MODELOS MATEMÁTICOS E MODELOS MENTAIS: inferindo possíveis relações durante a modelagem matemática de fenômenos físicos, Notas de estudo de Física
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MODELOS MATEMÁTICOS E MODELOS MENTAIS: inferindo possíveis relações durante a modelagem matemática de fenômenos físicos, Notas de estudo de Física

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Estuda-se possíveis relações epistemológicas entre o desenvolvimento de modelos matemáticos e os prováveis modelos mentais formados durante o raciocínio para construir os primeiros.
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SAPPECIM

II SEMINÁRIO DE AVALIAÇÃO DE PESQUISA DA PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS – II SAPPECIM/NPADC/UFPA – DEZ. 2008

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Modelos Matemáticos e Modelos Mentais: inferindo Possíveis

Relações Durante a Modelagem Matemática de Fenômenos

Físicos

Autor: Ednilson Sergio Ramalho de Souza

Orientador: Adilson Oliveira do Espírito Santo

Resumo

O objetivo dessa pesquisa é detectar, à luz da teoria dos Modelos Mentais de Johnson-Laird, possíveis representações mentais (representações proposicionais, modelos mentais e imagens mentais) formadas durante o processo de modelagem matemática de fenômenos físicos, assim como inferir de que modo essas representações relacionam-se aos modelos matemáticos produzidos. Com base nos protocolos verbais obtidos em situação de interlocução entre o primeiro autor deste trabalho e uma estudante egressa do ensino médio de uma escola pública de Belém/Pa, durante o processo de modelagem matemática do tema Energia Mecânica; tentou-se inferir qual a relação entre os prováveis modelos mentais formados pela estudante e os modelos matemáticos produzidos pela mesma. Em primeira análise, pôde-se observar que os modelos matemáticos produzidos pela discente estavam fortemente ligados aos modelos mentais formados durante a modelagem matemática. Desta maneira, a análise dos modelos matemáticos produzidos deu “pistas” sobre a qualidade dos modelos mentais formados e sobre compreensão dos conceitos envolvidos na modelagem matemática. Os modelos matemáticos mantêm, portanto, uma relação dialética com os modelos mentais.

Palavras-chave: Modelos Matemáticos. Modelos Mentais. Modelagem Matemática. Fenômenos Físicos.

Introdução

Quando observamos algum aspecto da realidade1, psicologicamente, estamos

reproduzindo mentalmente essa realidade, ou seja, construindo uma representação

interna dela “As pessoas não captam o mundo exterior diretamente, elas constroem

representações mentais (quer dizer, internas) dele” (MOREIRA, 1996, p. 193). Johnson-

1 Entendemos por realidade qualquer tipo de percepção consciente ou inconsciente pelo sujeito.

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Laird (1983) propõe, no geral, três tipos de representações mentais: representações

proposicionais, modelos mentais e imagens mentais.

As representações proposicionais são representações mentais criadas segundo

regras rígidas de formação, segundo a sintaxe da sentença (proposição), são totalmente

abstraídas do que está explícito no texto da situação, são verbalmente expressáveis

“para ele [Johnson-Laird], proposições são representações de significados, totalmente

abstraídas, que são verbalmente expressáveis (MOREIRA op. cit., p.194)

Os modelos mentais são representações mentais que se parecem (são análogos,

semelhantes) aos fenômenos2 do mundo. Ou seja, são análogos estruturais do mundo,

“Modelo mental é uma representação interna de informações que corresponde, analogamente, ao estado de coisas que estiver sendo representado, seja qual for ele. Modelos mentais são análogos estruturais do mundo” (ibid., 1996, p. 197).

Borges (1996) diz que os modelos mentais são formados no ato da compreensão

de uma situação ou de um problema. Esses modelos mentais são criados com base no

nosso conhecimento prévio, nossa experiência, nossas habilidades e nossas capacidades.

Para Johnson-Laird, imagens mentais são representações mentais particulares

(vistas de um certo ângulo) de modelos mentais (ibid.),

“Portanto, na perspectiva de Johnson-Laird, representações proposicionais são cadeias de símbolos que correspondem à linguagem natural, modelos mentais são análogos estruturais do mundo e imagens são modelos vistos de um determinado ponto de vista” (p. 195).

A modelagem matemática no ensino pode ser entendida como um conjunto de

atitudes que visam à obtenção de um modelo matemático, o qual servirá para resolver

uma determinada classe de problemas. Um modelo matemático pode ser expresso sob a

forma de uma equação (algébrica, diferencial, integral, etc), de um gráfico, de uma

tabela, de uma função, de um programa computacional, entre outros (BIEMBENGUT E

HEIN 2003, p. 12).

Relacionar os modelos matemáticos aos modelos mentais formados durante o

processo de modelagem matemática torna-se pertinente para avaliar o grau de

compreensão do aluno quando em atividade de modelagem. Os autores acima citados

propõem, basicamente, três etapas para a efetivação da modelagem matemática no

processo de ensino-aprendizagem: Interação (reconhecimento da situação-problema e

familiarização com o assunto a ser modelado, ou seja, com o referencial teórico);

2 Entendemos por fenômeno tudo que é percebido pelos sentidos ou pela consciência.

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Matematização (formulação de problemas que gerarão hipóteses e resolução do

problema em termos de modelo); Modelo matemático (interpretação da solução e

validação do modelo que será feita mediante uma avaliação). (ibid., p. 13-14).

O objetivo da pesquisa ora apresentada é tentar inferir qual a relação entre os

modelos mentais formados por uma estudante egressa do ensino médio durante a

modelagem matemática de situações físicas e os modelos matemáticos produzidos pela

mesma, em situação de interlocução com o primeiro pesquisador.

Justificativa

Durante um processo de modelagem matemática é preciso estar atento para os

conceitos que o aluno trás para a sala de aula em sua bagagem cognitiva prévia. Esses

conceitos vão interferir diretamente na compreensão sobre um determinado problema.

Saber como o aluno está compreendendo um problema é muito importante, pois o

professor poderá tomar decisões e atitudes no sentido de fornecer ao aluno condições de

adquirir conceitos cientificamente aceitos. O estudo dos modelos mentais formados

pelos alunos durante a modelagem matemática poderia ajudar o professor a conduzir

melhor as atividades de modelagem. Esse estudo poderia ser feito através da análise dos

modelos matemáticos produzidos pelos discentes durante o processo de modelagem

matemática. Deste modo, faremos nossa pesquisa baseando-nos na seguinte

problemática: qual a relação entre os modelos mentais formados e os modelos

matemáticos produzidos pelos estudantes durante um processo de modelagem

matemática de uma situação física?

Objetivos

Geral

• Detectar possíveis representações mentais de Johnson-Laird (representações

proposicionais, modelos mentais e imagens mentais) formadas durante o

processo de modelagem matemática de fenômenos físicos, relacionando-as aos

modelos matemáticos produzidos.

Específicos

• Propor atividades de modelagem matemática, em situação de interlocução, para

fenômenos físicos da mesma classe;

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• Obter protocolos (verbais, escritos e pictóricos) das manifestações dos alunos

durante o processo de modelagem matemática de situações físicas;

• Analisar esses protocolos à luz da teoria dos modelos mentais de Johnson-Laird;

• Detectar possíveis representações proposicionais, imagens mentais e modelos

mentais;

• Verificar de que maneira os modelos matemáticos produzidos durante o

processo de modelagem matemática do fenômeno físico relacionam-se às

representações mentais detectadas;

• Propor considerações visando à melhoria da aquisição de conceitos científicos

pelos estudantes durante a dinâmica da modelagem matemática;

• Alencar atitudes docentes e discentes que visem à qualidade do ensino-

aprendizagem através da modelagem matemática, em especial no ensino de

Física.

Metodologia

A pesquisa foi realizada em três momentos interlocutivos com duração de 50

minutos em média cada um, em que se procurou analisar possíveis representações

mentais formadas por uma estudante egressa do nível médio. Essas interlocuções

geraram protocolos verbais que foram transcritos e analisados. No primeiro momento

fez-se a interação com o tema Energia Mecânica juntamente com a apresentação das

situações que posteriormente foram matematizadas. Essa familiarização com o assunto

constou de pesquisas, explicações e diálogos entre o pesquisador e a estudante a respeito

dos conceitos de energia cinética e energia potencial gravitacional, sempre privilegiando

a troca de significados destes conceitos. No segundo momento foram matematizadas as

situações apresentadas no primeiro momento (da interação com o tema) visando à

produção de um modelo matemático. No terceiro momento foram propostos três

problemas3 (P1, P2 e P3) correspondendo, respectivamente, às situações (S1, S2 e S3) para

a estudante validar ou não os modelos matemáticos encontrados. Finalmente, procurou-

se estabelecer relações entre os modelos matemáticos encontrados e as possíveis

representações mentais detectadas.

3 Ver anexo.

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Análise de resultados

Nesta seção vamos analisar trechos de interlocuções feitas durante a modelagem

matemática do tema energia mecânica. O objetivo foi detectar possíveis representações

mentais (representações proposicionais, imagens mentais e modelos mentais) e inferir a

relação entre essas representações e os modelos matemáticos produzidos.

Situação 1. Esta situação se refere a uma bola de massa m que, primeiramente encontra-

se no chão em repouso (t1, ponto A) e, posteriormente encontra-se em repouso em cima

de uma mesa de altura H (ponto B, t2).

chão, nível zero

Ec=0, Epg=0, v=0

Ec=0, Epg#0, v=0

H

A, t1

B, t2

bola

bola

mesa

Fig. 1- Situação 1.

Pesquisador: Essa energia dela ((da bola)) aqui em cima...((ponto B)) ela tem energia cinética?

Rosa: Não...

Pesquisador: Por quê?

Rosa: Porque pra ter energia cinética...o objeto tem que está se movendo...

Pesquisador: Certo...então não tem energia cinética...então nós vamos colocar bem aqui

assim...((o pesquisador escreve no papel)) a energia cinética é zero...ela tem energia potencial

gravitacional ((no ponto B da situação 1))?

Rosa: Tem...

Pesquisador: Por quê?

Rosa: Porque ela está numa certa altura...

Pesquisador: Certo...então energia potencial aqui ((o pesquisador escreve no papel)) nós vamos

falar assim...é diferente de zero...tá? Então qual é a energia total dela aqui em cima ((no ponto

B))?

Rosa: Há...é...eu acho que é...energia...cinética menos a energia potencial...

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Percebe-se neste trecho que a estudante já possui um modelo mental funcional

para representar a situação 1, pois a mesma consegue relacionar as duas formas de

energia (cinética e potencial). O fato de a mesma ter deduzido o modelo matemático

     pode estar significando que o modelo mental construído por ela não

está adequado: é preciso diferenciar ainda mais os conceitos envolvidos. Apesar de estar

sendo funcional (eficiente), uma vez que a estudante pôde “rodar” o modelo mental em

sua mente e inferir a relação apresentada entre as energias, ele não está sendo eficaz:

esse modelo precisa evoluir para um modelo mental adequado.

A matematização de outras situações da mesma classe poderá favorecer a

diferenciação dos conceitos (AUSUBEL et. al., 1980) e, por conseguinte, a formação de

campos conceituais (VERGNAUD, 1990). Deste modo, a estudante poderá “melhorar”

o modelo mental formado em busca de um modelo mental adequado. A representação

semiótica expressa pelo modelo matemático      poderia dar “pistas” que a

estudante estaria formando um modelo mental adequado.

Situação 2. Esta situação é referente a uma bola de massa m que está em movimento em

cima de uma mesa de altura H.

H

Ec#0, Epg#0, v#0

chão, nível zero

bola

Fig. 2- Situação 2.

Pesquisador: Vamos aqui nessa situação 2...aqui ela tá se movendo? Aqui a ve...a bola...ela já

tá em cima da mesa...ela tá se movendo...

Rosa: Tá...

Pesquisador: Ela tem energia cinética?

Rosa: Tem...

Pesquisador: Por quê?

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Rosa: Porque ela tá se movendo...tá adquirindo uma fo...uma...uma força...uma velocidade...

Pesquisador: Tá...e ela tem energia...energia potencial gravitacional?

Rosa: Tem...

Pesquisador: Por quê?

Rosa: Porque...ela foi colocada em cima de um objeto...

Pesquisador: Tá...ela tem uma certa altura né?

Rosa: É...

Pesquisador: Tá...então aqui...a energia cinética...

Rosa: Mais...

Pesquisador: A energia cinética aqui...ela é diferente de zero...por quê?

Rosa: Porque as duas...estão numa certa velocidade...

Pesquisador: Certo...então ela é diferente de zero...a energia potencial...ou seja...diferente de

zero...quer dizer que ela tem energia cinética...tá...e a energia potencial também é diferente de

zero...ou seja...então ela tem energia potencial...

Pesquisador: então qual seria essa energia total aqui na situação 2?

Rosa: Seria energia cinética mais energia potencial...

Esta passagem mostra que, conforme ocorre a matematização das situações, a

aprendiz começa a formar um campo conceitual mais abrangente para a energia

mecânica. A formação desse campo conceitual acontece à medida que os conceitos vão

se diferenciando na estrutura cognitiva do aluno.

A dedução do modelo matemático      indica que o modelo mental

usado, em relação ao modelo mental da situação1, está evoluindo para um modelo mais

adequado para descrever as situações.

Situação 3. A situação abaixo diz respeito a um menino de massa m ocupando as

posições A, B e C de um brinquedo do tipo “escorregador”.

Ec=0, Epg#0, v=0

Ec#0, Epg#0, v#0 Ec#0, Epg=0, v#0

H

h

chão, nível zero

A

B

C

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Fig. 3- Situação 3.

Pesquisador: Aqui no meio do caminho... ((ponto B)) ela ainda continua com uma certa altura

do chão...não continua?

Rosa: Continua...

Pesquisador: Então...agente vai chamar de h... ((o pesquisador escreve no papel)) e ela tá se

movimentando...e ela tem o quê? Se ela tá se movimentando...

Rosa: Energia cinética...

Pesquisador: Então aqui...((ponto B))nessa situação...ela tem energia potencial gravitacional?

Rosa: Não...

Pesquisador: Por quê que ela não tem?

Rosa: Bom...eu acho que ela tem as duas...

Pesquisador: Certo...por quê?

Rosa: Porque uma se movimenta...e a outra tá numa certa altura...

Pesquisador: Certo...

Rosa: Então...quando um objeto tá numa certa altura...ele tá adquirindo uma certa energia...e

uma certa velocidade...no caso aqui...((a estudante pensa))

Pesquisador: Nesse caso aqui...tem as duas...

Rosa: Tem as duas...

Pesquisador: Então tem a energia potencial...

Rosa: E a cinética...

Pesquisador: E tem a energia cinética...então qual seria a energia total aqui nesse caso?

Rosa: Seria energia cinética mais energia potencial...

Novamente a aluna demonstra ter conceitos em grau de diferenciação cada vez

maior, ou seja, conforme a aluna analisa situações da mesma classe, parece que os

conceitos de energia cinética e potencial vão ficando cada vez mais elaborados, “mais

sólidos” e organizados em seu repertório cognitivo.

Situação 4. Nesta situação será analisado um carrinho de massa m em uma montanha-

russa em três momentos distintos: nos pontos A, B e C.

Ec=0, Epg#0, v=0 A

H

h

Ec#0, Epg=0, v#0

Ec#0, Epg#0, v#0

B

C

chão, nível zero

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Fig. 4- Situação 4.

Pesquisador: E nessa situação aqui...((ponto B)) ele tem energia cinética?

Rosa: Tem...

Pesquisador: Por quê?

Rosa: Porque quando ele passou o chão...ele passou com uma certa velocidade...

Pesquisador: E ele tem aqui energia potencial gravitacional?

Rosa: Não...

Pesquisador: Por quê?

Rosa: Porque ele pa...apesar dele passar pelo chão com certa velocidade...ele não tá mais numa

certa altura...

Pesquisador: Então ele tem energia cinética...

Rosa: E energia potencial...

Pesquisador: E NÃO TEM ENERGIA...

Rosa: É...NÃO TEM energia potencial...porque ele...quando ele passou por...pelo chão ele só

estava com a energia cinética...

Pesquisador: Aqui nesse nosso primeiro ponto aqui...((ponto A)) qual seria a energia total

aqui?

Rosa: Energia cinética menos a potencial...

Pesquisador: Energia cinética menos a potencial...e aqui qual seria...((ponto B)) aqui?

Rosa: É...energia cinética mais a potencial...

Apesar do grau de diferenciação dos conceitos ser bem maior do que dos

momentos anteriores, observa-se que a estudante deduz dois modelos matemáticos para

a situação 4 ( o modelo      para o ponto A e o modelo     

para o ponto B).

Esse fato evidencia que a estudante pode estar trabalhando com vários modelos

mentais para analisar esta classe de situação, fruto dos modelos mentais formados

durante a análise das situações anteriores. Isso mostra que a evolução de um modelo

mental não ocorre com auto-exclusão do modelo mental “subsunçor4”, a estudante pode

estar evocando de seu “banco” de modelos mentais aquele que ela “acha” mais

conveniente. Moreira (1996) adverte que,

4 Para Ausubel, conceitos subsunçores são conceitos relevantes que podem ancorar um conceito mais diferenciado (Novak, 1977, p. 57; Moreira e Masini, 1982, p. 7). Em analogia aos conceitos subsunçores, entendemos por modelo mental subsunçor aquele que tem capacidade de ancorar um modelo mental mais adequado.

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“Não existe um único modelo mental para um determinado estado de coisas. Ao contrário, podem existir vários, mesmo que apenas um deles represente de maneira ótima esse estado de coisas” (p. 196).

Considerações finais

No início da primeira interlocução, quando se efetivou a interação com o tema,

verificou-se que a estudante não possuía conhecimento prévio suficientemente capaz de

relacionar os conceitos de energia cinética e potencial gravitacional. Por esse motivo

admitimos que a mesma não compreendeu, de imediato, a primeira situação,

representando-a através de uma representação proposicional. Conforme ocorria a

interação com o tema e analisavam-se as outras situações, os conceitos de energia

cinética e potencial gravitacional diferenciavam-se cada vez mais na estrutura cognitiva

da estudante, a ponto de permitir maior compreensão das situações analisadas. Inferiu-

se, portanto, que no final da primeira interlocução a estudante formou um modelo

mental funcional para representar as situações apresentadas.

No segundo momento das interlocuções, em que se matematizou as situações

analisadas no primeiro momento, percebeu-se que a obtenção de um modelo

matemático adequado para analisar as situações estava vinculado à formação de

modelos mentais adequados. Deste modo pensou-se que os modelos matemáticos

deduzidos pela aluna poderiam funcionar como um “termômetro” que indicaria a

qualidade dos modelos mentais usados na análise das situações. Além do mais,

verificou-se que a estudante não “descartava” os modelos mentais usados na análise das

situações anteriores, pois ela não “descartava” os modelos matemáticos considerados

incoerentes para a classe das situações analisadas.

No terceiro momento das interlocuções foram resolvidos três problemas

referentes ás situações 1, 2 e 3. Observou-se que novamente a estudante fazia uso de

dois modelos matemáticos diferentes (     e     ) para analisar

tais problemas. Esse fato corroborou nossa hipótese de que as representações mentais

(representações proposicionais, modelos mentais e imagens mentais) que a estudante

formou para analisar as situações poderiam ser analisadas através de modelos

matemáticos produzidos durante a modelagem matemática dessas situações.

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Referenciais bibliográficos

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CARVALHO, A. M. P. Uma metodologia de pesquisa para estudar os processos de ensino e aprendizagem em salas de aula. In: SANTOS, F. M. T; GRECA, I. M. (Orgs). A pesquisa em ensino de ciências no Brasil e suas metodologias. Rio Grande do Sul: Umijuí, 2006, p. 13-48.

JOHNSON-LAIRD, P. Mental models. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1983.

MOREIRA, M. A. Modelos mentais.Revista Investigação em ensino de ciências. v. 1, n. 3, p. 193-232, 1996.

MOREIRA, M. A. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. Revista Investigação em ensino de ciências, v. 7, n. 1, p. 7-29, 2002. MOREIRA, M. A.; MASINI, E. F. S. Aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel. São Paulo: Moraes, 1982. NOVAK, J. D. Uma teoria de educação. Trad. Marco Antônio Moreira. São Paulo: Livraria pioneira, 1981. SOUSA, C. M. S. G. ; FÁVEO, M H. Análise de uma situação de resolução de problemas de Física, em situação de interlocução entre um especialista e um novato, à luz da teoria dos campos conceituais de Vergnaud. Revista Investigação em ensino de ciências, v. 7, n.1, p. 55-75, 2002.

VERGNAUD. G. La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique dês Mathématiques, v. 10, n. 2 e 3, p. 133-170, 1990. Anexos

Problemas

P1: Considere que na situação 1 a bola tenha massa igual a 1kg e a altura da mesa seja 1m.

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a) Qual a energia total no ponto A? b) Qual a energia total no ponto B?

P2: Na situação 2 a massa da bola é 1kg, a velocidade da bola é constante e igual a 20m/s e a altura da mesa é 1m.

a) Qual a energia total da bola? b) O que acontece com a energia total durante o movimento da bola?

P3: Na situação 3, considere que a altura do brinquedo é 2m e a massa do menino é 40kg. A velocidade no ponto A é zero.

a) Qual a energia total no ponto A? b) Qual a energia total no ponto B, sabendo que neste ponto o menino está a 1m do

chão? c) Qual a energia total no ponto C?

Convenções consideradas na transcrição

((...)): comentários do pesquisador.

[...]: falas simultâneas.

.../: truncamento de palavras.

LETRAS MAIÚSCULAS: entonação enfática.

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