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Trabalho de vib...ções - digitado - willian de carvalho moreira-011447, Trabalhos de Engenharia Mecânica

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Vibrações mecânicas
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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI

Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

WILLIAN DE CARVALHO MOREIRA

011447

VIBRAÇÕES

ITAJUBÁ 2017

Quando trabalhamos com sistemas práticos, a energia de vibração é

convertida em som ou energia térmica. A forma pelo qual a vibração é transformada

em calor ou som é denominada amortecimento.

Dentre diversas formas de amortecimento nos deparamos com o

amortecimento viscoso. Esse tipo de amortecimento é o mais utilizado em analises

de vibrações. Quando os sistemas mecânicos vibram em um fluido como agua, óleo

ou gás, a resistência viscosa do fluido faz com que a energia seja dissipada. Ao

trabalhamos com esse tipo de amortecimento nota-se que a força usada para

amortecer é proporcional à velocidade do corpo em vibração.

Como visto anteriormente a força de amortecimento viscoso (F) é proporcional

á velocidade () e pode ser expressa de tal forma:

Onde o c seria o coeficiente de amortecimento ou constante de

amortecimento, o sinal negativo indicaria que a força de amortecimento é oposta ao

sentido da velocidade. Se x for medida em relação à posição de equilíbrio da massa

m, a aplicação da lei de Newton dá a equação de movimento:

Temos como exemplo a figura 2.21 que mostra um sistema de amortecimento

viscoso com um gral de liberdade.

Para se resolver a equação 2.59, admitiu-se uma solução na forma

Onde C e s são constantes indeterminadas. Ao inserir essa função na

equação temos como resultado:

Cuja as raízes vão ser

Estas raízes dão duas soluções para equação (2.59):

Sendo assim, a solução geral é dada por uma combinação entre as duas

soluções x1(t) e x2(t);

Onde C1 e C2 são constantes arbitrarias que devem ser determinadas pelas

condições inicias do sistema.

CONSTANTE DE AMORTECIMENTO CRÍTICO E FATO DE AMORTECIMENTO

O amortecimento critico Cc é o valor da constante de amortecimento c pelo

qual o radical na equação 2.59 se torna zero:

Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento ζ é dado como

razão entre a constante de amortecimento e a constante de amortecimento critico:

Através das equações 2.66 e 2.65 obtemos

Em seguida:

Assim, a solução de 2.64 pode ser escrita:

A natureza das raízes s1 e s2 é consequência do comportamento da

magnitude do amortecimento. Pode-se perceber que o caso onde ζ=0 resulta nas

vibrações não amortecidas. Para ζ≠0 podemos considerar 3 casos a seguir:

CASO 1: Sistemas subamortecido

(ζ < 1 ou c < Cc ou c\2m < ). Para essa condição,( ζ² - 1) é negativo e as

raízes s1 e s2 podem ser expressas como

A solução da equação 2.69 pode ser dada de diversas formas:

Onde (C’1,C’2),(X,ɸ) e (X0,ɸ0) são constantes arbitrarias a ser determinadas

pelas condições inicias.

Para as condições inicias x(t=0) =x0 e ẋ(t=0) = ẋ0, podemos determinar C’1 e C’2.

Por consequência, a solução torna-se.

As constantes (X, ɸ) e (X0, ɸ0) podem ser escritas da seguinte forma.

A equação 2.72 consiste em um movimento harmônico amortecido de

frequência angular ·; porem, por conta do fator a amplitude diminui

exponencialmente ao decorrer do tempo. A figura 2.22 exemplifica tal afirmação.

Para se calcular a frequência de vibração amortecida usa-se a equação 2.76:

Pode-se notar que a frequência de vibração amortecida d é sempre menor do

que a frequência natural não amortecida n.O caso subamortecido é muito importante

para o estudo de vibrações, pois consistem em ser o único que tem um movimento

oscilatório. A redução na frequência de vibração amortecida com o aumento da

quantidade de amortecimento é mostrada na figura abaixo:

CASO 2: Sistema criticamente amortecido

(ζ = 1 ou c = Cc ou c\2m = ). Para essa condição as duas raízes s1 e s2 são

iguais.

Pelo motivo de as duas raízes serem idênticas temos

Com a aplicação das condições inicias x(t=o) =x0 e ẋ (t=0) = ẋ0 para esse

caso

A solução é dada por

Pode-se analisar que a equação 2.80 não é periódica, ou seja, aperiódica,

pois = 0 quando t = ·, sendo assim o movimento se dissipara ate zerar-se.

CASO 3: Sistemas superamortecidos

(ζ > 1 ou c > Cc ou c\2m > ) e, > 0, as raízes serão reais porem destintas

Com s2<< s1.

Para as condições inicias x(t=0) = x0 e ẋ= (t=0) = ẋ0, C1 e C2 ficam.

O movimento superamortecido se pode ver que não é oscilatório. Ao

comparar os três casos descritos acima e conclui-se que movimento oscilatório só

acontece em sistemas subamortecidos (ζ< 1).

Sistemas criticamente amortecidos e superamortecidos apresentam como

característica, o fato de que toda a energia vibratória inicial se dissipa antes que

ocorra um ciclo vibratório, ou seja, não há vibração.

Conclui-se que o sistema retorna mais rapidamente à posição de equilíbrio

quando está criticamente amortecido.

DECREMENTO LOGARÍTMICO

Um problema para quem estuda sistemas vibratórios é estimar o fator de

amortecimento ζ. Através do método do decremento logarítmico acha-se a taxa de

redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida. Ele é definido como a

razão entre duas amplitudes sucessivas. Vamos representar por t1 e t2 os tempos

correspondentes a duas amplitudes consecutivas medidas, uma amortecida e outra

não amortecida.

Como os dois deslocamentos são medidos em tempos separados por um

período inteiro, então t2=t1+d onde d é o período da vibração amortecida. Por

consequência, cosd t 2 0 cos2 d t 1 0 cosd t 1 0 e a equação 2.83 pode ser

escrita como

E o decremento logarítmico é calculado por

Para sistemas com amortecimento baixo temos

O decremento logaritimo é basicamente outra forma de calcular o fator de

amortecimento adimensional ζ. Conhecendo o valor de , pode se determinar ζ

através da equação

Se o amortecimento do sistema não for conhecido, pode-se determina-lo escolhendo

dois valores quaisquer de deslocamento consecutivos x1 e x2, obtemos assim o .

Outra forma de obter-se o ζ é, medindo dois deslocamentos separados por

qualquer numero completo de ciclos. Neste caso x1 e xm+1 = t1+md, onde m é um

numero inteiro.

Sabendo-se que dois deslocamentos sucessivos satisfazem a equação temos

E as equações 2.91 e 2.85 dão

A figura 2.23 mostra a variação do decremento logarítmico com ζ. Nota-se

que para valores até ζ = 0,3,fica difícil separa uma curva da outra.

ENERGIA DISSIPADA EM AMORTECIMENTO VISCOSO

Em um sistema amortecido viscosamente, a variação da energia como o

tempo é dada por.

O sinal negativo denota que a energia dissipa-se com o tempo. Quando o

fator de amortecimento é pequeno, pode-se considerar que a amplitude permanece

constante em um ciclo da vibração sendo x(t) = X cos dt. A energia dissipada no ciclo

de vibração é

Isso mostra que a energia dissipada é proporcional ao quadrado da amplitude

do movimento.

A capacidade específica de amortecimento do sistema é dada como a relação

entre a energia que é dissipada durante um ciclo e a energia total que estava

presente no início do referido ciclo (W/W). Escolhendo-se o início do ciclo, o instante

de tempo em que o sistema possui a máxima energia cinética ou potencial, esta

pode ser dada por.

Outra maneira de representar a capacidade de amortecimento dos matérias é

o coeficiente de perda. O coeficiente de perda é definido como a razão entre a

energia dissipada por radiano e a energia total de deformação

EXEMPLO 2.10

RESPOSTA DA BIGORNA A UM MARTELO DE FORJAR

A bigorna de um martelo de forjar pesa 5000 N e está montada sobre uma base que tem uma rigidez de 5x10⁶ N/m e um amortecimento viscoso constante de 10000 N.s/m. Durante determinada operação de forjamento, o marte-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo ou pilão) com peso de 1000 N é acionado e cai de uma altura de 2m sobre a bigorna. Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão determine a resposta da bigorna após o impacto. Considere o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0,4.

Solução: Em primeiro lugar, usamos o principio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto da bigorna por νt1e νt2, respectivamente. De maneira semelhante, a νa1 νa2 representam, respectivamente, as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto. Observe que o deslocamento da bigorna é medido e relação a sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O principio de conservação de momento dá

Onde νa1=0 (a bigorna está em repouso antes do impacto) e νt1 pode ser determinado igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura de h=2m:

Ou

Assim a equação torna-se

Isto é,

A definição do coeficiente de restrição (r) dá:

A solução é:

νa2= 1.460898 m/s; νt2= -1,043498 m/s

Assim as condições iniciais da bigorna são dadas por

X=0; ẋ0= 1,460898 m/s

O fator de amortecimento é igual a

As frequências naturais não amortecidas e amortecidas da bigorna são dadas por

A resposta do deslocamento da bigorna é dada por:

EXEMPLO 2.11

AMORTECEDOR DE CHOQUE PARA UMA MOTOCICLETA

O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg figura 2.31(a) de massa deve atender as seguintes especificações: quando o amortecimento estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo resultante deve ser como indicada na figura 2.31(b). Determine as constantes de rigidez e amortecimento

necessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecida for de 2 s e a amplitude x1 tiver se ser reduzida a um quarto em um meio ciclo (isto é,x1,5=x1/4).Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm .

Abordagem: usamos a equação para o decremento logarítmico em termos de fator de amortecimento, equação para período de vibração amortecida, tempo correspondente ao deslocamento máximo para um sistema subamortecido e envelope que passa pelos pontos máximos do sistema subamortecido.

Solução: Visto que x1, 5 = x1/4,=x2=x1, 5/4 = x1/16. Por consequência, o decremento torna-se

Pela qual o valor de ζ pode ser determinado como ζ=0,4037. O período de vibração amortecido é dado como 2s. Por consequência,

A constante de amortecimento critico pode ser obtida por:

Assim a constante de amortecimento é dada por

E a rigidez por

O deslocamento da massa atingirá seu valor máximo no tem t1, dado por.

Ou

O envelope que passa pelos pontos máximos é dado por

Já que x=250 mm, a equação dá, em t1,

ou

A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento

Como

Quando t= 0, a equação dá:

EXEMPLO 2.12

ANALISE DE UM CANHÃO

O diagrama esquemático de um canhão de grande pote é mostrado na figura 2.32. Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projetil no interior do cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrario do projetil. Visto que é desejável que o canhão volte na posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado amortecimento de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo tem uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10000 N/m. O recuo do canhão após um disparo é de 0,4 m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento critico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retomar até a posição a 0,1 m da sua posição inicial.

Solução: 1. A frequência natural não amortecida do sistema é

E o coeficiente de amortecimento critico do amortecedor é

2. A resposta de um sistema criticamente amortecido é dada:

Onde C1=x0 e C2=ẋ+ ωnx0. O tempo t1 no qual x(t) alcança um valor máximo pode ser obtido fazendo ẋ(t)=0.A diferenciação da equação da:

Por consequência, ẋ(t) =0 dá:

Nesse caso, x0 = C1 = 0; por consequência, a equação resulta em t1 = 1/ωn. Visto que o valor máximo de x(t) ou a distancia do recuo é dada por xmax = 0,4 m, temos.

Ou

3. Se t2 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 0,1 m em relação a sua posição inicial, temos.

=

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