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Trabalho de vib...ções - digitado - adélcio maurício dos santos-011993, Trabalhos de Engenharia Mecânica

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Vibrações mecânicas
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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÀ

Curso de Engenharia de Mecânica - 7° Período

ADÉLCIO MAURÍCIO DOS SANTOS

011993

VIBRAÇÕES

ITAJUBÁ 2017

2.6 Vibração livre com amortecimento viscoso

2.6.1 Equação de movimento

A aplicação da Lei de Newton dá a equação de movimento:

2.6.2 Solução

Para resolver a equação ( 2.59), admitimos uma solução na forma

Onde C e s são constantes indeterminadas. A inserção dessa função na equação (2.59) resulta na equação característica

cujas raízes são

Estas raízes dão duas soluções para a equação ( 2.59):

Assim a solução geral é a combinação das equações

Onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema, Constante de amortecimento crítico e o fator de amortecimento. É definido como o valor da constante de amortecimento c para o qual o radical na equação ( 2.62) torna-se zero:

Para qualquer sistema amortecido o fator de amortecimento resulta em:

Assim a solução da equação (2.64), pode ser escrita como

Caso 1. Sistema subamortecidoS1 e S2 onde podem ser expressas como

E a equação (2.69), pode ser escrita formas diferentes:

Onde

São constantes arbitrarias a serem determinadas pelas condições iniciais.

Para

Podemos determinar

Assim a solução torna-se

As constantes

Podem ser expressas como

O movimento descrito pela equação (2.72), é um movimento harmônico amortecido de freqüência angular porem, por causa do fator e a amplitude diminui exponencialmente com o tempo.

A quantidade é denominada freqüência de vibração amortecida é sempre menor que a freqüência natural não amortecida

Caso 2.Sistema criticamente amortecido Nesse caso as raízes S1 e S2 são iguais.

Por serem raízes repetidas a equação é dada por.

A aplicação das condições iniciais para esse caso dá

Rearranjando a equação (2.72) quando por conseqüência, assim a equação se da.

Onde são novas constantes.

E a solução se torna.

Pode-se ver que o movimento representado pela equação (2.80) é periódico (isto é não periódico).Visto que quando o movimento eventualmente diminuirá até a zero.

Caso 3. Sistema superamortecido a equação (2.68) mostra que as raízes S1e S2 são reais e distintas e são dadas por.

Com . Nesse caso, a solução, pode ser expressa como.

Para condições iniciais podemos obter as constantesC1 e C2:

2.6.3 Decremento Logarítmico

O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma variação livremente amortecida. É definido como logaritmo natural da razão entre duas amplitudes sucessivas. Vamos representar por t1 e t2 os tempos correspondentes a duas amplitudes (deslocamento) consecutivas

Medidas com um ciclo de diferença entre uma e outra para um sistema não amortecido, como na figura 2.22. Pela equação (2.70), podemos expressar a razão

Porem é o período de vibração amortecida. Por conseqüência e a equação (2.83) pode ser escrita como

O decremento logarítmico pode ser obtido pela equação (2.84)

Para pequeno amortecimento a equação (2.85) pode ser aproximada

O decremento logarítmico é adimensional e, na realidade é outra forma do fator de amortecimento adimensional, uma vez conhecido pode ser determinado resolvendo-se a equação (2.85)

Se usarmos a equação (2.86) em vez da equação (2.85) temos:

Se o amortecimento não for conhecido podemos determiná-lo por meios experimentais medindo quaisquer dois deslocamentos consecutivos X1 e X2. Tomando o logaritmo natural da razão entre X1 e X2, obtemos . Pela equação (2.87), podemos calcular o fator de amortecimento .

Também pode ser determinado medindo-se dois deslocamentos separados por qualquer numero de ciclos completos. Se denotarem as amplitudes correspondentes aos tempos onde m é um numero inteiro, obtemos.

Visto que quaisquer deslocamentos dois deslocamentos sucessivos separados por um ciclo satisfazem a equação

A equação (2.89) torna-se

Assim temos os resultados das equações (2.91) e(2.85):

2.6.4 Energia dissipada em amortecimento viscoso Em um sistema amortecido viscosamente, a taxa de variação da energia com o tempo (dW/dT) é dada por.

O sinal negativo da equação (2.93) denota que a energia dissipa-se com o tempo. Suponha um movimento harmônico simples como x(t)=X sem wdt, onde X é a amplitude e a energia dissipada em um ciclo completo é dada por.

Isso mostra que a energia dissipada é proporcional ao quadrado da amplitude do movimento. A força total do sistema resistente ao movimento pode ser expressa como.

Se admitirmos movimento harmônico simples

Então a equação (2.95) torna-se

A energia dissipada em um ciclo completo será.

Também podemos calcular a fração da energia total do sistema vibratório que é dissipada em cada ciclo de movimento , como segue. A energia total do sistema W pode ser expressa como a máxima energia potencial ou como a máxima energia cinética (1/2 mv² = ½ m X²w²d). As duas serão aproximadamente iguais para valores pequenos de amortecimento. Assim,

O coeficiente de perda é definido como a razão entre a energia dissipada por radiano e a energia total de deformação:

EXEMPLO 2.10 A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000 N e está montada sobre uma base que tem uma rigidez de e um amortecimento viscoso constante de 10.000 N. s/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão ( isto é, o martelo de queda, martelo ou pilão)com peso de 1.000 N é acionado e cai de uma altura de 2m sobre a bigorna. Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0,4. O princípio de conservação de momento dá

Onde Val = 0 (a bigorna está em repouso antes do impacto) e pode ser determinada igualando sua energia potencial antes de cair de uma altura de h = 2 m:

EXEMPLO 2.11 O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg de massa ( figura 2.31 ( a) ) deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a

uma saliência na estrada, a curva deslocamento- tempo resultante deve ser como a indicada na figura 2.31 ( b). Determine as constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecido for de 2s e a amplitude X1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio-ciclo ( isto é X1,5= X1/4). Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm.

Pela qual o valor de pode ser determinado como = a 0,4037. O período de vibração amortecida é dado como 2s. Por conseqüência,

A constante de amortecimento crítico pode ser obtida por:

Assim, a constante de amortecimento é dado por

E a rigidez por

O deslocamento da massa atingira seu valor máximo no tempo t1, dado por

O envelope que passa pelos pontos máximos é dado por

Já que x=250 mm, a equação ( E.2) dá, em t1

A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento

Quando t = 0, a equação ( E.3) dá

EXEMPLO 2.12

O diagrama esquemático de um canhão de grande porte mostrado na figura 2.32. Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao do projétil. Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão após um disparo é 0,4 m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor, ( 2) a velocidade inicial de recuo do canhão ( 3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1 m de sua posição inicial.

1. A freqüência natural não amortecida do sistema é

E o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor é

2. A resposta de um sistema criticamente amortecido é dada pela equação

Onde. O tempot1 no qual xt ( t) alcança um valor máximo pode ser obtido fazendo x (t) = 0. A diferenciação da equação (E.1) dá

Assim temos

3. Se t2 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 0,1 m em relação a sua posição inicial temos

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