Trabalho de... - digitado - vinicius oliveira batista nepomuceno-011742, Trabalhos de Engenharia Mecânica
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Vibrações mecânicas
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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI

Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

VINICIUS OLIVEIRA BATISTA NEPOMUCENO

011742

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

ITAJUBÁ 2017

Vibração Livre com Amortecimento Viscoso

O amortecimento é justamente a capacidade de um sistema em dissipar energia. Amortecimento viscoso é apresentado como modelo mais simples de amortecimento. Pois sua força dissipativa é proporcionada por um fluido viscoso. Onde essa força é necessariamente proporcional à velocidade relativa entre as superfícies em movimento ao existir um fluido separando-as. A força de amortecimento viscoso Fa tem como expressão:

Onde c é a constante de amortecimento.

Equação do movimento

A Fig. 2.21a mostra o sistema de um grau de liberdade com amortecimento. Sendo a força de amortecimento de natureza viscosa, é igual à expressão (2.24), do diagrama de corpo livre da Fig. 2.21b, aplicando a 2ª Lei de Newton, permite escrever a equação:

Reescrevendo:

Admitindo a solução da equação (2.25) xt = Cest que, quando inserida na equação, tem como resultado

Ou

Onde as raízes são:

E como as duas raízes satisfazem a equação diferencial (2.25), a solução se dará por uma combinação linear das mesmas, dessa maneira:

Constante de Amortecimento Crítico

A constante de amortecimento crítico cc é definida como o valor da constante de amortecimento c, onde o da expressão (2.27) seja igual a 0. Assim, tem-se:

Reescrevendo

Fator de Amortecimento

A constante de amortecimento c indica uma relação entre a força de amortecimento e a velocidade relativa entre as partes em movimento. Porém, ela não proporciona uma visão da quantidade de amortecimento que atua sobre o sistema real, de modo que uma força de amortecimento pode ser grande para um sistema e pequena para outro, dependendo, necessariamente das massas envolvidas e da rigidez. Então, se define o fator de amortecimento, que é uma quantidade adimensional e não depende da ordem de grandeza dos parâmetros do sistema, indicando claramente o quanto o sistema está sendo

amortecido. O fator de amortecimento é definido através da relação entre a constante de amortecimento do sistema e a constante de amortecimento crítica.

Com o valor de cc dado na expressão (2.29) obtém-se

Considerando w = k/m, junto a expressão (2.31), as raízes (2.27) podem ser escritas dessa maneira:

Inserindo (2.32) em (2.28), nota-se

A expressão (2.33) pode ser considerada como a expressão geral para o movimento vibratório de um sistema com um grau de liberdade. E para = 0 mostra-se que esta expressão se transforma em (2.17), onde é representado o movimento de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento.

A forma do movimento representado por (2.33) depende necessariamente dos expoentes presentes e também da natureza das raízes em (2.32). A seguir serão apresentadas as possibilidades de movimento em função da natureza destes expoentes sendo eles reais, complexos ou nulos. Onde a natureza destes tais expoentes depende expressamente do fator de amortecimento .

Caso 1: Sistema sub-amortecido -

Nesse caso analisado, o sistema possui um fator de amortecimento menor que a unidade, significando que sua constante de amortecimento é menor que a constante de amortecimento crítico. A partir daí tem-se

Então (2.33) será escrita dessa forma

Considerando as fórmulas de Euler, e±iα cos sen , pode ser reescrita

E através das relações trigonométricas cosa b cosa cosb ± sena senb, obtém-se

As constantes de integração X e , são obtidas aplicando-as as condições iniciais xt 0 x0 e xt 0 v0 diretamente na expressão (2.36), que resulta em

E

A forma do movimento representado pela expressão (2.36) é mostrada na Fig. 2.22. Que se trata de um movimento harmônico com forma cos √1 2 n t ), e amplitude decrescente exponencialmente segundo a relação Xe n t . Nota-se que o efeito do amortecimento está presente na amplitude decrescente, que representa a dissipação de energia vibratória. Para grandes valores de t o termo Xen t 0.

O movimento continua sendo harmônico porquê apenas uma freqüência está presente no sistema. A freqüência de oscilação a partir disso não é mais considerada freqüência natural e sim a freqüência da vibração livre amortecida, que é dada dessa forma

d se aproxima de n para pequenos valores de . A variação de d com é mostrada na Fig. 2.23.

Caso 2 - Sistema Criticamente Amortecido -

Quando a constante de amortecimento c é igual à constante de amortecimento crítico cc, assim as raízes dadas em (2.32) são reais e iguais, sabendo que

Para o caso de raízes reais e iguais, a solução da equação diferencial (2.25) assumirá esta forma:

Aplicando-se as condições iniciais xt 0 x0 e xt 0 v0 diretamente à expressão (2.40), as constantes de integração são obtidas como C1 = x0 e C2 v0 + n x0 , que resulta em

A Fig. 2.24 mostra o movimento criticamente amortecido, assim como os outros tipos de movimentos amortecidos. Em função do termo exponencial negativo o movimento consequentemente tende a zero com o crescimento do tempo. Como o movimento não é mais harmônico, nesse tipo de sistema não ocorrerá oscilações completas: a massa sempre retornará rapidamente para a sua posição de equilíbrio.

Caso 3 - Sistema Super-Amortecido -

Quando 1 a constante de amortecimento c é maior que a constante de amortecimento crítico Cc, assim, as raízes dadas em (2.32) são reais e diferentes, sabendo que

E a solução da equação diferencial volta à forma dada em (2.33).

Introduzindo as condições iniciais xt 0 x0 e xt 0 v0, em (2.33), pode-se determinar constantes de integração, que serão

O movimento super-amortecido também está mostrado na Fig. 2.24 podendo se enxergar que não é oscilatório. Comparando os três casos descritos acima e conclui-se que movimento oscilatório só acontece em sistemas subamortecidos (< 1). Sistemas criticamente amortecidos e super- amortecidos tem como característica principal, o fato de que toda a energia vibratória inicial se dissipa antes que seja concluído um ciclo vibratório. Consequentemente não existe vibração. A partir da observação da Fig. 2.24 pode se concluir que o sistema retorna mais rapidamente à sua posição de equilíbrio quando está criticamente amortecido do que quando está super- amortecido. Assim, quando for desejado que um sistema retorne rapidamente, sem vibrações, à sua posição inicial depois de se deslocar dela, deve-se escolher uma quantidade de amortecimento que torne o sistema criticamente amortecido. Na prática, os valores que são menores do que o amortecimento crítico ( = 0.7) permitem o retorno à posição de equilíbrio ainda mais rapidamente, permitindo que se ocorra apenas uma oscilação. Este valor é expressamente usado em amortecedores de veículos, pois quando eles, ao serem submetidos às irregularidades de ruas e estradas, devem retornar o quanto antes para a sua posição original.

Decremento Logarítmico

Um problema apresentado normalmente à quem estuda sistemas vibratórios é estimar o fator de amortecimento . Quando se possui um registro, que se resulta após uma medição, de um movimento vibratório, pode-se observar a queda exponencial da amplitude de vibração com o tempo. O método do decremento logarítmico se baseia na comparação entre dois deslocamentos medidos de um movimento vibratório livre amortecido.

A Fig. 2.22 relata o registro de um movimento vibratório livre de um sistema de um grau de liberdade. E se tratando de movimento oscilatório, o sistema é sub-amortecido, e a expressão que descreve esse movimento é a (2.36). Se x1 é o deslocamento medido no tempo t1 e x2 é o deslocamento medido no tempo t2, a relação entre x1 e x2 está descrita em

Se os dois deslocamentos são medidos em tempos separados por um período completo, então t2=t1+2d com d = 2/d, de modo que

Tornando (2.43) em

Então, o decremento logarítmico é definido dessa maneira

Para sistemas com amortecimento muito baixo (<<1), a expressão (2.44) pode ser redigida assim

A Fig. 2.25 mostra graficamente a relação entre e onde pode-se ver que a curva (2.44) se aproxima da reta descrita por (2.45) quando < 0.3.

Dessa modo, o método funciona a partir de duas medidas do movimento, x1 e x2 seguido do cálculo do decremento logarítmico por (2.44), e a seguir, o fator de amortecimento , que é calculado por

Em grande parte dos casos, é difícil a distinção entre dois deslocamentos separados por apenas um único período. O decremento logarítmico, seguindo o raciocínio apresentado anteriormente poderá ser obtido através de duas medidas x1 e xm+1 .

Tendo

A partir daí, se obtém o decremento logarítmico

Energia Dissipada no Amortecimento Viscoso

Sabemos que amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia, sendo assim, seria útil estabelecer uma relação entre a energia dissipada e a constante de amortecimento ou o fator de amortecimento do sistema. Onde se tratando de vibração livre, toda a variação de energia se dá por conta da dissipação: o movimento possui inicialmente uma quantidade de energia que vai diminuindo progressivamente. A taxa de variação da energia x tempo é dada desse modo

Onde é assumido que a força responsável pela variação, é a força de amortecimento viscoso. O sinal negativo representa a variação negativa da energia, que no caso, se dá pelo fato do sistema ser dissipativo.

Quando o fator de amortecimento é pequeno, considera-se que a amplitude permanece constante em um ciclo da vibração sendo x(t) = X cos dt. Então, a energia dissipada no ciclo vibratório é

Que resulta em

A partir da expressão (2.49) conclui-se que a energia dissipada depende, assim como da constante de amortecimento c, mas como também da freqüência da vibração livre amortecida d, e do quadrado da amplitude do movimento vibratório X.

A relação entre a energia que é dissipada durante um ciclo e a energia total que estava presente no início do ciclo define a capacidade de amortecimento do sistema. Consolidando o início do ciclo, o instante de tempo em que o sistema possui a máxima energia cinética (ou também potencial), pode ser dada dessa forma

A capacidade específica de amortecimento é dada relacionando as equações (2.49) e (2.50)

O coeficiente de perda também pode ser utilizado para se representar a capacidade de amortecimento de materiais. Que é obtido a partir de (2.51) de modo que

Exemplo 2.10 A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000N e está montada sobre uma base que tem rigidez de 5 x 106 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 N.s/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é o martelo de queda, martelo o pilão) com peso de 1.000 N é acionado e cai de uma altura de 2m sobre uma bigorna (figura 2.30 a). Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja de 0,4.

Solução:Em primeiro lugar, usamos o principio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto contra a bigorna por vt1 e vt2, respectivamente. De maneira semelhante, va1 e va2 representam, respectivamente, as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto (figura2. 30b). Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação a sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O principio da conversão de momento da

Onde va1 = 0 (a bigorna esta em repouso antes do impacto) e vt1 pode ser determinada igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura de h = 2m:

Ou

Assim, a Equação (E1) torna-se

Isto é,

A definição do coeficiente de restituição (r) dá:

Isto é,

Isto é,

A solução das equações (E3) e (E5) dá

Assim, as condições iniciais da bigorna são dadas por

O fator de amortecimento é igual a

As frequências naturais não amortecidas e amortecidas da bigorna são dadas por

A resposta ao deslocamento da bigorna é dada pela Equação (2.72)

Exemplo 2.11- Um absorvedor de choque é projetado para uma moto de massa igual a 200 kg (Fig. 2.26a). Quando o absorvedor é submetido a uma velocidade inicial devido a uma irregularidade no caminho, a curva resultante deslocamento x tempo é como a mostrada na Fig. 2.26b. Determinar as constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o absorvedor se o período de vibração amortecida é 2 seg e a amplitude x1 deve ser reduzida para ¼ em meio ciclo (x1,5=x1/4). Determinar também a velocidade inicial mínima que produz um deslocamento máximo de 250 mm.

Solução: Inicialmente deve se determinar o fator de amortecimento, obtido a partir do decremento logarítmico . Então, pode se obter a constante de amortecimento. A rigidez é determinada através da freqüência da vibração livre amortecida. A velocidade inicial é obtida quando é determinado o tempo correspondente ao máximo deslocamento.

Se x1,5 = x1/4, então o deslocamento x2, correspondente a um período após x1 será x2 = x1,5/4 = x1/16. Então o decremento logarítmico é

Através da expressão (2.46) se determina o fator de amortecimento por

A freqüência natural é obtida a partir do período da oscilação amortecida d = 2 seg

Sendo m = 200 kg constante de amortecimento crítico é obtida por

A constante de rigidez é dada por

O tempo em que ocorre o máximo deslocamento é o mesmo tempo em que a velocidade se anula. A equação da velocidade é obtida diferenciando-se a expressão (2.36) em relação ao tempo, resultando

Que será nula se o termo entre colchetes se anular. Considerando as expressões (2.37), sendo o deslocamento inicial nulo, com, consequentemente, e X = v0/d e as relações trigonométricas

Chega-se a

A expressão (2.36), para o presente caso torna-se

Como este valor máximo é 0,25 m tem-se

E, substituindo os respectivos valores, obtém-se

Exemplo 2.12 - O diagrama esquemático de um canhão é mostrado na Fig. 2.27. Quando a arma é disparada, gases a alta pressão aceleram o projétil dentro do cano até o mesmo atingir uma alta velocidade. A força de reação empurra o corpo do canhão na direção oposta à do projétil. Como é desejável trazer o corpo do canhão para a posição original no menor tempo possível, sem oscilar, coloca-se um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido no mecanismo de recuo. Em um caso particular o mecanismo de recuo e o corpo do canhão possuem uma massa de 500 kg com uma mola de rigidez 10000 N/ m. O canhão recua 0,4 m após o tiro. Determine (1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor; (2) a velocidade inicial de recuo do canhão; (3) o tempo gasto pela arma para retornar à posição situada a 0,1m de sua posição inicial.

Solução:

1. A constante de amortecimento crítico é obtida pela expressão (2.29). De modo que seja necessário determinar a freqüência natural:

Então, a constante de amortecimento crítico será:

2. Antes de determinar a velocidade inicial de recuo é necessário determinar a resposta do sistema criticamente amortecido, dada em (2.41). Se o sistema se iniciar da posição de equilíbrio, x0 = 0, com a Eq. (2.41), origina

Onde se deve derivar para concluir o tempo em que ocorre o máximo deslocamento

Verificando quando

Chegando

3. O tempo gasto para o canhão voltar à posição original se determina utilizando a expressão do deslocamento

Que resulta em

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