Probabilidade, Estatísticas e Processos Estocásticos  , Notas de estudo de Engenharia Informática
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Probabilidade, Estatísticas e Processos Estocásticos
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Probabilidade, Estatísti a e Pro essos Esto ásti osCarlos Alberto Ynoguti24 de julho de 2007

Agrade imentos Ao Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães pela riteriosa revisão do texto.

Sumário Lista de Figuras vii1 Probabilidade 11.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Teoria de Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Lei de De Morgan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Prin ípio da Dualidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Denições de Probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Frequên ia Relativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Axiomáti a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3 Clássi a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Cál ulo de probabilidades usando métodos de ontagem. . . . . . . . . . 71.4.1 Amostragem om reposição e ordenação. . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Amostragem sem reposição e om ordenação. . . . . . . . . . . . 81.4.3 Permutação de n objetos distintos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.4 Amostragem sem reposição e sem ordenação. . . . . . . . . . . . 101.4.5 Amostragem om reposição e sem ordenação. . . . . . . . . . . . 111.5 Probabilidade Conjunta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1 Probabilidades Marginais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Probabilidade Condi ional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.1 Regra de Bayes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Eventos independentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Experimentos sequen iais e diagramas em árvore . . . . . . . . . . . . . 161.9 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Variáveis Aleatórias 252.1 Denição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Função distribuição umulativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Tipos de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.1 Dis retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2 Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.3 Mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Função Densidade de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.1 Denição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.3 Caso Dis reto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5 Algumas variáveis aleatórias dis retas importantes . . . . . . . . . . . . 362.5.1 Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

SUMÁRIO iii2.5.2 Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.3 Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.4 Geométri a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6 Algumas variáveis aleatórias ontínuas importantes . . . . . . . . . . . . 382.6.1 Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6.2 Exponen ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6.3 Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6.4 Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6.5 Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6.6 m-Erlang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6.7 Chi-Quadrado (χ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.8 Cau hy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.9 Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.7 Densidades Condi ionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.8 Variáveis Aleatórias Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.8.1 Função Distribuição de Probabilidade Conjunta . . . . . . . . . . 512.8.2 Densidades marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.8.3 Caso multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.8.4 Função distribuição de probabilidade ondi ional . . . . . . . . . 542.8.5 Independên ia Estatísti a de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . 562.9 Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.9.1 Caso Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.9.2 Caso Multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.10 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 Médias Estatísti as de Variáveis Aleatórias 723.1 Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1.1 Média de uma Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1.2 Média de uma Função de uma Variável Aleatória . . . . . . . . . 743.1.3 Médias para Variáveis Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1.4 Média da Soma de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.1.5 Média do Produto de Duas Variáveis Aleatórias Independentes . 773.1.6 Média Quadráti a da Soma de Duas Variáveis Aleatórias . . . . . 773.1.7 Média ondi ional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.1 N -ésimo momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.2 Momentos Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2.3 Variân ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2.4 Caso Multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2.5 Variáveis Aleatórias Des orrela ionadas e Ortogonais . . . . . . . 823.3 Funções Cara terísti as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3.1 Caso multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854 Métodos omputa ionais para geração de números aleatórios 904.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2 Método do resíduo da potên ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3 Método da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

iv SUMÁRIO4.4 O método da rejeição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5 Geração de funções de uma variável aleatória . . . . . . . . . . . . . . . 974.6 Geração de misturas de variáveis aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . 984.7 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 Somas de Variáveis Aleatórias e o Teorema do Limite Central 1005.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2 Médias de somas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3 Fdp da soma de duas v.a.'s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4 Função geratriz de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.5 FGM da soma de v.a.'s independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.6 Somas de v.a.'s gaussianas independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.7 Somas aleatórias de v.a.'s independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.8 Teorema do limite entral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.9 Apli ações do Teorema do Limite Central . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.10 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206 Limitantes Superiores para a Probabilidade de Cauda 1256.1 Desigualdade de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2 Desigualdade de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.3 Limitante de Cherno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.4 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297 A média amostral 1327.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2 Valor esperado e variân ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.3 Média amostral de números grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.4 Leis de Números Grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.4.1 Lei Fra a de Números Grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.4.2 Lei Forte de Números Grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.5 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388 Pro essos Esto ásti os 1408.1 Denição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.2 Tipos de pro esos esto ásti os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.3 Variáveis aleatórias a partir de pro essos esto ásti os . . . . . . . . . . . 1438.4 Sequên ias aleatórias independentes e identi amente distribuídas . . . . 1458.5 Pro esso de Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.6 Pro esso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.7 Pro esso sinal telegrá o aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.8 Pro esso movimento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.9 Médias estatísti as de pro essos aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.9.1 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.9.2 Função de auto ovariân ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.10 Classi ação dos pro essos esto ásti os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.10.1 Pro essos esto ásti os esta ionários e não esta ionários . . . . . . 1608.10.2 Pro essos esta ionários no sentido amplo . . . . . . . . . . . . . . 1618.10.3 Pro essos ergódi os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.11 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

SUMÁRIO v9 Pro essamento de Sinais Aleatórios 1739.1 Sistemas lineares e invariantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739.2 Filtragem linear de um pro esso esto ásti o . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.3 Espe tro densidade de potên ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.4 Correlações ruzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.4.1 Função de orrelação ruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.4.2 Densidade espe tral ruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849.4.3 Filtragem de pro essos esto ásti os . . . . . . . . . . . . . . . . . 1869.5 Pro essos gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1889.6 Pro esso ruído bran o gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1919.7 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19310 Cadeias de Markov 19910.1 Pro essos de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19910.2 Cadeias de Markov de Tempo dis reto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20210.2.1 Probabilidade de transição para n passos . . . . . . . . . . . . . . 20310.2.2 Probabilidades dos estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20410.2.3 Probabilidades em regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20610.3 Cadeias de Markov em tempo ontínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20710.3.1 Tempos de o upação de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20910.3.2 Taxas de transição e probabilidades de estados dependentes detempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21010.4 Probabilidades de Estados em Regime e Equações de Balanço Globais . 21410.5 Classes de estados, propriedades de re orrên ia e probabilidades limite . 21810.5.1 Classes de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21810.5.2 Propriedades de re orrên ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22010.5.3 Probabilidades limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.5.4 Probabilidades limite para as adeias de Markov de tempo ontínuo22610.6 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228A Tabelas Matemáti as 234A.1 Identidades trigonométri as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234A.2 Coe ientes Binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235A.3 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235A.4 Integrais indenidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236A.5 Integrais denidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237B Tabelas de transformadas de Fourier 238B.1 Denição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238B.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238B.3 Pares de transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239C Séries de Taylor 240C.1 Série de Taylor para funções de uma variável . . . . . . . . . . . . . . . 240C.2 Expansões mais utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

vi SUMÁRIOD Variáveis aleatórias dis retas 242D.1 Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242D.2 Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242D.3 Geométri a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242D.4 Binomial negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243D.5 Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243E Variáveis aleatórias ontínuas 244E.1 Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244E.2 Exponen ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244E.3 Gaussiana (Normal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244E.4 Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245E.5 m-Erlang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245E.6 Chi-Quadrado (χ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245E.7 Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245E.8 Cau hy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246E.9 Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246F Valores da distribuição normal 247Bibliograa 253

Lista de Figuras 1.1 Espaço amostral para o arremesso de um dado. . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Representação do a) omplemento, b) união, ) interseção de eventos, ed) eventos disjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Demonstração da lei de De Morgan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Espaço amostral para a derivação da regra de Bayes. . . . . . . . . . . . 132.1 Uma v.a. asso ia um número x = X(ζ) a ada resultado ζ no espaçoamostral S de um experimento aleatório. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Eventos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 P [a < X ≤ b] = FX(b)− FX(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Exemplo de uma fd de uma v.a. dis reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Grá o da fd de v.a. ontínua X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6 Grá o de F ′X(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7 Um exemplo de v.a. mista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.8 A função densidade de probabilidade espe i a a probabilidade de inter-valos de largura innitesimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.9 A probabilidade de um intervalo [a, b] é a área sob a fdp naquele intervalo. 342.10 Fd 's ondi ional e in ondi ional de X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.11 a) Dependên ia entre X e Y, b) fX(x), e ) fY (y). . . . . . . . . . . . . 572.12 Uma transformação da v.a. X e um exemplo das fdp's orrespondentesde X e Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.13 Função de uma v.a. om duas raízes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.14 Uma transformação quadráti a da v.a. X. . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.15 Função densidade de probabilidade de Rayleigh. . . . . . . . . . . . . . . 643.1 Função densidade de probabilidade gaussiana om média m e variân ia σ2. 733.2 Y = g(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.1 Método da transformada para gerar uma variável aleatória om fd FX(x). 924.2 Gerando uma variável aleatória om distribuição de Bernoulli. . . . . . . 934.3 Gerando uma variável aleatória om distribuição Binomial. . . . . . . . . 944.4 Método da rejeição para gerar uma variável aleatória om fdp fX(x). . . 954.5 Método da rejeição para gerar uma variável aleatória om distribuiçãogama (0 < α < 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.1 Região de integração para a obtenção de FW (w). . . . . . . . . . . . . . 1035.2 Região de integração para a obtenção de FW (w). . . . . . . . . . . . . . 104

viii LISTA DE FIGURAS5.3 O número de aras em 50 arremessos de uma moeda ideal: 400 repetiçõesexperimentais versus a fmp binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.1 Região A (sombreada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.2 Um limitante superior exponen ial usado para obter a probabilidade de auda (limitante de Cherno). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1 Convergên ia de uma sequên ia de médias amostrais obtidas a partirde uma sequên ia de v.a.'s om distribuição Gaussiana de média 4 evariân ia 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.1 Um pro esso esto ásti o que representa a temperatura de uma idade. . 1418.2 Um onjunto om um número nito de funções amostra. . . . . . . . . . 1418.3 Funções amostra de quatro tipos de pro essos esto ásti os: X(t) é umpro esso ontínuo no tempo e na amplitude; X(n), obtido a partir daamostragem deX(t) em instantes de tempo inteiros n,é dis reto no tempoe ontínuo na amplitude; Y (t) é obtida a partir da quantizaç ão de X(t)nos instantes de amostragem, e é um pro esso dis reto na amplitude e ontínuo no tempo; nalmente, Y (n), um pro esso dis reto no tempo ena amplitude, é obtido a partir da amostragem de Y (t). . . . . . . . . . 1438.4 Função amostra de um pro esso de ontagem . . . . . . . . . . . . . . . 1488.5 Função amostra de um pro esso telegrá o aleatório . . . . . . . . . . . 1528.6 Forma de onda do pulso p(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.7 Erro de deteção devido ao ruído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.8 Pro esso esto ásti o omprimido no tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.9 Fdp dos pro essos x e y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.10 Funções de auto orrelação para os pro essos X(t) e Y (t). . . . . . . . . 1588.11 Pro esso aleatório X(t) = A cos(ωct+ θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.12 Classi ação dos pro essos esto ásti os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.1 Filtro passa faixa idealH(f) om frequên ia entral f0 e largura de banda B Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.2 A orrelação ruzada entre a entrada e a saída de um ltro linear inva-riante no tempo é a onvolução da resposta a impulso do ltro om afunção de auto orrelação da entrada. A densidade espe tral ruzada en-tre a entrada e a saída é o produto do espe tro densidade de potên ia daentrada om a função de transferên ia do ltro. A densidade espe tral depotên ia da saída é o produto da densidade espe tral ruzada da entradae da saída e o omplexo onjugado da função de transferên ia do ltro. . 18810.1 Transições para o estado j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21110.2 Balanço global de uxo de probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21510.3 Diagrama de transição de estados para o sistema M/M/1. . . . . . . . . 21610.4 Diagrama de taxa de transição para um pro esso de nas imento e mortegeral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21710.5 Instantes de re orrên ia para o estado i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Capítulo 1Probabilidade 1.1 Introdução.Em muitos problemas físi os de interesse, existe um elemento de in erteza, ou aleato-riedade. Independente de quanto possamos onhe er da história passada de um dadofenmeno, somos essen ialmente in apa itados de predizer seu omportamento futurode forma pre isa. Ex. ara ou oroa.Foi observado que nestes asos ertas médias tendem a um valor onstante à medidaem que o número de observações res e. (No exemplo da ara e oroa, quais seriamestas médias?) Desde que as médias geralmente exibem tal regularidade, e são portantorazoavelmente previsíveis, pare e ser desejável desenvolver um estudo sobre o ál ulodestas médias. Este é o domínio da teoria matemáti a da probabilidade e estatísti a.O propósito desta é des rever e predizer tais médias em termos de probabilidades deeventos.Algumas denições importantes:Denição 1.1. Experimento aleatório: um experimento é hamado aleatório seseu resultado não pode ser predito pre isamente porque as ondições em que é realizadonão podem ser predeterminadas om pre isão su iente.Exemplo: arremesso de dados ou moedas. Denição 1.2. Resultados: são os resultados parti ulares da exe ução de um ex-perimento.Exemplo: ara, oroa.

2 ProbabilidadeDenição 1.3. Eventos: são onjuntos de resultados que atendem a algumas espe- i ações.Exemplo: no aso de jogar dados, o evento número ímpar em um arremesso poderesultar de qualquer um de 3 resultados 1,3,5. Desta forma este é um evento de 3resultados. Portanto, eventos são agrupamentos de resultados em lasses.1.2 Teoria de Conjuntos.Denição 1.4. Espaço amostral: o espaço amostral S é denido omo uma oleçãode todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Cada resultado é umelemento ou amostra deste espaço e pode ser onvenientemente representado por umponto no espaço amostral.Exemplo 1.1. No aso do dado, o espaço amostral onsiste de 6 elementos ζ1, ζ2, ζ3, ζ4, ζ5, ζ6, onde os ζi representam o resultado i pontos. O evento, por outro lado, éum sub onjunto de S.O evento número ímpar em um arremesso, denotado por Ao , é um sub onjunto deS (ou um onjunto om os elementos ζ1, ζ3 e ζ5). Similarmente, o evento número parem um arremesso, denotado por Ae é outro sub onjunto de S (ou um onjunto om oselementos ζ2, ζ4 e ζ6). O evento número menor ou igual a 4 em uma jogada, denotadopor B é formado pelos elementos ζ1, ζ2, ζ3 e ζ4.Na Figura 1.1 abaixo, tem-se uma representação grá a destes eventos em um dia-grama de Venn. S B

Ao

Ae

ζ1 ζ3 ζ5

ζ2 ζ4 ζ6

Figura 1.1: Espaço amostral para o arremesso de um dado.

Probabilidade 3Denição 1.5. O omplemento de um evento A, denotado por Ac, é o evento que ontém todos os pontos de S que não estão em A.No exemplo a ima, quais são os eventos omplementares de Ao, Ae, e B ?.Denição 1.6. Um evento que não ontém elementos é hamado de evento nulo,e é denotado por φ.Observe que o evento nulo é o omplemento do espaço amostral S : φ = Sc.Denição 1.7. A união de eventos A e B, denotada por A∪B, é aquele que ontémtodos os pontos em A e B.Verique no exemplo anterior quais são os eventos Ao ∪Ae, Ao ∪B, Ae ∪B). Observeque A ∪B = B ∪A.Denição 1.8. A interseção dos eventos A e B, denotada por A ∩ B ou simples-mente AB, é o evento que ontém pontos omuns a A e a B. Este evento também é onhe ido omo evento onjunto AB.Observe que AB = BA. Na gura 1.2 abaixo, tem-se estes on eitos mostradosgra amente em diagramas de Venn.Denição 1.9. Se os eventos A e B são tais que AB = φ então A e B são ditoseventos disjuntos ou mutuamente ex lusivos.Isto quer dizer que A e B não podem o orrer simultaneamente. (A e Ac são mutu-amente ex lusivos).Estes on eitos são mostrados de forma grá a na Figura 1.2.

4 ProbabilidadePSfrag repla ements a) b) ) d)AAAA BBB

SSSS Ac

Figura 1.2: Representação do a) omplemento, b) união, ) interseção de eventos, e d)eventos disjuntos.1.2.1 Lei de De Morgan.Teorema 1.1. Se A e B são eventos em um espaço amostral então: A+B = AB (1.1)Equivalentemente, podemos es rever: AB = A+B (1.2)Demonstração. A lei de De Morgan pode ser fa ilmente demonstrada por meio de dia-gramas de Venn:PSfrag repla ements

AA BB

A+B A B ABFigura 1.3: Demonstração da lei de De Morgan.ObservaçãoA apli ação repetida da equação (1.1) leva ao seguinte: se em uma identidade de on-juntos substituimos todos os onjuntos pelos seus omplementos, todas as uniões porinterse ções, e todas as interse ções por uniões, a identidade é preservada.Exemplo 1.2. Seja a identidade

Probabilidade 5 A(B + C) = AB +AC (1.3)Usando (1.1) segue que

A(B + C) = A+B + C = A+B CSimilarmente AB +AC = AB AC = (A+B)(A+ C)e desde que os dois lados de (1.3) são iguais, seus omplementos também o são. Portanto

A+B + C = (A+B)(A+ C) (1.4)Estas identidades podem ser fa ilmente onferidas por meio de diagramas de Venn. 1.2.2 Prin ípio da Dualidade.Sabemos que S = φ e φ = S. Além disso, se em uma identidade omo (1.3) todas asbarras forem removidas, a identidade é preservada. Isto leva à seguinte versão da lei deDe Morgan:Proposição 1.1. Se em uma identidade de onjuntos substituímos todas as uniõespor interse ções, todas as interse ções por uniões, e os onjuntos S e φ pelos onjuntos φ e S respe tivamente, a identidade é preservada.Apli ando o teorema a ima às identidades

A(B + C) = AB +AC S = A+ Sobtemos as identidades A+BC = (A+B)(A+ C) φ = φA1.3 Denições de Probabilidade.1.3.1 Frequên ia Relativa.Embora o resultado de um experimento aleatório seja imprevisível, existe uma regula-ridade estatísti a sobre este, e a denição por freqüên ia relativa baseia-se nesta regu-laridade.

6 ProbabilidadeDenição 1.10. A probabilidade P (A) de um evento A é dada pelo limite P (A) = lim

n→∞

nA n

(1.5)onde nA é o número de o orrên ias de A e n é o número de tentativas.Observações importantes1. Segue da denição que 0 ≤ P (A) ≤ 1.2. Se A e B são dois eventos mutuamente ex lusivos P (A+B) = P (A) + P (B) = lim

n→∞

nA + nB n

(1.6)3. Se A1, A2, ..., AN não forem mutuamente ex lusivos então: P (A1 +A2 + ...+AN ) < P (A1) + P (A2) + . . .+ P (AN ) (1.7)1.3.2 Axiomáti a.Denição 1.11. A aproximação axiomáti a para a probabilidade é baseada nos trêspostulados seguintes e nada mais:1. A probabilidade P (A) de um evento A é um número positivo asso iado a esteevento

P (A) ≥ 0 (1.8)2. A probabilidade do espaço amostral é igual a 1 P (S) = 1 (1.9)3. Se os eventos A e B são mutuamente ex lusivos, então

P (A+B) = P (A) + P (B) (1.10)Propriedades: P (φ) = 0 evento impossível P (Ac) = 1− P (A) Ac omplemento de A P (A+B) = P (A) + P (B)− P (AB) ≤ P (A) + P (B) probabilidade da uniãoExemplo 1.3. Determinar a probabilidade de obtenção de uma ara e duas oroas em3 arremessos de uma moeda ideal.

Probabilidade 7Solução. Neste aso, os resultados possíveis são:1) a, a, a 5) o, a, a2) a, a, o 6) o, a, o3) a, o, a 7) o, o, a4) a, o, o 8) o, o, oSão possíveis 8 resultados mutuamente ex lusivos ⇒ P (Ai) = 1/8 ∴ P (1ca, 2co) = P (A4) + P (A6) + P (A7) = 3/8.1.3.3 Clássi a.Denição 1.12. A probabilidade P (A) de um evento A é determinada a priori semexperimentação real, e é dada pela expressão

P (A) = nA n

(1.11)onde: n: número de resultados possíveis, nA: número de resultados favoráveis ao evento A.Versão melhorada da denição lássi aDenição 1.13. A probabilidade de um evento é igual à razão entre seus resulta-dos favoráveis e o número total de resultados, desde que todos os resultados sejamequiprováveis.Exemplo 1.4. Arremesso de um dado P (ímpar) = 3/6 = 1/2. 1.4 Cál ulo de probabilidades usando métodos de onta-gem.Em muitos experimentos om espaços amostrais nitos, os resultados podem ser assu-midos omo sendo equiprováveis. A probabilidade de um evento é então a razão entreo número de resultados no evento de interesse e o número total de resultados no espaçoamostral. O ál ulo das probabilidades se reduz a ontar o número de resultados de umevento.

8 ProbabilidadeSuponha que um teste de múltipla es olha tem k questões e para a questão i oestudante pre isa sele ionar uma entre ni respostas possíveis. Qual é o número total demodos de responder a todo o teste?A resposta à questão i pode ser vista omo a espe i ação da i-ésima omponente deuma k-upla, de modo que a questão a ima é equivalente a: quantas k-uplas ordenadasdistintas (x1, . . . , xk) são possíveis se xi é um elemento de um onjunto om ni elementosdistintos?O número de k-uplas ordenadas distintas (x1, . . . , xk) om omponentes xi, de um onjunto om ni elementos distintos é dado pornúmero de k-uplas ordenadas distintas = n1n2 . . . nk (1.12)Muitos problemas de ontagem podem ser olo ados omo problemas de amostra-gem onde sele ionamos bolas em urnas ou objetos em populações. Iremos agora usara Equação 1.12 para desenvolver fórmulas ombinatoriais para vários tipos de amostra-gem.1.4.1 Amostragem om reposição e ordenação.Suponha que es olhemos k objetos de um onjunto A que tem n objetos distintos, omreposição. Iremos nos referir ao onjunto A omo a população. O experimento produzuma k-upla ordenada (x1, . . . , xk), onde xi ∈ A, i = 1, 2, . . . , k. A Equação 1.12, om n1 = n2 = . . . = nk = n impli a quenúmero de k -uplas ordenadas distintas = nk (1.13)Exemplo 1.5. Uma urna ontém in o bolas numeradas. Suponha que sele ionamosduas bolas da urna om reposição. Quantos pares ordenados distintos são possíveis?Qual é a probabilidade de retirar duas vezes a mesma bola?Solução. A Equação 1.13 diz que o número de pares ordenados é 52 = 25. Na Tabelaabaixo temos os pares possíveis. Cin o dos resultados possíveis são de bolas om omesmo número. Se supomos que todos os resultados possíveis são equiprováveis, entãoa probabilidade de retirar a mesma bola duas vezes é 5/25 = 0, 2.(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)1.4.2 Amostragem sem reposição e om ordenação.O problema agora onsiste em es olher k objetos em su essão, sem reposição, de umapopulação A de n objetos distintos. Claramente, k ≤ n. O número de resultadospossíveis na primeira retirada é n1 = n, e o número de resultados possíveis na segunda

Probabilidade 9retirada é n2 = n− 1, e assim por diante, até nk = n− (k − 1) na retirada nal. Destaforma, a Equação 1.12 forne enúmero de k-uplas ordenadas distintas = n(n− 1) . . . (n− k + 1) (1.14)Exemplo 1.6. Uma urna ontém in o bolas numeradas. Suponha que sele ionamosduas bolas da urna em su essão, e sem reposição. Quantos pares ordenados distintossão possíveis? Qual é a probabilidade de que a primeira bola tenha um número maiorque a segunda?Solução. A Equação 1.14 mostra que o número de pares ordenados possíveis é 5(4) = 20. Estes são mostrados na Tabela abaixo. Dez pares ordenados nesta tabela têm oprimeiro número maior que o segundo, de forma que a probabilidade deste evento é10/20 = 0,5. (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)(2,1) (2,3) (2,4) (2,5)(3,1) (3,2) (3,4) (3,5)(4,1) (4,2) (4,3) (4,5)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) 1.4.3 Permutação de n objetos distintos.Considere uma amostragem sem reposição om k = n. Isto equivale a retirar objetos deuma urna até que ela esteja vazia. Então o número de seqüên ias possíveis de n objetosdistintos é igual ao número de n-uplas da amostragem sem reposição om k = n. DaEquação 1.14, temosnúmero de permutações de n objetos = n(n− 1) . . . (2)(1) = n! (1.15)Para n grande, a fórmula de Stirling é bastante útil:

n! ≈ √ 2π nn+

1 2 e−n (1.16)Exemplo 1.7. En ontre o número de permutações de três objetos distintos 1,2,3.Solução. A Equação 1.15 forne e 3! = 6. As seis permutações são123 312 231 132 213 321

10 Probabilidade1.4.4 Amostragem sem reposição e sem ordenação.Suponha que pegamos k objetos de um onjunto de n objetos distintos sem reposição earmazenamos o resultado sem nos importarmos om a ordem. Chamamos o sub onjuntoresultante de k objetos sele ionados de uma  ombinação de tamanho k".Da Equação 1.15, existem k! sequên ias nas quais os objetos sele ionados podem tersido sele ionados. Então se Cnk denota o número de ombinações de tamanho k de um onjunto de tamanho n, então Cnk k! é o número total de amostras ordenadas distintasde k objetos, a qual é dada pela Equação 1.14. Então Cnk k! = n(n− 1) . . . (n− k + 1) (1.17)e o número de ombinações diferentes de tamanho k de um onjunto de tamanho n,

k ≤ n, é Cnk =

n(n− 1) . . . (n− k + 1) k!

= n!

k!(n− k)! ≡ ( n

k

) (1.18)A expressão (nk) é hamada de oe iente binomial.Note que es olher k objetos de um onjunto de n é equivalente a es olher os (n− k)objetos que não foram sele ionados. Segue então que ( n

k

)

=

( n

n− k

) (1.19)Exemplo 1.8. En ontre o número de modos de sele ionar dois objetos de A = {1, 2, 3, 4, 5} sem se importar om a ordem.Solução. A Equação 1.18 forne e

( 5

2

)

= 5!

2!3! = 10 (1.20)Abaixo temos a listagem destes 10 pares.(1,2) (1,3) (1,4) (1,5)(2,3) (2,4) (2,5)(3,4) (3,5)(4,5)Exemplo 1.9. En ontre o número de permutações distintas de k bolas bran as e (n−k)bolas pretas.Solução. Este problema é equivalente ao seguinte problema de amostragem: oloque netiquetas numeradas de 1 a n em uma urna, onde ada etiqueta representa uma posiçãono arranjo das bolas; pegue uma ombinação de k etiquetas e oloque as k bolas bran asnas posições orrespondentes.Cada ombinação de tamanho k leva a um arranjo diferente (permutação) de k bolasbran as e (n− k) bolas pretas.Então o número de permutações distintas de k bolas bran as e (n− k) bolas pretasé Cnk .

Probabilidade 11Este exemplo mostra que a amostragem sem reposição e sem ordenação é equivalentea parti ionar o onjunto de n objetos distintos em dois onjuntos: B, ontendo os kitens que foram retirados da urna, e Bc, ontendo os (n− k) deixados na urna.Suponha que parti ionemos um onjunto de n objetos distintos em F sub onjuntos B1, B2, . . . , BF , onde ao sub onjunto Bj são asso iados kj elementos e k1+k2+. . .+kF = n. Neste aso, o número de ombinações distintas é dado por

n!

k1!k2! . . . kF ! (1.21)A Equação 1.21 é hamada de oe iente multinomial. O oe iente binomial é o aso F = 2 dos oe ientes multinomiais.1.4.5 Amostragem om reposição e sem ordenação.Suponha que tomemos k objetos de um onjunto de n objetos distintos om reposiçãoe armazenamos os resultados sem nos importarmos om a ordem. Isto pode ser feitopreen hendo-se um formulário om n olunas, uma para ada objeto distinto. Cadavez que um objeto é sele ionado, um x é olo ado na oluna orrespondente. Porexemplo, se sele ionamos 5 objetos de 4 objetos distintos, um formulário destes poderiater a seguinte forma: Objeto 1 Objeto 2 Objeto 3 Objeto 4xx x xxNote que este formulário pode ser resumido pela sequên ia xx / / x / xx, onde osímbolo / é usado para separar as entradas para as diferentes olunas. Desta forma os(n -1) /'s indi am as linhas entre as olunas, e onde nada apare e entre /'s onse utivosse o objeto orrespondente não foi sele ionado.Cada arranjo diferente de 5 x's e 3 /'s leva a um formulário distinto.Se identi armos os x's om bolas bran as e os /'s om bolas pretas, então esteproblema foi onsiderado no Exemplo 1.9, e o número de arranjos diferentes é dado por

( 8 3

).No aso geral o formulário irá envolver k x's e (n−1) /'s. Então o número de modosdiferentes de es olher k objetos de um onjunto de n objetos distintos om reposição esem ordenação é dado por ( n− 1 + k

k

)

=

( n− 1 + k n− 1

) (1.22)1.5 Probabilidade Conjunta.Ao invés de lidar om um experimento, onsideremos agora dois experimentos e seusrespe tivos resultados. Por exemplo, os dois experimentos podem ser dois arremessos onse utivos de um úni o dado ou um úni o arremesso de dois dados. Em ambos os asos, o espaço amostral onsiste de 36 duplas (i, j), onde i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Se osdados são ideais, a ada ponto do espaço amostral é asso iada uma probabilidade 1/36.Podemos agora onsiderar eventos onjuntos tais omo {i é par, j = 3}, e determinar

12 Probabilidadeas probabilidades asso iadas a tais eventos a partir do onhe imento das probabilidadesdos pontos amostrais.Denição 1.14. Se os resultados possíveis de um experimento são Ai, i = 1, 2, ..., n,e os resultados possíveis de um segundo experimento são Bj , j = 1, 2, ...,m, então osresultados possíveis do experimento ombinado são dados pelo onjunto (Ai, Bj), i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ...,m. A ada resultado onjunto (Ai, Bj) asso ia-se uma probabi-lidade onjunta P (Ai, Bj) que satisfaz a ondição

0 ≤ P (Ai, Bj) ≤ 1 (1.23)Exemplo 1.10. Retirar duas artas em su essão ( om ou sem reposição) de um baralho.Solução. Vamos onsiderar os seguintes eventosEvento A: retirar um às na primeira tentativaEvento B: retirar um às na segunda tentativa AB é o evento de retirar dois ases.1.5.1 Probabilidades Marginais.Assumindo que os resultados Bj , j = 1, 2, ...,m são mutuamente ex lusivos, segue que

m∑

j=1

P (Ai, Bj) = P (Ai) (1.24)Similarmente, se os resultados Ai, i = 1, 2, ..., n são mutuamente ex lusivos então n∑

i=1

P (Ai, Bj) = P (Bj) (1.25)Além disso, se todos os resultados dos dois experimentos são mutuamente ex lusivostemos n∑

i=1

m∑

j=1

P (Ai, Bj) = 1 (1.26) P [Ai] e P [Bj ] são hamadas de probabilidades marginais. É fá il ver que ageneralização do tratamento a ima para mais de dois experimentos é direta.1.6 Probabilidade Condi ional.Considere um experimento ombinado no qual um evento onjunto o orre om probabili-dade P (A,B). Suponha que o evento B o orreu e queremos determinar a probabilidadede o orrên ia do evento A. Esta probabilidade é hamada de probabilidade ondi ionale denota-se por P (A|B).

Probabilidade 13 Exemplo 1.11. No exemplo anterior, se a primeira arta não é re olo ada no baralho, a evidente que a retirada de um às na segunda tentativa é inuen iada pelo resultadoda primeira.1.6.1 Regra de Bayes.Teorema 1.2. Teorema de Bayes. Seja um experimento forne endo dois resulta-dos A e B. Então,

P (AB) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A) (1.27)Demonstração. Sejam as seguintes grandezas: • N : número total de tentativas; • nB: número de resultados favoráveis ao evento B; • nAB: número de resultados favoráveis ao evento A dentro das nB tentativas.Estas grandezas são mostradas em um diagrama de Venn na Figura 1.4.

................................................... ...... ..... .... ... ... .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. ...

... .....

...... ........

.....................................................................................................................

... ...

.... .....

...... ............

............................................................. ..................................................................................................

...... ..... .... ... ... .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. ..

S

NA

B

nAB

nB

Figura 1.4: Espaço amostral para a derivação da regra de Bayes.Observe que nAB é o número de tentativas que são favoráveis ao evento AB. Assim P (AB) = lim

N→∞

nAB N

= lim N→∞

(nB N

)(nAB nB

) (1.28)Do diagrama a ima, podemos extrair as seguintes expressões: P (B) = lim

N→∞

nB N

(1.29) P (A|B) = lim

N→∞

nAB nB

(1.30)

14 ProbabilidadeAqui estamos impli itamente usando o fato que nB → ∞ à medida que N → ∞. Observe que nAB é o número de tentativas favoráveis ao evento A dentro das nBtentativas favoráveis ao evento B. Isto representa a probabilidade ondi ional P (A|B).Combinando (1.28), (1.29) e (1.30), temos:

P (A|B) = P (AB) P (B)

(1.31)E por um desenvolvimento similar, pode-se demonstrar que P (B|A) = P (AB)

P (A) (1.32)Combinando 1.31 e 1.32, hegamos à Regra de Bayes

P (AB) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A) (1.33)Extensão para mais eventosUma generalização bastante útil da regra de Bayes é a seguinte: onsidere os eventos Ai, i = 1, 2, . . . , n, mutuamente ex lusivos tais que

n⋃

i=1

Ai = S (1.34)e um evento arbitrário B om probabilidade não nula. Então, a regra de Bayes podeser rees rita omo P (Ai|B) =

P (Ai, B)

P (B) =

P (B|Ai)P (Ai) n∑

j=1

P (B|Aj)P (Aj) (1.35)

1.7 Eventos independentes.Denição 1.15. Um evento A é dito independente de B se P (A|B) = P (A) (1.36)

Teorema 1.3. Se A e B são eventos independentes então P (AB) = P (A)P (B) (1.37)

Probabilidade 15Demonstração. Pela Regra de Bayes, temos que P (AB) = P (A|B)P (B)Mas omo A e B são independentes,

P (A|B) = P (A)Substituindo este resultado na Equação a ima, hegamos a P (AB) = P (A)P (B)

Exemplo 1.12. Suponha que uma moeda é jogada três vezes. Se assumimos que asjogadas são independentes e a probabilidade de aras é p, en ontre a probabilidade doseventos nenhuma oroa, uma oroa, duas oroas e três oroas.Solução. A probabilidade para as sequên ias de aras e oroas é dada por P [{CCC}] = P [{C}]P [{C}]P [{C}] = p3 P [{CCK}] = P [{C}]P [{C}]P [{K}] = p2(1− p) P [{CKC}] = P [{C}]P [{K}]P [{C}] = p2(1− p) P [{KCC}] = P [{K}]P [{C}]P [{C}] = p2(1− p) P [{KKC}] = P [{K}]P [{K}]P [{C}] = p(1− p)2 P [{KCK}] = P [{K}]P [{C}]P [{K}] = p(1− p)2 P [{CKK}] = P [{C}]P [{K}]P [{K}] = p(1− p)2 P [{KKK}] = P [{K}]P [{K}]P [{K}] = (1− p)3onde usamos o fato de que as jogadas são independentes. Seja k o número de aras emtrês tentativas. Então P [k = 0] = P [KKK] = (1− p)3 P [k = 1] = P [KKC,KCK,CKK] = 3p(1− p)2 P [k = 2] = P [CCK,CKC,KCC] = 3p2(1− p) P [k = 3] = P [CCC] = p3Observaï¾12ï¾12oA denição de independên ia estatísti a pode ser estendida a três ou mais eventos. Paraque três eventos A1, A2 e A3 sejam estatisti amente independentes, pre isam satisfazeras seguintes ondições

P (A1, A2) = P (A1)P (A2) P (A1, A3) = P (A1)P (A3) P (A2, A3) = P (A2)P (A3) P (A1, A2, A3) = P (A1)P (A2)P (A3)

(1.38)Para o aso geral, os eventos Ai, i = 1, 2, . . . , n são estatisti amente independentes se asprobabilidades dos eventos onjuntos tomados 2, 3, . . . , n eventos de ada vez possamser fatoradas no produto das probabilidades dos eventos individuais.

16 Probabilidade1.8 Experimentos sequen iais e diagramas em árvoreMuitos experimentos onsistem de uma sequên ia de subexperimentos. O pro edimentoadotado para ada subexperimento pode depender dos resultados dos subexperimentosanteriores. Podemos usar um diagrama em árvore para representar a natureza sequen ialdos subexperimentos. Seguir o pro edimento e anotar as observações do experimento éequivalente a seguir a sequên ia de rami ações da raiz para as folhas da árvore. Cadafolha orresponde a um resultado do experimento.É natural modelar probabilidades ondi ionais em termos de experimentos sequen i-ais e ilustrá-las através de diagramas em árvores. Na raiz da árvore, a probabilidade deum evento parti ular é des rito pelo nosso onhe imento a priori. Se os resultados possí-veis do primeiro resultado são des ritos pelos eventos B1, · · · , Bm, então {B1, · · · , Bm} éum espaço de eventos. A partir da raiz, desenhamos ramos para ada evento Bi. Seguirum ramo a partir da raiz orresponde a observar os resultados do primeiro subexpe-rimento. Asso iamos a ada ramo as probabilidades a priori P [B1], · · · , B[Bm]. Para ada evento Bi, temos probabilidades ondi ionais des revendo o resultado do segundosubexperimento. Então para ada um dos ramos do primeiro onjunto, desenhamosum novo ramo e asso iamos a ele esta probabilidade ondi ional. Se seguirmos umasequên ia de ramos da raiz a uma determinada folha, espe i amos o resultado de umdado subexperimento. Desta forma, as folhas representam os resultados do experimento ompleto. A probabilidade de ada resultado é o produto das probabilidades dos ramosentre a raiz da árvore e a folha que orrespondente ao resultado. Em geral, asso iamosàs folhas os resultados e as probabilidades orrespondentes.Isto é uma des rição ompli ada para um pro edimento extremamente simples, omoveremos nos exemplos a seguir. Exemplo 1.13. Uma ompanhia tem três máquinas B1, B2 e B3 que fabri am resistoresde 1kΩ. Observou-se que 80% dos resistores produzidos por B1 têm tolerân ia de 50Ω dovalor nominal. A máquina B2 produz 90% dos resistores om tolerân ia de 50Ω do valornominal. A por entagem para a máquina B3 é de 60%. A ada hora, a máquina B1produz 3000 resistores, B2 produz 4000 resistores, e B3 produz 3000 resistores. Todos osresistores são misturados em um re ipiente omum e empa otados para envio. Desenheum diagrama em árvore para este experimento. Qual a probabilidade de es olher umresistor da máquina B2 om tolerân ia maior que 50Ω?Solução. Seja A o evento o resistor sele ionado é a eitável (tem tolerân ia de 50Ω),e N o omplemento de A: o resistor sele ionado não é a eitável. O pro edimento detestar um resistor pode ser de omposto em dois passos: primeiro, identi amos qualmáquina (B1, B2 ou B3) produziu o resistor; depois, veri amos se o resistor é a eitávelou não. Estes dois passos orrespondem à seguinte árvore:

Probabilidade 17 ....................................................................................................................................................................

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

0, 3

0, 4

0, 3

B3

B2

B1

...........................................................................................

........... ...........

........... ...........

........... ...........

........... ...........

.

...........................................................................................

........... ...........

........... ...........

........... ...........

........... ...........

.

...........................................................................................

........... ...........

........... ...........

........... ...........

........... ...........

.0, 8

0, 2

0, 9

0, 1

0, 6

0, 4

A • B1A 0, 24

N • B1N 0, 06

A • B2A 0, 36

N • B2N 0, 04

A • B3A 0, 18

N • B3N 0, 12Para usar a árvore para en ontrar a probabilidade do evento B2N , um resistor nãoa eitável da máquina B2, omeçamos da esquerda e veri amos que a probabilidade deal ançar B2 é P [B2] = 0, 4. Andamos então para a direita em direção ao nó B2N emultipli amos P [B2] por P [N |B2] = 0, 1, e obtemos P [B2N ] = 0, 4× 0, 1 = 0, 04.Podemos observar neste exemplo uma propriedade geral de todos os diagramas emárvore que representam experimentos sequen iais: a soma das probabilidades dos ramosque deixam um determinado nó é sempre 1. Isto é uma onsequên ia da lei da proba-bilidade total e da propriedade da probabilidade ondi ional, vistas anteriormente.Exemplo 1.14. Suponha que os engenheiros de tráfego tenham oordenado a tempori-zação de dois faróis para en orajar uma sequên ia de faróis verdes. Em parti ular, atemporização foi projetada de modo que, om probabilidade 0,8 um motorista en ontre osegundo farol om a mesma or do primeiro. Assumindo que o primeiro farol seja verdeou vermelho om a mesma probabilidade, qual é a probabilidade P [G2] de que o segundofarol seja verde? Cal ule P [G1|R2], a probabilidade ondi ional de que o primeiro farolseja verde, dado que o segundo é vermelho.Solução. Neste aso, a árvore que des reve o problema é: ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......

...............................................................................................

0, 5

0, 5

G1

R1

...........................................................................................

........... ...........

........... ...........

........... ...........

........... ...........

.

...........................................................................................

........... ...........

........... ...........

........... ...........

........... ...........

.

0, 8

0, 2

0, 2

0, 8

G2 • G1G2 0, 4

R2 • G1R2 0, 1

G2 • R1G2 0, 1

R2 • R1R2 0, 4A probabilidade do segundo farol ser verde é P [G2] = P [G1G2] + P [R1G2] = 0, 4 + 0, 1 = 0, 5

18 ProbabilidadeO evento W de ter que esperar por pelo menos um farol é dado por W = {R1G2 ∪G1R2 ∪R1R2}e desta forma, a probabilidade de esperar por pelo menos um farol é dada por

P [W ] = P [R1G2] + P [G1R2] + P [R1R2] = 0, 1 + 0, 1 + 0, 4 = 0, 6Para en ontrar P [G1|R2], pre isamos de P [R2]. Notando que R2 = {G1R2∪R1R2},temos: P [R2] = P [G1R2] + P [R1R2] = 0, 1 + 0, 4 = 0, 5Desde que P [G1R2] = 0, 1, a probabilidade ondi ional de observar o primeiro farolverde dado que o segundo é vermelho é dada por:

P [G1|R2] = P [G1R2]

P [R2] =

0, 1

0, 5 = 0, 2 (1.39)Exemplo 1.15. Considere o jogo do Três. Vo ê embaralha um baralho de três artas:às, 2 e 3. Se o às vale um ponto, vo ê retira artas do baralho até que a soma seja 3 oumais. Vo ê ganha se o total for 3. Cal ule P [W ], a probabilidade de ven er o jogo.Solução. Seja Ci o evento C é a i-ésima arta retirada. Por exemplo, 32 é o eventode tirar um 3 na segunda rodada. A árvore para este experimento é então:

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....

..............................................................................................................................................................................................

1/3

1/3

1/3 A1

21

31

........... ...........

........... ...........

........... ...........

........... ...........

...

.........................................................................................

........... ...........

........... ...........

........... ...........

........... ...........

...

.........................................................................................

1/2

1/2

1/2

1/2

22 • A122 1/6

32 • A132 1/6

A2 • 21A2 1/6

32 • 2132 1/6

• 31 1/3Vo ê ven e se A122, 21A2 ou 31 o orrerem. Desta forma, a probabilidade de ven eré dada por P [W ] = P [A122] + P [21A2] + P [31] =

1

3

1

2 +

1

3

1

2 +

1

3 =

2

3Exemplo 1.16. Suponha que vo ê tem duas moedas, uma vi iada e outra não, mas vo ênão sabe qual é qual. A moeda 1 é vi iada (tem probabilidade 3/4 de dar ara). Suponhaque vo ê pegue uma moeda de forma aleatéria e a arremesse. Seja Ci o evento a moeda i foi sele ionada. Vamos denotar por H ( ara) e T ( oroa) os possíveis resultados deum arremesso. Dado que o resultado de um arremesso é uma ara, al ule P [C1|H],a probabilidade de vo ê ter sele ionado a moeda vi iada. Dado que o resultado é uma oroa, al ule P [C1|T ], a probabilidade de ter sele ionado a moeda vi iada.

Probabilidade 19Solução. Primeiro, ontruímos a árvore que des reve o problema: ................................................................................................

...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .....1/2

1/2

C1

C2

........... ...........

........... ...........

........... ...........

........... ...........

...

.........................................................................................

........... ...........

........... ...........

........... ...........

........... ...........

...

.........................................................................................

3/4

1/4

1/2

1/2

H • C1H 3/8

T • C1T 1/8

H • C2H 1/4

T • C2T 1/4Para en ontrar as probabilidades ondi ionais, temos: P [C1|H] =

P [C1H]

P [H] =

P [C1H]

P [C1H] + P [C2H] =

3/8

3/8 + 1/4 =

3

5Similarmente, P [C1|T ] =

P [C1T ]

P [T ] =

P [C1T ]

P [C1T ] + P [C2T ] =

1/8

1/8 + 1/4 =

1

3Como esperávamos, é mais provável termos sele ionado a moeda 1 quando o primeiroarremesso resultou em ara, e é mais provável termos sele ionado a moeda 2 quando oprimeiro arremesso resultou em oroa. 1.9 Exer í ios1. Quatro moedas ideais são arremessadas simultaneamente.(a) Quantos resultados são possíveis?(b) Asso ie probabilidades adequadas para a obtenção de quatro oroas, uma ara, duas aras, três aras e quatro aras neste experimento.Resp:(a) 16(b) P [4 oroas] = 1/16

P [1 ara] = 1/4 P [2 aras] = 3/8 P [3 aras] = 1/4 P [4 aras] = 1/162. Três dados não vi iados são jogados. Cal ule as probabilidades dos eventos de seobter uma soma de 8, 9 e 10 pontos.Resp: P [8] = 21/216 P [9] = 25/216 P [10] = 27/216

20 Probabilidade3. Uma erta idade tem 8 faróis aleatoriamente lo alizados, quatro dos quais  amverdes por meio minuto na direção leste-oeste e meio minuto na direção norte-sul, três permane em verdes por 1/4 de minuto na direção leste-oeste e 3/4 deminuto na direção norte-sul, e o último permane e verde 3/4 de minuto na direçãoleste-oeste e 1/4 de minuto na direção norte-sul.Assuma que todos os faróis são independentes, isto é, não existe nenhum tipo desin ronização entre eles.Um automóvel está viajando de forma aleatória através da idade. En ontre aprobabilidade de o automóvel en ontrar um sinal verde na direção leste-oeste.Faça o mesmo para a direção norte-sul.Qual é a probabilidade de um automóvel viajando aleatoriamente pela idadeen ontre um sinal verde?Resp: P [verde na direção L-O] = 7/16 P [verde na direção N-S] = 9/16 P [verde] = 1/24. Uma urna ontém 3 bolas vermelhas e 2 bran as. Duas bolas são retiradas emsu essão, a primeira bola sendo re olo ada antes da retirada da segunda.(a) Quantos resultados são possíveis?(b) Asso ie probabilidades a ada um destes resultados.Resp:(a) 4(b) P [1a.V, 2a.V] = 9/25

P [1a.V, 2a.B] = 6/25 P [1a.B, 2a.V] = 6/25 P [1a.B, 2a.B] = 4/255. Repita o problema anterior se a primeira bola não for re olo ada antes da segundaretirada.(a) 4(b) P [1a.V, 2a.V] = 3/10 P [1a.V,2a.B] = 3/10 P [1a.B, 2a.V] = 3/10 P [1a.B, 2a.B] = 1/106. No problema anterior, se sabemos que a primeira retirada foi de uma bola bran a,qual é a probabilidade de a segunda retirada ser também de uma bola bran a ?Resp: 1/4

Probabilidade 217. No problema 5), se sabemos que a segunda bola é vermelha, qual a probabilidadede a primeira também ter sido vermelha? Qual a probabilidade da primeira bolater sido bran a?Resp: a) 1/2 b) 1/28. Uma urna ontém 3 bolas vermelhas, 5 bolas bran as e 8 bolas pretas. Outra urna ontém 6 bolas vermelhas, 7 bolas bran as e 4 bolas pretas. Uma bola é retiradade ada urna. En ontre a probabilidade de obter duas bolas da mesma or.Resp: 85/2729. A aixa I ontém 3 bolas vermelhas e 5 bolas bran as, e a aixa II, 4 vermelhase 2 bran as. Extrai-se ao a aso uma bola da primeira aixa e olo a-se na se-gunda, sem observar a or. Extrai-se então uma bola da segunda aixa. Qual aprobabilidade da mesma ser bran a?Resp: 21/5610. Em erto olégio, 25 % dos estudantes foram reprovados em matemáti a, 15 %em quími a e 10 % em matemáti a e quími a ao mesmo tempo. Um estudante ésele ionado aleatoriamente.a) Se ele foi reprovado em quími a, qual é a probabilidade de ele ter sido repro-vado em matemáti a?b) Se ele foi reprovado em matemáti a, qual é a probabilidade de ele ter sidoreprovado em quími a? ) Qual é a probabilidade de ele ter sido reprovado em matemáti a ou quími a?Resp: a) 2/3 b) 2/5 ) 0,3011. A rede omutada mostrada na gura abaixo opera se e somente se existe pelomenos um aminho fe hado de omutadores entre a entrada e a saída. Assumindoque os omutadores falhem de forma independente e que a probabilidade de falhade ada omutador são aquelas dadas na gura, al ule a probabilidade de estarede fun ionar. ... .............

........ ... .....0,30,4 0,4 0,1

0,2 ........................................................ ......................................................... ......................................................... ............................

......................................................................................

......................................................................................

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

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...

...

...

...

...

...

..

...

...

...

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...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

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...

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......................................................................................

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...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

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...

...

...

...

...

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..

...

...

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...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Resp: 0,865

22 Probabilidade12. Uma urna ontém duas bolas pretas e três bolas bran as. Duas bolas são sele- ionadas aleatoriamente da urna sem reposição, e a sequên ia de ores é anotada.En ontre a probabilidade de retirar duas bolas pretas.Resp: 1/1013. Lança-se uma moeda vi iada de modo que P [cara] = 2/3 e P [coroa] = 1/3. Seapare er ara, então sele iona-se aleatoriamente um número dentre os de 1 a 9;se apare er oroa, sele iona-se aleatoriamente um número dentre os de 1 a 5.En ontre a probabilidade p de um número par ser sele ionado.Resp: p = 58/13514. Dois dígitos são sele ionaodos aleatoriamente de 1 a 9, sem reposição. Se a somaé par, en ontre a probabilidade p de ambos os números serem ímpares.Resp: p = 5/815. Telefones elulares realizam handos à medida em que se movem de uma é-lula para outra. Suponha que durante uma hamada, os telefones realizam zerohandos (H0), um hando (H1), ou dois handos (H2). Adi ionalmente, ada hamada pode ser longa (L) ou breve (B).Sabendo que P [L,H0] = 0.1, P [B,H1] = 0.1, P [H2] = 0.3, P [B] = 0.6 e P [H0] = 0.5, al ule:(a) A probabilidade de não o orrer nenhum hando durante uma hamada.(b) A probabilidade de uma hamada ser breve.( ) A probabilidade de uma hamada ser longa ou existirem pelo menos doishandos.Resp: a) 0.5 b) 0.6 ) 0.516. Três máquinas A, B e C produzem 50%, 30% e 20% respe tivamente, do total depeças de uma fábri a. As por entagens de produção de peças defeituosas destasmáquinas são 3%, 4% e 5%, respe tivamente.(a) Se uma peça é sele ionada aleatoriamente, a he a probabilidade dela serdefeituosa.(b) Suponha que uma peça, sele ionada aleatoriamente, seja onsiderada defei-tuosa. En ontre a probabilidade dela ter sido produzida pela máquina A.Resp: a) 0,037 b) 15/3717. No sistema de omuni ação ternário mostrado na gura abaixo, um 3 é enviadotrês vezes mais frequentemente que um 1, e um 2 é enviado duas vezes maisfrequentemte que um 1. Um 1 é observado. Qual a probabilidade de um 1 tersido enviado?

Probabilidade 23

........ ... .....

........ ... .....

........ ... .....

........ ... .....

........ ... .....

........ ... .....

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.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

....................................................................................................... ................................................... .............................................................................................................................................................

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.............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ................................................... .......................................................................................................

X = 1

X = 2

X = 3

Y = 1

Y = 2

Y = 3

1− α α/2

α/2

β/2

1− β/2 β/2

γ/2

γ/2

1− γ/2Resp: 1− α 1− α+ β + 1, 5 γ18. Para a omuni ação entre os terminais A e B são ne essários enla es que sãorepresentados nas guras abaixo por ar os. Sendo p a probabilidade de que umenla e esteja o upado, determine a probabilidade de que não exista aminho livrepara omuni ação em ada uma das seguintes ongurações:a) ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................... .................. .................. ...................A B

b) ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .......................... ... ......

........ ... ........

A B Resp: a) 3(1− p)p2 + 3(1− p)2p+ p3 b) (2p(1− p) + p2)219. Durante a re epção de mensagens odi adas, onsistindo de pulsos de formas Ae B, estabele eu-se que de ada 10 ombinações equiprováveis, três são do tipoAAB, in o são do tipo AB, e duas são do tipo ABB. Qual é a probabilidade deque um pulso es olhido aleatoriamente seja da forma A?Resp: 31/6020. Num erto olégio, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais do que 1,60m dealtura. Além disso, 60% dos estudantes são mulheres Sabendo que a probabilidadede um homem viver mais de dez anos é 1/4, a probabilidade de sua esposa vivermais de dez anos é 1/3, en ontre a probabilidade dos seguintes eventos(a) ambos estarem vivos depois de dez anos,(b) ao menos um estar vivo depois de dez anos,( ) nenhum deles estar vivo depois de dez anos,(d) somente a esposa estar viva depois de dez anos.

24 ProbabilidadeDi a: onsidere os eventos A: o homem está vivo daqui a 10 anos. B: sua esposa está viva daqui a 1o anos.Resp: a) 1/12 b) 1/2 ) 1/2 d) 1/421. A urna 1 ontêm 5 bolas bran as e 7 bolas pretas. A urna 2 ontêm 3 bolas bran ase 12 bolas pretas. Uma moeda ideal é arremessada. Se o resultado é ara, entãosele iona-se uma bola da urna 1, enquanto que se o resultado é oroa, sele iona-seuma bola da urna 2. Suponha que uma bola bran a tenha sido sele ionada. Quala probabilidade do resultado do arremesso da moeda ter sido oroa?Resp:P [co|B] = 12/3722. Sejam os seguintes eventos:

• A: uma família tem rianóas de ambos os sexos. • B: uma família tem no máximo um menino.(a) Mostre que A e B são independentes, se uma família tem 3 rianóas.(b) Mostre que A e B são dependentes, se uma família tem 2 rianóas.

Capítulo 2Variáveis Aleatórias2.1 Denição.O resultado de um experimento aleatório pode ser um número real ( omo no aso doarremesso de dados) ou pode ser não numéri o, mas des rito por palavras (por exemplo ara e  oroa).Entretanto estamos geralmente interessados não no resultado, mas em alguma me-dida ou atributo numéri o deste. Por exemplo, se jogamos uma moeda n vezes, podemosestar interessados no número total de aras e não na ordem espe í a na qual o orreramas aras e as oroas.Assim, podemos denir uma função que asso ia um valor numéri o ao resultado doexperimento aleatório. Desde que os resultados são aleatórios, os resultados das medidastambém o serão. Desta forma faz sentido falar em probabilidades dos valores numéri osresultantes.O on eito de variável aleatória formaliza esta noção:Denição 2.1. Uma variável aleatória X é uma função que asso ia um número real X(ζ) a ada resultado ζ no espaço amostral de um experimento aleatório.Lembre-se que uma função é simplesmente uma regra que asso ia um valor numéri oa ada elemento de um onjunto, omo mostrado gra amente na Figura 2.1.PSfrag repla ements S

X(ζ) = x

x

Sx

reta realζFigura 2.1: Uma v.a. asso ia um número x = X(ζ) a ada resultado ζ no espaçoamostral S de um experimento aleatório.

26 Variáveis AleatóriasA espe i ação de uma medida de um experimento aleatório dene uma função noespaço amostral, e portanto uma v.a. O espaço amostral S é o domínio da v.a., e o onjunto SX de todos os valores tomados por X é a faixa da v.a. Então SX é umsub onjunto do onjunto de todos os números reais.Podemos ver X(·) omo uma função que mapeia os pontos amostrais ζ1, ζ2, . . . , ζmem números reais x1, x2, . . . , xn. Assim, X é uma variável aleatória que assumevalores x1, x2, . . . , xn. Observe que m não é ne essariamente igual a n. Mais de umponto amostral pode ser mapeado em um mesmo valor de x.Exemplo 2.1. Espe ique o espaço amostral de um experimento que onsiste em jogaruma moeda 3 vezes.Solução. O espaço amostral para este experimento éS = {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK},onde C orresponde a  ara"e K orresponde a  oroa".Seja X o número de aras em três jogadas da moeda. X asso ia a ada resultado ζem S um número do onjunto SX = 0, 1, 2, 3. A tabela abaixo lista os oito resultadosde S e os valores de X orrespondentes. ζ CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK

X(ζ) 3 2 2 2 1 1 1 0 X é então uma v.a. que toma valores no onjunto SX = 0, 1, 2, 3.A função ou regra que asso ia valores a ada resultado é xa ou determinísti a, omo,por exemplo, na regra número de aras em 3 jogadas de uma moeda. A aleatoriedadenos valores observados deve-se à aleatoriedade dos argumentos da função X, ou seja osresultados ζi do experimento.Em outras palavras, a aleatoriedade dos valores observados de X é induzida peloexperimento aleatório, e devemos portanto ser apazes de al ular as probabilidades dosvalores observados em termos das probabilidades dos resultados do experimento.Exemplo 2.2. O evento {X = k} = {k aras em 3 jogadas de uma moeda} o orrequando o resultado do experimento ontém k aras. Cal ule as probabilidades dos eventos

{X = k}, k = 0, 1, 2, 3.Solução. A probabilidade do evento {X = k} é dada pela soma das probabilidades dosresultados orrespondentes ou eventos elementares. Seja p a probabilidades de aras e (1− p) a probabilidade de oroas. Desta forma, temos

p0 = P [X = 0] = P [{KKK}] = (1− p)3 p1 = P [X = 1] = P [{CKK}]P [{KCK}]P [{KKC}] = 3(1− p)2p p2 = P [X = 2] = P [{CCK}]P [{CKC}]P [{KCC}] = 3(1− p)p2 p3 = P [X = 3] = P [{CCC}] = p3

Variáveis Aleatórias 27O exemplo a ima ilustra a seguinte té ni a geral para en ontrar as probabilidadesde eventos envolvendo a v.a. X: seja SX o onjunto de valores que podem ser assumidospor X, e B algum sub onjunto de SX . SX pode ser visto omo um novo espaço amostral, e B omo um evento neste espaço.Seja A o onjunto de resultados ζ em S que levam a valores X(ζ) em B, omomostrado na Figura 2.2, isto é

A = {ζ : X(ζ) em B}então o evento B em SX o orre sempre que o evento A em S o orre. Desta forma, aprobabilidade do evento B é dada por P [A] = P [B] = P [ζ : X(ζ) em B]Referimo-nos aos eventos A e B omo eventos equivalentes.

PSfrag repla ements S

A

B reta realFigura 2.2: Eventos equivalentes.2.2 Função distribuição umulativa.Denição 2.2. A função distribuição umulativa (fd ) de uma v.a. X é denida omo a probabilidade do evento {X ≤ x}: FX(x)

△ = P [X ≤ x], −∞ < x < ∞ (2.1)isto é, a probabilidade da v.a. X tomar um valor no intervalo (−∞, x].Em termos do espaço amostral, a fd é a probabilidade do evento {ζ : X(ζ) ≤ x}. Oevento {X ≤ x} e sua probabilidade variam à medida que x varia; em outras palavras,

FX(x) é uma função da variável x.A fd é simplesmente uma maneira onveniente de espe i ar a probabilidade detodos os intervalos semi-innitos da reta real, e seus omplementos, uniões e interseções.

28 Variáveis AleatóriasPropriedadesOs axiomas de probabilidade e seus orolários impli am que a fd tem as seguintespropriedades:1. 0 ≤ FX(x) ≤ 12. lim x→∞

FX(x) = 13. lim x→−∞

FX(x) = 04. FX(x) é uma função não de res ente de x, isto é, se a < b, então FX(a) ≤ FX(b).5. A probabilidade de eventos que orrespondem a intervalos da forma (a < X ≤ b)podem ser expressas em termos da fd P [a < X ≤ b] = FX(b)− FX(a) (2.2)Demonstração.

P [a < X ≤ b] = P [X ≤ b]− P [X ≤ a] = FX(b)− FX(a)Isto pode ser fa ilmente visto na Figura abaixo .................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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. P [X ≤ b]

P [X ≤ a]

P [a < X ≤ b]

v

v

vfFigura 2.3: P [a < X ≤ b] = FX(b)− FX(a)6. A probabilidade que uma v.a. X toma em um ponto espe í o, digamos b, é dadapela magnitude do salto da fd no ponto b. Segue que se a fd é ontínua em umponto b, então o evento tem probabilidade zero.Demonstração. Desejamos al ular P [X = b]. Seja a = b − ε, ε > 0. Usando(2.2), podemos es rever P [a < X ≤ b] = P [b− ε < X ≤ b] = FX(b)− FX(b− ε) (2.3)À medida que ε → 0, o lado esquerdo de (2.3) aproxima P [X = b], e então

P [X = b] = FX(b)− FX(b−) (2.4)

Variáveis Aleatórias 297. Seja o intervalo {a ≤ X ≤ b} = {X = a}⋃{a < X ≤ b}. Então P [a ≤ X ≤ b] = P [X = a] + P [a < X ≤ b]

= FX(a)− FX(a−) + FX(b)− FX(a) = FX(b)− FX(a−)

(2.5)8. Se a fd é ontínua nos limites de um intervalo, então os limites têm probabili-dade zero, e portanto podem ser in luídos ou ex luídos do intervalo sem afetar aprobabilidade. Em outras palavras, se a fd é ontínua nos pontos x = a e x = b,então P [a < X < b] = P [a ≤ X < b] = P [a < X ≤ b] = P [a ≤ X ≤ b] (2.6)Exemplo 2.3. A fd de uma variável aleatória X é dada por

FX(x) =





0 x < 0

1

4 (x2 + 1) 0 ≤ x < 1

1

4 x+

1

2 1 ≤ x < 2

1 x ≥ 2En ontre a probabilidade dos eventos:a) {X < 1} b) {X = 1} ) {X = 0} d) {|x− 1| > 1/2} e) {x ≤ 0}Solução. A primeira oisa a fazer é analisar omo esta função se omporta: das equa-ções a ima, podemos ver que esta é uma função nula para x < 0; para 0 ≤ x < 1 assumea forma de uma parábola, e no intervalo 1 ≤ x < 2 o de uma reta; nalmente, assumeum valor onstante igual a 1 para x > 2. Abaixo temos um grá o desta função.

x-1 0 1 2 30.25 0.50.751

fX(x)

-

6

...........................................................................................

............... .......

...... ..... .... ... ... ... ... .. .. .. .. .. ..

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...........................................................................................

....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...

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s

sA partir da análise do grá o,  a fá il resolver o problema:a) A probabilidade do evento {X < 1} é dado pelo valor da fd no ponto imediata-mente anterior a X = 1. Portanto, P [X < 1] = 1/2.

30 Variáveis Aleatóriasb) A probabilidade do evento {X = 1} é dada pelo valor do salto da fd em X = 1.Portanto, P [X = 1] = 1/4. ) Pelas mesmas razões do item b), P [X = 0 = 1/4].d) O evento {|x− 1| > 1/2} pode ser visto omo um ír ulo de raio 1/2 om entroem X = 1.Desta forma, P [|x−1| > 1/2] = 1−P [1/2 < X ≤ 3/2] = 1−[FX(3/2)−FX(1/2)] = 7/16e) P [X ≤ 0] = FX(0) = 1/4

2.3 Tipos de Variáveis Aleatórias2.3.1 Dis retasVariáveis aleatórias dis retas tomam valores de um onjunto nito SX = {x0, x1, . . . , xn}. Apare em geralmente em apli ações que envolvem ontagem, de modo que geral-mente temos SX = {0, 1, . . . }.Denição 2.3. A função massa de probabilidade (fmp) de X é o onjunto deprobabilidades pX(xk) = P [X = xk] dos elementos em SX . Denição 2.4. A fd de uma v.a. dis reta pode ser es rita omo uma soma ponde-rada de funções degrau unitário

FX(x) = ∑

k

pX(xk)u(x− xk) (2.7)onde pX(xk) = P [X = xk] forne e a magnitude dos saltos na fd .Exemplo 2.4. Seja a v.a. X denida omo número de aras em três arremessos deuma moeda ideal. Determine a fd de X.Solução. Do Exemplo 2.1 sabemos que X toma apenas os valores 0, 1, 2 e 3. DoExemplo 2.2, se zermos p = 0.5 as probabilidades para ada um destes resultados são1/8, 3/8, 3/8 e 1/8, respe tivamente, de modo que FX(x) é simplesmente a soma dasprobabilidades dos resultados de 0,1,2,3 que são menores ou iguais a x. A fd resultantetem portanto des ontinuidades nos pontos 0,1,2 e 3. A fd de X denida desta maneirapode ser vista na Figura 2.4.

Variáveis Aleatórias 31PSfrag repla ements 0 1 2 3 x

FX(x)

1/8

1/2

7/8 1

Figura 2.4: Exemplo de uma fd de uma v.a. dis reta.2.3.2 ContínuasSão as v.a.'s ujas fd 's FX(x) são ontínuas em todos os pontos e, as quais, adi ional-mente, são su ientemente suaves de modo que podem ser es ritas omo uma integralde alguma função f(x) não negativa. FX(x) =

∫ ∞

−∞ f(t)dt (2.8)Para v.a.'s ontínuas, a fd é ontínua em todos os pontos, de modo que a proprie-dade 6 impli a que P [X = x] = 0, ∀x.Exemplo 2.5. O tempo de transmissão X de mensagens em um sistema de omuni- ação obede e a lei de probabilidade exponen ial om parâmetro λ, isto é P [X > x] =

e−λx, x > 0. En ontre a fd de X. Cal ule P [T < X ≤ 2T ], T = 1/λ.Solução. Por denição, a fd de X é dada por FX(x) = P [X ≤ x] = 1 − P [X > x].Desta forma, temos FX(x) =

{

0, x ≤ 0 1− e−λx, x > 0Na Figura 2.5 tem-se um desenho da fd de X.

PSfrag repla ements x

1

FX(x)

Figura 2.5: Grá o da fd de v.a. ontínua X.Da propriedade 5 temos que

32 Variáveis Aleatórias P [T < X ≤ 2T ] = FX(2T )− FX(T ) = 1− e−2 − (1− e−1) = e−1 − e−2 ≈ 0.233Note que FX(x) é ontínua para todo x. Note também que sua derivada existe paratodos os pontos, ex eto em x = 0.Na Figura 2.6 tem-se o grá o de F ′X(x). PSfrag repla ements

x

F ′

X(x)

Figura 2.6: Grá o de F ′X(x). 2.3.3 MistasSão v.a.'s ujas fd 's têm saltos em um número nito de pontos x0, x1, . . . , xn mas quetambém aumentam de forma ontínua por pelo menos um intervalo de valores de x. Afd destas variáveis tem a forma

FX(x) = pF1(x) + (1− p)F2(x) (2.9)onde • 0 < p < 1

• F1(x) é a fd de uma v.a. dis reta. • F2(x) é a fd de uma v.a. ontínua.Exemplo 2.6. O tempo de espera X de um usuário em um sistema de las é zero seele en ontra o sistema livre, e om um tempo de espera exponen ialmente distribuídose en ontra o sistema o upado. As probabilidades de ele en ontrar o sistema livre ouo upado são p e (1− p), respe tivamente. En ontre a fd de X.Solução.

FX(x) = P [X ≤ x] = P [X ≤ x|livre]p+ P [X ≤ x|ocupado](1− p)

Variáveis Aleatórias 33Note que P [X ≤ x|livre] = 1 quando x ≥ 0 e 0 aso ontrário. Desta forma FX(x) =

{

0, x < 0

p+ (1− p)(1− e−λx), x ≥ 0O grá o da fd é mostrado na Figura 2.7. Note que FX(x) pode ser expressa omoa soma de uma função degrau om amplitude p e uma função ontínua de x. PSfrag repla ements

x

1

FX(x)

Figura 2.7: Um exemplo de v.a. mista. 2.4 Função Densidade de Probabilidade2.4.1 DeniçãoDenição 2.5. A função densidade de probabilidade (fdp) de uma v.a. X, se existir,é denida omo a derivada de FX(x):

fX(x) = dFX(x)

dx (2.10)A fdp representa a densidade de probabilidade no ponto x no seguinte sentido:a probabilidade de que X esteja em um intervalo pequeno na vizinhança de x, isto é

{x < X ≤ x+ h} , é P [{x < X ≤ x+ h}] = FX(x+ h)− FX(x) =

FX(x+ h)− FX(x) h

h (2.11)Se a fd tem uma derivada em x, então à medida que h → 0 P [{x < X ≤ x+ h}] ≈ fX(x)h (2.12)Então fX(x) representa a densidade de probabilidade no ponto x no sentido deque a probabilidade de que X esteja em um pequeno intervalo na vizinhança de x éaproximadamente fX(x)h, onforme mostrado na Figura 2.8.

34 Variáveis Aleatórias PSfrag repla ementsfX(x)

xx x+ dx

fX(x)dx

Figura 2.8: A função densidade de probabilidade espe i a a probabilidade de intervalosde largura innitesimal.2.4.2 Propriedades1. A derivada da fd , quando existir, é positiva desde que a fd é uma função nãode res ente de x, então fX(x) ≥ 0 (2.13)2. Seja fX(x) uma função não negativa, a qual hamaremos de função densidade deprobabilidade, e que espe i a as probabilidades de eventos da forma X ai emum pequeno intervalo de largura dx ao redor do ponto x. As probabilidades deeventos envolvendo X são então expressas em termos da fdp adi ionando proba-bilidades de intervalos de largura dx. À medida que as larguras dos intervalosse aproximam de zero, obtemos uma integral em termos da fdp. Por exemplo, aprobabilidade de um intervalo [a, b] é dada por

P [a ≤ x ≤ b] = ∫ b

a fX(x)dx (2.14)A probabilidade de um intervalo é portanto a área sob fX(x) naquele intervalo(ver Figura 2.9). A probabilidade de qualquer evento que onsiste na união deintervalos disjuntos pode ser en ontrada adi ionando-se as integrais da fdp sobre ada um dos intervalos.

xa b

fX(x)

-

6

...

...

...

...

...

...

...

...

...

....................................... ........

...... ..... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .... .................................................

........................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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.Figura 2.9: A probabilidade de um intervalo [a, b] é a área sob a fdp naquele intervalo.3. A fd de X pode ser obtida integrando-se a fdp FX(x) =

∫ x

−∞ fX(t)dt (2.15)

Variáveis Aleatórias 354. Fazendo x → +∞ na equação (2.15), obtemos a ondição de normalização paraas fdp's ∫ +∞

−∞ fX(t)dt = 1 (2.16)5. Uma fdp válida pode ser formada a partir de qualquer função g(x) não negativae ontínua por partes que tenha uma integral nita

∫ +∞

−∞ g(x)dx = c < ∞ (2.17)Fazendo fX(x) = g(x)/c obtemos uma função que satisfaz a ondição de norma-lização. Note que a fdp pre isa ser denida para todos os valores reais de x; se Xnão toma valores em alguma região da reta real, simplesmente fazemos fX(x) = 0na região.2.4.3 Caso Dis retoA derivada da fd não existe em pontos onde ela não é ontínua. Então a noção defdp denida na equação (2.10) não se apli a a v.a.'s dis retas nos pontos em que a fd não é ontínua. Podemos generalizar a denição da função densidade de probabilidadenotando a relação entre as funções degrau unitário e delta de Dira .Denição 2.6. A função degrau unitário u(x) é denida omo

u(x) =

{

0, x < 0

1, x ≥ 0 (2.18)

Denição 2.7. A função delta de Dira δ(x) é denida em termos da funçãodegrau unitário pela seguinte equação u(x) =

∫ +∞

−∞ δ(t)dt (2.19)Na seção 2.3.1 vimos que a fd de uma v.a. dis reta pode ser es rita omo umasoma ponderada de funções degrau unitário

FX(x) = ∑

k

pX(xk)u(x− xk) (2.20)onde a função massa de probabilidade é dada por pX(x) = P [X = x].Para generalizar a denição da fdp de modo que a Equação (2.15) valha também parav.a.'s dis retas, podemos notar o seguinte: a integral de uma função delta lo alizada

36 Variáveis Aleatóriasem x = b, isto é δ(x − b), irá gerar uma função degrau que omeça em x = b, isto é, u(x− b).Denição 2.8. Usando a equação (2.15), podemos denir a fdp de uma v.a. dis reta omo

pX(x) = ∑

k

P [X = xk]δ(x− xk) (2.21)Desta forma, a denição generalizada da função densidade de probabilidade olo auma função delta de peso P [X = xk] nos pontos xk onde a fd não é ontínua.2.5 Algumas variáveis aleatórias dis retas importantesAs variáveis aleatórias dis retas apare em em geral em apli ações que envolvem onta-gens. As distribuições dis retas mais omuns são:2.5.1 BernoulliUsos mais frequentesA distribuição de Bernoulli é o valor da função indi adora IA para algum evento A; X = 1 se A o orre, e X = 0 aso ontrário. Para estes testes, assume-se que a probabilidadede A o orrer é p.Domínio: SX = {0, 1}Função massa de probabilidade

pX(x) =

{

1− p = q, X = 0 p, X = 1

0 ≤ p ≤ 1

x0 1

pX(x)

0.5

-

6 (p = q = 0.5) Função distribuição umulativa

FX(x) =





0, x < 0

1− p, 0 ≤ x < 1 1, x ≥ 1

x1 FX(x)

1− p

1 -

6

......................................................

......................................................

.................................................

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Variáveis Aleatórias 372.5.2 BinomialUsos mais frequentes X é o número de su essos em n experimentos de Bernoulli e, portanto, a soma de n variáveis aleatórias independentes e identi amente distribuídas, om distribuição deBernoulli om probabilidade de su esso igual a p.Domínio: SX = {0, 1, . . . , n}Função massa de probabilidade pX(x) =

( n

x

)

px(1− p)n−x

x = 0, 1, . . . , n

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

pX(x)

-

6 (n = 10, p = 0.5) Função distribuição umulativa FX(x) =

k

( n

x

)

px(1− p)n−xu(x− xk)

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 FX(x)1

-

6

................................................. .................

.................

.................

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.................

................. ........................................................ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...

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2.5.3 PoissonUsos mais frequentesEm muitas apli ações, estamos interessados em ontar o número de o orrên ias de umevento em um erto intervalo de tempo ou em uma determinada região do espaço. Avariável aleatória de Poisson onta o número de eventos que o orrem em uma unidadede tempo quando o tempo entre os eventos é exponen ialmente distribuído om média 1/α.A distribuição de Poisson pode ser derivada da distribuição binomial fazendo-se n → ∞ e p → 0.Domínio: SX = {0, 1, 2, . . . }Função massa de probabilidade

pX(x) = αx

x! e−α

x = 0, 1, . . . e α > 0 x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

pX(x)

0.2

-

6 (α = 4)

38 Variáveis AleatóriasFunção distribuição umulativa FX(x) =

∞∑

k=0

αke−α

k! u(x− k)

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 FX(x)1

-

6

............................................

......................

......................

......................

......................

......................

......................

...................... ........................................................................ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....

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2.5.4 Geométri aUsos mais frequentes X é o número de falhas antes do primeiro su esso em uma sequên ia de testes deBernoulli independentes, ada uma om probabilidade de su esso igual a p. É a úni avariável aleatória dis reta sem memória.Domínio SX = {0, 1, 2, . . . }Função massa de probabilidade

pX(x) = p (1− p)x

x = 0, 1, 2, . . .

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

pX(x)

0.5

-

6 (p = 0, 5) Função distribuição umulativa

FX(x) =

∞∑

k=0

p (1− p)ku(x− k)

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 FX(x)10.5

-

6

..................

..................

..................

..................

.................. ....................................

............................................................................................... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

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2.6 Algumas variáveis aleatórias ontínuas importantesEstamos sempre limitados a medidas de pre isão nita, de modo que toda variável ale-atória en ontrada na práti a é uma variável aleatória dis reta. Entretanto, existemvárias razões pelas quais é interessante utilizar modelos que utilizem variáveis aleatórias ontínuas. Primeiro, em geral, variáveis aleatórias ontínuas são em geral mais fá eis delidar analiti amente. Segundo, as formas limite de muitas variáveis aleatórias dis retas

Variáveis Aleatórias 39geram variáveis aleatórias ontínuas. Finalmente, existem algumas famílias de variá-veis aleatórias ontínuas que podem ser utilizadas para modelar uma grade variedadede situações pelo ajuste de alguns pou os parâmetros.2.6.1 UniformeUsos mais frequentesA variável aleatória uniforme apare e em situações onde todos os valores em um intervaloda reta real são equiprováveis. Esta distribuição é bastante usada em modelamentos deruído de quantização.Domínio: SX = [a, b]Função densidade de probabilidade fX(x) =

1

b− a a ≤ x ≤ b 0 aso ontrário

a b x

1

b− a

fX(x)

-

6

........................................................ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..................................................................................................................................................................

....... ....... ....... ....... ...

Função distribuição umulativaNeste aso, temos 3 situações possíveis:1. x < a FX(x) = ∫ x −∞

0 dy = 02. a ≤ x ≤ b FX(x) = ∫ x a

1

b− a dy = x− a b− a3. x > b FX(x) = ∫ b

a

1

b− a dy = b− a b− a = 1Portanto, temos:

FX(x) =





0 x < a x− a b− a a ≤ x ≤ b 1 x > b

a b x

1

FX(x)

-

6

........................................................ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ............................................ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....

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40 Variáveis Aleatórias2.6.2 Exponen ialUsos mais frequentesA variável aleatória exponen ial modela o tempo de duração de eventos que o orremsegundo a distribuição de Poisson. É a úni a variável aleatória ontínua sem memória.Domínio: SX = [0,∞)Função densidade de probabilidade fX(x) =

{

λe−λx x ≥ 0 e λ > 0 0 aso ontrário 1 2 3 4 x0.20.40.6

0.81.0fX(x) -

6

λ = 1.0

.........................................................................................................................................................................................................

λ = 0.5

.............................................. .............................................................................................................................

Função distribuição umulativa FX(x) =

∫ x

0 λe−λydy = λ

e−λy

−λ

∣ ∣ ∣ ∣

x

0

= −1(e−λx − e0) ⇒

FX(x) =

{

1− e−λx x ≥ 0, λ > 0 0 aso ontrário 1 2 3 4 x0.20.40.6

0.81.0FX(x) -

6 λ = 1.0

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... ... ... .... ..... ..... ...... .......

........ ..........

............. ....................

..........................................

λ = 0.5

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ...... .......

....... ........

......... ..........

........... .............

........

2.6.3 RayleighUsos mais frequentesModelamento de desvane imento.Domínio: SX = [0,∞)

Variáveis Aleatórias 41Função densidade de probabilidade fX(x) =





x

α2 e−

x2

2α2 x > 0, α > 0

0 aso ontrário x0 1 2

fX(x)

-

6 α = 1

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .......................................................................................................................................................................

α = 2

.. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..... ..... ...... ........

....................................................................................................................

...

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...

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...

...

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...

Função distribuição umulativa FX(x) =

∫ x

0

y

α2 e−

y2

2α2 dy Fazendo u = y2/2, temos que du = ydy. FX(x) =

∫ x2/2

0

1

α2 e−

u

α2 du = 1

α2 e−

u

α2

1 α2

∣ ∣ ∣ ∣ ∣

x2/2

0

= 1− e− x2

2α2

FX(x) =

{

1− e− x2

2α2 x ≥ 0, α > 0 0 aso ontrário

x0 2 4 6 1FX(x)

-

6

α = 1

.... .. ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. ... ... ..... ...............

...................................................................................................

α = 2

........ .... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... ... .... ..... ..... ...... ........

............. .................. ....... ....... ....... ....... .....

2.6.4 GaussianaUsos mais frequentesCurvas em forma de sino apare em em várias apli ações de teoria de probabilidade. Osmodelos de probabilidade nestas apli ações são menbros da família de v.a.'s Gaussianas.De fato, sob uma grande faixa de ondições X pode ser usada para aproximar a somade um grande número de variáveis aleatórias independentes. Pelo fato de o orreremtão frequentemente na práti a, as v.a.'s Gaussianas são também hamadas de v.a.'snormais.Também, sob uma grande variedade de ondições, a variável aleatória gaussianapode ser utilizada para aproximar a soma de um grande número de variáveis aleatóriasindependentes. (Veja o Teorema do Limite Central no Capítulo 5)Seguindo a onvenção de vários textos na área, usaremos a notação X é N(µ, σ2)para nos referirmos a uma v.a. X om distribuição Gaussiana de média µ e variân ia σ2. Nesta notação, o N quer dizer (obviamente) normal.Domínio: SX = (−∞,∞)

42 Variáveis AleatóriasFunção densidade de probabilidade fX(x) =

1√ 2πσ

e − (x− µ)2

2σ2

x-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 fX(x)0.5

-

6(µ = 0, σ = 1) .....................................

........ ...... .... ... ... .. .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. ... ...... ............................................................................................................................................

(µ = 1, σ = 0.5) ..........................................................

...... ... .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...................................................................................................................................O grá o de fX(x) tem formato de sino, om entro em x = µ. σ reete a largurado sino: se σ é pequeno, o sino é estreito, om um pi o agudo e alto. Por outro lado, se

σ é grande, o sino é largo, e o pi o é baixo e menos pontudo. A altura do pi o é dadapor 1/(σ√2π)Função distribuição umulativa FX(x) =

1√ 2πσ

∫ x

−∞ e−

(y−µ)2

2σ2 dy

x-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 1FX(x)

-

6

(µ = 0, σ = 1) ........................................................

......... ...... ..... .... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... ... ..... ..... .......

............ ..................................................(µ = 1, σ = 0.5)

....................................................... .......

..... ... ... .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. ... ... ..... .......

.......... ....... ....... ....... ....... .......

Observações • É impossível expressar a integral de uma fdp Gaussiana entre limites nitos deforma analíti a. Desta forma, a úni a solução é al ular estes valores de formanuméri a. Nas Tabelas do Apêndi e F tem-se os valores da fd de uma variávelaleatória Gaussiana N(0, 1) para valores de -4 a 0. • Observe que omo a variável aleatória gaussiana N(0, 1) é simétri a em relação origem, estas tabelas também forne em os valores da fd no intervalo 0 a 4. • Para valores fora deste intervalo, as probabilidades são muito baixas.Para aprender omo usar esta tabela, vamos introduzir a seguinte propriedade dasvariáveis aleatórias Gaussianas:Teorema 2.1. Se X é uma variável aleatória Gaussiana om parâmetros µ e σ,então Y = aX + b é uma variável aleatória Gaussiana om parâmetros aµ+ b e aσ.Este teorema diz que qualquer transformação linear de uma variável aleatória Gaus-siana produz outra variável aleatória Gaussiana. Este teorema nos permite rela ionar

Variáveis Aleatórias 43as propriedades de uma variável aleatória Gaussiana arbitrária om as propriedades deuma variável aleatória Gaussiana espe í a.Denição 2.9. Variável aleatória normal padrão. A variável aleatória normalpadrão Z é a variável aleatória Gaussiana om parâmetros µ = 0 e σ = 1.As tabelas denidas ontém valores de FZ(z). Introduzimos a notação espe ial Φ(z)para esta função.Denição 2.10. Fd normal padrão. A fd da variável normal padrão Z é Φ(z) =

1√ 2π

∫ z

−∞ e−u

2/2duDada a tabela de valores de Φ(z), usamos o seguinte teorema para en ontrar asprobabilidades de uma variável aleatória Gaussiana om parâmetros µ e σTeorema 2.2. Se X é uma variável aleatória Gaussiana om parâmetros µ e σ, afd de X é FX(x) = Φ

( x− µ σ

)E a probabilidade de X estar no intervalo (a, b] é P [a < X ≤ b] = Φ

( b− µ σ

)

− Φ ( a− µ σ

)Usando este teorema, transformamos os valores de uma variável aleatória Gaussiana, X, para valores equivalentes da variável aleatória normal padrão, Z. Para um valorparti ular x da variável aleatória X, o valor orrespondente para a variável aleatória Zé

z = x− µ σ

(2.22)Note que z é adimensional. Ele representa x omo um número de desvios padrõesem relação ao valor esperado de X.Exemplo 2.7. Suponha que a sua pontuação em um teste seja x = 46, uma amostra deuma variável aleatória Gaussiana om valor esperado 61 e desvio padrão 10. Expresseeste resultado omo uma amostra da variável aleatória normal padrão Z.Solução. Pela Equação (2.22),

44 Variáveis Aleatórias z =

46− 61 10

= −1.5Assim, esta pontuação orresponde a 1.5 desvios padrões menos que o valor espera-do. Para en ontrar as probabilidades das variáveis aleatórias Gaussianas, usamos osvalores de Φ(z) apresentados nas tabelas. Note que estas foram al uladas apenas paravalores negativos de x. Para valores positivos, devemos usar a seguinte propriedade:Teorema 2.3. Para a variável aleatória normal padrão, Φ(−z) = 1− Φ(z)Exemplo 2.8. Se X é uma variável aleatória Gaussiana om µ = 61 e σ = 10, al ule

P [X ≤ 46]Solução. Apli ando o Teorema 2.2 e o resultado do Exemplo 2.7, temos P [X ≤ 46] = FX(46) = Φ(−1.5) = 0, 067Isto sugere que, se seu resultado está 1,5 desvios padrões abaixo da média, vo ê estána região dos 6,7% piores, dentro da população das pessoas que zeram o teste.A função distribuição umulativa omplementar Q(x).Uma outra maneira de se al ular as probabilidades de eventos de variáveis aleatóriasenvolvendo distribuições gaussianas é através do uso da função distribuição umulativa omplementar, denida omo

Q(x) = 1√ 2π

∫ ∞

x e−y

2/2dy (2.23)Observe que a função Q(x) orresponde ao valor da probabilidade do evento P [X > x], sendo portanto o omplemento da fd FX(x), de modo que vale a identidade

Q(x) + FX(x) = 1 (2.24)Desta simetria, pode-se on luir fa ilmente que a tabela de valores da função Q(x)pode ser obtida diretamente da tabela de valores de Φ(x). Surge então a pergunta: porque estudar a função Q(x) se já temos a função Φ(x)? Para responder a esta ques-tão, vamos dar uma olhada em outra função, denominada função erro omplementar,denida omo

Variáveis Aleatórias 45 erfc(x) =

2√ π

∫ ∞

x e−y

2 dy (2.25)Esta função tem uma expansão em séries da forma

erfc(x) = 1− 2√ π

[ ∞∑

i=0

(−1)ix(2i+1) (2i+ 1)i!

] (2.26)Comparando as Equações (2.23) e (2.25), podemos estabele er as seguintes relações erfc(x) = 2Q(x

√ 2) Q(x) =

1

2 erfc

( x√ 2

) (2.27)Para x grande o su iente (assintoti amente), podemos usar a seguinte representaçãoda função Q(x): Q(x) =

e−x 2/2

x √ 2π

(

1− 1 x2

+ 1× 3 x4

− 1× 3× 5 x6

+ · · · ) (2.28)Na práti a, as seguintes aproximações são utilizadas

Q(x) ≈ 1 x √ 2π

e−x 2/2, x ≫ 1 (2.29)

Q(x) ≈ 1 x √ 2π

(

1− 0.7 x2

)

e−x 2/2, x > 2 (2.30)2.6.5 GamaUsos mais frequentesA distribuição gama não tem muitas apli ações práti as, mas tem um interesse teóri obastante grande, pois serve de base para a derivação de outras distribuições, estas simde grande interesse práti o.Domínio: SX = [0,∞)Função densidade de probabilidade

fX(x) = λ(λx)α−1e−αx

Γ(α)

x0 1 2 3 4 fX(x)

0.20.40.6 0.81.0

-

6

α = 3, λ = 0.5.............................................................................................................................................................................................................................................................. α = 3, λ = 3

...

...

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

...

...

...

..

..

... ... ... ... ......................................................................................................................................................

46 Variáveis AleatóriasFunção distribuição umulativa FX(x) =

∫ x

0

λ(λy)α−1e−αy

Γ(α) dy

x0 1 2 3 4 1FX(x)

-

6 α = 3, λ = 0.5 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..... .......

.................................... .........................................................................

α = 3, λ = 3 ...... .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. ... .. .. ... .... ..... ..... .......

............. ..........

2.6.6 m-ErlangUsos mais frequentesA variável aleatória m-Erlang é obtida pela soma dem variáveis aleatórias independentes om distribuição exponen ial de parâmetro λ.Observação: é um aso espe ial da distribuição Gama, fazendo-se om que o parâ-metro α = m seja um número inteiro positivo.Domínio: SX = [0,∞)Função densidade de probabilidade fX(x) =

λeλx(λx)m−1

(m− 1)! , x > 0

x0 1 2 3 4 fX(x)

0.20.40.6 0.81.0

-

6

m = 3, λ = 0.5.............................................................................................................................................................................................................................................................. m = 3, λ = 3

...

...

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

...

...

...

... .. ... ... ... ... ......................................................................................................................................................Função distribuição umulativa

FX(x) =

∫ ∞

0

λeλy(λy)m−1

(m− 1)! dy

x0 1 2 3 4 1FX(x)

-

6 m = 3, λ = 0.5 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..... .......

.................................... .........................................................................

m = 3, λ = 3 ...... .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. ... .. .. ... .... ..... ..... .......

............. ..........

Variáveis Aleatórias 472.6.7 Chi-Quadrado (χ2)Usos mais frequentesA soma de k variáveis aleatórias gaussianas independentes de média zero e variân iaunitária, ao quadrado, é uma variável aleatória om distribuição χ2 om k graus deliberdade.Observação: é um aso espe ial da distribuição Gama, fazendo-se α = k/2, k inteiropositivo, e λ = 1/2.Domínio: SX = [0,∞)Função densidade de probabilidade fX(x) =

x(k−2)/2e−x/2

2k/2Γ(k/2)

x0 5 10 15 20 fX(x)

0.10.20.30.4 0.5

-

6

k = 2

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

...

...

...

...

...

...

...

...

...

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

...

...

..

..

...

...

...

.

...........................................................................................................................................................................................................................................

k = 10

................... ...... ..... ..... ..... .... ..... ...... .........

......................................................................................................................Função distribuição umulativa FX(x) =

∫ ∞

0

y(k−2)/2e−y/2

2k/2Γ(k/2) dy

x0 5 10 15 20 1FX(x)

-

6

k = 2

...

...

...

...

...

...

...

...

...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .. .. ... .... .... ..... ......

......... ........................

.......................................................................

k = 10

...................... .....

.... .... .... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... .... .... .... .... ..... .... .....

..... ......

........ ...........

.....

2.6.8 Cau hyUsos mais frequentesA distribuição de Cau hy não tem apli ação práti a, mas tem um grande interesseteóri o pelas suas pe uliaridades.Domínio: SX = [−∞,∞)

48 Variáveis AleatóriasFunção densidade de probabilidade fX(x) =

α/π

x2 + α2 , α > 0

x-6 -4 -2 0 2 4 6 fX(x)

0.20.40.6 -

6

α = 0.5

.................................................. ............

....... .... ... .. ... ... ... ... .. ... ... ... .. .. .. .. .. ... ... ... ... .. .. ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... .............................................................................................................................................................

α = 1

............................ ............

........ ..... .... ... .. .. .. .. ... ..

... ... ... ... ..................

.........................................................................

Função distribuição umulativa FX(x) =

∫ x

−∞

α/π

α2 + u2 du

= a

π

[ 1

a arctan

(u

a

)]x

−∞

FX(x) = 1

π

( 1

2 + arctan

(x

α

))

x-6 -4 -2 0 2 4 6 0.51

FX(x)

-

6 α = 0.5

................................. ................

......... ......

..... .... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .... ..... .......

.......... ..................

............................

α = 1

.................... .............

.......... .......

...... ..... .... .... .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .... .... ..... ......

....... ..........

.............. ................

2.6.9 Lapla eUsos mais frequentesA distribuição de Lapla e é também onhe ida omo distribuição exponen ial dupla. Éa distribuição das diferenças entre duas variáveis aleatórias iid om distribuição expo-nen ial.Domínio: SX = [−∞,∞)

Variáveis Aleatórias 49Função densidade de probabilidade fX(x) =

α

2 e−α|x−µ|, α > 0

x-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 fX(x)

0.10.20.30.4 0.5

-

6

α = 1, µ = 2

............................................................................ .........

...... .... ... .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .............................................................................................................................................

α = 0.5, µ = 0

............................. .............

......... .......

...... ..... .... ... ... ... .. .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... .....................

.................................................... ...............

...

.

.

...

...

...

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...

...

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..

...

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...

...

.

...

...

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...

...

.

...

...

.

...

...

.

Função distribuição umulativaPor ausa da presença do módulo na expressão da fdp, pre isamos derivar a fd em duasetapas:Primeira etapa: x ≤ µ FX(x) =

∫ x

−∞

α

2 e−α|y−µ|dy Fazendo z = y − µ, temos que dz = dy, e então

FX(x) =

∫ x−µ

−∞

α

2 e−αzdz =

α

2

e−αy

α

∣ ∣ ∣ ∣

x−µ

−∞

= 1

2 e−α(x−µ)Segunda etapa: x > µ

FX(x) =

∫ µ

−∞

α

2 e−α|y−µ|dy+

∫ x

µ

α

2 e−α|y−µ|dy Fazendo z = y − µ, dz = dy, e então:

FX(x) =

∫ µ

−∞

α

2 e−αzdz +

∫ x

µ

α

2 e−αzdz =

α

2

e−αy

α

∣ ∣ ∣ ∣

µ

−∞

+ α

2

e−αy

−α

∣ ∣ ∣ ∣

x

µ

= 1

2 − 1

2 e−α(x−µ)

FX(x) =





1

2 eα(x−µ), x ≤ µ

1

2 − 1

2 e−α(x−µ), x > µ

x-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1FX(x)

-

6

α = 0, 5, µ = 0

......................... .............

......... .......

..... .... .... ... ... ... .. .. ... ... .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .. .. .. .. ... ... .... ..... ......

........ ...........

.................. .............

α = 1, µ = 2 .....................................................................

......... ..... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .

....... ...............

...................

2.7 Densidades Condi ionaisSe temos informação adi ional sobre o experimento sob análise, então nossas espe tativaspodem (ou não) ser alteradas. Por exemplo, ao fazermos apostas em um hipódromo,se sabemos que um avalo está ma hu ado ou doente, mesmo que seja um ampeão,diminuimos nossa onança nele.Nesta seção iremos mostrar omo determinar a inuên ia de uma informação adi i-onal na fd de uma variável aleatória. Isto é bastante fá il se lembrarmos que a fd éna verdade uma probabilidade:

50 Variáveis AleatóriasDenição 2.11. Função de distribuição ondi ional. A função de distribuição ondi ional FX(x|B) de uma variável aleatória X dado o evento B é denida omo FX(x|B) = P [X ≤ x|B] =

P [X ≤ x,B] P [B]PropriedadesA função distribuição ondi ional FX(x|B) tem as mesmas propriedades de uma fd omum. Dentre elas, podemos desta ar:1. FX(−∞|B) = 02. FX(∞|B) = 13. P [a < X ≤ b|B] = FX(b|B)− FX(a|B)Denição 2.12. Se X é uma variável aleatória dis reta, então a função massa deprobabilidade ondi ional é dada por

pX(xk|B) = P [X = xk|B] = P [X = xk, B]

P [B]Se X é uma variável aleatória ontínua, então a função densidade de probabilidade ondi ional é dada por fX(x|B) =

dFX(x|B) dxExemplo 2.9. Seja B △= {X ≤ 10}. Determine FX(x|B).Solução. Para resolver este problema, vamos analisá-lo em duas partes:1. para x ≥ 10, o evento {X ≤ 10} é um sub onjunto do evento {X ≤ x}. Destaforma,P [X ≤ 10, X ≤ x] = P [X ≤ 10], e então podemos es rever

FX(x|B) = P [X ≤ 10, X ≤ x]

P [X ≤ 10] = P [X ≤ 10] P [X ≤ 10] = 12. para x ≤ 10, o evento {X ≤ x} é um sub onjunto do evento {X ≤ 10}. Destaforma,P [X ≤ 10, X ≤ x] = P [X ≤ x], e então podemos es rever

FX(x|B) = P [X ≤ 10, X ≤ x]

P [X ≤ 10] = P [X ≤ x] P [X ≤ 10]Na Figura abaixo temos uma versão grá a deste resultado.

Variáveis Aleatórias 51

x0 2 4 6 8 10 12 14 1FX(x)

-

6

FX(x|B)

FX(x)

... ... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .......

....... .......

....... .......

....... ........

........ ........

........ .........

......... .........

.......... ..........

........... ...........

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............. .......

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...

...

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...

...

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...

...

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...

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...

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...

...

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...

.

Figura 2.10: Fd 's ondi ional e in ondi ional de X.2.8 Variáveis Aleatórias MúltiplasQuando lidamos om experimentos ombinados ou tentativas repetidas de um mesmoexperimento, en ontramos v.a.'s múltiplas e suas fd 's e fdp's. Variáveis aleatóriasmúltiplas são basi amente funções multidimensionais denidas em um espaço amostralde um experimento ombinado. 2.8.1 Função Distribuição de Probabilidade ConjuntaSejam duas v.a.'s X1 e X2, ada uma delas podendo ser ontínua, dis reta ou mista.Denição 2.13. A função distribuição umulativa onjunta (fd onjunta) para asduas v.a.'s pode ser denida omo

FX1X2(x1, x2) = P [X1 ≤ x1, X2 ≤ x2] = ∫ x1

−∞

∫ x2

−∞ fX1X2(u1, u2)du1du2 (2.31)onde fX1X2(x1, x2) é a função densidade de probabilidade onjunta (fdp onjunta). Estaúltima pode ser expressa na forma

fX1X2(x1, x2) = ∂2

∂x1∂x2 FX1X2(x1, x2) (2.32)

52 Variáveis Aleatórias2.8.2 Densidades marginaisTeorema 2.4. Quando a fdp onjunta fX1X2(x1, x2) é integrada sobre uma das va-riáveis, obtemos a fdp da outra variável, isto é ∫ +∞

−∞ fX1X2(x1, x2)dx1 = fX2(x2)

∫ +∞

−∞ fX1X2(x1, x2)dx2 = fX1(x1)As fdp's fX1(x1) e fX2(x2) obtidas a partir da integração de uma das variáveis são hamadas de fdp's marginais.Corolário 2.5. Se fX1X2(x1, x2) é integrada sobre ambas as variáveis, obtemos

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞ fX1X2(x1, x2)dx1dx2 = F (∞,∞) = 1 (2.33)

Corolário 2.6. F (−∞,−∞) = F (−∞, x2) = F (x1,−∞) = 0No aso de v.a.'s dis retas, substituímos as integrais por somatórios.Teorema 2.7. Para as v.a.'s dis retas X e Y , temos: fX(xi) = P [X = xi] = P [X = xi, Y = y1 ou X = xi, Y = y2 ou . . . ]

= ∞∑

j=−∞

fXY (xi, yj)

fY (yj) = P [Y = yj ] = P [Y = yj , X = x1 ou Y = yj , X = x2 ou . . . ] =

∞∑

i=−∞

fXY (xi, yj)E a expressão orrespondente à Equação 2.33 para o aso dis reto é

Variáveis Aleatórias 53Teorema 2.8. ∞∑

i=−∞

∞∑

j=−∞

fXY (xi, yj) = F (∞,∞) = 1 (2.34)Exemplo 2.10. Duas linhas de produção fabri am um erto tipo de peça. Suponha quea apa idade (em qualquer dia) seja 5 peças na linha I e 3 peças na linha II. Admita queo número de peças realmente produzidas em qualquer linha seja uma v.a. e que (X,Y )represente a v.a. bidimensional que forne e o número de peças produzidas pela linhaI e a linha II, respe tivamente. A Tabela 2.1 forne e a distribuição de probabilidade onjunta de (X,Y ). Cal ule as probabilidades marginais.Tabela 2.1: Exemplo de probabilidades onjunta e marginal. ↓Y X→ 0 1 2 3 4 5 Soma0 0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,251 0,01 0,02 0,04 0,05 0,06 0,08 0,262 0,01 0,03 0,05 0,05 0,05 0,06 0,253 0,01 0,02 0,04 0,06 0,06 0,05 0,24Soma 0,03 0,08 0,16 0,21 0,24 0,28 1Solução. Na Tabela 2.1, ada asa representa

fXY (xi, yj) = P [X = xi, Y = yj ]A última linha e a última oluna forne em os totais marginais, isto é, a soma das6 olunas e 4 linhas da tabela. As probabilidades que apare em nas margens, linha e oluna, representam a distribuição de probabilidade de Y e de X, respe tivamente. Porexemplo, P [Y = 1] = 0.26, P [X = 3] = 0.21, et .Em virtude da forma de apresentação da Tabela 2.1 aludiremos, de modo muito usualà distribuição marginal de X ou à distribuição marginal de Y , sempre que tivermos umav.a. bidimensional (X,Y ), quer dis reta, quer ontínua.2.8.3 Caso multidimensionalA generalização das expressões a ima para v.a.'s multidimensionais é direta. Suponhaque Xi, i = 1, 2, . . . , n são v.a.'s om uma fd onjunta denida por FX1X2...Xn(x1, x2, . . . , xn) = P [X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, . . . , Xn ≤ xn]

=

∫ x1

−∞

∫ x2

−∞ · · ·

∫ xn

−∞ fX1X2...Xn(u1, u2, . . . , un)du1du2 . . . dun

(2.35)onde fX1X2...Xn(x1, x2, . . . , xn) é a fdp onjunta.

54 Variáveis AleatóriasTomando as derivadas par iais de FX1X2...Xn(x1, x2, . . . , xn) dadas por (2.35), obte-mos fX1X2...Xn(x1, x2, . . . , xn) =

∂n

∂x1∂x2· · · ∂xn FX1X2...Xn(x1, x2, . . . , xn) (2.36)Um número qualquer de variáveis de fX1X2...Xn(x1, x2, . . . , xn) pode ser eliminadointegrando-se sobre estas variáveis. Por exemplo, integrando-se sobre x2 e x3 leva a

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞ fX1X2X3X4...Xn(x1, x2, x3, x4, . . . , xn)dx2dx3 = fX1X4...Xn(x1, x4, . . . , xn)(2.37)Segue também que

FX1X2...Xn(x1,∞,∞, x4, . . . , xn) = FX1X4...Xn(x1, x4, . . . , xn)e FX1X2...Xn(x1,−∞,−∞, x4, . . . , xn) = 0.2.8.4 Função distribuição de probabilidade ondi ionalTeorema 2.9. Sejam duas v.a.'s X1 e X2 om fdp onjunta fX1X2(x1, x2). A fd

FX1(x1) ondi ionada por x2 −∆x2 < X2 ≤ x2onde ∆x2 é algum in remento positivo, é dada por

FX1(x1|x2) =

∫ x1

−∞ fX1X2(u1, x2)du1

fX2(x2)Demonstração. Sejam X1 e X2 duas v.a.'s om fdp onjunta fX1X2(x1, x2). Queremosdeterminar P [X1 ≤ x1] ondi ionada por x2 −∆x2 < X2 ≤ x2onde ∆x2 é algum in remento positivo. Em outras palavras, desejamos al ular a pro-babilidade do evento (X1 ≤ x1|x2 −∆x2 < X2 ≤ x2). Usando as relações estabele idasanteriormente para a probabilidade ondi ional de um evento, a probabilidade do evento

(X1 ≤ x1|x2 −∆x2 < X2 ≤ x2) pode ser expressa omo P [X1 ≤ x1|x2 −∆x2 < X2 ≤ x2] =

P [X1 ≤ x1, x2 −∆x2 < X2 ≤ x2] P [x2 −∆x2 < X2 ≤ x2]

=

∫ x1

−∞

∫ x2

x2−∆x2

fX1X2(u1, u2)du1du2

∫ x2

x2−∆x2

fX2(u2)du2

(2.38)

Variáveis Aleatórias 55Vamos agora utilizar um resultado da teoria do ál ulo diferen ial e integral para ontinuarmos om a nossa prova:Teorema 2.10. Teorema do Valor Médio: se f for uma função ontínua em [a, b]e diferen iável em (a, b), então existe c ∈ (a, b) tal que f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).De a ordo om o Teorema do Valor Médio enun iado a ima, existem pontos c e c′ ∈ (x2 −∆x2, x2) tais que

∫ x1

−∞

∫ x2

x2−∆x2

fX1X2(u1, u2)du1du2

∫ x2

x2−∆x2

fX2(u2)du2

=

∫ x1

−∞ fX1X2(u1, c)∆x2du1

fX2(c ′)∆x2

(2.39)Fazendo agora ∆x2 → 0, temos que c e c′ aproximam-se de x2, e desta forma,podemos rees rever (2.39) omo ∫ x1

−∞ fX1X2(u1, c)∆x2du1

fX2(c ′)∆x2

=

∫ x1

−∞ fX1X2(u1, x2)du1

fX2(x2) (2.40)que é a fd ondi ional da v.a. X1 dada a v.a. X2, ou seja

FX1X2(x1|x2) =

∫ x1

−∞ fX1X2(u1, x2)du1

fX2(x2) (2.41)

Corolário 2.11. FX1X2(−∞|x2) = 0 e FX1X2(+∞|x2) = 1. Teorema 2.12.

fX1X2(x1|x2) = fX1X2(x1, x2)

fX2(x2) (2.42)Demonstração. Este orolário é demonstrado diretamente derivando (2.40) em relaçãoa x1, obtemos a fdp fX1X2(x1|x2) orrespondente na formaAlternativamente, podemos expressar a fdp onjunta fX1X2(x1, x2) em termos dasfdp's ondi ionais

fX1X2(x1, x2) = fX1X2(x1|x2)fX2(x2) = fX2X1(x2|x1)fX1(x1) (2.43)

56 Variáveis AleatóriasA extensão das relações dadas a ima para o aso multidimensional é direta: fX1···Xn(x1, . . . , xn) = fX1···Xn(x1, . . . , xk|xk+1, . . . , xn)fXk+1···Xn(xk+1, . . . , xn) (2.44)onde k é qualquer inteiro na faixa 1 < k < n. A fd ondi ional onjunta orrespondenteà fdp fX1···Xn(x1, . . . , xk|xk+1, . . . , xn) é dada por FX1···Xn(x1, . . . , xk|xk+1, . . . , xn)

=

∫ x1

−∞ · · ·

∫ xk

−∞ fX1···Xn(u1, . . . , uk|xk+1, . . . , xn)du1 · · · duk

fXk+1···Xn(xk+1, . . . , xn) (2.45)Esta fd ondi ional satisfaz as propriedades previamente estabele idas para estasfunções tais omo

FX1X2···Xn(∞, x2, . . . , xk|xk+1, . . . , xn) = FX2···Xn(x2, . . . , xk|xk+1, . . . , xn) FX1X2···Xn(−∞, x2, . . . , xk|xk+1, . . . , xn) = 02.8.5 Independên ia Estatísti a de Variáveis AleatóriasJá denimos a independên ia estatísti a para dois ou mais eventos de uma espaço amos-tral S. Este on eito pode ser estendido para variáveis aleatórias denidas em um espaçoamostral gerado por um experimento ombinado ou por várias tentativas de um úni oexperimento. Se os experimentos gerarem resultados mutuamente ex lusivos, a pro-babilidade de um resultado em um experimento é independente de um resultado emqualquer outro experimento. Isto é, a probabilidade onjunta dos resultados pode serfatorada no produto das probabilidades orrespondentes a ada resultado. Consequen-temente, as variáveis aleatórias orrespondentes aos resultados nestes experimentos sãoindependentes no sentido de que sua fdp onjunta pode ser fatorada no produto dasfdp's marginais.Denição 2.14. As v.a.'s multidimensionais são estatisti amente independentes see somente se

FX1X2···Xn(x1, x2, . . . , xn) = FX1(x1)FX2(x2) · · ·FXn(xn) (2.46)ou alternativamente fX1X2···Xn(x1, x2, . . . , xn) = fX1(x1)fX2(x2) · · · fXn(xn) (2.47)2.9 Funções de Variáveis Aleatórias2.9.1 Caso UnidimensionalUm problema que surge frequentemente em apli ações de probabilidade é o seguinte:dada uma v.a. X, ara terizada por sua fdp fX(x), al ular a fdp da v.a. Y = g(X),

Variáveis Aleatórias 57onde g(X) é alguma função de X. Chamemos a fdp desejada de fY (y).Teorema 2.13. Sejam duas v.a.'s X e Y , om Y = g(X). Nestas ondições, a fdpde Y é dada por fY (y) =

fX(x)

|g′(X)|

∣ ∣ ∣ ∣ x=g−1(y)Demonstração. Ini ialmente, vamos analisar os grá os da Figura 2.11.PSfrag repla ements

a) b) )XX Y Y

x y

Y = g(X)

fX(x) ∆X fY (y) ∆Y

Figura 2.11: a) Dependên ia entre X e Y, b) fX(x), e ) fY (y).Se X sofre uma variação ∆X → 0, e a variação orrespondente em Y é dada por ∆Y , então é óbvio que a probabilidade de observar X no intervalo [x, x+∆x] é a mesmade observar Y no intervalo [y, y+∆y]. Mas estas probabilidades são dadas por fX(x)∆xe fY (y)∆y, respe tivamente. Portanto

lim ∆x→0

fX(x)∆x = fY (y)∆y (2.48)Propriamente falando a equação a ima deveria ser expressa omo lim

∆x→0 fX(x)|∆x| = fY (y)|∆y| (2.49)pois as probabilidades são iguais às magnitudes das áreas sob ∆X e ∆Y , respe tiva-mente. Desta forma

fY (y) = fX(x) ∣ ∣ ∣ ∣

dY

dX

∣ ∣ ∣ ∣

= fX(x)

|g′(X)| (2.50)Observe que fY (y) é uma função de y. Desta forma, no lado direito da equaçãoa ima, a variável x deve ser expressa em termos de y. Assumindo que y = g(x) temuma inversa x = g−1(y), temos fY (y) =

fX(x)

|g′(X)|

∣ ∣ ∣ ∣ x=g−1(y)

(2.51)

58 Variáveis Aleatórias Exemplo 2.11. A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X édada por

fX(x) =

x2

81 , −3 < x < 6

0, aso ontrárioCal ule a função densidade de probabilidade da variável aleatória U = 1 3 (12− x).Solução. Neste aso, g(x) = 1/3(12 − x). Assim, a derivada e a inversa de g(x) sãodadas por:

g′(x) = 1

3 (0− 1) = −1

3 g−1(U) = 12− 3UApli ando o Teorema 2.13, temos:

fU (u) =

X2

81∣ ∣ ∣ ∣ −1 3

∣ ∣ ∣ ∣

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ g−1(U)

= x2

27

∣ ∣ ∣ ∣ g−1(U)

= (4− U)2

3Ainda, para X variando no intervalo (−3, 6), U varia no intervalo (2, 5), e a soluçãonal é então dada por: fU (u) =

(4− u)2 3

, 2 < u < 5

0, aso ontrárioExemplo 2.12. Considere a v.a. Y denida omo Y = aX + b, a > 0. Se X tem fdpdada por fX(x), en ontre a fdp de Y em termos da fdp de X.Solução. Na Figura 2.12a) tem-se o mapeamento de X ontra Y . Notamos que estemapeamento é linear e monotni o. Sejam FX(x) e FY (y) as fd 's para X e Y , respe -tivamente. Então FY (y) = P [Y ≤ y] = P [aX+b ≤ y] = P

[

X ≤ y − b a

]

=

∫ y−b a

−∞ fX(x)dx = FX

( y − b a

)Derivando a equação a ima em relação a y, obtemos a relação entre as respe tivasfdp's fY (y) =

1

a fX

( y − b a

)Ou seja, se a fdp de X é da forma da Figura 2.12b), a fdp de Y será aquela mostradana Figura 2.12 ).Uma outra forma de resolver este problema é apli ando diretamente o Teorema 2.13.Neste aso, temos:

Variáveis Aleatórias 59 PSfrag repla ements

a) b) )X Y

x y-1 0 11 fX(x) fY (y)

b− a b b+ a

Y = aX + b, a > 0 1 a

Figura 2.12: Uma transformação da v.a. X e um exemplo das fdp's orrespondentes de X e Y .

fY (y) = fX(x)

g′(x)

∣ ∣ ∣ ∣ x=g−1(y)

= fX(x)

a

∣ ∣ ∣ ∣ x=(y−b)/a

= 1

a fX

( y − b a

)

Até agora assumiu-se impli itamente que existe uma orrespondên ia biunívo a en-tre X e Y ou seja, existe apenas um valor de X para um dado Y , e vi e-versa. Se, poroutro lado, para um dado valor de Y existir mais de um valor de X, as equações a imadevem ser modi adas. O seguinte orolário trata deste aso:Corolário 2.14. Quando a equação Y = g(X) tem duas raízes, x1 e x2, a fdp fY (y)é dada por fY (y) =

fX(x1)

|g′1(x1)|

∣ ∣ ∣ ∣ x1=g

−1 1 (y)

+ fX(x2)

|g′2(x2)|

∣ ∣ ∣ ∣ x2=g

−1 2 (y)Demonstração. Considere a relação Y = g(X) mostrada na Figura 2.13.PSfrag repla ements x

y g1(x1) g2(x2)

∆y

∆x1 ∆x2

x1 x2Figura 2.13: Função de uma v.a. om duas raízes.Nesta Figura, para um dado valor de Y existem dois valores orrespondentes para X. Então a equação Y = g(X) tem duas raízes, x1 e x2. Vamos quebrar esta funçãoem duas outras, ada qual om uma úni a raiz: Y = g1(X1) e Y = g2(X2).Note que agora temos uma orrespondên ia unívo a entre X e Y em ada umadestas funções. Então x1 e x2 são funções de y om uma úni a raiz. Chamemos as

60 Variáveis Aleatóriasrelações inversas de x1 = g−11 (y) e x2 = g−12 (y).Da Figura 2.13 temos que Y está no intervalo (y, y+∆y) quando x1 está no intervalo (x1, x1 +∆x1) ou quando x2 está no intervalo (x2, x2 +∆x2). Os dois últimos eventossão mutuamente ex lusivos, pois X pode assumir o valor x1 ou o valor x2 mas nãoambos. Desta forma, temos

fY (y)|∆y| = lim ∆x1→0 ∆x2→0

(fX(x1)|∆x1|+ fX(x2)|∆x2|) (2.52) fY (y) =

fX(x1)

|g′1(x1)|

∣ ∣ ∣ ∣ x1=g−1(y)

+ fX(x2)

|g′2(x2)|

∣ ∣ ∣ ∣ x2=g−1(y)

(2.53)Se existirem n valores de X para um dado valor de Y , podemos estender este resul-tado para o seguinte orolário:Corolário 2.15. Quando a equação Y = g(X) tem n raízes, x1, . . . , xn, a fdp fY (y)é dada por fY (y) =

fX(x1)

|g′1(x1)|

∣ ∣ ∣ ∣ x1=g

−1 1 (y)

+ · · ·+ fX(xn)|g′n(xn)|

∣ ∣ ∣ ∣ xn=g

−1 n (y)onde x1, x2, . . . , xn são os valores de X quando Y = y.Exemplo 2.13. Considere a v.a. Y denida omo Y = aX2 + b, a > 0. Se X tem fdpdada por fX(x), en ontre a fdp de Y em termos da fdp de X.Solução. Na Figura 2.14 temos o mapeamento de Y em relação a X.PSfrag repla ements

Figura 2.14: Uma transformação quadráti a da v.a. X.Para determinar a fd de Y , observamos que FY (y) = P [Y ≤ y] = P [aX2 + b ≤ y] = P [|X| ≤

y − b a

]e então

Variáveis Aleatórias 61 FY (y) = FX

(√

y − b a

)

− FX (

− √

y − b a

)Derivando a equação a ima em relação a y, obtemos a fdp de Y em termos da fdp de X fY (y) =

fX

[√ y−b a

]

2a √

y−b a

+

fX

[

− √

y−b a

]

2a √

y−b aUtilizando agora o Corolário 2.9.1, temos: a equação g(X) = aX2 + b = y tem duassoluções reais x1 = √y−ba e x2 = −√y−ba , e portanto, fY (y) onsiste de dois termos orrespondentes a estas duas soluções

fY (y) =

fX

[

x1 = √

y−b a

]

∣ ∣ ∣ ∣ g′X

[

x1 = √

y−b a

]∣ ∣ ∣ ∣

+

fX

[

x2 = − √

y−b a

]

∣ ∣ ∣ ∣ g′X

[

x2 = − √

y−b a

]∣ ∣ ∣ ∣

=

fX

[√ y−b a

]

2a √

y−b a

+

fX

[

− √

y−b a

]

2a √

y−b a2.9.2 Caso MultidimensionalTeorema 2.16. Considere duas v.a.'s X e Y e sua fdp onjunta fXY (x, y). Sejam

U e V outras duas v.a.'s rela ionadas a X e Y por U = U(X,Y ) e V = V (X,Y ).Suponha que tanto U omo V assumem valores úni os para valores parti ulares de Xe Y , e vi e-versa. Então fUV (u, v) =

fXY (x, y)

J

( u, v

x, y

)Demonstração. Considere duas v.a.'s X e Y e sua fdp onjunta fXY (x, y). Sejam U e V outras duas v.a.'s rela ionadas a X e Y por U = U(X,Y ) e V = V (X,Y ). Suponhaque tanto U omo V assumem valores úni os para valores parti ulares de X e Y , e vi e-versa. Similarmente ao aso unidimensional, para obter fUV (u, v) a partir de fXY (x, y),observe que

fUV (u, v)|dudv| = fXY (x, y)|dxdy| (2.54)Portanto fUV (u, v) =

fXY (x, y) ∣ ∣ ∣ ∣

dudv

dxdy

∣ ∣ ∣ ∣

(2.55)A relação entre os dois elementos de área nos dois sistemas de oordenadas pode serexpressa em termos do Ja obiano omo

62 Variáveis Aleatórias dudv = J

( u, v

x, y

)

dxdy (2.56)onde J é o Ja obiano da transformação, dado pelo determinante J

( u, v

x, y

)

=

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

∂u

∂x

∂u

∂y

∂v

∂x

∂v

∂y

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

(2.57)Portanto fUV (u, v) =

fXY (x, y)

J

( u, v

x, y

) (2.58)Note que para que o Ja obiano exista as derivadas par iais de u e v em relação a xe a y devem também existir. Teorema 2.17. Se X e Y são funções de múltiplos valores, isto é, se (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) são as soluções das equações U = U(X,Y ) e V = V (X,Y ) então

fUV (u, v) = fXY (x1, y1) ∣ ∣ ∣ ∣ J

( u, v

x1, y1

)∣ ∣ ∣ ∣

+ fXY (x2, y2) ∣ ∣ ∣ ∣ J

( u, v

x2, y2

)∣ ∣ ∣ ∣

+ · · ·+ fXY (xn, yn)∣ ∣ ∣ ∣ J

( u, v

xn, yn

)∣ ∣ ∣ ∣

(2.59)O resultado a ima pode ser estendido a qualquer número de variáveis. Suponhaque temos n v.a.'s X1, X2, . . . , Xn om uma fdp onjunta fX1X2···Xn(x1, x2, . . . , xn).Desejamos en ontrar a fdp onjunta fY1Y2···Yn(y1, y2, . . . , yn) de n v.a.'s rela ionadas om X1, X2, . . . , Xn por Yi = Yi(X1, X2, . . . , Xn), i = 1, 2, . . . , n

Xj = Xj(Y1, Y2, . . . , Yn), j = 1, 2, . . . , nAssume-se que todas essas funções sejam de valor úni o e om derivadas par iais ontínuas em todos os pontos. Assim, temos fY1Y2···Yn(y1, y2, . . . , yn)|dy1, dy2, . . . , dyn| =

fX1X2···Xn(x1, x2, . . . , xn)|dx1, dx2, . . . , dxn| (2.60)Portanto

Variáveis Aleatórias 63 fY1Y2···Yn(y1, y2, . . . , yn) =

fX1X2···Xn(x1, x2, . . . , xn)∣ ∣ ∣ ∣

dy1, dy2, . . . , dyn dx1, dx2, . . . , dxn

∣ ∣ ∣ ∣

(2.61)A razão dos elementos de área é dada pelo Ja obiano da transformação J ( y1,...,ynx1,...,xn) dy1, dy2, . . . , dyn = J

( y1, y2, . . . , yn x1, x2, . . . , xn

)

dx1, dx2, . . . , dxn (2.62)onde J

( y1, y2, . . . , yn x1, x2, . . . , xn

)

=

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

∂y1 ∂x1

∂y1 ∂x2

. . . ∂y1 ∂xn

∂y2 ∂x1

∂y2 ∂x2

. . . ∂y2 ∂xn... ... . . . ...

∂yn ∂x1

∂yn ∂x2

. . . ∂yn ∂xn

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

(2.63)Portanto fY1Y2···Yn(y1, y2, . . . , yn) =

fX1X2···Xn(x1, x2, . . . , xn)

J

( y1, y2, . . . , yn x1, x2, . . . , xn

) (2.64)Pode-se mostrar que J

( y1, y2, . . . , yn x1, x2, . . . , xn

)

= 1

J

( x1, x2, . . . , xn y1, y2, . . . , yn

) (2.65)Se Y1, Y2, . . . , Yn são funções de múltiplos valores de X1, X2, . . . , Xn, uma equaçãosimilar a (2.59) deve ser utilizada. (Qual ?)Exemplo 2.14. Para ilustrar o exemplo de transformação de uma fdp de segunda or-dem, onsidere o aso do arremesso de um dardo. Assuma que ambas as variáveis X e Yque des revem as oordenadas de um ponto onde o dardo atinge o alvo são independentese tem fdp's normais (gaussianas) fX(x) =

1√ 2πσ2

e −x2

2σ2 e fY (y) = 1√ 2πσ2

e −y2

2σ2En ontre a fdp fRΘ(r, θ) onde R é a distân ia do ponto à origem e Θ o ângulo doponto em relação ao eixo x. As relações entre as variáveis são as seguintes: R =

X2 + Y 2 e Θ = arctg(Y X

)Solução. J

( R,Θ

X,Y

)

=

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

∂R ∂X

∂R ∂Y

∂Θ ∂X

∂Θ ∂Y

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

64 Variáveis AleatóriasAssim, a fdp fRΘ(r, θ) pode ser es rita omo fRΘ(r, θ) =

fXY (x, y) ∣ ∣ ∣J

( r,θ x,y

)∣ ∣ ∣

= r

2πσ2 e−

x2+y2

2σ2 = r

2πσ2 e−

r2

2σ2A variável Θ não apare e na equação a ima. Isto quer dizer que as variáveis R e Θsão independentes e fΘ(θ) pre isa ser uma onstante. Desde que Θ varia no intervalo [0, 2π], é evidente que fΘ(θ) é uma onstante de modo a termos ∫ 2π0 fΘ(θ)dΘ = 1.Portanto

fRΘ(r, θ) =

( 1

)( r

σ2 e−

r2

2σ2

)

= fR(r)fΘ(θ)onde fΘ(θ) =

{ 1 2π , 0 < Θ < 2π

0, aso ontrário fR(r) =

r

σ2 e−

r2

2σ2

fR(r) é onhe ida omo função densidade de Rayleigh. r0 σ

fR(r)

-

6

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. ... ..................................................................................................................................................................................

...

.

...

...

.

...

...

.

...

...

.

...

...

.

...

...

.

...

...

.

...

...

.

...

...

.

Figura 2.15: Função densidade de probabilidade de Rayleigh. 2.10 Exer í ios1. A função densidade de probabilidade da amplitude de um erto sinal (em volts)é dada por

fX(x) = xe −xu(x)(a) Qual a probabilidade da amplitude do sinal ser maior que 1 volt?(b) Qual é a probabilidade de observar a amplitude do sinal na faixa de 1 a 2volts?Resp: a) 2e−1 b) 2e−1 − 3e−2

Variáveis Aleatórias 652. A função densidade de probabilidade onjunta fXY (x, y) de duas v.a.'s ontínuas X e Y é dada por

fXY (x, y) = xye −x

2+y2

2 u(x)u(y)(a) En ontre as seguintes funções densidade de probabilidade: fX(x), fY (y), fXY (x|Y = y), fXY (y|X = x).(b) As v.a.'s X e Y são independentes?Resp:(a) fX(x) = xe−x22 fY (y) = ye

− y 2

2

fXY (x|Y = y) = xe− x2

2

fXY (y|X = x) = ye− y2

2(b) sim3. A função densidade de probabilidade onjunta fXY (x, y) de duas v.a.'s ontínuas X e Y é dada por

fXY (x, y) = ke −(x2+2xy+2y2)(a) Determine o valor da onstante k.(b) Determine as funções densidade de probabilidade fX(x), fY (y), fXY (x|Y =

y), e fXY (y|X = x).( ) Estas duas v.a.'s são independentes?(a) k = 1/π(b) fX(x) = 1√ 2π

e− x2

2

fY (y) = 1√ π e−y

2

fXY (x|Y = y) = 1√ π e−(x

2+2xy+y2)

fXY (y|X = x) = √

2

π e−(

x2

2 +2xy+2y2)( ) não4. O sinal de entrada X e o sinal de saída Y de um reti ador de meia onda sãorela ionados por

Y =

{

X2, X > 0

0, X ≤ 0A função densidade de probabilidade do sinal de entrada é dada por

66 Variáveis Aleatórias fX(x) =

1√ 2πσ

e− x2

2σ2En ontre fY (y).Resp: fY (y) =  

1

2σ √ 2πy

e− y

2σ2 , y > 0

0, aso ontrário5. Repita o problema anterior para um reti ador de onda ompleta.Di a: para um reti ador de onda ompleta, os sinais de entrada e saída estãorela ionados por Y = X2.Resp: fY (y) =  

1

σ √ 2πy

e− y

2σ2 , y > 0

0, aso ontrário6. Suponha que três usuários de telefone tenham uma linha em omum. Qual a pro-babilidade de mais de um deles utilizar a linha ao mesmo tempo? Admita que,em média, um usuário utilize o aparelho durante 5 minutos por hora.Resp: 425/21600 ≈ 0, 01977. Se 20% dos bits transmitidos por um transmissor a usam defeito, determine aprobabilidade de que, em 4 bits transmitidos ao a aso:(a) Um seja errado(b) Nenhum esteja errado( ) Ao menos dois estejam erradosResp: a) 0,4096 b) 0,4096 ) 0,18088. Se os defeitos de um te ido seguem uma lei de Poisson om média de defeito a ada500 m, qual a probabilidade de que o intervalo entre dois defeitos onse utivosseja:(a) no mínimo 1250 m(b) entre 1000 m e 1250 m( ) menor que 1000 mResp: a) e−5/2 ≈ 0, 082 b) e−2 − e−5/2 ≈ 0, 053 ) 1− e−2 ≈ 0, 8659. Sabe-se que a média de arros om um pneu furado durante a travessia de umdeterminado túnel é de 0,06 asos/mês. Cal ular a probabilidade de pelo menos2 arros terem um pneu furado ao passar pelo túnel durante um mês de tráfegonormal, sabendo-se que a distribuição é de Poisson.Resp: 0,001710. Suponha que a variável aleatória X tem uma distribuição de hi-quadrado, om10 graus de liberdade. Se pedirmos para determinar dois números a e b, tais que P (a < x < b) = 0, 85, por exemplo, deveremos ompreender que existem muitos

Variáveis Aleatórias 67pares dessa espé ie. Determine dois diferentes onjuntos de valores (a, b) que sa-tisfaçam à ondição a ima. Suponha que, em aditamento ao a ima, se exija que P (X < a) = P (X > b).Resp: a = 4, 45 e b = 16, 9711. A fdp de uma variável aleatória X é fX(x). Uma variável aleatória Y é denida omo Y = aX + b, a < 0. Determine a fdp de Y em termos da fdp de X.Resp: fY (y) = −1

a fX

( y − b a

)

, a < 012. Verique quais das funções abaixo podem ser onsideradas fd 's. Justique suaresposta.a) y =  

0 x < 0 x2 0 ≤ x < 1 1 x ≥ 1

b) y = { 1− e−2x x ≥ 0 0 x < 0

) y = { −2x x ≥ 0 0 x < 0Resp: Apenas o item ) não pode ser fd .13. A fd onjunta de duas variáveis aleatórias X e Y é dada por

FXY (x, y) =

{ (1− e−αx)(1− e−βy) x ≥ 0, y ≥ 0

0 aso ontrário(a) En ontre as fd 's marginais.(b) En ontre as probabilidades dos eventosi) A = {X ≤ 1, Y ≤ 1}ii) B = {X > x, Y > y}, x > 0, y > 0Di a: use a lei de De MorganResp:(a) FX(x) = {1− e−αx, x ≥ 0 0, aso ontrário

FY (y) =

{

1− e−βy, y ≥ 0 0, aso ontrário(b) i. P [X ≤ 1, Y ≤ 1] = (1− e−α)(1− e−β)ii. P [X > x, Y > y] = e−αxe−βy14. Uma variável aleatória X tem função densidade de probabilidade dada por

fX(x) = c

x2 + 1 , −∞ < X < ∞(a) Determine o valor da onstante c.(b) Cal ule a probabilidade do evento [1/3 ≤ X2 ≤ 1].( ) Determine a função distribuição de probabilidade de X.

68 Variáveis AleatóriasResp:(a) c = 1/π(b) P [1/3 ≤ X2 ≤ 1] = 1/6( ) FX(x) = 1 2 +

1

π arctg(x)15. Seja a variável aleatória X om função densidade de probabilidade dada por fX(x) =

{

6x(1− x), 0 < x < 1 0, aso ontrárioDetermine uma função Y = h(X) que tenha a função densidade de probabilidade

fY (y) =

{

12y3(1− y2), 0 < y < 1 0, aso ontrárioDi a: Admita que a função in ógnita h seja tal que os intervalos X ≤ x e Y ≤ yse orrespondam biunívo a e ontinuamente, de forma que P [X ≤ x] = P [Y ≤ y],ou seja FX(x) = FY (y).Resp: Y = √X16. Assuma que duas variáveis aleatórias X e Y têm função densidade de probabili-dade onjunta dada por

fXY (x, y) = 1

2π exp

[

−1 2 (x2 + y2)

]Sejam duas outras variáveis aleatórias U e W denidas da seguinte maneira: U

△ = 3X + 5Y W

△ = X + 2YDetemine a função densidade de probabilidade onjunta de U e W .Resp: FUW (u,w) = 1

2π e−

1 2 (5U2−26UW+34W 2)17. Seja uma v.a. om fdp dada por

fX(x) = ke −λ|x|, λ > 0, −∞ < x < ∞onde k é uma onstante.(a) Cal ule o valor de k.(b) En ontre a função distribuição umulativa de X.( ) Cal ule P [1 ≤ X ≤ 2] usando a fdp, para λ = 1.(d) Cal ule P [1 ≤ X ≤ 2] usando a fd , para λ = 1.Resp:

Variáveis Aleatórias 69(a) k = λ 2(b) FX(x) = 



1

2 eλx, x < 0

1− 1 2 e−λx, x ≥ 0( ) E[X] = 0, Var[X] = 2

λ2(d) 1 2 (e−1 − e−2) ≈ 0, 1163(e) 1

2 (e−1 − e−2) ≈ 0, 116318. A probabilidade de uma hamada telefni a não durar mais do que t minutos égeralmente des rita por uma fdc exponen ial

FT (t) =

{

1− e−t/3 t ≥ 0 0 aso ontrárioQual é a fdp da duração em minutos de uma onversa telefni a? Qual é aprobabilidade de uma onversação durar entre 2 e 4 minutos?Resp:(a) fT (t) = 

1

3 e−t/3, t ≥ 0

0, aso ontrário(b) P [2 ≤ t ≤ 4] = e−2/3 − e−4/3 ≈ 0, 2519. Expresse os valores extremos das fdc's onjuntas FXY (x, y) por números ou emtermos das fdc's FX(x) e FY (y).(a) FXY (−∞, 2) (b) FXY (∞,∞)( ) FXY (∞, y) (d) FXY (∞,−∞)Resp: a) 0 b) 1 ) FY (y) d) 020. Considere as variáveis aleatórias X e Y om fdp onjunta fXY (x, y) =

{

4xy 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 0 aso ontrárioX e Y são independentes?Resp: sim21. Sejam X e Y duas v.a.'s om fdp onjunta dada por

fXY (x, y) =

{

A(x+ y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 0, aso ontrário

70 Variáveis Aleatórias(a) Cal ule o valor de A.(b) Cal ule as fdp's marginais.( ) X e Y são independentes?Resp:(a) A = 1(b) fX(x) = x+ 1/2 fY (y) = y + 1/2( ) não22. Que distribuição de probabilidade vo ê pode utilizar para modelar as seguintessituações?(a) Número de toques entre erros de digitação, dado que ada toque tem uma erta probabilidade de estar om erro;(b) Número de toques om erro dentre m toques, dado que ada toque tem uma erta probabilidade de estar om erro;( ) Tempo entre hegadas su essivas, dado que as hegadas são sem memória;(d) Tempo de serviço de um dispositivo que onsiste de m servidores sem me-mória, em série.Resp: (a) Geométri a (b) Binomial ( ) Exponen ial (d) m-Erlang23. Uma fonte binária gera dígitos 0 e 1 de forma aleatória om probabilidades 0,6 e0,4, respe tivamente.(a) Qual é a probabilidade de que o orram dois 1s e três 0s em uma sequên iade in o dígitos?(b) Qual a probabilidade de o orrerem pelo menos três 1s em uma sequên ia de in o dígitos?Resp: (a) 0,3456 (b) 0,3174424. Seja Y = eX . En ontre a fdp de Y se X = N(µ, σ2).Resp: fY (y) = 

1√ 2πσy

e− (ln(y)−µ)2

2σ2 y > 0

0 aso ontrário25. A função densidade de probabilidade onjunta de duas variáveis aleatórias X e Yé dada por fXY (x, y) = A sen(x+ y), 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ π/2Determine:(a) A onstante A.

Variáveis Aleatórias 71(b) A função distribuição de probabilidade onjunta FXY (x, y)( ) As funções distribuições de probabilidade marginais FX(x) e FY (y).(d) A probabilidade do evento π 6 ≤ X ≤ π

4 .Resp:(a) A = 0, 5(b) FXY (x, y) = 0, 5 [sen(x) + sen(y)− sen(x+ y)]( ) FX(x) = 0, 5 [1− cos(x) + sen(x)] FY (y) = 0, 5 [1− cos(y) + sen(y)](d) 0,1826. Uma ompanhia aérea sabe que 5% das pessoas que fazem reservas em um deter-minado vo não ompare em para o embarque. Consequentemente, sua políti a évender 52 passagens para um vo que pode transportar até 50 passageiros. Quala probabilidade de haver assentos disponíveis para todos os passageiros que om-pare erem ao embarque?Resp: 0,740527. Suponha que um sinal x(t) alimenta um dispositiva uja saída seja y(t). Se X temdistribuição uniforme no intervalo (0, 2) e y = ln(x), al ule fY (y) e FY (y). Façaos esboços das urvas pertinentes, indi ando valores em alguns pontos notáveis(onde a função orta os eixos ou muda abruptamente).Resp:

fY (y) =

ey

2 , −∞ < y < ln(2)

0, y ≥ ln(2)

FY (y) =

ey

2 , −∞ < y < ln(2)

1, y ≥ ln(2)28. Sabe-se que a distân ia (em metros) do ponto de aterrissagem de um paraquedistaem relação ao entro da área alvo opde ser modelada omo uma variável aleatória ontínua X om distribuição de Rayleigh de parâmetro σ2 = 100.(a) En ontre a probabilidade de o paraquedista aterrisar dentro de um raio de10m do entro da área alvo.(b) En ontre o raio r tal que a probabilidade do evento {X > r} seja e−1.Resp:(a)(b)

Capítulo 3Médias Estatísti as de VariáveisAleatórias3.1 MédiasO on eito de médias assume uma posição extremamente importante em pro essos alea-tórios. Como men ionado anteriormente, os pro essos aleatórios são ara terizados pelaregularidade estatísti a. Usando o termo regularidade estatísti a indi amos que opro esso não pode ser predito espe i amente, mas pode ser predito em uma base mé-dia. Por exemplo, no experimento de jogar moedas não é possível prever o resultado deuma jogada parti ular, mas em média, podemos onar que metade das jogadas irãoser aras, e a outra metade, oroas, dado que esta média seja feita sobre um númerosu ientemente grande de jogadas.3.1.1 Média de uma Variável AleatóriaConsidere uma v.a. X que pode assumir n valores x1, x2, . . . , xn. Suponha que o expe-rimento (representado por X) foi repetido N vezes (N → ∞) e sejam m1,m2, . . . ,mno número de tentativas favoráveis aos