Notas de Aula de Física II, Notas de aula de Física. Universidade Federal do Pará (UFPA)
amanda_thomaz
amanda_thomaz14 de Julho de 2015

Notas de Aula de Física II, Notas de aula de Física. Universidade Federal do Pará (UFPA)

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Jonathan T. Quartuccio | / – Física II - Notas de aula 1

Jonathan T. Quartuccio | – Física II - Notas de aula 2

Física II Notas de Aula

Jonathan Tejeda Quartuccio

Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 3

Para Stephanie

Agora e pra sempre...

Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 4

CONTEÚDO

Aula 01 – Gravitação Universal

Aula 02 – Equilíbrio e Elasticidade

Aula 03 – Fluídos

Aula 04 – Osciladores I

Aula 05 – Osciladores II

Aula 06 – Ondas I

Aula 07 – Ondas II

Aula 08 – Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica

Aula 09 – Lei Geral dos Gases

Aula 10 – Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica

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AULA 01 – GRAVITAÇÃO UNIVERSAL Corpos em queda próximos a superfície da Terra sentem uma atração dada por:

Onde é a aceleração da gravidade. Esse valor é ligeiramente constante quando próximo da Terra. Mas vamos supor que tenhamos corpos distantes, e que estejam se atraindo (como a Terra e a Lua, por exemplo). Nesse caso, não será mais constante e a força entre eles é dada pela Lei da Gravitação Universal de Isaac Newton:

Onde e são as massas dos corpos, é a distância entre eles e é a constante da gravitação, cujo valor é . Se estivermos na superfície da Terra, teremos?

Nesse caso é a massa da Terra e é seu raio. Vamos supor que exista um objeto muito longe da Terra (tão longe que ). O trabalho para trazer esse objeto para nós é dado por:

Esse valor, nós chamamos de energia potencial gravitacional. Note que . Sabemos que , ou seja, a energia mecânica é a soma da cinética com a potencial. Vamos analisar a energia mecânica com respeito à Terra:

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Vamos supor agora que estamos nos afastando da Terra com certa velocidade, e estamos alcançando a distância do “infinito”. Quando chegarmos ao “infinito” nossa velocidade terá de ser zero, pois a energia potencial é zero (se nossa velocidade for diferente de zero, vamos continuar aumentando cada vez mais esse espaço infinito). Então:

Como a energia se conserva:

E assim nós definimos a velocidade de escape de um objeto sujeito a um campo gravitacional:

Se o objeto escapa da atração gravitacional, se o objeto é atraido. Temos agora um satélite em torno da Terra. A massa do satélite é e estamos supondo que . O satélite gira em torno da Terra num movimento circular, então existe uma força resultando apontada para o centro da trajetória. Essa força resultado (a centrípeta) e causada pela força da gravidade. Então:

Nesse caso, é a distância da Terra ao satélite. Isolando a velocidade encontramos:

Que é a velocidade orbital. O período será:

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Leis de Kepler

As leis de Kepler são as seguintes: 1) As órbitas descritas pelos planetas são elipses, com o Sol ocupando um de seus focos. 2) Os planetas percorrem áreas iguais em tempos iguais. 3) Existe uma relação entre o quadrado dos períodos dos planetas e o cubo de seus raios

médios (distancias). Essa relação é constante e é dada por:

O valor é chamado de constante de Kepler. Um corpo orbitando outro sente uma força resultante apontada para o centro da trajetória. Essa força, chamada de centrípeta, pode ser escrita como:

Nesse caso, é chamada de aceleração centrípeta. A aceleração centrípeta é calculada como:

Então, a força centrípeta será:

Como estamos trabalhando não com um movimento linear, mas sim circular, podemos escrever e lembrar que , então:

Dessa maneira, a força será dada por:

Vamos multiplicar o numerador e denominador por :

Pela terceira lei de Kepler , então:

E assim, como há dois corpos envolvidos:

Um corpo com velocidade apresenta um momento linear dado por . Vamos voltar para o caso do satélite em torno da Terra. Por mais que o movimento do satélite seja através de um círculo, o mesmo possui uma velocidade tangencial (e nesse caso um momento linear). Seja a distância até a Terra, o momento angular será dado por:

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Em qualquer instante, o momento angular permanecerá o mesmo. Então:

Ou seja, nesse caso a gravidade não realiza torque algum. Vamos nos ficar na energia mecânica relacionado com as elipses.

Perigeu (P) é o ponto mais próximo do Sol ( ) enquanto que o apogeu (A) é o ponto mais distante.

Sendo , temos:

E o período será:

Pela terceira Lei de Kepler:

A aceleração da gravidade

Como dissemos anteriormente, a aceleração da gravidade não é constante, ela varia com a altura. Para um corpo na superfície da Terra, a aceleração da gravidade vale:

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Agora, o corpo está a uma distância da Terra, de modo que a distância total será . Então, a aceleração da gravidade será:

Como o denominador está aumentando, o valor de tem de diminuir. Portanto, quanto mais distante menor o valor da aceleração da gravidade. De uma maneira geral, numa altura (distância) temos:

A aceleração da gravidade varia com a altitude e também com a aceleração angular de maneira que:

A superposição

Sabemos que corpos com massa atraem outros corpos com massa, com uma força que é inversamente proporcional ao quadrado das distâncias. Temos agora um conjunto de corpos interagindo. Então:

Que pode ser escrito como: Para uma distribuição contínua de massas:

Gravitação no Interior de uma casca Esférica

Um objeto no centro de uma casca uniforme de matéria não sentirá a atração gravitacional. A força exercida sobre o objeto será devida á massa existente somente na parte interna dessa casca, que está a uma distância do centro (a força resultante será nula). Então, a massa interna será:

Onde é a massa específica da esfera. Vamos provar que a força da gravidade diminui à medida que nos aproximamos do centro da Terra. Vamos supor que exista um túnel que nos leve para o centro:

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A força da gravidade é dada por:

Vamos escrever em termos da densidade da Terra.

Mas

Logo:

Então:

Ou seja, , então se o raio diminui a força da gravidade também diminui.

A Teoria da Relatividade

Em 1905 Albert Einstein escreveu um artigo mostrando que é desnecessária à existência de algo que os físicos de sua época acreditavam permear o universo: éter. Contudo, era preciso abandonar a ideia de tempo absoluto. O que Einstein escreveu em seu artigo é que as leis da física devem ser as mesmas para qualquer observador, independente de sua velocidade. Para Einstein, todos os observadores devem medir a mesma velocidade da luz, independente se estão se movendo no mesmo sentido ou no sentido contrario a fonte de luz. Para que todos os

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observadores possam medir a mesma velocidade da luz, era preciso abandonar o conceito de tempo absoluto. Para analisarmos a questão do tempo, vamos imaginar novamente o trem (que foi visto na parte anterior). Suponha que uma pessoa dentro do trem acenda uma lanterna, enquanto uma pessoa na plataforma observa. Como o trem está em movimento, as duas pessoas medem distâncias diferentes na qual a luz percorreu. Sabemos que a velocidade é a variação de espaço sobre tempo, portanto se a medição da distância for diferente entre os observadores o mesmo acontecerá com o tempo. Dessa forma, cada observador tem sua medida de tempo. Essa publicação de Einstein deu origem ao que chamamos de relatividade restrita. O tempo não passou ser visto como um elemento a parte do espaço, pelo contrario, tempo e espaço estão interligados. Um desfecho da relatividade restrita é que a energia de um corpo é diretamente proporcional a sua massa multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado. Isso originou a equação mais conhecida de todos os tempos: E= mc². Se a massa de um corpo aumenta, sua energia também irá aumentar por isso nada poderá percorrer uma velocidade maior que a da luz. Cada vez que um corpo aumenta sua velocidade, ele aumenta sua massa e por essa razão será preciso mais energia para movê-lo. Se o corpo ultrapassar a velocidade da luz, sua massa será estendida ao infinito e o corpo precisará de energia infinita para se mover, mas a energia em todo o universo é finita. E o que isso tem de errado com a física? Até o tempo de Einstein, o universo era tido de acordo com o modelo newtoniano. Mas o que Newton dizia sobre o universo? Embora Newton houvesse descoberto a gravitação e enunciado suas leis em seu famoso livro, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ele desconhecia o fator que causava gravidade. Por outro lado, ele mostrou que, se de repente, o Sol sumisse todos os planetas abandonariam suas órbitas instantaneamente e fugiriam em direção ao espaço. Contudo, essa observação não estava de acordo com a relatividade de Einstein. A relatividade mostra que nada, nem mesmo a gravidade, pode ser mais rápida que a luz. Portanto, se o Sol desaparecer iremos primeiro ficar sem o seu brilho, para depois sentirmos falta de sua influência gravitacional. Einstein, portanto, dedicou-se a encontrar uma teoria que descrevesse a força gravitacional. Por alguns anos, Albert Einstein se dedicou a uma nova teoria, e a construiu. Ele tinha o tempo como parte do universo. Espaço e tempo estavam interligados, num universo de quatro dimensões. E tudo no universo seguia as mesmas leis da natureza. Para explicar a gravidade de Newton, Einstein mostrou que os corpos celestes estão sobre uma espécie de tecido cósmico. Devido ao peso dos corpos, esse tecido cósmico se curva para dentro. Basta imaginar uma folha de borracha. Coloque sobre essa folha de borracha uma esfera de ferro, a folha irá curvar-se devido ao peso da esfera. Se você lançar uma esfera menor de um lado a outro da folha, a mesma irá dar voltas em torno da esfera maior. A esfera maior seria o Sol e a esfera menor os planetas, enquanto a folha de borracha seria o tecido do espaço. Essa ideia ficou conhecida como relatividade geral.

Quanto maior o peso de um corpo, maior a curvatura do espaço a sua volta e consequentemente maior atração gravitacional. Karl Schwarzchild propôs, em 1916, a existência de regiões do espaço de densidade infinita. Schwarzchild mostrou que se a matéria

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for concentrada num espaço extremamente pequeno, ela criará uma região onde a gravidade é tão grande que nem mesmo a luz conseguiria escapar. Essa matéria iria criar o chamado buraco negro. Einstein não estava certo se isso poderia ocorrer. Mas a sua preocupação maior no momento era outra. Ele já estava fascinado com o eletromagnetismo de Maxwell, e seu desejo, agora, era juntar a relatividade geral com o eletromagnetismo em uma única teoria, uma teoria que ele escreveria tudo no universo, uma teoria de tudo. Porem havia algumas complicações. Uma delas é que a relatividade não possuía uma explicação para o surgimento do universo. Outra complicação é que a força gravitacional parecia ser bem mais fraca que a força eletromagnética. Quando uma teoria encontra complicações, ela precisa ser mudada. Em seus últimos anos de vida, o criador da relatividade buscou encontrar sua teoria de tudo.

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AULA 02 – EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE Para um objeto estar em equilíbrio estático devemos ter:

Tomemos um objeto qualquer onde definimos o centro de massa CM.

Nesse caso, as forças produzem um torque. Ou seja, não há equilíbrio estático. Temos uma rampa (que pode ser uma escada apoiada em uma parede, por exemplo), como na figura a seguir:

No ponto P, temos a escada encostada na parede. E no ponto Q temos a escada encostada no chão. O atrito em P é nulo, assim:

No ponto Q, teremos:

Temos que M é a massa da escada e é o seu comprimento.

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O ponto c é o centro de massa da escada e a mesma forma um ângulo com o chão. É fácil notar que (já vimos isso muitas vezes no dia-dia) se o ângulo for muito pequeno a escada vai deslizar. Tentaremos compreender qual o valor do ângulo a fim de que a escada não deslize. As forças que agem sobre a escada são dadas na figura:

No centro de massa temos a força da gravidade agindo sobre a escada. Caso a escada deslize, temos uma força de atrito no sentido oposto. No ponto Q temos uma normal e em P, como não há atrito, temos, também, uma normal. Assim:

O que significa que a normal de P deve ser igual ao atrito. Então:

Como as forças em y devem ser zero:

Temos que:

Não importa o ponto que escolhemos, podemos escolher um ponto na parede, na escada ou em qualquer outro lugar. Por simplicidade, escolhemos o ponto Q, então:

Não queremos que nossa escada deslize. Então, devemos ter:

Assim:

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Esses dois valores obtidos nos dão a condição para que nossa escada fique estável. Esses valores nos dizem que quanto maior o menor é o ângulo. Então, se o ângulo é muito pequeno, a escada começa a deslizar. Vamos treinar nossa intuição. Suponha que temos um determinado ângulo, que é o ângulo crítico (ou seja, a escada está na eminência do deslizamento). Agora, vamos supor que alguém comece a subir pela escada, partindo do ponto Q e indo até o ponto P. O que ocorrerá? A escada vai deslizar assim que o sujeito começar a andar por ela? Ou então a escada ficará mais estável? Vamos colocar uma pessoa de massa m na escada. Vamos supor que ela esteja a uma distância d do ponto Q.

Existe uma força agindo sobre a pessoa. Vamos refazer todos nossos cálculos. Então:

Mas agora nós temos um terceiro elemento, que é o vetor posição, dado por d. Assim:

Perceba que a força de atrito está aumentando, pois estamos somando

, que não tínhamos

anteriormente. Se o atrito aumenta, e nossa escada estava no limite de deslizar, então você pode pensar que a mesma começará a deslizar. O atrito máximo também aumentou. Portanto devemos fazer uma comparação. A melhor maneira de fazer essa comparação é adotar d igual à zero. A pessoa começa a subir a escada a partir do ponto Q. Quando d é igual à zero, a força de atrito final é igual à força de atrito inicial. Porém, o atrito máximo altera, pois ele apresenta o termo m (estamos somando ). O valor do atrito máximo é independente da distância. Se o atrito máximo aumenta, mas o atrito permanece o mesmo, então a escada fica mais

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estável. Portanto, no ponto Q a escada não irá deslizar, pelo contrário, ela ficará mais firme. Mas a medida que a pessoa começa a subir, nossa força de atrito vai mudando, pois o valor de d vai aumentando. Porém, o atrito máximo permanece sempre o mesmo. Então, chega um momento em que . Quando isso ocorre, a escada desliza. Portanto, de uma

maneira geral, a escada não deslizará quando:

Esse é o caso quando:

Vamos discutir aqui uma importante aplicação desse conceito de atrito. Iremos ver como é possível sustentar algo pesado por um bom tempo sem fazer muita força. Vamos enrolar uma corda em torno de uma haste, por exemplo, e usaremos o atrito entre elas para sustentar nosso objeto. Vamos passar uma corda por uma haste e em uma ponta da corda colocaremos um peso de massa M e na outra um peso de massa m. As tensões na corda são dadas como mostrado na figura:

Se não houver tração na barra, então T1 será igual ou próximo de T2. Mas se recorrermos ao atrito, então poderemos ter uma situação de equilíbrio estático, de modo que nenhuma bloco irá se mover. Assim, poderemos ter T1 >>> T2. Vamos analisar melhor esse caso. Temos que R é o raio de nossa haste:

Estamos supondo que o puxão em T2 é bem maior que em T1. Então, a corda irá deslizar no seguinte sentido:

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Imagine agora que a corda seja dividida em vários pedacinhos. Como a corda está deslizando, cada pedacinho (logicamente) está deslizando junto. Sendo assim, existe um atrito na direção contrária, um atrito em cada pedacinho da corda.

Como existe um atrito, podemos imaginar que essa força auxilia T1 a segurar o peso em T2. Para calcular esse atrito, devemos tomar uma integral de todos os valores dos atritos na corda. Existe um ângulo formado entre os extremos dos pedacinhos da corda. Quando resolvemos nossa integral e nossas derivações encontramos:

Suponhamos que temos uma corda, na qual serão dadas três voltas em torno da haste. Então, temos que . Vamos supor que . Assim, temos que:

Ou seja, a força do lado de T1 é 40 vezes menor que T2, ou seja, podemos aplicar uma força 40 vezes menor que o peso aplica de modo que sustentemos o mesmo. Se dermos seis voltas, nosso valor final será 2.000. Isso significa que se de um lado temos um peso igual a 10.000 kg, do outro lado podemos colocar um peso de 5 kg que manteremos o equilíbrio (na eminência de deslizamento). Agora, digamos que eu queira levantar os 10.000 kg puxando a corda com uma força um pouco maior que 50 N. Seria possível fazer isso? De forma alguma eu conseguirei puxar o peso de 10.000 kg para cima. Se eu tento fazer isso, eu inverto completamente a situação e coloco o atrito a favor dos 10.000 kg. Em outras palavras, T1 se torna T2, o que nos fornecerá:

Desse modo, se eu quero levantar os 10.000 kg dando seis voltas com a corda em torno da haste, eu terei de fazer uma força 2.000 vezes maior que 10.000 kg. Assim, eu precisarei de 20 milhões de quilogramas.

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Podemos enrolar a corda em torno de uma haste até chegar um ponto em que o próprio peso da corda segurará o peso do outro lado, sem a necessidade de segurarmos. Temos um objeto qualquer, e vamos fixa-lo (pode ser numa parede) num ponto P. O centro de massa é dado por CM. Então:

Temos que é a força peso agindo sobre o centro de massa e é o vetor posição do ponto P. Dessa maneira, temos que o objeto sofrerá um giro em torno de P. Então:

Onde é a aceleração angular. Sabemos que para ter uma situação de equilíbrio estático, devemos ter:

A natureza resolve esse problema, colocando sempre o centro de massa numa mesma linha vertical que P. Dessa maneira, não importa qual ponto escolhemos. Pode ser um ponto dentro do objeto, ou pode ser um ponto fora do objeto, como P e CM estão na mesma linha, o torque é nulo.

Temos que para um objeto estar em equilíbrio, além do torque, a soma das forças devem ser zero. Perceba que:

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Assim, a soma das forças é zero. Pense em um pêndulo, por exemplo:

O pêndulo está em equilíbrio estático. O centro de massa do objeto sempre estará abaixo do ponto de suspensão. Vamos pensar agora num equilibrista em cima de uma corda.

O centro de massa do equilibrista encontra-se próximo de seu peito. Então, existe uma distância do centro de massa até a corda, que vamos adotar sendo de um metro. A massa do equilibrista é cerca de 70 kg. O equilibrista segura duas barras verticais em suas mãos, com um peso de 5 kg na ponta de cada uma.

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A massa das barras é desprezível e vamos imaginar que cada barra mede 10 metros de comprimento (contando a partir da corda). Temos que 70 kg estão em cima da corda e 10 kg estão 10 metros abaixo da corda. O centro de massa total do sistema ficará um pouco abaixo da corda. Por essa razão o equilibrista mantém seu equilíbrio.

Elasticidade Temos uma mola:

A mola sofre uma deformação de comprimento , de maneira que é proporcional à força:

Se dobrarmos a força iremos dobrar o comprimento. Se tivermos duas molas é série, a deformação será maior, de forma que:

Agora, vamos tomar duas molas em paralelo:

Agora surgem duas forças de resistência oposta (se fossem três molas, seriam três forças e assim sucessivamente). Nesse caso quanto mais molas tivermos, menor será a deformação. Assim:

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Tomando um cilindro, ou pedaço de corda:

Claramente, aumentando a força aumentamos o comprimento do cilindro. Então . Vamos tomar agora dois cilindros em paralelo.

Da mesma maneira que a mola surgem duas forças opostas. Podemos imaginar esses dois cilindros como um único cilindro maior, de área .

Nesse caso:

Então:

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Onde é o módulo de Young. é a tensão (stress) e é a deformação (strain). Vamos ver um exemplo:

Para o aço, Nesse caso:

Para o nylon,

Se torna-se muito grande, podemos romper nosso material. Antes de o nosso material arrebentar a força deixa de ser proporcional à deformação. Quando deixamos de aplicar a força, o material não volta ao tamanho original (deformação permanente).

0 0.04 0.08 0.12 0.16 Strain

0

300

600

900

1200

S tr

e s s

( M

P a )

6Al-4V Titanium Alloy

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No limite elástico ocorre a deformação permanente. De uma maneira geral:

Se uma força é aplicada horizontalmente sobre um objeto, temos a chamada tensão de cisalhamento:

Nesse caso:

Onde é chamado módulo de cisalhamento. Enquanto que o módulo de Young está relacionado com o valor da alteração do comprimento do fio, a tensão de cisalhamento relaciona a deformação. Se em um objeto existem forças aplicadas uniformemente em todas as direções, temos a compressão uniforme ou pressão hidrostática.

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AULA 03 – FLUÍDOS Temos um fluído, que pode ser um gás ou um líquido. Esse fluído está dentro de um recipiente e nós iremos aplicar uma força sobre um embolo de área A. Assim, definimos a pressão como:

O princípio de Pascal diz que uma força aplicada em um líquido se transmite por todos os pontos do líquido e nas paredes do recipiente.

Ao aplicar uma força no embolo, o mesmo irá deslocar uma distância . Do outro lado, o outro embolo também irá deslocar uma distância , só que para cima. Assim, devemos ter pelo princípio de Pascal:

A relação nos diz que, se colocarmos um objeto de 10 kg de um lado, podemos erguer um objeto de 1000 kg do outro lado. Esse é o funcionamento da prensa hidráulica. O trabalho realizado nesse processo é:

Assim, o trabalho PE convertido em energia potencial gravitacional.

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A densidade do líquido dentro da caixa . Como o fluído está em equilíbrio:

No caso limite de :

À medida que aumentamos o valor de (ou seja, à medida que vamos “escapando” do fluido) a pressão diminui. Quando aplicamos uma força num fluido, podemos fazer com que o volume fique menor. Quando isso ocorre, o fluido sofre uma compressibilidade. Se o volume não diminui, o fluido é incompressível. Vamos integra nossa pressão:

E essa é a lei de Pascal, que pode ser escrita como: . Num fluido, podemos imaginar que exista uma coluna desse fluido sobre um corpo. Essa coluna possui uma área . A altura da coluna é a diferença . Em temos uma pressão e em temos uma pressão , de maneira que . O peso dessa coluna é dado por:

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