Métodos de Análise da Estabilidade Transitória de SEE, Notas de estudo de Engenharia Elétrica
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Métodos de Análise da Estabilidade Transitória de Sistemas de Energia Eléctrica

Métodos de Análise da Estabilidade Transitória de

Sistemas de Energia Eléctrica

João Pedro de Carvalho Mateus

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. Paulo José da Costa Branco

Orientador: Prof. José Pedro da Silva Sucena Paiva

Co-orientador: Prof. Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro

Vogais: Prof. José Manuel Dias Ferreira de Jesus

Outubro 2010

III

Agradecimentos

Há várias pessoas sem as quais a realização deste trabalho não teria sido possível.

Começo por agradecer ao meu orientador, Prof. José Pedro Sucena Paiva, por me ter

dado a oportunidade de trabalhar neste tema, cuja curiosidade e interesse nasceram nas

cadeiras por ele leccionadas. À minha co-orientadora, Prof. Maria Eduarda de Almeida Pedro, um

muito obrigado por toda a disponibilidade e prontidão sempre demonstradas.

Aos meus colegas e amigos, com quem partilhei momentos de trabalho e divertimento

durante todo o curso, mas também aos que me acompanharam durante todo o meu percurso

escolar, obrigado a todos por terem de alguma forma feito parte do meu caminho.

A toda a minha família, mas principalmente aos meus pais, agradeço por todo o carinho

e apoio, todas as condições que me proporcionaram, sem as quais não teria sido possível. Ao

meu irmão, obrigado pelos momentos de descontracção. Aos meus primos Joana, Hugo e

Pedrocas, obrigado pela hospitalidade e disponibilidade que sempre me ofereceram.

Por fim, e porque os últimos são os primeiros, um obrigado muito especial à minha

namorada. Obrigado por todas as palavras de apoio nos momentos mais difíceis, todos os

momentos partilhados, e pela compreensão sempre demonstrada. Obrigado por fazeres parte da

minha vida.

A todos, um muito obrigado!

João Mateus

V

Resumo

Esta dissertação aborda o tema da estabilidade transitória dos Sistemas de Energia

Eléctrica. Mais concretamente, tem como objectivos apresentar o estado da arte no que toca a

métodos de análise da estabilidade transitória dos SEE e implementar um método híbrido com o

mesmo propósito.

Relativamente à apresentação dos métodos já existentes, são referidas as principais

características dos Métodos de Integração Numérica, Métodos Directos, Métodos Híbridos e

Técnicas de Inteligência Artificial. Segue-se uma comparação entre estes, analisando vantagens

e desvantagens.

Quanto ao método implementado, procurou-se desenvolver um algoritmo capaz de

calcular os tempos críticos de actuação das protecções para diferentes perturbações a ocorrer

numa rede. Este método híbrido conjuga as vantagens dos Métodos Directos com as dos

Métodos de Integração Numérica. Aos primeiros vai buscar a rápida análise enquanto que dos

segundos obtém as possibilidades de modelação. Utiliza índices para avaliar a estabilidade

transitória que permitem interromper o processo de integração das equações antes do tempo

total de simulação ser atingido. Utiliza o critério das áreas iguais para estudar um modelo

reduzido equivalente do sistema, constituído por uma máquina ligada a um barramento de

potência de curto-circuito infinita, para o qual obtém o valor da margem de estabilidade

transitória. Baseado nos tempos de actuação das protecções e no valor da margem de

estabilidade transitória, estima o valor do tempo crítico que se pretende determinar através de

processos de regressão linear. Para além da apresentação do método implementado são

apresentados os resultados dos testes a que este foi sujeito.

Palavras-chave: Estabilidade transitória de Sistemas de Energia Eléctrica, Métodos híbridos, Métodos de integração numérica, Critério das áreas iguais, Tempo crítico de actuação

das protecções

VII

Abstract

In this thesis it is studied the topic of Electric Power Systems transient stability. More

specifically, it aims to present the state of the art regarding the methods of analysis of transient

stability of EPS and implement a hybrid method with that objective too.

In the presentation of the state of the art, the main characteristics of different methods are

listed. The referred methods are Numerical Integration Methods, Direct Methods, Hybrid Methods

and Artificial Intelligence Techniques. After this, a comparison between them is made, showing

their advantages and disadvantages.

In the development of the hybrid method, the objective was to obtain an algorithm

capable of getting the critical clearing time for different disturbances occurring in an electrical

network. This method combines advantages of direct formulations with those of hybrid

formulations. From the first it gets de fast analysis, from the second it gets the modelling

capabilities. The numerical integration process is interrupted using indexes that allow to know if

the system is stable or not before the total simulation time. An equivalent model of the system,

made of a single machine connected to an infinite bus, is studied using the equal area criterion,

from which it is computed the transient stability margin. Using a linear regression, based on the

values of the transient stability margin and respective clearing time of several simulations, the

critical clearing time is computed. Besides the presentation of the hybrid method, the results of

tests to which the method was subjected are presented.

Keywords: Electric Power System transient stability, Hybrid methods, Equal area criterion, Numerical integration methods, Critical clearing time

IX

Índice Lista de Figuras ............................................................................................................................ XI

Lista de Tabelas ......................................................................................................................... XIII

Lista de Símbolos e Abreviações ............................................................................................... XV

1. Introdução .................................................................................................................................. 1

1.1. Contextualização ........................................................................................................... 1

1.2. Objectivos e estrutura da dissertação ........................................................................... 2

2. Modelização do Sistema de Energia Eléctrica .......................................................................... 5

2.1. Máquina Síncrona .......................................................................................................... 5

2.2. Linha de Transmissão ................................................................................................... 7

2.3. Transformador ............................................................................................................... 8

2.4. Carga ........................................................................................................................... 10

2.5. Modelo Global da Rede ............................................................................................... 11

2.6. Contingências Simuladas ............................................................................................ 12

2.7. Conclusões .................................................................................................................. 13

3. Métodos de análise da estabilidade transitória do SEE .......................................................... 15

3.1. Métodos de Integração Numérica ............................................................................... 15

3.2. Métodos Directos ......................................................................................................... 17

3.2.1. Método de Lyapunov ........................................................................................... 18

3.2.2. Método da Função de Energia Transitória (TEF) ................................................ 19

3.2.3. Superfície Limite de Energia Potencial (SLEP) ................................................... 21

3.2.4. Método do Ponto de Equilíbrio Instável de Controlo (BCU) ................................ 26

3.2.5. Método das Áreas Iguais ..................................................................................... 27

3.3. Métodos Híbridos ......................................................................................................... 30

3.3.1. Método híbrido baseado na função de energia transitória .................................. 31

3.3.2. Método híbrido baseado no método das áreas iguais ........................................ 31

3.4. Técnicas de Inteligência Artificial ................................................................................ 32

3.4.1. Reconhecimento de Formas ............................................................................... 32

3.4.2. Redes Neuronais ................................................................................................. 33

3.4.3. Árvores de Decisão ............................................................................................. 33

3.5. Comparação dos diferentes métodos .......................................................................... 34

X

3.6. Conclusões .................................................................................................................. 35

4. Método híbrido implementado ................................................................................................ 37

4.1. Introdução dos dados .................................................................................................. 37

4.1.1. Barramentos ........................................................................................................ 38

4.1.2. Geradores ........................................................................................................... 38

4.1.3. Linhas de Transmissão ....................................................................................... 38

4.1.4. Transformadores ................................................................................................. 39

4.1.5. Contingências ...................................................................................................... 39

4.2. Cálculo dos valores pré-defeito ................................................................................... 39

4.3. Ciclo para determinação do tempo crítico .................................................................. 40

4.3.1. Índices de estabilidade e instabilidade ............................................................... 41

4.3.2. Identificação das máquinas críticas .................................................................... 43

4.3.3. Redução do sistema a uma máquina equivalente .............................................. 45

4.3.4. Cálculo da margem de estabilidade transitória ................................................... 47

4.3.5. Estimativa dos valores do tempo crítico ............................................................. 49

4.4. Resultados fornecidos ................................................................................................. 50

4.5. Ficheiros de código ..................................................................................................... 50

4.6. Conclusões .................................................................................................................. 51

5. Resultados computacionais .................................................................................................... 53

5.1. Testes computacionais ............................................................................................... 53

5.1.1. Resultados obtidos .............................................................................................. 53

5.1.2. Análise dos erros................................................................................................. 54

5.1.3. Correcções a implementar .................................................................................. 56

5.2. Exemplo de aplicação ................................................................................................. 57

5.3. Conclusões .................................................................................................................. 61

6. Conclusões e Propostas para trabalhos futuros ..................................................................... 63

6.1. Conclusões .................................................................................................................. 63

6.2. Propostas para trabalhos futuros ................................................................................ 65

Bibliografia .................................................................................................................................. 67

Anexo 1 ....................................................................................................................................... 69

XI

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Esquema equivalente da máquina síncrona .............................................................. 5

Figura 2.2 - Esquema equivalente em π de uma linha .................................................................. 8

Figura 2.3 - Esquema equivalente simplificado de um transformador .......................................... 8 Figura 2.4 - Esquema equivalente de um transformador com regulação de tensão .................... 9 Figura 2.5 - Esquema equivalente de um transformador desfasador ......................................... 10 Figura 2.6 - Representação esquemática do SEE ...................................................................... 11

Figura 3.1 - Fluxograma para simulação da estabilidade transitória .......................................... 16 Figura 3.2 - Fluxograma do método da bissecção para cálculo do tempo crítico ....................... 17 Figura 3.3 - Rede utilizada no exemplo do Método da SLEP ..................................................... 22

Figura 3.4 - Gráfico de ������(��1) .................................................................................................... 23

Figura 3.5 - Gráfico de ��(��1) ....................................................................................................... 24 Figura 3.6 - Superfície Limite de Energia Potencial .................................................................... 25 Figura 3.7 - Representação gráfica do critério das áreas iguais ................................................. 27 Figura 3.8 - Representação gráfica da situação estudada no exemplo do Método das Áreas

Iguais ........................................................................................................................................... 30 Figura 3.9 - Exemplo de uma árvore de decisão ........................................................................ 33

Figura 4.1 - Estrutura geral do método implementado ................................................................ 37 Figura 4.2 - Diagrama do ciclo para o cálculo do tempo crítico .................................................. 40 Figura 4.3 - Comportamento dos índices IDCS e IDE, situação instável .................................... 43 Figura 4.4 - Comportamento dos índices IDCS e IDE, situação estável .................................... 43 Figura 4.5 - Comportamento do índice IDTO .............................................................................. 44 Figura 4.6 - Escolha do método de aproximação da curva de potência a utilizar ...................... 49

Figura 4.7 - Relação linear entre ���� e �������� ...................................................................................... 49 Figura 4.8 - Interacção dos diferentes ficheiros de código no método híbrido implementado ... 51

Figura 5.1 - Potência eléctrica gerada (-.), aproximação polinomial da potência eléctrica gerada

(linha contínua) e potência mecânica (--) da máquina equivalente para a perturbação 22 ....... 55 Figura 5.2 - Ângulo rotórico e potência eléctrica gerada da máquina equivalente para a

contingência 22 ............................................................................................................................ 56

Figura 5.3 - Ângulos rotóricos para a perturbação 2, com �������� = 0,6 s ......................................... 58

Figura 5.4 - Índices IDCS e IDE para a perturbação 2, com �������� = 0,6 s ...................................... 58 Figura 5.5 - Curvas temporais do ângulo rotórico e potência eléctrica gerada da máquina

equivalente, para a perturbação 2, com �������� = 0,6 s ..................................................................... 59 Figura 5.6 - Curva de potência da maquina equivalente (a tracejado) e aproximação sinusoidal

(a cheio), para a perturbação 2, com �������� = 0,6 s ......................................................................... 59

XII

Figura A1.1 - Rede de teste da CIGRE ....................................................................................... 69

XIII

Lista de Tabelas

Tabela 3.1 - Comparação entre os diferentes métodos .............................................................. 34

Tabela 4.1 - Estrutura do ficheiro com os dados dos barramentos ............................................ 38 Tabela 4.2 - Estrutura do ficheiro com os dados dos geradores ................................................ 38 Tabela 4.3 - Estrutura do ficheiro com os dados das linhas ....................................................... 39 Tabela 4.4 - Estrutura do ficheiro com os dados dos transformadores ...................................... 39 Tabela 4.5 - Estrutura do ficheiro com os dados dos defeitos .................................................... 39 Tabela 4.6 - Estrutura do ficheiro com os resultados da simulação ........................................... 50

Tabela 5.1 - Tempos críticos de actuação das protecções para a rede de teste da CIGRE ...... 54 Tabela 5.2 - Conteúdo do ficheiro de entrada utilizado no exemplo de aplicação ..................... 57 Tabela 5.3 - Identificação do conjunto das máquinas críticas para a perturbação 2, com

�������� = 0,6 s ..................................................................................................................................... 59 Tabela 5.4 - Dados relativos às iterações realizadas com a aproximação sidusoidal ................ 60 Tabela 5.5 - Dados relativos às iterações realizadas com a aproximação polinomial ................ 60

Tabela A1.1 - Características das linhas da rede de teste da CIGRE ........................................ 69 Tabela A1.2 - Características dos geradores da rede de teste da CIGRE ................................. 70 Tabela A1.3 - Resultados do trânsito de energia da rede de teste da CIGRE ........................... 70

XV

Lista de Símbolos e Abreviações

��������′ - força electromotriz transitória da máquina ����

���� - módulo da força electromotriz transitória da máquina ����

�������� - tensão aos terminais da máquina ����

��������′ - reactância transitória da máquina ����

�������� - intensidade de corrente fornecida pela máquina ����

���� - constante de inércia da máquina ����

��0 - velocidade angular nominal do sistema

������ - ângulo da força electromotriz transitória da máquina ����, ângulo rotórico da máquina ����

������ - coeficiente de amortecimento da máquina ����

�������� - potência mecânica da máquina ����

�������� - potência eléctrica gerada pela máquina ����

���������� - potência de aceleração do gerador ����

���� - velocidade angular da máquina ����

����0 - ângulo rotórico do centro de inércia do sistema

��0 - frequência nominal do sistema

���� - coeficiente de inércia total

���� - coeficiente de inércia da máquina ����

���� - ângulo rotórico da máquina ����, referido ao centro de inércia do sistema

����� - velocidade angular da máquina ����, referida ao centro de inércia do sistema

����(����) - potência de aceleração da máquina ����, referida ao centro de inércia do sistema

���������� - potência de aceleração do sistema

�������� - tensão na emissão

�������� - tensão na recepção

�������� - intensidade de corrente na emissão

�������� - intensidade de corrente na recepção

������ - resistência longitudinal

������ - reactância longitudinal

������ - admitância transversal

�������� - tensão no primário

�������� - tensão no secundário

�������� - corrente no primário

�������� - corrente no secundário

������ - resistência total

������ - reactância total

��������′ - tensão no secundário do transformador ideal

��������′ - corrente no secundário do transformador ideal

������ - impedância de curto-circuito

XVI

����′ - relação de transformação

���� - matriz de admitâncias

���� - parte real da matriz de admitâncias

�� - parte imaginária da matriz de admitâncias

������������ - admitância de curto-circuito

����′ - relação de transformação complexa

������������ - admitância da carga ligada ao barramento ��

�������� - parte real de ������������

������ - parte imaginária de ������������

�������� - potência activa de carga do barramento ��

������ - potência reactiva de carga do barramento ��

���� - módulo da tensão no barramento ��

[����′] - vector das forças electromotrizes

[����] - vector das tensões nos barramentos

[����] - vector das correntes injectadas nos barramentos de geração

[������������], [������������], [������������], [������������] - matrizes de admitâncias que descrevem a rede aumentada

���� - número de geradores, equivalente ao número de barramentos de geração

�� - número de barramentos

�������������� - matriz de impedâncias reduzida

������������ - admitância de defeito

���������� - tempo máximo de simulação

�������� - tempo crítico de actuação das protecções

�������� - tempo de actuação das protecções

��������0 - estimativa inicial do tempo crítico de actuação das protecções, correspondente a uma

situação instável

������������ - tempo de actuação das protecções relativo a uma situação instável

���������� - tempo de actuação das protecções relativo a uma situação estável

∆���� - passo do processo de integração

���� - tolerância

��(����) - energia total do sistema

������ - ponto(s) de equilíbrio

��(����) - função de Lyapunov

������ - energia cinética do sistema

������ - energia potencial do sistema

������ - valor crítico da função de Lyapunov

������ - valor da função de Lyapunov no instante de eliminação do defeito

������ - potência de aceleração do sistema no período de defeito

������ - potência de aceleração do sistema no período pós-defeito

���� - ponto de equilíbrio instável de controlo

XVII

���� - ponto de equilíbrio estável do sistema na configuração pós-defeito

������������ - valor máximo da energia potencial do sistema

������ - ângulo rotórico no instante ��������, referido ao centro de inércia

������� - velocidade angular no instante ��������, referida ao centro de inércia

��0 - ângulo rotórico inicial, referido ao centro de inércia

���������� - ponto de equilíbrio instável de controlo aproximado

������0 ������ - potência eléctrica máxima no período pré-defeito

�������� ������ - potência eléctrica máxima no período pré-defeito

�������� ������ - potência eléctrica máxima no período pós-defeito

������0 - potência eléctrica no período pré-defeito

�������� - potência eléctrica no período de defeito

�������� - potência eléctrica no período pós-defeito

���������� - ângulo da máquina máximo atingido durante a oscilação

���� - margem de estabilidade transitória

������ - área de aceleração

������ - área de desaceleração

∆�������� - diferença entre duas estimativas consecutivas de ��������

�������� - ângulo rotórico da máquina equivalente

������ - velocidade angular máquina equivalente

IDCS - índice de detecção instabilidade

IDE - índice de detecção de estabilidade

IDTO - índice auxiliar para determinação do instante óptimo para a identificação do conjunto de

máquinas críticas

�������������� - índice utilizado na determinação do conjunto de máquinas críticas, nas situações estáveis

������ - ângulo rotórico equivalente do conjunto C

���� - coeficiente de inércia da máquina ��, pertencente ao conjunto C

������ - ângulo rotórico da máquina ��, pertencente ao conjunto C

���� - coeficiente de inércia equivalente do conjunto C

������ - ângulo rotórico equivalente do conjunto R

���� - coeficiente de inércia da máquina ����, pertencente ao conjunto R

������ - ângulo rotórico da máquina ����, pertencente ao conjunto R

���� - coeficiente de inércia equivalente do conjunto R

���� - velocidade angular equivalente do conjunto C

���� - velocidade angular da máquina ��, pertencente ao conjunto C

���� - velocidade angular equivalente do conjunto R

���� - velocidade angular da máquina ����, pertencente ao conjunto R

������ - coeficiente de inércia do sistema

������ ���� - potência mecânica da máquina equivalente

������ ���� - potência eléctrica da máquina equivalente

XVIII

�������� - potência mecânica da máquina ��, pertencente ao conjunto C

�������� - potência mecânica da máquina ����, pertencente ao conjunto R

�������� - potência eléctrica da máquina ��, pertencente ao conjunto C

�������� - potência eléctrica da máquina ����, pertencente ao conjunto R

��������0 - ângulo rotórico da máquina equivalente no instante pré-defeito

���������� - ângulo rotórico da máquina equivalente, de valor superior a ��������0 , para o qual a potência

eléctrica volta a igualar a potência mecânica

������ ���������� - potência eléctrica máxima fornecida pela máquina equivalente

����1, ����2 e ����3 - constantes da aproximação polinomial

���� - factor multiplicativo da tolerância

������ - declive da recta que relaciona o tempo crítico e a margem de estabilidade transitória

���� - ordenada na origem da recta que relaciona o tempo crítico e a margem de estabilidade

transitória

∆������������������������ - diferença entre os valores do tempo crítico calculados pelo método híbrido e por métodos de integração numérica

%∆�������������� - diferença, em percentagem, entre os valores do tempo crítico calculados pelo método

híbrido e por métodos de integração numérica

������ - margem de estabilidade transitória da iteração ����

���������� - estimativa do tempo crítico da iteração ����

�������� ℎ���� - tempo crítico obtido pelo método híbrido

�������� ���� - tempo crítico obtido por métodos de integração numérica

SEE - Sistema Eléctrico de Energia ou Sistema de Energia Eléctrica

COI - Centre Of Inertia

TEF/FET - Função de Energia Transitória

SLEP - Superfície Limite de Energia Potencial

BCU - Boundary Controlling Unstable equilibrium point

SIME - SIngle Machine Equivalent

CMR - Critical Machines Ranking

1

1. Introdução

Este capítulo introdutório inicia-se com uma contextualização da temática abordada

nesta dissertação, apresentando-se uma pequena síntese da evolução que sofreram os

Sistemas de Energia Eléctrica (SEE) e procurando mostrar-se a necessidade de existência de

métodos para o estudo da estabilidade transitória. Apresentam-se também alguns conceitos

referentes à estabilidade dos SEE. De seguida, o ênfase será posto na dissertação em si,

apresentando os seus objectivos e uma pequena introdução a cada um dos capítulos que a

constitui.

1.1. Contextualização

Desde o primeiro SEE a que pode ser dado esse nome, criado por Thomas Edison em

Setembro de 1882 em Nova Iorque, o qual se resumia a um circuito de lâmpadas alimentadas

por uma central eléctrica a funcionar em corrente contínua, os sistemas eléctricos passaram por

profundas mudanças até chegarem aos modernos SEE da actualidade (1). Apesar de no início a

opção recair sobre a corrente contínua, a invenção do transformador aliada à necessidade de

reduzir as perdas em transmissões a grandes distâncias, mais a facilidade de construir motores e

geradores de corrente alternada, fizeram a opção recair definitivamente sobre a corrente

alternada. Seguidamente, devido às economias de escala, o caminho a seguir foi o de construir

centros produtores de elevada capacidade, mas em número reduzido, ligados por uma rede de

alta tensão. Posteriormente, devido à liberalização do mercado e ao crescimento acentuado das

fontes renováveis, assistiu-se a uma descentralização e multiplicação dos centros produtores.

Este crescimento acentuado aliado à imprevisibilidade das fontes, provocou um aumento de

dificuldade na coordenação da exploração do sistema, o qual, associado ao facto de por motivos

económicos se reduzir a reserva girante, o que faz com o que sistema opere próximo dos seus

limites, mostrou a necessidade de estarem disponíveis eficientes métodos para analisar o

funcionamento do sistema na existência de perturbações, pois existe uma redução na garantia

de fiabilidade devido aos factos mencionados.

Como referido, a temática da estabilidade dos SEE veio a revelar-se da maior

importância. Aquando da existência de uma perturbação são dois os principais tipos de

problemas de estabilidade que podem ocorrer: estabilidade de tensão e estabilidade da marcha

síncrona. Enquanto que a primeira está relacionada com desequilíbrios na potência reactiva que

provocam variações nos níveis de tensão, a segunda, e objecto de estudo nesta dissertação,

está relacionada com desequilíbrios na potência activa que provocam variações de frequência,

sendo também designada por estabilidade transitória (2).

Os estudos de estabilidade podem também ser classificados quanto à sua duração,

distinguindo-se: curta duração (até 20 s), média duração (até 5 minutos) e longa duração (até 20

minutos). Para além da duração, e no que diz respeito à estabilidade da marcha síncrona, podem

2

distinguir-se duas situações: as pequenas perturbações, para as quais o sistema pode ser

linearizado, e as grandes perturbações para as quais não é possível linearizar o sistema e que

são estudadas com recurso a diferentes métodos, os quais podem ser divididos em quatro

grupos: Métodos de Integração Numérica, Métodos Directos, Métodos Híbridos e Técnicas de

Inteligência Artificial. Enquanto que os três primeiros são métodos determinísticos, o último,

proposto mais recentemente, é um método probabilístico (3).

1.2. Objectivos e estrutura da dissertação

O trabalho desenvolvido tinha dois objectivos: o estudo dos métodos existentes para a

análise da estabilidade transitória do SEE; a implementação de um método híbrido para ser

usado no estudo da estabilidade transitória do SEE.

O primeiro objectivo consistiu na procura, em bibliografia da especialidade, de métodos

já desenvolvidos e testados.

Para o segundo objectivo procurou-se implementar e testar um método que conjuga as

vantagens do Método das Áreas Iguais com as vantagens dos Métodos de Integração Numérica.

Esta dissertação encontra-se dividida em seis capítulos, os quais são precedidos pelos

Agradecimentos e por um Resumo e um Abstract da dissertação, aos quais se segue o Índice e

as Listas das Figuras, das Tabelas e dos Símbolos e Abreviações presentes no texto. No final

apresentam-se a Bibliografia e os Anexos. Relativamente aos seis capítulos apresenta-se agora

um pequeno resumo de cada um.

No Capítulo 1, a Introdução, expõe-se um breve resumo da história dos SEE e a

necessidade do estudo da estabilidade transitória.

No Capítulo 2, designado Modelização do SEE, apresentam-se os modelos utilizados

para descrever os diferentes componentes da rede e também as contingências a simular.

No Capítulo 3, denominado Métodos de análise da estabilidade transitória do SEE,

apresentam-se os métodos disponíveis actualmente para o estudo da estabilidade transitória.

Iniciando-se pelos Métodos de Integração Numérica, passando pelos Métodos Directos e

Métodos Híbridos e terminando nas Técnicas de Inteligência Artificial.

No Capítulo 4, cujo título é Método híbrido implementado, explica-se em pormenor o

método implementado, dando especial atenção aos conceitos considerados mais importantes.

No Capítulo 5, intitulado Resultados computacionais, são apresentados os resultados

obtidos nos testes computacionais a que o método implementado foi sujeito. Apresenta-se

também um exemplo de aplicação.

3

No último capítulo, o Capítulo 6, designado Conclusões e Propostas para trabalhos

futuros, são apresentadas, para além das conclusões do trabalho desenvolvido, possíveis linhas

de desenvolvimento para trabalhos futuros.

5

2. Modelização do Sistema de Energia Eléctrica

A simulação computacional do comportamento de um SEE exige a modelização de cada

um dos seus componentes. Enquanto que a dinâmica rotacional dos geradores é descrita por

equações diferenciais, os restantes elementos são descritos recorrendo a equações algébricas

(2). Isto acontece pois, na altura em que se iniciaram as simulações dos SEE, a capacidade de

computação era reduzida, o que obrigava ao uso de processos mais leves computacionalmente.

Seguidamente, serão apresentados os modelos que descrevem cada um dos componentes do

SEE (máquinas síncronas, linhas de transmissão, transformadores, cargas), o modelo que

descreve a totalidade da rede e ainda a estratégia para simular as perturbações.

No programa desenvolvido foi utilizado o modelo clássico, o qual, apesar de algumas

limitações, permite uma avaliação válida da estabilidade transitória para a primeira oscilação, o

que compreende um intervalo de tempo não excedendo 2 s (3). À medida que os modelos para

cada um dos componentes forem apresentados, destacar-se-á a diferença introduzida pela

utilização do modelo clássico.

2.1. Máquina Síncrona

Utilizando o modelo clássico, a máquina síncrona é descrita simplesmente por uma força

electromotriz transitória, de módulo constante, em série com a reactância transitória (Figura 2.1)

(2), ou seja,

��������′ = �������� + ������������′ �������� (2.1)

em que ��������′ - força electromotriz transitória da máquina ���� �������� - tensão aos terminais da máquina ���� ��������′ - reactância transitória da máquina ���� �������� - intensidade de corrente fornecida pela máquina ����.

A força electromotriz pode ser representada na forma exponencial, ou seja,

��������′ = �������������� (2.2)

onde ���� - módulo da força electromotriz transitória da máquina ���� ������ - ângulo da força electromotriz transitória da máquina ����.

��������

��������′ ��������

����������������′

Figura 2.1 - Esquema equivalente da máquina síncrona

6

Esta aproximação implica o desprezo quer do sistema de controlo de frequência quer do

de controlo de tensão e, ainda que o desprezo do sistema de controlo de frequência seja válido

para um período até 5 s, o desprezo do sistema de controlo da tensão apenas é válido em

intervalos inferiores a 2 s. Além de desprezar o efeito dos reguladores mencionados, o modelo

usado também não tem em linha de conta aspectos como a saliência dos pólos e a saturação

dos circuitos magnéticos.

Considera-se que o ângulo rotórico máquina ���� toma o mesmo valor que o ângulo da força

electromotriz transitória da máquina ����, ou seja, ������ refere-se tanto ao ângulo rotórico da máquina ����

como ao ângulo da força electromotriz transitória da máquina ����.

O comportamento mecânico da máquina é descrito utilizando a equação de oscilação

2���� ��0 ����2������ ��������2

+ ������ ���������� ��������

= �������� − �������� (2.3)

onde ���� - constante de inércia da máquina ���� ��0 - velocidade angular nominal do sistema ������ - ângulo rotórico da máquina ���� ������ - coeficiente de amortecimento da máquina ���� �������� - potência mecânica da máquina ���� �������� - potência eléctrica gerada pela máquina ����.

Pode-se também definir a potência de aceleração do gerador ����

���������� = �������� − �������� (2.4)

Para proceder à integração numérica no domínio do tempo da equação (2.3) é útil

transformá-la em duas equações diferenciais de primeiro grau. Tendo em conta que

���������� ��������

= ���� − ��0 (2.5)

onde ���� representa a velocidade angular da máquina ����, a equação (2.3) transforma-se em

2���� ��0 �������� ��������

+ ������(���� − ��0) = �������� − �������� (2.6)

O valor do coeficiente de amortecimento e as variações dos valores das constantes de

inércia são usualmente desprezados. O desprezo do coeficiente de amortecimento só é válido se

a análise da estabilidade transitória se restringir à primeira oscilação devendo, caso contrário, ser

considerado.

Habitualmente opta-se por representar as variáveis de estado que descrevem a dinâmica

rotacional dos geradores utilizando como referência o centro de inércia do sistema (COI - Centre

Of Inertia) (3). No desenvolvimento do método híbrido, esta representação é várias vezes

utilizada, sendo por isso importante referir os cálculos necessários para a utilizar.

7

O ângulo do centro de inércia do sistema é, em cada instante, dado por

����0(����) =

1 ���� �����������

��

��=1

(2.7)

com

���� =�����

��

��=1

(2.8)

e ���� =

2���� ��0

= ���� ����0

(2.9)

onde ��0 - frequência nominal do sistema ���� - coeficiente de inércia total ���� - coeficiente de inércia da máquina ����.

Desprezando o amortecimento, as equações de oscilação passam então a

�������� ��������

= �����

���� ��������� ��������

= ����(����) � (2.10)

com

���� = ������ − ����0 (2.11)

����� =

���������� �������� − ��������0 ��������

(2.12)

����(����) = �������� − �������� − ���� ���� ���������� (2.13)

���������� =�(�������� − ��������)

��

��=1

(2.14)

onde ���� - ângulo rotórico da máquina ����, referido ao centro de inércia do sistema ����� - velocidade angular da máquina ����, referida ao centro de inércia do sistema ����(����) - potência de aceleração da máquina ����, referida ao centro de inércia do sistema.

2.2. Linha de Transmissão

Em virtude de a frequência se manter aproximadamente constante, a linha eléctrica pode

ser modelada usando parâmetros concentrados (3). Usa-se então o modelo em ��, representado

na Figura 2.2.

8

�������� ��������

�������� ��������

�������� 2�

�������� 2�

�������� ������������

Figura 2.2 - Esquema equivalente em π de uma linha

onde �������� - tensão na emissão �������� - tensão na recepção �������� - intensidade de corrente na emissão �������� - intensidade de corrente na recepção ������ - resistência longitudinal ������ - reactância longitudinal ������ - admitância transversal.

2.3. Transformador

Os transformadores considerados são: transformadores com dois enrolamentos por fase,

transformadores com regulação de tensão e transformadores desfasadores (2).

Desprezando a corrente de magnetização, o transformador com dois enrolamentos por

fase pode ser representado pelo esquema da Figura 2.3.

�������� ��������

�������� �������� �������� ������������

Figura 2.3 - Esquema equivalente simplificado de um transformador

onde �������� - tensão no primário �������� - tensão no secundário �������� - corrente no primário �������� - corrente no secundário ������ - resistência total ������ - reactância total.

Do esquema retira-se que

�������� = �������� + ������������ (2.15)

tendo em conta que �������� = �������� = ���� e onde ���� = ������ + ���������� representa a impedância do transformador.

O transformador com regulação de tensão difere do apresentado anteriormente no facto

de ser possível variar a relação de transformação. Esta variação é efectuada usando um

9

comutador de tomadas instalado num dos enrolamentos. Este transformador pode ser modelado

considerando um transformador ideal com relação de transformação ����′ em série com a

impedância do transformador, também designada impedância de curto-circuito pois é usualmente

medida realizando um ensaio em curto circuito. O esquema do transformador com regulação de

tensão apresenta-se na Figura 2.4.

�������� ��������

�������� �������� ������������

��������′

��������′ ����′ : 1

Figura 2.4 - Esquema equivalente de um transformador com regulação de tensão

onde �������� - tensão no primário ��������′ - tensão no secundário do transformador ideal �������� - tensão no secundário �������� - corrente no primário ��������′ - corrente no secundário do transformador ideal �������� - corrente no secundário ������ - impedância de curto-circuito ����′ - relação de transformação.

Do esquema retira-se que

�������� = ����′(�������� + ����������������������) (2.16)

A matriz de admitâncias ���� deste transformador assume a forma de

���� = �

������������ ����′2

− ������������ ����′

− ������������ ����′

������������ � (2.17)

sendo ������������ = 1 ����������� a admitância de curto-circuito do transformador.

O transformador desfasador apresenta, em relação ao anterior, o facto de a relação de

transformação poder agora ser complexa, ou seja

����′ = ����′��������

Tal como com o transformador com regulação de tomadas, o esquema do transformador

desfasador é constituído por um transformador ideal com relação de transformação ����′, agora

complexa, em série com a impedância de curto-circuito, como se observa na Figura 2.5.

10

�������� ��������

�������� �������� ������������

��������′

��������′ ����′ : 1

Figura 2.5 - Esquema equivalente de um transformador desfasador

onde �������� - tensão no primário ��������′ - tensão no secundário do transformador ideal �������� - tensão no secundário �������� - corrente no primário ��������′ - corrente no secundário do transformador ideal �������� - corrente no secundário ������ - impedância de curto-circuito ����′ - relação de transformação complexa.

Do esquema retira-se que

�������� =����′(�������� + ����������������������) (2.18)

A matriz de admitâncias ���� deste transformador assume a forma de

���� = �

������������ ����′2

− ������������ ����′∗

− ������������ ����′

������������ � (2.19)

2.4. Carga

Utilizando o modelo clássico todas as cargas do sistema são transformadas em

impedâncias constantes (elasticidade 2), não tendo portanto em conta quer as variações de

tensão quer de frequência (3).

A admitância que descreve a carga ligada ao barramento �� é obtida por

������������ = �������� + ���������� = �������� − ���������� ����2

(2.20)

com ������������ - admitância da carga ligada ao barramento �� �������� - parte real de ������������ ������ - parte imaginária de ������������ �������� - potência activa de carga do barramento �� ������ - potência reactiva de carga do barramento �� ���� - módulo da tensão no barramento ��.

11

2.5. Modelo Global da Rede

Como referido anteriormente, a rede é representada através de equações algébricas,

sendo caracterizada por uma matriz de admitâncias reduzida. Esta matriz reduzida tem como

base a matriz de admitâncias utilizada no trânsito de energia, a qual é aumentada e

posteriormente reduzida (2). Para efectuar o aumento da matriz de admitâncias utilizada no

trânsito de energia é necessário realizar duas alterações:

• adição da reactância transitória de cada gerador entre os barramentos de

geração e o nó interno do gerador (nó fictício);

• adição das admitâncias equivalentes das cargas.

Em resultado do exposto anteriormente e da utilização do modelo clássico para

descrever os componentes do SEE, este último é representado pelo esquema da Figura 2.6.

������������1′

��������′

��������

����������������′

��������′

��������

����������������′

��������′

��������

Rede de Transmissão

������������

������������

������������

Rede Aumentada

Figura 2.6 - Representação esquemática do SEE

Na figura anterior identificam-se: ���� - número de geradores, equivalente ao número de barramentos de geração �� - número de barramentos ��������′ - força electromotriz transitória da máquina ���� ��������′ - reactância transitória da máquina ���� �������� - intensidade de corrente fornecida pela máquina ���� ������������ - admitância da carga ligada ao barramento ��.

Tendo em conta as alterações referidas anteriormente, as equações nodais da rede

aumentada escrevem-se

�[����][0]� = � [������������] [������������] [������������] [������������]

� �[���� ′]

[����] � (2.21)

onde

12

[����′] - vector das forças electromotrizes transitórias [����] - vector das tensões nos barramentos [����] - vector das correntes injectadas nos barramentos de geração.

Nos barramentos de carga as correntes injectadas são nulas pois as cargas são

representadas por admitâncias constantes.

Partindo do sistema de equações (2.21) obtém-se

[����] = [������������][����′] + [������������][����]

[0] = [������������][����′] + [������������][����] (2.22)

Eliminando [����] tem-se

[����] = ([������������] − [������������][������������]−1[������������])[����′] (2.23)

A rede pode então ser representada por

[����] = [��������������][����′] (2.24)

sendo ��������������, a matriz de admitâncias reduzida, dada por

�������������� = [������������]− [������������][������������]−1[������������] (2.25)

A matriz de admitâncias ���� que descreve a rede, neste caso ��������������, pode ser dividida na

sua parte real, matriz de condutâncias, e parte imaginária, matriz de susceptâncias, ou seja

���� = ���� + ������ (2.26)

A potência activa gerada pelo gerador ���� pode ser determinada utilizando a expressão

�������� = Re{��������′��������∗} (2.27)

sendo ��������′ a respectiva força electromotriz transitória e �������� a corrente injectada no respectivo

barramento, obtida a partir da primeira equação de (2.22). A equação (2.27) pode ser

desenvolvida, obtendo-se

�������� = ����2�������� +������������������ cos������� − �������+ ������ sin������� − ��������

��

��=1 ��≠��

(2.28)

onde �������� e ������ se referem à posição �������� da matriz ����, respectivamente, de condutâncias e

susceptâncias.

2.6. Contingências Simuladas

As contingências aqui abordadas resumem-se a curto-circuitos trifásicos simétricos na

extremidades das linhas junto aos barramentos.

13

Em termos temporais, considera-se que a perturbação ocorre sempre 0,1 s após o início

da simulação, ou seja, ���������� = 0,1 s. Quando ocorre o defeito, o seu efeito é traduzido

numericamente pela adição, ao nó respectivo na matriz de admitâncias ���� que descreve a rede,

de uma admitância de defeito ������������ de módulo elevado, por exemplo �������������� = 108. O defeito é

eliminado quando as protecções actuam, no instante de tempo �������� (clearing time), podendo

ocorrer uma de duas situações: o defeito é eliminado espontaneamente ou o defeito é eliminado

pela retirada de uma linha de serviço, sendo necessário reflectir esse facto alterando a matriz ����.

2.7. Conclusões

Neste capítulo foram introduzidos os modelos que permitem descrever o comportamento

dos diferentes componentes da rede (máquinas síncronas, linhas, transformadores, cargas) e da

própria rede. Foi também referida a noção de centro de inércia do sistema e quais as alterações

provocadas nas equações de oscilação. Por fim apresentou-se a estratégia adoptada para

introduzir o efeito provocado pelas contingências simuladas.

Como referido, a utilização do modelo clássico, apenas é válida em intervalos inferiores a

2 s, o que corresponde à primeira oscilação. É portanto necessário, caso se pretendam simular

maiores intervalos de tempo, a modelação de elementos como os sistemas de controlo de

frequência e de tensão, além de uma modelação mais precisa das cargas que tenha em conta as

variações de frequência e de tensão.

15

3. Métodos de análise da estabilidade transitória do SEE

Na fase de planeamento, e também durante a exploração, é necessário garantir a

capacidade do SEE suportar determinadas perturbações graves, como por exemplo, a ocorrência

de curto-circuitos ou a perca de grupos geradores significativos. A resposta do SEE quando

sujeito a estas perturbações pode ser simulada recorrendo a métodos computacionais, que

descrevem o comportamento dinâmico do sistema e permitem assim tirar conclusões acerca da

sua estabilidade transitória.

Seguidamente serão apresentados alguns métodos desenvolvidos com o propósito de

avaliar a estabilidade transitória do sistema. Serão apresentados inicialmente os Métodos de

Integração Numérica e os Métodos Directos. De seguida serão apresentados métodos mais

recentes como os Métodos Híbridos e as Técnicas de Inteligência Artificial. Por fim, apresenta-se

uma comparação entre os diferentes métodos apresentados.

3.1. Métodos de Integração Numérica

Um SEE é descrito por dois sistemas de equações (3). Genericamente, tem-se um

sistema de equações diferenciais

�̇� = ��(����,��, ����) (3.1)

e um sistema de equações algébricas não-lineares

��(����,��, ����) = 0 (3.2)

O primeiro sistema inclui a dinâmica rotacional dos geradores, bem como as equações

diferenciais que caracterizam os sistemas de regulação de tensão e de velocidade, caso estes

sejam considerados. Quanto maior for o detalhe da modelização maior será a ordem deste

sistema. O segundo sistema descreve o comportamento da rede.

O objectivo desta abordagem é resolver, no domínio do tempo, os sistemas de equações

acima referidos. Os algoritmos utilizados podem ser classificados quanto ao método utilizado na

integração numérica das equações diferenciais e quanto ao processo para resolver o conjunto

dos sistemas de equações. A primeira classificação divide os métodos em métodos implícitos ou

explícitos caso a solução obtida num instante de tempo dependa ou não, respectivamente, das

grandezas nesse mesmo instante de tempo (4). A segunda classificação divide os algoritmos em

dois grupos: alternado caso os sistemas sejam resolvidos separada e alternadamente e

simultâneo caso estes sejam resolvidos em conjunto.

Na Figura 3.1 é apresentado o fluxograma genérico usado para implementar um

programa de simulação usando métodos de integração numérica (2). Após realizar um trânsito

de energia, que fornece os valores pré-defeito das tensões na rede e potências geradas,

16

efectua-se o aumento e posterior redução da matriz de admitâncias nodais, calculando-se então

os valores pré-defeito das forças electromotrizes dos geradores. Entra-se seguidamente num

ciclo durante o qual o tempo é incrementado até se atingir o tempo máximo de simulação

estipulado ����������. Em cada iteração deste ciclo altera-se a matriz de admitâncias caso tenham

ocorrido alterações da topologia da rede, calculando-se de seguida os novos valores das

variáveis.

Trânsito de Energia

Alteração e redução da matriz de admitâncias

Cálculo das f.e.m. dos geradores

t = 0

Alteração da rede?

Alteração e redução da matriz de admitâncias

Calcular os valores das variáveis

t = t + ∆t

ttmax

Fim

Sim

Sim

Não

Não

Início

Figura 3.1 - Fluxograma para simulação da estabilidade transitória

Um factor fundamental na análise da estabilidade transitória de um SEE é o tempo crítico

de actuação das protecções, ��������, ou seja, o período máximo a que o sistema pode estar sujeito

ao defeito mantendo a estabilidade. A determinação do tempo crítico pode ser efectuada

utilizando um algoritmo de bissecção que efectua simulações consecutivas, com diferentes

17

tempos de actuação das protecções, ��������, até se atingir a convergência. Na Figura 3.2 é

apresentado um fluxograma para a determinação do tempo crítico ��������, utilizando uma estimativa

inicial ��������0, que corresponde a uma situação instável (3).

tinst = tcl0 test = 0 tcl = tcl0

Integração Numérica

Estável?

tcr = test

Fim

SimNão

Início

tinst - test < ɛ

test =tcltinst =tcl

Não

Sim

tcl = (tinst + test)/2

Figura 3.2 - Fluxograma do método da bissecção para cálculo do tempo crítico

Como se pode observar pelo fluxograma, os valores do tempo de actuação das

protecções correspondentes às situações instáveis e estáveis, respectivamente ������������ e ����������, são

actualizados à medida que se realizam novas iterações do ciclo. Para cada iteração, para além

da primeira, o tempo de actuação das protecções é a média entre ������������ e ����������. À medida que o

ciclo corre observa-se que tanto ������������ como ���������� convergem para o valor do tempo crítico a

determinar, sendo a simulação interrompida quando a diferença entre estes dois tempos for

menor que uma tolerância ����.

3.2. Métodos Directos

A maioria dos métodos directos para análise da estabilidade transitória dos SEE baseia-

se no segundo teorema de Lyapunov. Apesar de, aquando da sua publicação, os resultados de

Lyapunov não terem recebido grande atenção, são hoje em dia uma área de investigação e com

resultados garantidos na análise da estabilidade transitória dos SEE (5).

Estes métodos caracterizam-se por apenas ser necessário integrar as equações

diferenciais que descrevem o sistema durante o período de permanência no defeito, o que

18

permite uma redução assinalável dos tempos de computação. Apresentam contudo a

desvantagem de apresentarem problemas de modelação do sistema, apenas permitindo uma

modelação pouco pormenorizada, e de os métodos desenvolvidos não serem totalmente fiáveis,

especialmente quando o sistema opera próximo dos seus limites (6).

Com base no teorema de Lyapunov foram desenvolvidos, ao longo do tempo, outros

métodos directos, com o objectivo de contrariar limitações e dificuldades de aplicação dos

métodos existentes. Surge então, a seguir ao Método de Lyapunov, o Método da Função de

Energia Transitória, seguido dos Métodos da Superfície Limite de Energia Potencial e do Ponto

de Equilíbrio Instável de Controlo.

Seguidamente, para além destes métodos serem apresentados, é também apresentado

o Método das Áreas Iguais. Para alguns dos métodos é ainda apresentado um exemplo de

aplicação.

3.2.1. Método de Lyapunov O Método de Lyapunov (3), apresentado por A. M. Lyapunov na sua dissertação de

doutoramento, estipula que a estabilidade de um sistema físico, de dimensão ����, descrito por

�̇��� = ��(����), ��(0) = 0 (3.3)

pode ser verificada sem integração numérica sendo apenas necessário garantir que a energia

total ��(����) do sistema se mantenha continuamente decrescente no tempo. É então necessário

que, excepto no(s) ponto(s) de equilíbrio ������, a derivada temporal da energia ��(����) seja negativa.

Esta condição pode ser formalizada matematicamente. Usando a função de Lyapunov

��(����) para representar ��(����), para garantir que o sistema é estável é necessário garantir que:

a) a função ��(����) é definida positiva na vizinhança do ponto de equilíbrio ������, ou seja,

��(����) > 0 excepto para ���� = ������ em que ��(������) = 0;

b) a derivada temporal de ��(����), �̇�(����), é semi-definida negativa anulando-se para

���� = ������.

Caso �̇�(����) seja definida negativa o sistema considera-se assimptoticamente estável.

A aplicação do método de Lyapunov, para avaliar a estabilidade de um sistema, consiste

em quatro etapas distintas:

a) cálculo da região de estabilidade em torno do ponto de equilíbrio ������ para a

configuração pós-defeito do sistema;

b) formulação da função de Lyapunov ��(����) para a configuração pós-defeito do

sistema. Esta função é, geralmente, a soma das energias cinética e potencial do

sistema na configuração pós-defeito, ��(����) = ������ + ������, pois é a formulação que

apresenta melhores resultados;

19

c) integração das equações que descrevem o sistema durante o período de defeito,

até ao instante de eliminação deste, calculando o valor da função de Lyapunov

nesse ponto;

d) cálculo do valor crítico da função de Lyapunov, ������, para a configuração de

defeito do sistema.

Se o valor da função no momento de eliminação do defeito for menor ou igual ao valor

crítico, isto é, ������ ≤ ������, o sistema é considerado estável, caso isso não se verifique o sistema é

considerado instável. Esta formulação é genérica aos métodos baseados no Método de

Lyapunov, os quais usam funções de energia.

Como referido anteriormente, o Método de Lyapunov apresenta, assim como todas as

formulações directas, a vantagem de não ser necessário realizar a integração numérica das

equações do sistema no período pós-defeito, ou seja, não é necessário conhecer quer a

evolução temporal dos ângulos rotóricos, quer as velocidades angulares dos geradores, para se

poder concluir se o sistema é estável ou não.

Contudo, este método apresenta algumas desvantagens. Para sistemas de grandes

dimensões, como é o caso dos SEE, é difícil a determinação de todos os pontos singulares das

equações que descrevem o modelo sendo, por vezes, necessário recorrer a métodos numéricos.

Além disso, existe ainda a dificuldade para formular a função de Lyapunov a partir das equações

que descrevem o comportamento do SEE, devido à falta de procedimentos formais. Outras das

desvantagens é o facto de que a verificação da estabilidade transitória do sistema pelo Método

de Lyapunov é uma condição suficiente mas não necessária, já que este método dá uma noção

pessimista acerca da estabilidade do sistema ao cobrir apenas uma secção da região de

estabilidade. Assim sendo, um sistema considerado instável pelo Método de Lyapunov pode não

o ser. Refere-se ainda que esta formulação não permite obter uma solução ultra-rápida.

Para contrariar as dificuldades apresentadas por este método, novos métodos foram

desenvolvidos, entre os quais o Método da Função de Energia Transitória.

3.2.2. Método da Função de Energia Transitória (TEF) Devido às semelhanças, o Método da Função de Energia Transitória tornou-se, na

literatura sobre SEE, um sinónimo do Método de Lyapunov. Este método, que se pode

considerar um caso particular do Método de Lyapunov caso se desprezem as condutâncias,

caracteriza-se por utilizar uma função, a Função de Energia Transitória, que se obtém por

integração das equações do movimento que descrevem o comportamento do sistema.

Para representar o comportamento do sistema é necessário usar dois modelos

matemáticos, um para o período de defeito e outro para o período pós-defeito. No instante

anterior ao defeito considera-se que o sistema se encontra em regime permanente.

Determinando os desvios angulares usando como referência o centro de inércia do sistema,

tem-se, para o período de defeito:

20

�������� ��������

= �����

���� ��������� ��������

= ������(��) com ���� ∈ ]0, ��������]

(3.4)

Enquanto que para o período pós-defeito se tem:

�������� ��������

= �����

���� ��������� ��������

= ������(��) com ���� ∈ ]�������� , +∞[

(3.5)

Em ambos os casos ���� = 1, 2, … ,����.

Continuando a usar como referência o centro de inércia do sistema, o ângulo rotórico da

máquina ���� no ponto de equilíbrio estável, ������, para a configuração pós-defeito, é determinado

resolvendo as equações algébricas não-lineares:

����(��) = �������� − ����2�������� −���������������� sin������ + ���������������� cos�������

��

��=1 ��≠1

− ���� ���� ���������� = 0 (3.6)

com ���� = 1, 2, … ,���� e ������ = ���� − ����.

Considera-se que o integral de movimento do sistema de equações (3.5) é uma função

de energia apropriada, cuja derivada é:

�������� =

������������� ����(��)

= �������� �����

(3.7)

Integrando as equações de cada máquina entre (������, 0), ponto de equilíbrio estável do

sistema na configuração pós defeito, e (���� ,�����):

����(��,���) =

1 2 ���������2 − � ����(��)����

����

���� ��

���� , ���� = 1, … ,���� (3.8)

Esta expressão é conhecida como a função de energia de cada máquina do SEE.

Adicionando as ���� funções obtém-se o integral de movimento do sistema:

��(��,���) =

1 2 ����������2 ��

��=1

−�� ����(��)���� ����

���� ��

����

��

��=1

(3.9)

Comparando a expressão anterior com:

��(��,���) = ������(���) + ������(��) (3.10)

21

conclui-se que o primeiro termo do lado direito da equação (3.9) corresponde à energia cinética

do sistema enquanto que o segundo termo corresponde à energia potencial.

Como referido anteriormente, uma das etapas nos métodos baseados no Método de

Lyapunov, é o cálculo do valor crítico da função de energia ������. No Método da Função de Energia

Transitória é necessário, para determinar este valor, calcular o ponto de equilíbrio instável de

controlo ����, pois

������ = ������(����) (3.11)

Acontece que este cálculo, inserido na determinação do domínio de estabilidade, é uma

fase que exige elevado esforço computacional, o que é um inconveniente à aplicação deste

método. Para obviar a este inconveniente, foram desenvolvidos novos métodos, como o da

Superfície Limite de Energia Potencial.

3.2.3. Superfície Limite de Energia Potencial (SLEP) O Método da Superfície Limite de Energia Potencial (7) apresenta, em relação ao método

anterior, a vantagem de não ser necessário calcular o ponto de equilíbrio instável de controlo ����,

sendo apenas necessário realizar a integração das equações do modelo que descreve o sistema

no período de defeito para determinar ������, facto muito útil em sistemas de grande dimensão. Por

vezes, é ainda possível evitar o cálculo do ponto de equilíbrio estável do sistema na configuração

pós-defeito, ����.

Num sistema constituído por uma máquina ligada a um barramento de potência de curto-

circuito infinita, também designado barramento infinito, este método pode ser facilmente aplicado

considerando que o valor de energia crítico, correspondente ao cruzamento da SLEP, é igual ao

valor máximo que a energia potencial ������ atinge durante a trajectória do período de defeito, ou

seja, ������ = ������������(��). Basta então integrar as equações que descrevem o funcionamento do

sistema até se atingir um máximo da energia potencial ������. De seguida, considerando um tempo

de actuação das protecções de ��������, calcula-se o valor da função de energia ��(������ ,�������) e

compara-se esse valor com ������, caso ��(������ ,�������) < ������ o sistema é estável, caso contrário é

instável. Pode-se também, caso se pretenda determinar o tempo crítico ��������, integrar as equações

do sistema, calculando em cada passo o valor de ��(������ ,�������) até que ��(������ ,�������) = ������.

Apresenta-se de seguida um exemplo de aplicação deste método.

Exemplo

Considere-se um sistema constituído por uma máquina síncrona, ligada a um barramento

de potência de curto-circuito infinita, como se pode observar na Figura 3.3.

Considera-se que no instante de tempo ���� = 0 ocorre um curto-circuito trifásico simétrico

na linha, junto ao barramento 2, e a linha é retirada de serviço por abertura dos disjuntores. No

instante de tempo �������� religam-se os disjuntores e considera-se que o defeito foi eliminado.

22

Dados: • Gerador

• Transformador:

• Linha

������′ = 0,35 pu �� = 0,02 s2

�������� = 0,15 pu

������ = 0,09 pu

Sabendo que, no instante ���� = 0, a tensão e potência recebida no barramento 3 são,

respectivamente, ������ = 1,0 pu e ���� = 0,8 + ����0,4 pu, pretende-se saber qual o tempo crítico de

religação dos disjuntores.

G T

L 1 2 3

Figura 3.3 - Rede utilizada no exemplo do Método da SLEP

Convém referir desde já que, dado o exemplo considerar um barramento de potência de

curto-circuito infinita com uma constante de inércia infinita, as variáveis correspondentes ao

centro de inércia do sistema têm os mesmos valores que as variáveis do barramento de potência

de curto-circuito infinita, ou seja, ����0 = 0. Consequentemente ���1 = ����1 ����

e ����1 = ��1.

Partindo do estado pré-defeito calculam-se as variáveis consideradas constantes no

tempo, a potência mecânica e o módulo da força electromotriz, e ainda o valor inicial do ângulo

da força electromotriz.

������ = 0,8 pu

���� = � ���� ������ � ∗

= 0,8− ����0,4 pu

�������� = ������ + ����(������′ + �������� + ������)���� = 1,323������0,364 ⇒ � ��1 = 1,323 pu ����0 = 0,364 rad

A partir da equação (3.6) calcula-se o ponto de equilíbrio estável da situação pós-defeito.

Assumindo que para o período pós-defeito a potência fornecida pela máquina é dada por

�������� = �������� ������ sin ����1 = ��1��3

������′ + �������� + ������ sin����1

a equação (3.6) assume a forma

������ − ��1��3

������′ + �������� + ������ sin����1�� = 0

obtendo-se

����1�� = 0,364 rad

Agora é necessário encontrar a expressão para o cálculo da energia potencial. Usando o

segundo termo da equação (3.8) tem-se

������(��1) = −� ��1(��1) ��1

��1 ��

������1 = −� (������ − �������� ������ sin��1) ��1

��1 ��

������1

23

e obtém-se

 = −  −   −

 cos  − cos  

Calculando  para diferentes valores de  em torno do ponto de equilíbrio estável

obtém-se o gráfico da Figura 3.4, cujo máximo é igual a   = 2,260 e, portanto, o valor de

energia crítico é  =   = 2,260.

Figura 3.4 - Gráfico de 

O último passo para o cálculo do tempo crítico  é integrar as equações que descrevem

o funcionamento do sistema, durante o período de defeito, até que o valor da função de energia

, ! seja igual a . A função de energia é obtida através da equação (3.8) assumindo a

forma de

, ! = 1

2 # !

$ −  −   −

 cos  − cos  

onde se usou o resultado obtido anteriormente neste exemplo para o cálculo da energia

potencial. As equações que descrevem o funcionamento do sistema no período de defeito,

considerando que a potência eléctrica fornecida é nula, são

! =

# 

% = 1

2

 $

# + %0

sendo obtidas por integração da equação de oscilação, que no período de defeito se resume a

# '$%

'$ =

Calculando o valor da função de energia, ao longo do processo de integração, obtém-se

o gráfico da Figura 3.5, de onde se conclui que , ! =  para  ≅ 253 ms.

24



Figura 3.5 - Gráfico de 

O valor do tempo crítico é então  ≅ 253 ms. ∎

Num sistema multimáquina, cada perturbação dá origem a um modo de instabilidade,

pois, consoante a localização e natureza da perturbação, a perda de sincronismo pode ser

originada por uma ou mais máquinas se tornarem instáveis. Associado a cada modo de

instabilidade está um ponto de equilíbrio instável, denominado ponto de equilíbrio instável de

controlo para essa perturbação.

Em torno do ponto de equilíbrio estável para a configuração pós-defeito do sistema há

vários pontos instáveis de equilíbrio, os quais são a solução das equações (3.6). Após a

eliminação de uma perturbação, caso o sistema seja instável, a sua trajectória, partindo do ponto

de equilíbrio estável pré-defeito, vai aproximar-se de um determinado ponto de equilíbrio instável,

sendo esse o ponto de equilíbrio instável de controlo para essa perturbação.

Na Figura 3.6 encontra-se representada, para um sistema constituído por três máquinas,

a evolução da energia potencial  em função dos ângulos e  de duas das máquinas

referidos ao centro de inércia. Observam-se, além das superfícies equipotenciais, três pontos de

equilíbrio instável, ,  e , em torno do ponto de equilíbrio estável,  , cada um associado a

uma determinada perturbação, e os quais podem ser pontos de sela ( e ) ou máximos

relativos (). A linha a tracejado que passa pelos três pontos de equilíbrio instável e é

perpendicular às superfícies equipotenciais denomina-se Superfície Limite de Energia Potencial.

Para uma dada perturbação, se no momento em que esta for eliminada a trajectória do

sistema tiver ultrapassado a SLEP, o sistema é instável. Se a perturbação for eliminada

suficientemente cedo então a trajectória oscilará em torno do ponto de equilíbrio estável, , sem

ultrapassar a SLEP.

Para calcular o valor de  , a trajectória do sistema no período de defeito é monitorizada

até interceptar a SLEP no ponto ∗. Tal como no Método da Função de Energia Transitória,

25

também no Método da SLEP, o cálculo do valor crítico da função de energia, ������, depende do

ponto de equilíbrio instável de controlo, ����, ������ = ������(����). Acontece que, em muitos casos, o

ponto de equilíbrio instável de controlo, ����, está próximo de ��∗, e então ������ = ������(����) ≈ ������(��∗),

sendo esta a base do Método da SLEP e daí a determinação do cruzamento da SLEP ser uma

questão chave.

Figura 3.6 - Superfície Limite de Energia Potencial

Os passos para estabelecer os domínios de estabilidade transitória do sistema para uma

determinada perturbação, usando o Método da SLEP, são os seguintes:

1. determinar o ponto de equilíbrio estável, ����, a partir da equação (3.6);

2. calcular a trajectória durante o período de defeito, através de integração

numérica das equações (3.4);

3. monitorizar quando se dá o cruzamento da SLEP, altura em que os valores de

��(����) definem ��∗ a partir do qual se calcula ������(��∗) que constitui uma boa

aproximação de ������; o cruzamento da SLEP é verificado pela mudança de sinal

de ����(��)(�� − ����).

Para determinar o tempo crítico, ��������, integram-se as equações que descrevem o sistema

no período de defeito até que ��(��,���) = ������. Para determinar se, para uma determinada situação,

o sistema é estável, seguem-se os seguintes passos:

1. calcula-se a trajectória do sistema durante o período de defeito até ao momento

de eliminação do defeito, ��������, obtendo-se os valores de ��(��������) e ���(��������);

2. determina-se o valor da função de energia para esse ponto, ������ = ������(�������) +

������(������);

3. verifica-se a estabilidade:

• se ������ ≤ ������, o sistema é estável;

26

• se ������ > ������, o sistema é instável.

Como referido anteriormente este método evita por vezes o cálculo do ponto de equilíbrio

estável, o que acontece quando ���� está próximo de ��0.

3.2.4. Método do Ponto de Equilíbrio Instável de Controlo (BCU) Este método, conhecido na literatura da especialidade como Boundary Controlling

Unstable equilibrium point (BCU), consiste numa outra abordagem de aplicação de funções de

energia à análise de estabilidade de um SEE (7). A principal característica deste método consiste

no uso da noção de gradiente durante o período pós-defeito, o que permite reduzir a ordem do

sistema, fornecendo um novo algoritmo para determinar o ponto de equilíbrio instável de

controlo.

A aplicação deste método consiste nos seguintes passos:

1. determina-se o ponto de equilíbrio estável, ����, a partir da equação (3.6);

2. calcula-se o ponto de equilíbrio instável de controlo da seguinte forma:

a. integra-se o sistema de equações (3.4) que descreve o sistema no

período de defeito, calculando em cada passo de integração o valor de

��(��,���), determinando-se, tal como no Método da SLEP, quando se dá o

cruzamento da SLEP, obtendo-se ��∗.

b. após o cruzamento da SLEP, termina-se a integração do sistema de

equações que descreve o sistema no período de defeito, integrando-se

as equações dinâmicas de gradientes do sistema correspondentes ao

período pós-defeito:

�̇� = ��(��), ��(����∗) = ��∗ (3.12)

as quais definem um sistema de ordem reduzida no qual apenas se

considera a evolução dinâmica de ��;

c. integra-se (3.12) enquanto se monitoriza o valor de

‖��(��)‖ =�|����(��)|

��

��=1

(3.13)

até se atingir o primeiro mínimo, altura em que se interrompe o processo

e se obtém �� = ���������� . Este ponto encontra-se na vizinhança do ponto de

equilíbrio instável de controlo pelo que ������ = ����������������� � é uma boa

aproximação do valor da energia crítica do sistema;

d. o ponto de equilíbrio de controlo exacto obtém-se a partir das equações

(3.6) tendo como ponto de partida ���������� , obtendo-se ����;

3. calcula-se o valor da energia crítica do sistema, através de ������ = ������(����).

27

4. determina-se o valor de  utilizando os valores de ,  previamente

calculados em 2. e verifica-se o instante de tempo em que ,  = ,

obtendo-se . Se  <  o sistema é estável.

3.2.5. Método das Áreas Iguais

Este método que, como os apresentados anteriormente, é baseado em considerações

energéticas, pode ser aplicado a um sistema constituído por uma máquina síncrona ligada a um

barramento infinito (2).

Considera-se que no período pré-defeito o sistema se encontra em regime permanente,

ou seja, a potência eléctrica é igual à potência mecânica:

 =   (3.14)

Sendo a potência eléctrica, no período pré-defeito, dada por:

  = 

  sin  (3.15)

Enquanto que durante o período de defeito o sistema é descrito por:

 

 =  − 

  sin  (3.16)

Por fim, no período pós-defeito é descrito por:

 

 =  − 

  sin  (3.17)

sendo que   , 

  e    são constantes que dependem da configuração da rede.

Esta situação está representada na Figura 3.7.









!

0 #$  ! %

& 0

& 

& '

Figura 3.7 - Representação gráfica do critério das áreas iguais

Na figura anterior identificam-se:

28

������ - potência mecânica ������0 - potência eléctrica no período pré-defeito �������� - potência eléctrica no período de defeito �������� - potência eléctrica no período pós-defeito ����0 - ângulo da máquina na situação pré-defeito �������� - ângulo da máquina no instante de actuação das protecções ���������� - ângulo da máquina máximo atingido durante a oscilação ������ - área de aceleração ������ - área de desaceleração.

Inicialmente verifica-se ���� = ����0. Considerando que a perturbação é eliminada no instante

��������, podem definir-se duas áreas:

• área de aceleração cujo valor é dado por

������ = � (������ − �������� ������ sin ����)��������

������

��0 (3.18)

• área de desaceleração cujo valor é dado por

������ = � (�������� ������ sin ���� − ������)��������

��������

������ (3.19)

O sistema será estável quando ������ ≥ ������.

Como referido anteriormente, este método é aplicado a um sistema constituído por uma

máquina síncrona ligada a um barramento de potência de curto-circuito infinita. Para o aplicar a

um sistema de maiores dimensões (mais geradores) é necessário reduzir esse sistema a uma

máquina síncrona equivalente ligada a um barramento de potência de curto-circuito infinita (8).

Este método, denominado Método das Áreas Iguais Generalizado, utiliza o critério das áreas

iguais conjugado com as seguintes hipóteses:

a) sempre que ocorre a perda de sincronismo de um sistema multimáquina há uma

separação das máquinas em dois grupos;

b) a estabilidade pode ser avaliada substituindo as máquinas de cada grupo pelo

seu centro de inércia parcial;

c) a evolução temporal das duas máquinas resultantes da hipótese anterior pode

ser descrita através de séries de Taylor devidamente truncadas;

Considerando as hipóteses anteriores o método pode dividir-se nas seguintes etapas:

1. para uma determinada perturbação, o sistema multimáquina é dividido em dois

grupos: o grupo das máquinas críticas e o grupo das restantes máquinas;

2. cada grupo é reduzido a uma máquina equivalente usando o respectivo centro

de inércia parcial;

3. reduzir as duas máquinas equivalentes ao caso de uma máquina ligada a um

barramento infinito;

29

4. aplicar o critério das áreas iguais ao sistema obtido na etapa anterior, o que

permite calcular o tempo crítico de actuação das protecções e a margem de

estabilidade transitória, definida como

���� = ������ − ������ (3.20)

5. usar as séries de Taylor convenientemente truncadas para obter expressões que

permitam determinar as medidas de estabilidade referidas anteriormente.

Exemplo

Apresenta-se agora um exemplo deste método, aplicado ao mesmo sistema utilizado no

exemplo anterior, o qual é sujeito à mesma perturbação.

Para começar, é necessário calcular as variáveis do sistema no período pré-defeito, mais

concretamente a força electromotriz e a potência mecânica:

������ = 0,8 pu

���� = � ���� ������ � ∗

= 0,8− ����0,4 pu

�������� = ������ + ����(������′ + �������� + ������)���� = 1,323������0,364 ⇒ � ��1 = 1,323 pu ����0 = 0,364 rad

Durante o período de defeito, a linha está desligada e então:

�������� = 0

Após a eliminação do defeito, a linha está de novo em funcionamento. Tem-se então no

período pós-defeito:

�������� = �������� ������ sin���� = ��1��3

������′ + �������� + ������ sin����

As diferentes curvas de potência, bem como as áreas de aceleração e desaceleração

podem ser observadas na Figura 3.8.

Aplicando então o critério das áreas iguais tem-se, para a situação limite:

������ = ������

� (������ − 0)�������� ������

��0 = � (�������� ������ sin ���� −������)��������

����

������

������(�������� − ����0) = −�������� ������(cos ������ − cos ��������)− ������(������ − ��������)

������(�������� − ����0 + ������ − ��������) + �������� ������ cos������ = �������� ������ cos ��������

�������� = 1,644 rad

30





 





 0

0 

Figura 3.8 - Representação gráfica da situação estudada no exemplo do Método das Áreas Iguais

Como referido anteriormente, no período de defeito  = 0, ficando a equação de oscilação reduzida a:

   = 

Sendo a derivada igual a uma constante, a equação é facilmente integrável:

   =  ⇔

  = 

admitindo que   0 = 0. Para se obter a evolução temporal de  basta integrar novamente a

equação obtendo-se:

 = 12   + 0

Substituindo por valores obtém-se o valor de :

 =  = 12   + 0 ⇔  ≅ 253 ms ∎

3.3. Métodos Híbridos

Os Métodos Híbridos resultam de uma junção entre os Métodos de Integração Numérica

e os Métodos Directos, oferecendo a grande capacidade de modelização característica dos

Métodos de Integração Directa combinada com a velocidade característica dos Métodos Directos

(3). Além de permitirem, como referido, uma grande flexibilidade de modelização aliada à rapidez

de execução, os Métodos Híbridos permitem também, para uma determinada contingência,

31

identificar o conjunto de máquinas críticas, isto é, o conjunto de máquinas responsáveis pela

perda de sincronismo do sistema.

Os métodos híbridos podem ser divididos em dois grupos: uma formulação utiliza o

sistema multi-máquina completo; outra formulação utiliza um modelo equivalente do sistema

constituído por uma máquina ligada a um barramento de potência de curto-circuito infinita (3). De

seguida serão apresentados sumariamente dois Métodos Híbridos, um de cada grupo: um

método que se baseia na Função de Energia Transitória e que utiliza o sistema multi-máquina

sem qualquer redução; um método que se baseia no Método das Áreas Iguais e que utiliza um

modelo reduzido equivalente do sistema.

3.3.1. Método híbrido baseado na função de energia transitória Como referido anteriormente, este método, baseado na função de energia transitória,

utiliza o modelo multi-máquina completo.

O algoritmo desde método pode ser dividido em duas etapas distintas:

1. Período de defeito, durante o qual se efectua a integração numérica das

equações que descrevem o sistema, equações (3.4), e no fim do qual se calcula

o ponto de equilíbrio estável da configuração pós-defeito;

2. Período pós-defeito, durante o qual se continua a efectuar a integração numérica

das equações que descrevem o sistema, equações (3.5), mas, determinando em

cada passo de integração, se ocorre o cruzamento da SLEP ou se o sistema

atinge um máximo local da energia potencial. No primeiro caso, a situação é

considerada instável enquanto que, no segundo, após verificadas determinadas

condições, o sistema pode ser considerado estável. Caso não seja possível

determinar a estabilidade ou instabilidade da situação em estudo a integração

numérica continua a efectuar-se até tal ser possível.

Este método permite o cálculo do tempo crítico de actuação das protecções. Este é

obtido realizando sucessivas simulações com diferentes estimativas do tempo de actuação das

protecções que tendem para o tempo crítico. Estas estimativas são efectuadas utilizando as

margens de energia transitória das duas últimas simulações, considerando que o valor desta

margem varia linearmente com o tempo de actuação das protecções. O valor da margem de

energia transitória de cada simulação é obtido através da energia cinética do sistema ou da

energia potencial, caso, respectivamente, se trate de uma situação instável, para o qual é

negativo, ou uma situação estável, para o qual é positivo. O valor onde a margem se anula

corresponde ao ponto que se pretende determinar.

3.3.2. Método híbrido baseado no método das áreas iguais Este método, como mencionado anteriormente, utiliza um modelo equivalente reduzido

do sistema constituído por uma máquina, daí ser denominado de SIME (SIngle Machine

Equivalent).

32

Tal como no método anterior, também o algoritmo deste método pode ser divido em duas

etapas distintas:

1. Período durante o qual se efectua a integração numérica das equações que

descrevem o sistema, equações (3.4) no período de defeito e equações (3.6) no

período pós-defeito. A duração do período de integração é estipulada pelo

critério das áreas iguais.

2. O sistema é reduzido a um sistema equivalente constituído por uma máquina

ligada a um barramento de potência de curto-circuito infinita. Usando o modelo

equivalente é calculada a margem de estabilidade transitória, a partir da equação

(3.20), que permite aferir acerca da estabilidade do sistema. Caso a margem de

estabilidade transitória seja positiva o sistema é considerado estável, caso

contrário é considerado instável.

Este método permite também o cálculo do tempo crítico de actuação das protecções. Tal

como no caso anterior, efectuam-se múltiplas simulações com diferentes estimativas do tempo

de actuação das protecções mas, utilizando agora, as duas últimas margens de estabilidade

transitória. Considera-se que o valor desta margem varia linearmente com o tempo de actuação

das protecções e o ponto para o qual esta se anula corresponde ao ponto que se pretende

determinar. Quando se verificar que a diferença entre duas estimativas consecutivas é inferior a

uma determinada tolerância a simulação pode ser interrompida.

3.4. Técnicas de Inteligência Artificial

As Técnicas de Inteligência Artificial são a mais recente abordagem, das apresentadas

neste trabalho, ao estudo da estabilidade transitória do SEE. Estas técnicas são aproximações

probabilísticas e usam métodos de aprendizagem automática.

Como ponto comum entre todas as Técnicas de Inteligência Artificial destaca-se a

desvantagem da necessidade de realizar um grande número de simulações em tempo diferido,

um processo bastante moroso e pesado do ponto de vista computacional. Já em tempo real

apresentam as vantagens de apresentar uma elevada eficiência computacional, reduzindo

drasticamente o tempo de cálculo, e uma grande capacidade de interpretação dos fenómenos

em análise.

De seguida serão apresentadas mais algumas características referentes às técnicas

mais representativas desta classe: Reconhecimento de Formas, Redes Neuronais e Árvores de

Decisão (3).

3.4.1. Reconhecimento de Formas Esta técnica parte do facto de que, com base em informação previamente adquirida

sobre o SEE, é possível tirar conclusões em tempo real acerca do funcionamento deste, mesmo

para novos pontos de funcionamento não testados.

33

Para implementar este método é necessário gerar um conjunto de treino, através de

múltiplas simulações do SEE. De seguida, cada situação simulada deste conjunto treino, é

classificada por um conjunto de variáveis, denominadas variáveis primárias. Estas variáveis são

posteriormente filtradas para eliminar informação redundante, reduzindo assim a dimensão do

vector de variáveis. Posteriormente, entra-se na última fase de implementação que consiste na

síntese de um classificador que, com base no vector de variáveis que caracteriza cada ponto de

operação do SEE, seja capaz de o classificar em estável ou instável.

3.4.2. Redes Neuronais As Redes Neuronais, tentam representar por meios computacionais, o funcionamento do

cérebro, consistindo em várias unidades de processamento, os neurónios, com um forte grau de

ligação entre elas. Esta metodologia pode ser usada como classificador de um determinado

ponto de operação do SEE devido à sua capacidade de reproduzir complexas relações

numéricas entre as variáveis recolhidas e, devido ao facto de a partir de dados recolhidos no

período pré-defeito, ser possível inferir acerca da estabilidade ou instabilidade do sistema para

uma determinada perturbação.

Tal como no método anterior, é necessário gerar inicialmente um conjunto de treino, do

qual são seleccionadas e filtradas as variáveis mais representativas, que permitem calibrar o

classificador, gerando um conjunto de regras que vão permitir classificar em tempo real cada

ponto de operação do SEE.

3.4.3. Árvores de Decisão As Árvores de Decisão são outras das Técnicas de Inteligência Artificial aplicadas ao

estudo da estabilidade transitória do SEE. Na estrutura criada, uma árvore, os nós podem ser

considerados como estados, neste caso estável ou instável, e os ramos são o conjunto de

factores que levam a esses estados, neste caso as variáveis que descrevem o ponto de

funcionamento do SEE.

Para criar uma árvore de decisão é necessário, inicialmente, gerar uma base de dados,

de grandes dimensões, que represente os diferentes pontos de funcionamento do SEE. De

seguida procede-se à construção da árvore propriamente dita escolhendo, para cada nó, um

conjunto de atributos e um valor limite desses atributos que conduzam aos diferentes nós

seguintes. Na Figura 3.9, pode ser observado um caso simplificado com apenas um atributo e

apenas dois nós seguintes possíveis, sendo o atributo ������ e o valor limite ������lim.

1

�������� < ��������lim

2 3

Sim Não

Figura 3.9 - Exemplo de uma árvore de decisão

34

Durante a construção da árvore deve-se ter em atenção o compromisso entre a

complexidade e a fiabilidade para definir um ponto de paragem. Este método pode também

analisar novos estados não observados, a partir da base de dados.

3.5. Comparação dos diferentes métodos

Durante a exposição feita de cada um dos métodos foram logo referidas, na altura,

algumas das características principais de cada um deles. Efectua-se agora uma comparação

entre algumas características comuns aos vários métodos como as possibilidades de

modelização, as tarefas que precedem a sua utilização, os requisitos computacionais em tempo

real e a capacidade de fornecer medidas de controlo, a qual pode ser observada na Tabela 3.1.

Tabela 3.1 - Comparação entre os diferentes métodos

Métodos

Características

Integração Numérica

Métodos Directos

Métodos Híbridos

Técnicas de Inteligência

Artificial

Possibilidades de modelização Pormenorizada

Modelo clássico ou

pouco pormenorizada

Pormenorizada Pormenorizada

Tarefas preparatórias

(tempo deferido) Validação Validação exaustiva Validação

Geração da base de dados

e validação Requisitos

computacionais (tempo real)

Grande esforço

Reduzido esforço

Esforço relativo

Esforço extremamente

reduzido

Medidas de controlo Não fornece Preventivo Preventivo

Preventivo e correctivo

Relativamente às possibilidades de modelização foi já referido que, com a excepção dos

Métodos Directos que usam um modelo clássico ou pouco pormenorizado, todos os outros

métodos permitem uma modelação pormenorizada.

Quanto às tarefas que precedem a sua utilização os Métodos de Integração Numérica e

Híbridos apenas necessitam de ser validados. Já os Métodos Directos precisam de uma

validação exaustiva devido às suposições e simplificações efectuadas. As Técnicas de

Inteligência Artificial para além da validação necessitam da geração de uma base de dados, que

é uma tarefa muito pesada computacionalmente.

Em tempo real assiste-se a uma inversão da carga de trabalho necessária de cada um

dos métodos, em comparação com as tarefas preparatórias referidas anteriormente, pois as

Técnicas de Inteligência Artificial e os Métodos Directos exigem um reduzido esforço de cálculo.

35

Os Métodos Híbridos e Directos permitem implementar medidas de controlo preventivo,

enquanto que as Técnicas de Inteligência Artificial permitem estabelecer medidas de controlo

preventivo mas também correctivo.

Os métodos que apresentam melhores resultados são os Métodos Híbridos e as

Técnicas de Inteligência Artificial mas, por estas últimas necessitarem da geração de uma base

de dados, tarefa morosa e que dá origem a uma grande quantidade de informação que necessita

de ser comprimida e armazenada, os Métodos Híbridos são actualmente os mais usados.

3.6. Conclusões

Neste capítulo foram apresentados os métodos mais relevantes para analisar a

estabilidade transitória de um SEE: Métodos de Integração Numérica, Métodos Directos,

Métodos Híbridos e Técnicas de Inteligência Artificial. Para cada um deles foram apresentadas

as principais características e, para alguns dos Métodos Directos, foram apresentados exemplos

de aplicação.

Por fim realizou-se uma comparação entre os diferentes métodos apresentados

relativamente a características como possibilidades de modelização, tarefas que precedem a sua

utilização, requisitos computacionais em tempo real e capacidade de ordenar contingências e

fornecer medidas de controlo. Constatou-se que os métodos que apresentam melhores

resultados são os Métodos Híbridos e as Técnicas de Inteligência Artificial, dando-se preferência

aos primeiros por serem mais fáceis de implementar pois não necessitam da geração de uma

base de dados.

37

4. Método híbrido implementado

Neste trabalho pretendeu-se implementar um método híbrido, em linguagem matlab,

capaz de, para diferentes contingências, calcular os tempos críticos de actuação das protecções.

As contingências simuladas são curto-circuitos trifásicos simétricos francos nas linhas junto aos

barramentos.

O método implementado conjuga os Métodos de Integração Numérica com o Método das

Áreas Iguais. O processo de integração numérica é interrompido antes do período total de

simulação utilizando índices de detecção de instabilidade/estabilidade, sendo de seguida o

sistema reduzido e estudado usando o Método das Áreas Iguais. Os valores dos tempos críticos

são obtidos através de um processo simples de regressão linear utilizando as margens de

estabilidade transitória.

O programa pode ser dividido em três etapas (Figura 4.1): uma primeira etapa que inclui

a introdução dos dados e o cálculo dos valores pré-defeito, a segunda etapa que inclui o ciclo

para determinação dos tempos críticos e, por fim, a última etapa que corresponde ao

armazenamento dos resultados.

Início FimProcedimentos preliminares

Ciclo para determinação do

tempo crítico Armazenamento dos resultados

Figura 4.1 - Estrutura geral do método implementado

De seguida será feita uma apresentação detalhada do modo de funcionamento do

programa, a qual está dividida pelas diferentes etapas referidas anteriormente. No fim do capítulo

é feita a ponte entre as diferentes etapas descritas e os diferentes ficheiros que contêm o código

escrito para implementar o método híbrido.

4.1. Introdução dos dados

Os dados são fornecidos ao programa através de ficheiros Excel, sendo necessário

fornecer os dados relativos à rede e aos defeitos que se pretendem simular. O próprio programa

é responsável pela sua importação para o espaço de variáveis. Os dados fornecidos estão

distribuídos por diferentes ficheiros Excel, existindo um ficheiro para cada uma das componentes

do SEE (geradores, linhas, transformadores), um ficheiro para os dados relativos aos

barramentos da rede e ainda um ficheiro para os defeitos a simular. Cada ficheiro contém uma

lista numerada com os vários elementos de cada conjunto. Todos os ficheiros referentes a uma

rede estão colocados na mesma pasta cujo caminho é comunicado ao programa, sendo este

autónomo até ao fim da simulação. A estrutura detalhada de cada ficheiro é agora apresentada.

38

4.1.1. Barramentos Os dados relativos aos barramentos estão contidos num ficheiro denominado

“barramentos.xlsx”. Este ficheiro contém:

• numeração dos barramentos;

• tipo do barramento (referência, PV ou PQ);

• módulo da tensão para os barramentos PV e de referência;

• argumento da tensão para o barramento de referência;

• potências geradas activa para os barramentos PV e PQ e reactiva para os PQ;

• potência activa e reactiva de carga para todos os barramentos.

O ficheiro Excel tem a estrutura da Tabela 4.1.

Tabela 4.1 - Estrutura do ficheiro com os dados dos barramentos

Nº do barramento

Tipo do barramento

Módulo da

tensão

Argumento da tensão

Potência activa gerada

Potência reactiva gerada

Potência activa de

carga

Potência reactiva de carga

4.1.2. Geradores Os dados relativos aos geradores estão contidos num ficheiro denominado

“geradores.xlsx”. Este ficheiro contém:

• numeração dos geradores;

• barramento ao qual o gerador está ligado;

• constante de inércia ��;

• reactância transitória ������′ ;

• coeficiente de amortecimento ����.

O ficheiro Excel tem a estrutura da Tabela 4.2.

Tabela 4.2 - Estrutura do ficheiro com os dados dos geradores

Nº do gerador

Barramento de ligação

Constante de inércia ��

Reactância transitória ������′

Coeficiente de amortecimento ����

4.1.3. Linhas de Transmissão Os dados relativos às linhas estão contidos num ficheiro denominado “linhas.xlsx”. Este

ficheiro contém:

• numeração das linhas;

• barramentos entre os quais a linha está ligada;

• resistência e reactância longitudinal e susceptância transversal.

O ficheiro Excel tem a estrutura da Tabela 4.3.

39

Tabela 4.3 - Estrutura do ficheiro com os dados das linhas

Nº da linha

Barramento 1

Barramento 2

Resistência longitudinal

Reactância longitudinal

Susceptância transversal

4.1.4. Transformadores Os dados relativos aos transformadores estão contidos num ficheiro denominado

“transformadores.xlsx”. Este ficheiro contém:

• numeração dos transformadores;

• barramento onde está ligado o primário;

• barramento onde está ligado o secundário;

• resistência e reactância de curto-circuito;

• relação de transformação, para os transformadores com tomadas e

desfasadores (unitária para os transformadores simples).

O ficheiro Excel tem a estrutura da Tabela 4.4.

Tabela 4.4 - Estrutura do ficheiro com os dados dos transformadores

Nº do transformador

Barramento do primário

Barramento do secundário Resistência Reactância

Relação de transformação

4.1.5. Contingências Os dados relativos às contingências a simular estão contidos num ficheiro denominado

“contingencias.xlsx”. Este ficheiro contém:

• numeração das contingências;

• barramento junto do qual ocorre a contingência;

• linha que sai de serviço no período pós-defeito (0 para nenhuma).

O ficheiro Excel tem a estrutura da Tabela 4.5.

Tabela 4.5 - Estrutura do ficheiro com os dados dos defeitos

Nº da contingência Barramento Linha retirada de serviço

4.2. Cálculo dos valores pré-defeito

Esta fase do programa inclui a resolução de um trânsito de energia, a transformação das

cargas em impedâncias constantes e o cálculo dos valores iniciais das forças electromotrizes e

das potências mecânicas dos geradores.

O trânsito de potências é efectuado utilizando o Método de Newton-Raphson ficando

então disponíveis os módulos e argumentos da tensão para todos os barramentos da rede.

40

Relativamente à transformação das cargas em impedâncias constantes, esta é feita

tendo em conta o exposto no Capítulo 2.

Como já referido, a modelização foi feita tendo em conta o modelo clássico, o que leva a

que se considere que o módulo da força electromotriz e a potência mecânica são constantes,

permanecendo inalteráveis durante o período de simulação. Nesta etapa inicial do método

híbrido implementado são então, desde já, calculados estes valores.

Esta fase apenas necessita de ser efectuada uma vez, ficando então os valores

disponíveis para todos os defeitos que se pretendam simular.

4.3. Ciclo para determinação do tempo crítico

Após a realização dos procedimentos preliminares dá-se início ao ciclo para determinar o

tempo crítico de actuação das protecções. Esta etapa é a mais complexa do método

implementado e a que exige maior esforço computacional. Segue-se uma apresentação mais

detalhada deste ciclo cabendo de seguida, para os pontos considerados mais importantes,

secções próprias.

Como referido anteriormente, e como se pode observar na Figura 4.2, este ciclo é

iniciado com a integração numérica das equações que descrevem o sistema. É utilizado o

modelo clássico para descrever o sistema e o método de integração adoptado é o método

trapezoidal. Em cada passo de integração são calculados três índices: um de estabilidade (IDE),

um de instabilidade (IDCS) e um último que indica o tempo de observação para identificação do

conjunto de máquinas críticas (IDTO). A simulação continua até estes índices apresentarem

determinados comportamentos indicando que a simulação pode terminar.

Início

Fim

Integraçação numérica

IDE IDCS IDTO

Identificação das máquina críticas

Redução a uma máquina

equivalente

Cálculo da margem de estabildade

transitória

Nova estimativa do tempo crítico

∆������������ < ����

Sim

Não

Figura 4.2 - Diagrama do ciclo para o cálculo do tempo crítico

Terminado o processo de integração numérica procede-se à identificação do conjunto

das máquinas críticas. Esta identificação é feita recorrendo a dois critérios de identificação, mas

41

apenas sendo utilizado um de cada vez. O critério a utilizar é escolhido tendo em conta a

estabilidade ou instabilidade da situação analisada, a qual é determinada pelos índices

calculados durante o processo de integração numérica.

Após identificadas as máquinas críticas pode-se então reduzir o sistema a um sistema

equivalente constituído por uma máquina ligada a um barramento de potência de curto-circuito

infinita. Este processo é feito considerando dois conjuntos: o conjunto das máquinas críticas e o

conjunto constituído pelas restantes máquinas. Começa-se por reduzir cada um destes conjuntos

a um conjunto equivalente para depois se obter o modelo reduzido do sistema.

Obtido o modelo equivalente do sistema calcula-se o valor da margem de estabilidade

transitória, necessário para estimar o valor do tempo crítico. Dado que o processo de integração

numérica é interrompido, devido aos índices utilizados, antes do tempo total de simulação, não é

possível obter a curva de potência da máquina equivalente para todos os valores do ângulo de

potência equivalente ��������. É então necessário usar métodos para estimar os valores em falta,

partindo dos valores já conhecidos, sendo então utilizados dois métodos: aproximação por uma

função trigonométrica e aproximação por um polinómio de segundo grau. A opção pelo método

de aproximação a utilizar é tomada tendo em conta a proximidade ao valor final do tempo crítico

a determinar.

Após obtida a margem de estabilidade para determinada iteração, faz-se uma nova

estimativa do valor do tempo crítico utilizando a margem de estabilidade calculada nesta iteração

e a margem calculada na iteração anterior. Esta estimativa baseia-se no facto de se considerar

que o valor da margem de estabilidade ���� varia linearmente com o tempo de actuação das

protecções ��������.

Segue-se agora uma exposição dos pontos considerados mais importantes.

4.3.1. Índices de estabilidade e instabilidade Os métodos híbridos caracterizam-se por interromperem a integração das equações

diferenciais que descrevem o comportamento do sistema antes do tempo total de simulação.

Para determinar o momento em que a integração pode ser interrompida usam-se índices que,

com base nas variáveis do sistema, permitem chegar a uma conclusão acerca da estabilidade do

sistema antes do tempo total de simulação ser atingido.

No método implementado são utilizados dois índices para determinar a estabilidade do

sistema, sendo o valor destes calculado em cada iteração do período pós-defeito. Como referido

anteriormente existe ainda um terceiro índice mas, por estar relacionado com a identificação das

máquinas críticas, será apresentado posteriormente.

O primeiro índice apresentado, denominado IDCS, permite determinar a instabilidade do

sistema (3). O seu valor é calculado por

42

������������ =�����2

��

��=1

(4.1)

onde ���� é a potência de aceleração da máquina ����, dada pela equação (2.13). Monitorizando o

valor de IDCS é possível declarar a instabilidade do sistema quando este índice atingir um

mínimo relativo.

O segundo índice, denominado IDE e que permite determinar a estabilidade do sistema

(3), é determinado a partir da expressão

�������� =����������� − ���������

��

��=1

(4.2)

onde ����� - velocidade angular da máquina ����, referida ao centro de inércia do sistema ���� - ângulo rotórico da máquina ����, referido ao centro de inércia do sistema ��������- ângulo rotórico da máquina ���� no instante de eliminação do defeito, referido ao centro de inércia do sistema.

Na forma matricial este índice calcula-se através da equação

�������� = [���]��([��]− [������]) (4.3)

O valor deste índice é monitorizado em cada passo de integração até se observar uma

mudança de sinal, de valor positivo para negativo, o que permite concluir que o sistema é

estável. Refira-se que é necessário acontecer uma mudança de valor positivo para negativo, ou

seja, se este índice apresentar, logo na primeira iteração em que é calculado, um valor negativo,

o sistema não é considerado estável e o processo de integração prossegue.

A interacção destes índices com o processo de integração numérica é facilmente

explicável. Como referido, em cada passo de integração, no período pós-defeito, o seu valor é

calculado. O primeiro índice a apresentar um comportamento que permita tirar conclusões

(mínimo para IDCS, mudança de sinal para IDE) é o índice válido para essa situação e o

processo de integração numérica é interrompido de imediato (9).

Nas figuras seguintes pode ser observado o que acabou de ser explicado. Na Figura 4.3,

obtida utilizando um tempo de actuação das protecções de �������� = 0,4 s pode-se observar que o

índice IDCS atinge primeiro um mínimo sendo então o processo de integração interrompido e a

situação considerada instável. Na Figura 4.4, onde o tempo de actuação das protecções definido

foi de �������� = 0,3 s a situação já é considerada estável pois, como se observa, o índice IDE sofre

primeiro uma mudança de sinal.

43

Figura 4.3 - Comportamento dos índices IDCS e IDE, situação instável

Figura 4.4 - Comportamento dos índices IDCS e IDE, situação estável

4.3.2. Identificação das máquinas críticas A identificação do conjunto de máquinas críticas é um passo fundamental no método

implementado. Esta identificação é feita a partir de dois critérios de ordenação das máquinas

críticas sendo, para cada situação, apenas utilizado um critério, o qual é escolhido tendo em

conta a informação da estabilidade fornecida pelos índices IDCS e IDE apresentados

anteriormente. A utilização dos critérios de ordenação implica ainda a determinação do tempo de

observação óptimo das variáveis que caracterizam o estado dos geradores, sendo os critérios

avaliados para este instante.

O tempo de observação ideal para a identificação do conjunto de máquinas críticas é

determinado a partir de um índice baseado nas variáveis que descrevem os geradores (3). Este

índice, denominado IDTO, é calculado a partir da expressão:

������������ =����������

��

��=1

(4.4)

onde ���� - potência de aceleração da máquina ����, dada pela equação (2.13) ����� - velocidade angular da máquina ����, referida ao centro de inércia do sistema.

O índice IDTO é calculado em cada passo do processo de integração das equações que

descrevem o sistema, no período pós-defeito. O instante em que este índice apresenta uma

44

mudança de sinal corresponde ao instante ideal para a determinação do conjunto de máquinas

críticas (Figura 4.5).

Figura 4.5 - Comportamento do índice IDTO

Após estar determinado o instante ideal para a identificação do conjunto das máquinas

críticas procede-se à ordenação das máquinas segundo o critério escolhido. Quando a simulação

é estável utiliza-se um índice baseado na variação incremental dos ângulos rotóricos. Caso

contrário, ou seja, quando a simulação é instável, utiliza-se um método denominado ordenação

das máquinas críticas (CMRCritical Machines Ranking).

O índice correspondente ao primeiro critério (3), baseado na variação incremental dos

ângulos rotóricos, é calculado em relação ao centro de inércia do sistema, para cada máquina do

sistema, pela expressão

�������������� = � |����(���� + ∆����)− ����(����)|

��������

��=������

(4.5)

onde ���� - ângulo rotórico da máquina ����, referido ao centro de inércia do sistema ∆���� – passo do processo de integração.

De seguida os índices para todas as máquinas são ordenados por ordem decrescente do

seu valor, calculando-se, após a ordenação, a maior diferença entre dois valores consecutivos. O

conjunto de máquinas situado acima do maior intervalo constitui o conjunto de máquinas crítico.

O critério utilizado quando a simulação é instável, o CMR, baseia-se no facto de

considerar que o grau de criticalidade de uma máquina é directamente proporcional à amplitude

do seu ângulo rotórico, observado num instante apropriado (10). A aplicação deste método

inicia-se ordenando, no instante determinado pelo índice IDTO, as máquinas do sistema por

ordem decrescente em função do seu ângulo rotórico ������. De seguida é necessário considerar

vários conjuntos de máquinas críticas determinando-se qual o mais desfavorável. Para isso,

partindo-se do conjunto já ordenado, procede-se da seguinte forma:

45

1. forma-se um conjunto constituído pelas primeiras ���� máquinas da lista ordenada,

em que ���� = 1, 2, … ,����− 1, sendo ���� o número total de geradores;

2. para o primeiro conjunto, considerado o das máquinas críticas, calcula-se o

ângulo rotórico equivalente procedendo-se da mesma forma para o conjunto das

restantes máquinas. Calcula-se a diferença entre estes dois valores;

3. repetir os passos 1 e 2 até que as primeiras ����− 1 máquinas tenham sido

incluídas no conjunto das máquinas críticas.

Os dois conjuntos estabelecidos que correspondam à maior diferença entre ângulos

equivalentes correspondem ao conjunto das máquinas críticas e ao conjunto das restantes

máquinas.

O ângulo rotórico equivalente para cada conjunto, referido no passo 2, é calculado

recorrendo às expressões (2.7) e (2.8). Sendo C o conjunto das máquinas críticas e R o conjunto

das restantes máquinas tem-se para o conjunto C:

������ = 1 ���� ����������� ��∈��

(4.6)

���� =����� ��∈��

(4.7)

Enquanto que para o conjunto R se tem:

������ = 1 ���� ����������� ��∈��

(4.8)

���� =����� ��∈��

(4.9)

Nas expressões anteriores tem-se

������ - ângulo rotórico equivalente do conjunto C ���� - coeficiente de inércia da máquina ��, pertencente ao conjunto C ������ - ângulo rotórico da máquina ��, pertencente ao conjunto C ���� - coeficiente de inércia equivalente do conjunto C ������ - ângulo rotórico equivalente do conjunto R ���� - coeficiente de inércia da máquina ����, pertencente ao conjunto R ������ - ângulo rotórico da máquina ����, pertencente ao conjunto R ���� - coeficiente de inércia equivalente do conjunto R.

4.3.3. Redução do sistema a uma máquina equivalente Para poder aplicar o Método das Áreas Iguais a um sistema multi-máquina é necessário

reduzir este último a um modelo equivalente constituído por uma máquina ligada a um

barramento infinito. Este redução é efectuada tendo em conta o conjunto de máquinas críticas

identificado no passo anterior. O processo inclui a representação do conjunto de máquinas

críticas por uma máquina equivalente, efectuando-se o mesmo processo para o conjunto das

46

restantes máquinas. De seguida estas duas máquinas são reduzidas a uma única máquina

equivalente, a qual descreve de forma correcta o sistema e permite uma análise facilitada

utilizando o Método das Áreas Iguais (3).

O primeiro passo, que consiste na redução do conjunto de máquinas críticas (conjunto C)

e do conjunto das restantes máquinas (conjunto R) a máquinas equivalentes, máquina C e

máquina R respectivamente, inicia-se utilizando as equações (4.7) e (4.9). De seguida, o ângulo

rotórico de cada máquina equivalente, em cada instante de tempo, é obtido utilizando equações

equivalentes às equações (4.6) e (4.8), procedendo-se de forma equivalente para as velocidades

angulares. Tem-se então para o ângulo rotórico do conjunto C:

������(����) = 1 ���� �����������(����) ��∈��

(4.10)

enquanto que para a velocidade angular se tem

����(����) = 1 ���� ���������(����) ��∈��

(4.11)

Para o conjunto R, por sua vez, tem-se para o ângulo rotórico

������(����) = 1 ���� ����������� ��∈��

(����) (4.12)

enquanto que para a velocidade angular

����(����) = 1 ���� ���������(����) ��∈��

(4.13)

Nas expressões anteriores tem-se ���� - velocidade angular equivalente do conjunto C ���� - velocidade angular da máquina ��, pertencente ao conjunto C ���� - velocidade angular equivalente do conjunto R ���� - velocidade angular da máquina ����, pertencente ao conjunto R.

Após obtidos os modelos equivalentes para os dois conjuntos realiza-se o segundo

passo, o qual permite obter o modelo equivalente constituído por uma máquina ligada a um

barramento de potência de curto-circuito infinita. O ângulo rotórico equivalente é obtido através

de

��������(����) = ������(����)− ������(����) (4.14)

enquanto que a velocidade angular equivalente se obtém por

������(����) = ����(����)− ����(����) (4.15)

47

O coeficiente de inércia total obtém-se com base nos coeficientes de inércia calculados

através das expressões (4.7) e (4.9):

���� = ���� +���� (4.16)

O coeficiente de inércia do sistema equivalente, obtém-se também com base nos

coeficientes de inércia calculados através das expressões (4.7) e (4.9) e é dado por

������ = �������� ���� +����

(4.17)

Para estarem determinadas todas as variáveis relativas à maquina equivalente falta

apenas determinar as potências eléctrica e mecânica equivalentes. Para a potência mecânica

equivalente tem-se

������ ����(����) =

1 ���� ��������������(����)

��∈��

− �������������(����) ��∈��

� (4.18)

enquanto que a potência eléctrica equivalente é obtida através de

������ ����(����) =

1 ���� ��������������(����)

��∈��

− �������������(����) ��∈��

� (4.19)

Nas expressões anteriores tem-se �������� - potência mecânica da máquina ��, pertencente ao conjunto C �������� - potência mecânica da máquina ����, pertencente ao conjunto R �������� - potência eléctrica da máquina ��, pertencente ao conjunto C �������� - potência eléctrica da máquina ����, pertencente ao conjunto R.

Dispõe-se agora de um modelo equivalente que será usado para calcular a margem de

estabilidade transitória do sistema.

4.3.4. Cálculo da margem de estabilidade transitória O cálculo da margem de estabilidade transitória é importante, no método implementado,

pois é através do seu valor que são estimados os valores de tempo crítico. Este cálculo, tendo

disponível as curvas de potência, é relativamente fácil, sendo efectuado através da expressão

���� = � ������� ���� − ������ �����

��������

������0

������������ (4.20)

na qual ������ ���� - potência eléctrica fornecida pela máquina equivalente ������ ���� - potência mecânica da máquina equivalente ��������0 - ângulo rotórico da máquina equivalente no instante pré-defeito ���������� - ângulo rotórico da máquina equivalente, de valor superior a ��������0 , para o qual a potência eléctrica volta a igualar a potência mecânica.

48

Acontece que no método implementado, devido à interrupção do processo de integração

numérica antes do tempo total de simulação, não se dispõe da totalidade da curva de potência

no período pós-defeito sendo necessário estimar os seus valores para depois utilizar a expressão

(4.20). Como já foi referido, esta estimativa é feita utilizando duas aproximações diferentes,

dependendo a opção por uma delas da proximidade ao valor final do tempo crítico que se

pretende determinar. Esta aproximação é verificada analisando os intervalos entre dois valores

consecutivos da margem de estabilidade transitória. Quanto mais próximo do valor final, menores

serão os intervalos. De seguida serão apresentadas as duas aproximações utilizadas e também

a razão porque se optou por utilizar duas aproximações.

A primeira aproximação utiliza uma função trigonométrica, ou seja, pretende-se

representar a curva de potência da máquina equivalente por uma função do tipo

������ �������������� = ������ ���������� sin���������� (4.21)

na qual ������ �������������� - potência eléctrica fornecida pela máquina equivalente ������ ���������� - potência eléctrica máxima fornecida pela máquina equivalente �������� - ângulo rotórico da máquina equivalente.

Utilizando um ponto conhecido da curva de potência (��������, ������ ����) calcula-se o valor de

������ ����������, podendo-se então determinar o valor da potência eléctrica fornecida pela máquina

equivalente para qualquer valor do ângulo rotórico da máquina equivalente, ��������.

A segunda aproximação é uma aproximação polinomial. Esta aproximação utiliza um

polinómio do 2º grau, sendo a curva de potência da máquina equivalente aproximada por uma

expressão do tipo

������ �������������� = ����1��������2 + ����2�������� + ����3 (4.22)

na qual ������ �������������� - potência eléctrica fornecida pela máquina equivalente ����1, ����2 e ����3 - constantes da aproximação polinomial �������� - ângulo rotórico da máquina equivalente.

As constantes da aproximação polinomial são calculadas através da função polyfit,

disponibilizada pelo matlab sendo depois utilizada a função polyval para determinar o valor do

polinómio, que corresponde à potência eléctrica fornecida, para os diferentes valores do ângulo

rotórico ��������.

A aproximação trigonométrica é utilizada, nas primeiras iterações, até que a variação

verificada nas sucessivas estimativas do valor do tempo crítico seja menor que uma tolerância

definida no início da simulação, a qual é um múltiplo ���� da tolerância ���� necessária para parar o

ciclo completo (Figura 4.6).

49

Início

Aproximação polinomial

Fim

Sim

Não

Aproximação trigonométrica

∆������������ < ���� .���� ∆������������ < ����

Sim

Não

Figura 4.6 - Escolha do método de aproximação da curva de potência a utilizar

A ideia de utilizar duas aproximações para a curva de potência, durante o ciclo iterativo,

nasceu durante o desenvolvimento do código. Mais concretamente, verificou-se que a

aproximação polinomial conduzia a resultados mais próximos dos reais (verificados através de

programas de integração numérica) mas que era pouco robusta quando a estimativa inicial do

tempo crítico ficava afastada do valor real. Ao invés, a aproximação por uma função

trigonométrica era mais robusta relativamente à estimativa inicial mas apresentava resultados

menos exactos. Optou-se então por iniciar o processo com a aproximação trigonométrica,

utilizando a aproximação polinomial após algumas iterações.

4.3.5. Estimativa dos valores do tempo crítico Como já foi referido, a estimativa dos valores do tempo crítico é efectuada com base nos

valores da margem de estabilidade transitória, considerando-se que existe uma relação linear

entre o tempo de actuação das protecções �������� e o valor da margem de estabilidade transitória ����,

como pode ser observado na Figura 4.7 (3).

������������ ������������ ����

����������������−1

����

��������

��������−1

Figura 4.7 - Relação linear entre �� e ��������

Utilizando os valores da margem de estabilidade transitória da iteração actual e da

iteração anterior (������ e ������−1), cujos tempos de actuação das protecções correspondentes (���������� e

����������−1) são conhecidos, utiliza-se um processo de regressão linear que permite obter a equação da

recta que descreve a relação entre o tempo de actuação e a margem de estabilidade transitória.

Esta equação é do tipo

50

����(��������) = �������������� + ���� (4.23)

sendo ������ o declive dado por

������ =

������ − ������−1

���������� − ����������−1 (4.24)

e ���� a ordenada na origem calculada através da equação (4.23) utilizando um dos pares (��������, ����)

disponíveis.

O ponto que se pretende determinar corresponde ao valor do tempo de actuação das

protecções para o qual a margem de estabilidade transitória é nula. Utilizando novamente a

equação (4.23), fazendo ����(��������) = 0, determina-se a nova estimativa de �������� que será utilizada na

iteração seguinte.

4.4. Resultados fornecidos

Como referido, o programa permite determinar os tempos críticos de actuação das

protecções para determinadas contingências, especificadas pelo utilizador no ficheiro de entrada.

Os resultados da simulação são guardados num ficheiro Excel que, para além dos já referidos

tempos críticos, inclui também a numeração das contingências e o número de iterações

realizadas pelo algoritmo responsável por determinar os tempos críticos. Este ficheiro é

denominado “resultados.xlxs” e é criado na mesma directoria dos outros ficheiros referentes à

rede em estudo. Este ficheiro tem a estrutura da Tabela 4.6.

Tabela 4.6 - Estrutura do ficheiro com os resultados da simulação

Nº da contingência Tempo crítico Número de iterações efectuadas

4.5. Ficheiros de código

Os algoritmos que constituem o método híbrido implementado estão distribuídos por

cinco ficheiros de código. Para correr o método é chamado um dos ficheiros que depois se

encarrega de chamar os outros ficheiros quando necessário.

O ficheiro a ser chamado é denominado “TC”. Neste ficheiro, para além de estarem

definidos pelo utilizador parâmetros como o passo de integração, tempo total de simulação,

tolerância, etc., são realizadas as acções preliminares e as finais. Nas acções preliminares,

inclui-se o cálculo de um trânsito de energia, cujo código está contido no ficheiro “TC_TE”.

A base do ciclo para determinar o tempo crítico está contida no ficheiro “TC”. Mais

concretamente, este ficheiro contém os algoritmos que estimam os novos valores do tempo

crítico baseados nos valores da margem de estabilidade e é o responsável por chamar os

restantes ficheiros que contêm as rotinas necessárias ao ciclo. Estes ficheiros incluem: o ficheiro

51

“TC_IN”, onde se processa a integração numérica das equações que descrevem o sistema; o

ficheiro “TC_MC” que contém o código para identificar o conjunto das máquinas críticas e

posterior redução a uma máquina equivalente; o ficheiro “TC_ME”, no qual é calculado o valor da

margem de estabilidade transitória.

A interacção que se procurou agora explicar pode ser observada graficamente na Figura

4.8, onde se pode observar o ficheiro principal TC, com as suas diferentes fases, nas quais são

chamados os programas secundários.

• Acções preliminares

• Ciclo para determinação do tempo crítico

• Acções finais

TC

TC_TE

TC_IN TC_MC TC_ME

Figura 4.8 - Interacção dos diferentes ficheiros de código no método híbrido implementado

4.6. Conclusões

Neste capítulo foi apresentado em detalhe o método híbrido implementado, mais

concretamente a sua estrutura geral e pontos fundamentais.

Relativamente à sua estrutura, referiu-se que o método pode ser dividido em três etapas

diferentes: procedimentos preliminares, ciclo para determinação do tempo crítico e

armazenamento dos resultados. Nos procedimentos preliminares são efectuadas a leitura dos

ficheiros de dados e o cálculo dos valores pré-defeito. O ciclo para determinação do tempo crítico

é a etapa mais complexa do método e é a responsável por obter os tempos críticos para as

diferentes contingências. Na última etapa apenas é efectuado armazenamento dos resultados

obtidos durante a etapa anterior.

De seguida foram descritos em detalhe os pontos fundamentais do método desenvolvido:

índices de estabilidade e instabilidade, identificação do conjunto das máquinas críticas, redução

do sistema a uma máquina equivalente, cálculo da margem de estabilidade transitória e

estimativa dos valores do tempo crítico. Quanto aos índices de estabilidade e instabilidade foram

apresentadas as expressões para o seu cálculo e qual a sua interacção com o programa. De

seguida, apresentaram-se os critérios utilizados na determinação do conjunto das máquinas

críticas tendo-se verificado que se usa um critério para situações estáveis e outro para situações

instáveis. A redução do sistema a uma máquina equivalente é efectuada com base num conjunto

de expressões matemáticas que foram apresentadas. Para o cálculo da margem de estabilidade

52

transitória é necessário efectuar uma aproximação para determinar os valores em falta da curva

de potência utilizando-se inicialmente uma aproximação trigonométrica e posteriormente uma

aproximação polinomial de grau 2. Os valores de tempo crítico são estimados considerando uma

relação linear entre o tempo de actuação das protecções e o valor da margem de estabilidade

transitória sendo esta relação descrita por uma recta cuja expressão é determinada por um

processo simples de regressão linear.

Por fim apresentaram-se os diferentes ficheiros pelos quais está distribuído o código

necessário para implementar o método híbrido descrito. Verificou-se que há um ficheiro principal

a partir do qual são chamadas as outras rotinas, contidas noutros ficheiros, necessárias para o

cálculo do valor do tempo crítico de actuação das protecções.

53

5. Resultados computacionais

Após implementado, o método híbrido foi testado para avaliar a validade dos resultados

fornecidos. Os testes efectuados consistiram na simulação de um variado conjunto de

perturbações, na rede de teste da CIGRE, com o objectivo de comparar os tempos críticos

obtidos através deste método com os fornecidos por programas que utilizam Métodos de

Integração Numérica (3).

Neste capítulo serão apresentados os resultados dos testes realizados, uma análise dos

erros e possíveis correcções, e ainda um exemplo de aplicação para uma perturbação específica

da rede.

5.1. Testes computacionais

Como já referido, foi utilizada a rede de teste da CIGRE, com 7 geradores e restantes

características disponíveis em anexo. As perturbações simuladas consistiram em curto-circuitos

trifásicos simétricos, junto aos barramentos, cuja eliminação acontece, após o período de defeito,

espontaneamente ou pela retirada de serviço de uma linha.

5.1.1. Resultados obtidos Para cada perturbação pretendeu-se determinar o tempo crítico de actuação das

protecções. Os resultados obtidos bem como os fornecidos por programas que utilizam Métodos

de Integração Numérica são apresentados na Tabela 5.1. Na primeira coluna encontra-se o

número da perturbação. A segunda coluna contém o barramento junto ao qual se dá o defeito

enquanto que na terceira está a linha retirada de serviço. O tipo de instabilidade, denominado em

(3) como primeira oscilação (PO) ou oscilação inversa (OI), é listado na quarta coluna. Na quinta

e sexta colunas encontram-se os tempos críticos fornecidos, respectivamente, pelo método

híbrido e por Métodos de Integração Numérica. Por fim, nas sétima e oitava colunas, é

apresentada respectivamente, em valor absoluto e percentagem, a diferença entre os valores

obtidos pelos dois métodos, correspondendo �������� ℎ���� ao método híbrido e �������� ���� aos métodos de

integração numérica.

A diferença em valor absoluto foi obtida por

∆�������������� = �������� ℎ���� − �������� ���� (5.1)

A diferença em percentagem foi calculada a partir da expressão

%∆�������������� =

∆��������������

�������� ���� (5.2)

54

Tabela 5.1 - Tempos críticos de actuação das protecções para a rede de teste da CIGRE

N.º contingência Barramento

Linha fora de serviço

Tipo de instabilidade

�������� método híbrido

[ms]

�������� integração numérica

[ms]

∆�������������� [ms] %∆��������

������

1 1 - PO 356 356 0 0 2 1 1 PO 345 345 0 0 3 1 2 PO 348 347 1 0,29 4 2 - PO 412 412 0 0 5 2 3 OI 401 369 32 8,67 6 2 4 OI 412 386 26 6,74 7 3 - PO 390 390 0 0 8 3 1 PO 379 379 0 0 9 3 3 PO 391 391 0 0 10 3 5 PO 387 387 0 0 11 3 6 PO 390 390 0 0 12 4 - PO 496 496 0 0 13 4 2 PO 482 482 0 0 14 4 5 PO 490 489 1 0,20 15 4 7 PO 0 0 0* 0* 16 4 8 OI 531 458 73 15,94 17 4 9 PO 494 497 -3 -0,60 18 4 10 PO 494 493 1 0,20 19 5 - PO 353 353 0 0 20 5 7 PO 0 0 0 0 21 6 - PO 486 487 -1 -0,21 22 6 8 PO ? 437 ? ? 23 6 11 PO 479 482 -3 -0,62 24 7 - PO 340 341 -1* -0,29* 25 7 12 PO 0 0 0 0 26 8 - PO 480 480 0 0 27 8 12 PO 0 0 0 0 28 8 11 PO 441 441 0 0 29 8 13 PO 478 478 0 0

Analisando os resultados conclui-se que, das 29 situações simuladas, 23 conduziram a

resultados concordantes com os obtidos por Métodos de Integração Numérica. Verifica-se que o

erro absoluto máximo observável é de 3 ms, o que corresponde a 0,62%. As restantes 6

situações, assinaladas a negrito na tabela, serão de seguida analisadas com mais pormenor.

5.1.2. Análise dos erros As 6 situações analisadas marcadas como erradas podem ser agrupadas e estudadas

em conjunto: as perturbações 5, 6 e 16 são do tipo oscilação inversa; a perturbação 22 não

conduziu a qualquer resultado; as situações 15 e 24 apresentam valores concordantes com os

reais mas estes não foram obtidos de forma autónoma.

Perturbações 5, 6 e 16

Como referido estas situações são do tipo oscilação inversa, ou seja, assiste-se a uma

desaceleração das máquinas pertencentes ao conjunto das máquinas criticas, o que corresponde

a uma diminuição do ângulo rotórico, ao invés de uma aceleração, correspondente a um

aumento do ângulo rotórico, como é habitual nos casos de estabilidade transitória analisados.

55

Uma das possíveis explicações para os resultados errados apresentados pelo método

implementado é a de que os critérios de identificação das máquinas críticas utilizados não têm

em conta a existência deste tipo de instabilidade, estando apenas preparados para os casos em

que se assiste a um aumento do ângulo rotórico da máquina.

Outro facto, muito relevante, verificado através dos resultados de simulação é que nas

perturbações 5 e 6, consoante o tempo de actuação das protecções definido, se assistem a

diferentes tipo de instabilidade, ou seja, tanto se observam situações em que o ângulo rotórico

aumenta, o que corresponde a uma situação de instabilidade da primeira oscilação, como

situações em que diminui, o que corresponde a uma situação de instabilidade de oscilação

inversa.

Perturbação 22

O método híbrido não consegue convergir quando analisa a perturbação 22, tendo-se

concluído que o problema reside no cálculo da margem de estabilidade transitória. Observando

os dados obtidos na simulação desta contingência constata-se que o problema reside no facto de

a aproximação polinomial não descrever de forma correcta a curva de potência da máquina

equivalente em virtude esta apresentar uma forma muito diferente da habitual semelhante a uma

sinusoidal, como se pode observar na Figura 5.1.

Figura 5.1 - Potência eléctrica gerada (-.), aproximação polinomial da potência eléctrica gerada (linha contínua) e

potência mecânica (--) da máquina equivalente para a perturbação 22

Como se observa a aproximação polinomial é monotonamente crescente, não

intersectando a curva da potência mecânica equivalente, ponto onde se terminava o cálculo da

área de desaceleração para posterior cálculo da margem de estabilidade transitória. Esta forma

pouco habitual tem origem no facto de a evolução no tempo do ângulo rotórico equivalente e da

potência eléctrica equivalente gerada não apresentarem o comportamento sinusoidal que seria

de esperar, como se pode observar na Figura 5.2.

56

Figura 5.2 - Ângulo rotórico e potência eléctrica gerada da máquina equivalente para a contingência 22

Conclui-se então que o programa não está habilitado para lidar com situações como a

que foi agora descrita.

Perturbações 15 e 24

Como já foi referido, o método implementado conseguiu obter valores correctos para as

contingências 15 e 24, mas estes não foram obtidos de forma autónoma. Quer isto dizer que foi

necessária uma acção externa para obter os resultados correctos, acção esta que se traduziu

pela especificação do conjunto das máquinas críticas ou por uma estimativa inicial mais próxima

do tempo crítico de actuação das protecções a determinar. Caso contrário, verificou-se que ou o

método não convergia ou convergia para valores errados.

5.1.3. Correcções a implementar As situações erradas analisadas permitem identificar onde residem os problemas do

método implementado: identificação do conjunto das máquinas críticas, aproximação da curva de

potência da máquina equivalente no período pós-defeito e estimativa inicial do tempo crítico de

actuação das protecções. Cada um destes factos será de seguida abordado individualmente.

Identificação do conjunto das máquinas críticas

Como verificado, os critérios utilizados para identificar o conjunto das máquinas críticas

não oferecem resultados inequívocos.

Esta limitação pode ser corrigida recorrendo a outros critérios de identificação das

máquinas críticas como o Critério das acelerações ou critérios baseados na Função de Energia

Transitória que, conjugados com os critérios já utilizados, vão permitir identificar o conjunto

pretendido.

No código desenvolvido estão já escritos os algoritmos para aplicar os Critérios das

acelerações e baseados na FET, estando em falta o necessário para a sua integração com os

critérios de momento utilizados.

57

Aproximação da curva de potência da máquina equivalente

O problema referente à aproximação da curva de potência da máquina equivalente

poderá ser contornando utilizando condições de despiste que impeçam o programa de entrar

num ciclo infinito. Estas condições poderão verificar tanto o comportamento da aproximação

obtida como o próprio comportamento da curva de potência da máquina equivalente que, como

foi apresentado, apresenta por vezes formas diferentes das habituais.

Estimativa inicial do tempo crítico de actuação das protecções

No método implementado, a estimativa inicial do tempo crítico de actuação das

protecções é definida pelo utilizador, cabendo depois ao programa convergir para o valor final.

Contudo, como se constatou, para algumas das situações analisadas uma estimativa inicial

afastada do valor final faz com que o método não convirja.

Para resolver este problema, pode ser determinada uma estimativa inicial do tempo

crítico, no início do programa, recorrendo ao critério das áreas iguais generalizado, apresentado

no Capítulo 3.

5.2. Exemplo de aplicação

Apresenta-se de seguida uma exemplo de aplicação do método híbrido implementado.

Como foi já explicado, o método efectua vários cálculos pré-defeito como, por exemplo, um

trânsito de energia (resultado no Anexo 1) e o cálculo dos valores iniciais das forças

electromotrizes e também algumas acções finais, como o armazenamento dos dados. No

entanto, este exemplo está centrado no ciclo responsável por determinar o tempo crítico, dado

que tanto as acções preliminares como as finais são já conhecidas, não contribuindo com

nenhum facto novo.

A situação analisada foi um curto circuito trifásico simétrico, na rede de teste da CIGRE,

junto ao barramento 1, que foi eliminado pela retirada de serviço da linha 1, o que corresponde à

perturbação 2 da Tabela 5.1. O ficheiro de entrada “contingencias.xlsx” tem o conteúdo da

Tabela 5.2.

Tabela 5.2 - Conteúdo do ficheiro de entrada utilizado no exemplo de aplicação

2 1 1

Após a leitura de todos os dados dos ficheiros de entrada e calculados todos os valores

pré-defeito o ciclo para determinar o tempo crítico é iniciado com uma estimativa inicial do tempo

crítico de ��������0 = 0,6 s. Para esta primeira iteração obtêm-se as evoluções temporais dos ângulos

rotóricos da Figura 5.3, onde se podem observar os ângulos rotóricos reais (em cima) e os

referidos ao centro de inércia do sistema (em baixo). Apesar de não ser visível na figura

considerou-se que o defeito acontece 0,1 s depois do início da simulação, ou seja, ���������� = 0,1 s.

Em qualquer dos casos é possível ver claramente que a máquina 1 (linha a tracejado) constitui o

58

conjunto das máquinas críticas, facto que é corroborado pelos algoritmos de determinação do

conjunto das máquinas críticas, como se verá posteriormente. O processo de integração

numérica é interrompido mais cedo devido à existência dos índices de estabilidade e

instabilidade mas, neste caso, optou-se por deixar correr a simulação durante o tempo total para

melhor se observarem as curvas.

Figura 5.3 - Ângulos rotóricos para a perturbação 2, com �������� = ��,�� s

Para além disso, observa-se que o tempo de actuação das protecções especificado

conduz a uma situação instável, o que está de acordo com os dados obtidos através dos índices

de estabilidade e instabilidade. Como se observa na Figura 5.4, o índice IDCS atinge primeiro um

mínimo, o que corresponde a uma situação instável e permite parar o processo de integração

numérica, sendo apenas necessário efectuar a integração numérica das equações que

descrevem o sistema num período de aproximadamente 0,7 s.

Figura 5.4 - Índices IDCS e IDE para a perturbação 2, com �������� = ��,�� s

Como a situação é considerada instável, o critério utilizado para determinar o conjunto

das máquinas críticas é o CMR. Da aplicação deste critério obtêm-se os resultados da Tabela

5.3, de onde se constata que apenas a máquina 1 pertence ao conjunto das máquinas críticas.

restantes máquinas

restantes máquinas

máquina 1

máquina 1

59

Tabela 5.3 - Identificação do conjunto das máquinas críticas para a perturbação 2, com �������� = ��,�� s

Máquina Ângulos rotóricos ������ [rad] Intervalo [rad] 1 7,012 6,362 3 0,700 2,855 7 0,699 2,046 5 0,666 1,581 2 0,628 1,367 6 0,618 1,121 4 0,600 0,000

Após a identificação do conjunto das máquinas críticas, o sistema é reduzido a uma

máquina equivalente, cujas curvas temporais do ângulo rotórico e potência eléctrica gerada se

encontram na Figura 5.5.

Figura 5.5 - Curvas temporais do ângulo rotórico e potência eléctrica gerada da máquina equivalente, para a

perturbação 2, com �������� = ��,�� s

O cálculo da margem de estabilidade transitória, é efectuado utilizando a aproximação

sinusoidal, como se observa na Figura 5.6. Repare-se que devido às expressões utilizadas a

máquina equivalente apresenta, no período pós-defeito, valores de potência eléctrica gerada

negativos.

Figura 5.6 - Curva de potência da maquina equivalente (a tracejado) e aproximação sinusoidal (a cheio), para a

perturbação 2, com �������� = ��,�� s

60

Obtém-se o valor de ����0 = −6,7809, cuja polaridade está de acordo com o facto de a

situação analisada ser instável.

Dado que só se dispõe de um valor da margem de estabilidade transitória, não é possível

fazer uma nova estimativa do tempo crítico por um processo de regressão linear. O valor

necessário para a próxima iteração é calculado por ��������1 = 0,9 × ��������0 = 0,54 s, sendo a constante

0,9 definida por via experimental.

A segunda iteração é então iniciada com uma estimativa para o valor do tempo crítico de

��������1 = 0,54 s. Como os passos até à obtenção do valor da margem de estabilidade em cada

iteração são semelhantes, a sua repetição é desnecessária, apresentando-se já o valor da

margem de estabilidade transitória. Na segunda iteração obtém o valor de ����1 = −5.2493. Usando

os valores já disponíveis da margem de estabilidade transitória e tempos de actuação das

protecções, faz-se então uma nova estimativa do tempo crítico, obtendo-se ��������2 = 0.334 s, o que

corresponde a uma variação em relação ao valor anterior de ∆�������� = 0,206 s. Este processo

repete-se até que a variação entre duas estimativas consecutivas seja menor que uma tolerância

����. ���� = 10 × 0,001 s = 0,01 s. Os dados relativos a estas iterações estão na Tabela 5.4.

Tabela 5.4 - Dados relativos às iterações realizadas com a aproximação sidusoidal

Iteração Tempo crítico

estimado ����������

Margem de estabilidade

transitória ������ Variação ∆��������

- 0,600 -6,781 - 1 0,540 -5,249 0,060 2 0,334 9,293 0,206 3 0,466 -1,252 0,131 4 0,450 0,160 0,016 5 0,452 - 0,002

Como se observa, na 5ª iteração a variação entre dois valores consecutivos das

estimativas do tempo crítico é menor que a tolerância ����. ���� definida anteriormente o que significa

que, daqui em diante, no cálculo da margem de estabilidade transitória é utilizada a aproximação

polinomial de segundo grau. Para a primeira iteração com a aproximação polinomial, apenas se

dispõe de um valor calculado da margem de estabilidade transitória, não sendo por isso possível

estimar um novo valor de tempo crítico usando uma regressão linear. Devido a este facto, o

próximo valor é calculado por ��������6 = 0,98 × ��������5 = 0,443 s, sendo a constante 0,98 também definida

por via experimental. Os valores relativos a estas iterações estão disponíveis na Tabela 5.5.

Tabela 5.5 - Dados relativos às iterações realizadas com a aproximação polinomial

Iteração Tempo crítico

estimado ����������

Margem de estabilidade

transitória ������ Variação ∆��������

5 0,452 -0,606 - 6 0,443 0,149 0,009 7 0,445 0,010 0,002 8 0,445 - 0,000

61

Observa-se que o valor que seria utilizado para a oitava iteração já apresenta uma

variação menor que a tolerância ����, definida como ���� = 0,001 s, em relação ao valor de tempo

crítico anterior. Por esse facto não é necessário realizar a 8ª iteração e o valor de tempo crítico

estimado, em 7 iterações, para a perturbação 2 é, descontando o tempo de defeito ���������� referido

anteriormente, igual a �������� = 0,445− ���������� = 0,345 s.

5.3. Conclusões

Neste capítulo apresentaram-se os resultados dos testes computacionais do método

implementado, a partir dos quais se retiraram conclusões acerca das limitações do método.

Apresentou-se também um exemplo detalhado de aplicação do método híbrido implementado.

Relativamente aos resultados dos testes computacionais observou-se que para 6 das 29

situações testadas, não se obtiveram resultados correctos. Verificou-se que estas falhas se ficam

a dever a três secções do método: identificação do conjunto das máquinas críticas, cálculo da

margem de estabilidade transitória e estimativa inicial do valor do tempo crítico. Para cada uma

delas foram sugeridas medidas que podem ajudar a resolver os problemas detectados.

Quanto ao exemplo detalhado, foi dado especial destaque ao ciclo para determinar o

tempo crítico de actuação das protecções. Foi possível observar, para uma determinada

perturbação, a evolução quer das estimativas do tempo crítico, quer dos valores calculados da

margem de estabilidade transitória. Observou-se também o instante para o qual se altera o

método utilizado para aproximar a curva de potência da máquina equivalente.

63

6. Conclusões e Propostas para trabalhos futuros

Neste capítulo é apresentada uma síntese do trabalho realizado, percorrendo todos os

capítulos até agora apresentados. Inclui-se também uma perspectiva sobre trabalhos futuros que

tenham como ponto de partida o trabalho aqui apresentado.

6.1. Conclusões

Nesta dissertação desenvolveu-se um método híbrido para o estudo da estabilidade

transitória do SEE, em linguagem matlab. Este método, que junta as vantagens dos Métodos

Directos, os quais permitem uma análise rápida, com as vantagens dos Métodos de Integração

Numérica, os quais permitem uma grande capacidade de modelização do sistema, é capaz de,

para uma determinada rede, calcular o tempo crítico de actuação das protecções para diferentes

perturbações especificadas pelo utilizador.

O método caracteriza-se por utilizar um modelo equivalente do sistema, constituído por

uma máquina ligada a um barramento de potência de curto-circuito infinita. Este modelo

equivalente é calculado após a determinação do conjunto de máquinas críticas, o qual é obtido

usando índices que, com base nos valores obtidos por integração numérica que descrevem o

funcionamento temporal das máquinas síncronas, identificam as máquinas responsáveis pela

perda de sincronismo do sistema. O sistema equivalente obtido é depois estudado utilizando o

Método das Áreas Iguais, o qual permite obter a margem de estabilidade transitória para a

perturbação em estudo, a partir da qual se vai determinar o tempo crítico de actuação das

protecções para esta perturbação.

Como se verificou este objectivo foi parcialmente atingido pois o método desenvolvido

mostrou oferecer resultados para a maior parte dos casos testados, revelando no entanto

problemas na análise de certas situações.

Faz-se agora uma breve passagem sobre os diferentes capítulos apresentados.

No Capítulo 1, a Introdução, fez-se uma contextualização sobre o tema desta tese, onde

se caracterizou o SEE actual, se apresentaram conceitos relativos ao tema e se mostrou a

necessidade de existirem métodos que permitam uma rápida análise da estabilidade transitória

dos diferentes pontos de funcionamento do sistema.

No Capítulo 2, designado Modelização do Sistema de Energia Eléctrica, foram

apresentados os modelos utilizados, nos métodos dedicados ao estudo da estabilidade

transitória, para descrever os diferentes componentes da rede e ainda as contingências

simuladas. Foi utilizado o modelo clássico para descrever os diferentes componentes do SEE e

as contingências simuladas são apenas curto-circuitos trifásicos simétricos junto aos

barramentos.

64

No Capítulo 3 apresentaram-se os diferentes métodos utilizados no estudo da

estabilidade transitória do SEE. Como se verificou, estes podem dividir-se em quatros grupos:

Métodos de Integração Numérica, Métodos Directos, Métodos Híbridos e Técnicas de

Inteligência Artificial. Este capítulo foi designado Métodos de análise da estabilidade transitória

do SEE. Os Métodos de Integração Numérica caracterizam-se por oferecer uma modelização

detalhada mas elevado esforço computacional enquanto que os Métodos Directos, por outro

lado, oferecem uma modelização pouco detalhada mas são muito eficientes do ponto de vista

computacional. Os Métodos Híbridos conjugam as capacidades de modelização oferecidas pelos

Métodos de Integração Numérica com a eficiência computacional oferecida pelos Métodos

Directos. As Técnicas de Inteligência Artificial são uma abordagem mais recente ao estudo da

estabilidade transitória do SEE e caracterizam-se por exigirem um esforço computacional muito

elevado na fase de implementação mas posteriormente possibilitarem uma análise rápida em

tempo real.

O Capítulo 4, designado Método híbrido implementado, foi dedicado à apresentação do

método desenvolvido. Procurou-se explicar a estrutura geral do método, bem como as suas

particularidades consideradas mais importantes. Mostrou-se que o método está divido em três

etapas: acções preliminares, ciclo para determinação do tempo crítico, acções finais. Como foi

apresentado, o método caracteriza-se por interromper o processo de integração numérica antes

do tempo total de simulação e por utilizar um modelo equivalente do sistema, constituído por uma

máquina equivalente ligada a um barramento de potência de curto-circuito infinita, o qual é

estudado recorrendo ao Método das Áreas Iguais. Este fornece o valor da margem de

estabilidade transitória e, com base em regressões lineares que utilizam os tempos de actuação

das protecções e respectivos valores da margem de estabilidade transitória, são estimados os

valores de tempo crítico para as perturbações definidas pelo utilizador. Terminou-se fazendo a

correspondência entre as diferentes etapas do método e os ficheiros de código.

O Capítulo 5, denominado Resultados computacionais, dividiu-se em duas partes

distintas. A primeira, os Testes computacionais, na qual se pôs à prova o método desenvolvido,

procurando identificar os erros obtidos nos resultados e quais as suas causas e possíveis

resoluções. Como se verificou, o método apresenta ainda, em situações pontuais, resultados

menos correctos, sendo as principais causas detectadas o facto de o tipo de instabilidade ser de

oscilação inversa, a identificação do conjunto das máquinas críticas não ser inequívoca e a

aproximação à curva de potência da máquina equivalente não se revelar adequada. Uma

segunda parte, Exemplo de aplicação, na qual se mostrou detalhadamente o funcionamento do

método na análise de uma determinada perturbação, dando especial ênfase ao ciclo para

determinação do tempo crítico de actuação das protecções.

Por fim, pode-se afirmar que, apesar de o método desenvolvido não se ter mostrado apto

para analisar todo o tipo de perturbações para as quais foi testado, o trabalho desenvolvido pode

ser um ponto de partida para futuros trabalhos. Esta afirmação baseia-se no facto de, apesar de

o método desenvolvido não estar completamente funcional, terem sido apresentados conceitos

65

fundamentais para o desenvolvimento de métodos deste tipo. Entre estes conceitos podem-se

referir por exemplo os índices usados para identificar o conjunto de máquinas críticas ou o tempo

de paragem da simulação.

6.2. Propostas para trabalhos futuros

Como já foi referido, o trabalho desenvolvido pode ser um bom ponto de partida para

outros trabalhos, essencialmente pelos conceitos aqui apresentados. Devido ao facto de o

método não ser completamente fiável, uma linha de desenvolvimento a seguir pode ser essa.

Numa fase posterior poderão ser incorporadas novas funcionalidades.

Relativamente ao facto de o método não ser completamente fiável, foi mostrado no

Capítulo 5 quais os erros que o método apresentava. Procurou-se também identificar quais as

suas causas sendo de seguida apresentadas várias hipóteses que poderiam solucionar os erros

detectados. Trabalhar sobre essas hipóteses é portanto uma linha a seguir por possíveis

trabalhos que tenham este como ponto de partida.

Quanto à incorporação de novas funcionalidades, pode-se considerar que esta linha de

desenvolvimento apresenta um grande conjunto de hipóteses. Primeiro, porque o programa

apenas apresenta um tempo crítico de actuação das protecções. Em trabalhos futuros o

programa pode também servir para calcular limites de potência ou para classificar e ordenar

contingências. Segundo, porque as perturbações consideradas foram curto-circuitos trifásicos

simétricos que ocorrem junto ao barramento. Trabalhos futuros podem dar a possibilidade de

simular defeitos não simétricos ou que não ocorram na extremidade das linhas. Terceiro porque

foi utilizado o modelo clássico para caracterizar os componentes do sistema. Trabalhos futuros

podem oferecer uma modelização mais detalhada dos componentes do SEE.

67

Bibliografia

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2. Sucena Paiva, J. P.Redes de Energia Eléctrica: uma análise sistémica. 2ª edição. Lisboa : IST Press, 2007.

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e de Computadores, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Dissertação de

Doutoramento, 2005.

4. Holmes, M. H.Introduction to Numerical Methods in Differential Equations. New York : Springer Science+Business Media, LLC, 2007.

5. Vittal, Vijay. Direct Stability Methods. [autor do livro] Leonard L. Grigsby. Electric Power Engineering Handbook. Second Edition. Power System Stability and Control. Boca Raton,

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6. Machowski, Jan, Bialek, Janusz W. e Bumby, James R.Power System Dynamics: Stability and Control. Second Edition. Chichester, UK : John Wiley & Sons, Ltd., 2008.

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9. Machado Ferreira, C. M., Dias Pinto, J. A. e Maciel Barbosa, F. P. Transient Stability Assessment on an Electric Power System using Trajectory Sensitivity Analysis. 39th

International Universities Power Engineering Conference. September 2004.

10. Chan, K. W., Zhou, Q. e Chung, T. S. Transient Stability Margin Assessment for Large Power System using Time Domain Simulation Based Hybrid Equal Area Criterion Method.

Proceedings of the 5th International Conference on Advances in Power System Control,

Operation and Management. October 2000.

11. MATLAB Documentation. [Online] http://www.mathworks.com/help/techdoc/.

69

Anexo 1

Neste anexo é apresentada a rede utilizada para avaliar o desempenho do método

desenvolvido. A rede é a rede de teste da CIGRE, constituída por 7 geradores, 10 barramentos e

13 linhas, como se observa na Figura A1.1. A potência base são 100 MVA e a frequência

nominal 60 Hz.

Figura A1.1 - Rede de teste da CIGRE

De seguida serão apresentadas as características dos diferentes componentes da rede

(geradores e linhas), seguidos das características dos barramentos e o resultado do trânsito de

potências.

Na Tabela A1.1 estão disponíveis as características das linhas que constituem a rede.

Tabela A1.1 - Características das linhas da rede de teste da CIGRE

Nº da linha

Barramento 1

Barramento 2

Resistência longitudinal [p.u.]

Reactância longitudinal [p.u.]

Susceptância transversal [p.u.]

1 1 3 0,00988 0,0484 0,2025 2 1 4 0,00988 0,0484 0,10126 3 2 3 0,04504 0,12365 0,2025 4 2 10 0,0164 0,0638 0,30376 5 3 4 0,01185 0,07803 0,30376 6 3 9 0,01146 0,05531 0,30376 7 4 5 0,00395 0,01975 0,10126 8 4 6 0,00751 0,01975 0,6075 9 4 9 0,0488 0,19161 0,30376 10 4 10 0,0164 0,06519 0,405 11 6 8 0,01877 0,06282 0,2025 12 7 8 0,01185 0,07803 0,30376 13 8 9 0,0488 0,19161 0,2025

70

Na Tabela A1.2 podem observar-se as características referentes aos 7 geradores.

Tabela A1.2 - Características dos geradores da rede de teste da CIGRE

Nº do gerador

Barramento de ligação

Constante de inércia �� [s]

Reactância transitória ������′ [p.u.]

1 1 11,35 0,074 2 2 7,75 0,118 3 3 14,31 0,062 4 4 17,98 0,049 5 5 11,35 0,074 6 6 12,76 0,071 7 7 10,71 0,087

Na Tabela A1.3 mostram-se os dados referentes aos barramentos e os resultados da

resolução do trânsito de energia.

Tabela A1.3 - Resultados do trânsito de energia da rede de teste da CIGRE

Nº do barramento

Tipo do barramento

Módulo da

tensão [p.u.]

Argumento da tensão

[graus]

Potência activa gerada [MVA]

Potência reactiva gerada [MVA]

Potência activa de

carga [MVA]

Potência reactiva de carga

[MVA] 1 Ref. 1,052 0,000 0,00 68,08 0,00 0,00 2 PV 1,006 -7,166 120,00 117,21 200,00 120,00 3 PV 1,037 -1,523 256,00 58,01 0,00 0,00 4 PV 1,01 -3,642 300,00 151,72 650,00 405,00 5 PV 1,037 -1,372 230,00 94,48 0,00 0,00 6 PV 1,015 -3,235 160,00 19,45 80,00 30,00 7 PV 1,011 -0,746 174,00 35,02 90,00 40,00 8 PQ 1 -4,411 0,00 0,00 100,00 50,00 9 PQ 1 -6,641 0,00 0,00 230,00 140,00 10 PQ 1 -7,029 0,00 0,00 90,00 45,00

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