Metodo de Rayleigh Ritz, Exercícios de Engenharia Civil. Universidade de Brasília (UnB)
Dutra1974
Dutra19747 de Julho de 2017

Metodo de Rayleigh Ritz, Exercícios de Engenharia Civil. Universidade de Brasília (UnB)

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Mecânica do continuo - Tópico 4 - Método de Rayleigh - Ritz
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MECÂNICA DO CONTÍNUO

Tópico 4

Método de Rayleigh - Ritz

PROF. ISAAC NL SILVA

Fundamentos do método

• A solução exata y(x) é substituída por uma função aproximada v(x).

• A função v(x) é uma combinação linear de funções φi(x).

• A função v(x) é substituída no funcional básico e este é minimizado.

∑ =

=≅ n

i ii xaxvxy

1

)()()( φ

Fundamentos do método

• As funções φi(x) são denominadas funções de forma, são linearmente independentes e cada uma satisfaz as condições de contorno.

• Essas funções são contínuas até o grau m-1, ou seja, o funcional tem derivada de ordem m.

• Os coeficientes ai são denominados “parâmetros de deslocamento”.

niparaxx ii ,...,2,10)2()1( === φφ

Fundamentos do método

• A função v(x) é denominada função aproximadora.

• Para resolver o funcional deve-se substituir y por v e impor a condição extremizante:

0...2 2

1 1

= ∂ ∂++

∂ ∂+

∂ ∂= n

n

a a

I a

a

I a

a

I I δδδδ

Fundamentos do método

• A equação anterior pode ser resolvida através do sistema de equações homogêneas:

• Quanto maior o número n de termos na função v(x), melhor é a aproximação.

ni a

I

i

,...,2,1;0 == ∂ ∂

Fundamentos do método

• O processo iterativo para obtenção da solução completa é terminado quando a condição é satisfeita:

• Em que λ é um número pequeno.

∫ ∑ =∞→

<− 2

1 1

2)(lim x

x

n

i ii

n dxay λφ

Fundamentos do método

• A convergência é verificada comparando sucessivos valores de I(n) do funcional.

I é minimizado em cada passo, enquanto a condição é verificada.

∑ =

= n

i

n i

n i

n av 1

)()()( φ

)()1( nn II ≥−

Fundamentos do método

• Para alguns problemas, o funcional é obtido a partir da energia de deformação U armazenada ou do potencial de energia π (energia de deformação - trabalho das forças externas). Para uma mola de constante K, a energia armazenada é a área sobre a curva:

F

x

U 2

2kx U =

Fundamentos do método • Para uma viga prismática sujeita a um

carregamento pontual em B, o funcional que caracteriza o potencial de energia armazenada é dada por:

ii

l

uPdx dx

xudEI − 

  

 = ∫

2

2

2

0

)(

2 π

y

P x

u(x)

A B C

Fundamentos do método • Já para uma viga prismática sujeita a um

carregamento distribuído, o funcional que caracteriza o potencial de energia armazenada é dada por:

y

q

∫∫ − 

  

 =

ll

dxxuxqdx dx

xudEI

0

2

2

2

0

)()( )(

2 π

x

u

Fundamentos do método

• Para cada tipo de carregamento , há um tipo de deformação e, consequentemente, uma expressão que representa a energia de deformação armazenada:

Em função do Deslocamento

Em função do Carregamento

Tração / compressão

Flexão

Cisalhamento

Torção

Exemplo 1

• Determinar os deslocamentos u(x) na viga pelo método de Rayleigh-Ritz:

y

P|x=L

x

u(x) X=0 X=2L

Exemplo 2

• Determinar os deslocamentos u(x) na viga pelo método de Rayleight-Ritz:

• Dados: comprimento L=1m; EI=const.

y

q=10X

x

u(x)

Exercício 1

• Determinar os deslocamentos u(x) na viga pelo método de Rayleigh-Ritz:

• Dados: comprimento L=1m; EI=const.

y

q

x

u(x)

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