pelegrino daniel topologia geral, Notas de aula de Matemática. Universidade Federal do Amazonas (UFAM)
Danalenkar
Danalenkar13 de maio de 2015

pelegrino daniel topologia geral, Notas de aula de Matemática. Universidade Federal do Amazonas (UFAM)

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NOTAS DE AULA: TOPOLOGIA GERAL

DANIEL PELLEGRINO

Sumário

1. Introdução 2 2. Um pouco sobre Teoria de Conjuntos e Lógica 2 2.1. Notações e terminologia 2 2.2. Algumas convenções 2 2.3. O Axioma da Escolha e o Lema de Zorn 2 3. Espaços Métricos 4 4. Espaços Topológicos 6 5. Vizinhanças 8 6. Bases e sub-bases 12 7. Funções contínuas 15 8. Subespaços e topologia relativa 17 9. Homeomor…smos 19 10. Espaços produto e topologias fracas 21 11. Espaços Quocientes 24 12. Convergência de seqüências 25 13. Redes 27 14. Filtros 31 15. — — — — -Cópia da primeira prova do curso— — — — – 33 16. Espaços T0; T1; T2 e T3 34 17. Conjuntos compactos 35 17.1. O Teorema de Tychono¤ 37 18. Uma aplicação do Teorema de Tychono¤ à Análise Funcional: O Teorema de Banach-

Alaoglu-Bourbaki 38 19. Teorema da Extensão de Tietze 40 20. Compacti…cação de Alexandrov 44 21. Compacti…cação de Stone-Cech 46 21.1. Espaços completamente regulares 46 21.2. Compacti…cação de Stone-Cech 47 22. — -Cópia da segunda prova do curso— — — — — — — — — - 49 23. Topologias em espaços de funções 50 23.1. Topologia da convergência pontual 50 23.2. Topologia compacto-aberta 50 23.3. Topologia da convergência uniforme 50 23.4. Topologia da convergência compacta 52 24. Espaços Conexos 54 24.1. Componentes conexas 56 25. Espaços conexos por caminhos 58 26. Homotopias 59 27. Grupos Fundamentais 63 27.1. O grupo fundamental do círculo unitário 67 28. Seminário: O Teorema de Baire 70

1

2 DANIEL PELLEGRINO

29. Respostas de alguns Exercícios 71 Referências 77

TOPOLOGIA- PERÍODO 2009.1 3

1. Introdução

Essas notas de aula não têm pretensão alguma em relação à originalidade. Seu conteúdo é baseado em livros clássicos de Topologia Geral e (principalmente as seções referentes a homotopia e grupos fundamentais) são baseadas em notas de aula de Jorge Mujica.

2. Um pouco sobre Teoria de Conjuntos e Lógica

Um curso de Topologia Geral, invariavelmente, começa com uma introdução à Teoria de Conjuntos. Em nosso curso, supomos um conhecimento “ingênuo”da Teoria de Conjuntos. Um tratamento formal é algo muito interessante, porém difícil e delicado, feito em Lógica Matemática, e não é nosso objetivo seguir por esse caminho. Apesar de nosso tratamento ingênuo à Teoria de Conjuntos, parece-me necessário comentar sobre algumas convenções adotadas e também sobre o Axioma da Escolha e suas consequências.

2.1. Notações e terminologia.

 O conjunto dos números naturais será considerado como N = f1; 2; 3; :::g:  Os termos função e aplicação signi…acam a mesma coisa.  Toda de…nição é suposta tacitamente como algo do tipo "se, e somente se,", mesmo quando isso não for explicitamente mencionado.

2.2. Algumas convenções. Seja X um conjunto (conjunto universo). Se A  P(X) é a coleção A = , é razoável e, acima de tudo, útil, convencionarmos que

S A2A

A = . Por outro lado, o que seria\ A2A

A ?

SeM P(X), de…nimos \ A2M

A = fx 2 X;x 2 A para todo A 2Mg:

Portanto, seM = ; então (por vacuidade) T

A2M A = X:

2.3. O Axioma da Escolha e o Lema de Zorn. Embora a formação de um matemático muitas vezes passe longe de um curso de Lógica Formal, é bom que (pelo menos) saibamos que a matemática que usamos possui, como alicerces, axiomas para a construção e manipulação de conjuntos. Esses axiomas são conhecidos como Axiomas de Zermelo-Fränkel (ZF). O Axioma da Escolha (AE) garante a existência de um conjunto escolha E; que possui exatamente

um elemento de cada conjunto de uma família A de conjuntos não vazios. Precisamente:

Axioma 2.1. (Axioma da Escolha). Dada uma coleção A de conjuntos não-vazios e disjuntos, existe um conjunto E que possui exatamente um elemento em comum com cada conjunto pertencente a A. Em outras palavras, para cada A 2 A , o conjunto E \A tem apenas um elemento.

Seu enunciado parece bobo, porém é indispensável em vários resultados da matemática moderna. Muita controvérsia sempre cercou o Axioma da Escolha. Para conjuntos …nitos, o AE não é necessário, pois pode ser obtido a partir de outros axiomas de (ZF). Entretanto, para conjuntos in…nitos, às vezes certos resultados só podem ser obtidos por intermédio do AE. No passado, alguns matemáticos famosos relutavam em aceitá-lo, e a matemática "sem o Axioma da Escolha"deu origem à matemática construtiva. Pessoalmente, não acho que o ponto central seja se o axioma da escolha é aceitável ou não. Acredito

que podemos evitar controvérsias com a seguinte questão:

 Queremos estudar matemática com ou sem o Axioma da Escolha?

4 DANIEL PELLEGRINO

Qualquer um dos caminhos certamente nos levará a problemas interessantes, e tentar modi…car algumas demonstrações para evitar o uso do AE, quando possível, também á algo que me parece interessante. Bom, atualmente o Axioma da Escolha faz parte da lista de axiomas da maioria dos matemáticos,

e não seremos nós que faremos diferente. Um resultado equivalente ao AE é o “menos inofensivo”Lema de Zorn (LZ), que veremos a seguir.

Apesar aparentemente menos natural, ele é obtido a partir dos nossos axiomas, e portanto podemos usá-lo sem hesitação! É bom que saibamos, entretanto, que essa equivalência é apenas uma dentre numerosas outras conhecidas. Curiosamente, vários resultados que foram obtidos como consequências do AE, posteriormente mostraram-se equivalentes ao AE. Esse é mais um ponto muito interssante a respeito do AE: mesmo sendo aparentemente inofensivo, ele é equivalente a muitos resultados fortemente não intuitivos. Por exemplo, o Teorema da Boa-Ordenação, que a…rma que qualquer conjunto pode ser bem-ordenado, é equivalente ao AE. Nesse curso, precisaremos apenas do Lema de Zorn. O LZ é peça fundamental na construção de

vários teoremas dos mais diversos ramos da matemática. É claro que por ser equivalente ao AE, toda demonstração que usa o LZ poderia usar o AE no seu lugar. Entretanto, curiosamente, o LZ parece ter mais fácil aplicação em algumas situações, e se consagrou em várias demonstrações de resultados clássicos: Teorema de Hahn-Banach e Teorema de Bishop-Phelps, na Análise Funcional, a demonstração de que todo espaço vetorial possui uma base de Hamel, na Álgebra Linear, Teorema de Tychono¤, em Topologia Geral, etc. Para enunciar o Lema de Zorn, precisamos de uma nomenclatura adequada. Seja P um conjunto munido de uma relação de ordem parcial . Dizemos que Q  P é totalmente ordenado se para quaisquer q1; q2 2 Q tivermos que q1  q2

ou q2  q1: Dizemos ainda que um elemento p 2 P é cota superior para um conjunto R  P se para todo r 2 R tivermos r  p. Um elemento m 2 P é dito maximal se sempre que x 2 P for tal que m  x; tivermos x = m. Por …m, dizemos que um P é indutivo se para todo subconjunto R  P; totalmente ordenado, existe uma cota superior pR 2 P . Agora, podemos enunciar o Lema de Zorn:

Lema 2.2. (Lema de Zorn). Todo conjunto parcialmente ordenado, indutivo, não-vazio, admite um elemento maximal.

TOPOLOGIA- PERÍODO 2009.1 5

3. Espaços Métricos

De…nição 3.1. Um espaço métrico é um par ordenado (M;d) formado por um conjunto M e uma função d :M M ! R satisfazendo, para quaisquer x; y; z em M : a) d(x; y)  0; b) d(x; x) = 0 e d(x; y) = 0 implica x = y; c) d(x; y) = d(y; x); d) d(x; z)  d(x; y) + d(y; z): A função d é chamada métrica em M . Se todas as condições acima são satisfeitas com a

exceção da segunda parte do item (b), dizemos que d é uma pseudométrica e (M;d) é um espaço pseudométrico. Quando não houver dúvidas quanto à natureza de d, escreveremos apenas M no lugar de (M;d):

Exemplo 3.2. A reta com a função d(x; y) = jx� yj ; o Rn com a função d(x; y) = s

nP i=1

(xi � yi)2

são exemplos de espaços métricos.

Exemplo 3.3. Qualquer conjunto X pode ser munido de uma métrica. Por exemplo, a função d(x; y) = 1 se x 6= y e d(x; y) = 0 se x = y é uma métrica em X; chamada métrica discreta. A noção de métrica nos abre o caminho para de…nirmos continuidade sob um ponto de vista mais

abstrato do que estamos acostumados no cálculo:

De…nição 3.4. Se (M;d1) e (N; d2) são espaços métricos, uma função f : M ! N é contínua em x 2M se para cada " > 0, existir um  > 0 tal que d2(f(x); f(y)) < " sempre que d1(x; y) < : Uma forma equivalente e também útil de se de…nir continuidade será dada adiante, com a noção de

conjunto aberto.

De…nição 3.5. Seja (M;d) um espaço métrico e x um ponto de M Para " > 0; de…nimos

(1) Bd(x; ") = fy 2M ; d(x; y) < "g; que é chamado de bola de raio " em torno de x: Sempre que não houver possibilidade de confusão, escreveremos B(x; ") no lugar de Bd(x; "):

Se E e F são subconjuntos de M; de…nimos a distância entre E e F como sendo

d(E;F ) = inffd(x; y);x 2 E e y 2 Fg: Se E possui apenas um ponto, é comum escrever d(x; F ) no lugar de d(fxg; F ): Agora, imitando (1), de…nimos

Bd(E; ") = fy 2M ; d(E; y) < "g: Perceba que com as noções introduzidas acima, podemos dizer que uma função f :M ! N é contínua em x 2 M se para cada " > 0, existir um  > 0 tal que f(Bd(x; ))  Bd(f(x); "): Essa observação e a próxima de…nição de conjunto aberto, nos darão uma caracterização de função contínua que nos servirá como modelo para a de…nição de função contínua num contexto ainda mais geral.

De…nição 3.6. Um conjunto E num espaço métrico (M;d) é aberto se, e somente se, para cada x 2 E, existe um " > 0 tal que B(x; ")  E: Um conjunto é dito fechado se seu complementar for aberto.

Exercício 3.7. Mostre que um conjunto F é fechado se, e somente se, sempre que toda bola centrada em x possuir pontos de F , isso implicar que x 2 F: Exercício 3.8. Mostre que se F é um subconjunto fechado de um espaço métrico, então, d(x; F ) = 0, x 2 F . O seguinte teorema servirá de referência para a de…nição abstrata de conjunto aberto no nosso curso

de Topologia Geral.

6 DANIEL PELLEGRINO

Teorema 3.9. Os conjuntos abertos em espaços métricos M têm as seguintes propriedades: a) Qualquer união de abertos é um conjunto aberto. b) Qualquer interseção …nita de abertos é um conjunto aberto. c) M e o conjunto vazio são abertos.

Demonstração: Exercício.

TOPOLOGIA- PERÍODO 2009.1 7

4. Espaços Topológicos

Como dissemos, o Teorema 3.9 da seção anterior será nosso modelo para uma de…nição mais abstrata:

De…nição 4.1. Uma topologia em um conjunto X é uma coleção  de subconjuntos de X, chamados conjuntos abertos, satisfazendo as seguintes propriedades: a) Qualquer união de elementos de  é um elemento de  . b) Qualquer interseção …nita de elementos de  pertence a  . c) X e o conjunto vazio pertencem a  .

Dizemos que (X; ) é um espaço topológico, que naturalmente abreviaremos para X quando não houver possibilidade de confusão.

Exercício 4.2. Seja X um conjunto. Seja c a coleção de todos os subconjuntos U de X tais que X � U é enumerável ou U = : Veri…que que c é uma topologia em X.

Exemplo 4.3. Se (M;d) é um espaço métrico, o Teorema 3.9 nos garante que o conjunto formado pelos abertos de M forma uma topologia em M; chamada topologia métrica d: Sempre que (X; ) for um espaço topológico e sua topologia  for uma topologia métrica d para uma

métrica d em X, dizemos que (X; ) é um espaço topológico metrizável .

Se X é um conjunto qualquer, a coleção de todos os subconjuntos de X; que de agora em diante será denotada por P(X), é uma topologia em X, chamada topologia discreta. Uma outro topologia “patológica”é a topologia  = fX;g; chamada de topologia trivial.

Exercício 4.4. Mostre que (X;P(X)) é um espaço metrizável.

Exercício 4.5. Mostre que se X tem mais de um elemento, (X; ), com  = fX;g; não é metrizável.

Novamente, seguindo o que foi feito na seção anterior, de…nimos:

De…nição 4.6. Se X é um espaço topológico e E  X, dizemos que E é fechado se, e somente se, X � E é aberto.

Aplicando as leis de De Morgan, temos:

Teorema 4.7. Se F é a coleção de todos os conjuntos fechados em um espaço topológico X; então: a) Qualquer interseção de elementos de F é ainda um elemento de F , b) Qualquer união …nita de elementos de F pertence a F , c) X e  são elementos de F .

Demonstração. Exercício.

De…nição 4.8. Se X é um espaço topológico e E  X, o fecho de E em X é o conjunto E = \fK  X;K é fechado e E  Kg:

Note que o fecho de um conjunto é uma interseção de fechados, e portanto é um conjunto fechado. Também denotamos E por ClX(E).

Exercício 4.9. Se A  B, então A  B:

Solução. É claro que B  B: Como A  B, temos A  B: Logo B é um conjunto fechado contendo A e daí A  B:

Teorema 4.10. A operação A! A em um espaço topológico X tem as seguintes propriedades: (a) E  E (b)

� E  = E

(c)A [B = A [B (d)  =  (e) E é fechado em X se, e somente se, E = E:

8 DANIEL PELLEGRINO

Demonstração. (a) é fácil.

(b) E  � E  vem do item (a). Como E é fechado (e contém a si próprio), da de…nição de fecho

segue que � E   E:

(c) Temos que A[B é fechado e contém A[B: Daí A [B  A[B: Por outro lado, como A  A[B e B  A [B; temos, pelo lema anterior, que A  A [B e B  A [B; e o resultado segue. (d) é fácil (e) Sabemos que E  E. Se E for fechado, pela de…nição de fecho, segue a outra inclusão. Reciprocamente, se E = E, segue que E é fechado, pois E é fechado.

Exercício 4.11. Mostre que, em geral,

A \B 6= A \B:

De…nição 4.12. Se X é um espaço topológico e E  X, o interior de E em X é o conjunto int(E) = [fG  X;G é aberto e G  Eg:

Note que o interior de um conjunto é uma união de abertos, e portanto é um conjunto aberto.

Exercício 4.13. Mostre que int(E) = X �X � E e que X � E = int(X � E):

Lema 4.14. Se A  B, então int(A)  int(B):

Demonstração. É claro que int(A)  A: Como A  B, temos int(A)  B: Logo int(A) é um conjunto aberto contido em B e consequentemente int(A)  int(B):

Teorema 4.15. A operação A! int(A) em um espaço topológico X tem as seguintes propriedades: a) int(A)  A: b) int(int(A)) = int(A): c) int(A \B) = int(A) \ int(B): d) int(X) = X: e) A é aberto em X se, e somente se, int(A) = A:

Demonstração. Similar à anterior.

Exercício 4.16. Mostre que, em geral,

int(A [B) 6= int(A) [ int(B):

De…nição 4.17. Se X é um espaço topológico e E  X, a fronteira de E é o conjunto FrX(E) = E \ (X � E):

Quando não houver possibilidades de dúvidas, escreveremos simplesmente Fr(E): Claramente, a fronteira de um conjunto qualquer é sempre um conjunto fechado.

Exercício 4.18. Dê exemplo de um conjunto A  R tal que os seguintes conjuntos sejam todos diferentes entre si:

A; A; int(A); int(A); int(A); int(A); int(int(A)):

TOPOLOGIA- PERÍODO 2009.1 9

5. Vizinhanças

De…nição 5.1. Se X é um espaço topológico e x 2 X, uma vizinhança de x é um conjunto U que contém um conjunto aberto V; com x 2 V . De forma equivalente, podemos dizer que V é vizinhança de x se x 2 int(V ): A coleção Ux de todas as vizinhanças de x é chamada de sistema de vizinhanças de x.

Proposição 5.2. O sistema de vizinhanças de x em um espaço topológico X 6=  tem as seguintes propriedades: (a) Se U 2 Ux; então x 2 U: (b) Se U; V 2 Ux, então U \ V 2 Ux: (c) Se U 2 Ux, então existe um V 2 Ux, V  U , tal que U 2 Uy para cada y 2 V: (d) Se U 2 Ux e U  V  X, então V 2 Ux: (e) G  X é aberto se, e somente se, G contém uma vizinhança de cada um de seus pontos.

Demonstração. (a) Se U 2 Ux; então existe V aberto com x 2 V  U: Logo x 2 U: (b) Se U; V 2 Ux, então x 2 int(U) \ int(V ) = int(U \ V ) e daí segue que U \ V 2 Ux: (d) Se U 2 Ux e U  V  X, então x 2 int(U)  int(V ) e daí segue que V 2 Ux: (c) Como U 2 Ux, é claro que int(U) 2 Ux: Seja V = int(U): Logo se y 2 V , temos V 2 Uy: Como

V  U , temos U 2 Uy: (e) Se G é aberto, o próprio G é uma vizinhaça de seus pontos (veja de…nição de vizinhança).

Reciprocamente, se para cada x em G existe uma vizinhaça Vx de x, contida em G, temos que G =

S x2G

int(Vx).

Proposição 5.3. Se cada ponto x de um conjunto X 6=  é associado a uma coleção não-vazia Wx de subconjuntos de X satisfazendo (a), (b),(c) e (d) do teorema anterior, a coleção

 = fG  X;G 2 Wx para cada x 2 Gg é uma topologia para X; e cada coleção Wx é o sistema de vizinhanças de x.

Demonstração. Vejamos que  é uma topologia. É claro que  2  . Para provar que X 2  , seja x 2 X e U 2 Wx (lembre que Wx é não-vazia por

hipótese). Como U  X, segue de (d) que X 2 Wx: Logo X 2 : Seja Vi 2  , para todo i 2 I, com x 2

[ i2I Vi: Então x 2 Vi0 para algum i0 2 I. Como Vi0 2  e

x 2 Vi0 temos Vi0 2 Wx .Como Vi0  [ i2I Vi, segue de (d) que

[ i2I Vi 2 Wx. Logo

[ i2I Vi 2 :

Sejam U; V 2  e x 2 U \V . Logo, U; V 2 Wx e de (b) segue que U \V 2 Wx. Portanto U \V 2 : Agora, provaremos queWx é o sistema de vizinhanças de x. Se U é vizinhança de x, então x 2 int(U)

e, como int(U) 2  , segue que int(U) 2 Wx (pela de…nição de ). Como int(U)  U , de (d) segue que U 2 Wx. Resta provar que todo U 2 Wx é vizinhança de x. Sejam U 2 Wx e V = fy 2 U ;U 2 Wyg: Segue

de (a) que x 2 V: (de fato, U 2 Wx (a)) x 2 U e como U 2 Wx e x 2 U , segue que x 2 V ).

Vejamos que V 2  . Dado y 2 V , temos que U 2 Wy: Por (c), existe W 2 Wy tal que W  U e U 2 Wz para todo z 2 W . Segue, portanto, da de…nição de V que W  V (pois se z 2 W; então z 2 W  U e U 2 Wz, e daí segue que z 2 V ). De (d) segue que V 2 Wy e portanto V 2  (isso é consequência da de…nição de ). Finalmente, como x 2 V e V 2 ; segue que x 2 int(V )  int(U). Logo U é vizinhança de x.

De…nição 5.4. Uma base de vizinhanças em x em um espaço topológico X é uma subcoleção Bx; com Bx  Ux; tendo a propriedade que cada U 2 Ux contém algum V 2 Bx: Assim, Ux pode ser determinado por Bx da seguinte forma:

Ux = fU  X;V  U para algum V 2 Bxg:

10 DANIEL PELLEGRINO

Uma vez escolhida uma base de vizinhanças em x, seus elementos são chamados vizinhanças básicas.

Exemplo 5.5. Em qualquer espaço topológico, as vizinhanças abertas de x formam uma base de vizinhanças em x:

Teorema 5.6. Seja X um espaço topológico e para cada x em X, seja Bx uma base de vizinhanças em x. Então: (a) Se V 2 Bx; então x 2 V: (b) Se V1; V2 2 Bx, então existe um V3 2 Bx tal que V3  V1 \ V2: (c) Se V 2 Bx, então existe um V0 2 Bx, V0  V , tal que se y 2 V0; então existe um W 2 By com

W  V: (d) G  X é aberto se, e somente se, G contém uma vizinhança básica de cada um de seus pontos.

Demonstração. Fácil. Vamos mostrar (c) e (d). (c) Seja V 2 Bx: Seja V1 = int(V ) 2 Ux (logo V1  V ). Logo, existe V0 2 Bx com V0  V1: Se

y 2 V0  V1 (aberto); temos que V1 2 Uy: Logo, existe W 2 By com W  V1  V: A demonstração de (d) também é fácil. Com efeito, se G é aberto, o próprio G é uma vizinhaça de

seus pontos, e existe uma vizinhança básica de cada um de seus pontos, contida em G. Reciprocamente, se para cada x em G existe uma vizinhaça básica Vx de x, contida em G, temos que G =

S x2G

int(Vx).

Proposição 5.7. Seja X 6=  um conjunto. Para cada ponto x 2 X é associada uma coleção não-vazia Bx; de subconjuntos de X; satisfazendo (a),...,(c) do teorema anterior, com (2) 0 = fG  X; para cada x 2 G existe V 2 Bx tal que V  Gg Então 0 é uma topologia em X e cada Bx é uma base de vizinhanças de x:

Demonstração. Para cada x 2 X, considere (3) Ux = fG  X;G  V para algum V 2 Bxg : Note que, pela de…nição acima, temos Bx  Ux: Note que cada Ux satisfaz as propriedades (a),...,(d) da Proposição 5.2. Vejamos (a). Se G 2 Ux; então existe V 2 Bx com V  G. Como, pelo Teorema 5.6 (a), sabemos

que x 2 V , segue que x 2 G, e obtemos (a) da Proposição 5.2. Vejamos (b). Se U1; U2 2 Ux, então existem B1; B2 2 Bx tais que B1  U1 e B2  U2: Logo, pelo

item (b) do Teorema 5.6, existe B3 2 Bx com B3  B1 \ B2  U1 \ U2: Logo, por (3) segue que U1 \ U2 2 Ux e obtemos (b) da Proposição 5.2. Vejamos (c). Se U 2 Ux; existe B  U; B 2 Bx: Pelo Teorema 5.6 (c), existe B0 2 Bx  Ux tal que

B0  B e se y 2 B0; então existe By 2 By; By  B  U . Logo U 2 Uy para todo y 2 B0; e obtemos (c) da Proposição 5.2. Vejamos (d). Se G 2 Ux; então existe V 2 Bx com V  G. Logo, se G  U , temos ainda V  U e

por isso segue que U 2 Ux e obtemos (d) da Proposição 5.2. Note ainda que (é só fazer igualdade de conjuntos, usando as de…nições (3) e (2)):

0 = fG  X; G 2 Ux para cada x 2 Gg : Pela Proposição 5.3 temos que 0 é uma topologia em X e Ux é o sistema de vizinhanças de x em (X; 0) para cada x 2 X. Pela de…inição de Ux em (3) segue que Bx é uma base de vizinhanças de x em (X; 0) para cada x 2 X. 

Teorema 5.8. Seja X um espaço topológico e suponha que uma base de vizinhanças tenha sido …xada em cada x 2 X. Então (a) G  X é aberto se, e somente se, G contém uma vizinhança básica de cada um de seus pontos. (b) F  X é fechado se, e somente se, cada ponto x =2 F tem uma vizinhança básica disjunta de F . (c) E = fx 2 X; cada vizinhança básica de x intercepta Eg (d) int(E) = fx 2 X; alguma vizinhança básica de x está contida em Eg (e) Fr(E) = fx 2 X; cada vizinhança básica de x intercepta E e X � Eg:

TOPOLOGIA- PERÍODO 2009.1 11

Demonstrção. (a) É a parte (d) do Teorema 5.6. (b) Conseqüência imediata de (a), se lembrarmos que um conjunto é fechado precisamente quando

seu complementar é aberto. (c) Lembre que E = \fK  X;K é fechado e E  Kg: Se alguma vizinhança básica U de x

não intercepta E; então x 2 int(U) e E  X � int(U): Como X � int(U) é fechado, segue que E  X � int(U): Logo x =2 E: Daí

E  fx 2 X; cada vizinhança básica de x intercepta Eg:

Reciprocamente, se x =2 E; então X � E é um conjunto aberto contendo x; e portanto contém uma vizinhança básica de x. Portanto essa vizinhança básica não pode interceptar E. (d) Pelo Exercício 4.13 temos

int(E) = X �X � E = X � fx 2 X; cada vizinhança básica de x intercepta X � Eg = fx 2 X; existe uma vizinhança básica de x que não intercepta X � Eg = fx 2 X; existe uma vizinhança básica de x contida em Eg:

(e)

Fr(E) = E \X � E = fx 2 X; cada vizinhança básica de x intercepta Eg

\fx 2 X; cada vizinhança básica de x intercepta X � Eg = fx 2 X; cada vizinhança básica de x intercepta E e X � Eg:

Exercício 5.9. Mostre que Fr(E) = E � int(E):

Teorema 5.10 (Critério de Hausdor¤). Para cada x 2 X, seja B1x uma base de vizinhanças de x para uma topologia 1 em X, e seja B2x uma base de vizinhanças em x para uma topologia 2 em X. Então 1  2 se, e somente se, para cada x 2 X; dado B1 2 B1x, existe um B2 2 B2x tal que B2  B1:

Demonstração. Suponha 1  2: Seja B1 2 B1x: Então, como B1 é vizinhança de x em (X; 1), x está contido em algum elemento B de 1; com B  B1. Como 1  2; temos que B 2 2 e portanto B é vizinhança de x em (X; 2): Logo existe B2 2 B2x tal que B2  B e daí B2  B1: Reciprocamente, se B 2 1; então para cada x 2 B, existe B1  B com B1 2 B1x: Logo, usando

a hipótese, para cada x 2 B; temos que B contém algum B2 2 B2x. Daí B 2 2, pois B contém vizinhanças básicas de cada um de seus pontos:

O teorema anterior pode ser pensado da seguinte forma: Pequenas vizinhanças fazem grandes topologias. Isso é intuitivo, pois quanto menores são as

vizinhanças em um espaço, mais fácil é para um conjunto conter vizinhanças de todos os seus pontos. Assim, é mais fácil que o conjunto seja aberto.

De…nição 5.11. Um ponto de acumulação de um conjunto A em um espaço topológico X é um ponto x 2 X tal que cada vizinhança (ou equivalentemente, cada vizinhança básica) de x contém algum ponto de A, diferente de x. O conjunto A0 formado por todos os pontos de acumulação de A é chamado derivado de A.

Proposição 5.12. A = A [A0:

12 DANIEL PELLEGRINO

Demonstração. Do Teorema 5.8 (c), segue que A0  A e, como A  A; segue que A [ A0  A: Por outro lado, se x 2 A; então cada vizinhança de x intercepta A. Portanto, ou x está em A ou cada vizinhança de x intercepta A em pontos diferentes de x: Daí x 2 A [A0:

TOPOLOGIA- PERÍODO 2009.1 13

6. Bases e sub-bases

De…nição 6.1. Seja (X; ) um espaço topológico. Uma coleção B   é uma base para  (às vezes dizemos base para X) se dado U 2  , existe C  B tal que

U = [ V 2C

V:

Em palavras, todo aberto da topologia pode ser representado como união de abertos da base.

Exercício 6.2. Seja (X; ) um espaço topológico e B  : Mostre que B é uma base para X se, e somente se, sempre que G é um aberto em X e p 2 G, então existe um B 2 B tal que p 2 B  G: Exemplo 6.3. Na reta real, a coleção de todos os intervalos abertos é uma base para a topologia usual. Mais geralmente, num espaço métrico M , a coleção de todas as bolas abertas centradas em pontos de M; é uma base para M .

Teorema 6.4. Seja X 6=  um conjunto. B  P(X) é uma base para uma topologia em X se (a) X =

S B2B

B e

(b) sempre que B1 e B2 estão em B, com p 2 B1 \B2; existe um B3 em B tal que p 2 B3  B1 \B2:

Nesse caso, a topologia é dada por  =  S B2C

B; C  B  :

Demonstração. Seja  =  S B2C

B; C  B  : Note que X 2  por (a) e  2  , pois  é a união de

elementos da subcoleção vazia de B: Pela de…nição de  , temos que a união de elementos de  ainda pertence a : Note que se U =

S B2B1

B e V = S

C2B2 C são elementos de  (com B1  B e B2  B); então

U \ V = S B2B1

B

! \ S C2B2

C

! =

S B2B1

S C2B2

(B \ C) :

Para concluir que U \V 2  , basta mostrar que B \C 2  , pois já sabemos que união de elementos de  ainda pertence a  . Quando B\C = , não há problema. Se B\C 6= , então, para cada p 2 B\C, (b) garante a existência de Bp 2 B com p 2 Bp  B \ C. Logo

B \ C = [

p2B\C Bp 2 :

Logo,  é uma topologia para X; e, pela de…nição de ; segue que B é uma base para a topologia  em X: Por outro lado, é fácil ver que se (X; ) é um espaço topológico não vazio e B é uma base para  , (a)

segue claramente, poisX é aberto, e portantoX = S B2C

B com C  B:Mas S B2B

B  X = S B2C

B  S B2B

B.

Também obtemos (b) facilmente, pois como B1 e B2 estão em B e p 2 B1 \ B2; temos que B1 e B2 são abertos, e portanto B1 \B2 2 : Assim, temos (4) p 2 B1 \B2 =

S B2C

B

com C  B; e segue de (4) que existe B3 2 C  B, com p 2 B3  B1 \B2: Podemos enunciar, portanto, o seguinte:

Teorema 6.5. Seja X 6=  um conjunto. Suponha que B  P(X) satisfaz (a) X =

S B2B

B e

(b) sempre que B1 e B2 estão em B, com p 2 B1 \B2; existe um B3 em B tal que p 2 B3  B1 \B2:

14 DANIEL PELLEGRINO

Então B é uma base para uma topologia  =  S B2C

B; C  B  em X: Reciprocamente, se (X; ) é um

espaço topológico não vazio, e B  P(X) é uma base para ; então B satisfaz (a) e (b).

O próximo terorema relaciona a base de uma topologia com bases de vizinhanças de pontos do espaço topológico.

Teorema 6.6. Seja X 6=  um espaço topológico. Se B é uma coleção de abertos em X, B é uma base para X se, e somente se, para cada x 2 X, a coleção Bx = fB 2 B;x 2 Bg é uma base de vizinhanças em x.

Demonstração. Suponha que B é uma base para X. Para cada x em X, considere Bx = fB 2 B;x 2 Bg: É claro que Bx 6=  (pois x 2 X 2  e portanto existe B 2 B com x 2 B  X) e também é claro que os elementos de Bx são vizinhanças de x. Seja U uma vizinhança de x. Então x 2 int(U) e, como int(U) é uma união de elementos de B; existe algum B em B tal que x 2 B  int(U): Logo B 2 Bx e B  U . Daí concluímos que Bx é base de vizinhanças em x. Reciprocamente, suponha que B é uma coleção de abertos em X e para cada x, Bx = fB 2 B;x 2 Bg

é uma base de vizinhanças em x. Então B  S x2X

Bx. Seja U um aberto de X. Para cada p em U; existe

um elemento Bp de Bp  B tal que p 2 Bp  U . Logo U = S p2U

Bp e portanto U é união de elementos

de B. Daí concluímos que B é base para X.  Podemos também descrever a topologia com uma coleção menor que uma base:

De…nição 6.7. Seja X um conjunto não vazio. Uma sub-base C para uma topologia em X é uma coleção de subconjuntos de X cuja união é igual a X. A topologia gerada por uma sub-base C é de…nida como a coleção  de…nida por

 = f [ B2S

B;S  Fg; e com F = f n\ j=1

Sj ;n 2 N; Sj 2 Cg

formada por todas as uniões de interseções …nitas de elementos de C : Exercício 6.8. Mostre que  de…nida acima é de fato uma topologia. Sugestão: Mostre que F é base para  usando o Teorema 6.5.

Observação 6.9. A De…nição 6.7 é baseada no livro [Topology, a …rst Course, de J.R. Munkres]. Alguns livros apresentam de…nições ligeiramente diferentes. Por exemplo, no livro de S. Willard, se (X; ) é um espaço topológico, uma sub-base para  é uma coleção C   tal que a coleção de todas as interseções …nitas de elementos de C é uma base para  (dentre essas interseções está a interseção\ A2

A). Note que se X = fa; bg e  = f; fag; Xg; então C = ffagg é sub-base para  no sentido de S.

Willard, mas não é no sentido da De…nição 6.7, pois a união dos elementos de C não resulta em X. É importante lembrar que, quando trabalhamos com a de…nição do livro de S. Willard, usamos que,

num conjunto universo X, sempre temos \ A2

A = X:

Exercício 6.10. Leia a observação anterior e considere a de…nição de sub-base do livro de S. Willard. Mostre que nesse contexto qualquer coleção de subconjuntos de um conjunto X é sub-base para uma topologia em X.

Exercício 6.11. Se f g é uma família de topologias em X, mostre que \  é uma topologia em X.

Veri…que se, em geral, [  é uma topologia.

Exercício 6.12. Seja f g uma família de topologias em X: (i) Mostre que existe uma única maior topologia contida em

\  (maior topologia signi…ca uma

topologia que contém qualquer topologia que está contida \  ).

TOPOLOGIA- PERÍODO 2009.1 15

(ii) Mostre que existe uma única menor topologia que contém [  (menor topologia signi…ca que

está contida em qualquer topologia que contenha [  ). Sugestão: mostre que se A =

[  ; então

B = f\A2CA; C  A e C é …nitog é base para uma topologia  que contém A (use o Teorema 6.5). Em seguida, mostre que qualquer topologia que contém A deve necessariamente conter : Daí, obtenha a unicidade.

Exercício 6.13. Mostre que se B é uma base para uma topologia em X, então essa topologia coincide com a interseção de todas as topologias que contém B. Prove o mesmo para uma sub-base.

16 DANIEL PELLEGRINO

7. Funções contínuas

De…nição 7.1. Sejam X e Y espaços topológicos e seja f : X ! Y uma função. Então f é contínua em x0 2 X se, e somente se, para cada vizinhança V de f(x0) em Y , existir uma vizinhança U de x0 em X tal que f(U)  V: Dizemos que f é contínua em X se f for contínua em cada ponto de X. Exercício 7.2. Mostre que na de…nição acima podemos trocar “vizinhança”por “vizinhança básica”.

Exercício 7.3. Mostre que na de…nição acima podemos trocar “vizinhança”por “aberto”

O próximo teorema nos dá caracterizações bastante úteis de funções contínuas:

Teorema 7.4. Se X e Y são espaços topológicos e f : X ! Y é uma função, as seguintes a…rmações são equivalentes: (a) f é contínua, (b) para cada aberto H em Y , temos que f�1(H) é aberto em X, (c) para cada fechado K em Y , temos que f�1(K) é fechado em X (d) para cada E  X, f(ClX(E))  ClY (f(E)): Demonstração. (a) ) (b). Se H é aberto em Y , então para cada x 2 f�1(H); H é uma vizinhança de f(x): Pela

continuidade de f , existe uma vizinhança V de x tal que f(V )  H: Logo V  f�1(H): Concluímos que f�1(H) contém uma vizinhança de cada um de seus pontos, e portanto f�1(H) é aberto.

(b)) (c). Se K é fechado em Y , então f�1(Y �K) é aberto em X. Então f�1(K) = X � f�1(Y �K)

e portanto f�1(K) é fechado em X. (c)) (d). Seja K um fechado em Y , com f(E)  K. Pela parte (c), temos que f�1(K) é fechado

em X e contém E. Então ClX(E)  f�1(K): Daí f(ClX(E))  K: Como isso vale para qualquer conjunto fechado K contendo f(E); temos que

f(ClX(E))  ClY (f(E)): (d) ) (a): Seja x 2 X e seja V uma vizinhança de f(x): Podemos, se necessário, diminuir V e

considerá-la aberta. De…na E = X � f�1(V ) e U = X � ClX(E): Como, por hipótese, f(ClX(E))  ClY (f(E)); temos que x 2 U . De fato, se fosse x =2 U , teríamos

x 2 ClX(E) e daí (5) f(x) 2 f(ClX(E))  ClY (f(E)): Mas

f(E) = f(X � f�1(V ))  Y � V e V é aberto. Daí Y � V é fechado e, pela de…nição de fecho, ClY (f(E))  Y � V: Como f(x) 2 V , temos que f(x) =2 ClY (f(E)) (isso contradiz (5)). Logo x 2 U: Além disso, f(U) = f(X � ClX(E))  f(X � E) = f(f�1(V ))  V e f é contínua.

Teorema 7.5. Se X;Y e Z são espaços topológicos e f : X ! Y e g : Y ! Z são funções contínuas, então g  f : X ! Z é contínua.

Demonstração. Se H é aberto em Z, (g  f)�1 (H) = f�1(g�1(H)) é aberto em X, e portanto g  f é contínua.  Exercício 7.6. A função característica de um subconjunto A de um conjunto X é a função (denotada por 1A) de X em R que assume o valor 1 en pontos de A e o valor zero nos outros pontos de X. Mostre que 1A é contínua em A se, e somente se, A é aberto e fechado em X.

Exercício 7.7. Mostre que X é possui a topologia discreta ( = P(X)) se, e somente se, qualquer f : X ! Y é contínua para qualquer espaço topológico Y . Exercício 7.8. Mostre que X tem a topologia trivial se, e somente se, toda função f : Y ! X for contínua, para qualquer espaço topológico Y .

TOPOLOGIA- PERÍODO 2009.1 17

Exercício 7.9. Mostre que se f : X ! Y é tal que f�1(A) é aberto para cada A aberto de uma sub-base da topologia de Y , então f é contínua. A recíproca vale?

Exercício 7.10. Se f e g são funções contínuas de X em R, mostre que o conjunto dos pontos para os quais f(x) = g(x) é um conjunto fechado.

Exercício 7.11. Se f é uma função de um espaço topológico X no plano R2, podemos associar a f as funções coordenadas f1 e f2; cada uma de X em R. Mostre que uma função f : X ! R2 é contínua se, e somente se, as suas funções coordenadas são contínuas.

18 DANIEL PELLEGRINO

8. Subespaços e topologia relativa

Um subconjunto de um espaço topológico herda a topologia de maneira bastante natural:

De…nição 8.1. Se (X; ) é um espaço topológico e A  X, a coleção  0 = fG \ A;G 2 g é uma topologia em A, chamada topologia relativa. Um subconjunto A de um espaço topológico (X; ), com a topologia relativa, é chamado subespaço.

Sempre que usarmos uma topologia num subconjunto de um espaço topológico, assumiremos que essa é a topologia relativa (a menos que se diga algo em contrário).

Exemplo 8.2. A reta, pensada como o eixo x do plano, herda a topologia do R2:

Exemplo 8.3. Os inteiros, como subespaço da reta, herdam a topologia discreta (onde todos os subconjuntos são abertos).

Teorema 8.4. Seja A um subespaço de um espaço topológico X. Então, (a) H  A é aberto em A se, e somente se, H = G \A, com G aberto em X; (b) F  A é fechado em A se, e somente se, F = K \A, com K fechado em X; (c) Se E  A, então ClA(E) = A \ ClX(E); (d) Se x 2 A, então V é uma vizinhança de x em A se, e somente se, V = U \ A, onde U é uma

vizinhança de x em X; (e) Se x 2 A, e se Bx é uma base de vizinhanças para x em X, então fB \A;B 2 Bxg é uma base

de vizinhanças para x em A; (f) Se B é base para X, então fB \A;B 2 Bg é base para A. Demonstração. (a) é imediato da de…nição da topologia relativa. (b) Se F é fechado em A, então F = A � C com C aberto em A. Logo F = A � (A \D) com D

aberto em X: Daí F = A \ (X �D): Como X �D é fechado em X, basta fazer X �D = K: Reciprocamente, se F = K \A, com K fechado em X; então

A� F = A� (K \A) = A \ (X �K): Como X �K é aberto em X, segue que A� F é aberto em A e consequentemente F é fechado em A: (c) Note que, como E  A, temos

ClA(E) = \fK  A;K é fechado em A e E  Kg = \fA \ F ; F é fechado em X e E  A \ Fg = \fA \ F ; F é fechado em X e E  Fg = A \ (\fF  X;F é fechado em X e E  Fg) = A \ ClX(E):

(d) Seja V vizinhança de x em A: Então existe um aberto U0 de A tal que x 2 U0  V: Mas U0 = U \A, com U aberto em X: Daí

V = [U [ (V � U)] \A e como U [ (V � U) é vizinhança de x em X; uma das implicações está provada. Por outro lado, suponha que V = U \ A e x 2 V; onde U é vizinhança de x em X. Então, existe

um conjunto B aberto em X tal que x 2 B  U: Logo x 2 B \A  U \A = V . Como B \A é aberto em A, segue que V é vizinhança de x em A:

(e) Seja x 2 A e V uma vizinhança de x em A. Pelo item (d), V = A \ U com U vizinança de x em X: Como Bx é base de vizinhanças de x em X, existe B 2 Bx tal que x 2 B  U: Logo x 2 A \B  A \ U = V: Daí fB \A;B 2 Bxg é base de vizinhanças de x em A.

(f) Exercício.

Exercício 8.5. Seja X um espaço topológico e F  X fechado em X. Se F1  F é fechado em F; mostre que F1 é fechado em X.

TOPOLOGIA- PERÍODO 2009.1 19

De…nição 8.6. Se f : X ! Y e A  X, denotaremos por f j A a restrição de f a A, ou seja, a função de A em Y dada por (f j A)(a) = f(a) para cada a em A:

Proposição 8.7. Se A  X e f : X ! Y é contínua, então (f j A) : A! Y é contínua.

Demonstração. Se H é aberto em Y; então (f j A)�1(H) = f�1(H) \ A; e este conjunto é aberto na topologia relativa de A. O próximo resultado é uma espécie de recíproca da proposição anterior:

Teorema 8.8. Se X = A [ B; com A e B abertos (ou ambos fechados) em X, e f : X ! Y uma função tal que (f j A) e (f j B) são contínuas, então f é contínua.

Demonstração. Suponha A e B abertos e H é aberto em Y . Como

f�1(H) = (f j A)�1(H) [ (f j B)�1(H); e como (f j A) e (f j B) são contínuas, temos que (f j A)�1(H) e (f j B)�1(H) são abertos em A e B, respectivamente. Como A e B são abertos em X, segue que (f j A)�1(H) e (f j B)�1(H) são também abertos em X (veri…que!) Daí f�1(H) é aberto em X; pois é união de abertos. O caso em que ambos são fechados …ca como exercício.

Exercício 8.9. Suponha Y  Z e f : X ! Y: Mostre que f é contínua se, e somente se, f vista como função de X em Z é contínua.

20 DANIEL PELLEGRINO

9. Homeomorfismos

Na passagem de X para sua imagem f(X) por uma função contínua f , perdemos informação de duas formas. A primeira delas no âmbito de conjuntos: f(X) terá menos pontos que X (precisamente, card(f(X))  Card(X)). A segunda perda é topológica: para cada aberto de f(X); existe um aberto em X associado a ele, mas f não leva necessariamente abertos em abertos. Funções contínuas bijetivas, que levam abertos em abertos tem um papel importante em topologia, e são chamadas de homeomor…smos. Vamos de…nir, entretanto, homeomor…smo de uma maneira diferente, mas a seguir veremos que as noções coincidem.

De…nição 9.1. Se X e Y são espaços topológicos, f : X ! Y é contínua , bijetiva e f�1 é contínua, dizemos que f é um homeomor…smo e que X e Y são homeomorfos. Se f : X ! Y é injetiva e f : X ! f(X) é um homeomor…smo, dizemos que f é um mergulho

(embedding, em inglês) de X em Y; e que X está mergulhado em Y por f:

O próximo resultado nos deixa à vontade para escolher dentre várias de…nições equivalentes de homeomor…smos:

Teorema 9.2. Se X e Y são espaços topológicos e f : X ! Y é bijetiva, as seguintes a…rmações são equivalentes: (a) f é um homeomor…smo, (b) se G  X, então f(G) é aberto em Y se, e somente se, G é aberto em X, (c) se F  X, então f(F ) é fechado em Y se, e somente se, F é fechado em X; (d) se E  X; f(ClX(E)) = ClY (f(E)): Demonstração. (a) ) (b). Seja G aberto em X. Então, f(G) coincide com (f�1)�1(G); que é aberto em Y; pois

f�1 é contínua. Analogamente, se f(G) é aberto em Y , então, como f é contínua, temos que G = f�1(f(G)) é

aberto em X. (b)) (a): Claro, pois se G é aberto em X, então (f�1)�1(G) coincide com f(G), que é aberto em

Y: Daí f�1 é contínua Analogamente, se H é aberto em Y , então H = f(G) para algum G em X. Por hipótese, como H

é aberto, temos que G é aberto. Daí f�1(H) = G (aberto), e portanto f é contínua.. (a)) (c). Seja F fechado em X. Então, f(F ) coincide com (f�1)�1(F ); que é fechado em Y; pois

f�1 é contínua. Analogamente, se f(F ) é fechado em Y , então, como f é contínua, temos que F = f�1(f(F )) é

fechado em X. (c) ) (a). Claro, pois se F é fechado em X, então (f�1)�1(F ) coincide com f(F ), que é fechado

em Y: Daí f�1 é contínua. Analogamente, se H é fechado em Y , então H = f(G) para algum G em X. Por hipótese, como H

é fechado, temos que G é fechado. Daí f�1(H) = G (fechado), e portanto f é contínua. (a)) (d) Como f é contínua, temos

(6) f(ClX(E))  ClY (f(E)): Como f�1 é contínua, temos f�1(ClY (f(E)))  ClX(f�1(f(E))): Daí, “aplicando f”; temos (7) ClY (f(E))  f(ClX(E)): De (6) e (7) segue o resultado.

(d)) (a). Como f(ClX(E))  ClY (f(E)); temos que f é contínua. Resta-nos provar a continuidade de f�1: Como ClY (f(E))  f(ClX(E)) para todo E; escolha G em Y e E = f�1(G): Daí segue que

ClY (f(f �1(G)))  f(ClX(f�1(G))):

Aplicando f�1, temos f�1(ClY (G))  ClX(f�1(G))

TOPOLOGIA- PERÍODO 2009.1 21

e portanto f�1 é contínua e temos um homeomor…smo. 

Espaços topológicos homeomorfos, em topologia, são pensados como iguais. Se denotarmos a propriedade “X homeomorfo a Y ” por X s Y , a relaçao s será uma relação de equivalência em qualquer conjunto formado por espaços topológicos, pois:

 X s X;  se X s Y; então Y s X;  se X s Y e Y s Z; então X s Z:

Para provar que dois espaços topológicos não são homeomorfos, é comum procurarmos alguma propriedade topológica que algum deles satisfaça e o outro não. Precisamente, uma propriedade topológica é uma propriedade de espaços topológicos que, se X a possui, então todos espaços homeomorfos a X também possuem.

Exercício 9.3. Mostre que a reta R é homeomorfa aos intervalos abertos.

Exercício 9.4. Mostre que em R, todos intervalos fechados e limitados são homeomorfos.

Exercício 9.5. Mostre que “ser metrizável” é uma propriedade topológica.

Exercício 9.6. Mostre que “ter cardinalidade @”é uma propriedade topológica.

Em um espaço vetorial X; às vezes temos uma forma de comparar a proximidade entre vetores arbitrários. Tomando a reta e o valor absoluto como modelo, de…nimos uma norma em um espaço vetorial X como uma função k:k : X ! R que satisfaz as seguintes propriedades: i) kx+ yk  kxk+ kyk para quaisquer x; y em X. ii) kxk = 0, x = 0: iii) kxk = jj kxk para todo  no corpo de escalares de X e para todo x em X. Um espaço vetorial munido de uma norma é chamado espaço vetorial normado (evn). Se X e

Y são evn, uma função T de X em Y é chamada operador linear se  T (a+ b) = T (a) + T (b);  T (a) = T (a);

para quaisquer a; b em X e  real. Um operador linear T de X em Y é de…nido como limitado quando existe M tal que kT (x)k 

M kxk ; para todo x em X. Note que aqui abusamos um pouco da notação, usando o mesmo símbolo para normas em X e Y .

Exercício 9.7. Mostre que um operador linear é limitado se, e somente se,

supfkT (x)k ;x 2 X; kxk = 1g <1

Exercício 9.8. Mostre que para um operador linear T de X em Y , as seguintes a…rmações são equivalentes: (a) T é contínuo em algum x0 em X, (b) T é limitado.

Exercício 9.9. Mostre que, se X é um espaço vetorial normado de dimensão in…nita, existem operadores lineares T : X ! R que não são contínuos.

22 DANIEL PELLEGRINO

10. Espaços produto e topologias fracas

Nesta seção vamos de…nir uma topologia natural no produto cartesiano de espaços topológicos.

De…nição 10.1. Seja X um conjunto para cada em �. O produto cartesiano dos conjuntos X é o conjunto

(8) Q 2�

X =

 x : �!

S 2�

X ;x( ) 2 X para cada 2 �  ;

que denotamos simplesmente por Q X se não houver possibilidade de confusão em relação ao conjunto

de índices. Na prática, o valor de x( ) é denotado por x : A função  :

Q X ! X ; de…nida por  (x) = x , é chamada a -ésima projeção.

Se cada X é um espaço topológico, vamos de…nir, em Q X ; uma topologia que seja compatível

com algumas exigências. Queremos, por exemplo, que a topologia em RR seja a topologia usual do R2: Poderíamos pensar em de…nir uma topologia para

Q X simplesmente tomando

Q U (com U

aberto em X ) como base. Entretanto essa topologia, chamada de “box topology” gera muitos abertos, e não é tão interessante na prática. A seguinte de…nição é mais útil:

De…nição 10.2. Sejam (X ;  ) espaço topológicos, para todo 2 A. A topologia produto (ou topologia de Tychono¤ ) em

Q 2AX é obtida tomando como base os conjuntos da forma

Q 2AU ,

onde (a) U é aberto em X para cada ; (b) U = X ; exceto para uma quantidade …nita de índices. Note que (veri…que!) (a) pode ser substituída por (a)0 U 2 B ; para cada ; onde B é uma base (…xa) para a topologia de X ; para cada :

Note que Q

2AU com U = X exceto para = 1; :::; n; pode ser escrito comoQ 2AU = 

�1 1 (U 1) \ ::: \ 

�1 n (U n):

Então, a topologia produto é precisamente a topologia que tem como sub-base a coleção f�1 (U ); 2 A; U é aberto em X g ou ainda f�1 (U ); 2 A; U 2 B , com B base de X g: De agora em diante, a topologia de

Q X será sempre a topologia produto, exceto se algo for mencionado em contrário.

É interessante notar que no caso de produtos cartesianos …nitos, a topologia produto coincide com a “box topology”.

Exemplo 10.3. Seja X um conjunto qualquer e Y = ff : X ! R; f é uma funçãog. De acordo com (8) podemos interpretar Y como sendo Y =

Q 2XZ ; com Z = R para todo :

Um elemento da base da topologia produto de Y é algo do tipo:

U = �1 1 (U 1) \ ::: \  �1 n (U n)

com U j ; j = 1; :::; n, elementos da base (natural) da topologia de R. Assim, cada U j é um intervalo de raio j centrado num certo bj e

(9) U = fg 2 Y ; jg( j)� bj j < j ; para j = 1; :::; ng: Lembre-se que o Teorema 6.6 diz que se B é uma coleção de abertos em Y , B é uma base para Y

se, e somente se, para cada y 2 Y , a coleção By = fB 2 B; y 2 Bg é uma base de vizinhanças em y. Seja f : X ! R uma função. Uma base de vizinhanças de f será, portanto, formada por abertos

como U em (9), que contém f . Portanto,

Bf = fU satisfazendo (9) para certos j ; bj ; j ; n, tais que f 2 Ug : é uma base de vizinhanças de f: Seja Cf  Bf de…nida por

Cf =  V(f; 1;:::; n;") = fg 2 Y ; jg( j)� f( j)j < "; para j = 1; :::; n,

com 1; :::; n 2 X; " > 0 e n 2 Ng

 :

TOPOLOGIA- PERÍODO 2009.1 23

Portanto, os elementos de Cf são vizinhanças de f (isto é, estão em Uf ): Se A 2 Uf , então existe B 2 Bf com B  A, e também existe C 2 Cf com C  B (veri…que!), e portanto C  A. Logo, usando a De…nição 5.4 segue que Cf é base de vizinhanças de f . Em resumo, uma base de vizinhanças de f é formada por todos os conjuntos da forma

V(f ;F ;") = fg 2 Y ; jg(x)� f(x)j < "; para x 2 Fg;

onde F varia pelos subconjuntos …nitos de X e " varia dentre os reais positivos.

De…nição 10.4. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X ! Y: Dizemos que f é uma aplicação aberta (fechada) quando para cada aberto (fechado) A de X, temos que f(A) é aberto (fechado) em Y .

Proposição 10.5.  : Q X ! X é contínua e aberta, mas não necessariamente fechada.

Demonstração. Note que 1 : R2 ! R não é fechada. De fato, o conjunto

F = ([1; 2] f0g) [ ([1=2; 1] f1g) [ ([1=3; 1=2] f2g) [ ([1=4; 1=3] f3g) [ :::

é fechado, mas 1(F ) = (0; 2]: Por outro lado, se U é aberto em X , temos que 

�1 (U ) =

Q U com U = X se 6= : Assim,

pela de…nição da topologia produto, segue que  é contínua. Resta-nos veri…car que é uma aplicação aberta. Se A é aberto em

Q X , temos que A é união dos elementos da base. Assim,

A = [ 

 �1 1;(U

 1 ) \ ::: \ �1 n;(U

 n )  :

Logo

 (A) = [ 



 �1 1;(U

 1 ) \ ::: \ �1 n;(U

 n )  :

Daí concluímos que  (A) é X ou  (A) é uma união de abertos de X : Em todo caso,  (A) é aberto. A seguir, introduzimos o conceito de topologia fraca.

De…nição 10.6. Sejam X 6=  um conjunto, X espaços topológicos com f : X ! X funções, para cada 2 �: A topologia fraca induzida em X pela coleção ff ; 2 �g é a topologia que tem como sub-base a família ff�1 (V );V é aberto em X ; 2 �g.

Observação 10.7. Note que se fX g 2A é uma família de espaços topológicos, a topologia produto em

Q 2AX é a topologia fraca em

Q 2AX induzida pelas projeções f ; 2 Ag.

Proposição 10.8. Se X tem a topologia fraca induzida pela coleção ff ; 2 �g; com f : X ! X , então f : Y ! X é contínua se, e somente se, f  f : Y ! X é contínua para cada :

Demonstração. Se f é contínua, como cada f é contínua, é claro que cada f  f é contínua. Reciprocamente, suponha que cada f f seja contínua. Para mostrar que f é contínua, basta mostrar que f�1(G) é aberto para cada G aberto da base da topologia fraca em X. Um aberto da base da topologia fraca de X é representado como

G = f�1 1 (V 1) \    \ f �1 n (V n):

Logo,

f�1(G) = f�1 � f�1 1 (V 1) \    \ f

�1 n (V n)

 = (f 1  f)

�1 (V 1) \    \ (f n  f)

�1 (V n);

que é aberto, pois cada f  f é contínua, por hipótese.

Corolário 10.9. Uma aplicação f : X ! Q X é contínua se, e somente se,   f é contínua para

cada :

24 DANIEL PELLEGRINO

Exercício 10.10. Mostre que

(10) int(AB) = int(A) int(B) e

(11) (AB) = AB:

Exercício 10.11. Mostre que (10) em geral não pode ser generalizada para um produto cartesiano in…nito, mas (11) pode.

Exercício 10.12. Seja A =

[ 2�

A

união disjunta; para cada 2 A seja X um espaço topológico. Mostre queY 2�

Y 2A

X

! é homeomorfo a

Y 2A

X :

Exercício 10.13. Seja ' : A ! B uma bijeção e suponha que para cada a 2 A, o espaço topológico X é homeomorfo a Y'( ): Mostre que

Y 2A

X é homeomorfo a Y 2B

Y .

Exercício 10.14. Seja X um espaço topológico não-vazio, para cada 2 A; seja X = Y 2A

X . Se

b é um ponto …xo em X , para cada 2 A, mostre que B = fx 2 X;x = b exceto por uma quantidade …nita de 2 Ag

é denso em X.

Exercício 10.15. (Este exercício requer algum conhecimento de Análise Funcional) A topologia fraca induzida em X pela coleção de todos os operadores lineares contínuos de X em R tem um papel importante na Análise Funcional. Sejam X um espaço vetorial normado, X = ff : X ! R operadores lineares contínuosg e X = ff : X ! R operadores lineares contínuosg. Seja B o conjunto formado pelas aplicações T : X ! R tais que existe x em X para o qual T (f) = f(x). A topologia fraca em X induzida por B é chamada, em Análise Funcional, de topologia fraca estrela. Mostre que a topologia fraca estrela está contida na topologia fraca em X induzida por X?

TOPOLOGIA- PERÍODO 2009.1 25

11. Espaços Quocientes

A noção de espaço quociente é semelhante à de topologia fraca. Se Y é um conjunto qualquer e (X ) 2� são espaços topológicos, a topologia forte (f ) em Y induzida por uma coleção de funções f : X ! Y é de…nida por

(f ) = fG  Y ; f�1 (G) é aberto em X para todo 2 �g: Perceba que qualquer topologia em Y; para a qual todas as f são contínuas, deve necessariamente

estar contida na topologia forte (f ) .

Exercício 11.1. Veri…que que (f ) é de fato uma topologia.

De…nição 11.2. Se X é um espaço topológico, Y é um conjunto qualquer e g : X ! Y é uma função sobrejetiva, então a coleção g de subconjuntos de Y de…nida por

g = fG  Y ; g�1(G) é aberto em Xg é uma topologia em Y , chamada topologia quociente induzida por g em Y: Quando Y é munido de alguma topologia quociente, dizemos que Y é um espaço quociente e g é a aplicação quociente.

Proposição 11.3. Se X e Y são espaços topológicos e f : X ! Y é sobrejetiva contínua e aberta (ou fechada), então a topologia  de Y coincide com a topologia f :

Demonstração. Suponha que f seja sobrejetiva, contínua e aberta. É claro que   f : Mas, se U 2 f ; segue que f�1(U) é aberto em X. Mas, como f é aberta, U = f(f�1(U)) é aberto na topologia  . Daí concluímos que as topologias são iguais. O caso de f ser fechada …ca como exercício.  O resultado fundamental a respeito de topologias quociente é o seguinte:

Teorema 11.4. Seja Y um espaço topológico munido da topologia quociente induzida pela aplicação sobrejetiva f : X ! Y: Então, para um espaço topológico arbitrário Z e g : Y ! Z qualquer, temos que g é contínua se, e somente se, g  f : X ! Z é contínua.

Demonstração. Se g é contínua, é claro que g  f também é, pois composta de funções contínuas é ainda uma função contínua (Teorema 7.5). Reciprocamente, suponha que g  f é contínua. Seja U um aberto em Z. Então

f�1(g�1(U)) = (g  f)�1(U) é aberto em X: Como Y é munido da topologia quociente, e como f�1(g�1(U)) é aberto, segue que g�1(U) é aberto em Y . Daí concluímos que g é contínua.

comentários (2)
material muito bom para um primeiro curso de topologia geral !!

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