Modulação Digital, Notas de estudo de Engenharia Informática
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Capítulo 7 – Modulação Digital

Em um processo de modulação, o sinal que se deseja transmitir, denominado de

sinal modulante, é transportado por um segundo sinal, denominado de portadora. Logo,

podemos definir modulação como o processo pelo qual uma característica da portadora

é alterada de modo a transportar a informação que se deseja transmitir (o sinal

modulante). Se o sinal modulante for analógico, tem-se um processo de modulação

analógica; se for digital, tem-se um processo de modulação digital.

A portadora é normalmente um sinal cosseinodal, da forma:

(7

.1)

em que A representa a magnitude do sinal, f representa a sua frequência e F 06 6 representa a

fase do sinal. As três características da portadora – amplitude, frequência e fase - dão

origem às três modulações básicas: modulação em amplitude, modulação em frequência

e modulação em fase. Há ainda a possibilidade de alterar duas características da

portadora, como amplitude e fase.

As modulações analógicas têm pouca aplicação nos modernos sistemas de

telecomunicações. Excetuando as emissoras de rádio, que ainda utilizam modulação

AM e FM, e as emissoras de TV, praticamente todos os outros sistemas de

comunicações utilizam modulação digital. Mesmo em transmissão de rádio e TV, há

uma tendência mundial de digitalização dos sistemas, como já ocorreu com a definição

do padrão de TV digital para o Brasil. Portanto, neste capítulo estudaremos apenas as

técnicas de modulação digital.

Quando o sinal modulante é digital, as modulações em amplitude, em frequência e

em fase recebem os nomes, respectivamente, de ASK (Amplitude Shift Keying), FSK

(Frequency Shift Keying) e PSK (Phase Shift Keying). Na modulação QAM

(Quadrature Amplitude Modulation), a amplitude e a fase da portadora são alteradas para transportar a informação do sinal digital.

A Figura 7.1 ilustra a forma de onda dessas modulações. Na parte (a) da figura tem-

se o sinal digital a ser transmitido (sinal modulante) e na parte (b) a portadora que será

utilizada para transportar a informação binária do sinal digital. A modulação ASK é

ilustrada na parte (c) da figura: nesta os bits a serem transmitidos são caracterizados

pela amplitude da portadora, com um nível V1 representado o bit 1 e um nível V0

representando o nível zero. Na forma mais comum de implementação, que está ilustrada

na figura, o bit 1 é caracterizado pela presença da portadora, enquanto o bit 0 é

caracterizado pela sua ausência; logo, a informação binária está contida na amplitude do

sinal modulado. A modulação FSK está ilustrada na parte (d) da figura: aqui o bit 1 é

representado por um sinal de freqüência f1 (neste caso igual à freqüência da portadora)

e o bit 0 é representado por um sinal de freqüência f2 diferente de f1; logo, a informação

binária está contida na freqüência do sinal modulado. A modulação PSK está ilustrada na parte (e) da figura: nesta modulação o bit 1 é caracterizado por um sinal com fase F 06 6 1

em relação à portadora, sendo F 06 61 usualmente igual a zero grau (ou seja, o sinal está em

fase com a portadora – como ilustrado na figura), e o bit 0 é caracterizado pela presença

de um sinal com fase F 06 62 (normalmente 180 graus) em relação à portadora; ou seja, a

informação binária está contida na fase do sinal modulado. Por fim, a parte (f) da figura

ilustra a modulação QAM: nesta modulação varia-se a amplitude e a fase da

portadora, como ilustrado, para representar a informação digital a ser transmitida.

Figura 7.1 – Ilustração das Modulações ASK, FSK, PSK e QAM.

As modulações ilustradas na Figura 7.1 são denominadas binárias, pois só há dois

símbolos (forma de onda do sinal modulado) possíveis em cada modulação. Ou seja,

duas amplitudes, duas freqüências, duas fases ou, no caso do QAM, duas combinações

de amplitude e fase. No entanto, deve-se ressaltar que, como se verá a seguir, há

modulações com um maior número de símbolos possíveis. Nesse caso, se o sinal

modulante é binário, cada símbolo transporta a informação de mais de um bit.

Para modulações não binárias a visualização dos símbolos possíveis por meio da

forma de onda do sinal pode ser difícil. Uma forma de representar os símbolos da

modulação, particularmente útil para modulações M-PSK e M-QAM (onde M é o

número de símbolos do sinal modulado), é por meio do diagrama de constelação da

modulação. O diagrama de constelação representa as amplitudes e fases que a portadora

pode assumir.

A Figura 7.2 ilustra o diagrama de constelação para uma modulação QPSK

(Quaternary PSK) e 8-PSK. Em ambos os casos as amplitudes são constantes, havendo

quatro fases possíveis (+45º , -45º , +135º e – 135º) na modulação QPSK e oito fases

possíveis (0o, 45º , 90º, 135º, 180º, 225º, 270º e 315º) na modulação 8-PSK. Pode-se

observar que na modulação QPSK cada símbolo do sinal modulado (ponto na

constelação) transporta a informação de dois bits do sinal modulante digital binário,

enquanto na modulação 8-PSK cada símbolo transporta a informação de três bits do

sinal modulante digital. Assim, a taxa de transmissão de símbolos é metade da taxa de

transmissão de bits na modulação QPSK e 1/3 da taxa de transmissão de bits na

modulação 8-PSK. A taxa de transmissão de símbolos é dada em baud, em homenagem

a Emile Baudot, inventor do código Baudot utilizado em telegrafia.

Figura 7.2 – Diagramas de constelação para modulações Q-PSK e 8-PSK.

Observa-se também na Figura 7.2 que símbolos adjacentes diferem entre si por

apenas um bit. Por exemplo, o símbolo de fase 45º da modulação 8-PSK transporta os

bits 111, enquanto seu vizinho inferior (fase 0o) transporta os bits 101 (diferença de 1 bit

para 111) e seu vizinho superior (fase 90º) transporta os bits 110 (diferença de 1 bit para

111). Esta forma de arranjar a constelação é denominada de Mapeamento de Gray. Isto

é feito para que um erro no processo de detecção de um símbolo no receptor resulte, na

grande maioria das vezes, no erro de apenas 1 bit. Voltaremos a discutir esta questão ao

analisar a probabilidade de erro de bit das modulações (Seção 7.3).

A Figura 7.3, por sua vez, ilustra as constelações das modulações 16-QAM (pontos

dentro do quadrado interno) e 64-QAM (pontos dentro do quadrado externo). Note que,

neste caso, há variação na amplitude dos símbolos, além da variação de fase.

Figura 7.3 – Constelações das modulações 16-QAM e 64-QAM.

A comparação do desempenho das técnicas de modulação é, normalmente, feita

com base em dois parâmetros: a eficiência espectral e a probabilidade de erro de bit.

Nas seções seguintes descreveremos brevemente as características das principais

modulações quanto a estes parâmetros.

7.1. Largura de Faixa Mínima e Eficiência Espectral

A largura de faixa mínima, como o próprio nome define, representa a menor largura

de faixa do canal que, teoricamente, permitirá que o sinal modulado seja transmitido

pelo canal e recebido adequadamente no receptor.

A eficiência espectral é definida como a relação entre a taxa de transmissão e a

largura de faixa mínima necessária para se transmitir o sinal modulado pelo canal. Ou

seja, a eficiência espectral nos informa a taxa de transmissão máxima, em bps, que pode

ser transmitida para cada Hz de largura de faixa no canal. Por exemplo, quando dizemos

que a modulação BPSK (Binary PSK) possui eficiência espectral igual a 1 bps/Hz, isto

significa que podemos transmitir 1 bps para cada Hz de largura de faixa do canal.

7.1.1. Modulação ASK

Para analisar a largura de faixa mínima necessária para transmitir um sinal com

modulação ASK é útil, inicialmente, analisar um sistema com modulação analógica do tipo AM-DSB-SC (Amplitude Modulation Double Sideband Supressed Carrier). Uma

modulação AM-DSB-SC pode ser gerada pela multiplicação do sinal modulante pelo

sinal de portadora, conforme ilustrado na Figura 7.4.

Figura 7.4 – Ilustração do processo de geração da modulação AM-DSB-SC.

Vamos ilustrar o processo de modulação AM-DSB-SC tomando o sinal modulante,

x(t), e a portadora, y(t), como sinais cosenoidais, representados, respectivamente, pelas

equações (7.1) e (7.2):

(7.1)

(7.2)

O sinal modulado, z(t), é obtido pelo produto x(t) F 0D 7 y(t). Ou seja,

(7.3)

Utilizando a identidade

(7.4)

podemos reescrever a Equação (7.3) como:

(7.5)

A representação de z(t) no domínio da freqüência é ilustrada na Figura 7.5. O

espectro do sinal modulado é o espectro do sinal modulante centrado na freqüência da

portadora (que está ilustrada pela linha tracejada, para indicar que ela não está

presente). Este resultado também poderia ser obtido a partir dos seguintes resultados

básicos da Análise de Fourier:

• A operação de multiplicação no domínio do tempo corresponde a uma

operação de convolução no domínio da frequência.

• O espectro da portadora é um impulso na frequência F 07 7 c.

• A convolução do espectro do sinal modulante com o impulso em F 07 7 c resulta

no próprio espectro do sinal modulante centrado em F 07 7 c.

Figura 7.5 – Representação no domínio da freqüência do sinal AM-DSB-SC, z(t).

Com o resultado obtido para a modulação AM-DSB-SC fica fácil obter a largura de

faixa mínima para a modulação ASK. Para tal, observe que a modulação ASK pode ser

gerada pelo mesmo diagrama ilustrado na Figura 7.4, considerando agora que o sinal

modulante é um sinal digital. Logo, o espectro do sinal modulado é o espectro do sinal

modulante digital centrado em F 07 7 c. Lembrando que o sinal digital pode ser decomposto

no somatório de infinitas senóides e cosenóides (veja Seção 2.2 do Capítulo 2), temos o

resultado apresentado na Figura 7.6, na qual f1 representa a frequência da primeira

harmônica do sinal modulante digital.

Figura 7.6 – Espectro do sinal modulado ASK.

O espectro do sinal modulante digital possui largura de faixa infinita. Logo, para a

utilização prática desta modulação é preciso filtrar o sinal modulado antes de sua

transmissão. Para que o sinal modulante possa ser recuperado no receptor é preciso que

pelo menos sua 1ª harmônica seja transmitida; ou seja, é preciso que o filtro deixe

passar, pelo menos, frequências entre (fc f1) e (fc +f1), resultando em uma largura de

faixa mínima do sinal modulado igual a 2f1.

Lembrando que a frequência da 1ª harmônica é metade da taxa de transmissão, tem-

se que a largura de faixa mínima necessária para transmitir um sinal ASK é igual à taxa

de transmissão do sinal modulante, ou seja:

(7.6)

7.1.2. Modulação FSK

Para calcular a largura de faixa mínima de um sinal FSK é útil vê-lo como a soma

de dois sinais ASK, como ilustrado na Figura 7.7, onde se vê o sinal FSK na parte (a) da

figura e os dois sinais ASK, que somados resultarão no sinal FSK, nas partes (b) e (c) da

figura.

Figura 7.7. Decomposição do sinal FSK na soma de dois sinais ASK.

Logo, com base nos resultados apresentados na Figura 7.7, considerando que em

cada sinal ASK apenas a 1ª harmônica será transmitida, o espectro do sinal FSK é

aquele mostrado na Figura 8.8, na qual se observa o espectro do sinal ASK da parte (b)

da Figura 7.7 centrado na frequência de portadora fc2 e o espectro do sinal ASK da parte

(c) da Figura 7.7 centrado na frequência de portadora fc1. Novamente, f1 representa a

frequência da 1ª harmônica do sinal modulante.

Figura 7.7 – Espectro do sinal FSK.

Com base na Figura 7.7, podemos então calcular a largura de faixa mínima

necessária para transmitir o sinal FSK como a diferença entre a máxima e a mínima

frequências do espectro mostrado na figura, ou seja:

(7.7)

Onde R é a taxa de transmissão do sinal modulante, fc2 é a frequência utilizada para

representar o bit 1 e fc1 é a frequência utilizada para representar o bit 0 (ou vice-versa).

7.1.3. Modulação PSK

Lembrando que Cos (x + F 07 0 ) = F 02 D Cos (x), verificamos que o sinal PSK também

pode ser gerado com o mecanismo de multiplicação ilustrado na Figura 7.4,

simplesmente tomando o bit 1 com um nível (+1) e o bit 0 com um nível (F 02 D1). Ou seja,

se o sinal digital for um bit 1 a portadora será multiplicada por +1 e se o sinal digital for

um bit 0 a portadora será multiplicada por (F 02 D1), o que equivale a defasar a portadora de

180º, gerando portanto o sinal PSK ilustrado na parte (e) da Figura 7.1. Logo, os

resultados apresentados para a modulação ASK também são válidos para a modulação

PSK e, portanto:

(7.8)

7.1.4. Modulações M-PSK e M-QAM

Os resultados apresentados acima são válidos para as modulações binárias, nas

quais temos duas amplitudes, duas frequências ou duas fases. No entanto, em muitas

aplicações utilizamos modulações não binárias, nas quais o número de símbolos do

sinal modulado é maior do que 2, como as modulações ilustradas nas Figuras 7.2 e 7.3.

Embora possamos definir modulações não binárias do tipo M-ASK e M-FSK,

vamos concentrar nossas análises nas modulações M-PSK e M-QAM, que são aquelas

de uso mais comum nos sistemas de telecomunicações.

Para calcular a largura de faixa mínima necessária para transmitir um sinal com

modulação M-PSK vamos iniciar com o estudo detalhado da modulação QPSK. A Figura 7.8 ilustra o diagrama de constelação desta modulação, na qual observamos que

cada símbolo QPSK pode ser gerado com a soma de duas componentes, denominadas I

e Q, ilustradas na figura, respectivamente, em verde e vermelho, da seguinte forma:

• O símbolo QPSK (11), que possui fase de 45º, pode ser gerado pela soma do

sinal I com fase de 0o com o sinal Q com fase de 90º.

• O símbolo QPSK (10), que possui fase de – 45º, pode ser gerado pela soma

do sinal I com fase de 0o com o sinal Q com fase de 270º.

• O símbolo QPSK (01), que possui fase de 135º, pode ser gerado pela soma

do sinal I com fase de 180º com o sinal Q com fase de 90º.

• Finalmente, o símbolo QPSK (00), que possui fase de – 135º, pode ser

gerado pela soma do sinal I com fase de 180º com o sinal Q com fase de 270º.

Figura 7.8 – Geração da modulação QPSK a partir dos sinais I e Q.

Observando que os sinais I e Q correspondem a sinais BPSK binários, em que o

sinal I possui fases iguais a 0o e 180º e o sinal Q possui fases iguais a 90º e 270º,

podemos desenhar o diagrama em blocos de um modulador QPSK como ilustrado na Figura 7.9.

Figura 7.9 – Diagrama em blocos de um modulador QPSK.

O conversor série/paralelo separa o fluxo binário de entrada em dois fluxos, cada

um com metade da taxa de transmissão do fluxo de entrada, enviando, alternadamente,

um bit para o ramo superior do modulador e outro para o ramo inferior do modulador.

O gerador de níveis tem por objetivo apenas ajustar os níveis dos bits para que os sinais

I e Q sejam gerados com níveis adequados para, depois de somados, gerar o sinal QPSK

desejado (veja Figura 7.8). O ramo superior do modulador QPSK é um modulador

BPSK normal que irá gerar dois símbolos: fase 0o e fase 180º; ou seja, o ramo superior

gera o sinal I. O ramo inferior do modulador QPSK é um modulador BPSK cuja

portadora está defasada 90º em relação à portadora utilizada no ramo superior. Logo, o

ramo inferior irá gerar um sinal BPSK com fases 90º ou 270º; ou seja, o ramo inferior

gera o sinal Q. Os sinais I e Q são então somados para gerar o sinal QPSK, como

ilustrado na Figura 7.8.

Como em cada ramo (I e Q) a taxa de transmissão é metade da taxa de bits a ser

transmitida (R) e como as portadoras utilizadas nos ramos I e Q possuem a mesma

frequência, utilizando o resultado previamente apresentado para a modulação BPSK,

podemos escrever que a largura de faixa mínima necessária para a transmissão de um

sinal QPSK é dada por:

(7.9)

Raciocínio análogo pode ser feito para modulações M-PSK e M-QAM, resultando

no seguinte resultado geral: a largura de faixa mínima necessária para transmitir um

sinal M-PSK ou M-QAM é dada por:

(7.10)

Observando a Equação (7.10) podemos concluir que à medida que aumentamos o

número de pontos na constelação das modulações M-PSK e M-QAM, reduzimos a

largura de faixa mínima necessária para transmitir estes sinais. Ou, de outra forma, se a

largura de faixa do canal for fixa, ao aumentarmos o número de pontos na constelação aumentamos a taxa que pode ser transmitida por este canal.

A eficiência de largura de faixa de uma modulação é definida como a relação entre

a taxa de transmissão desejada dividida pela largura de faixa mínima necessária para

transmitir tal taxa, ou seja:

(bps/Hz) (7.11)

Aplicando a Equação (7.11) às modulações já estudadas, temos os resultados

resumidos na Tabela 7.1.

Modulação Eficiência de Largura de Faixa

ASK 1 bps/Hz

FSK < 1 bps/Hz

PSK 1 bps/Hz

QPSK 2 bps/Hz

M-PSK ou M-QAM log2 M bps/Hz

Tabela 7.1 – Eficiência de largura de faixa das modulações básicas.

O preço que se paga ao aumentar o número de pontos na constelação é tornar o

sistema mais susceptível a erros de transmissão. Ou seja, a taxa de erro de bit aumenta

quando aumentamos o número de pontos na constelação (se mantivermos a potência de

transmissão constante), como veremos na Seção 7.2, a seguir.

7.2. Probabilidade de erro de bit das modulações básicas

O aumento da taxa de erro de bit com o número de pontos na constelação pode ser

entendido por meio de uma visão geométrica de sinais e ruído, na qual o sinal

transmitido e o ruído do canal são tratados como vetores. Como sabemos, o ruído do

canal é adicionado ao sinal transmitido (ruído aditivo), gerando o sinal recebido. Logo,

podemos representar o vetor que representa o sinal recebido como a soma do vetor que

representa o sinal transmitido mais o vetor que representa o ruído no canal, como

ilustrado na Figura 7.10, na qual um sinal com fase de 45º (Tx) é transmitido e o sinal

recebido (Rx) é a resultante da soma do sinal transmitido com o ruído no canal e possui amplitude e fase diferentes das do sinal transmitido.

Figura 7.10 – Visão geométrica de sinais e ruído.

No receptor, o papel do demodulador é decidir, com base no sinal recebido, qual foi

o sinal transmitido. Para entender este processo, vamos analisar o exemplo ilustrado na

Figura 7.11 para uma modulação QPSK, na qual o símbolo ®foi recebido. O papel do

demodulador é decidir, com base no símbolo recebido, qual foi o símbolo transmitido.

As quatro possibilidades existentes estão ilustradas na Figura 7.11: transmissão do

símbolo 11 (fase de 45º) e a ocorrência do ruído representado pelo vetor n1 (representado em preto na figura); transmissão do símbolo 10 (fase de – 45º) e a

ocorrência do ruído representado pelo vetor n2 (representado em azul na figura);

transmissão do símbolo 01 (fase de 135º) e a ocorrência do ruído representado pelo vetor n3 (representado em verde na figura); e, finalmente, transmissão do símbolo 00

(fase de – 135º) e a ocorrência do ruído representado pelo vetor n4 (representado em

vermelho na figura). A melhor decisão no demodulador é optar pela situação mais

provável, que é aquela na qual o ruído possui menor magnitude; ou seja, transmissão do

símbolo 11 e ocorrência do ruído representado pelo vetor n1. Logo, o símbolo

demodulado é 11. A decisão pela situação mais provável equivale a considerar que o

sinal que foi transmitido é aquele que está mais próximo do sinal recebido (fase de +45º

na Figura 7.11). Ou seja, ao receber um determinado sinal, o receptor o demodula como

sendo o símbolo da constelação mais próximo do sinal recebido.

Figura 7.11. – Ilustração do processo de demodulação para modulação QPSK.

A demodulação para o símbolo da constelação mais próximo do sinal recebido pode

ser implementada a partir do conceito de região de decisão. A região de decisão

associada a um determinado símbolo da constelação é o lugar geométrico no qual

qualquer ponto está mais próximo do símbolo da constelação associado do que de

qualquer outro símbolo da constelação. Por exemplo, todo ponto no primeiro quadrante

da Figura 7.11 está mais próximo do símbolo com fase de 45º do que de qualquer outro e, portanto, a região de decisão associada ao símbolo 11 (fase de 45º) é o primeiro

quadrante. Logo, toda vez que um sinal recebido estiver dentro do primeiro quadrante,

o receptor decide que o sinal transmitido foi o símbolo com fase igual a 45º.

Um erro de demodulação ocorre quando um símbolo é transmitido e o ruído faz o

sinal recebido cair na região de decisão de outro símbolo. Esta ideia está ilustrada na

Figura 7.12. O sinal transmitido foi o símbolo com fase igual a 45º, o ruído fez o sinal

recebido cair na região de decisão do símbolo com fase igual a F 02 D 45º , e este será o

símbolo demodulado.

Figura 7.12 - Ruído resultando em erro de transmissão.

A taxa de erro de bit aumenta com o número de pontos na constelação porque a

região de decisão diminui e, com isso, uma magnitude menor de ruído pode resultar em

um erro de demodulação. A Figura 7.13 ilustra esta ideia. No lado esquerdo, temos a

modulação QPSK, na qual mostramos a transmissão do símbolo com fase igual a 45º e

a magnitude mínima de ruído que resulta em erro de transmissão. No lado direito, tem-

se a modulação 8-PSK, na qual se vê a transmissão do símbolo com fase igual a 45º e a magnitude mínima de ruído que resulta em erro de transmissão. Claramente, ocorre erro

na modulação 8-PSK com menores magnitudes de ruído, ou seja, é mais provável que

ocorra um erro na modulação 8-PSK do que na modulação QPSK (para símbolos com

mesma magnitude nas duas constelações).

Figura 7.13 - Magnitude mínima de ruído que resulta em erro de transmissão.

A análise apresentada até o momento nos permite concluir que: quanto mais

próximos estiverem os símbolos na constelação maior será a probabilidade de erro de

bit da modulação. Logo, ao aumentar o número de pontos na constelação diminuímos a

largura de faixa mínima necessária para transmitir o sinal desejado e aumentamos a

probabilidade de erro de bit.

A análise matemática detalhada da probabilidade de erro de bit de cada modulação está fora do escopo deste trabalho. No entanto, a título de ilustração, vamos apresentar

algumas equações e comparar os resultados obtidos. As expressões apresentadas são

válidas para processos de detecção coerentes, nos quais o demodulador utiliza a

informação de fase da portadora para detectar o sinal. Processos de detecção coerentes

são mais complexos e resultam em melhor desempenho que processos de detecção não

coerentes, nos quais a informação de fase da portadora não é utilizada na detecção do

sinal [SKLAR,2001]. Para um estudo detalhado sobre probabilidade de erro de bit nos

diversos tipos de modulação e considerando os diversos tipos de detecção possíveis veja

as referências [SKLAR,2001] [HAYKIN,2001] [GUIMARÃES,2009].

Vamos iniciar nossas comparações com as modulações FSK e PSK binárias. A

probabilidade de erro de bit para modulação FSK com detecção coerente pode ser

calculada por: [SKLAR,2001]

(7.12)

Onde Q(x) é a função erro complementar, calculada por: [SKLAR,2001]

(7.13)

A integral da Equação (7.13) não pode ser resolvida analiticamente e, em geral, tem

seu resultado obtido por meio de tabelas criadas a partir da solução numérica da

integral. Uma aproximação razoável para a função Q(x), válida para x > 3, é dada por:

[SKLAR,2001]

(7.14)

Na Equação (7.13) Eb representa a energia do bit e N0 representa a densidade de

potência de ruído, ou seja, a potência de ruído dividida pela largura de faixa do canal. A

relação Eb/N0 se relaciona com a relação C/N, definida no Capítulo 2, por:

(7.15)

Onde B é a largura de faixa do canal e R é a taxa de transmissão. A igualdade

expressa pela Equação (7.15) é obtida simplesmente utilizando a definição de densidade

de potência e a relação entre energia e potência.

Para a modulação BPSK com detecção coerente a probabilidade de erro de bit pode

ser calculada por: [SKLAR,2001]

(7.16)

Comparando as equações (7.15) e (7.16) percebemos que para se obter

probabilidades de erro de bit iguais nas duas modulações é preciso que a relação Eb/N0 da modulação FSK seja o dobro da mesma relação para a modulação BPSK.

Para a modulação M-PSK (M > 2), a probabilidade de erro de bit pode ser calculada

por: [SKLAR,2001]

(7.17)

É importante observar que se fizermos M = 4 na Equação (7.17), para calcular a

probabilidade de erro de bit da modulação QPSK, encontraremos o mesmo resultado

apresentado na Equação (7.16) para a modulação BPSK. Ou seja, as modulações BPSK

e QPSK possuem a mesma probabilidade de erro de bit para uma mesma relação Eb/N0.

Este resultado parece contrariar o raciocínio feito acima que nos permitiu concluir que

a probabilidade de erro de bit aumentava à medida que o tamanho da região de decisão

associada a cada símbolo diminuía, pois temos uma região de decisão menor no QPSK

do que no BPSK e temos a mesma probabilidade de erro de bit resultante. A explicação

para este resultado é que o processo de detecção resulta na verdade em erro de símbolo

(pois o demodulador decide qual foi o símbolo transmitido) e este, por sua vez, é que

resulta em erro de bit. Da modulação BPSK para a QPSK a probabilidade de erro de

símbolo dobra em função da diminuição do tamanho da região de decisão, mas como

cada símbolo QPSK transporta dois bits, enquanto cada símbolo BPSK transporta um

bit, as probabilidades de erro de bit são iguais. Para clarear mais este ponto, vamos

colocar alguns números nesta questão. Admita que um sistema BPSK opera com uma

certa relação Eb/N0 que resulta em uma probabilidade de erro de símbolo igual a 10-4.

Como cada símbolo transporta um bit, a probabilidade de erro de bit também é igual a

10-4. Logo, se 100.000 bits são transmitidos, espera-se demodular dez símbolos errados

e, portanto, dez bits errados. Admita agora que os 100.000 bits são transmitidos

utilizando a modulação QPSK com a mesma relação Eb/N0. Como cada símbolo agora

transporta dois bits, serão transmitidos 50.000 símbolos. Como a região de decisão de

cada símbolo diminuiu, a probabilidade de erro de símbolo dobrou e é agora igual a 2

x 10-4. Logo, espera-se que dos 50.000 símbolos demodulados, 10 estejam errados.

Como a constelação é arranjada utilizando de tal forma que entre símbolos vizinhos só

haja diferença de um bit (utilização de Código de Gray), um erro na demodulação de um símbolo, provavelmente, acarretará o erro de um bit; por exemplo, se o sinal

transmitido tiver fase de +45º e o receptor demodular o símbolo com fase de -45º, os

bits transmitidos são os bits 11 e os bits demodulados são os bits 10 (veja Figura 7.8),

havendo, portanto, o erro de um bit associado ao erro de demodulação do símbolo.

Logo, haverá um total de 10 bits errados em 100.000 bits transmitidos, resultando na

probabilidade de erro de bit de 10-4, igual a do BPSK. Para oito ou mais pontos na

constelação este raciocínio não se aplica, pois a probabilidade de erro de símbolo cresce mais rapidamente que o número de bits por símbolo, resultando no incremento da

probabilidade de erro de bit.

A Figura 7.14 ilustra o comportamento da probabilidade de erro de bit, em função

da relação Eb/N0, para as modulações M-PSK. Observa-se na figura que o desempenho

do sistema piora significativamente com o aumento do número de pontos na constelação

(para M ≥ 8). Por exemplo, para uma relação Eb/N0 = 10 dB, as probabilidades de erro

de bit são: 3,87 x 10-6 para BPSK e QPSK, 1,01 x 10-3 para 8-PSK e 0.02 para 16-PSK.

De outra forma, para se obter uma probabilidade de erro de bit igual a 10-8 são

necessárias as seguintes relações Eb/N0 (aproximadas): 12 dB para BPSK e QPSK,

15,43 dB para 8-PSK e 19.95 dB para 16-PSK.

Figura 7.14 – Probabilidade de erro de bit para modulações M-PSK.

7.3. Comparando M-PSK com M-QAM

Nesta seção vamos comparar o desempenho das modulações M-PSK e M-QAM

quanto à probabilidade de erro de bit, uma vez que quanto à eficiência de largura de

faixa já sabemos que ambas possuem o mesmo desempenho.

Para comparar as modulações vamos utilizar o conceito de visão geométrica para

sinais e ruídos. O raciocínio utilizado é o seguinte: em cada constelação, vamos fixar a

distância entre símbolos vizinhos (por exemplo, igual a 2). Se duas constelações

possuem a mesma distância geométrica entre símbolos vizinhos, elas possuem a mesma

probabilidade de erro de bit, uma vez que as magnitudes de ruído que resultarão em erro

são as mesmas nas duas constelações. Em seguida, vamos calcular a energia média de

cada símbolo da constelação necessária para resultar na distância geométrica fixada,

lembrando que a magnitude do símbolo é proporcional à raiz quadrada de sua energia.

Por fim, a constelação que necessitar da menor energia média por símbolo será a de

melhor desempenho, pois demanda menos energia para obter a mesma probabilidade de

erro de bit.

Vamos inicialmente analisar a modulação Q-PSK, como ilustrado na Figura 7.15, na

qual utilizou-se fases de 0o, 90º, 180º e 270º apenas por conveniência geométrica. A

distância entre símbolos vizinhos foi fixada (arbitrariamente) igual a 2. Aplicando o

Teorema de Pitágoras no triângulo oab destacado na figura temos: 4 = E + E, E = 2. Ou

seja, são necessárias 2 unidades de energia em cada símbolo para que a distância entre

símbolos vizinhos seja igual a 2.

Figura 7.15 – Diagrama para análise da modulação QPSK.

Vamos agora analisar a constelação da modulação 4-QAM ilustrada na Figura 7.16. Como o segmento de reta ac tem tamanho igual a 2, tem-se diretamente que os símbolos

mais internos da constelação têm energia E1 = 1 unidade de energia. Para calcular a

energia dos símbolos externos basta aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo oab,

obtendo 4 = E2 + 1 e E2 = 3 unidades de energia. Como os números de símbolos

internos e externos são os mesmos, a energia média de um símbolo da constelação é E

= (3 + 1)/2 = 2 unidades de energia. Comparando com os resultados obtidos para a

modulação QPSK da Figura 7.15 observamos que as modulações possuem exatamente

o mesmo desempenho; ou seja, precisam exatamente da mesma energia para obter a

mesma distância entre símbolos vizinhos na constelação. Logo, podemos concluir que

as modulações QPSK e 4-QAM possuem o mesmo desempenho quanto à probabilidade

de erro de bit. Como já havíamos visto que estas modulações também possuem a

mesma eficiência de largura de faixa, concluímos que em termos de desempenho elas

são idênticas. Nas aplicações práticas, contudo, em função de facilidade de

implementação, normalmente se utiliza a modulação QPSK e não a modulação 4-QAM.

Figura 7.16 – Constelação para análise da modulação 4-QAM.

Vamos agora analisar o comportamento da modulação 8-PSK, cuja constelação está

ilustrada na Figura 7.17. Para determinar a energia dos símbolos da constelação, basta

aplicar a Lei dos Cossenos ao triângulo oab ilustrado na figura, como a seguir:

Logo, para se obter distância igual a dois entre símbolos vizinhos é preciso que

cada símbolo tenha uma energia E = 6,83 unidades de energia. Comparando com os

resultados obtidos para a modulação QPSK, verificamos que a modulação 8-PSK

demanda 3,415 (5.3 dB) mais energia que a modulação QPSK para o mesmo

desempenho em termos de taxa de erro de bit.

Figura 7.17 – Constelação para análise da modulação 8-PSK.

Para analisar o desempenho da modulação 8-QAM vamos inicialmente considerar

a constelação ilustrada na Figura 7.18. O valor de E1 = 4 é obtido diretamente da

observação da figura. Para calcular E2 basta aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo

oab, resultando em E2 = 4 + 4 = 8. Logo, os símbolos da constelação 8-QAM ilustrada

na Figura 7.18 possuem energia média Em = 6 unidades de energia. Comparando com o

resultado obtido para o 8-PSK (6,83 unidades de energia), observamos que a constelação 8-QAM analisada possui desempenho ligeiramente superior à modulação

8-PSK, pois necessita de 0.878 (6/6.83) da energia necessária para a modulação 8-

PSK, uma economia de 0.56 dB.

Figura 7.18 – Constelação 8-QAM.

Para finalizar nossas comparações entre as modulações M-PSK e M-QAM vamos

agora considerar outra possibilidade de implementação da modulação 8-QAM, ilustrada

na Figura 7.19. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo obc temos: 4 = E1 + E1,

E1 = 2 unidades de energia. Para calcular E2 vamos inicialmente utilizar o triângulo

oab, para o qual podemos escrever:

Aplicando agora o Teorema de Pitágoras ao triângulo abd temos:

Finalmente, a magnitude do símbolo externo da constelação é a soma dos

segmentos de reta oa + ad e a energia do símbolo mais externo é:

Resultando em uma energia média para os símbolos da constelação Em = 4,73

unidades de energia. Comparando com o resultado obtido para a constelação 8-QAM

ilustrada na Figura 7.18, observamos que a constelação da Figura 7.19 possui

desempenho superior, o que nos permite concluir que o desempenho da constelação

QAM depende da geometria da sua construção. Comparando com a modulação 8-PSK,

verificamos que constelação 8-QAM da Figura 7.19 precisa de uma fração 4,73/6,83 =

0,69 da energia necessária para a modulação 8-PSK, uma economia de 1.6 dB. No

entanto, embora os resultados indiquem o melhor desempenho da modulação 8-QAM

sobre a modulação 8-PSK, não é comum vermos a modulação 8-QAM utilizada em

sistemas reais de telecomunicações.

Para 16 ou mais pontos na constelação a diferença de desempenho entre as

modulações M-QAM e M-PSK fica cada vez mais acentuada, com a modulação M-

QAM resultando em desempenho muito superior. Por exemplo, a Figura 7.20 ilustra a

probabilidade de erro de bit de algumas modulações M-PSK e M-QAM. Verificamos na figura que a modulação 16-PSK possui praticamente o mesmo desempenho, quanto à

probabilidade de erro de bit, da modulação 64-QAM. No entanto, a modulação 16-PSK

possui eficiência de largura de faixa de 4 bps/Hz, contra 6 bps/Hz da modulação 64-

QAM, caracterizando grande vantagem desta sobre aquela. Em função da diferença de

desempenho, normalmente os sistemas reais utilizam a modulação M-QAM para 16 ou

mais pontos na constelação.

Figura 7.19 – Constelação 8-QAM alternativa.

Figura 7.20 - Probabilidade de erro de bit para algumas modulações M-PSK e M-QAM.

Finalmente, é importante destacar que o desempenho das modulações digitais, em

termos de probabilidade de erro de bit, varia com o modelo do canal de comunicação e

o tipo de detecção utilizado no receptor, mas essas análises estão fora do escopo deste

texto.

Para um estudo matemático profundo das modulações digitais e seus desempenhos,

veja o Capítulo 6 (Passband Digital Transmission) de [HAYKIN,2001] e o Capítulo 4

(Bandpass Modulation and Demodulation Detection) de [SKLAR,2001].

3.. Modulação com Múltiplas Portadoras

Nos sistemas MCM (Multi-Carrier Modulation), ao invés de utilizar uma única

portadora transportando uma alta taxa de bits, utilizamos múltiplos fluxos de bits de

baixa velocidade, cada um modulando uma subportadora. Com isso, o tempo de

transmissão de um símbolo é relativamente longo e múltiplos símbolos são

transmitidos, ao mesmo tempo, em frequências diferentes.

Os sistemas MCM oferecem, como vantagem, maior robustez a problemas de

propagação, como propagação por multipercursos. A Figura 7.21 ilustra a ideia da

técnica. O fluxo de dados passa por um conversor série-paralelo, que transforma um

fluxo de alta velocidade em N fluxos de baixa velocidade. Cada fluxo de baixa

velocidade modula uma portadora de frequência diferente. Logo, temos N portadoras

transportando a informação original, ao invés de apenas uma.

Um sistema com múltiplas portadoras, bastante utilizado nos padrões de redes sem

fio, é o sistema OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing), no qual há uma

superposição parcial entre os espectros dos sinais modulados por cada portadora.

Para uma análise detalhada dos sistemas MCM, particularmente o OFDM,

recomendamos ao leitor interessado a referência [BAHAI,2004]

Figura 7.21 - Ideia básica da modulação com múltiplas portadoras.

Por favor, responde a Larissa Roberta!
CARA, PRECISO DA IMAGEM 7.20 EM NOME DA DEUSA
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