Baixe Respostas dos exercícios 05 à 18 do Capítulo V Boldrini e outras Exercícios em PDF para Álgebra, somente na Docsity! 5.6 EXERCICIOS
Seja TF —» W uma função, Mostre que:
q) Se T é uma transformação linear, então T(0) = 0,
b) Se T(0) + O, então T não é uma transformação linear.
- Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:
a) fR'>R?
Co y)elrx ty x =p)
b) g;RP>R
(x yr xy
o) hM, >R
qb det ab
cd cd
dy k:P, > P,
ut br+tci— ax! 4 bx! + ex
e) MIRÊSR?
l a
xD (x, y, af à|
1 1
fNR=>R
x lx]
) Como ( I ), aplicanto em ambos os membros da equação ( I ), temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) , i T T T T T ii T T − = − = − = = = = 0 = v v 0 v v v v 0 0 0 0 0 ) Suponha por absurdo que é uma transformação Linear e, pelo item (a) (0) 0. O que é uma contradição. b T T = Se tal que ( ) 0V V V − + − = v v v v Não, note que 1 2 1 0 2 2 | | 14 6 8 2 5 1 2 3 7 A B A B + = + = + = − = | | | | 1 2 3 | | | | | | A B A B A B + = + = + + 1 2 1 0 | | 1 e | | 2 2 5 1 2 A A B B = = = = 2 3 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) K[ ( )] e ( ) K[Q ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) x ( ) [ ( ) ( )] [( ) ( ) x ( )]=( ) ( ) ( ) P x a x b x c P x a x b x c x Q x a x b x c x a x b x c x P x Q x a a x b b c c K P x Q x K a a x b b c c a a x b b x c c x = + + = + + = + + = + + + = + + + + + + = + + + + + + + + + + 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 1 1 1 2 2 2 2 2 = = [ ( )] [ ( )] a x a x b x b x c x c x a x b x c x a x b x c x K P x K Q x + + + + + + + + + + = + 2 2 1 1 1[ ( )]P x a x b x c = + + 3 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 2 K[ ( )] [ ] = ( ) P x a x b x c x a x b x c x P x = + + = + + Logo, K é uma transformação linear. ( )3 2 2 3 Se : [ ]M M → = A matriz apresentada no exercício e uma matriz do tipo 3 2 ( , , ) (2 , )T x y z x y y z= + − Fazendo T(x,y,z)=(3,2), temos ( , , ) (2 , ) (3,2) 2 3 2 2 2 (2 ) 3 1 2 1 2 T x y z x y y z x y y z y z x z z x z x = + − = + = = + − = + + = − + = = Logo, temos 1 ,2 z, (3,2), z 2 z T z − + = ( , ) (1,1) (0, 2) ( ) 2 2 2 ( ) ( , ) [ (1,1) (0, 2)] ( , ) (1,1) (0, 2) x y a b I a x a y x y a b y b Aplicando T em ambos os membros da equação I T x y T a b T x y aT bT = + − = − − − = = = = + − = + − Pelo teorema 5.3.1 Substituindo os valores de a, b e T, temos: ( , ) (3,2,1) (0,1,0) 2 ( , ) 3 ,2 , 2 5 ( , ) 3 , , 2 x y T x y x x y T x y x x x x y T x y x x − = + − = + − = Substituindo os valores de a, b e T, temos: 5.1 0 5 (1,0) 3.1, ,1 3, ,1 2 2 T − = = 5.0 1 1 (0,1) 3.0, ,0 0, ,0 2 2 T − = = −
