Método Simplex, Notas de estudo de Engenharia Elétrica
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O Método Simplex Cid C. de Souza cidfic.unicamp.br Instituto de Computação — UNICAMP L Cid de Souza — Método Simples Definições e Resultados Básicos - s SCR é convexo se e somente se todo ponto 7 que é uma combinação linear convexa de um par de pontos qualquer (x!, 2) de S também pertencer a 5. O OG CONVEXO = NÃO CONVEXO » Proposição: S= (x eR”":Azo0) é convexo. Definições e Resultados Básicos - » Definição (geométrica): = x é um ponto extremo de S se e somente se não existem pontos distintos r!e «2 de Stal que ar! + (1-a)x2 =x com00)znão vazio, A:mxn, m geométrica) Seja Gx < g o subsistema linear de S com n desigualdades L/ satisfeitas na igualdade, ou seja, Gr=9,G:nxmn, p(G) = n. Supor por contradição que x = ax! +(1-a)x2,r! Za2 ES. Isso implica que G7 = aGr! + (1- a)Gx? =. Comoa>0,1-a>0,Gri algébrica) Supor que Z satisfaz a apenas r < n desigualdades de S na igualdade. Sejam estas r desigualdades dadas por: Gr=9,Girxn,(G)=r 0 tal que (x — cd) e (x + cd) estão ambos em 5. Como x = (x — ed) + (7 + ed), 7 não é extremo. O L Cid de Souza — Método Simpl&ies Representação de Poliedros E = Teorema de Garatheodory: O poliedro não vazio S = (zr ER”: Az 0) também pode ser representado na seguinte forma: S=(1eR: =D A+ a gd? » X=1A>0paratodoi=1....,p u; >0paratodo j=1,...,qh onde (x!,...,x”) são os pontos extremos de S e (d!,...,d?) são os raios extremos de 5. Representação de Poliedros xl POLIEDRO LIMITADO x2 (POLITOPO) x4 x3 dl POLIEDRO ILIMITADO xl x3 Cid de Souza — Método Simplnies Soluções básicas S=[xeR":Av=br>0 s Seye S então y é uma solução viável. s Suporque 4:mxn, p(A)=men>m. Então, «x é uma solução básica se x; = O para todo i=m+l,...,neamatriz B= [A Ao ... Am] é inversível. (assume-se que as colunas de 4 e as componentes de x tenham sido rearranjadas apropriadamente). Soluções básicas Ti To TB = = , 0 TN [| onde x; são as variáveis básicas e zw são as variáveis não básicas. TB Ax= [BN] | = Brpg+Nryn=-b — vp = Bb- BINgay. TN L Cid de Souza — Método Simplaies Soluções básicas (exemplos) o = nm + x < 6 To + x + 23 = 6 x < 3 = xo + wu = qo, vw > 0 Tp, U2, 3 4 4 2 0110 A=> 1101 (0,0) (6,0) xl Soluções básicas (exemplos) - 11 1. B=[Aa Ao]= | | é inversível. 01 fere DIB ofiflo 11 2. B=[A» Ag]= | | é inversível. 10 [e loss [0 fel fole l[o] [=] Li] Cla] Ta Soluções básicas (exemplos) - 10 3. B=[Ao Au]= | | é inversível. 11 emo [A-[)oe=[2]-[1] Solução inviável ! JT Ta 4. B=[Aà Asl]= | , , | não é inversível. n! ml(n—-m)! Número de soluções básicas: (exponencial !) Soluções Básicas e Pontos Extremos 2 (básica = extremo) Seja 7 uma solução básica e assuma por contradição que T=aoy+(l-aoz,yzesS-frieae (0,1). zB yB .B Tt=| 0 |=alymea |+(1-0) | ma 0 Yn Zn Cid de Souza - Método Simplági63 Soluções Básicas e Pontos Extremos Como ym+; > 0, 2m+;>0€0 básica) Como Z é extremo, existem n restrições L/em S que são satisfeitas na igualdade. Logo existem n — m equações da forma x; = O que são satisfeitas parai e NC (1,...,n). Assim, tem-se o sistema linear da forma Aa = b,xx = 0 que é satisfeito por x que, na forma matricial, é dado por: «-[0[)-[:) Este sistema tem solução única pois as linhas de A são LJ. Logo det (B) = det (4) e, portanto, B é inversível e a solução do sistema acima é básica. 0 Cid de Souza - Método Simplás/63 Pontos extremos e otimalidade Prova: Teorema de Caratheodory. [1. Idéia do algoritmo Simplex S Encontrar um ponto extremo ( = solução básica). 2 Sair do ponto extremo corrente e ir para um ponto extremo vizinho onde o valor da função objetivo é melhor. Ss Repetir o passo anterior enquanto for possível. S Retornar o ponto extremo corrente (solução ótima !) Solução básica: mn 25 Axr=b = Brp+Naen=b=>> sa Ar=b, ap =B-1b—- B1Nen, en=0 v>0 - - - aB=b— SjenB tao; Lj A Yj Cid de Souza - Método Simpláz/63 Algoritmo do Simplex 2 Escrever a função objetivo e as variáveis básicas em função das variáveis não básicas: 2=cru=cpas + cnin= (coB-b — coB Nan) + con z=cpB-b + (cx —chBINJ)en = E —— zo Djen(cj-coB tasj)x; s Reescrevendo o PL: (custos reduzidos) min 2=20+>en (Cj — Sj)x; sa Djenytjtaes=b = Djenyjt; 0paraje N,xp>0 x; >0paraj e N Simplex: exemplo z=max q + 215 2x + x < 4 Tv + 3x < 6 x + x 0 z=max q + 215 dm + + mn + + = 4 to + 31 + y + — 6 Tv + x + yw =3 21, z2; yI, ya; yy > 0 a Cid de Souza - Método Simplási63 Simplex: exemplo = y1=0 / (6/5,8/5) Simplex: exemplo variáveis básicas: y,y> € y3: z=1+2%73 mn=4-27— x . 4 «> entra na base e 7» sai da base mw =6-2z— 312 yw=3-2—a» variáveis básicas: y,x> € y3: 2 z=4+ 221 — 532 5 1 n=2-30+a3y . ” 3 34 x entra na base e ; sai da base — 1 1 v=2- 5171-542 vs =1- Fr + Cid de Souza - Método Simplei/63 Simplex: exemplo variáveis básicas: 71, xo € y3: 66 1 9 2=—Sy—s o . 15 0 5 mst | solução ótima! ( 0 Simplex: caso ilimitado (cont.) - penúltima iteração: vértice degenerado (1,0) última iteração: vértice degenerado (0,3) problema ilimitado ! 1 direção extrema: d — | , | Lo - Primal: a do wW uy ya eus | 20 5 1 0 0 0/1 ali 1 1/0 0/0 1 mlo & 21 0/0 5 m|Oo-L 1/0 10 0 m|O0 -5 2 0 0/1 8 mo x mw ya ys w | RHS 20 0 1 20 0| 6 a 1 0 — —& o 0 tv | 0 1-2 2 0 0 m|0o 0-2 4 1.0 m|lo 0 0 2.0 1/13 Dualidade max 2º=cx (P) sa Arv0 Exemplo: max 2 = s.a z1 z1 71 E) 3x2 E) 2x9 12 >0 Cid de Souza - Método Simples/63 Dual: min (D) sa +» tv ER w* = ub uA >e uz>0 IVOIA EN = Dualidade (cont.) min w= Gu + 3u2 — 4us s.a u + us >1 (D) —3u — us — 2us > 1 4 + us = 1 um eR , u>0 , us>0 Existe uma variável dual para cada restrição do primal e vice-versa. Cid de Souza - Método Simplez/63 Dualidade (cont.) Relação entre os valores ótimos primal e dual: 1. se 2* > 00 (P ilimitado) então D é inviável. 2. se w* — —oo (D ilimitado) então P é inviável. 3. se Pe D são ambos limitados então 2* = w* 4. Pe D são ambos inviáveis. Relações entre o primal e o dual o = Primal: Ilimitado Dual: Inviável max 2z=4% min w=-—u sa 1>1l sa u0 u>0 -—- A - 10 Cid de Souza - Método Simples/63 Relações entre o primal e o dual o = Primal: Inviável Dual: Ilimitado max z=4 min w=-3u sa rl a>0 u>0 Relações entre o primal e o dual o = Primal: Limitado Dual: Limitado max z=4% min w=5u sa irl a>0 u>0 0 5 1 - L Cid de Souza — Método Simpl&t/63 Relações entre o primal e o dual Primal: Inviável Dual: Inviável max z=17-—42 min w=-uw-—us sa aq+trx1 u—ug=-—1 t,,179€R uu >0 Complementaridade de Folgas max 2º=cx min wº=ub (P) sa Ar+s=b (D) sa uA-t=c v>0,5>0 u>0,t>0 Prova: (=) u* é viável para D, logo ut A — t* =. Como «* > 0, (ut A — t“)a* = ca*. Reescrevendo chega-se a: u* Ax* — t*a* = ca”. Como «* é viável para P, tem-se: u*(b — s*) — t*a* = ca*, Pela dualidade forte, conclui-se que: u“s* + t'x* = 0. Como x*,s*,u*,t* > 0 o resultado fica mostrado. 0 Cid de Souza - Método Simpleg/63 Complementaridade de Folgas (cont.) Prova: (ce - max 2zº=cr sa Ar=b,rx>0 Solução básica primal: 4x = Brp + Nry =b z=cx=cprp +enzny =cpBlb+ (cen -chB IN) xp. WWW —— custos reduzidos Definir: u=cpB! e t=uA—c (folgas duais). Prova: z(uA-c)=(zp |zn)(uB-cp |[uN —- cn) = (xp |en)l(cpB1B-cp |cpB IN -en)=0 0 L Cid de Souza - Método Simpla6/63 Bases duais viáveis Nota 1: cgB-!N > cn = custos reduzidos negativos. Nota 2: Uma base pode ser só primal viável, só dual viável, nem primal e nem dual viável ou simultaneamente primal e dual viável. Prova: 2*>cr=cpBlbew! a«B+B agr =b => eotywm=D 1. Se paratodo i =1,...,m, (y)i 0, escolher “ dom é o ol ooo) L Cid de Souza - Método Simplsz/63 Primal-Simplex (cont.) o = x, entra na base com valor 7&- e (75). sai da base. Observação: se não existir nenhuma base degenerada então, definida uma variável não-básica para entrar na base, só ha- verá uma variável básica candidata a sair da base. Primal-Simplex (cont.) “ Corolário: Seja B uma base não degenerada primal viável mas dual inviável, i.e., existe x. não básica com custo reduzido c=c-cBlan=c-cy>). 1. Sey, 0 então é possível mover para uma única base B(”) de melhor custo. Prova: 1.zp=b- yrxy, logo 2 = 20 + Tx, > 20 €, portanto, z — oo quando Tp — 00. 2. Na base B!”, o custo será com Lp(» = Z0 HT, > 2% = CpXp- o Cid de Souza - Método Simples/63 Primal Simplex: Fase 2 Passo 1: encontrar base primal viável B ( FASE 1). Passo 2: se (cy — cpB- IN) 0. Se yr = B"tas 0e -t- = min ( t bh que (yr)s VT (do (x s sai da base e r entra na base x) Executar troca de base (pivoteamento): B — B= (BesJU (aer. Voltar ao Passo 1. Primal Simplex: Fase 1 max Zz=cx a max 2a = (—1)x (P) sa Ar=b (Pa) sa Ar+lr=b v>0 v>0,2º>0 (supor b > 0) (xº: variáveis artificiais) Observações: 2 P, é viável pois tem solução básica dada por xº = be x =0. Pode ser resolvido pela Fase 2 ! 2 P, é limitado (2, < 0), portanto tem solução ótima em um vértice. S (x,xº) é viável para P, e « viável para P se e somente se «º = 0. Se za < 0, P, não tem solução viável com x, = 0 e P é inviável. Cid de Souza — Método Simplás/63 Primal Simplex: Fase 1 (cont.) Observações: S Se za =0, toda solução ótima (x, x”) de P, satisfaz «” = O com x viável para P. s No caso anterior, se todas as variáveis artificiais são não básicas, a base ótima de P, é uma base viável para P. Pode-se remover as variáveis artificiais do problema ! Ss Mas, é possível que algumas variáveis artificiais fiquem na base com o valor zero (base degenerada). Neste caso, se elas não forem removidas por pivoteamento, existem restrições redundantes no sistema 4a = b. Algoritmo Dual Simplex Comparativo entre os algoritmos Primal e Dual Simplex: S Primal Simplex: visita bases primais viáveis até que a base corrente se torne dual viável (custos reduzidos < 0). 2 Dual Simplex: visita bases duais viáveis até que a base corrente se torne primal viável (variáveis básicas > 0). Proposição: Se B uma base dual viável e d, < O para algum s, então 1. Se (ys); > 0 para todo j e N (não básica) então o problema é primal inviável. 2. Se não, existe uma base dual viável B(”) adjacente à base B corrente dada por B() = BU fasr) = (Be.) satisfazendo r € N, (ys), > (25): = Ds — DjenlYs)jt; =b,. 0 para todo j e N, toda solução com x; > 0 para todo j e N satisfaz (x 5)s < 0. O 2. Sex, entra na base e (xs). sai, então 2=2045) Bu; — Ms): + > (yo)sxj] + Ads jEN jEN =o (linha do tableau !) 2=20+ Ads + 56; — My)slz; — Mas)s, — ondeX= E >0. jJEN A base B(”) é dual viável pois: À > 0 (custo reduzido de (x 5).), c; — M(ys); < T; < O para todo j tal que (y;)s > O e, pela escolha de r, c; — Mys); < O para todo j satisfazendo (ys); < O. O Algoritmo Dual Simplex o = Passo 1: encontrar base dual viável B (FASE 1 ). Passo 2: se B é primal viável, ie. seb = B-!b > 0, PARE ! Retorne a solução ótima (primal) «5 = B-!b,xzy = 0. Se não (pricing) escolher s tal que (x 5)s < 0. Se (ys); > 0 para todo j e N, PARE ! Retorne “problema inviável”. = . Ci Se não, escolher r tal que 7 = arg mim (rj : (5); < oh (x s sai da base e r entra na base x) Executar troca de base (pivoteamento): B — Bx (BesJU (as). Voltar ao Passo 1. L Cid de Souza — Método Simpld6/63 Dual Simplex: (cont.) o = Observações: s A função objetivo do problema primal é monotonamente decrescente ao contrário do primal simplex. Trbs s O valor do decréscimo ao mudar a base é de Er + Não havendo degenerescência no problema dual, c. < 0 e o decréscimo é estrito. Logo o algoritmo termina em tempo finito ! Dual Simplex: exemplo z=max — 27 — 319 — 4x3 tv + 2x + x — z4 271 to + 33 — 21, xo, ls, aa xo us xy q | RHS z 3 4 0 0 0 4 -1 2 + —3 s|- 14530 -4 Dual Simplex: exemplo (cont.) 1 xo x3 x xs | RHS z 0 4 1 0 1 —4 2 | 0 = 2 1 5) m|1 5 5 0 5 2 x xo 13 qq xs | RHS 2/00 & E FÉ w[0 1-5 S/s) 3 mio Sos Gl Ls Ls Iv a Cid de Souza - Método Simpláz/63 = Tableau e variáveis duais o = 2=cprp+CcNiNS W+ > (c;— ceB" az; é —— jJEN u Se existirem colunas na matriz original 4 que formam uma matriz identidade e que correspondam a variáveis de folga (custos nulos), no tableau ótimo teremos nestas colunas que: ao Cj = Ui» ou seja, na linha correspondente à função objetivo e nas colunas correspondentes à identidade teremos as variáveis duais ótimas. L Cid de Souza - Método Simplági63 Primal ou Dual Simplex ? o = S sec; 0 paratodo i e B então a solução é ótima. Nada há a fazer ! 9 sec; 0eb; >0 paratodo i e B então Dual Simplex tem Fase 1 mas o Primal Simplex passa direto à Fase 21 S seje Ntalquec;>0eJie Btal queb;
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