Monitoria-FEE2012 - Rafael Casotti, Notas de estudo de Economia Agroindustrial
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PÓLO UNIVERSITÁRIO DE VOLTA REDONDA

PÓLO UNIVERSITÁRIO DE VOLTA REDONDA

ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

Rafael Maroquio Casotti

Prof. MsC. Nilson Brandalise

Fundamentos da Engenharia Econômica

Apostila de Exercícios Resolvidos

VOLTA REDONDA – RJ

2012

2

"Um exemplo de vida que eu tenho é o

Ayrton Senna, não porque ele era o maior,

ganhava todas, nem porque todo mundo diz

isso. É que ele ensinou a amar um país que

tem tudo para ser o melhor do mundo." -

Dinho (Mamonas Assassinas)

3

RESUMO

Esta apostila apresenta uma síntese do que é estudado durante a disciplina de

Fundamentos da Engenharia Econômica, na graduação ministrada na Escola de Engenharia

Industrial Metalúrgica de Volta Redonda, incluindo resumo teórico, exercícios e suas

respectivas resoluções. Na resolução destes, buscou-se a aplicação da linguagem informática

como solução ótima para as questões, incluindo funções complexas criadas em arquivo .xls e

utilização do software Dev-C++ para criação de equações, resolução e conferência de

resultados das questões mais simples. A disciplina inicia-se com técnicas de Matemática

Financeira e tem sua conclusão focada na Engenharia Econômica, analisando o estudo do

dinheiro aplicado ao tempo, com grande repercussão no ramo da Engenharia em geral. Na

abordagem da Matemática Financeira, observam-se os capítulos sobre Taxas de Juros

Proporcional e Equivalente, Juros Simples e Composto, Desconto, Equivalência de Capitais,

Séries Uniformes e Sistemas de Empréstimos. Já na parte da Engenharia Econômica, são

apresentados os temas sobre Fluxo de Caixa, incluindo Investimento Inicial, Fluxo de Caixa

Operacional e Residual, e Técnicas de Análise do Fluxo de Caixa, estudando o VPL, VFL,

VUL, TIR, TER, IL, Payback Simples e Descontado. O aprendizado de todas estas citações

garantirá um bom aproveitamento do aluno no decorrer do curso.

4

ÍNDICE

INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 6

1)TAXAS DE JUROS ............................................................................................. 7

1.1) TAXA PROPORCIONAL ............................................................................................ 7

1.2) TAXA EQUIVALENTE .............................................................................................. 7

1.3) EXERCÍCIOS ......................................................................................................... 8

1.4) RESOLUÇÕES ....................................................................................................... 9

2)JUROS SIMPLES ............................................................................................. 10

2.1) EXERCÍCIOS ....................................................................................................... 10

2.2) RESOLUÇÕES ..................................................................................................... 12

3)JUROS COMPOSTOS ...................................................................................... 14

3.1) EXERCÍCIOS ....................................................................................................... 14

3.2) RESOLUÇÕES ..................................................................................................... 16

4)DESCONTO .................................................................................................... 18

4.1) DESCONTO COMERCIAL SIMPLES ............................................................................ 18

4.2) DESCONTO RACIONAL SIMPLES .............................................................................. 18

4.3) DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO ........................................................................ 19

4.4) DESCONTO RACIONAL COMPOSTO .......................................................................... 19

4.5) EXERCÍCIOS ....................................................................................................... 19

4.6) RESOLUÇÕES ..................................................................................................... 21

5)EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS .......................................................................... 23

5.1) EXERCÍCIOS ....................................................................................................... 23

5.2) RESOLUÇÕES ..................................................................................................... 25

6)SÉRIES UNIFORMES ....................................................................................... 27

6.1) SÉRIE UNIFORME POSTECIPADA ............................................................................. 27

6.2) SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA ............................................................................... 27

6.3) SÉRIE UNIFORME DIFERIDA ................................................................................... 28

5

6.4) SÉRIE COMBINADA .............................................................................................. 28

6.5) EXERCÍCIOS ....................................................................................................... 29

6.6) RESOLUÇÕES ..................................................................................................... 30

7)SISTEMAS DE EMPRÉSTIMOS ......................................................................... 33

7.1) SAC ................................................................................................................ 33

7.2) TABELA PRICE .................................................................................................... 33

7.3) SISTEMA AMERICANO .......................................................................................... 33

7.4) SAM ............................................................................................................... 34

7.5) SUPER - SAM ..................................................................................................... 34

7.6) SAC COM CARÊNCIA ............................................................................................ 34

7.7) EXERCÍCIOS ....................................................................................................... 34

7.8) RESOLUÇÕES ..................................................................................................... 35

8)FLUXO DE CAIXA E TÉCNICAS DE ANÁLISE ...................................................... 41

8.1) FLUXO DE CAIXA ................................................................................................. 41

8.2) TÉCNICAS DE ANÁLISE DO FLUXO DE CAIXA ............................................................... 41

8.2.1)Valor Presente Líquido .............................................................................. 41

8.2.2)Valor Futuro Líquido ................................................................................. 42

8.2.3)Valor Uniforme Líquido ............................................................................. 42

8.2.4)Taxa Interna de Retorno ........................................................................... 42

8.2.5)Taxa Externa de Retorno .......................................................................... 42

8.2.6)Índice de Lucratividade ............................................................................. 42

8.2.7)Tempo de Retorno - Payback Simples....................................................... 43

8.2.8)Tempo de Retorno - Payback Descontado ................................................ 43

8.3) EXERCÍCIOS ....................................................................................................... 43

8.4) RESOLUÇÕES ..................................................................................................... 46

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 53

6

INTRODUÇÃO

A Matemática Financeira e a Engenharia Econômica possuem diversas aplicações no

atual sistema econômico. Algumas situações estão presentes no cotidiano das pessoas, como

financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com

cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras

situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de

juros. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações

mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor

inicial do empréstimo. A essa diferença damos o nome de juros.

O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência de

uma afinidade entre o dinheiro e o tempo. As situações de acúmulo de capital e

desvalorização monetária davam a ideia de juros, pois isso acontecia em razão do valor

momentâneo do dinheiro. Algumas tábuas matemáticas se caracterizavam pela organização

dos dados e textos relatavam o uso e a repartição de insumos agrícolas através de operações

matemáticas. Os sumérios registravam documentos em tábuas, como faturas, recibos, notas

promissórias, operações de crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de vendas

e endossos.

Nessa época os juros eram pagos pelo uso de sementes e de outros bens emprestados,

os agricultores realizavam transações comerciais com as quais adquiriam sementes para as

suas plantações. Após a colheita, os agricultores realizavam o pagamento através de sementes

com a seguida quantidade proveniente dos juros do empréstimo. A forma de pagamento dos

juros foi modificada para suprir as exigências atuais. No caso dos agricultores, era lógico que

o pagamento seria feito na colheita seguinte. A relação tempo/ juros foi se ajustando de

acordo com a necessidade de cada época. Atualmente, nas transações de empréstimos, o

tempo é preestabelecido pelas partes negociantes.

7

1) TAXAS DE JUROS

As operações financeiras podem se caracterizar por envolver dois prazos; o da

capitalização e o referente à taxa de juros. Por exemplo, a poupança tem uma taxa de juros de

6% ao ano, mas, a capitalização é mensal. A unidade de tempo expressa na taxa é anual e a do

regime de capitalização é mensal, ou seja, a taxa de juro incidirá sobre o capital mês a mês,

doze vezes ao ano, e não uma única vez ao ano. Quando a unidade de tempo expressa na taxa

é maior que a unidade de tempo do período de capitalização, dizemos que essa taxa é

nominal.

1.1) TAXA PROPORCIONAL

Chama-se de taxa proporcional à taxa nominal devidamente adequada ao número de

períodos de capitalização da operação financeira. A taxa proporcional é dada pela taxa

nominal, dividida pelo número de capitalização do período, multiplicada pelo número de

capitalização da operação.

a.m. a.b. a.t. a.q. a.s. a.a.

a.m. 1/1 2/1 3/1 4/1 6/1 12/1

a.b. 1/2 2/2 3/2 4/2 6/2 12/2

a.t. 1/3 2/3 3/3 4/3 6/3 12/3

a.q. 1/4 2/4 3/4 4/4 6/4 12/4

a.s. 1/6 2/6 3/6 4/6 6/6 12/6

a.a. 1/12 2/12 3/12 4/12 6/12 12/12

Tabela de Conversão – Capitalização Simples

1.2) TAXA EQUIVALENTE

Dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando estão expressas em períodos

de capitalizações diferentes, entretanto, quando aplicadas a um mesmo capital, com prazos

idênticos, produzem montantes iguais. Para capitalização composta, temos a seguinte fórmula:

8

Onde:

ia = taxa objetivo

ib = taxa dada

a = período objetivo

b = período dado

1.3) EXERCÍCIOS

1. Determine a taxa de juros simples anual proporcional às seguintes taxas:

a) 2,5% ao mês

b) 56% ao quadrimestre

c) 32,5% para cinco meses

2. Calcular o montante de um capital de $ 600.000,00 aplicado à taxa (juros simples)

de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses.

3. Uma dívida de $ 30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes. Para

a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto (juros simples) de 15% ao ano.

Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente.

4. Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano?

5. Explicar a melhor opção: aplicar um capital de $ 60.000,00 à taxa de juros

compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano.

6. Demonstrar se a taxa de juros de 11,8387% ao trimestre é equivalente à taxa de

20,4999% para cinco meses. Calcular também a equivalente mensal composta dessas taxas.

9

1.4) RESOLUÇÕES

1.a)

=2,5*12 = 30% a.a.

b)

=56*3 = 168% a.a.

c)

=32,5*(12/5) = 78% a.a.

2.

=600000*(1+0,023*17) = $ 834.600,00

3.

15% a.a. = 15/12 = 1,25% a.m.

=30000/(1+0,0125*3) = R$ 28.915,66

4.

=((1+0,25)^(1/12))-1 = 0,01877 = 1,877% a.m.

=((1+0,25)^(1/4))-1 = 0,05737 = 5,737% a.t.

5.

=((1+0,099)^(2/1))-1 = 0,2078 = 20,78% a.a.

As duas taxas produzem o mesmo montante em um período de capitalização igual. Se

o período for de um ano, o montante será $ 72.468,00.

6.

11,8387% a.t. =((1+0,118387)^(5/3))-1 = 0,204999 = 20,4999% para 5 meses

11,8387% a.t. =((1+0,118387)^(1/3))-1 = 0,038 = 3,8% a.m.

20,4999% para 5 meses =((1+0,204999)^(1/5))-1 = 0,038 = 3,8% a.m.

10

2) JUROS SIMPLES

No regime de capitalização simples a taxa incide apenas sobre o capital originalmente

aplicado, portanto, os valores dos juros são sempre constantes. A aplicação desse conceito é

muito restrita no mercado financeiro brasileiro, salvo algumas exceções, tais como: desconto

de duplicatas, desconto de notas promissórias e operações de curtíssimo prazo. Na outra

grande maioria utiliza-se o regime de capitalização composto. As fórmulas utilizadas são:

J = C i n

M = C + J

M = C (1 + i n)

M = Montante

C = Capital

J = Juros

i = Taxa de Juros

n = Tempo

2.1) EXERCÍCIOS

1. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao

mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $ 270.000,00 o total dos juros

incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.

2. Um capital de $ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses,

produzindo um rendimento financeiro de $ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples

oferecida por esta operação.

3. Uma aplicação de $ 250.000,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao

mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $ 27.000,00. Calcular o prazo

da aplicação.

4. Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de 5 meses, a uma

taxa de juros simples igual a 6% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação.

5. Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $

750,00 após 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da operação?

11

6. O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $

400,00. Sabendo que o regime de capitalização era simples, calcule a taxa de juros mensal

praticada durante a operação.

7. A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a

taxa de 2% a.m. regime de capitalização simples. Qual a duração da operação?

8. Calcule os juros simples de um capital de $ 65.000,00 aplicado durante 188 dias a

taxa de 8% a.a. Empregue nos cálculos o ano: a) comercial; b) exato

9. Calcule o montante correspondente a um negócio de $ 60.500,00 aplicado pelo

prazo de 53 dias, à taxa de 5% a.m., no regime de juros simples e considerando o ano

comercial.

10. Uma pessoa aplica $ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses.

Determinar o valor acumulado ao final deste período.

12

2.2) RESOLUÇÕES

1.

=270000/(0,06*9) = $ 500.000,00

2.

=9680/(40000*11) = 0,022 = 2,2% a.m.

3.

=27000/(250000*0,018) = 6 meses

4.

=3000*(1+0,06*5) = $ 3.900,00

5.

=750/(1+0,1*5) = $ 500,00

6.

J = 400 - 200 = $ 200,00

=200/(200*5) = 0,2 = 20% a.m.

7.

J = 134 - 68 = $ 66,00

=66/(68*0,02) = 48,53 = 48 meses e 16 dias

8. a) Juro Comercial: ano com 360 dias.

=65000*(0,08/360)*188 = $ 2.715,56

b) Juro Exato: ano com 365 dias.

=65000*(0,08/365)*188 = $ 2.678,36

9.

=60500*(1+0,05*(53/30)) = $ 65.844,17

13

10.

=18000*(1+0,015*8) = $ 20.160,00

14

3) JUROS COMPOSTOS

A capitalização composta se difere da simples por apresentar taxas de juros crescentes

de forma exponencial. Os juros são sempre calculados sobre o valor acumulado do período

anterior; o capital em que a taxa incidirá em tn+1 é igual ao montante, capital mais juros, do

período tn. No regime de capitalização composto os juros, incorridos entre os períodos,

também são remunerados, enquanto no regime simples apenas o capital inicial é remunerado.

As fórmulas utilizadas são:

J = C [(1 + i) n – 1]

M = C + J

M = C (1 + i) n

M = Montante

C = Capital

J = Juros

i = Taxa de Juros

n = Tempo

3.1) EXERCÍCIOS

1. Qual o montante obtido de uma aplicação de $ 550,00 feita por quatro meses a uma

taxa de 20% a.a., no regime de capitalização composta?

2. Qual o capital que, aplicado durante 8 meses, gerou um montante de R$ 9.575,19 a

uma taxa de 1,5% ao mês?

3. Uma operação no regime de capitalização composta rendeu um montante igual a $

8.400,00 após 6 meses. Sabendo que a taxa de juros compostos foi de 2% a.m., calcule o valor

presente.

4. Um capital inicial de $ 430,00 rendeu $ 80,00 de juros compostos após permanecer

aplicado por 4 meses. De quanto foi a taxa de juros mensal da aplicação?

5. Um montante de $ 630,00 foi obtido após a aplicação de $ 570,00 a uma taxa de

juros compostos igual a 3% a.m.. Qual foi a duração da aplicação?

15

6. Uma máquina de calcular é anunciada por $ 140,00 à vista ou para pagamento com

prazo igual a dois meses, mediante uma taxa igual a 5% a.m. no regime de capitalização

composto. De quanto é o valor futuro?

7. Calcule o valor futuro de um capital de $ 52.000,00, aplicado à taxa de juros

compostos de 3,8% a.m. pelo prazo de 3 anos.

8. Uma operação no regime de capitalização composta rendeu um montante igual a $

8.400,00 após 6 meses. Sabendo que a taxa da operação foi igual a 2% a.m., calcule o valor

presente (capital).

9. Certa aplicação rende 0,225% ao dia (juros compostos). Em que prazo um

investidor poderá receber o dobro da sua aplicação?

10. Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada num empréstimo de $ 64.000,00

para ser quitado por $ 79.600,00 no prazo de 117 dias?

16

3.2) RESOLUÇÕES

1.

20% a.a. =((1+0,2)^(1/12))-1 = 0,0153 = 1,53% a.m.

=550*(1+0,0153)^4 = $ 584,44

2.

=9575,19/(1+0,015)^8 = $ 8.500,00

3.

=8400/(1+0,02)^6 = $ 7.458,96

4.

11

1

 

  

 

n n

C

M

C

M i

=((510/430)^(1/4))-1 = 0,0436 = 4,36% a.m.

5.

 i C

M

n

 

  

 1log

log

=LOG10(630/570)/LOG10(1+0,03) = 3,3859 = 3 meses e 12 dias

6.

=140*(1+0,05)^2 = $ 154,35

7.

=52000*(1+0,038)^36 = $ 199.116,88

8.

=8400/(1+0,02)^6 = $ 7.458,96

17

9.

(

)

=LOG10(2)/LOG10(1+0,00225) = 308 dias

10.

11

1

 

  

 

n n

C

M

C

M i

=((79600/64000)^(30/117))-1 = 0,0575 = 5,75% a.m.

18

4) DESCONTO

O desconto consiste no abatimento sobre o valor de um título que alguém faz jus por

“comprá-lo” em data anterior a seu vencimento. Considerando em todos os tipos de desconto:

N = Valor Nominal

Dr = Desconto Racional

Dc = Desconto Comercial

i = Taxa de Juros

n = Tempo

VD = Valor Descontado

4.1) DESCONTO COMERCIAL SIMPLES

O desconto comercial simples é também chamado de desconto “por fora”. Esse

desconto é aplicado sobre o valor nominal do título.

Fórmulas:

4.2) DESCONTO RACIONAL SIMPLES

O desconto racional simples também é chamado de “desconto por dentro” ou desconto

real. É o desconto simples aplicado sobre o valor atual do título.

Fórmulas:

19

4.3) DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

O desconto comercial composto quase não apresenta aplicação prática no sistema

financeiro brasileiro. As fórmulas para o cálculo do desconto comercial composto, relativo a

um dado título de crédito, são obtidas pelas fórmulas do desconto comercial simples,

aplicadas período a período.

Fórmulas:

4.4) DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

O desconto racional composto, relativo a um dado título de crédito, é a diferença entre

o valor nominal e o valor atual deste, os quais são determinados com base no sistema de

capitalização composta.

Fórmulas:

4.5) EXERCÍCIOS

Juros Simples

1. Qual o desconto comercial simples de uma promissória de valor nominal $

25.000,00, descontada à taxa de 3% a.m., cinco meses antes do vencimento?

2. Um título descontado comercialmente à taxa simples de 12% a.m. reduz-se, três

meses antes do vencimento, a $ 2.432,00. Qual o valor nominal desse título?

20

3. Um título, ao ser descontado racionalmente dois meses antes do vencimento, à taxa

simples de 5% a.m., teve valor atual igual a $ 8.000,00. Qual o valor de face desse título

(valor nominal)?

4. De quanto é o desconto racional simples sofrido por um título de $ 6.715,60

descontado a 24% a.a. em 1 mês e 15 dias?

5. Um título tem desconto comercial simples de $ 212,40 a três meses do vencimento.

Se a taxa de operação é de 6% a.m., obtenha o valor correspondente no caso de um desconto

racional simples.

Juros Compostos

6. Calcule o desconto de um título de valor nominal $ 600,00, descontado 5 meses

antes do vencimento a uma taxa de desconto racional composto igual a 4% a.m.

7. Determine o valor do desconto racional composto de um título de $ 40.000,00 com

vencimento no prazo de 85 dias, a uma taxa de juros compostos de 1% a.m.

8. Uma empresa possui uma nota promissória com vencimento para 90 dias e valor

nominal igual a $ 34.000,00. Se a empresa descontasse por dentro esse titulo a uma taxa de

juros compostos igual a 5% a.m., qual seria o valor líquido recebido?

9. Uma nota promissória no valor de $ 60.000,00 foi resgatada 68 dias antes do

vencimento com uma taxa de desconto por dentro de 15% ao ano. Determine o valor do

principal dessa operação no regime de juros compostos.

10. Uma duplicata no valor de $ 8.000,00 foi descontada 4 meses antes do vencimento,

a uma taxa de desconto comercial composto igual a 3% a.m. Calcule o valor líquido da

operação e o desconto sofrido pelo título.

21

4.6) RESOLUÇÕES

Juros Simples

1.

=25000*0,03*5 = $ 3750,00

2.

=2432/(1-0,12*3) = $ 3.800,00

3.

=8000*(1+0,05*2) = $ 8.800,00

4.

45 dias = 45/360 = 0,125 anos

=6715,6*0,24*0,125/(1+0,24*0,125) = $ 195,60

5.

=212,4/(0,06*3) = $ 1.180,00

=1180*0,06*3/(1+0,06*3) = $ 180,00

Juros Compostos

6.

=600*(((1+0,04)^5)-1)/(1+0,04)^5 = $ 106,84

7.

85 dias = 85/30 = 2,833 meses

=40000*(((1+0,01)^2,833)-1)/(1+0,01)^2,833 = $ 1.111,83

8.

90 dias = 3 meses

=34000-(34000*(((1+0,05)^3)-1)/(1+0,05)^3) = $ 29.370,48

22

9.

68 dias = 0,1889 anos

=60000-(60000*(((1+0,15)^0,1889)-1)/(1+0,15)^0,1889) = $ 58.436,67

10.

=8000*(1-(1-0,03)^4) = $ 917,66

=8000-917,66 = $ 7.082,34

23

5) EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

No regime de capitalização simples, a equivalência de capitais ocorre quando dois ou

mais capitais diferidos (exigíveis em datas diferentes) descontados (comercialmente ou

racionalmente), possuem o mesmo valor atual na data “zero”.

No sistema de capitalização composta usual (juros compostos e desconto racional

composto), a equivalência de capitais pode ser feita na data zero (valor atual) ou em qualquer

outra data, uma vez que os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos.

Sendo que:

VP = Valor Presente

VF = Valor Futuro

5.1) EXERCÍCIOS

Juros Simples

1. Um produto pode ser comprado à vista com 10% de desconto ou em duas vezes

iguais, “sem juros”, sendo a primeira prestação no ato da compra e a segunda 1 mês depois.

Qual a taxa de juros mensais embutida no pagamento em duas vezes (utilize a data focal

zero)?

2. Uma dívida é composta de três pagamentos no valor de $ 2.800,00, $ 4.200,00 e $

7.000,00, vencíveis em 60, 90 e 150 dias, respectivamente. Sabe-se ainda que a taxa de juros

simples de mercado é de 4,5% ao mês. Determinar o valor da dívida se o devedor liquidar os

pagamentos: a) hoje; b) daqui a 7 meses

3. Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais. O primeiro

pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são devidos em 30 e 60 dias. Sendo de

4,4% ao mês a taxa linear de juros, pede-se calcular até que valor interessa adquirir o bem à

vista.

4. Uma dívida no valor de $ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende

resgatar a dívida pagando $ 4.800,00 hoje, $ 14.000,00 daqui a 2 meses e o restante em 1 mês

após a data do vencimento. Sendo o momento deste último pagamento definido como a data

24

focal da operação, e sabendo-se ainda que é de 34,8% ao ano a taxa linear de juros adotada,

determinar o montante deste último pagamento.

Juros Compostos

5. Uma financeira oferece a um cliente dois títulos, vencendo o primeiro em 1 ano, no

valor de $ 15.000,00, e o segundo em 1 ano e meio, no valor de $ 25.000,00. O cliente aceita,

assinando uma nota promissória com vencimento para 6 meses. Sabendo-se que a taxa de

juros considerada na operação foi de 30% a.a., qual é o valor de nota promissória em seu

vencimento?

6. Um carro está a venda por $ 20.000,00 de entrada e $ 20.000,00 após 6 meses. Um

comprador propõe pagar $ 25.000,00 como segunda parcela, o que será feito, entretanto, após

8 meses. Neste caso, quanto deverá dar de entrada, se a taxa de juros de mercado for de 2%

a.m.?

7. Um sítio é posto à venda em uma imobiliária por $ 500.000,00 à vista. Como

alternativa, a imobiliária propõe: entrada de $ 100.000,00, uma parcela de $ 200.000,00 para 1

ano e dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 1 ano e meio.

Qual é o valor destes pagamentos, se a taxa de juros adotada for de 5% a.m.?

8. Um imóvel está a venda por 4 parcelas semestrais de $ 50.000,00, vencendo a

primeira em 6 meses. Um financista propõe a compra deste imóvel, pagando-o em duas

parcelas iguais, uma no ato da compra e outra após 1 ano. Qual o valor das parcelas, se a taxa

de juros ajustada for de 20% a.s.?

25

5.2) RESOLUÇÕES

Juros Simples

1.

2. a)

=2800/(1+0,045*2)+4200/(1+0,045*3)+7000/(1+0,045*5) = $ 11.983,53

b)

=2800*(1+0,045*5)+4200*(1+0,045*4)+7000*(1+0,045*2) = $ 16.016,00

3.

Interessa adquirir o produto à vista por até 95,9% de seu valor, isto é, com um

desconto de 4,1%.

4.

34,8% a.a. = 34,8/12 = 2,9% a.m.

=48000*1,029-4800*(1+0,029*7)-14000*(1+0,029*5) = $ 27.587,60

Juros Compostos

5.

=(15000/1,3+25000/1,3^1,5)*1,3^0,5 = $ 32.386,64

26

6.

=20000+20000/1,02^6-25000/1,02^8 = $ 16.422,17

7.

(

)

=(500000-100000-200000/1,05^12)/(1,05^-6+1,05^-18) = $ 248.449,31

8.

(

)

=(50000/1,2+50000/1,2^2+50000/1,2^3+50000/1,2^4)/(1+1/1,2^2) = $ 76.388,89

27

6) SÉRIES UNIFORMES

Entende-se por série uniforme uma sequência de embolsos e/ou desembolsos de

capitais que são distribuídos periodicamente, um após o outro, em uma linha de tempo. Esses

embolsos e desembolsos são chamados de Prestações (PMT). O estudo das séries uniformes

envolve basicamente três conceitos: o Valor Presente (VP), que é a somatória das parcelas na

data zero; o Valor Futuro (VF), que é a somatória das parcelas em data futura, em data igual

ou após o vencimento da ultima prestação; e a Equivalência de Capitais, que é a somatória das

prestações em uma data qualquer.

6.1) SÉRIE UNIFORME POSTECIPADA

Quando a primeira prestação for efetivada depois de decorrido um período da

operação financeira.

Fórmulas:

[

]

[

]

6.2) SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA

Quando a primeira prestação for efetivada no ato da operação financeira.

Fórmulas:

[

]

[

]

28

6.3) SÉRIE UNIFORME DIFERIDA

Quando a primeira prestação for efetivada (n +1) períodos após a época zero. Dizemos

que n é o prazo de carência (c) da série.

Fórmulas:

[

]

(Forma Antecipada)

[

]

(Forma Postecipada)

6.4) SÉRIE COMBINADA

Para resolver uma série combinada basta dividi-la em partes, formando séries que já

conhecemos e/ou casos de equivalência de capitais. Por seguinte, podemos calcular

separadamente o valor presente ou futuro de cada ramo e com o somatório destes valores

calculados, temos o valor presente ou futuro desejado da série combinada em questão.

Ex:

VP = VP1 + VP2 + VP3

(Série Combinada dividida em 3 partes)

29

6.5) EXERCÍCIOS

1. Uma construtora adquiriu um lote de valor à vista igual a R$ 500.000,00. A compra

foi parcelada em 24x com pagamento mensal a uma taxa de juros de 2% a.m. começando

hoje. Qual o valor das prestações?

2. Qual o tempo necessário para que eu consiga R$ 100.000,00 investindo todo mês

R$ 500,00 a uma taxa de 2,5% a.b., começando daqui um mês?

3. Um supermercado parcela suas compras em 10x sem entrada com juros de 1% a.m.

Quanto pagaria a vista, sabendo que as prestações são de R$ 1.500,00?

4. Comprei um produto utilizando cartão de crédito para pagar em 4x começando só

daqui a 90 dias, no valor de R$ 320,00. A taxa de juros cobrada do cartão é de 2,3% a.m. Qual

o valor das minhas prestações?

5. Resolvi abrir hoje uma conta no banco, depositando R$ 50,00 todo mês, para daqui

a 20 anos poder retirar o dinheiro. Sabendo que a taxa de juros é igual a 0,3% a.m., quanto

terei no futuro?

6. Calcule o valor presente do seguinte empréstimo: 3 parcelas de R$ 15.000,00

começando a pagar no próximo mês, R$ 45.000,00 daqui 6 meses e 10 parcelas de R$

1.000,00 no 9º mês após o pedido de empréstimo em diante. Considere uma taxa de juros de

2,5% a.m.

7. A empresa Engenharia Capixaba vai financiar um novo terreno sendo o pagamento

feito da seguinte forma: 4 parcelas de R$ 17.000,00 começando a pagar no ato da compra,

mais R$ 50.000,00 no 7º mês e 12 parcelas R$ 2.500,00 do 10º mês em diante a uma taxa de

5% a.s. Qual seria o valor à vista da compra?

8. Uma organização possui dívidas para pagar da seguinte forma: R$ 20.000,00 para

pagar em 4 vezes começando daqui dois meses a uma taxa de 3% a.b., 5 parcelas de R$

7.500,00 a partir do 5º mês a uma taxa de 1% a.m. e um pagamento daqui a 360 dias de R$

160.000,00 a uma taxa de 5% a.s. Quanto isso representaria hoje no negócio?

30

6.6) RESOLUÇÕES

1.

[

]

=500000/(((((1+0,02)^24)-1)/(((1+0,02)^24)*0,02))*(1+0,02)) = R$ 25.917,20

2.

[

]

=LOG10(1+0,025*100000/500)/LOG10(1+0,025) = 72,56257 bimestres ou 145,12514

meses

3.

[

]

=1500*(((1+0,01)^10)-1)/(((1+0,01)^10)*0,01) = R$ 14.206,96

4.

[

]

=(320*(1+0,023)^(3-1))/((((1+0,023)^4)-1)/(((1+0,023)^4)*0,023)) = R$ 88,59

5.

[

]

=50*((((1+0,003)^240)-1)/0,003)*(1+0,003) = R$ 17.589,61

6.

VP = VP1 + VP2 + VP3

31

[

]

=15000*(((1+0,025)^3)-1)/(((1+0,025)^3)*0,025) = R$ 42.840,35

VP2

=45000/(1+0,025)^6 = R$ 38.803,36

[

]

=(1000*((((1+0,025)^10)-1)/(((1+0,025)^10)*0,025)))/(1+0,025)^(9-1) = R$ 7.183,23

VP = VP1 + VP2 + VP3

=42840,35+38803,36+7183,23 = R$ 88.826,94

7.

5% a.s. =((1+0,05)^(1/6))-1 = 0,00816 = 0,816% a.m.

VP = VP1 + VP2 + VP3

[

]

=17000*(((1+0,00816)^4)-1)/(((1+0,00816)^4)*0,00816)*(1+0,00816) =R$ 67.178,86

VP2

=50000/(1+0,00816)^7 = R$ 47.234,98

[

]

=(2500*((((1+0,00816)^12)-1)/(((1+0,00816)^12)*0,00816)))/(1+0,00816)^(10-1)

= R$ 26.459,73

32

VP = VP1 + VP2 + VP3

=67178,86+47234,98+26459,73 = R$ 140.873,57

8.

VP = VP1 + VP2 + VP3

VP1

= R$ 20.000,00

[

]

=(7500*((((1+0,01)^5)-1)/(((1+0,01)^5)*0,01)))/(1+0,01)^(5-1) = R$ 34.980,39

VP3

=160000/(1+0,05)^2 = R$ 145.124,72

VP = VP1 + VP2 + VP3

=20000+34980,39+145124,72 = R$ 200.105,11

33

7) SISTEMAS DE EMPRÉSTIMOS

Sistemas de amortização são formas de pagamentos de empréstimos onde as

prestações pagas correspondem aos juros somados a uma parcela de amortização do capital ou

principal. Os juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior à amortização.

Considere as seguintes nomenclaturas usadas para desenvolver as tabelas ou planilhas de

amortização:

 Saldo Devedor (SD): é o valor nominal do empréstimo ou financiamento, que é

diminuído da parcela de amortização a cada período n.

 Amortização (A): parcela que é reduzida do saldo devedor a cada pagamento.

 Juros Compensatórios (J): é o valor calculado a partir do saldo devedor e

posteriormente somado à parcela de amortização.

 Prestação (PMT): é o pagamento a cada período de tempo n, composto da parcela de

amortização mais juros compensatórios.

7.1) SAC

Sistema de Amortização Constante

A = SD / n

7.2) TABELA PRICE

As prestações são constantes e podem ser calculadas pela seguinte fórmula:

7.3) SISTEMA AMERICANO

Os juros são pagos periodicamente e, no último período, são pagos os juros e todo o

capital, logo, não há amortização periódica.

34

7.4) SAM

No Sistema de Amortização Misto, as prestações são calculadas através da média

aritmética entre dois modelos de amortização.

7.5) SUPER - SAM

As prestações são calculadas através da média aritmética entre três modelos de

amortização.

7.6) SAC COM CARÊNCIA

Neste caso podemos considerar com pagamento de juros ou sem pagamento de juros.

7.7) EXERCÍCIOS

1. Considerando uma taxa de juros de 10% a.m., construir as tabelas dos sistemas de

empréstimo SAC, Tabela Price e Sistema Americano para os seguintes financiamentos:

a) R$ 400.000,00 durante 8 meses;

b) R$ 300.000,00 durante 6 meses;

c) R$ 200.000,00 durante 4 meses.

2. Para cada alternativa do exercício anterior e considerando a mesma taxa de juros,

construir as tabelas dos sistemas de empréstimo:

a) SAM (utilizando as tabelas SAC e Price)

b) SUPER - SAM

3. Com um saldo devedor de R$ 500.000,00 e uma taxa de juros de 15% a.a., para ser

quitado em 5 anos, construir a tabela do SAC com carência até o terceiro ano, seguindo os

casos:

a) Com pagamento de juros;

b) Sem pagamento de juros.

35

7.8) RESOLUÇÕES

1.a)

SAC n = 8 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 400.000,00

1 R$ 90.000,00 R$ 40.000,00 R$ 50.000,00 R$ 350.000,00

2 R$ 85.000,00 R$ 35.000,00 R$ 50.000,00 R$ 300.000,00

3 R$ 80.000,00 R$ 30.000,00 R$ 50.000,00 R$ 250.000,00

4 R$ 75.000,00 R$ 25.000,00 R$ 50.000,00 R$ 200.000,00

5 R$ 70.000,00 R$ 20.000,00 R$ 50.000,00 R$ 150.000,00

6 R$ 65.000,00 R$ 15.000,00 R$ 50.000,00 R$ 100.000,00

7 R$ 60.000,00 R$ 10.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00

8 R$ 55.000,00 R$ 5.000,00 R$ 50.000,00 R$ -

Total R$ 580.000,00 R$ 180.000,00 R$ 400.000,00 -

Price n = 8 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 400.000,0000

1 R$ 74.977,6070 R$ 40.000,0000 R$ 34.977,6070 R$ 365.022,3930

2 R$ 74.977,6070 R$ 36.502,2393 R$ 38.475,3677 R$ 326.547,0252

3 R$ 74.977,6070 R$ 32.654,7025 R$ 42.322,9045 R$ 284.224,1207

4 R$ 74.977,6070 R$ 28.422,4121 R$ 46.555,1950 R$ 237.668,9258

5 R$ 74.977,6070 R$ 23.766,8926 R$ 51.210,7145 R$ 186.458,2113

6 R$ 74.977,6070 R$ 18.645,8211 R$ 56.331,7859 R$ 130.126,4254

7 R$ 74.977,6070 R$ 13.012,6425 R$ 61.964,9645 R$ 68.161,4609

8 R$ 74.977,6070 R$ 6.816,1461 R$ 68.161,4609 R$ 0,0000

Total R$ 599.820,8562 R$ 199.820,8562 R$ 400.000,0000 -

S.A n = 8 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 400.000,00

1 R$ 40.000,00 R$ 40.000,00 R$ - R$ 400.000,00

2 R$ 40.000,00 R$ 40.000,00 R$ - R$ 400.000,00

3 R$ 40.000,00 R$ 40.000,00 R$ - R$ 400.000,00

4 R$ 40.000,00 R$ 40.000,00 R$ - R$ 400.000,00

5 R$ 40.000,00 R$ 40.000,00 R$ - R$ 400.000,00

6 R$ 40.000,00 R$ 40.000,00 R$ - R$ 400.000,00

7 R$ 40.000,00 R$ 40.000,00 R$ - R$ 400.000,00

8 R$ 440.000,00 R$ 40.000,00 R$ 400.000,00 R$ -

Total R$ 720.000,00 R$ 320.000,00 R$ 400.000,00 -

36

b)

SAC n = 6 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 300.000,00

1 R$ 80.000,00 R$ 30.000,00 R$ 50.000,00 R$ 250.000,00

2 R$ 75.000,00 R$ 25.000,00 R$ 50.000,00 R$ 200.000,00

3 R$ 70.000,00 R$ 20.000,00 R$ 50.000,00 R$ 150.000,00

4 R$ 65.000,00 R$ 15.000,00 R$ 50.000,00 R$ 100.000,00

5 R$ 60.000,00 R$ 10.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00

6 R$ 55.000,00 R$ 5.000,00 R$ 50.000,00 R$ -

Total R$ 405.000,00 R$ 105.000,00 R$ 300.000,00 -

Price n = 6 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 300.000,0000

1 R$ 68.882,2141 R$ 30.000,0000 R$ 38.882,2141 R$ 261.117,7859

2 R$ 68.882,2141 R$ 26.111,7786 R$ 42.770,4355 R$ 218.347,3504

3 R$ 68.882,2141 R$ 21.834,7350 R$ 47.047,4791 R$ 171.299,8713

4 R$ 68.882,2141 R$ 17.129,9871 R$ 51.752,2270 R$ 119.547,6443

5 R$ 68.882,2141 R$ 11.954,7644 R$ 56.927,4497 R$ 62.620,1946

6 R$ 68.882,2141 R$ 6.262,0195 R$ 62.620,1946 R$ 0,0000

Total R$ 413.293,2847 R$ 113.293,2847 R$ 300.000,0000 -

S.A n = 6 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 300.000,00

1 R$ 30.000,00 R$ 30.000,00 R$ - R$ 300.000,00

2 R$ 30.000,00 R$ 30.000,00 R$ - R$ 300.000,00

3 R$ 30.000,00 R$ 30.000,00 R$ - R$ 300.000,00

4 R$ 30.000,00 R$ 30.000,00 R$ - R$ 300.000,00

5 R$ 30.000,00 R$ 30.000,00 R$ - R$ 300.000,00

6 R$ 330.000,00 R$ 30.000,00 R$ 300.000,00 R$ -

Total R$ 480.000,00 R$ 180.000,00 R$ 300.000,00 -

37

c)

SAC n = 4 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 200.000,00

1 R$ 70.000,00 R$ 20.000,00 R$ 50.000,00 R$ 150.000,00

2 R$ 65.000,00 R$ 15.000,00 R$ 50.000,00 R$ 100.000,00

3 R$ 60.000,00 R$ 10.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00

4 R$ 55.000,00 R$ 5.000,00 R$ 50.000,00 R$ -

Total R$ 250.000,00 R$ 50.000,00 R$ 200.000,00 -

Price n = 4 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 200.000,0000

1 R$ 63.094,1607 R$ 20.000,0000 R$ 43.094,1607 R$ 156.905,8393

2 R$ 63.094,1607 R$ 15.690,5839 R$ 47.403,5768 R$ 109.502,2624

3 R$ 63.094,1607 R$ 10.950,2262 R$ 52.143,9345 R$ 57.358,3279

4 R$ 63.094,1607 R$ 5.735,8328 R$ 57.358,3279 R$ 0,0000

Total R$ 252.376,6430 R$ 52.376,6430 R$ 200.000,0000 -

S.A n = 4 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 200.000,00

1 R$ 20.000,00 R$ 20.000,00 R$ - R$ 200.000,00

2 R$ 20.000,00 R$ 20.000,00 R$ - R$ 200.000,00

3 R$ 20.000,00 R$ 20.000,00 R$ - R$ 200.000,00

4 R$ 220.000,00 R$ 20.000,00 R$ 200.000,00 R$ -

Total R$ 280.000,00 R$ 80.000,00 R$ 200.000,00 -

38

2. a) (a)

SAM n = 8 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 400.000,0000

1 R$ 82.488,8035 R$ 40.000,0000 R$ 42.488,8035 R$ 357.511,1965

2 R$ 79.988,8035 R$ 35.751,1196 R$ 44.237,6839 R$ 313.273,5126

3 R$ 77.488,8035 R$ 31.327,3513 R$ 46.161,4523 R$ 267.112,0604

4 R$ 74.988,8035 R$ 26.711,2060 R$ 48.277,5975 R$ 218.834,4629

5 R$ 72.488,8035 R$ 21.883,4463 R$ 50.605,3572 R$ 168.229,1057

6 R$ 69.988,8035 R$ 16.822,9106 R$ 53.165,8929 R$ 115.063,2127

7 R$ 67.488,8035 R$ 11.506,3213 R$ 55.982,4822 R$ 59.080,7305

8 R$ 64.988,8035 R$ 5.908,0730 R$ 59.080,7305 R$ 0,0000

Total R$ 589.910,4281 R$ 189.910,4281 R$ 400.000,0000 -

S-SAM n = 8 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 400.000,0000

1 R$ 68.325,8690 R$ 40.000,0000 R$ 28.325,8690 R$ 371.674,1310

2 R$ 66.659,2023 R$ 37.167,4131 R$ 29.491,7892 R$ 342.182,3417

3 R$ 64.992,5357 R$ 34.218,2342 R$ 30.774,3015 R$ 311.408,0402

4 R$ 63.325,8690 R$ 31.140,8040 R$ 32.185,0650 R$ 279.222,9753

5 R$ 61.659,2023 R$ 27.922,2975 R$ 33.736,9048 R$ 245.486,0704

6 R$ 59.992,5357 R$ 24.548,6070 R$ 35.443,9286 R$ 210.042,1418

7 R$ 58.325,8690 R$ 21.004,2142 R$ 37.321,6548 R$ 172.720,4870

8 R$ 189.992,5357 R$ 17.272,0487 R$ 172.720,4870 R$ 0,0000

Total R$ 633.273,6187 R$ 233.273,6187 R$ 400.000,0000 -

(b)

SAM n = 6 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 300.000,0000

1 R$ 74.441,1071 R$ 30.000,0000 R$ 44.441,1071 R$ 255.558,8929

2 R$ 71.941,1071 R$ 25.555,8893 R$ 46.385,2178 R$ 209.173,6752

3 R$ 69.441,1071 R$ 20.917,3675 R$ 48.523,7395 R$ 160.649,9356

4 R$ 66.941,1071 R$ 16.064,9936 R$ 50.876,1135 R$ 109.773,8222

5 R$ 64.441,1071 R$ 10.977,3822 R$ 53.463,7248 R$ 56.310,0973

6 R$ 61.941,1071 R$ 5.631,0097 R$ 56.310,0973 R$ 0,0000

Total R$ 409.146,6423 R$ 109.146,6423 R$ 300.000,0000 -

39

S-SAM n = 6 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 300.000,0000

1 R$ 59.627,4047 R$ 30.000,0000 R$ 29.627,4047 R$ 270.372,5953

2 R$ 57.960,7380 R$ 27.037,2595 R$ 30.923,4785 R$ 239.449,1168

3 R$ 56.294,0714 R$ 23.944,9117 R$ 32.349,1597 R$ 207.099,9571

4 R$ 54.627,4047 R$ 20.709,9957 R$ 33.917,4090 R$ 173.182,5481

5 R$ 52.960,7380 R$ 17.318,2548 R$ 35.642,4832 R$ 137.540,0649

6 R$ 151.294,0714 R$ 13.754,0065 R$ 137.540,0649 R$ -

Total R$ 432.764,4282 R$ 132.764,4282 R$ 300.000,0000 -

(c)

SAM n = 4 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 200.000,0000

1 R$ 66.547,0804 R$ 20.000,0000 R$ 46.547,0804 R$ 153.452,9196

2 R$ 64.047,0804 R$ 15.345,2920 R$ 48.701,7884 R$ 104.751,1312

3 R$ 61.547,0804 R$ 10.475,1131 R$ 51.071,9672 R$ 53.679,1640

4 R$ 59.047,0804 R$ 5.367,9164 R$ 53.679,1640 R$ 0,0000

Total R$ 251.188,3215 R$ 51.188,3215 R$ 200.000,0000 -

S-SAM n = 4 j = 10,0% n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 200.000,0000

1 R$ 51.031,3869 R$ 20.000,0000 R$ 31.031,3869 R$ 168.968,6131

2 R$ 49.364,7202 R$ 16.896,8613 R$ 32.467,8589 R$ 136.500,7541

3 R$ 47.698,0536 R$ 13.650,0754 R$ 34.047,9782 R$ 102.452,7760

4 R$ 112.698,0536 R$ 10.245,2776 R$ 102.452,7760 R$ -

Total R$ 260.792,2143 R$ 60.792,2143 R$ 200.000,0000 -

40

3. a)

SAC Car. c/J p = 3 j = 15,0%

n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 500.000,0000

1 R$ 75.000,0000 R$ 75.000,0000 R$ - R$ 500.000,0000

2 R$ 75.000,0000 R$ 75.000,0000 R$ - R$ 500.000,0000

3 R$ 241.666,6667 R$ 75.000,0000 R$ 166.666,6667 R$ 333.333,3333

4 R$ 216.666,6667 R$ 50.000,0000 R$ 166.666,6667 R$ 166.666,6667

5 R$ 191.666,6667 R$ 25.000,0000 R$ 166.666,6667 R$ -

Total R$ 800.000,0000 R$ 300.000,0000 R$ 500.000,0000 -

b)

SAC Car. s/J p = 3 j = 15,0%

n Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - R$ 500.000,0000

1 R$ - R$ - R$ - R$ 575.000,0000

2 R$ - R$ - R$ - R$ 661.250,0000

3 R$ 319.604,1667 R$ 99.187,5000 R$ 220.416,6667 R$ 440.833,3333

4 R$ 286.541,6667 R$ 66.125,0000 R$ 220.416,6667 R$ 220.416,6667

5 R$ 253.479,1667 R$ 33.062,5000 R$ 220.416,6667 R$ -

Total R$ 859.625,0000 R$ 198.375,0000 R$ 661.250,0000 -

41

8) FLUXO DE CAIXA E TÉCNICAS DE ANÁLISE

8.1) FLUXO DE CAIXA

O fluxo de caixa é o instrumento que permite demonstrar as operações financeiras que

são realizadas pela empresa, o que possibilita melhores análises e decisões quanto à aplicação

dos recursos financeiros que a empresa dispõe. De forma simples, é o conjunto de contas a

pagar (despesas) e das contas a receber (vendas) em um determinado período de tempo.

O fluxo de caixa pode ser projetado diariamente, semanalmente, por mês ou qualquer

outro período, a fim de que o gerente possa prever se a empresa terá dinheiro para pagar as

contas no período previsto. O mau planejamento do fluxo de caixa pode causar sérios

problemas para a organização, ou seja, as empresas podem fazer despesas para um

determinado período e suas receitas não serão suficientes para pagá-las.

Sabe-se que:

 Fluxo de Caixa (FC): somatório de entradas (+) e saídas (-);

 Investimento Inicial (I.I.): somatório de custos iniciais da atividade;

 Fluxo de Caixa Descontado (FCD):

;

 Valor Presente Líquido (VPL): .

8.2) TÉCNICAS DE ANÁLISE DO FLUXO DE CAIXA

8.2.1) Valor Presente Líquido

O valor presente líquido (VPL) é uma função utilizada na análise da viabilidade de um

projeto de investimento. Ele é definido como o somatório dos valores presentes dos fluxos

estimados de uma aplicação, calculados a partir de uma taxa dada e de seu período de

duração. Os fluxos estimados podem ser positivos ou negativos, de acordo com as entradas ou

saídas de caixa. A taxa fornecida à função representa o rendimento esperado do projeto. Caso

o VPL encontrado no cálculo seja negativo, o retorno do projeto será menor que o

investimento inicial, o que sugere que ele seja reprovado. Caso ele seja positivo, o valor

obtido no projeto pagará o investimento inicial, o que o torna viável.

42

8.2.2) Valor Futuro Líquido

O método do valor futuro líquido (VFL) é equivalente ao VPL. O valor do VFL é o

resultado de se somar todos os capitais na data terminal. Primeiro se obtém os valores

equivalentes na data terminal de todos os capitais do fluxo de caixa, aplicando a taxa de juros

e depois obtemos o VFL somando todos estes valores na data terminal. Se VFL>0, o projeto

deve ser aceito. Podemos observar que o VFL é o lucro extra gerado pelo projeto na data

terminal, após o devolver o capital investido remunerado na taxa de juros J.

8.2.3) Valor Uniforme Líquido

Os métodos do VPL e VFL convertem todo o fluxo de caixa num único capital nas

datas 0 e n respectivamente. O método do valor uniforme líquido (VUL) converte todo fluxo

de caixa do projeto numa série de capitais iguais e postecipados entre as datas 1 e n do fluxo

de caixa.

8.2.4) Taxa Interna de Retorno

A taxa interna de retorno (TIR) de um investimento é a taxa de juros para a qual o

valor presente dos recebimentos resultantes do projeto é exatamente igual ao valor presente

dos desembolsos, ou seja, é a obtenção de uma taxa de juros que zere o valor presente do

fluxo de caixa. Assim o critério para a decisão de investimento com base na TIR é aceitar um

projeto de investimento se o custo de oportunidade do capital for menor do que a taxa interna

de retorno.

8.2.5) Taxa Externa de Retorno

O método da taxa externa de retorno (TER) compara todas as receitas na data terminal

n com todos os custos equivalente na data 0 do projeto, desconsiderando o sinal negativo.

Para se obter os valores equivalentes das receitas e dos custos define-se uma ou duas taxas de

juros para que possamos calcular os valores equivalentes das receitas e dos custos. Assim

sendo podemos utilizar uma ou duas taxas para calcular os valores equivalentes.

8.2.6) Índice de Lucratividade

O índice de lucratividade (IL) mede a relação entre o valor presente dos retornos e o

valor do investimento.

43

8.2.7) Tempo de Retorno - Payback Simples

O payback simples (PBS) é um método de fácil avaliação e direto, que mede o prazo

necessário para recuperar o investimento realizado. Este método não leva em consideração o

custo de capital da empresa.

8.2.8) Tempo de Retorno - Payback Descontado

O método do payback descontado (PBD)considera o valor do dinheiro no tempo,

contornando a deficiência do método anterior. O valor do PBD pode ser interpretado como

o prazo de recuperação do investimento remunerado, no valor da taxa de juros que representa

o custo do capital. O PBD define um ponto de equilíbrio financeiro.

8.3) EXERCÍCIOS

1. Para abrir uma fábrica genérica é necessário:

 Local para instalação da planta (R$ 150.000,00);

 Equipamentos para higienização (R$ 5.000,00);

 Equipamentos para embalagem (R$ 3.000,00);

 Treinamento de funcionários (R$ 1.000,00);

 Escritório (R$ 20.000,00);

 Caminhão para entregas (R$ 100.000,00);

 Capital de giro (R$ 5.000,00).

Qual será o investimento inicial para iniciar tal empreendimento?

2. A operacionalização da fábrica acontece gerando os seguintes gastos e retornos por

mês:

 Embalagens: 10.500 (500 como perda pela margem de erro do processo);

 Matéria-prima: 30 toneladas de um produto genérico;

 Mão-de-obra: 6 funcionários e 1 gerente;

 Combustível: 75 litros;

44

 Água e energia elétrica;

 Material para escritório;

 Manutenção de equipamentos;

 Depreciação dos equipamentos: 0,9% ao mês sobre o preço de compra;

 Imposto de renda: 20% ao mês;

 Vendas: 10.000 embalagens de 3 kg do produto.

Tendo em vista que cada embalagem custa R$ 0,10; o salário de cada funcionário é R$

625,00 e o do gerente é R$ 1.250,00; o preço da matéria-prima é de R$ 1,50/kg; o preço do

combustível é de R$ 1,90/litro; os gastos com água, energia e manutenção de equipamentos

totalizam R$ 500,00/mês; o gasto com material para escritório significa R$ 50,00/mês e cada

embalagem de 3 kg do produto finalizado é vendida por R$ 10,00. Com estes dados, construa

o fluxo de caixa operacional mensal para a fábrica.

3. O proprietário da fábrica decidiu vender uma parte do terreno que não foi utilizada

na montagem da planta por R$ 15.000,00. Neste caso, construa o fluxo de caixa residual.

4. Construa o fluxo de caixa do último ano do empreendimento, considerando um

período de 5 anos de operacionalização e que no final do quinto ano, a fábrica será vendida

por R$ 400.000,00.

5. Considere o fluxo de caixa da seguinte questão para um projeto alternativo (em R$):

I.I. Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Residual

350.000,00

550.000,00

300.000,00 50.000,00 -100.000,00 -300.000,00 100.000,00

Se o empreendedor tivesse que escolher entre esse projeto alternativo e o da fábrica

genérica, e considerando a taxa de juros vigente no valor de 30% a.a., qual seria o escolhido?

Fazer a análise pelos métodos: Payback Descontado, VPL e TIR.

6. Um equipamento moderno para embalagem custa R$ 4.100,00 e trocando-o pelo

antigo, que custou R$ 3.000,00, a receita com o processo passaria de R$ 1.000,00 para R$

1.200,00. O custo de manutenção do equipamento antigo é de R$ 50,00 e a manutenção do

45

novo passará a ser R$ 80,00 por mês, sendo a taxa de depreciação a mesma para ambos (0,9%

ao mês). Decida se vale a pena comprar o equipamento novo.

7. Faça a análise de viabilidade utilizando um terceiro projeto com o seguinte fluxo de

caixa, comparando-o com o da fábrica genérica. Considere os métodos do Payback

Descontado, VPL e TIR, e a mesma taxa de juros vigente (30% a.a.). Qual é a melhor opção

de investimento?

I.I. Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5

R$ 100.000,00 R$ 290.000,00 R$ 330.000,00 R$ 440.000,00 R$ 550.000,00 R$ 660.000,00

46

8.4) RESOLUÇÕES

1. Investimento Inicial:

(-) R$ 150.000,00

(-) R$ 5.000,00

(-) R$ 3.000,00

(-) R$ 1.000,00

(-) R$ 20.000,00

(-) R$ 100.000,00

(-) R$ 5.000,00 ............................. (-) Total = R$ 284.000,00

2. Fluxo de Caixa Operacional:

(+) Receitas 10.000 x 10 = R$ 100.000,00

(-) Custos fixos 500 + 50 + 1.250 + 6 x 625 + 75 x 1,9 = R$ 5.692,50

(-) Custos variáveis 10.500 x 0,1 + 30.000 x 1,5 = R$ 46.050,00

(-) Depreciação 0,9% x 8.000 = R$ 72,00

(+) Lucro* R$ 48.185,50

(-) IR 20% x 48.185,50 = R$ 9.637,10

(+) Depreciação

R$ 72,00

(+) Lucro líquido 48.185,50 - 9.637,10 + 72,00 = R$ 38.620,40

(+) FCO R$ 38.620,40

* Valor utilizado para declaração do imposto de renda.

3. Fluxo de Caixa Residual:

(+) Venda

R$ 15.000,00

(-) IR 20% x 15.000 = R$ 3.000,00

(+) Capital de giro

R$ 5.000,00

(+) FCR R$ 17.000,00

47

4. Fluxo de Caixa Anual:

(-) I.I. R$ 284.000,00

(+) Receitas 100.000 x 12 = R$ 1.200.000,00

(-) Custos fixos 5.692,50 x 12 = R$ 68.310,00

(-) Custos variáveis 46.050 x 12 = R$ 552.600,00

(-) Depreciação 0,9% x 8.000 x 12 = R$ 864,00

(+) Lucro

R$ 578.226,00

(-) IR 20% x 578.226 = R$ 115.645,20

(+) Depreciação

R$ 864,00

(+) Lucro líquido 578.226,00 - 115.645,20 + 864,00 = R$ 463.444,80

(+) FCO R$ 463.444,80

(+) Venda

R$ 400.000,00

(-) IR 20% x 400.000 = R$ 80.000,00

(+) Capital de giro

R$ 5.000,00

(+) FCR R$ 325.000,00

5.

Fábrica Genérica

n FC FC descontado FC acumulado

0 (I.I.) -R$ 284.000,00 -R$ 284.000,00 -R$ 284.000,00

1 R$ 463.444,80 R$ 356.496,00 R$ 72.496,00

2 R$ 463.444,80 R$ 274.227,69 R$ 346.723,69

3 R$ 463.444,80 R$ 210.944,38 R$ 557.668,07

4 R$ 463.444,80 R$ 162.264,91 R$ 719.932,98

5 (venda) R$ 788.444,80 R$ 212.351,11 R$ 932.284,09

Projeto Alternativo

n FC FC descontado FC acumulado

0 (I.I.) -R$ 350.000,00 -R$ 350.000,00 -R$ 350.000,00

1 R$ 550.000,00 R$ 423.076,92 R$ 73.076,92

2 R$ 300.000,00 R$ 177.514,79 R$ 250.591,72

3 R$ 50.000,00 R$ 22.758,31 R$ 273.350,02

4 -R$ 100.000,00 -R$ 35.012,78 R$ 238.337,24

5 -R$ 200.000,00 -R$ 53.865,81 R$ 184.471,43

Payback Descontado: o sinal muda no FC acumulado quando n está entre 0 e 1.

Interpolar os valores obtidos para achar o período específico.

48

1º caso: 0,797 = 9 meses e 17 dias

2º caso: 0,827 = 9 meses e 28 dias

Conclusão: O 1º caso tem retorno com 11 dias a menos do que o 2º caso. É preferível

aceita-lo, mas recomenda-se fazer outras avaliações.

VPL: esse valor é o somatório dos fluxos de caixa descontados subtraído do

investimento inicial. Na tabela, esse valor pode ser observado no último índice de fluxo de

caixa acumulado.

1º caso: R$ 932.284,09

2º caso: R$ 184.471,43

Conclusão: O 1º caso possui valor muito superior, sendo assim, o escolhido.

TIR: por tentativas, encontrar duas taxas que, quando usadas para calcular os fluxos de

caixa descontados, obtenham um valor positivo e um negativo, mais próximos possíveis de

zero para o VPL. Interpolar os valores para obter a TIR.

1º caso:

Fábrica Genérica taxa = 163,00%

n FC FC descontado FC acumulado

0 -R$ 284.000,00 -R$ 284.000,00 -R$ 284.000,00

1 R$ 463.444,80 R$ 176.214,75 -R$ 107.785,25

2 R$ 463.444,80 R$ 67.001,81 -R$ 40.783,44

3 R$ 463.444,80 R$ 25.475,97 -R$ 15.307,47

4 R$ 463.444,80 R$ 9.686,68 -R$ 5.620,79

5 R$ 788.444,80 R$ 6.266,03 R$ 645,24

Fábrica Genérica taxa = 164,00%

n FC FC descontado FC acumulado

0 -R$ 284.000,00 -R$ 284.000,00 -R$ 284.000,00

1 R$ 463.444,80 R$ 175.547,27 -R$ 108.452,73

2 R$ 463.444,80 R$ 66.495,18 -R$ 41.957,55

3 R$ 463.444,80 R$ 25.187,57 -R$ 16.769,98

4 R$ 463.444,80 R$ 9.540,75 -R$ 7.229,23

5 R$ 788.444,80 R$ 6.148,25 -R$ 1.080,98

49

VPL para i = 163% a.a. = R$ 645,24

VPL para i = 164% a.a. = -R$ 1.080,98

Fazendo a interpolação, a TIR no 1º caso será: 163,374% a.a.

2º caso:

Projeto Alternativo taxa = 96,00%

n FC FC descontado FC acumulado

0 -R$ 350.000,00 -R$ 350.000,00 -R$ 350.000,00

1 R$ 550.000,00 R$ 280.612,24 -R$ 69.387,76

2 R$ 300.000,00 R$ 78.092,46 R$ 8.704,71

3 R$ 50.000,00 R$ 6.640,52 R$ 15.345,22

4 -R$ 100.000,00 -R$ 6.776,04 R$ 8.569,19

5 -R$ 200.000,00 -R$ 6.914,32 R$ 1.654,86

Projeto Alternativo taxa = 97,00%

n FC FC descontado FC acumulado

0 -R$ 350.000,00 -R$ 350.000,00 -R$ 350.000,00

1 R$ 550.000,00 R$ 279.187,82 -R$ 70.812,18

2 R$ 300.000,00 R$ 77.301,66 R$ 6.489,47

3 R$ 50.000,00 R$ 6.539,90 R$ 13.029,38

4 -R$ 100.000,00 -R$ 6.639,50 R$ 6.389,88

5 -R$ 200.000,00 -R$ 6.740,60 -R$ 350,72

VPL para i = 96% a.a. = R$ 1.654,86

VPL para i = 97% a.a. = -R$ 350,72

Fazendo a interpolação, a TIR no 2º caso será: 96,825% a.a.

Conclusão: O projeto que apresentar maior TIR deverá ser selecionado, ou seja, o 1º

caso é o escolhido.

50

6.

Fluxo de caixa anual do equipamento antigo:

(+) Receitas 1.000 x 12 = R$ 12.000,00

(-) Custos 3.000 + 50 x 12 = R$ 3.600,00

(-) Depreciação 0,9% x 3.000 x 12 = R$ 324,00

(+) Lucro R$ 8.076,00

(-) IR 20% x 8.076,00 = R$ 1.615,20

(+) Depreciação

R$ 324,00

(+) FCO R$ 6.784,80

Fluxo de caixa anual do equipamento moderno:

(+) Receitas 1.200 x 12 = R$ 14.400,00

(-) Custos 4.100 + 80 x 12 = R$ 5.060,00

(-) Depreciação 0,9% x 4.100 x 12 = R$ 442,80

(+) Lucro R$ 8.897,20

(-) IR 20% x 8.897,20 = R$ 1.779,44

(+) Depreciação

R$ 442,80

(+) FCO R$ 7.560,56

Conclusão: Substituindo o equipamento gerará um fluxo de caixa maior, sendo viável

então, a compra do equipamento moderno.

7.

Dados da fábrica genérica obtidos anteriormente:

 Payback Descontado: 9 meses e 17 dias

 VPL: R$ 932.284,09

 TIR: 163,374% a.a.

51

Dados a serem obtidos do terceiro projeto:

Terceiro Projeto taxa = 30,00%

n FC FC descontado FC acumulado

0 -R$ 100.000,00 -R$ 100.000,00 -R$ 100.000,00

1 R$ 290.000,00 R$ 223.076,92 R$ 123.076,92

2 R$ 330.000,00 R$ 195.266,27 R$ 318.343,20

3 R$ 440.000,00 R$ 200.273,10 R$ 518.616,29

4 R$ 550.000,00 R$ 192.570,29 R$ 711.186,58

5 R$ 660.000,00 R$ 177.757,19 R$ 888.943,77

Payback Descontado: o sinal muda no FC acumulado quando n está entre 0 e 1.

Interpolar os valores obtidos para achar o período específico, resultando em 0,448, que

significa 5 meses e 12 dias.

Conclusão: O terceiro projeto possui o retorno mais rápido e é o escolhido segundo a

avaliação do payback.

VPL: segundo a tabela acima, observando o último índice do fluxo de caixa

acumulado, o valor do VPL para o terceiro projeto é de R$ 888.943,77.

Conclusão: A fábrica genérica tem seu projeto escolhido, pois seu VPL é maior (R$

932.284,09).

TIR: por tentativas, encontramos a TIR entre 307% e 308% a.a. Os fluxos de caixa são

os seguintes:

Terceiro Projeto taxa = 307,00%

n FC FC descontado FC acumulado

0 -R$ 100.000,00 -R$ 100.000,00 -R$ 100.000,00

1 R$ 290.000,00 R$ 71.253,07 -R$ 28.746,93

2 R$ 330.000,00 R$ 19.921,64 -R$ 8.825,29

3 R$ 440.000,00 R$ 6.526,34 -R$ 2.298,95

4 R$ 550.000,00 R$ 2.004,40 -R$ 294,55

5 R$ 660.000,00 R$ 590,98 R$ 296,43

52

Terceiro Projeto taxa = 308,00%

n FC FC descontado FC acumulado

0 -R$ 100.000,00 -R$ 100.000,00 -R$ 100.000,00

1 R$ 290.000,00 R$ 71.078,43 -R$ 28.921,57

2 R$ 330.000,00 R$ 19.824,11 -R$ 9.097,46

3 R$ 440.000,00 R$ 6.478,47 -R$ 2.619,00

4 R$ 550.000,00 R$ 1.984,82 -R$ 634,17

5 R$ 660.000,00 R$ 583,77 -R$ 50,40

VPL para i = 307% a.a. = R$ 296,43

VPL para i = 308% a.a. = -R$ 50,40

Fazendo a interpolação, a TIR do terceiro projeto será: 307,855% a.a.

Conclusão: O projeto que apresentar maior TIR deverá ser selecionado, ou seja, o

terceiro projeto é o escolhido.

Análise: Comparando os indicadores da fábrica genérica com o terceiro projeto,

observamos que tanto o Payback quanto a TIR do terceiro projeto são mais atrativos,

mostrando, assim, que este parece ser a melhor opção de empreendimento. Entretanto, se o

indicador de interesse é o VPL, a fábrica genérica apresenta um desempenho melhor.

53

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BERCELI, Claudemir Sidnei. A História da Matemática Financeira. O Portal da

Administração, 2009. Disponível em < http://www.administradores.com.br/informe-

se/artigos/a-historia-da-matematica-financeira/30965/> (Acesso em: 20/06/2012).

FACHIN, Odília. Fundamentos de Metodologia. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006.

GONÇALVES, Jean Piton. A História da Matemática Comercial e Financeira. São

Paulo: Só Matemática, 2005.

HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 6ª ed. Saraiva,

2007.

MATHIAS, W.F.; GOMES, J.M. Matemática Financeira. 3ª ed. Atlas, 2002.

NEWNAN, Donald G.; LAVELLE, Jerome P. Fundamentos da Engenharia

Econômica. 1ª ed. LTC (Grupo GEN), 2000.

SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira. 4ª ed. São Paulo: Prentice Hall,

2002.

TORRES, Oswaldo F.F. Fundamentos da Engenharia Econômica e da Análise

Econômica dos Projetos. 1ª ed. Thomson, 2006.

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