Supersimetria - Uma Visão Elementar, Dissertações de Mestrado de Física. Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)
silvio-monteiro
silvio-monteiro11 de novembro de 2017

Supersimetria - Uma Visão Elementar, Dissertações de Mestrado de Física. Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)

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Uma Visão Elementar da Supersimetria
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Uma Visão Elementar de Supersimetria

George Svetlichny

Os f́ısicos teóricos consideram a supersimetria uma idéia tão bela que mesmo na ausência de qualquer ind́ıcio emṕırico direto da sua verdade, e somente um indireto, de que talvez seja verdade [1], quase todas as pro- postas atuais de teorias fundamentais incorporam a supersimetria. Pelas suas propriedades matemáticas e conseqüências f́ısicas marcantes, as teorias supersimétricas destacam-se entre os candidatos mais promissores para a nossa próxima visão do mundo f́ısico. Mas o que é a supersimetria? Não é fácil formular a resposta em termos leigos. Há várias razões para isto. Em primeiro lugar, a supersimetria, do jeito que o f́ısico a entende, combina de uma maneira não trivial a simetria do espaço-tempo e uma relação entre os dois tipos fundamentais de campos f́ısicos, os bosônicos e os fermiônicos [2]. Há muita especificidade nesta mistura, e isto oculta as propriedades essenciais das estruturas matemáticas envolvidas, apesar destas existirem in- dependentemente de qualquer relação com o espaço-tempo. De fato, todo aluno de matemática já é familiar, sem perceber isto, com vários exemp- los delas. Em segundo lugar, uma boa parte de supersimetria é formal , ou seja, tem mais a ver com expressões e não com objetos matemáticos “ver- dadeiros”. Simetrias formais não tem muita graça, a qual só apareces com as interpretações. Interpretações em termos de teorias quânticas fundamentais estão longe da experiência leiga. Infelizmente as conseqüências mais notáveis e úteis aparecem só na teoria quântica. Fora deste contexto só um apelo à beleza é capaz de manter interesse. Finalmente, a abordagem matemática correta exige idéias que raramente fazem parte das matérias usuais de cur- sos de matemática, e o aluno de modo geral tem pouca familiaridade com elas, apesar de muitas serem bastante elementares. Tentaremos, por meio de exemplos simples, apresentar aqui uma visão elementar deste assunto tão extraordinário.

Considere a expressão xy e uma substituição φ para x e ψ para y. Por exemplo, φ = (−x) e ψ = (−y). Temos agora (−x)(−y). É tentador dizer

1

que temos xy de novo, mas com qual justificativa? Uma seria dizer que x e y são números, ou matrizes, ou outros objetos parecidos, e portanto as pro- priedades elementares destes justificam a conclusão. Ou seja, as expressões são interpretadas e dado a interpretação podemos provar que φψ = xy. Por outro lado, numa abordagem mais formal, podemos introduzir algumas re- gras pelas quais uma expressão poderia ser transformada numa outra e assim, após um número finito de aplicações destas regras, φψ se transforma em xy. Assim não dizemos o que x e y são mas somente o que pode ser feitos com expressões que os envolvem.

Digamos que α e β são quaisquer justaposições de śımbolos, e admitimos as seguintes regras de reescrita:

−(−α) 7→ α, (α)(−β) 7→ −(α)β

Temos agora a seguinte seqüência legitima de reescrita:

(−x)(−y) 7→ −(−x)y 7→ xy.

A supersimetria atua em situações intermediárias entre as interpretadas e as formais, onde certos śımbolos tem interpretação em termos de objetos matemáticos “usuais”, e outros não. Isto dá lugar a muita perplexidade a quem aborda o assunto pela primeira vez, especialmente aos estudiosos de matemática que tentam entender a literatura f́ısica.

Dado que contemplamos substituições pelas quais φψ pode ser “transfor- mado” de volta em xy, ou seja, que xy é “invariante”, é tentador dizer que estamos diante de um “grupo de invariância”. O contexto porém é muito solto e não há necessariamente um grupo a vista. As vezes achamos grupos e as vezes não. As vezes achamos algo que tem muitas coisa em comum com grupos mas que estritamente falando não o são. Supergrupos são exemplos destes últimos objetos. Supersimetria na sua abordagem formal é “simetria” em relação a um “grupo” que de fato não o é. É de fato um tipo de grupo quântico.

Consideramos algumas interpretações de xy. Os śımbolos x e y então in- dicam objetos matemáticos de algum tipo e portanto φ e ψ devem ser objeto do mesmo tipo. Impomos a condição φψ = xy. Se o tipo é número então simplesmente passamos de um par de números a outro par que tem o mesmo produto. Não há estrutura de grupo evidente nesta situação. Mesmo sendo posśıvel achar um grupo de transformações (x, y) 7→ (φ(x, y), ψ(x, y)) para o qual φψ = xy, não é esta a idéia. Não estamos exigindo que φ e ψ dependam

2

de x e y, simplesmente que os substituem. A situação muda um pouco se x e y agora são considerados funções definidos no plano R2, a saber, as funções co- ordenadas. Neste caso φ e ψ são funções também e temos φ(x, y)ψ(x, y) = xy. Há muitos grupos de transformações (x, y) 7→ (φ(x, y), ψ(x, y)) que podem ser formados por tais pares de funções. O conjunto de todas as inverśıveis que transformam cada conjunto de ńıvel da função xy em si mesmo, é o maior tal grupo. Este tem dimensão infinita.

Uma situação mais restrita acontece quando interpretamos x e y como elementos geradores do anel polinomial R = R[x, y]. Um par de polinômios, (φ, ψ), satisfazem φ(x, y)ψ(x, y) = xy se e só se tem uma das seguintes for- mas:

(λ, λ−1xy), (λ−1xy, λ), (λx, λ−1y), (λy, λ−1x)

onde λ 6= 0 é real. Ora, já que R é livremente gerado por x e y, qualquer substituição x 7→ φ(x, y) e y 7→ ψ(x, y) se estende a um endomorfismo único R → R. Das quatro formas acima somente os dois últimos geram endomorfis- mos inverśıveis e estes formam um grupo isomorfo ao grupo pseudo-ortogonal O(1, 1).

Um outro caso, ainda em R[x, y], é a expressão x2 + y2. Agora φ e ψ são necessariamente polinômios lineares, φ(x, y) = ax + by e ψ(x, y) = cx + dy, tais que a matriz

(

a b c d

)

pertence a O(2,R). Descobrimos o grupo ortogonal em duas dimensões. Uma situação também interessante acontece se x e y são geradores da

álgebra exterior Λ(R2) onde por xy entendemos x ∧ y. Temos φ = a + bx + cy+dxy e ψ = s+tx+uy+vxy. Do φψ = xy deduzimos, as = 0, at+bs = 0, au + cs = 0, e bu− ct + av + ds = 1. Entre as soluções destas equações são aqueles com a = s = d = v = 0 e bu − ct = 1. Estas definem um grupo isomorfo a SL(2,R), dado pelas matrizes

(

b c t u

)

de determinante 1. Note que este grupo contem SO(2,R), o componente da identidade do grupo O(2.R) encontrado no exemplo de x2 + y2, um fato que usaremos em exemplos mais adiante, embora seja particular a dimensão dois.

O caso de álgebras pode ser considerado algo intermediário entre o inter- pretado e o formal. Para R[X], por exemplo, não precisamos dizer o que X é,

3

só que algumas regras, tais como XnXm = Xn+m, são válidas. Assim há algo de “formal”. Os coeficientes cn em

n cnX n, porém, são números, e portanto

há também algo de “interpretado”. Uma lição que podemos tirar destes ex- emplos é que a medida que introduzimos elementos “formais” nos objetos designados por x e y, mais possibilidade temos de perceber alguma estrutura de grupo presente, mas pelo fato de “substituição” não ser exatamente a mesma coisa que “transformação”, é posśıvel esperar outras possibilidades.

No resto deste caṕıtulo, vamos explorar algumas estruturas algébricas inspiradas por teorias f́ısicas. A t́ıtulo de conveniência, supomos que todas as álgebras são reais. O caso complexo em geral é uma fácil adaptação, e a maioria das considerações valem para corpos gerais de caracteŕıstica diferente de 2.

A mecânica quântica divide os objetos f́ısicos em bosônicos e fermiônicos. Este fato é expresso algebricamente por comutação de operadores no primeiro caso e por anti-comutação no segundo. Esta diferença é fundamental para toda a teoria.

Lembramos que numa álgebra associativa A dizemos que a comuta com b se o comutador [a, b] = ab− ba = 0. Dizemos que a anti-comuta com b se o anti-comutador {a, b} = ab+ ba = 0. Ora, se a e b comutam com c, então ab também comuta com c. Porém, se a e b anti-comutam com c, então ab em geral não anti-comuta com c mas comuta com ele. Ainda mais, se a comuta com c, e b anti-comuta com c (ou vice-versa), então ab anti-comuta com c. Se denotamos com C0 a subálgebra de elementos que comutam com c, e com C1 o subespaço daqueles que anti-comutam com c, então têm-se C0C0∪C1C1 ⊂ C0 e C0C1 ∪ C1C0 ⊂ C1, o que nos leva a introduzir as álgebras graduadas.

Seja S um semigrupo. Uma álgebra A é uma álgebra S-graduada se existem subespaços vetoriais As para s ∈ S tais que A = ⊕s∈SAs e AsAr ⊂ Asr. Um elemento a ∈ A é dito homogêneo de grau s se a ∈ As. Neste caso denotamos o grau de a por |a|. No que segue, vamos introduzir expressões que são válidas somente para elementos homogêneos, sem chamar atenção para este fato, entendendo que a presença na expressão do grau de um elemento já indica que ele deve ser homogêneo.

Um morfismo entre duas álgebras S-graduadas A e B é um morfismo de álgebras φ que preserva a graduação, isto é φ(As) ⊂ Bs.

A supersimetria utiliza álgebras Z2-graduadas, também conhecidas como superálgebras . Se A é uma superálgebra então A0 é conhecida como a subálgebra bosônica, e A1 como o subespaço fermiônico (o qual não é uma subálgebra). No caso de dimensão finita vamos indicar genericamente uma

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base de A0 por b1, . . . , bn e uma base de A1 por f1, . . . , fm, e dizer que A é de tipo (n,m).

Seja A uma superálgebra. A aplicação bilinear [·, ·]s definido por

[a, b]s = ab− (−1) |a||b|ba (1)

chama-se o supercomutador , ou o supercolchete. Note que para dois elementos fermiônicos o supercomutador é o anti-comutador e que para todas as demais combinações de elementos homogêneos é o comutador. Para elementos não homogêneos o supercomutador é bem definido usando a bilinearidade. Nas definições daqui em diante, tais extensões além dos elementos homogêneos, quando pertinente, serão sempre subentendidas.

O supercolchete combina propriedades do comutador e do anti-comutador de uma maneira sistemática. Na literatura f́ısica vê-se freqüentemente a expressão muito feia, [a, b}, com o colchete a esquerda e a chave a direita, para denotar o supercomutador.

As propriedades do supercomutador assemelham-se às propriedades do colchete de Lie, porém, com algumas mudanças de sinal. Em primeiro lugar, tem-se a relação de simetria graduada

[a, b]s = (−1) |a||b|[b, a]s (2)

o que podeŕıamos estar tentados de chamar “supersimetria” mas esta palavra já tem outro sentido. Seja A agora associativa. É fácil mostrar o análogo da identidade de Jacobi:

[a, [b, c]s]s + (−1) |a|(|b|+|c|)[b, [c, a]s]s + (−1)

|c|(|a|+|b|)[c, [a, b]s]s = 0 (3)

e o análogo da propriedade de derivação:

[a, bc]s = [a, b]sc+ (−1) |a||b|b[a, c]s (4)

O expoente de −1 nos vários termos de (2), (3), e (4) podem todos ser descrito como o número de permutações de posições de elementos fermiônicos necessários para permutar os śımbolos do termo mais a esquerda para se ter a ordem no termo em questão. Esta regra determina o sinal na maioria dos casos de expressões em superálgebras. Com cada troca de elementos fermiônicos há uma mudança de sinal.

É posśıvel reescrever (3) numa maneira mais simétrica como:

(−1)|a||c|[a, [b, c]s]s + (−1) |a||b|[b, [c, a]s]s + (−1)

|c||b|[c, [a, b]s]s = 0 (5)

5

que é a maneira usual, embora nesta forma a razão para os sinais não é tão aparente.

É notável que o anti-comutador {·, ·} por si só, não satisfaz nenhuma identidade parecida com a de Jacobi.

Algumas álgebras familiares já são superálgebras de forma natural. A álgebra polinomial real R[X] da variável X é naturalmente R[X2]⊕XR[X2]. Outros dois exemplos são a álgebra exterior Λ(V) de um espaço vetorial V e a álgebra de Clifford C`(V, β) de um espaço vetorial V com uma forma bi- linear simétrica não-degenerada β. A subálgebra bosônica consiste de somas de produtos (exterior ou de Clifford, conforme o caso) de um número par de elementos de V, e o subespaço fermiônico de somas de produtos de um número ı́mpar. Note que a álgebra comutativa R[X] não é supercomutativa, já que [X,X]s = 2X

2 6= 0 enquanto a álgebra supercomutativa Λ(V) não é comutativa já que para v, w ∈ V tem-se v ∧ w = −w ∧ v.

No mundo de objetos Z2-graduados o análogo correto de comutatividade é a supercomutatividade. Álgebras comutativas no sentido usual devem ser consideradas como essencialmente não comutativos neste contexto.

Uma superálgebra de Lie é uma álgebra Z2-graduada A cujo produto, denotado por [·, ·]s, satisfaz propriedades (2) e (5) acima. Qualquer su- perálgebra associativa é uma superálgebra de Lie com o produto sendo o supercomutador. Uma representação de uma superálgebra de Lie A é uma aplicação linear φ : A → B para uma superálgebra associativa B, preservando a graduação, tal que

φ([a, b]s) = [φ(a), φ(b)]s = φ(a)φ(b)− (−1) |a||b|φ(b)φ(a) (6)

Vários teoremas sobre álgebras de Lie usuais tem análogos muito pareci- dos para superálgebras de Lie. Assim superálgebras de Lie podem ser repre- sentadas universalmente numa superálgebra associativa envolvente. Seja A uma superálgebra de Lie e seja à a álgebra tensorial plena do espaço vetorial A. Tem-se

à = ∞ ⊕

n=0

α1,...,αn

Aα1 ⊗ · · · ⊗ Aαn

onde αi ∈ {0, 1}. Defina Ã0 como a soma direta de termos Aα1 ⊗ · · · ⊗ Aαn onde αi = 1 para um número par de ı́ndices e Ã1 a soma direta onde αi = 1 para um número ı́mpar de ı́ndices. Seja [·, ·]⊗s o supercomutador em à e considere o ideal bilateral I gerado pelos elementos [a, b]s− [a, b]

⊗ s para todos

os elementos a, b ∈ A. Defina a superálgebra universal envolvente U(A) de

6

A como o quociente Ã/I. Não é dif́ıcil mostrar, imitando a demonstração no caso de álgebra de Lie usual, que a aplicação canônica A → U(A) é uma representação, e que qualquer representação fatora de uma maneira única através desta aplicação canônica.

Vale também o análogo do teorema de Birkoff-Witt. SejaA de tipo (n,m), então uma base para U(A) é dado por produtos de forma bk11 · · · b

kn n f

`1 1 · · · f

`m m

onde ki ≥ 0 são inteiros e `i ∈ {0, 1}. O caso de todos os ki e `j igualem a zero corresponde ao elemento unidade.

Como um exemplo considere a superálgebra de Lie com A0 = {0} e A1 sendo um espaço vetorial qualquer. Neste caso [a, b]s = 0 para qualquer par de elementos, e o ideal I é gerado por todos os produtos tensoriais a ⊗ b + b ⊗ a para todos os a, b ∈ A1. Disso vê-se que U(A) é Λ(A1), a álgebra exterior de A1. Como outro exemplo ilustrativo seja A de tipo (n,m). Assuma que A0 seja uma álgebra de Lie abeliana e que [bi, fj]s = 0. Temos [fi, fj]s =

k cijkbk. Vemos de (1) que cijk = cjik, mas (3) não impõe mais nenhuma relação. Considere o caso particular de n = 1, m = 2 com [f1, f1]s = 2αb, [f1, f2]s = [f2, f1]s = βb, e [f2, f2]s = 2γb. Em U(A) há relações f 21 = αb, f1f2 + f2f1 = βb, e f

2 2 = γb. É fácil ver que como espaço

vetorial tem-se U(A) = R[b]⊕ R[b]f1 ⊕ R[b]f2 ⊕ R[b]f1f2. É instrutivo considerar a álgebra de Lie L(A) ⊂ U(A) gerada por A

contida em U(A). Suponha α = 1 e β = γ = 0. Vamos demonstrar que L(A) contém todos os monômios de forma bkf1 para k natural.

Primeiro, [f1, f2] = 2f1f2, e portanto f1f2 ∈ L(A). Note que b comuta com tudo. Suponha, por indução em n, que bnf2 e b

nf1f2 pertencem a L(A). A hipótese é verdadeira para n = 0. De [f1, f1f2] = 2bf2 tem-se [f1, b

nf1f2] = 2bn+1f2 e assim b

n+1f2 ∈ L(A). Também [f1, b n+1f2] = 2b

n+1f1f2 e portanto bn+1f1f2 ∈ L(A), o que completa a demonstração.

O ponto essencial deste resultado é que L(A) tem dimensão infinita. Assim uma superálgebra de Lie A de dimensão finita foi usada para codificar uma álgebra de Lie L(A) usual de dimensão infinita.

Interessa à f́ısica as simetrias da matriz de espalhamento S. Este é um operador unitário no espaço de Hilbert dos estados f́ısicos que descreve os detalhes de processos elementares. Existem duas noções de simetria, (1) um operador unitário1 U tal que USU ∗ = S, e (2) um operador auto-adjunto K tal que [K,S] = 0. No segundo caso, sob condições adequadas, o grupo

1Estritamente falando, pode haver o caso de um operador anti-unitário, mas consider-

emos somente o caso unitário.

7

unitário U(τ) = exp(iτK) para τ ∈ R, fornecido pelo teorema espectral, satisfaz U(τ)SU(τ)∗ = S, e portanto é um grupo de simetrias unitárias. Um tal operador K é conhecido como simetria infinitesimal . Formalmente, se K e L são simetrias infinitesimais, então pela identidade de Jacobi temos [[K,L], S] = 0. Assim, ainda formalmente, as simetrias infinitesimais, mul- tiplicados pelo número imaginário i, formam uma álgebra de Lie. Na teo- ria relativista do campo quântico, a álgebra de Lie de simetrias infinitesi- mais contém, como subálgebras, uma imagem isomorfa à álgebra de Lie do grupo de Poincaré (gerado por translações no espaço-tempo e transformações de Lorentz) e uma álgebra de Lie de dimensão finita de simetrias internas que relaciona propriedades de espécies diferentes de part́ıculas (por exemplo prótons e nêutrons). Esforços iniciais de combinar de uma maneira não trivial as simetrias do espaço-tempo e as simetrias internas, o que daria uma teo- ria com poder de previsão maior, encontrou um obstáculo no famoso “no-go theorem” de Coleman e Mandula [3]. Este afirma que na teoria relativista de campo quântico, qualquer álgebra de Lie de dimensão finita de simetrias in- finitesimais que estende a simetria de Poincaré, é necessariamente uma soma direta (e portanto uma combinação trivial) da álgebra de Poincaré com a álgebra de simetrias internas. A supersimetria evita este teorema postu- lando uma superálgebra de Lie de dimensão finita de simetrias infinitesimais, a qual, como vimos no exemplo anterior, é capaz de gerar uma álgebra de Lie de dimensão infinita e portanto fugir das hipótese do teorema de Coleman- Mandula.

Retornando ao contexto f́ısico sobe discussão, uma álgebra de Lie de di- mensão finita de simetrias infinitesimais, pode ser, em prinćıpio, exponenci- ada a uma representação unitária do grupo de Lie correspondente, formando assim um grupo de simetrias unitárias. Se porém temos uma superálgebra de Lie de simetrias infinitesimais, uma exponenciação, tal qual, em prinćıpio nos levaria a elementos de um problemático grupo de Lie de dimensão infinita. Seria genial se tivermos um processo análogo ao exponenciação que resultaria num objeto que codificaria o suposto grupo de Lie de dimensão infinita da maneira parecida com a codificação de álgebras de Lie de dimensão infinita por superálgebras de Lie de dimensão finita. Isto nos leva ao assunto de supergrupos .

Um espaço vetorial Z2-graduado é um espaço vetorial V junto com uma decomposição numa soma direta de dois subespaços V = V0⊕V1. A álgebra End(V) tem agora uma Z2-graduação natural. Temos L ∈ Endi(V) se

8

L(Vj) ⊂ Vi+j . Em termos de matrizes em blocos temos

L =

(

L00 L01 L10 L11

)

=

(

L00 0 0 L11

)

(

0 L01 L10 0

)

(7)

onde o primeiro somando é a parte bosônica e o segundo a fermiônica. Um dos subespaços Vi é usualmente considerado como bosônico e o outro

como fermiônico, embora a definição não distinga entre os dois. A Z2- graduação de End(V) não depende de qual dos subespaços é identificado como bosônico. Uma tal identificação, quando é feita, tem que ser baseada em considerações adicionais.

Seja A uma superálgebra de Lie e V um espaço vetorial Z2-graduado. Por uma representação de A em V entendemos uma representação em End(V) como definido anteriormente.

Sejam A uma superálgebra de Lie, B uma superálgebra associativa de dimensão finita, e λ : A → B uma representação. Temos os exponenciais exp(λ(a)) ∈ B, mas em geral não podemos compô-los: exp(λ(a)) exp(λ(b)) em general não é da forma exp(λ(c)) para algum c ∈ A, nem para o caso de a e b serem restritos a uma vizinhança suficientemente pequena de zero, como seria o caso de álgebras de Lie usuais.

Para apreciar este fato considere a formula de Baker-Campbell-Hausdorff:

exp(A) exp(B) = exp(C) = exp

(

∞ ∑

n=1

1

n! Cn

)

(8)

onde cada Cn é uma combinação linear de comutadores aninhados n−1-vezes de A e B. Temos até ordem três:

C = A+B + 1

2 [A,B] +

1

12 [A, [A,B]] +

1

12 [B, [B,A]]) + · · ·

Esta formula obviamente é formal, mas em contextos adequados a série formal converge e C existe no mesmo sentido que A e B existem. Em particular, suponha que A =

i xiXi e B = ∑

i yiXi onde os Xi formam uma base de uma álgebra de Lie de dimensão finita. Cada Cn então é da forma Cn = ∑

i p (n) i (x, y)Xi onde os p

(n) i (x, y) são polinômios homogêneos de grau n em

xi e yi. Assim podemos escrever

exp

(

i

xiXi)

)

exp

(

i

yiXi)

)

= exp

(

i

ziXi)

)

9

onde cada zi é uma série formal de potências em x e y. Para estes suficiente próximos de zero, as séries convergem e a aplicação (x, y) 7→ z é a lei de produto, perto da unidade, de um grupo de Lie cuja álgebra de Lie é a dada. Este procedimento de criar um grupo de Lie (ou pelo menos um grupo de Lie formal [4]) não procede se os Xi formam uma base de uma superálgebra de Lie pois a formula de Baker-Campbell-Hausdorff envolve colchetes de Lie e não supercolchete. Sejam agora A uma superálgebra de Lie de tipo (n,m), A =

i xibi + ∑

j θifi, e B = ∑

i yibi + ∑

j ηifi. Uma aplicação direta da formula de Baker-Campbell-Hausdorff não nos permite escrever C =

i zibi + ∑

j ζifi, nem formalmente, se os coeficientes x, y, θ e η são números reais. Mas se assumirmos que eles também vem de uma superálgebra, isto torna-se posśıvel, pelo menos formalmente. O problema claro é que o comutador formal [θifi, θjfj] não pode ser interpretado como o [θifi, θjfj]s se os θ são reais, pois para elementos fermiônicos o supercolchete se comporta como anti-comutador . Não obstante, se os θ são elementos fermiônicos de uma superálgebra então uma tal interpretação é posśıvel.

Sejam A e B duas superálgebras. Definimos o produto tensorial Z2- graduado A⊗̂B. Como espaço vetorial, A⊗̂B é o produto tensorial A ⊗ B usual. A multiplicação, porém, é definida por

(a⊗ b)(c⊗ d) = (−1)|b||c|ac⊗ bd

A Z2-graduação é dada por (A⊗̂B)0 = (A0 ⊗ B0) ⊕ (A1 ⊗ B1) e (A⊗̂B)1 = (A1 ⊗ B0)⊕ (A1 ⊗ B0).

Suponha agora A e B associativo. Uma conta fácil demonstra

[a⊗ b, c⊗ d]s = (−1) |b||c|

(

(−1)|a||c|ca⊗ [b, d]s + [a, c]s ⊗ bd )

(9)

Consideremos agora que b e d são “elementos” com propriedades fixas a-priori e a e c como “coeficientes” cujas propriedades podemos escolher a vontade. Se estamos interessados nas propriedades dos “elementos” em relação ao supercolchete, então o lado direito tem o supercolchete conveniente [b, d]s mas também o produto incômodo bd. Porém, se assumirmos que A é supercomutativo, então [a, c]s = 0 e temos

[a⊗ b, c⊗ d]s = (−1) |b||c|ac⊗ [b, d]s (10)

Baseado nestas considerações, é de fato fácil provar que se A é uma su- perálgebra supercomutativa e L é uma superálgebra de Lie, então A⊗̂L é

10

uma superálgebra de Lie se definirmos o supercolchete por (10). Note que a subálgebra bosônica, que é uma álgebra de Lie usual, corresponde a |a| = |b| e |c| = |d|, e assim tanto a parte bosônica quanto a fermiônica de L, isto é a superálgebra de Lie inteira, é codificada na álgebra de Lie usual (A⊗̂L)0. Isto nos permite usar a formula de Baker-Campbell-Hausdorff para tratar superálgebras de Lie.

Ao introduzir superálgebras, descobrimos que para explorar as suas pro- priedades somos forçados a estender a idéia de Z2-graduação a quase todos os outros objetos matemáticos em volta. Assim entramos no mundo da “super- matemática”, com superespaços, supervariedades, etc. O prefixo “super”, que soa tão pomposo, significa simplesmente “estendido para objetos Z2- graduados”. Vem junto a idéia que os elementos “fermiônicos” de qualquer um destes objetos anticomutam, e que as noções, e definições da matemática costumeira devem ser modificados pela introdução de um sinal negativo cada vez uma permuta de dois elementos fermiônicos aparece nas formulas usuais. Assim comutador vira anticomutador para elementos fermiônicos, a identi- dade de Jacobi, vira a identidade (3) e assim em diante.

Interprete agora a soma A = ∑

i xibi + ∑

j θjfj como A = ∑

i xi ⊗ bi + ∑

j θj ⊗ fj onde os xi e θj são bases para o subespaço bosônico e fermiônico respetivamente de uma superálgebra associativa supercomutativa que deno- taremos por R[n|m].

Podemos agora interpretar A como um elemento deR[n|m]⊗̂A. Do mesmo jeito B =

i yibi+ ∑

j ηifj pode ser reescrito como B = ∑

i yi⊗bi+ ∑

j ηj⊗fj e interpretado também como elemento de R[n|m]⊗̂A. Infelizmente se pre- cisamos trabalhar com A e B ao mesmo tempo, não podemos considerar os dois como elementos de R[n|m]⊗̂A. Podemos porém considerar todos os coefi- cientes como elementos de R[2n|2m] e assim tanto A quanto B como elementos de R[2n|2m]⊗̂A.

Aplicando agora a formula de Baker-Campbell-Hausdorff ao eAeB e us- ando (10), vemos que podemos escrever eAeB = eC onde C =

i zi ⊗ bi + ∑

j ζj ⊗ fj e os coeficientes zi e ζj são séries formais de potências em xi, yi, θj e ηj. Tais séries formais podem ser um pouco simplificadas. Devido à natureza anticomutativa dos elementos fermiônicos de R[2n|2m], qualquer pro- duto destes com mais que 2m elementos é zero e qualquer outro produto é igual a um de forma θµ11 θ

µ2 2 · · · θ

µm m η

ν1 1 η

ν2 2 · · · η

νm m onde µi, νj ∈ {0, 1}. Escreva

este produto como θµην . Temos então zi = ∑

µν ziµνθ µην e ζj =

µν ζjµνθ µην

onde cada ziµν e ζjµν é uma série formal de potências agora somente nos xi e yi.

11

Neste ponto podemos adotar uma de duas atitudes. A primeira (que pode ser chamada de “h́ıbrida”) é considerar os xi e yi como variáveis reais, do mesmo jeito como acontece no caso de álgebra de Lie. Neste caso as séries for- mais convergem para |xi| e |yj| suficientemente pequenos. Temos então uma coisa parecida com uma lei de produto de um grupo de Lie local, de fato os zi00 definem precisamente uma tal lei. Isto pode ser elaborado mais para definir um supergrupo de Lie como sendo um grupo de Lie cuja álgebra de Lie é precisamente a subálgebra bosônica L0 e que possui estrutura adicional para levar em conta o subespaço fermiônico L1. A outra atitude é continuar considerando os xi e yi como elementos bosônicos de uma superálgebra super- comutativa e considerar que o processo de exponenciação gera um supergrupo de Lie formal análogo a um grupo de Lie formal.

Não vamos explorar em profundidade nenhuma destas atitudes. A h́ıbrida é que prevalece na literatura f́ısica e portanto vamos adotá-la no restante deste caṕıtulo. Apresentamos agora alguma nomenclatura e algumas con- venções da literatura f́ısica. Dado a álgebra R[n|m], o subespaço R[n|m] gerado por x1, . . . , xn e θ1, . . . , θm é conhecido como superespaço. Os xi e os θj são conhecidos como coordenadas do superespaço. Já que um elemento geral da álgebra tem a forma F =

µ fµθ µ onde os fµ são polinômios em x1, . . . , xn,

dizemos mais geralmente que F (x, θ) é uma superfunção, ou uma função no superespaço se é da forma F (x, θ) =

µ fµ(x)θ µ onde os fµ são agora sim-

plesmente funções reais de x e não mais restritos a ser polinômios. Uma superfunção então é simplesmente uma coleção de funções reais. O conjunto de superfunções obviamente formam uma nova álgebra que estende R[n|m]. A derivada parcial de F em relação a xi e definido da maneira natural

∂F

∂xi = ∑

µ

∂fµ ∂xi

θµ (11)

mas a derivada parcial em relação a θj é mais sutil. Dado uma superálgebra A dizemos que uma aplicação linear δ : A → A é uma derivação fermiônica se satisfaz a regra de leibnitz modificada δ(ab) = (δa)b+(−1)|a|a(δb). Um ex- emplo é δ(a) = [f, a]s com f fermiônico. Seja agora δj a derivação fermiônica em R[n|m] definida pelas formulas δjxi = 0, δjθj = 1, e δjθk = 0 para k 6= j, e estendida a elementos gerais pela regra de leibnitz. Defina agora

∂F

∂θj = ∑

µ

fµδjθ µ (12)

12

Assim temos, por exemplo,

∂θ1 θ1θ2 = θ2,

∂θ2 θ1θ2 = −θ1

Quanto a integração, a integral em relação a xi é a usual de Lebesgue ∫

R F (x, θ) dxi =

µ

(∫

R fµ(x) dxi

)

θµ

mas em relação a θj é definido como sendo igual à derivada em relação a mesma variável.

F (x, θ) dθj = ∂

∂θj F (x, θ)

Em particular temos para uma variável fermiônica θ, ∫

θ dθ = 1, ∫

dθ = 0

Esta regra, em analogia com a integral de Lebesgue, é adotada para fazer a integral invariante em relação a translação por qualquer elemento fermiônico η que anticomuta com todos os θk.

F (x, . . . , θj + η, . . .) dθj = ∫

F (x, . . . , θj, . . .) dθj

Apesar da estranheza da integral ser igual a derivada, este é o análogo correto para a integral em relação a uma variável fermiônica.

Com isto a integral de F (x, θ) sobre o superespaço fica bem definido ∫

· · · ∫

F (x, θ) dx1dx2 · · · dxndθ1dθ2 · · · dθm = ∫

· · · ∫

f1···1(x) dx1dx2 · · · dxn

onde f1···1 é o coeficiente de θ1θ2 · · · θm em F . Finalmente é necessário interpretar o que significaria a “composição”

F (X1(x, θ), . . . , Xn(x, θ),Θ1(x, θ), . . . ,Θm(x, θ)) onde os Xi e Θj são também superfunções. Se F (x, θ) =

µ fµθ µ então pelo menos Θµ11 · · ·Θ

µm m é bem

definida sendo simplesmente o produto destas superfunções. Precisamos então interpretar fµ(X1(x, θ), . . . , Xn(x, θ)). Temos Xi(x, θ) = ξi(x)+ζi(x, θ) onde ξi é o coeficiente da unidade e ζi é nilpotente, ζ

m i = 0. Formalmente,

a expansão na série de Taylor em torno de (ξ1, . . . , ξn) só tem um número finito de termos, e portanto definimos para uma função f(x) de classe Cm

f(X(x, θ)) = ∑

α

∂α1+···+αnf

∂xα11 · · · ∂x αn n

(ξ(x))(ζ1) α1 · · · (ζn)

αn (13)

13

onde a soma é sobre os multi-́ındices α = (α1, . . . , αn) com α1+ · · ·+αn ≤ m. Passamos agora a considerar certos exemplos simples. Seja L de tipo

(1, 1). Suponha que o único supercolchete não zero entre os geradores seja [f, f ]s = 2b. Agora é fácil calcular pela formula de Baker-Campbell-Hausdorff que

exp(xb+ θf) exp(yb+ ηf1) = exp((x+ y − θη)b+ (θ + η)f) (14)

É fácil encarar isto ingenuamente como definindo um “produto de grupo”

(x, θ) · (y, η) = (x+ y − θη, θ + η) (15)

Vamos denotar este supergrupo por G. Servirá como exemplo para o resto deste caṕıtulo.

O produto ingênuo (15) deixa muito a desejar. A medida que “multipli- camos” cada vez mais elementos, precisamos de introduzir uma superálgebra R[k|k] cada vez maior para expressar um número cada vez maior de “valores de parâmetros”. Em geral, nenhum número finito de variáveis pode dar conta da estrutura algébrica de um supergrupo nesta visão ingênua, pois, como já vimos, a álgebra de Lie em U(L) gerado por L tem dimensão infinita em gen- eral, e assim, qualquer “produto de grupo” de dimensão finito é incapaz de capturar o conteúdo matemático de um supergrupo. Mesmo interpretando x e y como números reais não ajuda pois as variáveis fermiônicas não podem ser interpretados desta maneira e assim somas como x + y − θη não teriam nenhuma interpretação clara.

A literatura f́ısica de modo geral simplesmente ignora estes fatos, pois as regras de fazer cálculos com superalgebras são de qualquer maneira bastante claras e eficazes. Uma abordagem um pouco mais sistemática é apresentada em [5] onde, em primeiro lugar, introduz-se um estoque infinito de variáveis fermiônicas ζ1, ζ2, . . . e, em segundo lugar, a noção de número complexo é estendida a tais chamados supernúmeros que são somas z = zb + zs onde zb ∈ C e za é uma série formal com coeficientes complexas de produtos finitos dos ζi. Num gesto poético, zb é chamado o “corpo” de z e za a “alma”. Embora isto produza um cálculo formal bem definido, deixa muito a desejar quanto a matemática.

Felizmente todas as dificuldades podem ser facilmente resolvidos se inter- pretamos supegrupos em termos de álgebras de Hopf. Deste ponto de vista se grupos clássicos são álgebras de Hopf comutativas, então supergrupos são superálgebras de Hopf supercomutativas. A álgebra universal envolvente de

14

uma álgebra de Lie é, de uma forma natural, uma álgebra de Hopf coco- mutativa no qual o processo de exponenciação para o grupo de Lie formal correspondente é simplesmente a passagem para o dual, que é uma álgebra de Hopf comutativa. O caso de superálgebras de Lie está em perfeita analogia com isto. Não vamos porém desenvolver aqui esta teoria. Veja [6] para um tratamento da “supermatemática” em termos de superálgebras de Hopf.

Agora que chegamos a um entendimento elementar de supergrupo, esta- mos pronto a abordar o conceito de supersimetria. Primeiro devemos procu- rar o que seria uma ação de um supergrupo. Adotando a idéia de que todos os objetos devem ser entendidos como “superobjetos”, isto é, a abordagem inteira deve ser em termos de Z2-graduação, o objeto mais simples sobre o qual um supergrupo poderia agir, parece ser o superespaço R[n|m]. Na lit- eratura f́ısica o superespaço é descrito como um “espaço no qual, além de um conjunto de coordenadas comutativas usuais x1, . . . , xn, há também um conjunto de coordenadas anti-comutativas θ1, . . . , θm”. Nas teorias f́ısicas os x1, . . . , xn são considerados coordenadas de um ponto no espaço-tempo e por- tanto o superespaço é visto como uma extensão do espaço tempo. Não vamos tentar aqui dar qualquer sentido a esta idéia além de puramente metafórico ou formal, apesar de que a idéia possa ser levado mais a sério. Os superespaços são entre os exemplos mais simples de “geometrias não comutativas”, mas por serem supercomutativas ainda devem ser considerados “clássicas”.

Vamos abordar aqui uma versão ingênua de ação. Já que os nossos su- pergrupos são “exponenciações” de superálgebras de Lie, é natural tentar definir uma ação de um supergrupo “exponenciando” uma representação de uma superálgebras de Lie L de tipo (n,m). Sejam V um espaço vetorial Z2-graduado e ·̂ : L → End(V) um homomorfismo de superálgebras. Ingenu- amente a “ação” de um “elemento” exp(t1b1 + · · · tnbn + θ1f1 + · · · θmfm) do supergrupo sobre um elemento v ∈ V seria dado por exp(t1b̂1 + · · ·+ tnb̂n + θ1f̂1 + · · ·+ θmf̂m)v. Como antes, adotando a atitude h́ıbrida podemos con- siderar os ti como números reais, mas os θi devem ser considerados objetos externos.

Vamos agora construir um ação do nosso supergrupo G. Sendo que b comuta com tudo, temos que exp(tb̂ + θf̂) = exp(tb̂) exp(θf̂). Dado que (θf)2 = 0, o segundo fator é formalmente igual a I + θf̂ . Assim

exp(tb̂+ θf̂) = exp(tb)(I + θf̂)

É fácil achar todas as representações do nosso L num espaço V qualquer. Uma conta fácil mostra que em relação à decomposição V = V0 ⊕ V1 as

15

condições [b̂, f̂ ] = 0 e {f̂ , f̂} = 2b̂ impõem as seguintes formas:

b̂ =

(

uv 0 0 vu

)

, f̂ =

(

0 u v 0

)

(16)

onde u e v são aplicações lineares quaisquer. Em R[1|1] portanto temos

exp(tb̂+ θf̂) : (x, α) 7→ etuv(x+ uθα, α + vθx) (17)

Note que do lado direito temos elementos que não mais pertencem ao su- perespaço original R[1|1] devido a presença de θ. A presença destes elementos externos usualmente causa uma certa confusão aos iniciantes, pois assim é dif́ıcil explicar como é que o que acabamos de definir possa ser “ação sobre R

[1|1]”. Este problema é contornado pelo uso de álgebras de Hopf. Representações em R[2|2] são mais interessantes. Um caso particularmente

instrutivo é dado por

b̂ : (x, y, α, β) 7→ (−y, x,−β, α) (18)

f̂ : (x, y, α, β) 7→ (α, β,−y, x) (19)

Temos como antes exp(tb̂+θf̂) = exp(tb̂)(I+θf̂). Ora, exp(tb̂) é uma rotação no plano x-y simultaneamente com uma no plano α-β. O mais interessante é o “isomorfismo” (I + θf̂) que é dado por

(x, y, α, β) 7→ (x+ θα, y + θβ, α− θy, β + θx) (20)

Considere a expressão x2 + y2 + 2αβ (21)

e faça nele as substituições indicadas em (20). Temos

(x+ θα)2 + (y + θβ)2 + 2(α− θy)(β + θx)

que após um pequeno cálculo volta ao x2 + y2 + 2αβ. Assim apesar da presença do elemento externo θ no “isomorfismo” acima, este desaparece e a expressão x2 + y2 + 2αβ e invariante pela substituição indicada. Assim, além dos isomorfismos usuais da álgebra R[2|2] que deixam a expressão invari- ante, esta tem simetrias adicionais por ação de supergrupos. O supergrupo que deixa a expressão (21) invariante é conhecido como OSp(2, 2), uma ex- tensão do grupo O(2)× Sp(2), combinando assim as estruturas ortogonais e

16

simpléticas. Vemos que aqui retornamos ao ponto de partida de invariância por substituição. Não precisamos saber o que x, y, α, β, e θ são, somente quais são as regras leǵıtimas de reescrita.

Para apreciar como a f́ısica constrói teorias supersimétricas de campos quânticos, é preciso elaborar um pouco mais ainda as nossa construções. As teorias f́ısica são quase exclusivamente lagrangianas. Isto quer dizer que são determinados por um funcional dos campos. Para simplicidade suponha que φ(x) é um campo escalar e x ∈ R4 é um ponto do espaço-tempo com x4 sendo o tempo. Seja φi(x) a derivada parcial de φ em relação a xi. Uma função de φ(x) e das suas derivadas, L(φ(x), φ1(x), φ2(x), φ4(x), φ4(x)), onde L(v0, v1, v2, v3, v4) é uma função em R

5, chama-se uma lagrangiana de φ. A integral S(φ) =

R 4 L(φ(x), φi(x))dx chama-se o funcional ação de φ (não

confunda este uso da palavra “ação” com ação de grupo e outros conceitos semelhantes). Um campo φ é um ponto cŕıtico deste funcional (no sentido de cálculo de variações) se e somente se satisfaz a equação de Euler-Lagrange:

∂L

∂v0 (φ(x), φi(x))−

4 ∑

i=1

∂xi

∂L

∂vi (φ(x), φi(x)) = 0

que é a equação dinâmica do campo f́ısico. Uma teoria quântica parte da mesma lagrangiana mas, em vez de focalizar a equação de Euler-Lagrange, segue um processo de quantização que define a teoria espećıfica. Não vamos aqui discutir este processo. Obviamente podemos generalizar estas idéias para vários campos de natureza variada (escalar, vetorial, etc.), equivalente a introduzir campos com vários componentes. Um exemplo de lagrangiana é φ21 + φ

2 2 + φ

2 3 − φ

2 4 cuja equação de Euler-Lagrange é a equação de onda

3 ∑

i=1

∂2φ

∂x2i − ∂2φ

∂x24 = 0

Considere agora uma ação φ 7→ g · φ de um grupo de Lie G sobre os campos. Dizemos que a teoria lagrangiana é simétrica por ação de G se o conjunto de soluções das equações de Euler-Lagrange é invariante. Em deter- minadas condições, para criar uma teoria simétrica, é suficiente que a ação S(φ) seja invariante, isto é S(g · φ) = S(φ). É portanto importante poder achar integrais de funções de campos e suas derivadas que são invariantes por ação de grupos de Lie. Este é um assunto próprio já suficientemente sofisti- cado que não podemos abordar aqui. Apresentamos somente um exemplo simples. Seja A =

∑3 i=1Ai dxi uma 1-forma em R

3 e seja G o grupo SO(3)

17

de rotações que age sobre A de modo usual de mudança de coordenadas, a saber, se R ∈ SO(3) então (R · A)(Rx) = A(x). Em termos de componentes (A1, A2, A3) temos então (R · A)i(x) =

j RijAj(R −1x). Usando o produto

interno usual em R3 como métrica Riemanniana, fica óbvio que a integral de ||A||2 e ||dA||2 são invariantes por esta ação e que a integral de A21 não o é. No caso particular de A = dφ, temos a lagrangiana ||dφ||2 com a equação de Euler-Lagrange sendo ∆φ = 0.

Teorias supersimétricas são aqueles cujo funcional S é invariante sob ação de supergrupos. Os campos agora são funções definidos não no espaço-tempo mas no superespaço que estende espaço-tempo. Aparece porém mais uma consideração que também vem da f́ısica quântica. Como já falamos, existem dois tipos de campos quânticos fundamentais, os bosônicos e os fermiônicos. O valor do campo no superespaço portanto também deve pertencer a um superespaço, isto é, poderia ter componentes bosônicos e fermiônicos.

Retornamos ao nosso simples exemplo em R[1|1]. Por uma função neste superespaço Λ(x, α) nós já entendemos uma expressão f(x) + g(x)α onde f e g são funções reais. Agora devemos considerar que f(x) = F (x) + φ(x) e g(x) = G(x) + ψ(x) onde φ(x) e ψ(x) são fermiônicos. Com isto, e com a idéia que estamos ainda lidando com a situação clássica, e tomando a atitude h́ıbrida, podemos considerar que F e G são funções reais mas que φ(x) e ψ(x) pertencem a uma superalgebra supercomutativa sem que haja qualquer relação entre estes elementos alem de anticomutatividade. Ou seja, estamos contemplando uma superálgebra supercomutativa com um número não enumerável de geradores fermiônicos, a saber, alem do α ∈ R[1|1] todos os φ(x) e ψ(x) para x ∈ R. A literatura f́ısica diz que ψ e φ são campos com “valores grassmanianos”. Como base de regras formais de reescrita isto não deve causar nenhuma objeção, mas a interpretação destes objetos dentro de construções matemáticas mais estruturadas ainda é um ponto polêmico [7].

O nosso supergrupo G age sobre (x, α) pela regra (17), mas devemos também considerar que possa agir sobre os “componentes” (F,G, φ, ψ) em cada ponto como acontece com a ação de SO(3) sobre os componentes de uma 1-forma, como discutido acima. Assim por exemplo a ação Λ 7→ Λ̃ do “elemento” I + θf de G, seria dado por

Λ̃(x, α) = F̃ (x+ uθα) + φ̃(x+ uθα)+

(G̃(x+ uθα) + ψ̃(x+ uθα))(α + vθx)

onde (F,G, φ, ψ) 7→ (F̃ , G̃, φ̃, ψ̃) é a ação de I + θf sobre os componentes de Λ. Temos também F̃ (x+uθα) = F̃ (x)+uF̃ ′(x)θα conforme (13), e o mesmo

18

para os outros componentes. Este exemplo não é muito natural. Um melhor, ainda sob a ação de G, é de campos definidos no superespaço R[2|2]. Uma superfunção bosônica Λ(x, y, α, β) tem a forma F + φα+ ψβ +Gαβ onde F e G são bosônicos e φ e ψ fermiônicos. Suponha que o nosso supergrupo aja sobre R[2|2] da forma previamente definida, e que sobre Λ aja trivialmente, isto é Λ é um supercampo “escalar”. Considere agora o “superdiferencial”

dΛ = ∂Λ

∂x dx+

∂Λ

∂y dy +

∂Λ

∂α dα +

∂Λ

∂β dβ

Não é preciso elaborar aqui o sentido exato de dα e dβ, considere que são ainda mais alguns elementos formais. A ação de G sobre os componentes da superdiferencial é igual à sua ação sobre o superespaço com parâmetros (−t,−θ), isto é, com sinais trocados, em perfeita analogia com o caso de rotação de uma 1-forma em R3. Portanto o produto interno < dΛ, dΛ > onde a métrica é dada por (21) é de novo um supercampo escalar. A “medida” dxdydαdβ é invariante sob a ação de G. Em primeiro lugar, é invariante pela ação da rotação exp(tb̂), pois dxdy é invariante por rotação no plano x-y, e αβ é invariante por rotação no plano α-β como já vimos. A “matriz Jacobiana” da transformação I + θf̂ é formalmente

1 0 θ 0 0 1 0 θ 0 −θ 1 0 θ 0 0 1

cujo determinante formalmente é 1. Assim a integral ∫ ∫ ∫ ∫

< dΛ, dΛ > dxdydαdβ

é invariante pela ação do supergrupo. Este integral se reduz a

2 ∫ ∫

(∇F · ∇G+∇φ · ∇ψ +G2) dxdy

onde ∇ é o gradiente comum em relação a (x, y). A este ponto podemos esquecer os passos que levaram a esta integral e

simplesmente considerar ele como o funcional de um problema de cálculo de variação clássico cujas equações de Euler- Lagrange são

∆F = 2G, ∆G = 0 (22)

∆φ = 0, ∆ψ = 0 (23)

19

Toda a máquina de supersimetria desapareceu neste ponto e podemos encarar a supersimetria como simplesmente uma maneira de construir la- grangianas. As propriedade marcantes de sistemas f́ısicos supersimétricos somente aparecem na teoria quântica, portanto equações acima são muito sem graça. O exemplo também é muito simplificado. O que é extraordinário é que os sistemas assim constrúıdos por meio de supersimetria que estendem a simetria clássica do espaço tempo não só constituem candidatos muito atraentes para teorias f́ısicas básicas, mas também tem fornecido instrumen- tos para novas descobertas na matemática pura como invariantes de nós, tranças e variedades de dimensão três e quatro.

Podemos agora, pelo menos em palavras, resumir o que são as teorias f́ısicas supersimétricas. São sistemas lagrangianos de campos f́ısicos que po- dem ser descritos da seguinte maneira:

• Há um superespaço que estende o espaço-tempo.

• Há uma superálgebra de Lie, agindo sobre o superespaço, e que estende a álgebra de Lie das simetrias clássicas do espaço-tempo

• Há um conjunto de campos, bosônicos e fermiônicos, definidos no su- perespaço, que carrega uma representação da superálgebra.

• Há uma lagrangiana que é invariante pela ação do supergrupo que corresponde à superálgebra.

No final, como no exemplo anterior, podemos encarar estas teorias como sim- plesmente teorias lagrangianas comuns para um certo conjunto de campos, mas a supersimetria escolha certas lagrangianas muito particulares que tem propriedades muito especiais.

Uma lagrangiana é supersimétrica se é invariante por um conjunto de regras de reescrita. Embora o funcional ação de um conjunto de campos seja escrito como

L dx1 · · · dxndθ1 · · · dθm, para saber se isto é supersimétrico ou não, não é necessário interpretar nem os campos, nem as coordenadas no superespaço, nem a integral. Não é necessário saber o que são estas coisas. Temos simplesmente uma expressão, mais sofisticada que o nosso xy no ińıcio, é verdade, mas nada essencialmente diferente. A expressão é invariante por um conjunto de regras de reescrita que são ditadas por uma superálgebra de Lie. Eis a supersimetria neste ńıvel. Uma vez a teoria é quantizada, a superalgebra de Lie que deu lugar ao conjunto de regras de reescrita agora

20

se incorpora numa superálgebra de Lie de simetrias infinitesimais, e esta superálgebra de operadores traz conseqüências extraordinárias para a teoria quantizada. Isto não é mais formal mas concreto. Nisto temos o próprio milagre de supersimetria e a sua beleza tão admirada pelos f́ısicos.

Referências

[1] Frank Wiczek “The Future of Particle Physics as a Natural Science” International Journal of Modern Physics A, 13 863 (1998) e hep- ph/9702371

[2] Martin F. Sohnius “Introducing Supersymmetry” Physics Reports , 128, Nos 2 & 3, pp. 39–204, (1985)

[3] S. Coleman e J. Mandula Physical Review 159, 1251 (1967)

[4] S. Bochner “Formal Lie Groups”, Annals of Mathematics 47 192 (1946)

[5] Bryce DeWitt “Supermanifolds”, Cambridge University Press, Cam- bridge, 1984

[6] Bertram Konstant “Graded Manifolds, Graded Lie Theory, and Pre- quantization” Lecture Notes in Mathematics 570, 177, Springer Verlag (1977)

[7] T. Schmitt, “Supergeometry and Quantum Field Theory, or: What is a Classical Configuration?” Review of Mathematical Physics 9 993 (1997) e hep-th/9607132

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