Ondas Gravitacionais e o espetro de anisotropia tensorial na presença de neutrinos cosmológicos
JonasF
JonasF25 de Abril de 2013

Ondas Gravitacionais e o espetro de anisotropia tensorial na presença de neutrinos cosmológicos

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Nesta dissertação trabalhamos com a influência causada pelos neutrinos cosmológicos na propagação das ondas gravitacionais primordiais e também sobre as anisotropias de temperatura da radiação cósmica de fundo.
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Jonas Floriano Gomes dos Santos

Ondas gravitacionais e o espectro de

anisotropia tensorial na presença de

neutrinos cosmológicos

São Carlos – SP

Julho / 2012

Universidade Federal de São Carlos

Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Programa de Pós-Graduação em F́ısica

Ondas gravitacionais e o espectro de

anisotropia tensorial na presença de

neutrinos cosmológicos

Dissertação apresentada ao Departamento de F́ısica da Universidade Federal de São Car- los para a obtenção do t́ıtulo de Mestre em F́ısica.

Jonas Floriano Gomes dos Santos

Orientador:

Prof. Dr. Alex Eduardo de Bernardini

São Carlos – SP

Julho / 2012

Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar

S237og

Santos, Jonas Floriano Gomes dos. Ondas gravitacionais e o espectro de anisotropia tensorial na presença de neutrinos cosmológicos / Jonas Floriano Gomes dos Santos. -- São Carlos : UFSCar, 2012. 61 f. Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2012. 1. Física. 2. Cosmologia. 3. Ondas gravitacionais. 4. Neutrinos. I. Título. CDD: 530 (20a)

Dedico esta dissertação aos meus pais,

cujo esforço que fizeram para

que eu estivesse aqui hoje é incomensurável.

Agradecimentos

Dedico meus sinceros agradecimentos para:

– o Professor Doutor Alex Eduardo de Bernardini, pela orientação, incentivo e paciência

comigo durante esses dois anos de trabalho. Agradeço a ele também por sempre exigir de

mim uma postura profissional, o que enriqueceu muito minha formação;

– todos meus amigos e colegas da pós-graduação em F́ısica, em especial ao André Luis

Rossi Melzi, por toda ajuda que me forneceu durante meu peŕıodo de mestrado;

– os meus pais e meu irmão, que sempre se preocuparam comigo;

– a minha namorada Joana, pela paciência e carinho que dedica a mim.

– a CAPES, pelo suporte financeiro do trabalho.

Todo trabalho é digno de respeito,

e a humildade em reconhecer isso

é um passo importante para qualquer

nação ou comunidade.

Resumo

Neste trabalho nós estudamos a evolução de ondas gravitacionais primordiais aco- pladas ao tensor de stress anisotrópico dos neutrinos cosmológicos. Assim como em um universo dominado por radiação, em um universo composto de radiação e matéria os neu- trinos podem agir como um meio dispersivo efetivo para ondas gravitacionais, além de introduzir pequenas variações sobre a contribuição tensorial das anisotropias de tempe- ratura da radiação cósmica de fundo. Nossos resultados são obtidos em um cenário de transição radiação-matéria (RMD), tal que contemplamos modos que entram no horizonte de Hubble, seja na era de domı́nio de radiação (RD), seja na era de domı́nio de materia (MD). Usando a variável de evolução , foi posśıvel escrever nossas soluções independen- tes da frequência da onda. Nossos resultados ratificam que CTl decai abruptamente após l ∼ 100 com pequenas modificações no termo de quadrupolo da variância de temperatura, CT2 , devido ao acoplamento de neutrinos e a inclusão de termos de colisões nas equações dinâmicas.

Abstract

In this work we have studied the evolution of primordial gravitational waves coupled to anisotropic stress tensor of cosmological neutrinos. As in a radiation dominated universe, in a universe dominated by radiation and matter the neutrinos can work as an effective dispersive medium for the gravitational waves, besides introduce small modifications over the tensor contribution to the cosmological microwave background anisotropy. Our results are obtained in a radiation-matter transition scenario (RMD), so that we contemplate modes that cross the horizon in the radiation era and matter era. Using the evolution variable , it was possible to write our solutions independent from the frequency of the wave. Our results ratify that CTl die out after l ∼ 100 with small modifications on the quadrupole term, CT2 , due to the coupling to neutrinos and the inclusion of collision terms into the dynamical equations.

Sumário

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1 Introdução p. 12

2 O universo plano, homogêneo e isotrópico em expansão p. 16

2.1 Fundamentos Algébricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

2.2 Conteúdo energético do universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.3 A equação de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

3 Perturbações p. 25

3.1 Perturbações tensoriais na métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

3.1.1 O tensor momento-energia perturbado . . . . . . . . . . . . . . p. 28

3.1.2 Componentes da equação de Einstein para perturbações tensoriais p. 29

3.1.3 A equação de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

4 Algumas soluções simples p. 34

4.1 Universo dominado por radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

4.2 Universo dominado por matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

5 Interação de ondas gravitacionais com neutrinos p. 37

5.1 Regime de free-streaming dos neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39

5.2 Regime relevante para colisões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

6 Contribuição do stress anisotrópico dos neutrinos na temperatura

da RCF p. 47

6.1 Cl para perturbações tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

6.1.1 CTl para o domı́nio RMD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

6.1.2 Discussão sobre o termo de quadrupolo CT2 e o fator r . . . . . . p. 52

7 Conclusões p. 55

Referências p. 57

Apêndice I p. 59

Apêndice II p. 60

Lista de Figuras

1 Expansão do universo para os tempos η1 < η2 < η3, respectivamente.

Enquanto a distância comóvel entre os pontos independe do tempo, a

distância f́ısica é a distância comóvel multiplicada pelo fator de escala no

respectivo tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

2 Evolução da amplitude das ondas normalizadas hij/h (0) ij como função

de para o cenário cósmico de fundo RD (curvas vermelhas) e RMD

(curvas pretas). Os resultados são para stress anisotrópico nulo (curvas

pontilhadas), para = 0.4052 (curvas tracejadas), e para = 1 (cur-

vas cont́ınuas). Note que as curvas no regime RMD são descritas para η

como múltiplo de ηeq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

3 Mesmo gráfico como na Fig. 2, mas agora para η como múltiplo de 0.1ηeq

(figura à esquerda) e para η como múltiplo de 0.01ηeq (figura à direita).

Note a modificação na diferença de fase entre os três gráficos. . . . . . . p. 41

4 Média temporal de ()2|kij()|2 como função de k[Mpc]1 para a era de domı́nio da radiação (curvas vermelhas) e para um peŕıodo de transição

radiação-matéria (curvas pretas). Os resultados são para a ausência do

stress anisotrópico (curvas pontilhadas), para = 0.4052 (curvas trace-

jadas), e para = 1 (curvas cont́ınuas). Note a existência de um valor

para o qual tanto na RD quanto RMD a curva cont́ınua cruza com as

outras duas curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

5 Evolução da amplitude das ondas normalizadas hij/h (0) ij como função de

para era RMD no caso em que consideramos termos de colisão. Os

resultados são para = 0.01, 0.1, 1, e 10 e para o caso sem colisões de

acordo com a legenda, com τ em unidades de η0 e k em unidades de

10. Nossos resultados são para três famı́lias de neutrinos, = 0.4052

(curvas vermelhas), e para o caso extremo de um grande número de

famı́lias de neutrinos, = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45

6 Média temporal de ()2|hij()|2 como função de k[Mpc]1 para o cenário RMD em que levamos em conta termos de colisão. Os resul-

tados são para = 0.01 e 10 e para os casos sem colisões de acordo com

a legenda, com τ em unidades de η0 e k em unidades de 10. . . . . . p. 46

7 Contribuição tensorial para o espectro de potência angular para o caso

anaĺıtico sem a função transferência (curva pontilhada) e com a função

transferência para levar em conta modos que entraram no horizonte na

era da radiação (curva cont́ınua). Note que para baixos valores de mul-

tipolo as curvas são aproximadamente as mesmas. . . . . . . . . . . . . p. 50

8 Contribuição tensorial para o espectro de potência angular no cenário

RMD. Os resultados são para o stress anisotrópico nulo (curva pon-

tilhada), para = 0.4052 (curva tracejada), e para = 1 (curva

cont́ınua). Comparamos ainda com a solução anaĺıtica para = 0

(curva azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

9 Contribuição tensorial para o espectro de potência angular para o cenário

RMD considerando termos de colisão. Os resultados são para =

0.01, 0.1, 1, e 10. Os casos sem colisões são mostrados de acordo com a

legenda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

Lista de Tabelas

1 Valores de CT2 e as respectivas razões entre a contribuição escalar e ten-

sorial para o termo de quadrupolo, para stress anisotrópico dos neutrinos

nulo (= 0), para = 0.4052 e para diversas famı́lias de neutrinos

(= 1). Os resultados são para o domı́nio RMD. . . . . . . . . . . . . p. 54

2 Valores de CT2 e as respectivas razões entre a contribuição escalar e tenso-

rial para o termo de quadrupolo, para o caso em que consideramos termos

de colisão, para o valor padrão de três famı́lias de neutrinos, = 0.4052,

e para = 1. Os resultados são para um universo RMD. . . . . . . . p. 54

12

1 Introdução

Nos últimos anos um grande volume de dados observacionais foram usados para veri-

ficar modelos ou restringir intervalos de valores para parâmetros em cosmologia a partir

de observações provenientes de inomogeneidades da distribuição da matéria e anisotro-

pias na radiação cósmica de fundo. Do ponto de vista teórico, esse tratamento é feito

através de perturbações na métrica e no tensor momento-energia, tendo um universo de

fundo plano, homogêneo, e isotrópico em expansão. O modelo cosmológico padrão ΛCDM

(Lambda-Cold Dark Matter), estuda a evolução destas perturbações a partir da equação

de Einstein, onde é posśıvel decompor as perturbações de acordo com a sua influência na

evolução do universo.

De forma completamente análoga ao eletromagnetismo, a relatividade geral prevê o

surgimento de ondas gravitacionais devido a oscilação de corpos massivos. No contexto

cosmológico, o rápido crescimento de massas primordiais e flutuações na densidade de

energia são identificadas como o mecanismo mais simples para produzir estruturas cos-

mológicas e anisotropias na temperatura da radiação cósmica de fundo. Em particular,

ondas gravitacionais primordiais são propostas em diversos modelos inflacionários sim-

ples como consequências da rápida expansão do universo durante a inflação. Devido ao

caráter extremamente fraco da interação gravitacional quando comparada com outras

forças, ondas gravitacionais a prinćıpio propagam-se livremente pelo espaço. Desse modo,

a detecção direta destas ondas poderia fornecer a capacidade de estudar o universo du-

rante o peŕıodo inflacionário, assim como a radiação cósmica de fundo permite analisar o

universo quando este possúıa apenas 300 mil anos.

Enquanto anisotropias na temperatura da radiação cósmica de fundo (RCF) vem

sendo observadas [1], experimentos atuais estão aptos apenas a estipular limites superi-

ores para a polarização da RCF que podem ter sido causada por ondas gravitacionais

primordiais [2, 3, 4, 5, 6]. Entretanto, a detecção direta é dificultada devido a raridade

de fenômenos capazes de gerar ondas gravitacionais detectáveis pelos aparelhos de me-

dida atuais, de tal modo que a medida que a sensibilidade dos aparelhos de medida é

1 Introdução 13

aprimorada, a taxa de eventos por ano que podem gerar ondas gravitacionais detectáveis

torna-se maior. Nesse ponto, é importante destacar os esforços brasileiros em desenvolver

um detector direto de ondas gravitacionais, que deverá operar no intervalo de frequências

entre 3.03.4KHz [7].

Todos esses fatos possibilitam a inclusão de elementos extras no conjunto de consti-

tuintes do universo de forma a avistar uma melhor concordância entre as predições teóricas

e os dados observáveis de anisotropias na RCF. Neste contexto, a interação de ondas gra-

vitacionais primordiais com a componente de stress anisotrópico dos neutrinos pode ser

de interesse teórico para a cosmologia. Dependendo do peŕıodo da história térmica dos

neutrinos cosmológicos, o stress anisotrópico pode atuar como uma viscosidade efetiva,

absorvendo parte das ondas gravitacionais em baixas frequências. Este ponto é detalha-

damente explorado do ponto de vista teórico em [8, 9, 10], onde a possibilidade de ondas

gravitacionais acopladas a neutrinos cosmológicos em um cenário de domı́nio de radiação

(RD) foi considerada.

A história térmica dos neutrinos cosmológicos tem como temperatura de desacopla-

mento T ≈ 1MeV que é aproximadamente obtida igualando-se a taxa de interação dos neutrinos com a taxa de expansão do universo. Podemos dividir a história dos neutrinos

em três peŕıodos [9]:

Para T ≫ 1MeV , os neutrinos estão fortemente acoplados ao plasma, tal que eles podem ser considerados como um flúıdo perfeito. Neste caso, a evolução das ondas

gravitacionais não é alterada pelo stress anisotrópico dos neutrinos;

Quando T ∼ 1MeV , os neutrinos estão desacoplando do plasma. Então, o regime de flúıdo perfeito encerra-se e o stress anisotrópico deve ser levado em conta.

Para T ≪ 1MeV , os neutrinos se comportam como part́ıculas livres, não interagindo mais com outros constituintes do plasma.

Neste trabalho, estudamos a influência causada pelo stress anisotrópico dos neutri-

nos sobre a propagação de ondas gravitacionais primordiais em um peŕıodo de transição

radiação-matéria, o qual denominaremos RMD. Além disso, analisamos o impacto cau-

sado nas anisotropias de temperatura na RCF quando neutrinos são inclúıdos ao plasma

cosmológico através do cálculo da variância de temperatura relativa a perturbações tenso-

riais na métrica (espectro de potência angular), CTl . O fato de considerarmos um peŕıodo

composto de radiação e matéria nos permite trabalhar com modos gravitacionais num

intervalo amplo de frequência, indo desde k ≫ 0.1[Mpc]1 (era de domı́nio da radiação)

1 Introdução 14

até k ∼ 0.1[Mpc]1 (ińıcio da era da matéria). Além disso, o tratamento perturbativo segue alguns métodos teóricos abordados em [8, 9, 11, 12].

Este trabalho foi organizado como se segue:

No segundo caṕıtulo são abordadas as caracteŕısticas de um universo plano, ho-

mogêneo e isotrópico em expansão. Fundamentos de álgebra tensorial são introduzidos,

além da noção de um sistema de coordenadas comóveis. Obtemos expressões para as

densidades de energia dos constituintes do universo no modelo ΛCDM. Determinamos

expressões para o fator de escala do universo para três peŕıodos diferentes: domı́nio da

radiação, domı́nio da matéria, e um peŕıodo de transição radiação-matéria (RMD), o qual

consideramos para obter nossos resultados. Apresentamos também a equação de Einstein,

que será a equação básica para nosso trabalho.

O caṕıtulo 3 apresenta com certo detalhe a teoria de perturbações cosmológicas, tra-

tando a métrica e o tensor momento-energia perturbativamente até primeira ordem. É

desenvolvido o formalismo de multipolos, no qual expandimos algumas funções relevantes

em polinômios de Legende para construir um sistema de equações acopladas conveniente

para ser resolvido numericamente. Por fim, apresentamos a equação dos modos tensoriais

contendo uma parte devido ao stress anisotrópico dos neutrinos, onde deve ser ressaltado

que ela foi constrúıda considerando-se um peŕıodo de domı́nio radiação-matéria.

Soluções simples da equação dos modos tensoriais são apresentadas no caṕıtulo 4,

onde desenvolvemos soluções anaĺıticas para dois casos especiais: um universo dominado

por radiação e um universo dominado por matéria, onde assumimos as condições η ≪ ηeq e η ≫ ηeq, respectivamente, onde ηeq corresponde a escala de tempo conforme de igualdade entre as densidades de energia de radiação e de matéria. Mostramos que na ausência

de qualquer tensor de stress anisotrópico, o único efeito sobre a propagação de ondas

gravitacionais é causado pela expansão do universo. Além disso, uma breve analogia com

o oscilador harmônico simples é feita, onde nota-se que o fator de amortecimento é duas

vezes maior quando consideramos um universo dominado por matéria.

No caṕıtulo 5 mostramos nossa análise do acoplamento do stress anisotrópico dos

neutrinos às ondas gravitacionais primordiais. Avaliamos a evolução das ondas gravita-

cionais através da amplitude e também calculamos uma média temporal em função da

frequência, D(k)2, para três valores de um parâmetro , isto é, a razão entre a densidade

de neutrinos e a densidade total de radiação. Obtemos nossos resultados para o regime de

free-streaming dos neutrinos, quando eles se comportam como part́ıculas livres e o tensor

de stress anisotrópico pode afetar a propagação das ondas. Além disso, consideramos in-

1 Introdução 15

terações de neutrinos através de um termo de colisões parametrizado por um tempo médio

entre colisões τ , e mostramos que para τ ≪ 1 conseguimos representar o peŕıodo em que os neutrinos estavam fortemente acoplados ao plasma, muito antes do desacoplamento,

T ≫ 1MeV .

Para completar nosso estudo dos efeitos do stress anisotrópico dos neutrinos, no

caṕıtulo 6 analisamos seu impacto sobre anisotropias na temperatura da radiação cósmica

de fundo através do cálculo do espectro de potência angular, CTl . Primeiramente avaliamos

a influência da adição de neutrinos ao plasma, na ausência de colisões, onde comparamos

nossos resultados com uma função anaĺıtica descrevendo um universo de radiação mais

matéria através da solução para o regime de domı́nio da matéria mais uma função trans-

ferência para considerar modos que entraram no horizonte na era da radiação. Então,

consideramos colisões e recalculamos os resultados da variância da temperatura em um

peŕıodo de domı́nio RMD. Por fim, fizemos uma breve discussão sobre a razão entre a

contribuição tensorial e escalar sobre anisotropias na temperatura, em particular para o

termo de quadrupolo CT2 /C S 2 .

As conclusões e discussões sobre nossos resultados são apresentadas no caṕıtulo 7, em

particular para o peŕıodo de domı́nio RMD. Discutimos também sobre a consideração de

neutrinos exóticos como um meio de validar nossos resultados.

Por todo o trabalho, por conveniência, utilizaremos unidades naturais tal que c =

h/2π = kB = 1, e iremos resolver nossas equações no espaço de Fourier, onde ∂/∂x i → iki.

Finalmente, iremos adotar a seguinte assinatura para a métrica: (−,+,+,+).

16

2 O universo plano, homogêneo e isotrópico em expansão

Neste caṕıtulo, iremos introduzir os elementos fundamentais que são a base do modelo

cosmológico padrão, a saber, o modelo ΛCDM. A teoria base que será utilizada é a

relatividade geral de Einstein, onde particularmente iremos partir da equação de Einstein

para obter alguns resultados importantes. No modelo ΛCDM, temos que os constituintes

básicos são os fótons, neutrinos (iremos considerar apenas neutrinos ultra-relativ́ısticos,

que se comportam como neutrinos sem massa), bárions, matéria escura fria e energia

escura modelada como constante cosmológica.

Sendo que a relatividade geral é fundamentalmente descrita em termos de tensores,

vamos introduzir inicialmente algumas propriedades de álgebra tensorial que irão ser úteis

no desenvolvimento deste trabalho. Logo após, uma descrição da densidade de energia

dos constituintes do universo será feita, sempre considerando o caráter de expansão do

nosso modelo de universo.

2.1 Fundamentos Algébricos

Toda a formulação da relatividade geral é feita em um espaço Riemanniano quadri-

dimensional (três dimensões espaciais e uma temporal), onde cada ponto é denotado

através do conjunto de coordenadas xµ ≡ (x0, x1, x2, x3). De acordo com a notação convencional, ı́ndices gregos são usados para as quatro coordenadas 0, 1, 2 e 3 e ı́ndices

latinos para as três coordenadas espaciais 1, 2 e 3. Ainda de acordo com o comumente

usado, ı́ndices gregos ou latinos iguais são somados sobre as respectivas coordenadas.

Todo o formalismo de álgebra tensorial pode ser detalhadamente encontrado em [13, 14].

Dessa forma, um tensor genérico é definido como

T ′µ1µ2...ν1ν2... = ∂x′µ1

∂xα1

∂x′µ2

∂xα2 ... ∂xβ1

∂x′ν1

∂xβ2

∂x′ν2 ...Tα1α2...β1β2... , (2.1)

2.1 Fundamentos Algébricos 17

sob uma transformação de coordenadas xµ → x′µ.

Em especial, o tensor métrico gµν contém toda informação geométrica do espaço de

Riemann, pois define o intervalo espaço-temporal entre dois eventos que se localizam em

e + dxµ e estão infinitesimalmente separados:

ds2 = gµνdx µdxν . (2.2)

Algumas propriedades importantes do tensor métrico são que ele é um tensor simétrico

gµν = gνµ, tendo sua forma contravariante g µν definida por gµλg

σµ = δσλ , onde δ σ λ é o delta

de Kronecker (igual à unidade se λ = σ e zero no caso contrário).

A derivada covariante, generalização da derivada parcial no espaço de Riemann, é

difinida como

1α2...β1β2...;σ = T α1α2... β1β2...,σ

+(Γα1σνT να2... β1β2...

α2σνT α1ν... β1β2...

+ ...)µβ1σT α1α2... µβ2...

µβ2σT α1α2... β1µ..

+ ...), (2.3)

onde Γασν é um pseudo-tensor conhecido como śımbolo de Christoffel. A notação utilizada

acima é de que a v́ırgula denota derivada parcial ao passo que ponto e v́ırgula denotam

derivada covariante.

No caso da relatividade geral, o simbolo de Christoffel pode ser escrito em função do

tensor métrico como

Γµαβ = 1

2 gµν [∂βgαν + ∂αgβν − ∂νgµν ] , (2.4)

onde definimos a notação ∂ ∂xα

= ∂α.

Além disso, para qualquer vetor covariante é posśıvel demonstrar a relação ;ν;λ − Tµ;λ;ν = TσR

σ µνλ onde R

σ µνλ é o tensor curvatura ou tensor de Riemann e é definido por

Rσµνλ ≡ Γσµλ,ν − Γσµν,λ + ΓσανΓαµλ − ΓσµλΓαµν . (2.5)

Devido à sua importância em geometria diferencial, algumas propriedades do tensor

de Riemann são:

Rσµνλ = −Rµσνλ = −Rσµλν ,

Rσµνλ = Rνλσµ, (2.6)

Rσµνλ +Rσλµν +Rσνλµ = 0.

2.1 Fundamentos Algébricos 18

O tensor de Riemann obedece ainda a identidade de Bianchi:

Rσµνλ;ρ +Rσµρν;λ +Rσµλρ;ν = 0. (2.7)

A forma contráıda do tensor de Riemann

Rµν = g λσRλµσν = R

σ µσν , (2.8)

é conhecida como tensor de Ricci e pode ser escrita como

Rµν = Γ α µα,ν − Γαµν,α + ΓβµαΓανβ − ΓβµνΓααβ, (2.9)

e, por fim, contraindo o tensor de Ricci, obtemos o chamado escalar de Ricci:

R = gµνRµν . (2.10)

Uma vez que o escalar de Ricci é um invariante, vale a pena ressaltar que ele não

depende do sistema de coordenadas inercial escolhido.

A expansão do universo

Segundo o modelo cosmológico padrão, o universo está em expansão isotrópica, o

que significa que ele se expande da mesma maneira em todas direções do espaço-tempo.

Assumindo isso, a distância entre duas galáxias, por exemplo, é maior hoje do que foi no

passado. Assim, partindo da suposição de uma expansão uniforme, podemos traçar uma

rede imaginária que cresce uniformemente conforme o universo se expande, ou evolui no

tempo. Chamaremos esta rede imaginária de sistema de coordenadas comóveis, sendo que

de acordo com essa definição a distância entre duas galáxias não é alterada em função

do tempo. Podemos definir também um ponto comóvel como sendo a localização de um

observador que mede densidade de momento zero. Por outro lado, a distância f́ısica entre

dois objetos é a distância comóvel multiplicada por um parâmetro de expansão (fator

de escala), que iremos chamar de a. Desse modo, obtemos a seguinte relação entre as

coordenadas comóveis = (η, x⃗) e as coordenadas f́ısicas = (t, r⃗):

a(η) ≡ ∂r µ

∂xµ =

∂t

∂η =

∂r⃗

∂x⃗ , (2.11)

onde η é chamado de tempo conforme.

Em um universo plano, é conveniente normalizar o fator de escala para a unidade para

a época presente. Desse modo, ao longo de todo o texto o subscrito 0 indicará o valor

2.1 Fundamentos Algébricos 19

Figura 1: Expansão do universo para os tempos η1 < η2 < η3, respectivamente. Enquanto a distância comóvel entre os pontos independe do tempo, a distância f́ısica é a distância comóvel multiplicada pelo fator de escala no respectivo tempo.

presente de qualquer grandeza.

Uma vez que o universo está se expandindo uniformemente, a chamada lei de Hubble

prevê que as velocidades instantâneas das galáxias distantes aumentam linearmente con-

forme a distância ao observador, onde o parâmetro de proporcionalidade é chamado de

parâmetro de Hubble:

H(η) 1 a

da

dt =

1

a2 da

dη ≡ ȧ

a2 , (2.12)

onde pontos denotam derivadas em relação ao tempo conforme.

Por fim, assumimos que em nosso modelo o universo é plano. Partindo disso, podemos

escrever a métrica para um universo plano em expansão uniforme como

ds2 = a2(η)[−dη2 + δijdxidxj], (2.13)

ou, retornando ao tempo f́ısico como variável temporal:

ds2 = −dt2 + a2(t)δijdxidxj, (2.14)

que na forma matricial é escrita como:

gµν =



1 0 0 0 0 a2 0 0

0 0 a2 0

0 0 0 a2

 . (2.15)

2.2 Conteúdo energético do universo 20

2.2 Conteúdo energético do universo

Na relatividade geral, as propriedades de energia e momento de uma dada part́ıcula

são descritas pelo tensor momento-energia, definido formalmente para um flúıdo ideal

como [12]

T µν = Pgµν + (ρ+ P)UµU ν , (2.16)

onde é a quadri-velocidade das part́ıculas, ρ e P são, respectivamente, a densidade e a pressão do flúıdo, medidos no sistema de coordenadas comóveis.

Em coordenadas comóveis e para velocidades peculiares zero o tensor momento-energia

é escrito como

T µν =



−ρ 0 0 0 0 P 0 0 0 0 P 0 0 0 0 P

 . (2.17)

Para um flúıdo que interage apenas gravitacionalmente, a derivada covariante do

tensor momento-energia é zero, correspondendo à equação de conservação de T µν :

T µν;µ ≡ ∂T µν ∂xµ

+ ΓµαµT α ν − ΓανµT µα = 0. (2.18)

Tomando a componente tempo-tempo do tensor momento-energia, a Eq. (2.18) leva

a ∂ρ

∂η +

a [3ρ+ 3P ] = 0. (2.19)

Assim, a Eq. (2.19) juntamente com a equação de estado de cada tipo de flúıdo

considerado nos fornece a solução para a pressão e densidade de energia dos flúıdos que

compõem o universo (radiação, matéria e energia escura) em função do fator de escala.

Será mostrado agora o comportamento da densidade de energia para cada tipo de flúıdo

do universo.

Radiação

No caso da radiação, que possui uma equação de estado independente do tempo e é

dada por Pr = ρr/3, temos que a equação de conservação do tensor momento-energia leva diretamente à

∂ρr ∂a

+ 4ρr a

= 0 ⇒ ρr ∝ a−4. (2.20)

A relação acima assume a caracteŕıstica de igualdade quando escrevemos a densidade

2.2 Conteúdo energético do universo 21

de energia de radiação em termos da densidade cŕıtica para um universo plano no modelo

FRW (Fredmann-Roberston-Walker), de modo que obtemos:

ρ̄r = Ω0 a4

. (2.21)

Matéria

O comportamento do tensor momento-energia associado a matéria e a matéria escura

fria é o mesmo, assim como suas equações de estado. Ambas são consideradas não re-

lativ́ısticas. Sendo que nestes casos temos Pm = 0, a equação de conservação do tensor momento-energia toma a forma

∂ρm ρm

= 3∂a a

⇒ ρm ∝ a−3. (2.22)

Analogamente, podemos escrever a densidade de energia de matéria em termos da

densidade cŕıtica do universo, de modo que obtemos:

ρ̄m = Ω0 a3

. (2.23)

Energia escura

Por fim, temos outro constituinte do universo, a energia escura, que no modelo ΛCDM

é modelada como constante cosmológica. A equação de estado neste caso é simples e dada

por PΛ = −ρm. Do mesmo modo como nos outros casos, a equação de conservação do tensor momento-energia para energia escura leva a

∂ρΛ ∂η

= 0 ⇒ ρΛ = cte. (2.24)

Escrevendo a densidade de energia da costante cosmológica em função da densidade

cŕıtica:

ρ̄Λ = ρ0ΩΛ. (2.25)

No modelo assumido neste trabalho, assume-se que inicialmente a densidade de energia

de radiação era dominante, sendo muito maior que a densidade de energia de matéria, que

por sua vez era muito maior que a densidade de energia da constante cosmológica (ρr ≫ ρm ≫ ρΛ). Esta última, dado que nos preocupamos com a fase RMD, será desconsiderada para todos os efeitos em nossa análise.

Os respectivos peŕıodos acima são chamados de peŕıodo de domı́nio da radiação,

2.3 A equação de Einstein 22

peŕıodo de domı́nio da matéria e peŕıodo de domı́nio da constante cosmológica. Iremos

definir aqui o tempo conforme no qual o universo passa do domı́nio da radiação para o

domı́nio da matéria por ηeq, correspondendo a igualdade entre as densidades de energia

da radiação e da matéria.

2.3 A equação de Einstein

A principal ferramenta da teoria da relatividade geral é a equação de Einstein. Esta

teoria descreve como a curvatura do espaço-tempo atua sobre a matéria para se mani-

festar na forma de gravidade e como as energias dos flúıdos que estamos considerando

influenciam na estrutura do espaço-tempo, modificando sua curvatura. A equação de

Einstein relaciona de forma dinâmica as duas componentes básicas do universo: o tensor

momento-energia, Tµν , que diz respeito ao conteúdo energético do universo, e o tensor

de Einstein, que leva a informação sobre a geometria do universo. Assim, a equação de

Einstein é escrita como

Rµν − 1

2 Rgµν = 8πGTµν , (2.26)

sendo o tensor de Einstein definido como o lado esquerdo da Eq. (2.26).

Uma forma de se obter a equação de Eisntein é através da seguinte ação S:

S = 1

16πG

d4x

√ −gR+ SM , δS = 0, (2.27)

sendo SM a ação responsável a originar o tensor momento-energia.

Para o nosso modelo de universo considerado plano, homogêneo e isotrópico em ex-

pansão juntamente com a expressão do tensor momento-energia de um flúıdo perfeito, a

componente tempo-tempo da equação de Einstein assume a forma:

8πGa2

3 ρ =

(

a

)2 . (2.28)

Esta equação é conhecida como equação de Friedmann. Já a componente espaço-

espaço do traço da equação de Einstein, nas mesmas considerações acima, tem a forma

dada por:

8πGa2P = 2 ä a −

(

a

)2 . (2.29)

As outras componentes da equação, a saber, as componentes espaço-tempo e espaço-

espaço sem traço são nulas nas condições de homogeneidade e isotropia.

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