Noções Sobre Erros - Apostilas - Matematica, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20006 de março de 2013

Noções Sobre Erros - Apostilas - Matematica, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

PDF (619 KB)
23 páginas
937Número de visitas
Descrição
Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo das noções sobre erros, representação de números, números Inteiros, números fracionários.
20 pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 23

Esta é apenas uma pré-visualização

3 shown on 23 pages

baixar o documento

Esta é apenas uma pré-visualização

3 shown on 23 pages

baixar o documento

Esta é apenas uma pré-visualização

3 shown on 23 pages

baixar o documento

Esta é apenas uma pré-visualização

3 shown on 23 pages

baixar o documento

Capítulo 1 – Noções Sobre Erros

1.1 – Introdução

O Cálculo Numérico tem por objetivo estudar esquemas numéricos (algoritmos numéricos) para resolução de problemas das mais diversas áreas que podem ser representados por um modelo matemático. Ele corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam solução exata e, portanto, precisam ser resolvidos numericamente.

A necessidade de produzir resultados numéricos se deve a vários motivos, por exemplo, um problema de matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar extremamente complicado e complexo com o aumento do tamanho do problema, ou quando existem problemas para os quais não existem métodos matemáticos, entre outros.

Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas. Nos problemas reais, os dados são medidas que não são exatas. Sabe-se que uma medida física não é um número, mas sim um intervalo, pela própria imprecisão da medida, por isso trata-se sempre com erros, inerentes à própria medição. Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato, dessa forma é inerente a eles trabalhar com aproximações, erros e desvios.

Vejamos as várias fases da resolução de problemas, através do fluxograma:

Mesmo que todas as fases do fluxograma acima tenham sido realizadas corretamente, ainda podem-se obter resultados finais totalmente diferentes do que se esperava. Estes resultados dependem também:

docsity.com

• da precisão dos dados de entrada;

• da forma com que os dados são representados na maquina;

• das operações numéricas realizadas.

1.2 – Representação de Números

Para mostrar como a representação dos números na máquina utilizada pode gerar erros, vejamos alguns exemplos.

Exemplo (1) Calcule a área de uma lagoa circular de raio 1.000 m.

Os resultados obtidos foram:

I –

II –

III –

Como explicar a diferença entre estes resultados? É possível obter o valor exato desta área?

docsity.com

Exemplo (2) Efetuar os seguintes somatórios em duas máquinas diferentes, uma calculadora e um computador: para e para .

Os resultados obtidos foram:

(i) Para , temos:

Calculadora:

Computador:

(ii) Para , temos:

Calculadora:

Computador:

Como explicar a diferença entre estes resultados para ?

1.2.1 - Conversão dos Números nos Sistemas Decimal e Binário

Números Inteiros

Considere os números e . Cada um destes números está representado em uma base diferente, um na base 10 e o outro na base 2, respectivamente.

Estes números podem ser decompostos, de acordo com suas bases, da seguinte forma:

docsity.com

e

De modo geral, pode-se escrever um número na base , com , na forma:

Desta forma, ficará mais simples analisar uma forma de converter um número do sistema binário para o sistema decimal. Vejamos como converter o número :

Exemplo (3) Converter os números abaixo do sistema binário para o sistema decimal.

(a)

(b)

Solução:

Vamos agora criar um algoritmo para esta conversão. Considere, por exemplo, o número , isto é, . Agora vamos colocar o número 2 em evidência:

docsity.com

Do mesmo modo como fizemos no exemplo acima, pode-se criar um algoritmo de forma genérica para esta conversão. De modo geral, a representação de um número na base 10, que denotaremos por é obtida da seguinte forma:

Assim, pelo algoritmo, a forma de conversão do número para a base 10 será:

Agora, veremos um processo prático para converter números inteiros no sistema decimal para o sistema binário. Para isso, iremos dividir o número dado na base 10 sucessivamente por 2 até chegarmos em um quociente 0, e depois disso, para escrever o número na base 2, utilizaremos o resto destas divisões da última divisão para a primeira, ou seja, os restos serão tomados de traz para frente.

Exemplo (4) Converter o número da base 10 para a base 2, utilizando o processo prático.

Solução:

docsity.com

Exemplo (5) Converter os números abaixo da base 10 para a base 2, utilizando o processo prático.

(a)

(b)

Solução:

Agora, vamos criar um algoritmo. Considerando o processo prático descrito anteriormente e que . Desta forma, vamos admitir que:

Assim, temos que o resto desta divisão (237 por 2) é 1, e este valor será tomado como , ou seja, . Agora, iremos repetir este processo para o quociente 118, e este valor será o , ou seja, . Daí,

docsity.com

Desta forma, vemos que o resto da divisão é zero, assim temos que . Continuando o processo temos:

Portanto,

De modo geral, ao considerarmos um número N qualquer na base 10, , e sua representação binária dada por , podemos utilizar o seguinte algoritmo, onde a cada k, se obtém o dígito binário . Vejamos:

Passo 0: Para , temos .

Passo 1: Obtenha e tais que .

Faça

Passo 2: Se , pare.

Caso contrário, faça .

Faça e volte para o Passo 1.

Números Fracionários

Números fracionários são números da forma:

docsity.com

, ou

Como se pode notar acima estes números podem ser finitos ( ) ou infinitos ( e ). Primeiramente trataremos da conversão de números fracionários da base decimal para a base binária.

Considere . Sua representação na base binária será dada por . Vamos tomar este número como exemplo para descobrir uma forma de conversão para o sistema binário.

Assim,

Multiplicando toda a igualdade por 2, temos:

Daí, temos que , uma vez que a parte inteira do número é zero. Agora, vamos aplicar este mesmo processo até que a parte fracionária seja igual a zero. Quando isso ocorrer, a conversão se encerra. Vejamos:

docsity.com

Portanto, . Agora, nem sempre este processo é finito. Veja o exemplo a seguir:

Exemplo (6) Converter o número da base 10 para a base 2, utilizando o processo anterior.

Solução:

Assim,

Analisando o exemplo acima, podemos notar que a representação não finita de certos números pode causar erros aparentemente inexplicáveis nas máquinas, como foi o caso do exemplo (2). Este tipo de erro ocorre, pois as máquinas não têm a capacidade de guardar infinitos dígitos na mantissa.

docsity.com

Agora vamos fazer a conversão do sistema binário para o decimal. Para isso, considere . Sua representação no sistema decimal será obtida de forma muito semelhante ao que foi feito no processo de conversão para números inteiros. De modo geral, seguiremos o seguinte algoritmo: defina e multiplique o número por 10, mas na base binária, é dado por , para assim obtermos o dígito , que é a parte inteira deste produto, mas convertido para a base decimal. Vejamos este processo através de um exemplo.

Exemplo (7) Converter o número da base binária para a base decimal.

Solução:

Exemplo (8) Converter da base 2 para a base 10.

Solução:

docsity.com

1.2.2 – Aritmética de Ponto Flutuante

Uma máquina representa um número real em um sistema chamado aritmética de ponto flutuante, isto é,

Onde,

base em que a máquina opera;

número de dígitos da mantissa;

com e ;

expoente no intervalo , com e .

Em qualquer máquina, poucos números reais são representados exatamente, e, portanto, a representação de um número real será feita por truncamento ou arredondamento. Vejamos um exemplo:

Exemplo (9) Considere uma máquina que opera no sistema , e . De que forma os números ficam representados nesta máquina (em módulo) ?

Solução:

Considere o conjunto

docsity.com

.

Dado pode ocorrer um dos seguintes casos:

I – :

II – :

III – :

Observações:

(1) Algumas linguagens de programação permitem que as variáveis sejam declaradas em precisão dupla, ou seja, uma variável representada no sistema de aritmética de ponto flutuante da máquina com aproximadamente o dobro de dígitos disponíveis na mantissa.

(2) O zero em ponto flutuante é, em geral, representado com o menor expoente possível a máquina. Isto ocorre, pois a representação do zero por uma mantissa nula e um expoente

docsity.com

qualquer para a base pode acarretar perda de dígitos significativos no resultado da adição deste zero a u outro número.

Exemplo (10) Representar os números num sistema de aritmética de ponto flutuante onde , e .

Solução:

Representação obtida por arredondamento Representação obtida por truncamento

1,25

10,065

-826,95

2,71828...

0,000008

817235,92

1.3 – Erros

1.3.1 – Erros Absolutos e Erros Relativos

Definição: Erro absoluto é a diferença entre o valor exato de um número e sua aproximação , isto é,

.

Na maioria das vezes, apenas o valor de é conhecido, e, portanto, é impossível obter o valor exato do erro absoluto. O que se faz, é obter um limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto. Vejamos alguns exemplos:

docsity.com

Exemplo (11) Sabe-se que . Determine um limitante superior para o módulo do erro absoluto.

Solução:

Exemplo (12) Seja representado por , com , isto é, e seja representado por , com , isto é, . Os limitantes superiores para os erros absolutos são os mesmos, mas podemos afirmar que os números estão representados com a mesma precisão?

Solução:

Definição: Erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor aproximado, ou seja,

Vamos voltar ao exemplo (12) e calcular o erro relativo de cada um dos números em questão:

1.3.2 – Erros De Arredondamento e Truncamento em um Sistema de Aritmética de Ponto Flutuante

docsity.com

Seja um sistema que opera em aritmética de ponto flutuante de dígitos, na base 10, e seja escrito na forma:

onde, e .

Exemplo (13) Se e , represente como acima.

Solução:

A grande questão do exemplo anterior é como considerar a parcela de na representação do número uma vez que esta parcela não pode ser incorporada totalmente na mantissa e definir o erro absoluto (ou relativo) máximo cometido. Para isso, temos dois critérios: o truncamento e o arredondamento.

No truncamento, é desprezado e . Neste caso, temos:

docsity.com

No arredondamento, é modificado para levar em consideração. A forma de arredondamento mais utilizada é a seguinte:

Portanto, se , é desprezado, caso contrário, soma-se 1 ao último dígito de .

Assim, se , temos:

E, se , teremos:

e .

A prova desta última desigualdade pode ser encontrada nos livros textos da bibliografia básica deste curso.

Observação: apesar de erros menor ocorrerem quando se utiliza arredondamento, este acarreta em um tempo de execução maior, e por isso, o truncamento é mais utilizado.

docsity.com

1.3.3 – Análise de Erros nas Operações de Aritmética de Ponto Flutuante

Dada uma sequência de operações, como por exemplo, , é importante saber como o erro se propaga ao longo das operações seguintes.

O erro total de em uma operação é composto pelo erro das parcelas e pelo erro no resultado da operação.

Para os exemplos 14, 15, 16 e 17, vamos considerar um sistema de aritmética de ponto flutuante com , e com acumulador de precisão dupla.

Exemplo (14) Dados e , obter os valores aproximados e exatos de:

a)

b)

Solução:

No exemplo acima se pode notar que mesmo que as parcelas de uma operação estejam representadas exatamente no sistema, o resultado final armazenado pode não ser exato.

docsity.com

Fórmulas de Erros nos Fatores

Na maioria dos sistemas, o resultado exato da operação denotado por OP é normalizado e depois arredondado ou truncado para dígitos, obtendo assim o resultado aproximado que é armazenado na memória da máquina.

Já vimos que o erro no resultado de uma operação, supondo que as parcelas estão exatamente representadas será:

no truncamento

e

no arredondamento.

Vamos agora ver as fórmulas para os erros absolutos e relativos nas operações de aritmética de ponto flutuante com erros nas parcelas. Estas fórmulas de erros não serão provadas, mas fica a critério do aluno olhar a demonstração nos livros da bibliografia.

Para estas fórmulas, vamos supor que erro final é arredondado.

Sejam e , tais que e .

ADIÇÃO:

Erro absoluto: e Erro relativo: .

SUBTRAÇÃO:

Erro absoluto: e Erro relativo: .

docsity.com

MULTIPLICAÇÃO:

Erro absoluto: e Erro relativo: .

DIVISÃO:

Erro absoluto: e Erro relativo:

Note que o erro todas as fórmulas acima foram escritas sem considerar o erro de arredondamento (truncamento) no resultado final. E não se esqueça que a análise completa da propagação de erros se faz considerando os erros nas parcelas e no resultado de cada operação efetuada.

Exemplo (15) Suponha que , , , e estejam representados exatamente. Qual é o erro no cálculo de ?

docsity.com

Exemplo (16) Sejam e . Determine o erro relativo da operação , que é denominado cancelamento subtrativo.

Solução:

Exemplo (17) Considerando o valor de do exemplo acima, determine o valor de , se e . Determine também o erro relativo desta operação.

Solução:

1.4 – EXERCÍCIOS

(1) Converter para decimal os seguintes números binários:

docsity.com

a) 10011 b) 11100010 c) 1000001 d) 1,1 e) 1100,01 f) 1000,001

(2) Converter para binário os seguintes números decimais:

a) 23 b) 2615 c) 2,5 d) 0,1 e) 3,8 f) 10,05

(3) Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos, base decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números:

e

efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x, y e z estão exatamente representados:

a) b) c) d) e)

(4) Suponha que x é representado no computador por , onde é obtido por arredondamento, obtenha os limites superiores para os erros relativos de

e

(5) Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por: base 10, ( ), quatro dígitos na mantissa ( ) e expoente no intervalo . Pede-se:

a) Qual o menor e o maior, em módulo, número representado nessa máquina?

b) Como será representado nessa máquina o número 73758 nessa máquina, se for usado o arredondamento? E se for usado truncamento?

c) Se a = 42450 e b = 3 qual o resultado de se for usado o arredondamento? E se for usado truncamento?

d) Repetir o item d) para a operação: .

docsity.com

BIBLIOGRAFIA

[1] Ruggiero, Márcia A. Gomes e Lopes, Vera L. R. – Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª edição - São Paulo - Pearson Makron Books, 1996.

docsity.com

[2] Cláudio, Dalcídio M. e Martins, Jussara M. – Cálculo Numérico Computacional: Teoria e Prática, 3ª edição – São Paulo – Atlas, 2000.

[3] Barros, Ivan Q. – Introdução ao Cálculo Numérico.

[4] Rocha, Luiz M. – Cálculo 2, 2ª edição – São Paulo – Atlas, 1689.

[5] Santos, V. R. – Curso de Cálculo Numérico – Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1977.

docsity.com

comentários (0)

Até o momento nenhum comentário

Seja o primeiro a comentar!

Esta é apenas uma pré-visualização

3 shown on 23 pages

baixar o documento