Simplex, Notas de estudo de Engenharia de Produção
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Simplex, Notas de estudo de Engenharia de Produção

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Introdução a programação linear
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Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão E e n Pesquisa Operacional Simplex Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex Y“ Agora será apresentado mais um procedimento geral para resolução de problemas de PL, denominado “Método Simplex” e que foi desenvolvido em 1947 por George B. Dantzig. Método Simplex “ O método simplex é um método interativo (algoritmo) utilizado para achar, algebricamente, a solução ótima de um problema de PL. Procedimentos do Método Simplex “ Sabe-se que a solução ótima do modelo é uma solução básica do sistema, ou seja, um ponto extremo do polígono gerado pelas restrições. Y“ Para ser iniciado é necessário conhecer uma solução compatível básica (solução inicial) do sistema, isto é um dos pontos do polígono gerado. Procedimentos do Método Simplex “ O método simplex verifica se a presente solução é ótima. Se for o processo esta encerrado. Se não for ótima, é porque um dos pontos adjacentes fornece um valor maior que o inicial, Y“ Neste caso, o método simplex faz então a mudança do ponto por um outro que mais aumente o valor da função objetivo. Procedimentos do Método Simplex Y“ Agora tudo que foi feito para o primeiro ponto é feito para o novo ponto, “ O processo finaliza quando se obtém um ponto extremo onde todos os outros pontos extremos, forneçam valores menores para a função objetivo. Procedimentos do Método Simplex “ Como fazer, algebricamente, a mudança de um ponto extremo para outro? Y Achar portanto a próxima solução básica exige a escolha de uma variável básica para deixar a base atual, tornando-se não básica, e a escolha de uma variável não básica para entrar na base em sua substituição. Procedimentos do Método Simplex Supondo o seguinte problema para maximização: Max Z = 5X1 + 2X2 Sujeito a: X10 Procedimentos do Método Simplex xa D(1, 4) E(0, 4) c(3, 3) A(o, 0) B(3, 0) x A B Cc DE O Método Simplex é aplicado diretamente quando: “ todas as restrições são o0O; Y” se quer maximizar Z. Passos do simplex Achar uma solução compatível básica inicial; Verificar se a solução é ótima. Se for pare. caso contrário, siga para o passo 3; Determinar a variável não básica que deve entrar na base; Determinar a variável básica que deve sair da base; 5. Achar a nova solução compatível básica e voltar ao passo 2. Seja a formulação Primeiro passo: Transformar o sistema de M desigualdades lineares restritivas em um sistema de M equações lineares. Segundo passo: Colocar as equações em forma de tabela Terceiro passo: Determinar uma solução inicial viável. Base | 2 | X XxX Xs Xi Xs Xe Db braie Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 X 0 1 2 1 1 0 0 430 430 Xs 0 3 0 2 0 1 0 460 230 Xe 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. X1=X2=X3=0 X4 = 430; X5 = 460 e X6 = 420 Quarto passo: verificar se a solução é ótima. == Base | 2 | x XxX, Xs Xs Xs Xe b bi/aie Z 1 -13 -2 5 0 0 0 0 Xs 0 1 2 1 1 0 0 430 430 Xs 0 3 0 2 0 1 0 460 230 X 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. X1=X2=X3=0 X4 = 430; X5 = 460 e X6 = 420 Quinto passo: Determinar a variável que entra (xe) Sexto passo: Determinar a variável que sai (xs). entra x Base | z X, X, Xs Xi Xs Xç b bi/aie Z 1 -13 -2 45 o o o o X, o 1 2 1 1 o o 430 430 Xs o 3 o 2 o 1 o 460 230 X 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. sai Pivô Sétimo passo: Calcular a nova matriz de coeficientes, executando as operações convenientes nas linhas da . matriz. Base | 2 | x X, Xs Xu Xs Xç b bi/aie VA 1 4.5 -2 o o 2.5 o 1150 Xu o -0.5 2 o 1 -0.5 o 200 100 Xs o 1.5 o 1 o 0.5 o 230 ind. X6 o 1 4 o o o 1 420 105 Oitavo passo: Repetir todos os passos, do 4 ao 7, tantas vezes quanto forem necessárias, até que a solução ótima seja encontrada. Base | 2 | X: X Xs Xu Xs Xe b z 1 4 0 0 1 2 0 1350 XxX o -0.25 1 0 0.5 -0.25 0 100 X 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 Xe 0 2 0 0 -2 1 1 20 O máximo Z é 1350, para X> = 100, X: = 230 e Xç = 20. Resolvendo o problema de Giapetto pelo simplex Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a: 2X1 + X2 < 100 X1+X20 Xx2>0 Converter o problema de PL na forma canônica Solução básica inicial O problema pode ser representado assim: X1 entra na base Solução parcial: (0, O, 100, 80, 40) X1 entra no lugar de X5 Próximo quadro - Base: X3, X4e X1 = Devem se colocadas na forma canônica Segunda iteração - Ainda não é a Pivo solução ótima RA x1 | x2 | x3 | x4 | x5 b | Razão ] Base 1 o -2 o o 3 120 x3 o o D 1 o -2 20 20/1=20 x4 o o 1 o 1 1 40 40/1=40 x1 o 1 o o o 1 40 40/0 Solução parcial: (40, 0, 20, 40, 0) Indica que X2 entra no lugar de X3 Próximo quadro - Base: X2, X4e X1 = Devem se colocadas na forma canônica Terceira iteração Ainda não é a Pivo solução ótima x2 | x3 | x4 | X5 | b | Razão | Base | 1 0 0 2 0 "1160 x2 0 0 1 1 0 2 20 -10 x | 0 0 0 4 1 Dom 20 x1 0 1 0 0 0 1 40 “0 Solução parcial: (40, 20, 0, 20, 0) Indica que X5 entra no lugar de X4 Próximo quadro - Base: X2, X5e X1 = Devem se colocadas na forma canônica Quarta iteração Valor máximo possível para a função objetivo solução é ótima lLz |x1i |x2 |x3 | x4 | x5 | b | Razão | Base | 1 0 0 1 1 O 180 x2 | 0 0 1 «1 2 0 60 xs | 0 0 0 1 1 1 20 x1 | 0 1 0 1 1 0 20 Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20) A restrição 4 tem um folga de 20 Solução do problema de Giapetto pelo simplex Exercicio Y Resolver o problema do final do item 4.6.4 da apostila; Y Dois participantes por grupo; “ Entregar o resultado para fazer parte da avaliação da disciplina. Resolva o problema abaixo pelo simplex max Z = 5X1 + 2X2 sujeito a: X10 Xx2>0 a X2 Método Gráfico (Exemplo já realizado anteriormente) Indicando ponto ótimo - C (3, 3)
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