termodinamica, Notas de estudo de Engenharia Mecânica
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| Temperatura e | Dilatação 14-1 Conceito de Temperatura No estudo de sistemas mecânicos, até o momento, eram necessárias apenas três grandezas fundamentais (no sentido da Seç. 1-1): comprimento, tempo e massa, pois todas as outras grandezas mecânicas, como força, energia e momento, são expressas em termos dessas três. Agora será considerada uma classe de fenômenos, chamados fenômenos térmicos ou de calor, que requer uma quarta grandeza fundamental: a temperatura. Desde a infância, experimentam-se sensações de quente e frio, que são descritas em termos de adjetivos como frio, quente, tépido, morno etc. Quando se toca num objeto, usa-se a própria sensação de temperatura para atribuir ao objeto uma propriedade chamada temperatura, que determina se é quente ou frio. Quanto mais quente se sente, mais alta é a temperatura. Para determinar-se quantitativamente a temperatura de um objeto, deve-se, primeiro, chegar ao conceito por meio de operações independentes de nossas percepções sensoriais de calor ou frio e que envolvem quantidades mensuráveis. Os próximos parágrafos descrevem como isso é feito. Há certos sistemas simples cujos estados podem ser especificados medindo-se uma grandeza física. Considere, por exemplo, um líquido como mercúrio ou álcool, dentro de um bulbo de paredes muito finas, que se comunica com um tubo capilar, Fig. 14-1a. O estado do sistema é especificado pelo comprimento L da coluna líquida, a partir de um ponto arbitrário. Outro sistema simples é o mostrado na Fig. 14-1b, que representa um vaso de paredes finas contendo gás, cujo volume mantém-se constante. A pressão p é medida pela leitura de qualquer termômetro conveniente. O terceiro exemplo é a resistência elétrica de um fio, que Gása volume Parede espessa constante de vidro L Capilar de volume pequeno Nível »- Parede fina de vidro zero Bulbo de volume o) grande Fig. 14-1 (a) Sistema, cujo estado é especificado pelo valor de L. (b) Sistema cujo estado é dado pelo valor de p. Es fundamentais como força, de fenômenos, tura. de adjetivos de temperatura ou frio. Quanto ra de um percepções ne como grandeza física. ades muito finas, mprimento L da Fe 14-1b, que essão p é medida = de um fio, que TEMPERATURA E DILATAÇÃO — 333 também varie com o frio ou o calor. Em cada um desses exemplos, a quantidade que descreve o estado de variação do sistema, seja o comprimento L, a pressão p ou a resistência R, chama-se coordenada de estado do sistema. Represente por 4 o líquido no tubo capilar, com coordenada de estado L e, por B, o gás a volume constante, com coordenada de estado p. Se 4 e B são postos em contato, suas coordenadas de estado mudam, em geral. Quando separados, entretanto, a mudança é mais lenta; se paredes grossas de materiais, como madeira, gesso, feltro, asbesto etc., separam 4 e B, os valores das respectivas coordenadas de estado L e p tomam-se praticamente independentes um do outro. Generalizando essas observações, postula-se a existência de uma partição ideal chamada parede adiabática que, quando usada para separar dois sistemas, permite suas coordenadas de estado variarem extensivamente, de maneira independente. É uma idealização que não pode ser realizada perfeitamente, embora se consiga uma boa aproximação. Ela é representada por uma larga faixa hachurada, como mostra a Fig. 142a. Parede Parede adiabática diatérmica (a) (b) Fig. 14-2 O sistema 4 é uma coluna líquida e o Sistema B, um gás a volume cons- tante, separados (a) por uma parede adiabática, sendo p e L independentes e (b) por uma parede diatérmica, sendo p e L dependentes. 5 Quando os sltémas A e B são postos em contato real ou são separados por uma fina partição metálica, suas coordenadas de estado podem ou não variar. Uma parede que permite a coordenada de estado de um sistema influenciar a de outro chama-se parede diatérmica. Uma folha fina de cobre é a parede diatérmica mais prática. Como mostra a Fig. 14-2b, uma parede diatérmica é representada por uma faixa fina e preta. Chega-se a um instante, eventualmente, em que as coordenadas de A e B não mais variam. O estado conjunto de ambos os sistemas, que existe quando cessam todas as mudanças nas coordenadas, chama-se equilíbrio térmico. Imagine dois sistemas 4 e B separados por uma parede adiabática, mas ambos em contato com um terceiro C por meio de paredes diatérmicas. Se o conjunto inteiro estiver envolvido por uma parede adiabá- tica, Fig. 14-3, a experiência mostra que os dois sistemas alcançarão equilíbrio térmico com o terceiro e que não haverá mais nenhuma mudança se à parede adiabática que os separa for substituída por uma parede diatérmica, Fig. 14-3b. Se, em lugar de permitir que os sistemas 4 e B cheguem ao mesmo tempo, ao equilí- brio com C, primeiro haverá o equilíbrio entre 4 e Ce, depois, entre B e C (o estado de € sendo o mesmo em ambos os casos), então, quando A e B forem postos em comunicação através de uma parede diatérmica, verifica-se que estarão em equilíbrio térmico. Usa-se a expressão “dois sistemas estão em equilíbrio térmico” para exprimir que os dois sistemas estão em estados tais que, se fossem ligados por uma parede diatérmica, o sistema combinado estaria em equilíbrio térmico. 334 — MECÂNICA DOS FLUIDOS * CALOR * MOVIMENTO ONDULATÓRIO Fig. 14-3 A lei zero da Termodinâmica. (a) Se À e B estiverem cada uma em equilíbrio térmico com C, então, (b)4 e B estarão em equilíbrio térmico entre si. Esses fatos experimentais podem então ser concisamente descritos da seguinte forma: dois sistemas em equilíbrio térmico com um terceiro também o estarão entre si. Este postulado é chamado Lei zero da Termo- dinâmica. À primeira vista parece que essa lei é óbvia, mas deve ser verificada experimentalmente. Pode-se perguntar “o que haverá em 4 e B que determina se estão ou não em equilíbrio térmico”? A temperatura de um sistema é a propriedade que determina se ele estará ou não em equilíbrio térmico com outros sistemas. Quando dois ou mais sistemas estão em equilíbrio térmico, diz-se que têm a mesma tempe- ratura. A temperatura de todos os sistemas em equilíbrio térmico pode ser representada por um número. Esta- belecer uma escala de temperatura é simplesmente adotar um conjunto de regras para atribuir números à temperaturas. Feito isso, a condição para equilíbrio térmico entre dois sistemas é que tenham a mesma temperatura. Além disso, quando as temperaturas são diferentes, pode-se estar certo de que os sistemas não estão em equilíbrio térmico. 14-2 Termômetros Para definir-se uma escala de temperatura, O procedimento mais simples é escolher um sistema, por exemplo, um dos descritos acima, e associar arbitrariamente um valor numérico de temperatura à cada valor da coordenada de estado do sistema. Isto define quantitativamente a temperatura deste sistema e a de todos os sistemas em equilíbrio térmico com ele. Embora o sistema mostrado na Fig. 14-1a seja um dos mais antigos termômetros, muitos outros siste- mas são usados atualmente. As características importantes de um termômetro são sensibilidade (mudança apreciável da coordenada de estado produzida por uma pequena mudança de temperatura), precisão na medida da coordenada de estado e reprodutibilidade. Outra propriedade frequentemente desejada é a veloci- dade com que chega ao equilíbrio térmico com outros sistemas. Os termômetros que melhor satisfazem essas condições serão descritos adiante. Um termômetro largamente empregado em pesquisa ou em laboratórios de Engenharia é o termelétrico (ou temopar), que se utiliza do fato de que junções de metais ou de ligas metálicas diferentes num circuito elétrico dá origem a uma força eletromotriz ou “voltagem”, se eles estiverem em temperaturas diferentes. Na Fig. 144,4 junção de teste é colocada em contato com O sistema cuja temperatura se deseja medir e as duas junções de referência são mantidas à temperatura constante de referência, neste caso à temperatura do gelo fundente. Frequentemente insere-se a junção de teste dentro do material cuja temperatura se quer medir. Desde que essa junção seja pequena é tenha uma pequena massa, ela poderá seguir rapidamente as variações de temperatura € chegar logo ao equilíbrio. O termômetro de resistência consiste num fio fino, geralmente encerrado em um tubo de prata de paredes finas, para proteção. Fios de cobre ligam o termômetro a um dispositivo que mede a resistência. Como a resistência pode ser medida com grande precisão, O termômetro de resistência é um dos instrumentos mais precisc de carbono: Para r num telescé L. Quando lâmpada co Girando-se luminosidac conhecidas, cida. Como ser utilizado De t tricas, à pi -medida e Fig. 146. natureza de O gá metro de 1 para baixo meio do tt rência E. M Tem universidac ; Termodinâmica. (a) a uma em equilíbrio (DA e B estarão em Es dois sistemas em Lei zero da Termo- mente. fíbrio térmico”? 4 brio térmico com im a mesma tempe- ; um número. Esta- atribuir números a tenham à mesma que os sistemas não er um sistema, por eratura a cada valor istema e a de todos muitos outros siste- bilidade (mudança atura), precisão na desejada é a veloci- hor satisfazem essas ria é o termelétrico rentes num circuito turas diferentes. Na seja medir e as duas temperatura do gelo tura se quer medir. amente as variações m tubo de prata de mede a resistência. im dos instrumentos TEMPERATURA E DILATAÇÃO — 335 Fio de cobre [Ss Junção de referência Para o potenciômetro Fig. 14-4 Termopar, mostrando a junção de Fio de cobre teste e a junção de referência. mais precisos para medir temperatura. Para temperaturas extremamente baixas, usa-se um pequeno cilindro de carbono ou um pequeno cristal de germânio, em vez da resistência de fio. Para medir temperaturas mais elevadas, há o pirômetro óptico (Fig. 14-5), que consiste essencialmente num telescópio, 7, no tubo do qual monta-se um filtro F de vidro vermelho e uma pequena lâmpada elétrica, L. Quando o pirômetro é dirigido para uma fornalha observa-se, através do telescópio, o filamento escuro da lâmpada contra o fundo brilhante da fornalha. O filamento é ligado a uma bateria B e a um reostato R. Girando-se o dial do reostato, aumenta-se gradualmente a corrente no filamento e, consegiientemente, sua luminosidade, até que esta se iguala à do fundo. Com uma prévia calibração do instrumento, a temperaturas conhecidas, pode-se fazer a escala do amperímetro 4, no circuito, ler diretamente a temperatura desconhe- cida. Como nenhuma parte do instrumento entra em contato com o corpo quente, o pirômetro óptico pode ser utilizado em temperaturas acima dos pontos de fusão dos metais. Fig. 14-5 Príncípio do pirômetro óptico., De todas as coordenadas de estado ou, como frequentemente são chamadas, propriedades termomêé- ricas, a pressão de um gás cujo volume é mantido constante salienta-se Por sua sensibilidade, precisão de medida e reprodutibilidade. O termômetro a gás a volume constante é ilustrado esquematicamente na Fig. 14-6. Os materiais, construção e dimensões diferem de laboratório para laboratório, dependendo da natureza do gás e da variação de temperatura a ser coberta. O gás, usualmente hélio, é contido no bulbo Ce a pressão exercida por ele pode ser medida pelo manô- metro de mercúrio de tubo aberto. O gás expande-se quando sua temperatura aumenta, forçando o mercúrio para baixo, no tubo B, e para cima, no tubo 4. À e B comunicam-se com um reservatório R de mercúrio, por meio do tubo de borracha D. Levantando-se R, o nível de mercúrio em B pode ser levado à marca-de refe- rência E. Mantém-se, assim, o gás em volume constante. Termômetros a gás são usados principalm: ente como padrões e em alguns laboratórios de pesquisa em universidades. São, em geral, grandes e lentos. 336 — MECÂNICA DOS FLUIDOS + CALOR - MOVIMENTO ONDULATÓRIO Fig. 14-6 Termômetro a gás a volume constante. 14-3 Escala de Temperatura Qualquer dos termômetros descritos acima pode ser usado para indicar a constância de uma tem- peratura, se sua coordenada de estado ou propriedade termométrica permanecer constante. Desta ma- neira, verificou-se que um sistema composto por um sólido e um líquido de mesma substância, mantidos a pressão constante, permanecerão em equilíbrio de fase (isto é, o líquido e o sólido coexistem, sem o líquido mudar em sólido, ou vice-versa), apenas a uma temperatura definida. Analogamente, um líquido só permane- cerá em equilíbrio de fase com seu vapor numa temperatura definida, quando a pressão for mantida cons- tante. A temperatura em que um sólido e um líquido de mesma substância coexistem em equilíbrio de fase a pressão atmosférica é chamada ponto normal de fusão . Analogamente, para líquido e vapor, é chamada ponto normal de ebulição. Obtém-se, algumas vezes, o equilíbrio de fase entre um sólido e seu vapor a pressão atmosférica. A temperatura em que esse processo ocorre chama-se ponto normal de sublimação . É possível que as três fases — sólida, líquida e vapor — coexistam em equilíbrio, mas apenas em pressão e temperatura definidas. Essa temperatura é conhecida como ponto tríplice. O ponto tríplice da água ocorre a 4,58 mm de mercúrio e a 0,01ºC. Qualquer destas condições de equilíbrio de fase de um material pode ser escolhida como padrão de referência para o estabelecimento de uma escala de temperatura. Qualquer tempe- ratura assim escolhida chama-se ponto fixo. O ponto fixo padrão usado em termometria moderna é o ponto tríplice da água, ao qual foi atribuído o número arbitrário* 273;16K, que é lido “273,16 kelvins”. O ponto tríplice será discutido com maiores detalhes na Seç. 17-6. Para ilustrar o processo de estabelecimento de uma escala de temperatura, considere o termômetro a gás, a-volume constante, para o qual a propriedade termométrica é a pressão p do gás. Define-se a razão entre duas temperaturas como a razão entre os dois valores correspondentes de p. Assim, se um termômetro a gás for colocado em equilíbrio térmico com um certo sistema e registra o valor p e, em seguida, em equilíbrio * Extrapolando, para temperaturas menores, usando as fórmulas da Lei dos Gases, o “zero absoluto” foi determinado como a temperatura de —273,15ºC. Como um grau na escala Kelvin corresponde a uma variação de temperatura de um grau na escala Celsius, o ponto tríplo na escala Kelvin vale 273,16 K. em pressão da água ocorre ial pode ser termômetro a a razão entre tro a gás em equilíbrio E |” foi determinado atra de um grau es TEMPERATURA E DILATAÇÃO — 337 térmico com outro sistema, registrando o valor po, a razão entre as dyas temperaturas Te To, respectiva- mente, será (14-1) Escolhendo-se po como a pressão no ponto fixo padrão, o ponto tríplice da água, então, por definição, To = 273,16 K. Então, a temperatura T, correspondente a qualquer outra pressão p, será T = (27316k) LP. (14:2) Po Exemplo. Suponha que um termômetro a gás registre a pressão de 1,50 X 10º Pa, no ponto tríplice da água, e a pressão de 2,05 X 10º Pa, no ponto normal de ebulição da água. Qual a temperatura do ponto normal de ebulição da água? Solução. Da Eq. 14-2, 2,05 X 10º Pa 150 x 10%Pa — 27K Tp = (273,16kK) O problema remanescente em medidas de temperatura é que nem sempre há coincidência entre a temperatura quando medida por termômetros diferentes. A coincidência maior é encontrada nos termôme- tros a gás. Embora sempre exista alguma variação na temperatura indicada pela pressão do gás, encontra-se, no limite de pressões muito baixas, que todos os termômetros a gás tendem para a mesma leitura, indepen- dentemente da natureza do gás. Assim, o procedimento normal é usar um termômetro a gás a volume cons- tante (no limite de baixas pressões) para definir uma escala de temperatura e usar esse termômetro para calibrar os outros em termos de sua escala. A temperatura mais baixa que pode ser medida por um termômetro a gás é aproximadamente 1 K, desde que seja usado hélio a baixa pressão como gás. No Cap. 19, será discutida a escala Kelvin de tempera- turas, que é independente das propriedades de qualquer substância. Pode-se mostrar que, na região de tempe- raturas em que é possível usar um termômetro a gás, a escala deste termômetro e a Kelvin são idênticas. Antecipando este resultado, escreve-se K após uma temperatura de termômetro a gás. No Cap. 19, também será mostrado como o zero absoluto de temperatura é definido na escala Kelvin. Às temperaturas do corpo de animais de sangue quente mantêm-se constantes dentro de alguns décimos de grau Celsius, por um sistema bastante elaborado de controle de temperatura. A propriedade termométrica que monitora a temperatura do sangue é uma condição de equilíbrio químico dentro de uma região do cérebro chamada hipotálamo. Esta região ativa os mecanismos apropriados de controle de temperatura. Os mecanismos mais importantes são a dilatação e a contração dos vasos sangiíneos próximos à superfície, aumentando ou diminuindo a perda de calor por condução e a ativação, ou desativação, das glândulas sudorí- paras para aumentar ou diminuir o resfriamento por evaporação. 14-4 Escalas Celsius, Rankine e Fahrenheit A escala Celsius de temperatura (algumas vezes chamada escala centfgrada) emprega um grau de mesmo valor que o da escala Kelvin, mas seu ponto zero é deslocado de tal maneira que a temperatura Celsius do ponto tríplice da água é 0,01 graus Celsius, abreviadamente 0,01ºC. Assim, se Tg denotar a temperatura Celsius, To = T-273,15K. (143) 338 — MECÂNICA DOS FLUIDOS * CALOR * MOVIMENTO ONDULATÓRIO A temperatura Kelvin em que o vapor se condensa a pressão de 1 atm é 373,15 K, de modo que, na escala Celsius, ela é Te = 373,15º -273,15º ou Tc = 100,00ºC. Há duas outras escalas de uso comum em Engenharia e na vida diária nos EUA e na Inglaterra. A temperatura Rankine, Tp (abrevia-se “R), é proporcional à temperatura Kelvin, de acordo com a relação TR = 27. Um grau de mesmo valor é usado na escala Fahrenheit, Ty (abrevia-se “F), mas com o ponto zero deslo- cado, obedecendo à relação Te = Tr —459,67R. Substituindo as Egs. 14-3 e 14-4 em 14-5, obtém-se Tr = 2Tc+32F, (144) (14:5) (14.6) da qual resulta que a temperatura Fahrenheit do ponto de gelo (Tg =0ºC) é 32ºF e a do ponto de vapor (To = 100ºC) é 212ºF. Os 100 graus Celsius ou Kelvin entre os pontos de gelo e de vapor correspondem a 180 graus Fahrenheit ou Rankine, como mostra a Fig. 14-7, onde as quatro escalas são comparadas. K c R F Ponto de vapor 373 212º] 100Kou cº 180 Rºou Fº Ponto de gelo 273 CO, sólido 195 Ponto de oxigênio 90 3º oco DOBRA Zero absoluto O 14-5 Dilatação Fig. 14:7 Relações entre escalas de tem- peratura Kelvin, Celsius, Rankine e Fahrenheit. As temperaturas foram ar- redondadas. A maior parte dos sólidos dilata-se quando aquecida. Suponha que uma barra de determinado material tenha comprimento Lo à temperatura inicial e que, quando a temperatura cresce, AT, o comprimento aumen- tará de AL. À experiência mostra que se AT não for muito grande, AL será diretamente proporcional a AT. Certamente, AL também será proporcional a Lo. Se duas barras do mesmo material sofrerem a mesma varia- ção de temperatura, mas uma for o dobro da outra, então, a variação de comprimento desta também será o dobro do da outra. Introduzindo uma contante de proporcionalidade a (que é diferente para materiais dife- rentes), pode-se resumir esta relação para AL = aloáT. (14.7) A constante «, que caracteriza as propriedades de expansão térmica de um dado material, é chamada coeficiente de dilatação linear. Para materiais que não têm direções preferenciais, cada dimensão varia de acordo com a Eg. 14-7. Assim, L pode representar a espessura da barra, a aresta lateral de uma tira comprida ou o diâmetro de um de modo que, na ma Inglaterra. A a relação (144) ponto zero deslo- d (14.5) | ' > ponto de vapor x correspondem a (14.6) Eos E: “A material primento aumen- oporcional a AT. m a mesma varia- : também será o ra materiais dife- k + (14:7) erial, é chamada Reno diâmetro de um geo Ê TEMPERATURA E DILATAÇÃO — 339 furo no material. Existem alguns casos excepcionais. A madeira, por exemplo, expande-se de modo diferente no sentido das fibras e no sentido transversal a elas; monocristais de alguns materiais podem ter diferentes propriedades ao longo de eixos cristalinos diferentes. Esta discussão exclui estes casos excepcionais. Deve-se enfatizar que a proporcionalidade direta expressa pela Eq. 14-7 não é exata, mas aproximada- mente correta para variações de temperatura suficientemente pequenas. Para qualquer temperatura, pode-se definir um coeficiente de dilatação térmica pela seguinte equação: 1 d set 14: 1 dr (14-8) Neste caso, observa-se que a, para um dado material, varia ligeiramente em função da transferência inicial é com a variação de temperatura. A aproximação da Eq. 14-7 é, entretanto, boa, podendo-se ignorar estas variações. Valores médios de a para vários materiais estão listados na Tab. 14-1. Tabela 14-1 Coeficiente de Dilatação Linear Material a(o Alumínio 24x 105 a Latão 2,0x 10: Cobre 1,7x 1055 Vidro 0,4-0,9 x 1075 Aço 1,2x 105 Invar 0,09 x 10-5 Quartzo (fundido) 0,04 x 10: Exemplo. Uma trena de aço com 5 m é calibrada à temperatura de 20ºC. Qual o seu comprimento num dia quente de verão, quando a temperatura for de 35ºC? Solução. Da Eq. 14-7, AL = (5m)(1,2X 105 (Cº)-!) (35ºC — 20ºC) = 0,9x 102m = 0,9mm = 0,0009m. Assim, o comprimento a 35ºC será de 5,000 9 m. O aumento de temperatura normalmente causa um aumento no volume tanto de sólidos como de líqui- dos. A experiência mostra que, se a variação de temperatura AT não for grande demais, o aumento de volume AV será aproximadamente proporcional à variação de temperatura. Ela também será proporcional ao volume inicial, Vo, como na dilatação linear. A relação pode ser expressa assim: AV = BVoAT. (149) A constante 8, que caracteriza as propriedades de dilatação volumétrica de um dado material, é chama- da coeficiente de dilatação volumétrica. Assim como o coeficiente de dilatação linear, £ varia ligeiramente e a Eq. 14-9 deve ser encarada como uma relação apenas aproximadamente válida para variações de temperatura suficientemente pequenas. Para muitas substâncias, f decresce quando a temperatura diminui, aproximando-se de zero, quando a temperatura Kelvin aproxima-se de zero. É interessante notar que, quanto maior for o ponto de fusão de um metal, menor será o seu coeficiente de dilatação volumétrica. A Tab. 14-2 mostra alguns valores de £ nas vizinhanças da temperatura ambiente. Note que os valores para líquidos são muito maiores que os para sólidos. 340 — MECÂNICA DOS FLUIDOS * CALOR - MOVIMENTO ONDULATÓRIO Tabela 14-2 Coeficiente de Dilatação Volumétrica (Aproximado) Aá Sólidos Bo Líquidos e CO ratura, ao E t tação da : Alumínio 7,2X 105 | Álcool etílico 75x 1055 massage Latão 6,0X 10º | Dissulfito de carbono 115 X 10-5 Cobre 51X 10 | Glicerina 49x 10º tampa Vidro 1,2-2,7x 10º | Mercúrio 18x 10-º — Este Aço 3,6 x 1078 Água, 20ºC 20 x 107º vivem em Invar 0,27 x 1075 Água, 50ºC 60x 105 causa de Quartzo (fundido) 0,12x 10-5 í superfície 1 flutua, pe ti - E º tenha cor Se houver um buraco no corpo sólido, o volume do buraco aumentará quando o corpo dilatar, como se - E a E resfriame: o buraco fosse um sólido do mesmo material que o corpo. Esse resultado é verdadeiro, mesmo quando o devido buraco se torna tão grande que o corpo envolvente reduz-se a uma camada fina, Assim, o volume encerrado ES E a : E calor é m por um frasco de vidro de parede fina, ou o bulbo de um termômetro, aumenta da mesma maneira que o faria vidas um corpo sólido de vidro do mesmo tamanho. E anômala é Exemplo. Enche-se um frasco de vidro de 200 cm? de volume com mercúrio a 20ºC. Que volume de mercúrio transborda 4 quando a temperatura do sistema aumenta para 100ºC? O coeficiente de dilatação volumétrica do vidro é 1,20 X 107º EG Solução. O aumento no volume do vidro é av = 1,2X 10º x 200 X (100º — 20º) = 0,192 cmº, e o do mercúrio, é AV = 18X 10-8 x 200 x (100º — 20º) = 2,88 cmº. O volume de mercúrio que transborda é, então, 2,88 - 0,19 = 2,69 emº. O coeficiente de dilatação volumétrica de um material sólido está relacionado ao coeficiente de dila- tação linear. Para se obter essa relação, considera-se um corpo sólido em forma de paralelepípedo retangular, de dimensões L; e L; e La. O volume será: Vo = LiLoLa. De acordo com a Eq. 14-7, quando a temperatura varia de AT, cada dimensão linear também varia e o | novo volume será: | Vo + AV = LilyLa(1+0 AT) = Vo(l+0 AT) = | = LLoLo [1 +30 AT + 202 (AT)? + 0º (AT). É a Se AT for pequeno, pode-se desprezar os termos que têm (AT)? e (AT). Subtraindo-se, Vo =LiLoL3 de ambos os lados, obtém-se AV = (30) VodT. Comparando esta com a Eq. 14-9, obtém-se: (14-10) à datar, como se quando o olume encerrado Emeira que o faria Berçário transborda Rio É 1,20 x 107º Eficiente de dila- ipedo retangular, ambém varia e o E Vo=LiLoLs (14-10) TEMPERATURA E DILATAÇÃO — 341 A água, no intervalo de temperatura entre 0ºC e 4ºC, diminui de volume quando se aumenta a tempe- ratura, ao contrário do que acontece à maioria das substâncias, isto é, entre 0ºCe4ºCo coeficiente de dila- tação da água é negativo. Acima de 4ºC, a água dilata-se quando esquentada. Como o volume de uma dada massa de água é menor a 4ºC que em qualquer outra temperatura, sua densidade é máxima a 4ºC. A água também se dilata ao se solidificar, ao contrário da maioria dos materiais. Este comportamento anômalo da água tem um efeito muito importante sobre animais e vegetais que vivem em lagos nas regiões frias. Quando um lago esfria, a água fria da superfície desce para o fundo por causa de sua maior densidade. Mas quando a temperatura atinge 4ºC, este fluxo cessa e a água próxima à superfície permanece mais fria (e menos densa) do que a água do fundo. Quando a superfície congela, o gelo flutua, porque é menos denso que a água. A água no fundo permanece a 4ºC até que quase todo o volume tenha congelado. Se a água se comportasse como as outras substâncias, contraindo-se continuamente com o Tesfriamento e o congelamento, os lagos congelar-se-iam do fundo para a superfície e a circulação da água devido a diferenças de densidade traria continuamente a água mais quente para a superfície, onde a perda de calor é mais eficiente. Os lagos congelar-se-iam inteiramente com maior facilidade, destruindo, assim, toda a vida animal e vegetal que resiste à água fria, mas não ao congelamento. A Fig. 14-8 ilustra essa dilatação anômala da água no intervalo de temperatura entre 0ºC e 10ºC. A Tab. 14-3 cobre um intervalo maior. Fig. 14-8 Volume de 1 g de água no in- tervalo de temperatura de 0ºCa 10ºC, mostrando o comportamento anômalo ; da expansão térmica. Entre 0ºC e 4ºC, OE andas fiaa SO qu 200 o coeficiente da expansão volumétrica Temperatura, *C é negativo. Volume de 1 g, cm? Tabela 14-3 Densidade e Volume da Água T, Densidade, | Volume de 1 g, ee gcmp emê 0 0,999 8 1,000 2 4 1,000 0 1,000 0 10 0,9997 1,000 3 20 0,998 2 1,001 8 s0 0,988 1 10121 75 0,9749 1,025 8 100 0,9584 1,043 4 O mililitro (mi) foi inicialmente ucfinido como o volume de um grama de água em sua densidade máxi- ma (4ºC). Como a Tab. 14-3 mostra, isto fazia com que o mililitro fosse ligeiramente maior que o centímetro cúbico. Em 1964, o mililitro foi oficialmente redefinido como exatamente um centímetro cúbico. * 14.6 Tensões Térmicas Fixando as extremidades de uma barra para evitar dilatação ou contração, e variando a temperatura da mesma, haverá tensões elásticas ou compressivas, chamadas tensões térmicas, na barra. Elas podem ser tão 342 — MECÂNICA DOS FLUIDOS * CALOR + MOVIMENTO ONDULATÓRIO grandes a ponto de tensionar a barra além de seu limite elástico, ou mesmo além de seu ponto de ruptura. Daí, em projeto de qualquer estrutura sujeito a mudanças de temperatura, é preciso levar-se em conta a dila- tação. Em canos de vapor muito: longos, isso é conseguido pela inserção de juntas de expansão ou de tubos em forma de U. Em pontes, fixa-se rigidamente uma extremidade no pilar, enquanto a outra repousa em rolamentos. É simples calcular as tensões térmicas numa barra que não se pode expandir ou contrair. Suponha que um barra de comprimento Lo e área transversal A tenha as suas extremidades rigidamente presas, enquanto à temperatura fosse reduzida de AT. A variação fracional no comprimento da barra, se ela estivesse livre, seria AL 0 =aAT (14-11) onde AL e AT são negativos. Como a barra não se pode contrair, a tração tem de crescer para produzir uma variação fracional de comprimento igual e oposta. Da definição do módulo de Young, = FIA AL DF ] Essa Tac Ao Electo) onde este AL é positivo. A força de tração F é determinada pelo fato de a variação fracional total de compri- mento ter de ser zero: F NT qd a Y 0, F=-AYadT. (14-13) Comô AT representa um decréscimo de temperatura, ele é negativo, de modo que F é positivo. A tensão de tração na barra é A =-YaaT. (14-14) Se, ao contrário, AT representar um aumento na temperatura, então, F e F/A ficarão negativos, corres- pondendo a forças e tensões compressivas. Tensões térmicas também podem ser introduzidas por aquecimento não-uniforme. Mesmo que um corpo sólido, em temperatura uniforme, não tenha tensões internas, elas poderão ser introduzidas por expan- são não-uniforme, se ele for aquecido de maneira não-homogênea. Um copo de vidro espesso, que se quebra quando é cheio com água quente, é um fenômeno bastante comum. Vidros resistentes ao calor, como o pirex, têm coeficiente de expansão extremamente baixo e usualmente alta rigidez, o que permite a construção de recipientes de paredes finas desse material, para minimizar as diferenças de temperaturas. Fenômenos semelhantes ocorrem com a expansão volumétrica. Se uma garrafa estiver completamente cheia de água, hermeticamente fechada e, em seguida, for aquecida, ela se quebrará, porque o coeficiente de dilatação da água é maior do que o do vidro. Se um material for armazenado em um recipiente muito rígido, de modo que seu volume não possa variar, então, um aumento na temperatura, AT, será acompanhado de um aumento na pressão, Ap. Uma análise semelhante à que levou à Eg. 14-14 mostra que o aumento da pressão é dado por Ap = BEAT, (14-15) onde B é o módulo de elasticidade volumétrica e 8, o coeficiente de dilatação volumétrica. * Perguntas 14-1 Faz mais quente « 14-2 Um a teis, porque Como vocêz 14-:3 Que s cionadas no | x de ruptura. em conta a dila- ou de tubos outra repousa em b frair. Suponha que enquanto a - (14-13) é positivo. A (14-14) OS, COITES- no que um por expan- que se quebra | Como O pirex, | construção de mpletamente, da pressão é o (14-15) : TEMPERATURA E DILATAÇÃO — 343 Perguntas 14-1 Faz sentido afirmar que um corpo está duas vezes mais quente que outro? 14-22 Um estudante afirma que os termômetros são inú- teis, porque sempre medem a sua própria temperatura. Como você responderia? 14:3 Que outras propriedades da matéria, além das men- cionadas no texto, poderiam ser usadas Fomo propriedades termométricas? Como poderiam ser usadas na construção de um termômetro? 144 Um termômetro é deixado ao sol. Que temperatura ele mede; a do ar, do sol ou do quê? 14:5 Alguns termômetros contêm um líquido vermelho ou azul, que é frequentemente etanol. Que vantagens e desvantagens ele tem em comparação com o mercúrio? 146 Um termômetro semelhante ao da Fig. 14-1a poderia ser feito. com água como líquido? Que dificuldades tal ter- mômetro apresentaria? 14-7 Qual a temperatura do vácuo? 14-8 Existe alguma razão particular para se construir uma escala de temperatura com números maiores, correspon- dendo a corpos mais quentes em vez do inverso? 14.9 Se um pino de latão for ligeiramente maior do que o orifício em um bloco de aço em que deve ser encaixado, você deve aquecer o pino e esfriar o bloco ou fazer ao con- trário? 14-10 Quando um bloco com um buraco é aquecido, por que o material em volta do buraco não se dilata diminuindo o orifício? 14-11 Muitos motores de automóvel têm cilindros de aço e pistões de alumínio. Que tipo de problemas ocorreriam se o motor ficasse quente demais? 14-12 Quando se abre uma torneira de água quente, o fluxo, fregilentemente, diminui gradualmente antes de se estabilizar. Por que isso acontece? 14-13 Dois corpos feitos do mesmo material têm as mesmas dimensões externas e a mesma aparência, mas um é oco e o outro é sólido. Quando eles forem aquecidos, a expansão volumétrica será diferente ou igual? 14-14 Um termostato para controlar sistemas de aqueci- mento ou refrigeração de casas freqiientemente contém um elemento bimetálico que consiste em duas tiras de metais diferentes soldadas face a face. Quando a temperatura varia, esta tira composta dobra-se numa direção ou na outra. Por quê? 14-15 Por que às vezes se consegue soltar tampas metálicas rosqueadas, em recipientes de vidro, mergulhando-as em água quente? 14-16 A fregiiência de oscilação de um pêndulo depende de seu comprimento. Um relógio de pêndulo poderia adiantar no calor e atrasar-se no frio ou o inverso? Pode-se desenhar um pêndulo, talvez usando dois metais diferentes, que não variem de comprimento com a temperatura? 14-17 Quando uma barra é resfriada, mas impedida de con- trair-se, como na Seç. 14-6, aparece uma tensão térmica. Nestas circunstâncias, a espessura da barra varia? Se assim for, como se poderia calcular a variação? Problemas 14-1 A razão entre as pressões de um gás no ponto de fusão do chumbo e no ponto tríplice da água, o gás sendo mantido a volume constante, é dado por 2,198 16. Qual a temperatura Kelvin do ponto de fusão do chumbo? 14-2 (a) Se você tiver uma febre de 104ºF, nos EUA, deve-se preocupar com isso? (b) Qual é a temperatura nor- mal do corpo humano na escala Fahrenheit? (c) O ponto normal de ebulição do oxigênio líquido é —182,97º€, Quanto o será nas escalas Kelvin e Rankine? (d) A que tem- peratura coincidem as escalas Fahrenheit e Celsius? 14:3 Se você viajasse para os Estados Unidos, há alguns anos, encontraria temperaturas medidas em escala Fahre- nheit, Achar, na escala Celsius, às temperaturas correspon- dentes a: (a) um quarto frio (68ºF); (b) um dia quente de verão (95ºF); (c) um dia frio de inverno (5ºF). 14-4 Numa experiência relativamente primitiva com um termômetro a gás em volume constante, a pressão no ponto tríplice da água mediu 4,0 X 10º Pa e a pressão no ponto normal de ebulição 5,4 X 10º Pa, De acordo com esses dados, qual a temperatura do zero absoluto na escala Cel-| sius? 14:5 Um termômetro a gás do tipo mostrado na Fig, 14-6 registrou uma pressão correspondente à 5 cm de mercúrio, quando em contato com a água no ponto tríplice. Qual a pressão que ele indicará quando em contato com água no ponto normaí de ebulição? 344 — MECÂNICA DOS FLUIDOS * CALOR + MOVIMEN' 146 A resistência elétrica de alguns metais varia com à temperatura (medida por um termômetro a gás) aproxima- Gamente, de acordo com a equação R=Ro [1 +B(T- To)l onde R, é a resistência na temperatura To. Para um dado metal, encontra-se 8 = 0,004 K-!. (a) Sendo a resistência a zero graus C de 100 ohms, qual a resistência a 20ºC? (b) A que temperatura a resistência é de 200 ohms? 14.7 O pêndulo de um relógio é feito de alumínio. Qual a Variação fracional do seu comprimento, quando ele é res- friado, passando de 25ºC para 10ºC? 14-8 Uma trena de aço de 25 m está correta à temperatura de 20ºC. A distância entre dois pontos, medida com a trena num dia em que à temperatura é de 35ºC, é de 21,64 m. Qual a distância real entre os dois pontos?, 149 Para assegurar um bom ajuste, os arrebites de alumí- nio usados em construção de aeroplanos são feitos ligeira- mente maiores que os orifícios correspondentes e resfriados com gelo seco (CO, sólido) antes de serem colocados. Se o diâmetro do orifício for de 0,250 0 pol, qual deverá ser o diâmetro de um arrebite a 20ºC, se o seu diâmetro deve ser igual ao do orifício, quando o arrebite for resfriado a — 78ºC, temperatura do gelo seco? Supor que o coeficiente de dilatação seja constante e igual ao valor dado no Probl. 14-1. 14-10 Um anel de aço de 3 000 pol de diâmetro interno a 20ºC deve ser aquecido e encaixado num cilindro de latão com 3,002 pol de diâmetro a 20ºC. (a) A que temperatura deverá ser aquecido? (b) Se O aneleo cilindro forem resfria- dos juntos por algum meio, como, por exemplo, ar líquido, a que temperatura o anel sairá do cilindro? 14-11 Uma barra de metal de 30,0 cm de comprimento sofre uma dilatação de 0,075 cm, quando sua temperatura sobe de 0ºC para 100ºC. Outra barra de um metal diferen- te, de mesmo comprimento, dilata-se 0,045 cm, sob as mes- mas condições. Uma terceira, também de 30,0 em de com- primento é feita de dois pedaços dos metais acima, coloca- dos em linha, e se expande 0,065 em entre 0º€ e 100%C. Achar o comprimento de cada parte da barra composta. 14-12 Perfura-se um buraco de 2,500 cm de diâmetro numa placa de latão, à temperatura de 20ºC. Qual será o diâmetro do buraco quando se eleva a temperatura da placa para 200ºC? Supor que o coeficiente de dilatação permaneça constante. 14-13 Supor que se possa construir um aro de aço em torno do equador da Terra, ajustando-o à temperatura de 20"€. Qual seria a distância sadial entre o aro e a Terra se a tem. peratura do aro sofresse um aumento de 1ºC? 14-14 Um relógio cujo pêndulo faz uma oscilação em 25 está correto a 25ºC. A haste do pêndulo é de aço e sua massa pode ser desprezada. (a) Qual a variação fracional no comprimento da haste se ela for esfriada para 15º? (b) Quantos segundos por dia O relógio ganhará ou perderá a 15ºC? (Sugestão. Usar diferenciais.) TO ONDULATÓRIO 14-15 Um relógio de pêndulo com haste de latão trabalha corretamente a uma certa temperatura. (a) Qual deve ser o intervalo de temperatura em que o relógio pode ser mantido para que não ganhe ou perca mais que 1 s por dia? À res posta depende do período do pêndulo? (b) Aumento de temperatura fará o relógio adiantar ou atrasar? 14-16 Um termômetro semelhante ao da Fig. 14-la tem um bulbo esférico de 0,2 cm de raio e um tubo capilar de 0,05 mm de raio. Que distância na escala é coberta pelo intervalo de temperaturas entre 0ºC e 100ºC? 14-17 Enche-se completamente com água a SOC uma garrafa de 250 cm?. Aquece-se a garrafa e a água até 60"C. Que quantidade de água extravazará se: (a) a dilatação da garrafa for desprezada; (5) a dilatação da garrafa for incluí da? Usar £ = 1,2X 1075 (CCJ! para o vidro. 14-18 Mede-se uma área na superfície de um corpo sólido. Se a área for A,, numa dada temperatura inicial e, então, houver uma variação de AA, quando a temperatura variar de AT, mostrar que AA = (20) Aç AT. 14-19 Um cubo de alumínio, de 10 cm de lado, é aquecido de 10ºC a 30ºC. Qual a variação de seu volume? E da sua densidade? 14-20 Uma bola de latão de 6 cm de raio é esfriada de 100ºC a 20ºC. Achar a variação de seu volume: (a) primei- rimente encontrando a variação no saio e, em seguida, calculando o novo volume; (b) usando O coeficiente de dila- tação volumétrica. 14:21 Enchese um frasco de vidro de volume exatamente igual a/1 000 cm? a 0ºC, com mercúrio a esta temperatura. Quando o frasco é o mercúrio são aquecidos a 100'C, 15,2 cms de mercúrio transbordam. Sendo o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio 0,000 182 por grau cem- tígrado, calcular o coeficiente de dilatação linear do frasco. 14-22 À temperatura de 20ºC, o volume de um certo frasco de vidro, até uma marca de referência no gargalo, é de 100 cm. Enche-se o frasco até essa marca com um líquido de p= 120X 107º (CC)-!, estando tanto o líquido como o frasco a 20ºC. O coeficiente de dilatação linear, «, do vidro 8x 10-8 (CCJT. A área da seção transversal do gargalo é de 1 mm? e pode ser considerada constante. À que altura O líquido subirá ou descerá no gargalo quando a temperatura sobe para 40ºC? ; 14-23 A pressão p, o volume V, o número de moles 1 e a temperatura Kelvin de um gás perfeito estão relacionados pela equação pV = nRT. Provar que o coeficiente de expan- são volumétrica é igual ao recíproco da temperatura. 14-24 O comprimento de uma certa ponte é de 600 m. (a) Se fosse um vão contínuo, tendo uma extremidade fixa é outra livre, qual seria a variação do movimento da ponta livre, entre um dia frio de inverno (-20ºF) e outro quente de verão (100ºF)? (b) Se ambas as extremidades fossem rigidamente fixadas naquele dia de verão, qual seria a tensão no dia de inverno? 14-25 A seção transversal de uma barra de aço é de 10 cm?. Qual deve ser a força mínima que evitará a contração da barra quando esfriada de 520ºC para 20ºC? 14-26 Verifica-se que um arame de aço, de 3 m de compri- mento a 20ºC, dilata-se 2 em quando esquentado a 520ºC. (a) Calcular seu coeficiente médio de dilatação linear. (5) Achar a tensão no arame se ele for esticado, tenso, a 520ºC e, então, esfriado para 20ºC, sem se permitir sua contração. 14-27 Duas barras de mesmo diâmetro, uma de aço de 40 em de comprimento e à outra de cobre de 36 cm, estão presas entre si por dois suportes rígidos, sem tensões ini- ciais, Eleva-se de 50ºC a temperatura das barras e pergun- ta-se qual a tensão em cada uma delas. 14-28 Uma barra pesada de latão tem suas extremidades em forma de T. Dois arames finos de aço, ligados às “pernas” do T estão esticados sem tração quando o sistema inteiro está a 0ºC. Qual a tensão de tração nos arames, quando se eleva a temperatura do sistema para 300ºC? Levantar quais- quer hipóteses simplificadoras que achar razoáveis e men- cioná-as. sé Arame de aço — 6] Fig. 149 14-29 Trilhos de aço de 18 m de comprimento são instala- dos num dia de inverno em que a temperatura é de 12º€. (a) Que espaço deverá ser deixado entre eles, se devem tocar-se num dia de verão em que a temperatura seja de 40ºC? (b) Se ós trilhos tivessem sido postos inicialmente em contato, qual seria a tensão sobre eles no dia de verão? 14-30 Proyar que, se um corpo sob pressão hidrostática tiver sua temperatura elevada e impedida sua dilatação, sofrerá um aumento de pressão dado por ap = BE At, onde o módulo volumétrico B e o coeficiente médio de dila- tação 8 são considerados positivos e constantes. TEMPERATURA E DILATAÇÃO — 345 14-31 (2) Um bloco de metal a pressão de 1 atm e a tempe- ratura de 20ºC é mantido a volume constante. Se a tem- peratura aumentar para 32ºC, qual será a pressão final? (b) Se o bloco for mantido em volume constante por meio de paredes rígidas, que podem suportar uma pressão máxi- ma de 1 200 atm, qual a máxima temperatura que o sistema poderá ter? Supor que B e permaneçam praticamente constantes, com valores 1,5 X 107! Pa e 5,0X 107º (C)!, respectivamente. 14-32 Que pressão hidrostática será necessária para ovitar a expansão de um bloco de cobre, quando sua temperatura é aumentada de 20ºC para 30ºC? 14-33 A Tab. 14-3 registra a densidade da água e o volume de 1g à pressão atmosférica. Enche-se uma bomba de aço, com água, à 10ºC e sob pressão atmosférica, aumentando depois a temperatura do sistema para 75ºC. Qual será, então, a pressão na bomba? Supor que ela seja suficiente- mente rígida para evitar que seu volume seja afetado pelo aumento de pressão. 14-34 Encerra-se um líquido em um cilindro metálico pro- vido de pistão do mesmo metal. O sistema está inicialmente sob pressão atmosférica e à temperatura de 80ºC. Força-se o pistão para baixo até que a pressão sobre o líquido seja aumentada de 100 atm, prendendo-o, então, nessa posição. Determinar a nova temperatura sob a qual a pressão do líquido seja novamente de 1 atm. Supor que o cilindro seja suficientemente forte para evitar que seu volume seja alte- rado por mudanças de pressão, mas que o possa por varia- ções de temperatura. Compressibilidade do líquido . ... k= 50X 107% atm!. Coeficiente de dilatação cúbica do líquido... cce scsress 8=5,3x 104 CO). Coeficiente de dilatação linear do metal... « «= 10x 108 CO. 14-35 (a) Para um material qualquer, a densidade p, a mas- sam e o volume V estão relacionados por p = m/V. Provar que 1 dp = Se p o (b) A densidade do sal-gema entre —193ºC e —13ºC é dada pela fórmula empírica p=2,1680(1-11,2X 10º T—0,5X 1077 T%, com T medido na escala Celsius. Calcular 8 a —100ºC.
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