Práticas para Resolver Problemas Matematicos-Algebra e Trigonometria-ed MIR, Notas de estudo de Matemática Computacional
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Prácticas para Resolver PROBLEMAS MATEMÁTICOS V Litvinenko, A. Mordkóvich Algebra > T rgonometria Editorial Mir Moscú Prácticas para Resolver PROBLEMAS MATEMÁTICOS B. IL Jinrexmenko, À. T. Moprsopua TIPAKTHKYM NO PEN EBIIO MATEMATIIECKHX SAJIAU AureGpa “Tpsronomerpua Mocxsa «llpocnemenne» Prácticas para Resolver PROBLEMAS MATEMÁTICOS V Litvinenko, A. Mordkóvich Algebra > Trigonometria a Editorial Mir Moscá “Praducido del rnso por el ingeniero Antonio Dallesteros Elias Impreso en la URSS Ma menanexom astuto ISBN 5-03-000697-4 O Ysnaressetuo aMpocnermene», 1984 & Lraducción al espafiol, editorial Mir, 1989 Indice Prólogo PRIMERA PARTE. ÁLGEBRA Capítulo 1. Transformaciones idénticas de expresiones $ 4. Descomposición de polinomios en factores & 2. Transformaciones idênticas de expresiones racionales & 3. Translormaciones idênticas de presiones irvacionales & 4. Transformaciones idênticas de expresiones exponenciales y loga- ritwicas 5 5. Demostración de desigualdades . 5 6. Comparación de los valores de las expresioncs niméricas Capítulo 1. Solución de ecuaciones y desigualdades 7. Equivalencia de ecuaciones 8. Ecuaciones racionales 9. Ecuaciones quo conticnen una variable bajo el signo de módulo 10, Sistemas de eouaciones racionales 44. Problemas para la composición de ecuaciones y sistemas «te vera- ciones 12. Ecuaciones irracionales Ecuaciones exponenciales 14. Ecuaciones logarítmicas 15. Sistemas de cuuaciones exponenciales y logarítmicas 16. Desigualdades onales 17. Desigualdades irracionales 18. Desigualdades exponenciales 19. Desigualdades logarímicas 20. Ecuaciones y desigualdades con parâmetros o SEGUNDA PARTE, TRIGONOMETRIA Capítulo 1. Transiormaciones idênticas de expresiones - Translormaciones idéndicas de exptesíones trigonométricas - Transformación de las expresiones que conlienen funciones lrigo- nomélricas inversas $ 3, Demeslración de desigualdades tor Capítulu IL. Resolución de ceuaciones y «desigualdades 4, Ecuaciones 5. Sistemas de ecuaciones . Desigualdades 7. Ecuaciones y desigualdades con parámelros o Soluciones 11 19 ao a TESisDe Í 1 1 l 1 1 1 E h 209 233 au El presestte manual está dirigido a los estudiantes de las faculta- des fisicomalemáticas de las Eiscuelas Normales Superiores que estudian la especialidad Nº 2104 «Matomáticas» y «Matemáticas y física». Ha sido escrito en correspondencia con el programa eu vigor «del curso «Prácticas para resolver problemas matemáticos». Al escribir el libro los autores han procurado que em él estén reflejados los pos fundamentales de problemas escolares de álgebra y trigonometria (en cl manual hay cerca de 2000 ejemplos, problemas, ejercicios). De ellos, 1700 son ejercicios de diversa complejidad para ct trabajo individual (junto con los problemas relativamente sencillos, hay otros cuya solución requiere un serio trabajo, en ocasiones no estúndar). La resolución de semejantes problemas ayudará a que e) estudianto adquiera la cualidad profesional más importante del futuro maestro de matemáticas: la capacidad de resolver los proble- suas de matemáticas del curso escolar. El Hibro que ofrecemos al Jector es no sólo y no tanto un compendio de problomas, sino um libro do prácticas. Esto se refleja en ka estruo- tura del libro. Cada apartado contiene, en forma informativa, cl material teórico necesario y una cantidad bastante grande (cerca de 300) ejomplos detalladamente analizados, útiles a los estudiantes des- de el punto de vista metodológico. Al trabajar con el presente material los autores so han basado em Ia serie de manuales para el curso «Prácticas para resolver problemas matemáticos» escritos para los estudiantes por correspondencia en diversos afios. Al escribir el presente manual fueron también em- pleados los libros de texto y los manuales escolares, libros para los maestros, diversos compendios de problemas de álgebra y Lrigo- nometrta, manuales para los estudiantes que ingresan on los centros de enseanza superior, las variantes de los problemas do matemáticas para los exámenes de ingreso a distintos centros de enseftanza supe- vior, los materiales de las olimpiadas escolares de matemáticas. Los autores Primera parte. ALGEBRA Capítulo 1 TRANSFORMACIONES IDÊNTICAS DE EXPRESIONES $ 4. Descomposición de polinomios en factores Para resolver muchos problemas algebraicos suele ser preciso re- presentar el polinomio dado en forma del producto de dos o más polinomios o bien en forma del producto del polinomio por uu monomio que contenga no menos do una variable. No obstante, no cada polinomio permite realizar la descomposición en factores sobre el campo de números xeales. P.ej., los polinomios x + 3, 2 + 6x + + 40 no pueden ser descompuestos en factores. Semejantes poli- nomios reciben el nombre de no reducibles. Se considera que la des- composición de polinomios en factores está Lerminada si los poli- nomios obtenidos son no reducibles. Durante la descomposición de polinomios eu [actores se hace uso de diversos procedimientos: sacando cl factor común de los parén- tesis, mediante la agrupación, empleando las fórmulas de multiplica- ción abreviada, etc. Examinemos varios cjemplos de aplivación de estos procedimientos. EJEMPLO 1. Descompongamos el polinomio en Taclores A fla, d)= a? — 20 — 2abº + b2, 2. tg)=—7a + Tal. soLucion. 1) P.ej., unamos los sumandos extremos em un grupo y los medios, en otro y en el segundo grupo sacamos de los parêntesis el factor común, Obtenemos: fla, b)=(a!+ 6) —2ab (a? + 6º) = (a? + 5) (4 — 2ab). 2) Representemos los términos segundo y Lercero del polinomio prefijado de la forma siguiente: —7a? = —3a? — 49º, Ta = 2a — — da. Entonces escribimos: f (a) = a? — 30? — 44? + 12a — 5a + 15. Agrupamos los sumandos a pares y en cada grupo sacamos de los paréntesis los factores comunes: fla) = (0º — 302) — (4a? — 420) — (5a — 15) = =a(a-—3)—4a(a-3)—5(a—3)=(a—3) ta? —- da — 5). 8 Primera parte, Algebra. Capítulo E Queda por descomponcr en factores el polinomio q? — 44 — 5, Esto es posible de realizar con dos procedimientos. Z-er procedimiento, Tenemos: a — 4a — S = q? -Fa—õa— 5= =ae(a+)—-s(a+)=(0+ Da —. 2-do procedimiento. De la ecuación q? — 4a — 5 = O hallamos las raíces: a = —1, a, = 5. Empleando la fórmula de descomposi- ción en factores de un trinomio cuacrático (az? + bz + c = =a(z—zx)(x— x), obtenemos: a? — 4a —5 = (4 —a;) X x(a-a)=(a+i)(a—s5). Asi, pues, i()=(4—3) (a +1)(a —S). esemPLO 2. Descompongamos eu factores la be=abtar-b)—be(b-+ec)+Hac(a-—e). Solución. Aprovechemos que la expresión en los primeros parén- Lesis es la suma de las expresiones contenidas en los paréntesis segun- do y tercero: al-b=(b-+ec)+(a—c). Entonces fa, dc) = ab((b +) + (a -—c) — be (b + c) + ac(a — c) = =ab(bte)-trab(a-c—belb-+c)+ac(a —c). A continuación, electuamos la agrupación de los términos y sacamos de los paréntesis el factor común. Obtenemos: fla, bo) = (ab (b + o) — be (b + c)) + (ab (a — e) + ac (a — 0)) = =(b--e)(ab—be)-t(a—c)(ab tac) =(b+cbla-—c + +la-catbHe=(a-—c)(b-hojta + db). EJEMPLO 3. Descompongamos en faclores fla) = —54 — a + 5. soLucIoN. Itealicemos la agrupación y, después, saquemos de los paréntesis el factor común: iag=(0—5)—(e—-S)=a(a—-5)—(a—5) = = (a— 5) (8 —1). Empleando seguidamento la fórmula 2 — q? =(p—g)(p Ha), obtenemos: fa) = (a —5) (e — 1) (a + 1). EJBNPLO 4. Descompongamos en factores: Í(a, d) = 40? — t2ab + 50º. sosucion. Completamos el binomio 4a? — 12ab hasta el cuadrado perfecto. Obtenemos: (2a)? — 2 (2a) (3h) + (3b)?. Entonces fla, 6) = (40? — 1206 4 06?) — Ob? + 55? = = (2a — 30) — (20 = (2a — 3b — 2b) (3a — Bb + 20) = = (2a — 5b) (2a — D). 54. Descomposición de polinomios en Factores 9 eseMpPLO 5. Descompongamos em Taclores fla) = a! — 100º + 469. soLucion. Advirtiendo que a! + 169 = (4% 4 43º y completan- do esta suma hasta el cuadrado perfeclo, obtenenios Ja) = (a* + 260º + 169) — 260º — 100? = = (o? + 43)? — (Ga)? = (a? — Ga + 13) (42 4 6a + 13). EJEMPLO 4. Descompongamos en factores Ha b=a pa pap bt —, soLucioN. Como a? — db! = (0)? — (b3)2 = (0º — 5%) (u? + 68) = = (a— b) (0º + ab + b?) (e + b) (02 — ab + dº) y at ft abl b' — = (a! + Sabe + b) — ab? = (02 + DE — (ab)? = (2 + ab + 6) x x (0? — ab + b?), entonces f(a, b) = (a? + ab + 1?) (a* — ab + E b)a—b) (a + D+ 1) = (0º + ab + 6º) (0º — ab + 8) (o? — — 41). BJEMPLO 7 Descompongamos en factores fla) = «+ Ja + 274 + 19. soLuciox. Es fácil ver que hasta el cuadrado perfecto a la expre- sión f (a) le falta 8. Por elto, podemos escribir 7 (4) = (a* + Da? + +MarM)-S=(0+3P—-B=(043-2) (a ss +tu+H3)2+4)=(441)(a? +38 +19). esumpros. Demostremos que si agN y f(a)=a! Ga! + + fia? 4 6a, f(a): 24*. soLucton. Representemos 64? y 1la* en forma de ta suma de los términos semejantes: 6a? = a? + da? y 1a? = Sa? + ba ntonces fla) = a! + (a? + 50º) -- (54? + 60?) + Ga = (a! 0?) + (hat 4 +5)+ be rt)=a(a+L1)+S(a+1)+b6 (a 41) = =a(a+i)(2+5 +6)=a(a+t)(a+2)(a + 3 Pero do cuatro números naturales sucesivos, por lo menos uno de ellos se divide por 3, asi como dos números son pares, es decir, mv de ellos se divide también por 4, por lo tanto, el producto de eslos cralro números se divide por 3-2-4. Así, pues, f (a) : 24. esempLO 9. Demostremos que si / (a) = a? (a? 14) +- 49, donde a es un número impar, f (a) ; 04. sozucron Notemos que f(a)= at tád já wo) TP. Como a es impar, «=2n—1, donde n EN. Esto flu) = =(Qn—-D=(AIn—iPATE= (ans 4 BP = 6 quê — n + 2) La expresión obtenida se divide por 16. Por esta razón, para demoslrar que f (a) : 64 es suficiente demostrar que (nº — n + + 2)2:4. Analicemos dos posibles casos: 4) 12 es um número par y 2) n es un número impar. * Recordemos que cl signo «: » significa «se divide pero (sin resto). 10 Primera parte. Algebra. Capítulo E 1) Sin es par, 2º? también lo es y, por lo tanto, nº? — n + 2 a par, o sea, (nº —n + 2): 2 y, por consiguiente, (nº — n + 2): lo he significa que fla): 64. 2) Sines impar, nº también lo es, pero entonces x? — n es par yu—n-+2, también. Así, pues, en semejante caso f (a) : 64. ds 5. 6. 8. 9. EJERCICIOS Descompongan en factores: tl Zat—t 3 att 4at— 18 +48, ql ca Sgt A atada Tati perros pf at pit dO at 4 dal —s, 11.40! + 50210 12.64! — (4 + abc + ab. 13. 16. 18. 20. aff 30. Mi at pal tt 15,08 patrt Cr rt rar 47 q + 308 A aê — Gg — 12. (2 tar 3 (dart AZ ata a — 2a2b 4º Gab? — ale 4 ac? — 4bto 4 2bc? — Gabe. 21. (ab + ac + be) (a + D+ e) — abe. 22. 23. 25. 26. 27. 28. se Se sá. 35. 36. m 38. 39. nO. 4. 42. 43. 45. 46. 47. «8. 49, 50, ab 2) b(a-z) —2e(a + b) + Babe. (EN aba 24. (a dd) — (at + 05). até (b— a) + be2 (o — 0) + ate (a — 0). SS bry-Witary—SQa—b. Gr (re), at + 9. 29.08 + di, at+ day 3a —9 ca(at (ata 3) + aa out naa DF AS (a + Petra + 2Wr rar (ao be — (a — gh? = (bo ejas. (a od qo — e)? A (a? + A de — (a? — ey, a! + Zatp — tab? — fas — aut + aê + nêc + vc + be? + Babe atttt des — Zap? — Zateê — Bica, tata parar! at + 2a? + 30º + 20 + 1, at — 2b — Sab? — Gal? — bt, attaesy/2 42 44, ol pos + Demuestren que si ac N, (a? — 5a? E da) ; Demuestren que si a es un número mutuamente pio con 6, (a! — 1); 24 Demuestren que si açN, (20º + 34º +a): “Con quê valores de a € N la expresión af E E es un nuhção primo? Demuestren que sia es un número par, z + S+ es un número entero. Ta? Demuestren que si açN, fot Gt Hã lote Aut 7 + es un número entero. $ 2. Transformaciones de expresiones racionalos u 5 2. Translormaciones idênticas de expresiones racionales La suslitución de una expresión analítica por otra idénticamento igual a elta en cierto conjunto, leva el nombre de transformación idéntica en este conjunto de la expresión dada. Al realizar transformaciones idénticas de una expresión es posible la variación de su campo de definición. P.ej., reduciendo los Lórmi- nos semejantes al simplificar la expresión t+3—5 + Va—vVa, (D) ampliamos su campo de definición: la expresión dan sólo está definida con x 0, mientras que el polinomio oblenulo después de Ja simplificación q + 3 —S (2) está definido con cualesquiera valores de x. Las expresnos (1) s (2) son idénticamente iguales sólo en el conjunto [0; col, Ei campo de delinición de la expresión puede asimismo variar después do la simplificación de la fracción. Así, la fracciórn algebraica s—4 Eri trA2) (8) está delinida con v5=1, x —2. Después de simpllicar por (x — 1), obtenemos la Iracción srt E, (4) definida con x 5 —2. Las expresiones (3) y (4) son idénticamente iguales en el conjunto ]—co; —2L J]—2; ALI TU; col La variación del campo de definición de la expresión es también posible como resultado de ciertas otras Lranslormaciones, por to que, después de efecluar la Lransformación de la expresióm dia, siempre hay que saber responder a la pregunta en quê conjunto ella es idéntica a la obtenida. Una expresión algebraica leva cl nombre de racienal si eita sólo contiene operaciones de sumar, mulliplicar, restar, dividir y cleva- ción a una potencia entera. Gac ORE Sá Ba jenb—bê impro 1. Simplifiquemos la expresión f(a, b) = oa soLucion. Representando ab como la suma de los términos seme- jantes 2ab — ab, obtenemos 22 4+0ab—b=208º 4+2ab—-ab— Db =2a(al-b)—blad-b)= =(a+b) (Cab). Entoncos f (a, b) = Aee 2a—b. 12 Primera parte. Algebra. Capítulo I La simplilicaciv por a + b se ha realizado partiendo de la condición de que a + b+&0. De modo que /(a, D)=24—D, siaszE —d. a! — 4062-169 nt Oa-ris o soLucion Después de descomponer en factores el numerador, obte- nemos (véaso elejem. 5, pág. 9): e'— 10024 169 = (a? + Ga «+ 13) x x (a? — tia + 13). Por lo tanto, f(a)— ci E =a—Ga+13. Como a? + Ga + 13 no se reduce a cero con ningúmn valor real de a(o --6+l3=(04+32+45>0), [(0)=a!—6a 413 con todos los valores de «. gsempro 3 Simpliliquemos la expresión geito 2º Simplifiquenos la expresiôn f(a) = o 1 Zu 1 2 (e 34 52a fila (=7 O Perna ram) 7 . soLucion Iealizando las operaciones indicadas, obtenemos: ia) = [ 3420 Uh B) att 2 ct ba 0 lo = (e ourg nas”) Bo = ( ia el Así, pues, [() =2 sia &—), a —2, uz —S. esempro + Simpliliquemos la expresión nê tê Ha, db, Do Sa UEquio Mn socuciun Reduciendo todas las [racciones al mínimo común denominador, obtenemos: j e (beu) +el (ad) Ha dod= u-b—o (eo) Advirticudo que b— c=(a —c) — (a — b), transformamos ch numerador de la siguiente [orma: (b—c) — Bila — c) + +cla-b=a(a-c)—a(a—-b)—b(a—c) ella —b) = =(a—d)J(é—bjH(a—b) (E — dd) = (a—c(a—b)la + db — -c—-ag=(a—b)(b—c(a—o). Así, pues, sia = b ace, bc, f(a, b, =. esguPLOS — Demostremos que sia +b+e= ++ = ade. sorucron Como a -b+tc=0U a=-—b—e. Entonces, Ctprd=(boPIBrS= WAP 4A= = (DS + Bbte + Bb +) AD fc = —(Sbie + Bbe) = —3be x x(b + o). $ 2. Translormaciones de expresiones racionalos 13 Pero d+ c=—a. De modo que a3 | b3 [6 = —abe (—a) = = dabe. eseMPLOG. Demostremos que sia +b+a=0, doule ao, b+0; c+*0, entouces ab | b—e , ca c e b e Pe PR Leça pato u—5 * b—r c—a soLucton. Consideremos el producto del primer faclor en la pri- mera fracción del segundo factor: (spt 4 Ss) + (25 is e) a b ela-b)—tat—b8) ab c SS =i+S (eum) Pero según cl planteamiento apb=—c. Por cello, para el k 2 producto que consideramos, oblenemos do De forma análoga el producto del primer factor por la segunda a a Que fraceión del segundo factor es igud a IH em lanko que por me oa : la tercera fracción, (4 EE, Sumemos los resultalos obtenidos a 2 p aindã rt A aa (SA eg MO) Sabido ni E Como be = 3abe (vease cl cjom. 5, pág. 12), lo que teníamos que demostrar. En los siguientes ejomplos las transformaciones iénticas de expresiones racionales actúan no como objetivo, sino comp medio para resolver problemas en los que se hace uso del método de intuç- ción matemálica. El indicado método se enuncia de la forma siguiente: La afirmación dependiente de un número natural n, es válida para cualquier n, si se realizan dos condiciones: a) la ajirmación es válida para n = 1; b) de la validez de la afirmación para n = E (con cualquier valor natural de k) se desprende también su validez para n = k 41. La demostración según el método de inducción matemática se realiza así. Primero, la afirmación a demostrar se verifica parar = |. 14 Primera parte. Algebra. Capítulo 1 Esta parte do Ja demostración recibe el nombre de base de la induc- ción. La siguiente parto de la demostración leva el nombre de paso de la inducción. tn ella se demuestra la vilidez de la afirmación parar = k + 1 en la suposición de la validez de la alirmación para n = k (suposición de la inducción). EJEMPLO 7. Demostremos que Lr+X4Sr. + mo en ED ED o 6 , soLucion. Para n=4 la afirmaución es válida, ya que = 1 2+1 a — AD Supongamos que elu es correcta cou n=, cs k (REI) (2RA 1) decir, L+2+3+... += H . Demostremos que en tal caso ella tumibién es corvecla cou n=k+1, 0 sea, (+) (6-2) (23) PARAR A Sep t= En cecto, LLLLSL.. RSA (hAP= pera tt) Es ' RED QREDASUADE GADCRATRAHO +41) HU ADA UE = ADA Reta a Asi se ha demostrado la validez de la afirmación para cualquier número nalurai r. GABi as 3 (tu? EJEMILO 8. Demostremos que LP +-B+3+...ri= ee, & sozucion Com n=t la afirmación es válida ya que = 2 ' = (UH) . Supougamos que es correcta con n=k, es decir, BPLPLBA... = (et ) * Demostremos que entonces Lum- bién es correcta con n=k+f, 0 sea, t+ 1) fera? PIPA ABS (AHIP= z En ocfecto, 1º+ pgs 4 do qe tp (AEE ERAS (RAS (RAY pá ed ki) (AA)? + ip=! Ú pintas tee et té = j ) À De este modo queda demostrada la validez de la afirmación para cualquier número natural n. A gsempro 9 Demostremos que la suma de los cubos de tres núme- ros reales sucesivos se divide por 9. =. $ 2. Transformaciones de oxpresiones racionales 15 soLucion. Demostremos que (LM EMA+ BD)! (5) con cualquier » natural. Ante todo comprobemos si la afirmación (5) es válida con n = 1. Tenemos: 1º + 2º + 3º = 36, pero 38:9, por lo tanto, con u = 1 la afirmación es cierta. Supongamos que la afirmación (5) es cierta con un = k, v sea, (4 (I++ 2):D. Demostremos que en tal caso también es cierta con n = k + 1, En realidad, KLIPLKLDPEMRE II = (IPEA + FERLGELIRANESMEPLRLIPLMED) LY GEA + 3k + 3). Como cada sumando de la suma obteuida se divide por D (el primer sumando según la suposición de inducción, el segundo por contener el factor 9), la suma también se divide por ese múinero. De acuerdo con el principio de la inducción matemática llegantos a la conclusión de que la afitmación es cierta con Lodas las n E Y. Es PLO 10. Demostremos que (37 + 40n — 67) : 64 (1) con cualquier 7» natural. SOLUCION. Si n=41, 3140.1467 =0, pero 0:64. listo significa que con 2 = 1 la afirmación (6) es cierta. Supongamos que ella es cierta con n = k, o sea, (3%h* + 40k — 67) : 64. Demoslre- mos que entonces también es cierta con n = k + f, En efecto, Lene- mos 3%+3 1 40(k +14) —67 =9.38H 4 40h —27 = 9 (3H + 40k — 67) — 320k + 576 = 9 (3H + 40k — 67) + 64 (9 — 5h). Cada sumando se divide por 64, por consiguiente, toda la suma se divide, asimismo, por 64. Así, pues, la afirmación (6) es cierta con todas las n EN. EJEMPLO IL. Demostremos que (mu! + 6º + din? + 6n): 24 (7) con cualquier » natural. soLucIóN. Con n = 1 la afirmación es válida, ya que 1 + 6-H1t + +6=24 y 24:24, Supongamos que la afirmación (7) es cierta con n = É, es decir, (kt + 6h3 4 11k2 4 6h): 24. Demostremos que enlonces también es cierta con n=k-+1. Efectivamente, tenemos: (k + 1! + +6(kHIS AA (kHAA 61) = (h! + GR AL Oh) + + 24 (kº + 1) + 4 (1º + 11h). Si ahora demostramos que (8 + 14h): 6 (8) 16 Primera parte. Algebra. Capiudo 1 con todas las k, quedará demostrado que la expresión prelijada se divide por 24. Ante nosotros ha surgido un nuevo problema. Para resolverlo de nuevo hacemos uso del mélodo de inducción malemá- tica. Ante Lodo, comprobemos si es válida la alitmación (8) con k = 1. Esto es evidente: (1 + 11): 6. Sea la afirmación (8) cierta con k = m, es decir, (m? 4- tlm): 6. Demostremos que entonces también lo es con k = m + 1. En cfecto, (AAA (mt) = (mim) +42 + Im (mt). De dos números naturales sucesivos nt, (m -H 1) uno de ellos es obligaloriamente par, por lo Lanto, (»m (m + 1)): 2, mientras que (3m (m + 1): 0. Pero, en tal caso, ((mº + 1tm) + 12 + 3m (m + + 1):6 De aqui llegamos a la conclusiôn de que (4º + 11h): 6 con cualquier X natural, La afirmación (8) queda demostrada. Asi, pues, la afirmación (7) es cierta para todas n EN. Lemos de mdicar que el ejemplo examinado puede ser resuelto sin aplicar el método de inducción matemática. EJERCICIOS 52, Sette “e pagar = tab 2 54. FBT * Galp Sat Tra Tra ira 1,8 4 16 Ee Tg Biol a Era pai s t 1 í De RT ERR Er seat rat Era cs: fa qo 2a3 Rad RT E b =+)—(& E o) (5 =p +). pp pda ( És Zhe ie 5 2. Transformaciones de expresiones racionales 17 í 1 j (1 Etta te Na ab b+e & m=e=at Eden" a=ht=s: ae as—e e 4+e) cflto-a is apacio ab-be' (1+ a-c E ): de Te a 1 E 1 1 Rg À dz O ED a—b | b—e | c—a (a-b)(b—e(c—s) o Sto TF Tere es ratero" ab abs bie— bo + caca? “abalo be ela cal * 10, CPA pd (Emas Gr e— * 71. Demuestren la identidad: be c—a a—b K 2 2 a—») = UÊS (CR t—) ig 72. Demuestren la identidad: (Eb) (de) , pa (80) (do) |, dd “lb lemo EDo bro! (ea) (DT 73. Demuestren que si e, b, cE R, de la igualdad (a—b24(b— e t(c—a= =(e+b—29)!+(b+e—29)34+(c-+a—2b)? se deduce que a=b=c. 74. Demuestren que con a€R(a-—1)(a—3) (a—-4) (a—6)-+10 es un número osítivo. 75. Hallen el menor valor de la expresión (a-—4) (a—3) (2—4) (a—6) +10. SADIO aipiido alpbihe 76. Demuestren que si a+u-+e=", catte the dtiteo, 87. 69. c—o ” EL DEILO GaSLUNILAO 77. Demuestren que si atb-+c=0, : tie ee m? a 78. Demuestren quesi + Bp2=ty Sr2 po, E résG= 79. Demuestren que si to b + e, entonces tr tea Ts E =", donde nb, ce, =, x 80. Demuestren que si E Ea as (beca) DP (a? hc5) + (cbr paty = ata nto, Las siguientes sgios han de demostrarse según el mútodo de induc- ción matemática *, p BL. ABB + (nf Eita * En los cjercicios 81119 se supons que n E N. 20204 18 Primera parte. Algebra. Capítulo 1 e (1-5) (1-2) (1) er BB. 1442-743. o den (UuA)=e (ni 1 1 dis (1-5) (1- 3) (1 ) (car . 85. LA 220p dio ul= (rt DI—A. ni 4 8 qrtartarto et 1“, 2 nã rf) e tataste ct DBO 28h40" 1 2 n Cut) 8. ras bga sst ED Garitnro 20Qr+i)Qn43) god 1 1 cd (los 1 ) “Toa taste dir T VET mrDRAD) - 90, 1.2:8423 44. pag (up) = EO e o) aro (NADO D 12 * VOL 2Apazp Hui = t par 2. 5 “+raromrD nrs ad 1 , 8 (== tu CEA) (u-F3) 93. 4. ETA TIE T Rides (nt). 1 f 1 = arteetã 2n o 1 Me Snsrgbsste cana. dg 1 98. Sa=patagr e “+ a: 1 9 Sa=ratsote ha: 1 1 Tetra tea DGmID: 10L. Se BABI RIP, Demuestreu las identidades: eraierá 102. aqttpge a preta ED o, gondo ab t. a 3 atm a—1) (22—1) 109, Shtpsto eft, qutii ip, 5 3. Transformaciones de expresiones irracinaales 19 Ex 1 gue dis EniboE pe a RT Trato eee aa. donde a donde [x] 551 Demuestren la validez de las afirinaciones: 107. (601) 535. 108. (401521) 59, 409. (genes p5n.gar) FAT. HO. (Gn gnee pamp dE, tt. (3822 Bu —9) 2 64. 1ÍZ, (GM Zan 5 dO, 413. (Qnes.gue pose) 37, Lia. (ep Ben) EST. 4)5. (LUME IZoet) E 133, 116. (20.30 -5n—4) É 25. 47, (Det que zu; 523 18. (gene gen — game gun é 119. (n$3u8 Gn! — 1 — $ 3. Transformaciones idênticas de expresiones irracionales Las expresiones algebraicas en las que hay extracción de Ja raíz de la variable o bien la elevación de ésta a potencia racional f cionaria, Ilevan el nombre de irracionales con relación a dicha varia- ble. Recordemos la definición de raíz aritmética. Sra 0 y n EN, n> 1, sólo hay un número no negativo x tal que se realiza la igual- dad x" = a. Este número x se denomina raíz aritmética de n-ésima potencia del número no negativo a y se designa com Va. De lo dicho se desprende que la igualdad V40 = 7 es cierta, ex Lanto que las igualdades V49 = —7 o bien /49) = +7 son incier- tas. Si n es un número impar mayor que 1 y a << 0, por / a se entiendo semejante número negativo x que x" = a, Sin, k, mEN, 20 y b>0, entonces: 1 Vd=Va Vi. Esta propiedad se propaga al producto de cualquier uútncro de factores, pej, V8-27-125=/3.V27.VD5=2:3:5-=30. po /E-Fe Gbao. õ 5 s bok 20 Primora parte. Algebra. Capítulo 1 OBSERVACION. Sia2). 2) Sia 3) Siax0, «= (r es un positivo racional). pio 4) Sia0, b>0, r y s son números arbitrarios racionales. eseMpLO s. Simplifiquemos la expresión A-(VB+V5-V5) (VT 50— VB. sozucion. Primero simplifiguemos cada uno de los radicales dados: VD=VE2=4V2,V/B=V55=3/5,VB=/82=7V2, VR-y38:3=6 V2, V5W=V100-:5=10V5, V5=VHI=2v2. $ 3, Transformaciones de expresiones irracionales 2 Después de esto la expresión prefijada toma la forma A=(4V2+3V5-7VB(6V2-1V5-2VD= =(3/5-3y%(4v3-10y5) Después, obtenemos: A=12V10-24— 1504-30/10=42y 0174 = =6(7/10--29). gsempLo 2. Simplifiquemos la expresión a=VEya Va VE Va 24 Vas Voy *V2-V 2+V24V3. soLucion. Multipliquemos primero los factores tercero y cuarlo: V2-VasVerys 24 Vas vi VE SE === =Va-(VosV24v3) =Va-çgsV26TD- =Va-Voyyã. Multipliquemos el resultado obtenido por el segundo factor: Va-visyEV vas Vi= Va vp =Vi-B+yV5=VI+r ya. Multipliquemos este resultado por el primer factor: Vaya. Vi vi=VinyB=yT3=+ Así, pues, A=1. EeMPLO 3, Simplifiquemos la expresión d=Y (2d. soLucIoN. De acuerdo con la propiedad 5º de las raíces obte- nemos A=V|2-Y7 |. Poro 2—-V7Vh=Vyi-a. EJEMPLO 4. Simplifiquemos la expresión 4 = Vo —t v2. soLUcIoN. Está claro que la expresión so simplificará si resulta que bajo el signo de la raíz tenemos el cuadrado perfecto de la dife- rencia entre ciertos dos números. Representemos 10 /2 como el producto doble de dos números, la suma de cuyos cuadrados sea igual a 27, es decir, 10 vz e 2y2.5. 2 Pinuera parto, Algebra. Capítulo 1 De esto modo, A=V2-2V2.5+25=V(WZ-5p=|V2-51 y como V2-5 V 392. soLucioN. Hagamos A=V20+V D+V20- 392 y eleve. mos al cubo los dos miembros de esta igualdad. Obtenemos: (20/35) 43 (/ 20 350) V 20— 343 V20+Y x (20 355) + (20— p 305) = 48, 53. Yranslormaciones de expresiones irrucionales 23 37 3 o vie 40+3/20+) 20 + de Sra 4+V%0-V3= 4º, donde V20+V ER +V20— 3 De esta forma, obtenemos: 4043 / AB — (E BOBA = A, 4U + +6A4= 48, A—6A4—40=0. Pero 4º — 64 — 40 = (A? — 44%) + (44º — 1641) |: (104 — “AD = AAA FIA(A 4) +AO(A — 4) = 14 —4) X x (A2--44 + 10). Como A?AH4A LIO=(ALL4A LA) HO =A+A +60, la igualdad (A — 4) (4º 2 44 + 10) = O sólo se realiza con 4 =4, Así, pues, /20+V3924/20— / B=4 EJEMPLO 9. Transiormemos la expresión Ha=V ED Fi+V ERRO a Ja forma que no contieno Jos signos do la raíz y del módulo, SOLUCION, Como Va-darã=yV(a-2)- julio y Vettard=V(+3P=|a+31, Mm)=[a-24 ad Los punlos a = —3 y q, = 2 dividen la recta uumérica en los intervalos ]-—co; —3l, [—3; 21 y [2; cool. Analicemos la expresión prefijada en cada uno de estos intervalos. Cona< —3, tenemos: [a—2|=-at2, |al-3|=—a — —3,0 sea, j(g)=-at-2—-a-—3=-Za—l. Con —3 0. SOLUCION, f(a, D)= 4 ER MES, e AVattI— Vab] vô '
grande livro
Gostei muito deste livro....é lido
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