Tópico de mecânica clássica, Outro de Mecânica Clássica. Universidade Federal Fluminense (UFF)
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juliana.leao27 de agosto de 2017

Tópico de mecânica clássica, Outro de Mecânica Clássica. Universidade Federal Fluminense (UFF)

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mecânica clássica de lagrange à buracos negros
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Tópicos de Mecânica Clássica

Marcus A. M. de Aguiar

3 de Março de 2017

ii

Conteúdo

Prefácio vii

Agradecimentos ix

1 Mecânica Newtoniana 1 1.1 O prinćıpio determińıstico de Newton . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 O grupo de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Exemplos elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Movimento de uma part́ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Movimento em uma dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 Osciladores anarmônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Sistemas de part́ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7 O problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7.1 Equações de movimento e quantidades conservadas . . 22 1.7.2 Solução da equação radial . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7.3 A equação da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7.4 As três leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.8 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 As Equações de Euler-Lagrange 35 2.1 Vı́nculos e graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 O prinćıpio de D’Alembert: caso estático . . . . . . . . . . . . 37 2.3 O prinćıpio de D’Alembert e as equações de Lagrange . . . . . 40 2.4 Lagrangeana para a força de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Prinćıpios Variacionais 53 3.1 O prinćıpio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

iii

iv CONTEÚDO

3.2 O método variacional de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . 56 3.2.1 A catenóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.2 A braquistócrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 O prinćıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5 Coordenadas ćıclicas e leis de conservação . . . . . . . . . . . 72

3.5.1 Conservação dos momentos linear e angular . . . . . . 73 3.5.2 Conservação da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.6 Sobre a unicidade da Lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.7 O teorema de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.7.1 Variação segunda da ação para sistemas simples . . . . 81 3.7.2 Demonstração do teorema de Morse . . . . . . . . . . . 84

3.8 O problema da causalidade e as integrais de caminho de Feynman 87 3.9 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4 As Equações de Hamilton 93 4.1 A transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 As equações de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3 Hamiltoniana versus Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.4 Notação simplética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.5 O Prinćıpio de Hamilton Modificado . . . . . . . . . . . . . . 103 4.6 Propriedades da Ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.7 O prinćıpio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.8 Espaço de Fases e Superf́ıcie de Energia . . . . . . . . . . . . . 109 4.9 Seções de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.10 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5 Transformações Canônicas 123 5.1 Funções Geratrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.2 Exemplos de Transformações Canônicas . . . . . . . . . . . . . 130 5.3 Formulação Simplética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.4 O Grupo Simplético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.5 Transformações Infinitesimais e a Identidade de Jacobi . . . . 137 5.6 Equações de Movimento e Leis de Conservação . . . . . . . . . 139 5.7 Invariantes Canônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.7.1 Os Colchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.7.2 O invariante de Poincaré-Cartan . . . . . . . . . . . . . 143

5.8 O teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

CONTEÚDO v

5.9 O teorema de Liouville para sistemas gerais . . . . . . . . . . 153

5.10 O teorema de recorrência de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . 155

5.11 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6 Integrabilidade 161

6.1 Equação de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.2 Soluçao formal de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.3 Hamilton-Jacobi independente do tempo . . . . . . . . . . . . 167

6.4 Interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.5 Limite Semiclássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.6 Teorema de Arnold-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.7 Variáveis de Ação e Ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.7.1 Um grau de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.7.2 Vários graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.7.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.8 Super-integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.8.1 O vetor de Laplace-Runge-Lenz . . . . . . . . . . . . . 191

6.9 O teorema de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.10 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

7 Estabilidade 199

7.1 Pontos de Equiĺıbrio em 1 grau de liberdade . . . . . . . . . . 199

7.1.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.2 Pontos de Equiĺıbrio em n graus de liberdade . . . . . . . . . . 205

7.3 Pontos fixos nas Seções de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 207

7.4 Variedades Estáveis e Instáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

8 Teoria de Perturbação 215

8.1 Um grau de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8.1.1 Exemplo: o pêndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . 218

8.2 Dois ou mais graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

8.2.1 Preâmbulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

8.2.2 O Caso não-ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8.2.3 O Caso ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.2.4 Estruturas fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

8.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

vi CONTEÚDO

9 O Teorema KAM 235 9.1 O método superconvergente de Newton . . . . . . . . . . . . . 235 9.2 Perturbações singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.3 Frações cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.4 O teorema KAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.5 Aplicações em astronomia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.5.1 O problema de três corpos em um plano . . . . . . . . 248 9.5.2 Falhas no cinturão de asteróides . . . . . . . . . . . . . 250 9.5.3 Falhas nos anéis de Saturno . . . . . . . . . . . . . . . 251

9.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

10 Caos Hamiltoniano 255 10.1 O mapa de torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 10.2 O teorema de Poincaré-Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 10.3 O emaranhado homocĺınico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 10.4 Caos: o mapa de Ferradura de Smale . . . . . . . . . . . . . . 264

11 Simetrias e Meios Cont́ınuos 271 11.1 Simetrias e Leis de Conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 11.2 Meios cont́ınuos e campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 11.3 Generalização para campos em 1-D . . . . . . . . . . . . . . . 276 11.4 Múltiplos campos em 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 11.5 Correntes conservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

A Mudança de variáveis em integrais multidimensionais 281

B Comutador dos Campos Vetoriais 285

C Comutação dos Fluxos em Mf 287

D Variáveis de ação e ângulo para o problema de Kepler 291

Bibliografia 295

Prefácio

Novos livros de f́ısica básica continuam a ser escritos e publicados todos os anos. Isso parece um tanto paradoxal, pois não pode haver mais nada de novo para se dizer sobre esses temas. De fato, a Mecânica, a Termodinâmica e o Eletromagnetismo são teorias bem estabelecidas há muitos anos, e tanto já se escreveu sobre elas, que não é claro porque tantos autores insistem em re-apresentar esses conteúdos de sua própria maneira.

No entanto, para quem faz pesquisa, ou se interessa pelos avanços da ciência, é bastante claro que ‘não existe assunto encerrado’. Novas desco- bertas sempre nos fazem repensar conceitos que pareciam intocáveis para re-interpretá-los e re-adaptá-los às novas situações. A Mecânica Clássica é um ótimo exemplo desse processo constante de re-descoberta. No ińıcio dos anos 1800 Laplace afirmou que se alguém pudesse conhecer todas as forças agindo sobre todas as part́ıculas existentes, assim como suas condições ini- cias, poderia calcular todo o futuro e o passado do universo. Esse pensamento determinista, no entanto, cairia por terra com os trabalhos de Poincaré, que demonstrou a instabilidade intŕınseca do movimento no problema gravita- cional de três corpos, fundando as bases do que seria conhecido mais tarde como Teoria do Caos.

Simultaneamente aos trabalhos de Poincaré, apareciam os primeiros ind́ı- cios da inadequação da mecânica e do eletromagnetismo clássicos para expli- car certos fenômenos microscópicos, como o efeito fotoelétrico e a quantização dos ńıveis de energia atômicos. Surgiria em breve a teoria quântica e, junto com ela, a dif́ıcil tarefa de compatibilizá-la com a mecânica clássica. Clássico versus quântico emaranhou-se com caos versus regularidade, e o estudo des- sas questões estende-se até os dias de hoje. É com esse esṕırito que esse livro foi escrito, tendo como base textos clássicos como Goldstein e tantos outros, mas sempre procurando contato com elementos novos, particularmente com caos Hamiltoniano e limite semiclássico.

vii

viii CAPÍTULO 0. PREFÁCIO

Esse livro foi preparado a partir de notas de aula para a disciplina Mecânica Avançada, que lecionei várias vezes na pós-graduação do Instituto de F́ısica da Unicamp. Os primeiros cinco caṕıtulos contém uma breve revisão da mecânica Newtoniana, apresentando em seguida as equações de Lagrange, os prinćıpios variacionais e o formalismo de Hamilton, enfatizando o teorema de Liouville, o teorema de recorrência de Poincaré e o tratamento dinâmico de ensembles. Em seguida apresento a teoria de transformações canônicas, in- cluindo a equação de Hamilton-Jacobi e sua relação com o limite semiclássico da equação de Schrödinger. Os caṕıtulos seis a nove discutem o teorema de integrabilidade de Arnold e Liouville, as variáveis de ação e ângulo e a teoria de perturbações canônicas, onde apresento os teoremas KAM, Poin- caré-Birkhoff e os emaranhados homocĺınicos, discutindo o aparecimento de caos Hamiltoniano. Finalmente apresento brevemente o limite do cont́ınuo, a equação da corda vibrante e o teorema de Nöther. Espero que o livro possa ser útil como complemento nos cursos de pós-graduação em mecânica clássica e também aos estudantes interessados em aprender sobre caos Hamiltoniano e sua conexão com o limite semiclássico da teoria quântica.

Marcus A.M. de Aguiar Campinas, 11 de novembro de 2010.

Agradecimentos

É um grande prazer agradecer a todos os alunos que estudaram pelas di- versas versões anteriores das notas de aula que originaram esse livro e que, pacientemente, me apontaram erros de todos os tipos: de gramática e grafia, nas equações, trechos com explicações obscuras ou confusas, etc. Gostaria de agradecer particularmente aos alunos Douglas Delgado de Souza, Eric Perim Martins, Murilo Neves Martins, Ceno P. Magnaghi e Thiago Visconti. Um agradecimento especial ao aluno Wendell Pereira Barreto que fez uma revisão geral em todo o texto, ajudou nas figuras e na compilação das referências.

Esta versão contém pequenas correções em relação ao livro publicado pela Livraria da F́ısica. Agradeço a todos que apontaram erros de grafia nas equações e no texto, particularmente o prof. Ricardo Mosna do IMECC, Unicamp.

ix

x CAPÍTULO 0. AGRADECIMENTOS

Caṕıtulo 1

Mecânica Newtoniana

A mecânica é um ramo da F́ısica que tem grande apelo prático. O movimento de corpos sob a ação da gravidade, de forças elásticas e de atrito são exem- plos intuitivos de sistemas dinâmicos presentes no nosso dia-a-dia. Embora seja dif́ıcil precisar quando a mecânica começou a ser descrita em termos de prinćıpios fundamentais, um marco importante é a descrição de Aristóteles (384-322 AC) do movimento dos corpos. Para ele, todos os movimentos se- riam retiĺıneos, circulares, ou uma combinação dos dois, pois esses eram os únicos movimentos perfeitos. O estado natural de alguns corpos seria o de movimento perfeito, como os corpos celestes. Para outros, como uma pedra, o estado natural seria o de repouso, sendo seu movimento posśıvel apenas sob a ação constante de forças: no momento que a força deixasse de ser aplicada, o corpo retornaria à sua posição natural de repouso.

As idéias de Aristóteles são questionadas por Galileo (1564-1642) que in- troduz o que hoje conhecemos como método cient́ıfico, que diz, basicamente, que conclusões sobre o comportamento natural devem ser comprovadas por experimentos cuidadosos e controlados que possam ser reproduzidos sob as mesmas condições. Galileo formula as leis básicas do movimento de corpos sob a ação da gravidade, usa um telescópio para estudar o movimento dos planetas e formula o Prinćıpio da Relatividade de Galileo. O prinćıpio diz que não é posśıvel distinguir o estado de repouso daquele em movimento re- tiĺıneo uniforme. Como exemplo, Galileo observa que uma pessoa no porão de um navio que navega em mar calmo com velocidade constante não tem como saber se está realmente em movimento ou em repouso. Se a pessoa não olhar pela escotilha, não haverá nenhum experimento capaz de decidir a questão.

1

2 CAPÍTULO 1. MECÂNICA NEWTONIANA 1.0

A conexão entre repouso e movimento retiĺıneo uniforme, observada por Galileo, atinge diretamente a teoria Aristotélica, pois o primeiro é o estado natural das coisas, enquanto o segundo deveria requerer a aplicação cons- tante de forças. A sáıda para essa contradição aparece alguns anos mais tarde com Isaac Newton (1643-1727), que generaliza os achados de Galileo e também organiza e unifica os conceitos mais importantes da mecânica. Veja a referência [1] para uma biografia recente de Newton.

Newton define conceitos como massa, quantidade de movimento, inércia, força e aceleração, discutindo também os conceitos de espaço e tempo, con- siderados em última análise absolutos. As três leis de Newton formam a base da mecânica clássica. Embora tenham sido reformuladas por Lagrange, Hamilton e outros, essas leis são consideradas como fundamentais dentro do contexto não-relativ́ıstico e não-quântico até hoje. A primeira lei define sistemas de referência especiais, chamados de inerciais, onde o movimento de corpos pode ser descrito em termos da segunda lei. A terceira lei, final- mente, acrescenta o importante ingrediente da ação e reação, que garante a conservação dos momentos linear e angular total de sistemas isolados.

Discutiremos agora esses conceitos fundamentais e as três leis de Newton, dando sua versão ‘original’1 e uma tradução livre para o Português. Con- ceitos e leis são apresentados abaixo de forma misturada, que foi a que me pareceu mais didática:

Espaço - Na mecânica clássica o espaço é tratado como absoluto, homogêneo e isotrópico. A medida de distância entre dois corpos ou dois pontos do espaço é feita com uma régua, escolhida como padrão. Os três adjetivos acima signi- ficam que medidas de distância não dependem do estado do observador que as realiza (o que não é mais verdade na teoria relativ́ıstica) e, além disso, não dependem da posição absoluta desses dois pontos no espaço e nem de sua orientação (os dois pontos podem estar na Terra ou na Lua, orientados na direção Terra-Lua ou perpendicularmente). Essas duas últimas hipóteses, também válidas na teoria relativ́ıstica, nos permitem extrapolar resultados de experimentos realizados na Terra para outros lugares do Universo.

Tempo - O tempo também é tratado como absoluto e uniforme, e sua me- dida é feita com um relógio padrão. O próprio Newton desenvolveu vários

1Como aparece em inglês na tradução do latim por Andrew Motte em The Principia [2]

1.0 3

relógios, particularmente relógios de água. O tempo absoluto significa que o intervalo entre dois eventos é independente do estado do observador que o mede, sendo intŕınseco aos eventos.

Sistemas de referência, velocidade, aceleração e trajetória - O con- ceito de sistema de referência (SR) é fundamental, embora muitas vezes não lhe damos grande importância e o consideramos impĺıcito. Um SR Newto- niano deve ser pensado como um laboratório e consiste em um sistema de eixos e um relógio. A imagem mental de um SR é de três réguas gigantes colocadas a 90 graus umas das outras formando os três eixos cartesianos x, y e z e de um único relógio viśıvel de todos os lugares para medir a passagem do tempo. Com isso, podemos anotar a cada instante t, como visto no relógio, a posição r = (x, y, z) de uma part́ıcula. A taxa com que sua posição muda com o tempo, e a direção em que a mudança ocorre, dará sua velocidade v = (dx/dt, dy/dt, dz/dt) = (vx, vy, vz) e a taxa com que a velocidade muda com tempo dará sua aceleração a = (dvx/dt, dvy/dt, dvz/dt) = (ax, ay, az). A trajetória da part́ıcula é a função r(t). Não se deve confundir o conceito de SR com o de sistemas de coordenadas. Diversos sistemas de coordenadas, como cartesianas, esféricas ou parabólicas, podem ser escolhidos dentro de um mesmo SR. Exemplos de SR são um laboratório fixo ao chão, ou fixo em relação à uma estação espacial orbitando a Terra, ou ainda fixo em relação a um carrossel que gira com velocidade angular constante.

Força - Força é uma ação impressa a um objeto que visa mudar seu es- tado de movimento. O conceito pode ser pensado como intuitivo e um dos problemas da F́ısica é descobrir quais as forças que atuam em determinado corpo e como elas se comportam em função dos diversos parâmetros do pro- blema. A força eletrostática entre dois objetos carregados, por exemplo, depende diretamente da quantidade de carga em cada um deles e do inverso do quadrado da distância que os separa. No caso de uma mola ideal, a força aumenta linearmente com a distensão provocada. Assim, forças genéricas podem ser medidas por comparação com uma mola padrão através da me- dida da distância que esta deve ser distendida para compensar a força a ser medida.

A Primeira Lei de Newton - Every body perseveres in its state of rest, or of uniform motion in a right line, unless it is compelled to change that state by forces impressed thereon. Em português: Todos os corpos permanecem

4 CAPÍTULO 1. MECÂNICA NEWTONIANA 1.0

em seu estado de repouso, ou em movimento retiĺıneo uniforme, a não ser que sejam compelidos a mudar seu estado por forças neles aplicadas. Em- bora a primeira lei pareça um caso particular da segunda lei com força nula, e portanto totalmente dispensável, ela é de fato uma lei por si mesma. Seu propósito é definir uma classe especial de sistemas de referência, chamados inerciais, onde a segunda lei pode ser aplicada.

Sistema Inercial de Referência - SIR - São SR especiais onde vale a pri- meira lei de Newton. Nesses sistemas, um corpo permanece em seu estado de repouso ou em movimento retiĺıneo uniforme se não houverem forças agindo sobre ele. Um SR fixo em relação a um carrossel que gira não é inercial, pois um corpo deixado em repouso sobre ele passará a se movimentar em relação ao observador no carrossel assim que largado. Pode-se mostrar que, dado um SIR, então qualquer outro SR que se mova em relação à ele com velocidade constante também é inercial.

Massa - The quantity of matter is a measure of the same, arising from its density and bulk conjunctly. Em português: a quantidade de matéria (massa) é uma medida da mesma, resultante da densidade e do volume do corpo conjuntamente.

Quantidade de Movimento The quantity of motion is a measure of the same, arising from the velocity and quantity of matter conjunctly. Em por- tuguês: a quantidade de movimento é uma medida do mesmo (movimento) e resulta da velocidade e da massa conjuntamente. Usando m para a massa e p para a quantidade de movimento, também conhecido como momento, temos p = mv.

A Segunda Lei de Newton - The alteration of motion is ever propor- tional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed. Em português: A alteração do movimento é sempre proporcional à força motriz impressa; essa alteração ocorre na direção em que a força é impressa. Como a ausência de forças implica em repouso ou movimento retiĺıneo uniforme, a alteração do movi- mento implica em aceleração da part́ıcula. Como o movimento é medido em termos da quantidade p a equação para a segunda lei é F = dp/dt. Em- bora Newton não diga explicitamente, essa lei só vale em SIRs, pois estamos supondo que a primeira lei é valida também. No caso de sistemas não inerci-

1.1 1.1. O PRINCÍPIO DETERMINÍSTICO DE NEWTON 5

ais a equação deve ser modificada com a adição das chamadas forças fict́ıcias.

A Terceira Lei de Newton - To every action there is always opposed an equal reaction: or the mutual action of two bodies upon each other are always equal, and directed to contrary parts. Em português: A toda ação corresponde sempre uma reação oposta igual, ou ainda, a ação mútua de dois corpos, um sobre o outro, é sempre igual e com direções contrárias.

1.1 O prinćıpio determińıstico de Newton

As leis de Newton são baseadas em fatos experimentais e não podem ser demonstradas. O fato de que forças determinam acelerações, i.e., derivadas segundas da posição em relação ao tempo e não derivadas terceiras ou de ordem maior, leva ao chamado prinćıpio determińıstico de Newton [3]. Esse prinćıpio afirma que o estado de um sistema mecânico é dado pelas posições e velocidades de todos os seus pontos materiais em um dado instante de tempo e que as forças agindo sobre ele determinam unicamente seu movimento. No caso de uma única part́ıcula em um sistema de referência inercial, e supondo que sua massa seja constante2, a segunda lei diz que

mr̈ = F(r, ṙ, t). (1.1)

Note que o valor de F sobre a part́ıcula depende apenas de seu estado e não deve envolver a aceleração ou derivadas superiores da posição em relação ao tempo. Assim, dados r(t0) e ṙ(t0) calculamos r̈(t0) = F(r(t0), ṙ(t0), t0)/m. Com a aceleração, podemos calcular a velocidade no instante posterior t0 + δt: ṙ(t0 + δt) = ṙ(t0) + r̈(t0)δt e, com a velocidade, calculamos a posição: r(t0 + δt) = r(t0) + ṙ(t0)δt. Dessa forma, conseguimos calcular o estado da part́ıcula em t0 + δt. Podemos, agora, recalcular a aceleração neste instante e prosseguir integrando as equações de movimento gerando a trajetória da part́ıcula.

O fato de podermos prever o comportamento futuro de um sistema a partir do seu estado inicial e das forças agindo sobre ele é chamado de deter- minismo. O f́ısico frances Pierre Simon de Laplace (1749-1827), maravilhado com as possibilidades de cálculo da mecânica Newtoniana, afirmou que um

2Para problemas de massa variável, como os problemas do foguete e da esteira rolante, veja o livro Mecânica de K. R. Symon [4]

6 CAPÍTULO 1. MECÂNICA NEWTONIANA 1.2

demônio que pudesse conhecer as posições e velocidades de todas as part́ıculas do universo e as forças entre elas seria capaz de prever inequivocamente seu futuro. Essa afirmativa, no entanto, mostrou-se errada mesmo dentro da teo- ria clássica devido a existência de movimento caótico, como veremos adiante.

Notamos ainda que, aplicando a mesma força F em dois objetos diferentes, as acelerações (na direção da força) serão proporcionais:

ẍ1 ẍ2

= m2 m1

. (1.2)

Tomando um dos objetos como padrão para massa, m1 = 1 por exemplo, podemos medir a massa dos outros objetos.

1.2 O grupo de Galileo

Como mencionamos anteriormente, sistemas inerciais tem a seguinte proprie- dade importante: se K é inercial e K ′ move-se em relação à K com velocidade constante, então K também é inercial. A prova é bastante simples:

Suponha, por simplicidade, que os referenciais K e K ′ tenham eixos x, y, z e x′, y′, z′ paralelos e que em t = 0 suas origens coincidam, como ilustrado na figura 1.1. Seja V a velocidade constante da origem de K ′ em relação à origem de K. Uma part́ıcula m terá coordenadas r e r′ quando observada de K e K ′ respectivamente e, por construção

r′(t) = r(t)−Vt. (1.3)

A velocidade e aceleração da part́ıcula nesses referenciais serão

v′(t) = v(t)−V a′(t) = a(t).

Dessa forma, se não houverem forças sobre m, a = 0 pois K é inercial por hipótese. Como a′ = a, a′ = 0 também e K ′ também é inercial.

A transformação (1.3) é de um tipo bem particular, pois os eixos são paralelos e coincidem em t = 0. O conjunto geral de transformações que leva um referencial inercial em outro é conhecido como Grupo de Transformações de Galileo [3] e pode ser escrito como:

r′(t) = Rr(t)−Vt− u

t′ = t− s (1.4)

1.2 1.2. O GRUPO DE GALILEO 7

x

x’

y’

y

z

z’

r

r’ V

K’

K

m

Figura 1.1: Os referenciais K e K ′ são inerciais.

onde R é uma matriz ortogonal de determinante 1 (matriz de rotação), V e u vetores e s um parâmetro escalar. As transformações de Galileo formam um grupo com 10 parâmetros independentes e podem ser decompostas em três transformações elementares:

- Translação das origens do espaço e do tempo (4 parâmetros)

g1(r, t) = (r ′, t′) = (r− u, t− s)

- Rotação dos eixos (3 parâmetros)

g2(r, t) = (r ′, t′) = (Rr, t)

- Movimento uniforme com velocidade constante (3 parâmetros)

g3(r, t) = (r ′, t′) = (r−Vt, t)

O requerimento de que as equações de movimento sejam invariantes por transformações de Galileo impõe uma série de restrições aos tipos de forças F que esperamos encontrar na natureza. Vamos ver a invariância por translações temporais, por exemplo. Ela implica que se mr̈ = F(r, ṙ, t) então mr̈′ = F(r′, ṙ′, t′) onde r′ = r e t′ = t − s. Então, a equação de movimento em K ′ pode ser reescrita como mr̈ = F(r, ṙ, t− s) 6= F(r, ṙ, t), a não ser que F não dependa explicitamente do tempo. A invariância por translações temporais implica que um experimento realizado hoje deverá produzir os mesmos re- sultados se realizado amanhã sob as mesmas condições (veja o exemplo 5 da próxima seção onde a invariância é quebrada pela força F(t)=t)).

8 CAPÍTULO 1. MECÂNICA NEWTONIANA 1.3

A invariância por rotação dos eixos implica que se mr̈ = F(r, ṙ) então mr̈′ = F(r′, ṙ′) onde r′ = Rr. Então

m[Rr̈] = F(Rr,Rṙ) = R[mr̈] = RF(r, ṙ).

A força deve então satisfazer a condição F(Rr,Rṙ) = RF(r, ṙ). Mostre que forças centrais satisfazem essa condição.

A invariância por translações espaciais e movimento uniforme implica que, para um sistema de part́ıculas, as forças de interação só podem depender das coordenadas e velocidades relativas entre elas:

mr̈i = F({rj − rk}, {ṙj − ṙk}).

1.3 Exemplos elementares

Apresentamos nesta seção alguns exemplos simples de solução da segunda lei de Newton em referenciais inerciais e comentamos sobre as propriedades de invariância das equações por translações espaciais e temporais.

Exemplo 1 - Queda livre de pequenas alturas - Supondo que a Terra é um referencial inercial, o que pode ser considerado uma boa aproximação em alguns casos, e escolhendo o eixo x na vertical, apontando para cima, a força gravitacional sobre uma part́ıcula de massa m será F = −mgx̂, onde g ≈ 9.8 ms−2. Podemos então tratar o problema como se fosse unidimensional, pois sabemos que nas direções y e z o movimento será de repouso ou retiĺıneo uniforme. A equação de movimento se reduz à ẍ = −g e solução é

x(t) = x0 + v0t− gt2/2.

Exemplo 2 - Queda vertical de grandes alturas - Nesse caso temos que levar em conta que a Terra é finita, de raio R e massa M . Medindo x a partir da superf́ıcie, a distância do objeto ao centro da Terra será r = R + x e a equação de movimento fica

mr̈ = −GMm r2

onde G = 6.673 × 10−11m3Kg−1s−2 é a constante de gravitação universal. Substituindo r por R + x, lembrando que g = GM/R2 e supondo x << R

1.3 1.3. EXEMPLOS ELEMENTARES 9

podemos escrever

ẍ = −GM R2

1

(r/R)2 = −g 1

(1 + x/R)2 ≈ −g + 2gx

R .

A solução é deixada como exerćıcio e o resultado é

x(t) = (x0 − R

2 ) cosh (νt) +

v0 ν

sinh (νt) + R

2 .

onde ν = √

2g/R. Mostre que para ν → 0 a solução do exemplo anterior é recuperada.

Exemplo 3 - O oscilador harmônico I - É dif́ıcil superestimar o papel do oscilador harmônico na F́ısica. Voltaremos a falar dele em diversos momen- tos. Por enquanto basta pensar no movimento unidimensional de um corpo de massa m preso a uma mola ideal de constante elástica k. Se medirmos a posição da massa a partir de sua posição de equiĺıbrio, a sua equação de movimento será mẍ = −kx, ou ainda

ẍ = −ω2x, ω = √ k/m.

A solução, sujeita às condições iniciais x(0) = x0 e ẋ(0) = v0, é

x(t) = x0 cos (ωt) + v0 ω

sin (ωt).

Exemplo 4 - O oscilador harmônico II - O exemplo anterior ilustra uma situação bastante comum de não-invariância por translações espaciais. De fato, se fizermos x′ = x− a obtemos

mẍ′ = mẍ = −kx = −k(x′ + a) 6= −kx′.

Isso ocorre porque o sistema mẍ = −kx é de fato uma descrição reduzida de um problema de dois corpos, afinal de contas a outra extremidade da mola tem que estar presa em algum lugar! Considere, então, a situação mais realista descrita pela figura (1.2). As equações de movimento dos corpos com massas m1 e m2 são

m1ẍ1 = k(x2 − x1 − l) m2ẍ2 = −k(x2 − x1 − l)

10 CAPÍTULO 1. MECÂNICA NEWTONIANA 1.3

x

x 1

2x

m 1

m 2

Figura 1.2: Duas massas presas por uma mola observadas de um referencial inercial.

onde l representa o comprimento natural da mola. Definindo coordenadas relativas e de centro de massa por

r = x2 − x1 − l, R = m1x1 +m2x2 m1 +m2

e as massas total e reduzida

M = m1 +m2, µ = m1m2 m1 +m2

podemos mostrar facilmente que as equações de movimento se reduzem a

µr̈ = −kr MR̈ = 0.

Tanto as equações para x1 e x2 quanto para r e R são invariantes por translações. Fazendo x1 → x1 + a e x2 → x2 + a vemos que r → r e R → R + a e as equações permanecem idênticas. Fica como exerćıcio resol- ver as equações acima, obtendo x1(t) e x2(t) em termos de suas condições iniciais, e estudar o limite em que m1 >> m2.

Exemplo 5 - Forças dependentes do tempo - Como último exemplo, consi- deremos o movimento unidimensional de uma part́ıcula sob a ação de uma força dependente do tempo. Para simplificar o cálculo vamos supor que m = 1 e que escolhemos unidades tais que F (t) = t, com t medido em ho- ras. A equação de movimento é ẍ = t. Se fizermos um experimento hoje supondo que x(0) = ẋ(0) = 0 obteremos a trajetória x1(t) = t

3/6. Se repetirmos o experimento amanhã sob as mesmas condições teremos que fazer x(T ) = ẋ(T ) = 0 onde T = 24 horas. A solução será x2(t) = t3/6 − tT 2/2 + T 3/3. Vamos agora comparar as trajetórias. Para tentar

1.4 1.4. MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA 11

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 0

200

400

600

800

1000

x( t')

,x (t)

t',t

x(t') x(t)

Figura 1.3: Trajetórias para x1(t) = t 3/6 (linha preta) e x2(t

′) = t′3/6+t′2T/2 (linha vermelha), as trajetórias não são as mesmas como esperado.

sobrepô-las em um mesmo gráfico (figura 1.3) temos que fazer t′ = t− T em x2, o que resulta x2(t

′) = t′3/6 + t′2T/2 (veja que x(t′ = 0) = ẋ(t′ = 0) = 0). As trajetórias não são as mesmas, como esperado, pois essa força viola a invariância por translações temporais. Problemas onde aparecem forças de- pendentes do tempo são bastante comuns e não estão errados. Como no exemplo 3 acima, eles descrevem apenas uma parte do sistema, não o todo, o que pode ser conveniente em alguns casos. Incluindo na descrição a parte responsável pelo aparecimento dessas forças externas, o sistema global deve voltar a apresentar as propriedades de invariância desejadas.

1.4 Movimento de uma part́ıcula

Nesta seção vamos estudar as propriedades gerais do movimento de uma part́ıcula sujeita a forças externas. Vamos supor que as observações são feitas em um SIR e que a massa da part́ıcula é constante. Além do momento linear p = mv, vamos definir também o momento angular da part́ıcula em relação à origem como

L = r× p (1.5)

12 CAPÍTULO 1. MECÂNICA NEWTONIANA 1.4

e o torque da força externa como

N = r× F. (1.6)

Derivando L em relação ao tempo obtemos

dL

dt = dr

dt ×mṙ + r× dp

dt = r× F = N (1.7)

Com esse resultado, e com a segunda lei de Newton, derivamos dois impor- tantes teoremas de conservação:

Teorema de conservação do momento linear - Se a força total agindo sobre uma part́ıcula é nula, então ṗ = 0 e seu momento linear permanece constante durante o movimento.

Teorema de conservação do momento angular - Se o torque total agindo sobre a part́ıcula é nulo, então L̇ = 0 e seu momento angular perma- nece constante durante o movimento.

Outro conceito extremamente útil é o do trabalho realizado por uma força. Seja r(t) a trajetória de uma part́ıcula de massa m que se move sob a ação da força externa F. O trabalho realizado por F entre os pontos r1 = r(t1) e r2 = r(t2) ao longo de sua trajetória é definido por

W12 =

∫ r2 r1

F · dr (1.8)

onde a integral acima é uma integral de linha feita ao longo da trajetória da part́ıcula, isto é, dr = vdt. Podemos reescrever o trabalho como

W12 =

∫ t2 t1

m dv

dt · vdt =

∫ t2 t1

m

2

d

dt (v2)dt

= mv21

2 − mv

2 2

2 ≡ T1 − T2.

(1.9)

onde v2 = v2x + v 2 y + v

2 z e T (t) = mv

2(t)/2 é a energia cinética da part́ıcula no instante t. Esse resultado é conhecido como

1.4 1.4. MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA 13

Teorema do trabalho-energia - O trabalho realizado por uma força externa F entre os pontos r1 e r2 é igual à variação da energia cinética da part́ıcula entre esses dois pontos.

Consideremos agora a integral (1.8) entre os pontos r1 e r2 ao longo de um caminho arbitrário γ e vamos supor que F depende apenas da posição r. Se o valor da integral não depender do caminho, mas apenas dos pontos iniciais e finais, i.e., se ∫

γ1

F · dr = ∫ γ2

F · dr

então, o valor da integral ao longo do caminho fechado γ = γ1 − γ2 deve se anular. Usando o teorema de Stokes teremos∮

γ

F · dr = 0 = ∫ Sγ

(∇× F) dA,

onde Sγ é qualquer superf́ıcie limitada pela curva γ. Se isso vale para qualquer curva fechada, então ∇× F = 0. Nesse caso podemos escrever

F(r) = −∇V (r) (1.10)

onde V é chamada de energia potencial, e a força é dita conservativa. Lem- brando que

dV ≡ V (r + dr)− V (r) = ∂V ∂x

dx+ ∂V

∂y dy +

∂V

∂z dz = ∇V · dr

temos que

F · dr = −∇V · dr = −dV

e ∫ r2 r1

F · dr = − ∫ r2 r1

dV = V (r1)− V (r2) ≡ V1 − V2.

Da equação (1.9) vem que

T2 − T1 = V1 − V2

ou ainda, definindo a energia total E = T + V , vemos que E2 = E1, i.e., o valor da energia no ponto 1 é igual a seu valor no ponto 2.

14 CAPÍTULO 1. MECÂNICA NEWTONIANA 1.5

Teorema de conservação da energia - Se as forças agindo sobre uma part́ıcula forem independentes da velocidade e do tempo e forem conservati- vas, i.e., se ∇× F = 0, então a energia total E = mv2/2 + V (r) é constante ao longo do movimento.

Note que em uma dimensão toda força da forma F = F (x) será necessa- riamente conservativa. Veremos alguns exemplos desse caso a seguir.

1.5 Movimento em uma dimensão

Considere uma part́ıcula de massa m movendo-se em uma dimensão sob a ação de uma força F (x). Como F = −dV/dx, a energia potencial é dada por

V (x) = − ∫ x x̃

F (x′)dx′

onde a constante x̃ pode ser escolhida conforme a conveniência do problema. A energia total da part́ıcula

E = m

2

( dx

dt

)2 + V (x) (1.11)

é uma constante do movimento, determinada unicamente pelas condições iniciais. Resolvendo essa equação para a velocidade obtemos

dx

dt =

√ 2

m (E − V (x)),

que pode ser integrada diretamente. Escrevendo que x(0) = x0 encontramos

t =

√ m

2

∫ x(t) x0

dx′√ (E − V (x′))

. (1.12)

Se conseguirmos resolver a integral explicitamente obteremos uma expressão para t em função de x, que, ao ser invertida, resultará na solução procurada, x = x(t).

Como um exemplo simples considere o oscilador harmônico V (x) = kx2/2 = mω20x

2/2 onde ω0 = √ k/m. Escolhendo x0 = 0 a integral fica

t =

√ m

2E

∫ x 0

dx′√ 1−mω20x′2/2E

.

1.5 1.5. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 15

Fazendo a substituição x′ = √

2E/mω20 sin θ a integral fica simplesmente√ 2E/mω20 θ e

t =

√ m

2E

√ 2E

mω20 θ =

1

ω0 θ,

ou θ = ω0t. Substituindo de volta em x obtemos o resultado esperado x(t) =√ 2E/mω20 sin (ω0t).

1.5.1 Osciladores anarmônicos

O movimento de uma part́ıcula sob a ação de forças não harmônicas pode ser bastante complicado e, só em casos particulares, as equações de movimento, podem ser resolvidas analiticamente. Nesta seção vamos ainda nos restringir a sistemas unidimensionais e considerar inicialmente uma part́ıcula sob a ação de uma força conservativa dada pelo potencial V (x) = ax4/4 + bx3/3 + cx2/2 + dx + e. A constante e pode ser eliminada pois não modifica a força F (x) = −dV/dx. Podemos ainda eliminar d fazendo x→ x+α e escolhendo α de maneira apropriada. Fixando a = 1, o que corresponde a re-escalar a variável x, obtemos uma expressão simplificada dada por

V (x) = x4

4 + bx3

3 + cx2

2 .

Os pontos onde V ′(x) ≡ dV/dx = 0 correspondem a pontos de equiĺıbrio da part́ıcula, pois a força é nula nesses pontos. A estabilidade do ponto de equiĺıbrio é dada pelo valor de V ′′(x): o ponto é estável se V ′′(x) > 0 (mı́nimo da energia potencial) e instável se V ′′(x) < 0 (máximo da energia potencial).

Nesse caso, os pontos de equiĺıbrio são dados por

x0 = 0 , x± = − b

2 ± 1

2

√ b2 − 4c

com

V ′′(x) =

 c se x = x0

1 2 (b2 − 4c)∓ b

2

√ b2 − 4c se x = x±

Os pontos x± só existem quando b 2 > 4c. A figura (1.4) mostra um

diagrama da estabilidade dos pontos de equiĺıbrio no plano c-b. Na região branca, dentro da parábola, só o ponto x0 existe e é estável. Em toda região

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