Movimento Harmônico Forçado , Notas de estudo de Engenharia Informática
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Movimento Harmônico Forçado
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OSCILAÇÕES FORÇADAS

OSCILAÇÕES FORÇADAS QUANDO UM SISTEMA É SUBMETIDO A UMA SÉRIE DE IMPULSOS PERIÓDICOS, ISTO É, QUANDO SOBRE O SISTEMA ATUA UMA FORÇA DIRETRIZ, DE VARIAÇÃO SENOIDAL COM TEMPO, DIZEMOS QUE O MOVIMENTO É HARMÔNICO FORÇADO. A FORÇA DIRETRIZ É DA FORMA:

tsinFF dmáx 

A FORÇA RESULTANTE SOBRE O CORPO QUE VIBRA SERÁ A SOMA DAS FORÇAS DIRETRIZ PERIÓDICA, RESTAURADORA ELÁSTICA E DE ATRITO. LOGO PELA 2ª LEI DE NEWTON, TEM-SE:

mabvkxtsinF dmáx  OU,

tsinFkx dt dxb

dt xdm dmáx 2

2

(eq. 1)

(eq. 2)

(eq. 3)

ONDE Fmáx É O MÓDULO MÁXIMO DA FORÇA E d É A FREQÜÊNCIA ANGULAR DA FORÇA DIRETRIZ

A EXPRESSÃO QUE MOSTRA COMO A AMPLITUDE A DA OSCILAÇÃO DEPENDE DA FREQÜÊNCIA ANGULAR DE UMA FORÇA DIRETRIZ SENOIDAL, QUE POSSUI UM VALOR MÁXIMO Fmáx, É DA FORMA:

2222 )( dd

máx

bmk

FA  

 (eq. 4)

A VARIAÇÃO DA AMPLITUDE COM A FREQÜÊNCIA DA FORÇA DIRETRIZ:

• QUANDO dDIMINUIR MUITO (i.é., QUANDO A FORÇA DIRETRIZ OSCILAR LIGEIRAMENTE), TEM-SE:

k FA máx

d  0

NESTE CASO, O CORPO É SIMPLESMENTE IMPELIDO PARA FRENTE E PARA TRÁS, ATÉ A DISTÂNCIA MÁXIMA, A QUAL A Fmáx PODE DISTENDER A MOLA DE CONSTANTE k.

• QUANDO A FREQÜÊNCIA d CRESCER MUITO, O TERMO dm TAMBÉM AUMENTARÁ, TEM-SE:

m FA d

máx d 2



QUANDO VARIAMOS A FREQÜÊNCIA ANGULAR d DA FORÇA DIRETRIZ, A AMPLITUDE DA OSCILAÇÃO FORÇADA RESULTANTE VARIA CONFORME MOSTRA A FIGURA ABAIXO.

RESSONÂNCIA

CONSIDEREMOS, AGORA, O CASO PARTICULAR EM QUE NÃO HÁ AMORTE_ CIMENTO, ISTO É, b = 0. SE A FREQÜÊNCIA DIRETRIZ EQUIVALER À NATURAL o DO SISTEMA, ISTO É, QUANDO

O DENOMINADOR DA (eq. 4) SE ANULARÁ E A AMPLITUDE A TORNA-SE INFINITA. EM SISTEMA REAL, A AMPLITUDE NÃO ATINGIRÁ O INFINITO, POIS EXISTE SEMPRE ALGUM AMORTECIMENTO.

od mk   /

NA FREQÜÊNCIA RESSONANTE, A AMPLITUDE SERÁ LIMITADA APENAS PELO GRAU NO QUAL A FORÇA DISSIPATIVA POSSA ESTAR APTA PARA SE DESFAZER DA ENERGIA OU PELA PRÓPRIA DESTRUIÇÃO DO SISTEMA.

EXEMPLO 1:

UM CORPO DE 2 kg OSCILA PRESO A CERTA MOLA COM CONSTANTE DE FORÇA k = 400 N/m. A CONSTANTE DE AMORTECIMENTO TEM O VALOR b = 2,00 kg/s. O SISTEMA É EXCITADO POR UMA FORÇA SENOIDAL CUJO VALOR MÁXIMO É DE 10 N E A FREQÜÊNCIA ANGULAR d = 10 rad/s. PEDEM-SE: (a) QUAL A AMPLITUDE DA OSCILAÇÃO? (b) SE A FREQÜÊNCIA DE EXCITAÇÃO VARIAR, EM QUE FREQÜÊNCIA OCORRERÁ A RESSONÂNCIA? (c) QUAL A AMPLITUDE DAS OSCILAÇÕES NA RESSONÂNCIA?

EXEMPLO 2:

SUPONHA QUE UM OSCILADOR FORÇADO SEJA DESCRITO POR m = 0,050 kg, Fmáx = 1,0 N, o= 25 rad/s e  = 1,8 s-1. CALCULE A AMPLITUDE DO OSCILADOR: (a) EM RESSONÂNCIA. (b) QUANDO IMPULSIONADO EM d = 50 rad/s.

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