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Vibrações mecânicas
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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI

Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

MARCOS ADRIANO APARECIDO DE PAIVA 011437

VIBRAÇÕES

ITAJUBÁ-MG 2017

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO TEÓRICA..........................................................................................................3

1.1 Conceito Básico de Vibração..................................................................................................3

1.2 Importância do estudo de vibração.........................................................................................3

2. CLASSIFICAÇÃO DE VIBRAÇÕES........................................................................................3

2.1 Vibração livre e Vibração forçada...........................................................................................4

3. VIBRAÇÃO LIVRE COM AMORTECIMENTO VISCOSO.....................................................4

3.1 Solução.......................................................................................................................................5

4. Decremento Logarítmico..............................................................................................................12

5. Sistemas torcionais com amortecimento viscoso.....................................................................16

EXEMPLO 2.10.................................................................................................................................17

EXEMPLO 2.11.................................................................................................................................19

EXEMPLO 2.12.................................................................................................................................22

Referências Bibliográficas............................................................................................................24

1. INTRODUÇÃO TEÓRICA

1.1 Conceito Básico de Vibração Qualquer movimento que se repita após um intervalo de tempo é denominado

vibração ou oscilação. O balançar de um pêndulo e o movimento de uma corda

dedilhada são exemplos típicos de vibração. A teoria de vibração trata do estudo de

movimentos oscilatórios de corpos e as forças associadas a eles (RAO, Singiresu

S.,2008)

1.2 Importância do estudo de vibração A maioria das atividades humanas envolve vibração de uma forma ou de outra.

Por exemplo, ouvimos porque nossos tímpanos vibram, e vemos porque as ondas

de luz sofrem vibração. A respiração está associada à vibração dos pulmões, e

andar envolve movimento oscilatório (periódico) de pernas e mãos. Mais

recentemente, muitas investigações foram motivadas pelas aplicações da vibração

na área da engenharia, como projetos de maquinas, fundações, estruturas, motores,

turbinas e sistemas de controle (RAO, Singiresu S.,2008).

Apesar dos seus efeitos danosos, a vibração pode ser utilizada a favor em

várias aplicações industriais e de consumo. Na verdade, as aplicações de

equipamentos vibratórios aumentaram consideravelmente nos últimos anos. A

vibração também é usada em bate-estacas, testes vibratórios de materiais,

processos vibratórios de acabamento e circuitos eletrônicos na filtragem de

frequências indesejadas. Constatou-se que a vibração melhora a eficiência de certos

processos de usinagem, fundição, forjamento e soldagem (RAO, Singiresu S.,2008).

2. CLASSIFICAÇÃO DE VIBRAÇÕES

De acordo com as notas de aula, vibrações podem ser classificadas de várias

maneiras. Algumas dessas classificações encontra-se a vibração forçada e livre,

vibração linear e não linear, vibração determinística e aleatória.

3

2.1 Vibração livre e Vibração forçada Vibração livre: Se um sistema, após uma perturbação inicial, continuar a vibrar por conta própria, a vibração resultante é conhecida como vibração livre.

Nenhuma força externa age sobre o sistema. A oscilação de um pêndulo

simples é um exemplo de vibração livre (RAO, Singiresu S.,2008).

Vibração forçada: Se um sistema estiver sujeito a uma força externa (muitas vezes, uma força repetitiva), a vibração resultante é conhecida como vibração

forçada. A oscilação que surge em maquinas, como motores a diesel, é um

exemplo de vibração forçada.

Se a frequência da força externa coincidir com uma das frequências naturais

do sistema, ocorre uma condição conhecida como ressonância, e o sistema

sofre oscilações perigosamente grandes. Falhas de estruturas como edifícios,

pontes, turbinas e asas de aviões foram associadas a ocorrência de

ressonância.

3. VIBRAÇÃO LIVRE COM AMORTECIMENTO VISCOSO

Amortecimento viscoso é o mecanismo de amortecimento mais comumente

usados em análise de vibrações. Quando sistemas mecânicos vibram em um

meio fluido como ar, gás, água e óleo, a resistência oferecida pelo fluido ao

corpo em movimento faz que a energia seja dissipada. Nesse caso, a

quantidade de energia dissipada depende de muitos fatores como o tamanho e

a forma do corpo em vibração, a viscosidade do fluido, a frequência de

vibração e a velocidade do corpo em vibração. Exemplos típicos de

amortecimento viscoso são: película de fluido entre as superfícies deslizantes,

fluxo de fluido ao redor de um pistão dentro de um cilindro, fluxo de fluido

através de um orifício e película de fluido ao redor de um mancal de apoio.

Na equação acima temos que C é a constante de amortecimento ou

coeficiente de amortecimento viscoso, que apresenta sinal negativo indicando

que a força de amortecimento é oposta ao sentido da velocidade.

4

Se x for medida em relação à posição de equilíbrio da massa m, a aplicação

da lei de Newton dá a equação de movimento:

3.1 Solução Para resolver a equação (2.59), admitimos uma solução na forma:

5

onde C e s são constantes indeterminadas. A inserção dessa função na

Equação (2.59) resulta na equação característica

cujas raízes são

Estas raízes dão duas soluções para a Equação (2.59):

Assim, a solução geral da Equação (2.59) é dada por uma combinação das duas

soluções x1(t) e x2(t):

Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições

iniciais do sistema.

Constante de amortecimento crítico

De acordo com as notas de aula, a constante de amortecimento crítico Cc é definida

como o valor de c que faz com que o discriminante ∆ da expressão (2.62) se anule.

Isso porque, é do sinal deste discriminante que depende a natureza das raízes: ∆ >

0 implica em raízes reais enquanto que para ∆<0 as raízes formarão um par

complexo. ∆=0, se apresenta como o limite entre estas duas situações distintas.

Tem-se então

6

ou

Fator de amortecimento

A constante de amortecimento c dá uma indicação da relação entre a força de

amortecimento e a velocidade relativa entre as partes em movimento. Ela, porém,

não proporciona uma visão da quantidade de amortecimento que atua sobre o

sistema real, uma vez que uma força de amortecimento pode ser grande para um

sistema e pequena para outro, dependendo, fundamentalmente das massas

envolvidas e da rigidez. Define-se, então, o fator de amortecimento que é uma

quantidade adimensional e não depende da ordem de grandeza dos parâmetros do

sistema, indicando expressamente o quanto o sistema está sendo amortecido. O

fator de amortecimento é definido como a relação entre a constante de

amortecimento do sistema e a constante de amortecimento crítica.

Pelas equações (2.66) e (2.65), podemos escrever

E por consequência,

Assim, a solução, Equação (2.64), pode ser escrita como

7

Pode se perceber que o caso ζ = 0 resulta nas vibrações não amortecidas. Por

consequência, admitimos que ζ ≠ 0 e consideramos os três casos seguintes.

Caso 1 – Sistema Subamortecido

No primeiro caso analisado o sistema possui um fator de amortecimento menor que

a unidade, o que significa que sua constante de amortecimento é menor que a

constante de amortecimento crítico (SURE SOEIRO, 2007, Pará). As raízes de s1 e

s2 podem ser expressas como

e a solução, Equação (2.69), pode ser escrita de formas diferentes:

8

Onde (C’1, C’2), (X, Ø) e (X0, Ø0) são constantes arbitrárias a ser determinadas pelas

condições iniciais.

Para as condições iniciais x(t = 0) = x0 e ẋ(t = 0) = ẋ0, podemos determinar C’1 e C’2:

A forma do movimento representado pela equação (2.72) é mostrada na figura a

seguir. Trata-se de um movimento harmônico com forma senoidal, e amplitude

decrescente exponencialmente segundo a relação e- ζwnt. . Observa-se que o efeito do

9

amortecimento está presente na amplitude decrescente, representando a dissipação

da energia vibratória.

De acordo com notas de aula, a frequência de oscilação agora já não é mais a

frequência natural e sim chamada de frequência da vibração livre amortecida, dada

por

O caso subamortecido é muito importante no estudo de vibrações mecânicas, por é o único que resulta em um movimento oscilatório.

Caso 2 – Sistema criticamente amortecido

De acordo com Soeiro (2007), quando ζ = 1, a constante de amortecimento Ceq é igual à constante de amortecimento Cc.

Por causa das raízes repetidas, a solução de Equação (2.59) é dada por [2.6]

Aplicando as condições iniciais para esse caso, tem-se:

Na solução (equação) abaixo nos permite analisar que o movimento representado não é periódico, visto que e- wnt → 0 quanto t → ∞, o movimento diminuirá até zero.

10

Comparação entre movimentos com tipos diferentes de amortecimento

Caso 3 –Sistema superamortecido

De acordo com notas de aula, quando ζ > 1 a constante de amortecido c é maior que a constante de amortecimento critico Cc, implicando que as raízes dadas em (2.68) são reais e distintas, a saber

Logo, aequação (2.69) pode ser expressa como:

Aplicando as condições iniciais, determinam-se as constantes de integração, que se tornam:

11

De acordo com notas de aula, o movimento super-amortecido também está mostrado na figura presente no caso 2 e se pode ver que não é oscilatório. Se pode comparar os três casos descritos acima e concluir que movimento oscilatório só acontece em sistemas sub-amortecidos (ζ < 1). Sistemas criticamente amortecidos e super-amortecidos apresentam como característica principal, o fato de que toda a energia vibratória inicial se dissipa antes que ocorra um ciclo vibratório. Consequência: não há vibração. Uma conclusão que se tira da figura que presente no caso 2 que mostra a comparação entre movimentos com tipos diferentes de amortecimento é que que o sistema retorna mais rapidamente à posição de equilíbrio quando esta criticamente amortecido do que quando está super- amortecido. Portanto, quando se desejar fazer com que um sistema retorne rapidamente, sem vibrar, à sua posição inicial depois de deslocado dela, se deve escolher uma quantidade de amortecimento que torne o sistema criticamente amortecido. Na prática, valores menores do que o amortecimento critico (ζ < 0,7) permitem o retorno a posição de equilíbrio mais rapidamente ainda, permitindo-se que ocorra apenas uma oscilação. Este valor é usado em amortecedores de veículos, pois os mesmo, quando submetidos às irregularidades de ruas e estradas, devem retornar o mais rapidamente à sua posição original.

4. Decremento Logarítmico Um problema que se apresenta normalmente para quem estuda sistemas vibratórios

é estimar o fator de amortecimento ζ. O decremento logarítmico representa a taxa de

redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida. Consideramos como

T1 e T2 os tempos correspondentes as duas amplitudes consecutivas medidas com

um ciclo de diferença entre uma e outra para um sistema não amortecido.

E o decremento

logarítmico pode ser definido

como

(2.85)

12

Para sistema com amortecimento muito baixo, a expressão pode ser aproximada para

(2.86)

A figura abaixo mostra a variação do decremento logarítmico como dado pelas equações (2.85) e (2.86).

Uma vez conhecendo o decremento logarítmico, o fator de amortecimento pode ser determinado resolvendo-se a Equação (2.85):

(2.87)

13

Se optarmos por usar a Equação (2.86), temos

(2.88)

Segundo notas de aula, é difícil distinguir entre dois deslocamentos separados por um único período, o decremento logarítmico, seguindo o mesmo raciocínio apresentado acima pode ser obtido a partir de duas medidas X1 e Xm=1.

(2.89)

(2.90)

(2.91)

(2.92)

Energia dissipada em amortecimento viscoso

Segundo notas de aula, o amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia, é útil se estabelecer uma relação entre a energia dissipada e a constante de amortecimento (ou o fator de amortecimento) do sistema. Em se tratando de vibração livre, toda a variação de energia resulta da dissipação: o movimento possui inicialmente uma quantidade de energia que vai diminuindo progressivamente. A taxa de variação da energia com o tempo é dada por

(2.93)

onde assumiu-se que a força responsável pela variação é a força de amortecimento viscoso. O sinal negativo representa a variação negativa da energia, em virtude do sistema dissipativo.

Quando o fator de amortecimento é pequeno, pode-se considerar que a amplitude permanece constante em um ciclo de vibração. A energia dissipada no ciclo de vibração é, portanto

(2.94) A Equação (2.94) é válida mesmo quando há uma mola de rigidez k em paralelo ao amortecedor viscoso. Para isso, considere o sistema mostrado na figura a seguir.

14

A força total resistente ao movimento pode ser expressa como

(2.95) Se admitirmos movimento harmônico simples

(2.96) Como antes, a Equação (2.95) torna-se

(2.97) A energia dissipada em um ciclo completo será

(2.98)

Em geral, a capacidade específica de amortecimento é dada por

Segundo notas de aula, a capacidade específica de amortecimento do sistema é definida como a relação entre a energia dissipada durante um ciclo e a energia total que estava presente no início do referido ciclo.

15

(2.100)

5. Sistemas torcionais com amortecimento viscoso

Considere um sistema torcional com um grau de liberdade com um amortecedor viscoso, como mostrado na figura (a) a seguir. O torque de amortecimento viscoso é dado por (figura b):

(2.101)

A equação do movimento pode ser derivada como

(2.102)

Onde Jo = momento de inércia de massa do disco, kt = constante elástica do sistema e Θ = deslocamento angular do disco. No caso de um sistema subamortecido, a frequência de vibração amortecida é dada por

(2.103) Onde

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(2.104) e

(2.105)

onde ctc é a constante crítica de amortecimento por torção.

EXEMPLO 2.10 Resposta da bigorna de um martelo de forjar

A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000N e está montada sobre uma base que tem uma rigidez de 5 x 10^6 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 N.s/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo ou pilão) com peso de 1.000N é acionado e cai de uma altura de 2m sobre a bigorna (Figura 2.30(a)). Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0.4.

Solução: Em primeiro lugar, usamos o princípio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto contra a bigorna por Vt1 e Vt2, respectivamente, as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto (Figura 2.30(b)). Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação à sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O princípio de conversação de momento dá

(E.1)

onde Va1 = 0 (a bigorna está em repouso antes do impacto) e V t1 pode ser determinada igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura de h = 2m:

(E.2)

A figura a seguir mostra um martelo de forjar

17

Ou

Assim, a Equação (E.1) torna-se

Isto é,

(E.3) A definição do coeficiente de restituição ( r ) dá:

(E.4) Isto é,

Isto é,

(E.5)

A solução das equações (E.3) e (E.5) dá

Assim, as condições iniciais da bigorna são dadas por

O fator de amortecimento é igual a

18

As frequências naturais não amortecidas e amortecidas da bigorna são dadas por

A resposta ao deslocamento da bigorna é dada pela Equação (2.72):

EXEMPLO 2.11 Amortecedor de choque para uma motocicleta

O projeto de absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg de massa (Figura 2.31 (a)) deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada na Figura 2.31(b). Determine as constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecida for de 2 s e a amplitude x1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio-ciclo (isto é, x1,5=x1/4). Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250mm.

Abordagem: usamos a equação para o decremento logarítmico em termos do fator de amortecimento, equação para o período de vibração amortecida, tempo correspondente ao deslocamento máximo para um sistema subamortecido e envelope que passa pelos pontos máximos de um sistema subamortecido.

Solução: Visto que x1,5 = x1/4, x2 = x1,5/4 = x1/16. Por consequência, o decremento logarítmico torna-se

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Pela qual o valor de ζ pode ser determinado como ζ = 0,4037. O período de vibração amortecida é dado como 2 s. por consequência,

A constante de amortecimento critico pode ser obtida por:

Assim, a constante de amortecimento é dada por

E a rigidez por

O deslocamento da massa atingirá seu valor máximo no tempo t1, dado por

(Ver problema 2.86.) Isso dá

20

Figura 2.31 Amortecedor para uma motocicleta

Ou

O envelope que passa pelos pontos máximos (ver problema 2.86) é dada por

Já que x = 250 mm, a Equação (E.2) dá, em t1,

Ou

A velocidade da massa pode ser obtida diferenciado o deslocamento

Como

21

Quando t = 0, a Equação (E.3) dá

EXEMPLO 2.12 Análise de um canhão

O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura 2.32 [2.8]. Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao do projétil. Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo de rigidez 10.000 N/m. O recuo do canhão após um disparo é 0,4m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor, (2) a velocidade inicial do recuo do canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1 m de sua posição inicial.

Solução: 1. A frequência natural não amortecida do sistema é

E o coeficiente de amortecimento crítico (Equação 2.65) do amortecedor é

2. A resposta de um sistema criticamente amortecido é dada pela Equação (2.78):

(E.1)

Onde C1 = x0 e C2 = ẋ0 + wnx0. O tempo t1 no quão x(t) alcança um valor máximo pode ser obtido fazendo ẋ(t) = 0. A diferenciação da Equação (E.1) dá

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Por consequência, ẋ(t) = 0

(E.2)

Nesse caso, x0 = C1 = 0; por consequência, a Equação (E.2) resulta em t1 = 1/wn. Visto que o valor máximo de x(t) ou a distância de recuo é dada como xmáx = 0,4m, temos

Ou

3. Se t2 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 0,1 m em relação à sua posição inicial, temos

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A solução da Equação (E.3) dá t2 = 0.8258 s

Referências Bibliográficas

RAO, SINGIRESU S., Vibrações Mecânicas, 4ª edição, editora Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2008.

SOEIRO, N.S, notas de aula de vibrações mecânicas, universidade federal do Pará, UFPA-ITEC-FEM, Belém 2007.

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