Resolução Capítulo 32 - Halliday, Exercícios de Eletromagnetismo

Baixe Resolução Capítulo 32 - Halliday e outras Exercícios em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 17:43 Exercı́cios Resolvidos de Fı́sica Básica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica, Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal da Paraı́ba (João Pessoa, Brasil) Departamento de Fı́sica Baseados na SEXTA edição do “Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Contents 32 A Lei da Indução, de Faraday 2 32.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 32.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 32.2.1 Lei da Indução de Faraday – 1/21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 32.2.2 Indução: Um Estudo Quantitativo – 22/39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 32.2.3 Campo Elétrico Induzido – 40/47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 32.2.4 O Betatron – 45/46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 32.2.5 Problemas Adicionais – 48/51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para jasongallas @ yahoo.com (sem “br” no final...) (listaq3.tex) http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 1 de 8 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 17:43 32 A Lei da Indução, de Faraday 32.1 Questões Q 32-14. Um solenóide percorrido por uma corrente constante é aproximado de uma espira condutora, como é mostrado na figura ao lado. Qual é o sentido da corrente induzida na espira visto pelo observador que aparece na figura? I Sentido horário. Mas voce deve saber como deduzir isto... Q 32-17. I 32.2 Problemas e Exercı́cios 32.2.1 Lei da Indução de Faraday – 1/21 E 32-2 Uma corrente i = i0 sen(ωt) percorre um solenóide extenso que possui n espiras por unidade de compri- mento. Uma espira circular de áreaA está no interior do solenóide e seu eixo coincide com o eixo do solenóide. Ache a fem induzida na espira. I Basta aplicar a definição de E : E = −dΦB dt = −d(B A) dt = −A dB dt = −A d dt ( µ0in ) = −Aµ0n d dt (io senωt) = −Aµ0nioω cosωt = −E0 cosωt, onde E0 ≡ Aµ0nioω. P 32-4. Um campo magnético uniforme, B, é perpendicular ao plano de uma espira circular de raio r. O módulo do campo varia com o tempo de acordo com a relação B = B0 e −t/τ , onde B0 e τ são constantes. Encontre a fem induzida na espira em função do tempo. I Chamando de A = πr2 a área da espira, temos E = −dΦB dt = −A dB dt = −πr2 d dt ( B0e −t/τ ) = πr2B0e −t/τ τ . P 32-5. Na figura ao lado, o fluxo magnético que atravessa a espira indicada cresce com o tempo de acordo com a expressão ΦB(t) = 6t 2 + 7t, onde ΦB é dado em miliwebers e t em segundos. (a) Calcule o módulo da fem induzida na espira quando t = 2 s; (b) Ache o sentido da corrente através de R. I (a) |E(t)| = dΦB dt = 12t+ 7 E(t = 2) = 12 · 2 + 7 = 31 Volts. (b) O sentido da corrente induzida na espira é o sentido horário, com a corrente passando em R da direita para a esquerda. P 32-8. Um campo magnético uniforme é ortogonal ao plano de uma espira circular de diâmetro igual a 10 cm, feita de fio de cobre (diâmetro = 2.5 mm). (a) Calcule a re- sistência do fio (Veja a Tabela 1 do Cap. 28). (b) A que taxa deve o campo magnético variar com o tempo para que uma corrente induzida de 10 A seja estabelecida na espira? http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 2 de 8 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 17:43 Portanto |E| = 1.74 V, anti-horária; ET = 20 + 1.74 = 21.74 V. (b) ii é anti-horária. 32.2.2 Indução: Um Estudo Quantitativo – 22/39 E 32-22. I E 32-23. I (a) O fluxo varia porque a área limitada pela barra metálica e os trilhos aumenta quando a barra se move. Suponha que num certo instante a barra esteja a uma distância x da extremidade à direita dos trilhos e tenha velocidade v. Neste caso o fluxo através da área é ΦB = BA = BLx, onde L é a distância entre os trilhos. De acordo com a lei de Faraday, a magnitude da fem induzida é E = dΦB dt = BL dx dt = BLv = (0.350 T)(0.250 m)(0.550 m/s) = 4.81× 10−2 V. (b) Use a lei de Ohm. Se a resistência da barra for R, então a corrente na barra é i = E R = 4.81× 10−2 V 18 Ω = 2.67× 10−3 A. E 32-24. I (a) Seja x a distância a partir da extremidade direita dos trilhos até a barra. A área demarcada pela barra e os trilhos é Lx e o fluxo através da área é ΦB = BLx. A fem induzida é E = dΦB dt = BL dx dt = BLv, onde v é a velocidade da barra. Portanto E = (1.2 T)(0.10 m)(5.0 m/s) = 0.60 V. (b) Sendo R a resistência da barra, a corrente no laço é i = E R = 0.60 V 0.40 Ω = 1.5 A. Como a barra move-se para a esquerda no diagrama, o fluxo aumenta. A corrente induzida deve produzir um campo magnético que entra na página na região delimi- tada pela barra e trilhos. Para que assim seja, a corrente deve fluir no sentido horário. (c) A taxa de geração de energia térmica pela resstência da barra é P = E2 R = (0.60)2 0.40 = 0.90 W. (d) Como a barra move-se com velocidade constante, a força total sobre ela deve ser nula. Isto significa que a força do agente externo tem que ter a mesma magnitude que a força magnética mas na direção oposta. A magnitude da força magnética é FB = iLB = (1.5)(0.10)(1.2) = 0.18 N. Como o campo aponta para fora da página e a cor- rente está dirigida para cima através da barra, a força magnética esta dirigida para a direita. A força do agente externo tem que ser, portanto, de 0.18 N para a esquerda. (e) Quando a barra move-se uma distância infinitesimal dx o agente externo faz um trabalho dW = F dx, onde F é a força do agente. A força está na direção do movi- mento, de modo que o trabalho feito pelo agente é posi- tivo. A taxa na qual o agente realiza trabalho é dW dt = F dx dt = Fv = (0.18)(5.0) = 0.90 W, que coincide com a taxa com que a energia térmica é gerada. A energia térmica fornecida pelo agente externo é convertida integralmente em enegia térmica. P 32-27. Dois trilhos retilineos formam um ângulo reto no ponto de junção de suas extremidades. Uma barra condutora em contato com os trilhos parte do vertice no instante t = 0 e se move com velocidade constante de 5, 2 m/s para a direita, como mostra a Fig. 32-42. Um campo magnetico de 0, 35 T aponta para fora da pagina. Calcu- lar (a) o fluxo atraves do triângulo formado pelos trilhos e a barra no instante t = 3 segundos e (b) a fem in- duzida no triângulo neste instante. (c) De que modo a fem induzida no triângulo varia com o tempo? http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 5 de 8 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 17:43 I (a) Apos um tempo t o segmento vertical tera an- dado uma distância horizontal vt, o que fornece para a area A(t) do triângulo em questão o valor A(t) = (vt)(2vt)/2 = v2t2. Portanto, o fluxo sera dado por ΦB(3.0) = B A(3.0) = (0.35)(5.20)2(3.0)2 = 85.2 T m2. (b) Para obter a fem induzida: E = −dΦB dt = −d(B A(t)) dt = −B dA(t) dt = −B d(v 2t2) dt = −2Bv2t = −2(0.35)(5.2)2(3.0) = −56.8 V. (c) Como se pode bem ver da expressão acima E = −2Bv2t, a fem varia linearmente em função do tempo. P 32-28. I (a) A freqüência da fem induzida coincide com a freqüência com que a semicircunferência é girada: f . (b) A amplitude a fem induzida é dada por E = −dΦB dt , de modo que precisamos determinar como o fluxo varia com o tempo a medida que a semicircunferência é gi- rada. Da definição de fluxo temos ΦB = ∫ B · dA = BA cos(2πft) = B πa2 2 cos(2πft), onde A é a área da semicircunferência. Portanto E = −dΦB dt = −Bπa 2 2 d cos(2πft) dt = B πa2 2 2πf sen (2πft) = Bπ2a2f sen (2πft), donde reconhecemos facilmente que a amplitude da fem é Em ≡ Bπ2a2f. Como o circuito contém uma resistência R, vemos que a amplitude da corrente alternada que circulará na espira é im = Em R = Bπ2a2f R , sendo que para um instante de tempo t qualquer, a cor- rente no circuito será i = im sen(2πft). P 32-29. I (a) A área da bobina é A = ab. Suponha que num dado instante de tempo a normal à bobina faça um ângulo θ com o campo magnético. A magnitude do fluxo através da bobina será então ΦB = NabB cos θ e a fem induzida na bobina é E = −dΦB dt = −d[NabB cos θ] dt = [NabB senθ] dθ dt . Em termos da freqüência f de rotação e do tempo t, θ é dado por θ = 2πft. Portanto, temos que dθ/dt = 2πf . Com isto, a fem é dada por E = 2πfNabB sen(2πft), expressão que pode ser escrita como E = E0 sen(2πft), onde E0 ≡ 2πfNabB. (b) A bobina desejada deve satisfazer E0 ≡ 2πfNabB = 150 V. Isto significa que Nab = E0 2πfB = 150 2π(60 rev/s)(0.50 T) = 5 2π ' 0.796 m2. Qualquer bobina para a qual tenhamos Nab = 0.796 m2 satisfará o pedido. Um exemplo simples é usar-se N = 100 voltas e a = b = 8.92 cm. P 32-34. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 6 de 8 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 17:43 I P 32-36. I Use a lei de Faraday para encontrar uma expressão para a fem induzida pelo campo magnético variável. Primeiro, encontre uma expressão para o fluxo através da espira. Como o campo depende de y mas não de x, divida a área em tiras de comprimento L e largura dy, paralelas ao eixo x. É claro que L é o próprio compri- mento de um dos lados do quadrado. Num instante t o fluxo através duma tira com coorde- nada y é dΦB = BLdy = 4Lt2y dy de modo que o fluxo total através do quadrado é ΦB = ∫ L 0 4Lt2ydy = 2L3t2. De acordo com alei de Faraday, a magnitude a fem in- duzida no quadrado é E = dΦB dt = d dt ( 2L3t2 ) = 4L3t. Para t = 2.5 s encontramos E = 4(0.020)3(2.5) = 8× 10−5 V. O campo externo aponta para fora da página e cresce com o tempo. A corrente induzida na espira quadrada deve produzir um campo que entra na página, de modo que tal corrente deve fluir no sentido horário. A fem é também induzida no sentido horário. P 32-38∗. I (a) Como a variação do fluxo magnético através da área delimitada pela barra e os trilhos induz uma cor- rente, o campo magnético exerce uma força sobre a barra. A força magnética é horizontal e aponta para a esquerda na projeção da figura 32-49. Ela tende a parar a barra, enquanto que a força gravitacional sobre a barra a acelerá-la para baixo. Como a força magnética é zero quando a barra esta parada e aumenta com a velocidade da barra, a velocidade terminal é atingida quando a força resultante atuando na barra for zero. Primeiro, supomos que a barra tenha uma velocidade v e calculamos a força magnética sobre ela. Seja x a distância entre a barra deslizante e a porção horizontal do trilho, na parte inferior do plano inclinado. A área delimitada pela barra e os trilhos é A = `x, já que a normal à área faz um ângulo θ com o campo magnético, sendo que o fluxo magnético através da espira é ΦB = B`x cos θ. De acordo com a lei de Faraday, a fem induzida na es- pira é E = B`v cos θ. Sendo R a resistência da barra, a corrente induzida será i = E R = B`v R cos θ, e a magnitude da força magnética será FB = i`B = B2`2v R cos θ. Tal força é perpendicular tanto ao campo magnético quanto à corrente. Ela é horizontal, para a esquerda. As componentes das forças ao longo do plano inclinado (i.e. ao longo da direção x) são mg senθ − FB cos θ = ma, onde a é a aceleração da barra. Ter-se uma velocidade terminal constante significa ter-se a = 0, ou seja, ter-se FB cos θ = mg senθ, que, ao substituirmos FB , nos fornece v = mgR senθ B2`2 cos2 θ . (b) A energia térmica é gerada na barra com uma taxa PT = i 2R, ou seja, como i = (B`v/R) cos θ, PT = B2`2v2 R cos θ = m2g2R sen2θ B2`2 cos2 θ . Suponha que a barra esteja a uma altura h acima da base do plano inclinado. Sua energia potencial é então U = mgh = mgx senθ. A perda de energia potencial ocorre a uma taxa Pg = dU dt = mg dx dt senθ = mgv senθ. Substituindo-se nesta expressão a velocidade terminal v encontramos Pg = m2g2R sen2θ B2`2 cos2 θ , que é a mesma expressão com que a energia térmica é gerada. Note que a expressão da velocidade terminal precisa ser usada. Até atingir-se a velocidade terminal existe transformação de energia potencial em energia cinética, a medida que a barra ganha velocidade. (c) Se o campo magnético apontar para baixo a direção da corrente será invertida mas a força magnética per- manecerá na mesma direção, fazendo com que o movi- mento da barra permaneça inalterado. P 32-39∗. I http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 7 de 8