Baixe Respostas de alguns exercícios do capítulo IV do livro do Boldrini e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! 2 3 3 2 0 1 2 3 (1 ) (1 ) (1 ) (1)a a t a t a t a t b t c t d+ + + = − + − + − + 3 22a at b bt bt c ct d= − + − + + − + 2 3( ) ( 2 )a b c d b c t bt at= + + + + − − + − 0 1 2 3 2 a b c d a b c a b a a a + + + =  − − =  = − = 3 2 1 1 22 2 a a b a b c a c a a = −  = − − =  = − − 3 2 3 2 1 2 0 1 2 3(1 ) (1 2 ) ( 2 )(1 ) ( )(1)a t a t t a a t a a a a= − − + − + + − − − + + + + 0 3 2 1 2 0( 2 )d a b c a d a a a a a= − − − +  = − − − − − + 3 2 3 3 2 2 2 1 1 2 2 0 1 2 32 2 2a a t a a t a t a a t a a t a a a a= − + + − + − + − + + + + + 3 2 3 2 1 0a t a t a t a= + + + 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 1 0 0 1 1 2 0 (1 ) 1 0 0 1 1 0 0 0 1 t t t t t t t t t t t t t t t + + − = − − + + = − − + + = − + + + = 2 1 2 3 1 3 4 1 4 1 0 0 1 1 2 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 L L L L L L L L L −    → − +−    → − +−   → − +  2 3 3 3 2 1 0 0 1 0 2 1 1 0 1 0 1 2 0 0 0 1 L L L L L −     −   − → +     1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 3 0 0 0 1 −    −        4 . .p n L I= =  Ou Solução de C: Essa demonstração será feita por dupla inclusão, ou seja, primeiro vamos demonstrar que todo elemento de C![-a, a] e Vi Va e depois o contrário. (=) A ideia principal aqui é o fato de que toda função f: E > R definida em um conjunto E simétrico em relação à origem pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar. Assim, dado uma função f(x) € C![-a,a] então: Fx) = filx) + folx) o que implica no fato de f(x) e Vi E Va. (+) Dado f, e Vie fi € Vo, então fi+ fp E Vi €DV>. Como tanto f; como f, estão definidas no intervalo C![-a, a] e pertencem a C![-a,a] então f; + fp também está definida no intervalo [-a, a] e também é diferenciável no intervalo. Ou seja: f;+ fp, € C![-a, al. Logo, por dupla inclusão, v, O Vo = Cl[-a, al. 1 5 1 1 2 4 1 7 0 0 4 2 1 5 5 7 5 1 0 0 x y z t − − −          + + + =          − − − −          2 0 5 4 7 0 4 5 5 0 2 5 7 0 x y z t x y z t x y z t x y z t + + + =  − + − − =  − − − − =  + + + = 2 1 2 3 1 3 4 1 4 1 1 2 1 0 55 1 4 7 0 44 1 5 5 0 22 5 7 1 0 L L L L L L L L L     → +− − −    → +− − − −   → − +  3 2 4 2 1 1 2 1 0 0 6 6 2 0 20 3 3 1 0 20 3 3 1 0 L L L L     −    =−   =−  1 1 2 1 0 1 0 1 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      −           p=2 e n = 4 São LD 2 1 2 3 1 3 4 1 4 1 5 4 2 1 1 1 5 22 4 5 7 1 7 5 1 L L L L L L L L L − −    → − +−    → − +− −   → − +− −  Utilizando o algoritmo linha (Lipshutz) 1 5 4 2 0 6 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 − −            1 5 0 2 , 4 2 1 1   −    =      −     Dim(W) = 2 2 3 4 2 1 5 4 2 0 6 3 3 0 6 3 3 3 0 2 1 1 L L L L − −    =   − =   − − −  1 2 3 4(2, 3,2,2) 2 1 0 2 1 3 1 0 2 0 2 0 1 1 0 2 0 1 1 0 a b c d a b c d − = + + + −                    − −         = + + +                               v v v v 2 1 2 3 4 1 0 2 1 2 1 0 2 0 3 0 1 1 0 2 0 1 1 0 2 L L L L L −    → +− −       =  1 0 2 1 2 0 0 0 1 1 0 1 1 0 2 0 0 0 0 0 −    −        2 3 1 0 2 1 2 0 0 0 1 1 0 1 1 0 2 0 0 0 0 0 L L −    −          1 0 2 1 2 0 1 1 0 2 0 0 0 1 1 3 0 0 0 0 0 4 p n −       − =   =  1 2 2 3 d b c a c = −  = −  = + 2 1 0 2 1 3 1 0 2 0 (2 3) (2 ) ( 1) 2 0 1 1 0 2 0 1 1 0 c c c −                    − −         = + + − + + −                               Logo,  1 2 3 4(2, 3,2,2) , , ,−  v v v v 2 4 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 L L − −                − −         b) Utilizando o algoritmo do Espaço Linha 3 4 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 L L − −               =         {(1, 1,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,1)}W = − ( ) 3Dim W = c) Não. Porque a Dim(4) = 4 e a Dim(W) = 3, apesar que W  4 21. Considere o sistema linear 2x, + 4X — bx, =4 (8) X —- + dxas =b 6x; - ldxs =< Seja W = ((xy, xa, X3) E Rê: (xy, x3, x3) é solução de (8)!. Isto é, W é o conjunto-solução do sistema. u) Que condições devemos impor a «, b e c para que W seja subespaço ve- torial de R*? b) Nas condições determinadas em q) encontre uma base para W, c) Que relação existe entre a dimensão de W e o grau de liberdade do siste- ma? Seria este resultado válido para quaisquer sistemas homogêneos? 1 1 4 0 2 4 6 0 0 6 14 0  −   −    −  1 1 4 0 0 6 14 0 0 6 14 0  −   −    −  1 1 4 0 0 6 14 0 0 0 0 0  −   −      0a b c= = = O Sistema tem ser homogêneo 2 e 3p n SPI= =  2 3 2 3 2 3 6 14 0 6 14 7 3 x x x x x x − = = = 1 2 3 1 2 3 1 3 3 3 4 0 4 7 5 4 3 3 x x x x x x x x x x − + = = − = − = − 3 3 3 3 5 7 , , / 3 3 W x x x x    = −       ( ) 1 e a nulidade 3 2 1Dim W n p= − = − = 1 0 0 1 1 0 0 1 1 U W W           Utilizando o algoritmo do Espaço Linha 1 0 0 0 1 0 0 0 1           1 0 0 0 1 0 0 1 1           3 3 ( ) 3 ( ) p Dim U W Dim U W = + = + = 3 U W=  24. Mostre que, se V=MOkb, em=(vr, vp éabase de W, B= Iwo wléabase deh, entãoy= VM Wisco Wo) É base de F Mostre com um exemplo que o resultado não continua verdadeiro se a soma de subespaços não for uma soma direta. Como (vj,--- ,vr) é uma base de W;, então (v;,--- ,vr) € W;. Analogamente podemos dizer que (w1,:-cw,) € Wo. Sendo assim (vj,---,vp.wW1,-cwW,) EV, pois V é a soma direta de W, com Wi. Seja (714, ,Zk,T/:-z,) uma base de V. Então existe um a que permite escrevermos (vir, Uk, WI, W,) como combinação linear da base ou seja: (vi, 4 Uk, W1, "0 Wr) =a(ry, Zk, E1,0 0 E) Note, entretanto, que para a = 1 facilmente verificamos que: Note, entretanto, que para a = 1 facilmente verificamos que: Tp=—U Ep = Vk 24 = U1 f Tr — Wr ou seja, (v1,-*- Up, Wi," Wr) é à própria base de V. O exemplo pedido se encontra na página 138 do livro. 1 1 2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 W W W W             1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1             1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0             3 4 p n = = 3 1 {( , , ) / 0}W x y z z=  = 3 2 {( , , ) / 0}W x y z y=  = 1 1 2 2 [ ] [( , ,0)] [( ,0,0),(0, ,0)] [ ] [(1,0,0),(0,1,0)] [ ] [( ,0, )] [( ,0,0),(0,0, )] [ ] [(1,0,0),(0,0,1)] W x y x y W W x z x z W = = = = = = 0 0 0 0 a d b c a c b d − =  − =  − =  − = 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 −    −   −   −  1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 −    −   −   −  1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 −    −   −   −  1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 −    −   −     1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 −    −   −     1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 −    −   −     0 0 0 c d c d b d b d a d a d − =  = − =  = − =  = {( , , , ), }S d d d d d=   1 2 {(1,1,1,1)}W W  = 1 26 ) 0 0 0 0 1 0 0 1 = 0 1 1 0 b a b a b W b a a b a b          = = +                       +          2 0 0 0 0 1 0 0 1 = 1 0 0 1 a b a b W a b a b a b          = = +                       +          1 2[W ] [W ] 2Dim Dim= =  1 2 1 2 1 2[W W ] [W ] [W ] [W W ]Dim Dim Dim Dim + = + −  1 2[W W ] 2 2 1 3Dim + = + − =  Não é soma direta    1 ( , , 2 ) [( ,0, ) (0, , 2 )] = [ (1,0, 1) (0,1, 2)] V x y x y x x y y x y = − − = − + − − + − 1 {(1,0, 1), (0,1, 2)}V = − −  1dim( ) 2V = Pelo o algoritmo do Espaço Linha 1 1 1 0 1 0 1 2 V V −    −  1 0 1 0 1 2 0 0 1 −    −      22 [(0,0,1)] {(0,0,1)}VV  =  = 1 2 1 2V V V V   = 0 ( 1,1) (1,0) (0,1) 1 1 a b a b − = + = −  = (1,1) (1,0) (0,1) 1 1 c d c d = + =  =   1 1 1 1 1 a c I b d   −     = =          1 1 1 2 2 1 1 2 2 a c I b d     −    = =           (1,0) ( 1,1) (1,1) 1 1 2 1 0 2 a b a b b b a b = − + − + =  =  = + = (0,1) ( 1,1) (1,1) 0 1 2 1 1 2 c d c d d d c d = − + − + =  =  = + = 1 0 2 c d c d− + =  = = 1 0 2 a b a b+ =  = − = −   2 3 1 6 2 3 1 6 2 a c I b d           = =     −    (1,0) ( 3,1) ( 3, 1) 1 33 3 1 2 3 1 62 30 3 3 1 3 6 a b a ba b b b a b b b a = + − =  +  =    =  = =  − = + =   = (0,1) ( 3,1) ( 3, 1) 3 3 0 3 13 3 0 3 6 3 3 3 3 6 21 3 c d c dc d c c c dc d = + −  + = +  =    =  = =  − =− =   1 1 1 1 1 2 2 c d d c d − = = − = − = − (1,0) (2,0) (0,2) 1 2 1 2 2 0 0 a b a a b b = +  =  =   =  = (0,1) (2,0) (0,2) 2 0 0 1 2 1 2 c d c c d d = + =  =   =  =    3 1 0 2 1 0 2 a c I b d         = =           (3, 2) (2,0) (0,2) 3 2 3 2 2 2 1 a b a a b b − = +  =  =   = −  = −   3 3 (3, 2) 2 1      − =   −  IV) ( , ) 4( 1,1) 0(1,1) ( 4,4)x y = − +  = −v   4 i) ( 4,4) (1,0) (0,1) 4 a b  −  − = +  =     v ii) ( 4,4) ( 3,1) ( 3, 1)a b− = + − 3 3 4 ( 3) 4 (3) a b a b   +  = −   − =  3 3 4 3 3 3 12 6 12 4 3 6 2 3 3 a b a b a a  + = −  − = = − − = 3 3 4 3 3 3 12 6 12 4 3 6 2 3 3 a b a b b b − − =  − = − = + − − =   2 6 2 3 3 6 2 3 3   −     =  − −     v   3 ) ( 4,4) (2,0) (0,2) 2 4 2 2 4 2 2 2 iii a b a a b b  − = + = − = −    = =  −   =     v 4 2 0 Note : 2 2 4 0 2 −      = − +            1 3cos 3 3 2 2 3 3 1 cos 3 3 2 2 sen R sen             − − −               − = =           − − −              {(1,0),(0,1)} =   ' 1 3 2 2 ) 3 1 2 2 a I     −   =          ( ) 1 1 ' ' 3 1 3 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 ) 3 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 1 b I I R     − −             −           = = = = =       − −            ) ( 1,0) (1,0) (0,2) 1 2 0 0 i a b a b b − = + = −  =  = (1,1) (1,0) (0,2) 1 1 2 1 2 c d c d d = + =   =  =   2 1 1 1 1 0 2 I   −    =     ) ( 1, 1) ( 1,0) (1,1) 1 1 1 1 1 1 0 ii a b a b b a a a − − = − + − + = −  = − − − = − − + =  = (0, 1) ( 1,0) (1,1) 0 1 0 1 c d c d d c d d c − = − + − + =  = − − + = = = −   3 2 0 1 1 1 I   −   =   − −  ) ( 1, 1) (1,0) (0,2) 1 1 2 1 2 iii a b a b b − − = + = −   = −  = − (0, 1) (1,0) (0,2) 0 1 2 1 2 c d c d d − = + =   = −  = −   3 1 1 0 1 1 2 2 I   −    =  − −        2 3 3 1 2 1 1 1 1 0 0 1 ) . 1 1 1 1 10 2 2 2 iv I I I       − −    −    = = =    − − − −           2 3 3 1 2 1 ) .b I I I       = {(1,2),(2,1)} = (1,2) (1,2) (2,1) 2 1 2 2 2 4 2 2 2 3 0 0 2 2 2 0 2 1 a b a b a b a b a b b b a b a a = + + =  + = − − = −  + = − = = + = + = = (2,1) (1,2) (2,1) 2 2 2 1 2 4 4 2 1 3 3 3 1 3 2 1 2 1 1 2 0 0 a b a b a b c d c d d d c d c c c = + + =  + = − − = −  + = − = − − = = − + = + = = =   1 0 0 1 I     =     (1,4) (4,1) 1 4 3 1 4 1 3 4 1( 1) 4 1 5 0 A B a y x y x x y − − = = = − − − = − − − = − + + − = Equação vetorial de uma reta (4,1) (1,4) (3, 3) (1,4) ( ) (1,4) (3, 3) 1 3 4 3 AB B A A f t A ABt t x t y t = − = − = − = + = + − = +  = − 5x y+ = 1 1 4 1 0 4 1 1 4 4 1 16 0 3 3 15 0 5 0 x y x y x y x y x y = + + − − − = + − = + − =