Probabilidade I - Apostilas - Estatística, Notas de estudo de Estatística. Centro Universitário do Distrito Federal (UDF)
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Probabilidade I - Apostilas - Estatística, Notas de estudo de Estatística. Centro Universitário do Distrito Federal (UDF)

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Apostilas de Estatística sobre o estudo da Probabilidade, Variáveis Aleatórias, Definição e Classificação, Propriedades da Função de Probabilidade.
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IEE 201- Probabilidade I Aula 1:Introdução e exemplos

Probabilidade I Aula 9

Definição e Classificação

Definição. Uma variável aleatória é uma função que associa um número real a cada ponto do espaço amostral

  xwXw X

 

 :

Variável Aleatória

Discreta, se assume somente um número enumerável (finito ou infinito) de valores

Contínua, se estão em intervalos dos

reais

Probabilidade I Aula 9

Variável Aleatória Discreta

Variável Aleatória Discreta

Função de Probabilidade Função de Distribuição

Probabilidade I Aula 9

Os probabilistas e estatísticos gostam de usar a seguinte notação

    xwXwxX  :

Função de Probabilidade

Assim, podemos definir a função de probabilidade de uma variávelX assumir um dado valor da seguinte maneirax

           



 xwXw

wpxwXwPxXPxp :

:

Probabilidade I Aula 9

Propriedades da Função de Probabilidade

Observe que, por serem probabilidades, os valores da função de probabilidade estão sempre entre 0 e 1. Além disso, a soma das probabilidades de todos os valores da v.a. é igual a 1. Sendo X uma v.a. com valores x1, x2, ... , temos para i = 1,2,...,

    1 )(

10 )(



i

i

i

xpb

xpa

Probabilidade I Aula 9

Função de Distribuição

Definição. A função de distribuição de uma variável aleatória discreta X é uma função que a cada valor associa o valor

x

      

 xxi

i xxi

i ii

xpxXPxF ::

Conhecer a função de probabilidade é equivalente a conhecer sua função de distribuição.

Probabilidade I Aula 9

Função de Distribuição

Observe, que dada a função de distribuição de uma variável aleatória discreta é possível obter a função de probabilidade. Temos, para todos os xi (possíveis valores de X)

      iii xFxFxp em que representa o limite de F tendendo a xi pela esquerda, isto é, por valores inferiores à xi .

 ixF

Probabilidade I Aula 9

Propriedades da Função de Distribuição

A função de distribuição de uma variável aleatória X satisfaz as seguintes condições

         

    1lim e 0lim ) ,, que sempre

é, isto e,decrescent não é ) direita à contínua é )

10 )

 



 xFxFd

yxyxyFxF xFc xFb

xFa

xx

Probabilidade I Aula 9

Exemplo 1

Considere dois lançamentos independentes de uma moeda equilibrada. Defina X como sendo o número de caras nos dois lançamentos. A variável X será discreta e sua função de probabilidade será dada por

  412141 210

ixp X

A função de distribuição correspondente será

    

 

  

.2 se ,1 21 se , 10 se ,

0 se ,0

4 3

4 1

x x x

x

xF

Probabilidade I Aula 9

cont. do Exemplo 1 – Gráfico de F(x)

Figura 1. Função de distribuição para número de caras.

x

F(x)

Probabilidade I Aula 9

Exemplo 2

A função de distribuição de uma variável aleatória X é dada por

    

 

  

.2 se ,1 21 se , 10 se ,

0 se ,0

8 5

2 1

x x x

x

xF

Determinar a função de probabilidade (distribuição de probabilidade) de X.

Probabilidade I Aula 9

cont. do Exemplo 2

Figura 2. Gráfico da função de distribuição.

x

F(x)

Probabilidade I Aula 9

cont. do Exemplo 2

Os saltos da função de distribuição ocorrem nos pontos 0, 1 e 2. Desta maneira temos

      .375,0625,01)(lim)2(2

125,05,0625,0)(lim)1(1

5,0)(lim)0(0

2

1

0







xFFXP

xFFXP

xFFXP

x

x

x

  375,0125,05,0 210

ixp X

xn x : os xn s se aproximam de x pela esquerda, ou em outras palavras, por valores inferiores a x.

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