OUT

IN

OUT

IN

OUT

IN

OUT

log

log

20

10 ln

2

1 ln

2

1 ln ⋅=

  

 ⋅=

  

 ⋅==

( ) ( ) 686,8

dBG neperG =

(11)

2.3. Medida de nível

As medidas de nível empregando escalas logarítmicas se baseiam sempre em uma relação de potências. Neste processo é escolhido um valor de referência e a partir desta determinação verifica-se em quanto na escala em dB o nível está acima ou abaixo desta referência. Esta definição pode ser aplicada a qualquer nível de referência, no entanto, existem valores padrões empregados pelo mercado de telecomunicações, que serão apresentados a seguir.

2.3.1. Medida em dBu

Esta é uma unidade de medida de nível de potência que emprega leituras de tensão para obtenção do resultado. Trabalha-se com uma potência de referência de

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1mW desenvolvida sobre uma impedância de referência com valor de 600Ω1. Esta definição pode ser descrita e trabalhada matematicamente como apresentado a seguir.

( ) ( )

Ω⋅= ×

= −

600

775,0 600log10

)(101

)( log.10

2

2

3

U

W

WP dBuP

( ) )(775,0

)( log20

V

VU dBuP ⋅=

(12)

Quando se trabalha com diferentes impedâncias entre o ponto de medida no sistema e o medidor empregado, deve-se realizar um fator de correção, como já discutido anteriormente nas medidas de ganho e atenuação.

( ) Z

V dBuP

600 log10

775,0 log20 ⋅+⋅=

(13)

Onde 600Ω é a impedância do equipamento medidor e Z é a impedância do ponto.

Tabela 1: Valor do fator de correção para algumas

impedâncias encontradas na prática.

)(ΩZ 600 300 150 75 50

Z

600 log10⋅ 0 3 6 9 10,8

2.3.2. Medida em dBµV

Esta forma de medida é amplamente empregada para descrições sistêmicas e parametrais de equipamentos e circuitos que operam com baixos níveis, como é o caso de receptores de rádio e TV, redes de TV a cabo e outros.

Considerando o sistema operando com uma única impedância, nesta modalidade a referência de medida é o valor de tensão de 1µV.

( ) 6101

log20 −×

⋅= V

dBP µ (14)

Medidores de nível empregados em TV a cabo e medidores de intensidade de campo na grande maioria dos casos utilizam esta escala.

2.3.3. Medida com referência de 1mW: dBm

Através da equação (15) é apresentada a forma de se calcular o nível de potência tendo como referência o nível de 1mW. É importante que fique muito claro que o resultado desta equação indica em quantos dB’s o sinal medido está acima do nível de referência, quanto o sinal for positivo. Quando o resultado final é negativo o mesmo indica em quantos dB’s o sinal medido está abaixo do nível de referência.

1 ( ) ( )

( )VU U

mW REF REF 775,0

600 1

2

=⇒ Ω

=

6

( ) ( )W

WP dBmP

3101 log10)(

−× ⋅= (15)

Embora o dBm seja a unidade mais empregada em telecomunicações, existem outras também utilizadas, que tomam outros níveis como referência.

2.3.4. Medida com referência de 1W: dBW

( ) ( )W WP

dBWP 1

log10)( ⋅= (16)

2.3.5. Medida com referência de 1 kW: dBK

( ) ( )W

WP dBKP

3101 log10)(

× ⋅= (17)

2.3.6. Medida em dBr

Nesta condição é adotado um nível de referência de acordo com o sistema analisado, podendo variar para cada condição de operação ou de um sistema para outro. Também pode indicar o somatório de ganhos e atenuações num ponto qualquer com relação ao ponto de referência ou PONTO ZERO de transmissão.

( ) )(

)( log10

WP

WP dBrP

REF

⋅= (18)

O ponto de referência é o ponto de 0dBr. A referência também pode ser descrita em dBm0. A indicação em dBm0 representa a medida em dBm do PONTO ZERO. O valor em dBm0 indica também a diferença entre as medidas em dBr e em dBm ao longo de todo o sistema. Matematicamente esta descrição é apresentada pelas equações (19) e (20).

( ) ( ) ( )0dBmdBrdBm =− (19)

( ) ( ) ( )0dBmdBrdBm += (20)

Como exemplo a figura 2 apresenta um diagrama em blocos com medidas em dBm e dBr, atestando as equações (19) e (20).

Figura 2: Diagrama em blocos para ilustrar a medida de níveis em

telecomunicações.

2.3.7. Outras medidas utilizando as escalas logarítmicas

Existem várias outras aplicações para as medidas logarítmicas, que são largamente empregadas em engenharia. Para os engenheiros que trabalham com

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comunicação sem fio é comum se utilizar valores de ganho de antenas em dBi ou dBd, onde os índices “i” e “d” representam os ganhos com relação à antena isotrópica ou a antena dipolo respectivamente.

Outra aplicação muito comum em RF (radiofreqüência) é a medida de sinais espúrios que normalmente possuem seus níveis indicados em dBc onde o índice “c” indica o quanto o espúrio está acima ou abaixo do nível de portadora (carrier). A figura 3 apresenta a medida de nível de um espúrio com relação ao nível de portadora.

Exercícios:

1. Determinar o ganho de um amplificador de potência empregado em radiocomunicação que oferece em sua saída uma potência de 230W quando aplicado em sua entrada um sinal com amplitude de 1W.

2. No diagrama em blocos da figura E.1, constituído de amplificadores e atenuadores, determinar:

(a) O nível de sinal em (W) e em (dBm) em cada um dos pontos propostos; (b) O ganho de cada um dos blocos desconhecidos.

I ? ? 1,38mW 4,5mW 3,5W

10dB -2,5dB 3,5dB 8dB

Figura E.1: Diagrama em Blocos constituído de atenuadores e amplificadores.

3. Numa rede de TV a cabo foi inserido em um determinado ponto da rede um sinal com nível de 225µV. No final de um dado segmento da rede coaxial o nível medido é

Nível de Potência

do Espúrio

com relação à

portadora

P = -39dBc

Portadora

(Carrier)

Figura 3: Medida do nível de espúrio com relação à portadora (dBc).

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de 100nV. Todo o sistema opera e é analisado com impedância padronizada em 75Ω. Determinar: (a) Valores em dBµV na entrada e saída do sistema; (b) Nível de potência na entrada e saída em (W) e (dBm);

(c) Atenuação ou ganho oferecido pelo segmento analisado.

4. Um dado sistema, operando em 200MHz, deve oferecer na saída um nível de 1W. Considerando o nível de entrada de 20µW, determinar o ganho do amplificador. Considerar a atenuação oferecida por conector igual a 0,15dB.

5. No exercício anterior determinar a atenuação do cabo coaxial em (Np/m).

6. Um gerador de RF com impedância de 75Ω apresentou um nível de 18,7dBm quando medido por um analisador de espectro com impedância de 50Ω. Determinar: (a) Fator de correção que deve ser empregado para medida correta de nível nesta condição. (b) Qual será o valor medido na saída do gerador se for empregado um analisador de espectro com impedância de 75Ω.

7. Três equipamentos devem ser associados para oferecer amplificação e filtragem de um determinado sistema.

Equipamento 1 (Amplificador)

Equipamento 2 (Filtro)

Equipamento 3 (Filtro)

Freq. de Operação (MHz) 250 - 380 250 - 380 250 - 380 Impedância de Entrada (Ω) 50 25 100 Impedância de Saída (Ω) 25 100 50

Ganho (dB) 22 2,4 3,8

A associação dos equipamentos segue a ordem da tabela. Supondo o uso de um gerador de RF, com nível de saída de 10dBm, e de um analisador de espectro, ambos com impedância de entrada de 50Ω, determinar: (a) Nível real na entrada e saída de cada bloco, com teste isolado de cada elemento; (b) Nível indicado no analisador de espectro; (c) Nível na entrada e saída do sistema, com todos os elementos associados.

8. Um gerador de sinais operando em 900MHz deve ter o nível de saída que garanta a potência de 0dBm na entrada de um transmissor submetido a teste. A conexão entre o

Figura E.2: Diagrama em blocos.

9

gerador e o transmissor será realizada com cabo RG213, com comprimento de 10m. Determinar o nível de saída do gerador para garantir o sucesso do teste.

9. Um sistema que opera em 450MHz utiliza 34m de cabo RG58 para interligar a saída de um transmissor de 10W a uma antena. Determinar: (a) Potência em (W) e (dBm) que chega ao conector da antena; (b) Variação do nível de potência na antena com a substituição do cabo RG58 pelo cabo RG213. (c) Diferença de atenuação entre os cabos RG58 e RG213.

10. No diagrama em blocos da figura E.2, determinar o nível em dBm, dBW, dBK, dBu e dBµV.

11. Justificar matematicamente cada uma das notas apresentadas a seguir:  Valores de ganho em (dB) podem ser somados. O resultado final também será

dado em (dB).  Valores em (dBm) podem ser somados com valores de ganho em (dB) e o

resultado final representa um nível em (dBm).  Dois valores em (dBm) podem ser subtraídos e o resultado final representará

um ganho em (dB).  Dois níveis de potência não podem ser somados em (dBm), pois o resultado

não apresenta significado físico. Para soma de dois valores de potência a operação deve ser feita na escala linear em (W) e só então convertida para (dBm).

 A condição anterior se aplica para (dBW), (dBK), (dBr), (dBu), (dBµV).  As operações em (dBm), (dBW), (dBK), (dBr), (dBu), (dBµV) não podem se

misturar. Deve-se converter todas as medidas em diferentes escalas para uma escala única.

Importante: Em nenhuma das notas foi abordado o termo atenuação, pois valores negativos de ganho em (dB) representam valores positivos de atenuação em (dB).

Referências:

_______________________________

1 RIBEIRO, J. A. J. Propagação das Ondas Eletromagnéticas: princípios e aplicações. São Paulo: Érica, 2004. 2 RIBEIRO, M. P. Telecomunicações sistemas analógico-digitais. Rio de Janeiro: LTC, 1980. 3 PINES, J. Telecomunicações: Sistemas multiplex. 3ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1983. 4 SILVA, G. V. F. Telecomunicações: sistemas radiovisibilidade. 2ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1978. 5 Radio Frequency Systems. RFS Products Infrastructure Solutions. 4th Ed. Radio Frequency Systems, 2006.

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Anexo 1: Ficha Técnica: Parâmetros de cabos coaxiais.

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