Slides Cálculo Financeiro - Capítulo_1, Slides de Aquisição de Dados. Universidade de Coimbra
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guilherme.fazenda.9122 de Janeiro de 2014

Slides Cálculo Financeiro - Capítulo_1, Slides de Aquisição de Dados. Universidade de Coimbra

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Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro: Capital; Fluxo de Caixa; Juro; Vencimento de Juros; Juros Postecipados; Juros Antecipados; Taxa de Juro; Valor Temporal do Dinheiro Capitalização; Actualização; Representação G...
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1

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 - 1

Cálculo Financeiro

Licenciatura em Contabilidade e Administração

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 - 2

Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro

Capital Fluxo de Caixa Juro Vencimento de Juros

Juros Postecipados Juros Antecipados

Taxa de Juro Valor Temporal do Dinheiro

Capitalização Actualização Representação Gráfica

Regimes de Capitalização Capitalização Simples Capitalização Composta

Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro

2

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 - 3

Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro

Capital

Dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado em determinada data (data de vencimento). É também conhecido por “principal”. Vem da palavra italiana "capitale" que significa "montante principal ".

Fluxos de Caixa

Correspondem às entradas (sinal +) e/ou saídas (sinal −) de quantidades monetárias ao longo do tempo.

Capitais

Tempo

− C

0

+ C

1

− C

2

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 - 4

Juro

Remuneração pela cedência de um capital durante um intervalo de tempo (prazo).

Os juros podem ser recebidos ou pagos de acordo com as diversas periodicidades: mensal, bimestral, trimestral, etc.

O juro recebido também é chamado rendimento.

Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro

3

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 - 5

Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro

Taxa de Juro (i - interest rate)

Juro produzido por uma unidade de capital durante um período de tempo. Pode ser representado em duas formas:

Forma unitária:

Forma percentual:

juro produzido por uma unidade de capital durante um ano.

0,25€ i = 0,25 a.a. =

1,00€

25,00€ i = 25% a.a. =

100,00€ juro produzido por cem unidades de capital durante um ano.

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 - 6

Vencimento dos Juros

Época em que é feito o cálculo dos juros.

Juros Antecipados

Os juros são calculados no início de cada período de capitalização.

Juros Postecipados

Os juros são calculados no fim de cada período de capitalização.

Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro

4

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 - 7

Valor Temporal do Dinheiro

É o conceito base de todo o Cálculo Financeiro. Expressa que o valor de uma mesma quantia de dinheiro não é constante e varia com o tempo.

Capitalização

Cálculo do valor de um capital numa data posterior à do seu vencimento.

Actualização

Cálculo do valor de um capital numa data anterior à do seu vencimento.

Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 - 8

Representação Gráfica

− n 0

Data de vencimento do capital C

Actualização Capitalização

C C n

CapitaisV

n Tempo períodos de actualização períodos de capitalização

Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro

5

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 - 9

Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro

Regime de Capitalização Simples

Os juros de cada período são sempre calculados com base no capital (principal), i.e. não há juros de juros.

Simples “puro”

Os juros são calculados e pagos periodicamente.

“dito” Simples

Os juros são calculados periodicamente mas apenas são pagos no fim do prazo.

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 -10

Regime de Capitalização Composta

Os juros de cada período são somados ao capital e sobre este valor é calculado o juro do período seguinte. Anatocismo é o termo jurídico utilizado para designar a capitalização de juros.

Capitalização Discreta

Os juros são capitalizados por unidade de tempo discreta: mensal, trimestral,anual,etc.

Capitalização Contínua

Os juros são capitalizados em períodos de capitalização instantâneos, dando lugar a uma acumulação contínua de juros.

Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro

6

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 -11

1. Regimes Simples

1.1 Capitalização.

Regime de Capitalização Simples Regime Simples “puro” Regime “dito” Simples

Representação Gráfica Fórmula Fundamental do Juro Simples Fórmula Fundamental do Valor Acumulado

1.2 Taxas de Juro.

1.3 Actualização e Desconto.

1.4 Aplicação a Operações Financeiras de Curto Prazo.

Regimes Simples

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 -12

Regime de Capitalização Simples

Consiste no cálculo do juro em cada período e a sua retirada do processo de capitalização, mantendo-se o mesmo capital no início de cada período. Não há juros de juros. O juro de cada período é igual ao produto do capital pela taxa de juro:

Regime Simples “Puro” O juro é pago no fim de cada período de capitalização.

Regime “dito” Simples O juro fica retido sendo pago apenas no fim do prazo.

Regimes Simples – Capitalização

j C i=

7

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 -13

Representação Gráfica

Recta do tempo com unidade igual ao período da taxa de juro i

Capitalização

C Capitais

n Tempo

períodos de capitalização

C

0

C

1

C

2

C

3

Capitalização Capitalização

j = Ci j = Ci j = Ci j = Ci

Regimes Simples – Capitalização

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 -14

Regimes Simples – Capitalização

Fórmula Fundamental do Juro Simples

Consideremos um capital C, capitalizado durante n períodos de uma taxa i. O juro total obtido ao fim de n períodos de capitalização é:

Temos assim a Fórmula Fundamental do Juro Simples

• O juro J é directamente proporcional ao capital C e directamente proporcional à duração da capitalização n.

n parcelas

J Ci Ci Ci Ci n Ci= + + +…+ = × 

J C n i=

8

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 -15

Regimes Simples – Capitalização

Exemplo 1

Considere um capital de 10 000,00€ investido durante 2 anos à taxa de juro anual de 4%. Qual o rendimento deste investimento? Resolução:

10 000 00

2

0 04

10000 2 0 04 800 00

C , €

n anos

i , a.a.

J C n i , , €

Ao fim de 2 anos o capital 10 000,00€ rendeu 800,00€

=

=

=

= × × = × × =

C C 2

2 anos0 1

J = ?

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 -16

Regimes Simples – Capitalização

Fórmula Fundamental do Valor Acumulado

Consideremos na época zero um capital . Capitalizando durante n períodos de uma taxa i obtemos o valor do capital na época n: . O valor futuro ou valor acumulado Cn é igual à soma de Capital com os Juros:

Temos a Fórmula Fundamental do Valor Acumulado

0 0

0 1

nC C C ni

C ( ni)

= + =

= +

0 1nC C ( n i)= +

nC

0 C

0 C

9

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 -17

Pode ser feita uma tabela com o detalhe das capitalizações “ditas simples” ao longo dos períodos de capitalização:

• A coluna dos juros tem sempre o mesmo valor.

• A coluna dos capitais no fim de cada período de capitalização é sempre incrementada da mesma importância C0.

• Dizemos que os capitais no fim de cada período progridem aritmeticamente com razão igual a C0i.

Regimes Simples – Capitalização

Período Capital no início do período

Juro do período Capital no fim do período

1 C0 j = C0 i C1 = C0 (1 + i)

2 C1 = C0.(1+i) j = C0 i C2 = C0 (1 + 2i)

... ... ... ...

n Cn-1 = C0.[1+(n–1).i] j = C0 i Cn = C0 (1 + ni)

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 -18

Exemplo 2 Foram depositados 1000,00€ durante 3 anos, à taxa anual de 10%. O quadro extraído duma folha Excel, com os capitais no fim de cada período de capitalização é:

Fazendo um gráfico com os capitais no fim de cada período:

Regimes Simples – Capitalização

Os pontos do gráfico estão alinhados segundo uma linha recta, mostrando um crescimento linear.

A coluna do Capital final cresce segundo progressão aritmética. Razão igual a 100,00€.

1.000,00 € 1.050,00 € 1.100,00 € 1.150,00 € 1.200,00 € 1.250,00 € 1.300,00 € 1.350,00 €

1 2 3

10

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 1 -19

Exemplo 3 Considere um capital de 10 000,00€ investido durante 2 anos à taxa de juro anual de 4%. Qual o valor acumulado no fim do prazo do investimento?

Regimes Simples – Capitalização

0

2 0

10 000 00

2

0 04

1 10000 1 2 0 04 10 800 00

C , €

n anos

i , a.a.

C C ( ni) ( , ) , €

Ao fim de 2 anos o valor acumulado é de 10 800,00€

=

=

=

= + = + × =

C 0 C2 = ?

2 anos0 1

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -20

Regimes Simples

1. Regimes Simples

1.1 Capitalização.

1.2 Taxas de Juro.

Taxa de Juro Período de Referência Prazo Concordância Temporal Convenções no Cálculo de Juros Taxas Equivalentes Taxas Proporcionais Taxas Médias

1.3 Actualização e Desconto.

1.4 Aplicação a Operações Financeiras de Curto Prazo.

11

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -21

Regimes Simples – Taxas de Juros

Taxa de Juro (i) É igual ao juro produzido por uma unidade de capital (C=1) durante uma unidade de tempo (n=1).

Período de referência

É o intervalo de tempo a que se refere a taxa de juro, no final do qual os juros são produzidos.

Prazo (n)

Intervalo de tempo em que o capital produziu juros. Também chamada duração da capitalização.

1 1J Cni j i j i= ⇔ = × × ⇔ =

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -22

Concordância Temporal

As variáveis prazo n e taxa de juro i têm que ter o mesmo período de referência.

Veremos que é indiferente:

• converter o prazo n no mesmo período da taxa de juro i; ou • encontrar a taxa de juro i’ com o mesmo período em que

está expresso o prazo n.

Regimes Simples – Taxas de Juros

12

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -23

Regimes Simples – Taxas de Juros

Convenções no Cálculo de Juros

Para converter o prazo n no período igual ao da taxa de juro i, é necessário ter em conta o tipo de juros que pretendemos:

Juros Exactos (Actual/Actual) - Contagem exacta dos dias. - Ano civil: 365 dias (ou 366, se bissexto). - Meses: 28 (ou 29), 30 ou 31 dias.

Juros Comerciais (30/360) - Contagem dos dias usando o mês comercial. - Ano comercial: 360 dias. - Mês comercial: 30 dias.

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -24

Regimes Simples – Taxas de Juros

Juros pela Regra dos Bancos (Forma Mista)

Para a uniformização do Eurosistema (Sistema europeu que integra o BCE e os BCN dos Estados-membros que adoptaram o euro), o cálculo dos juros devidos ou a receber obedece a convenções de contagem de dias:

1. O número de dias pode ser calculado de duas formas: – número de dias efectivamente decorridos (Actual); – número de dias decorridos, admitindo que o mês tem

sempre 30 dias;

2. O número de dias do ano a que se reporta a taxa de juro: o número efectivo de dias do ano (Actual), 360 ou 365.

Fonte Portal do Cliente Bancário – Banco de Portugal

13

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -25

Regimes Simples – Taxas de Juros

O prazo, em anos, para efeito de cálculo de juros, segue uma das quatro combinações convencionadas:

- Actual ⁄ Actual - Actual ⁄ 360 - Actual ⁄ 365 - 30 ⁄ 360.

Decreto-Lei n.º 88/2008, de 29 de Maio, estabelece a obrigatoriedade do uso, por parte das instituições de crédito e sociedades financeiras, das convenções: • 30/360 no cálculo de juros das operações de crédito à

habitação • Actual/360 no cálculo de juros das operações de depósitos

Fonte Portal do Cliente Bancário – Banco de Portugal

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -26

Regimes Simples – Taxas de Juros

Exemplo 4

O juro recebido aplicando10 000,00 €, à taxa anual de 10%, entre 29-01-2008 e 5-06-2008 (ano bissexto) será diferente consoante a convenção utilizada.

Fonte Portal do Cliente Bancário – Banco de Portugal

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Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -27

Para a contagem dos dias pode ser usado o Excel: 1. Formatar as células que contém datas:

Menu Formatar → células → data

2. Função FRACÇÃOANO(data_inicial;data_final;base) Calcula a fracção do ano representado pelo número de dias entre duas datas (a data_inicial e a data_final). base - tipo de contagem diária a utilizar

3. Função DIAS360(data_inicial;data_final;método) Devolve o número de dias entre duas datas baseadas num

ano com 360 dias (doze meses de 30 dias). método – “1” para Método Europeu

Base Contagem diária

0 ou omitido Americana 30/360

1 Real/Real

2 Real/360

3 Real/365

4 Europeia 30/360

Regimes Simples – Taxas de Juros

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -28

Regimes Simples – Taxas de Juros

Exemplo 5

Que fracção do ano representa o número de dias entre 1 de Fevereiro e 1 de Março, relativamente ao ano de 2008 (bissexto) e ao ano de 2009, nas convenções Actual/Actual, Actual/360 e 30/360?

15

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -29

Regimes Simples – Taxas de Juros

Exemplo 6 Calcule o juro produzido por um capital de 10 000,00€, à taxa anual de 5%, após 103 dias:

a) Com ano civil (juros exactos)

b) Com ano comercial (juros comerciais)

10 000 00

103 103

365

103 0 05 10000 0 05 14110

365 365

C , €

n dias ano

n i , a.a J C i , , €

=

= =

= = × × = × × 

10 000 00

103 103

360

103 0 05 10 000 0 05 143 06

360 360

C , €

n dias ano

n i , a.a J C i , , €

=

= =

= = × × = × × 

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -30

Taxas Equivalentes

Taxas com períodos diferentes aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo intervalo de tempo, dão origem a juros iguais.

Taxas Proporcionais

A razão entre duas taxas é igual à razão entre os períodos de tempo a que elas se referem (taxas proporcionais aos respectivos períodos).

Nota

No Regime de Juro Simples em termos práticos não há distinção entre Taxa Proporcional e Taxa Equivalente.

Regimes Simples – Taxas de Juros

16

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -31

Exemplo 7 Calcular o juro produzido pela capitalização de 1000,00€, durante um ano:

a) à taxa anual de 10%

b) à taxa semestral de 5%

As taxas 10% ao ano e 5% ao semestre são taxas equivalentes pois produzem o mesmo juro ao capitalizar o mesmo capital durante o mesmo intervalo de tempo.

1000

2

0 05 1000 2 0 05 100 00

C

n' semestres

i' , a.s. J Cn'i' , , €

=

=

= = = × × =

1000

1

0 10 1000 1 0 10 100 00

C

n ano

i , a.a. J Cni , , €

=

=

= = = × × =

Regimes Simples – Taxas de Juros

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -32

A taxa anual de 10% é proporcional à taxa semestral de 5%.

A razão entre as duas taxas é igual à razão entre os períodos de tempo a que elas se referem,

Conclusão: No regime de juro simples as taxas equivalentes são proporcionais aos respectivos períodos.

0 10 1 12

0 05 1 6

i , a.a. n ano meses

i' , a.s. n' semestre meses

= = =

= = =

0 10 12

0 05 6

i n , meses

i' n' , meses ⇔

0 10 12 2

0 05 6

i n , i' n' ,

= ⇔ = =

Regimes Simples – Taxas de Juros

17

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -33

Exemplo 8 Cálculo do juro produzido pela capitalização de 1000,00€ em 2 semestres à taxa anual de 10%, por duas resoluções:

No regime de juro simples é indiferente alterar o período da taxa de juro ou a periodicidade dos períodos de capitalização, desde que haja concordância temporal entre ambas as variáveis.

Regimes Simples – Taxas de Juros

1000 00 1000 00

2 2

2

0 10 0 10

2 2

2 0 10 0 10 100 00 2 100 00

2 2

2 0 10 0 10 2

2 2

C , € C , €

n ano ou n' semestres

i , i , a.a. i' a.s.

, J C , , € J C , €

, Pois C , C

= =

= =

= = =

= × × = = × × =

× × = × ×

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -34

Regimes Simples – Taxas de Juros

Taxa Média ( )

Taxa de juro única, que aplicada a vários capitais durante os respectivos prazos, produz o mesmo juro (rendimento) que a soma dos juros produzidos pela capitalização individual de cada um dos capitais às respectivas taxas.

i

18

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -35

Regimes Simples – Taxas de Juros

Sejam as seguintes aplicações de m capitais:

O juro total produzido por todos os capitais é dado por:

Queremos uma taxa única que produza o mesmo juro total:

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

m m m m m m m

C com o prazo n à taxa i produz o juro j C n i

C com o prazo n à taxa i produz o juro j C n i

...

C com o prazo n à taxa i produz o juro j C n i

=

=

=

1 1 1 2 2 2 m m m JT C n i C n i ... C n i= + + +

1 1 2 2 m m JT C n i C n i ... C n i= ⋅ + ⋅ + + ⋅

i

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -36

Regimes Simples – Taxas de Juros

Para que tal aconteça tem que se verificar a igualdade:

Resolvendo a equação em ordem à taxa média :

Encontramos assim a expressão da Taxa Média:

1 1

1 1

m m

k k k k k k

m m

k k k k k k

C n i j i

C n C n

= =

= =

= =

∑ ∑

∑ ∑

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2m m m m mC n i C n i ... C n i C n i C n i ... C n i⋅ + ⋅ + + ⋅ = + + +

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

m m m m m

m m m

m m

(C n C n ... C n ) i C n i C n i ... C n i

C n i C n i ... C n i i

C n C n ... C n

+ + + ⋅ = + + + ⇔

+ + + ⇔ =

+ + +

i

19

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -37

Regimes Simples – Taxas de Juros

Exemplo 9

Foram aplicados a juros simples, durante o mesmo prazo n, os capitais 2 500,00€, 3 500,00€, 4 000,00€ e 3 000,00€ às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Qual a taxa média mensal a que foram aplicados os capitais? Resolução:

Nota: Quando o prazo é o mesmo para todos os capitais, basta calcular os juros de cada capital num só período, depois somá-los e ver quanto representa esta soma no total das somas dos capitais.

1 1 1 1 1

1

1 1 1

m m m

k k k k k k k k k m m

m m m m

k k k k k k

C ni n C i C i C i ... C i

i C ... CC n n C C

= = =

= = =

⋅ + +

= = = = + +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -38

Regimes Simples – Taxas de Juros

O quadro Excel com os cálculos necessários:

Substituindo na expressão simplificada da Taxa Média (todos os capitais com o mesmo prazo de capitalização):

Encontramos a Taxa Média mensal de 3,5%.

4

1 1 1 4 4

4

1 4

1

455 0 035

13000

k k k

k k

C i C i ... C i

i , C ... CC

=

=

+ + = = = =

+ +

20

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -39

Regimes Simples – Taxas de Juros

Exemplo 10

Um capital de 1000,00€ foi depositado a render juros simples durante um ano.

– Durante os primeiros 2 meses a taxa foi de 0,5% a.m.; – Nos 6 meses seguintes de 0,6% a.m.; – Nos últimos 4 meses de 0,7% a.m.

Qual a taxa média anual? Resolução:

Nota: Quando temos um só capital (ou vários capitais de igual valor) pode usar-se esta versão simplificada da Taxa Média.

1 1 1 1 1

1

1 1 1

m m m

k k k k k k k k k m m

m m m m

k k k k k k

Cn i C n i n i n i ... n i

i n ... nCn C n n

= = =

= = =

⋅ + +

= = = = + +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

Guedes, A.M., Lopes, A.P., Monteiro, M.M. Cálculo Financeiro Aula 2 -40

O quadro Excel com os cálculos necessários:

Capitalizar 1 000,00€ durante um ano à taxa média anual de 7,4%, produz os mesmos juros que as capitalizações dadas:

1000 00 1 0 074 74 00

1000 00 2 0 005 1000 00 6 0 006 1000 00 4 0 007 74 00

Jt , , , €

Jt , , , , , , , €

= × × =

= × × + × × + × × =

3

1 1 2 2 3 31

3

1 2 3

1

0 074 0 006167

12

0 6167

12 0 6167 7 4

k k k

k k

n i n i n i n i ,

i , n n nn

Taxa média mensal , %

Taxa média anual , % , %

=

=

+ + = = = =

+ +

∴ × =

Regimes Simples – Taxas de Juros

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Regimes Simples

1. Regimes Simples

1.1 Capitalização.

1.2 Taxas de Juro.

1.3 Actualização e Desconto.

Actualização Desconto por Dentro ou Desconto Racional Desconto por Fora ou Desconto Comercial Relação entre Desconto por Dentro e Desconto por Fora

1.4 Aplicação a Operações Financeiras de Curto Prazo.

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Regimes Simples – Actualização e Desconto

Actualização

Cálculo do valor (V) de um capital (C) numa data anterior à do seu vencimento.

Valor Nominal (C)

É o valor de um capital na data do seu vencimento.

Valor Actual (V) ou Valor Presente Valor de um capital numa data anterior à do seu vencimento.

Diferimento (n)

Intervalo de tempo que ocorre entre a data de vencimento do capital e uma data anterior.

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Vimos a Fórmula Fundamental do Valor Acumulado:

Onde Cn é o valor acumulado na época n, obtido com a capitalização de C0 durante n períodos de uma taxa i.

Resolvendo a equação em ordem a C0 temos:

Representando C0 por V, temos a expressão do Valor Actual, onde C representa o valor nominal dum capital:

C V

1 ni =

+

0 1nC C ( ni)= +

0 1

nCC ni

= +

Regimes Simples – Actualização e Desconto

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Regimes Simples – Actualização e Desconto

Representação Gráfica

Actualização Capitalização

C Cn capitaisV

-n 0 n tempo

Data de Vencimento do Capital C

diferimento períodos de capitalização

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Desconto

Decréscimo de valor sofrido por um capital sujeito a um processo de actualização.

No regime simples serão abordados dois tipos de desconto: • Desconto por dentro ou desconto racional (d).

Desconto por fora ou desconto comercial (D).

Regimes Simples – Actualização e Desconto

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A Matemática do Valor Actual e do Desconto é aplicada também a Títulos de Crédito com Valor Nominal C.

Título de Crédito

Qualquer documento necessário para o exercício do crédito nele exarado. Podem traduzir o direito ao seu portador/titular a receber um bem ou serviço (senha de transporte, selo postal, etc.) ou o direito a receber uma quantia em dinheiro (Letra, Livrança, Cheque, Obrigações, etc.). A característica principal é que permitem a circulação do crédito pela simples circulação do título.

Regimes Simples – Actualização e Desconto

Adaptado de (Canadas, 1998, pg 78)

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Desconto por dentro ou desconto racional (d) Equivale ao juro simples calculado sobre o valor actual durante o prazo (diferimento) que falta para o vencimento do capital, isto é, a taxa de juro i incide sobre o Valor Actual (V).

Algebricamente é igual à diferença entre o Valor Nominal (C) e o Valor Actual (V).

Regimes Simples – Actualização e Desconto

Desconto = C – V

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Regimes Simples – Actualização e Desconto

Temos então,

A fórmula do desconto racional ou desconto por dentro:

C C C(1 ni)-C d C V V d C d

1 ni 1 ni 1 ni Cni

d 1 ni

d = V ni

+ = − ∧ = ⇒ = − ⇔ =

+ + +

⇔ = +

⇔ ×

= +

Cni d

1 ni

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Exemplo 11

Determine o desconto em regime de juro simples (desconto por dentro), de um título de valor nominal de 150,00 €, descontado 3 meses antes do vencimento. Considere a taxa de juro i a 1% ao mês. Resolução:

Valor Nominal: C = 150 € Taxa: i = 0,01 a.m. Diferimento: n = 3 meses Logo,

Cni 150 3 0,01 d 4,37 €

1 ni 1 3 0,01

× × = = =

+ + ×

3 meses

V=? 150 €

0

d = ?

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Desconto por fora ou desconto comercial (D)

Equivale ao juro simples calculado sobre o valor nominal durante o prazo (diferimento) que falta para o seu vencimento, isto é, a taxa de desconto incide sobre o Valor Nominal (C).

A fórmula do desconto comercial ou desconto por fora:

O desconto por fora é directamente proporcional ao valor nominal (C) do capital e ao respectivo diferimento (n).

θ

Regimes Simples – Actualização e Desconto

D C n= θ

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