Trabalho de vibrações - digitado - cairo guilherme ribeiro-011510, Trabalhos de Engenharia Mecânica
basofio-silva-11
basofio-silva-11

Trabalho de vibrações - digitado - cairo guilherme ribeiro-011510, Trabalhos de Engenharia Mecânica

12 páginas
3Números de download
588Número de visitas
Descrição
Vibrações mecânicas
20 pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
Baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 12
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 12 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 12 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 12 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 12 páginas

CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI

Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

CAIRO GUILHERME RIBEIRO 011510

VIBRAÇÕES

ITAJUBÁ 2017

2.6 Vibração livre com amortecimento viscoso 2.61 Equação de movimento

A força de amortecimento viscoso, pode ser expressa como:

onde c é a constante de amortecimento e o sinal negativo indica que a força de amortecimento é oposta ao sentido da velocidade. Se x for medida em relação à posição de equilíbrio da massa m, a aplicação da lei de Newton dá a equação de movimento:

ou

2.6.2 Solução

Onde C e s são constantes indeterminadas.

x1(t) e x2(t):

onde C1 e C2 são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema.

Constante de amortecimento crítico e fator de amortecimento. O amortecimento crítico cc é definido como o valor da constante de amortecimento c para o qual o radical ne Equação (2.62) torna-se zero:

Ou

Para qualquer sistema amortecido

Pelas equações (2.66) e (2.65), podemos escrever

e, por consequência,

Assim, a solução, Equação (2.64), pode ser escrita como

Caso1. Sistema subamortecido (ȶ² - 1) é negativo e as raízes s1 e s2 podem ser expressas como

Equação (2.69) ficará assim:

Na figura (2.71) onde (C’1, C’2), (X, Ø) e (X0, Ø0) são determinadas pelas condições iniciais.

Para as condições iniciais x(t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ0, podemos determinar C’1e C’2:

O movimento descrito é um movimento harmônico amortecido de frequência angular

; porém, por causa do fator , a amplitude diminui exponencialmente com o tempo.

. Caso 2. Sistema cri�camente amortecido

(ȶ = 1 ou c = cc ou c/2m = ).

x(t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ0 para esse caso dá

E a solução torna-se

Pode- se ver que o movimento é aperiódico (isto é não periódico).

onde C1= C’1 e C2 = C’2wd são novas constantes.

Caso 3. Sistema superamortecido

(ȶ > 1 ou c >cc ou c/2m > ) >0, a Equação (2.68) mostra que as raízes s1 e s2 são reais e distintas e são dadas por

Com s2 << s1. Nesse caso a solução, Equação (2.69), pode ser expressa como

Para as condições iniciais x(t=0) =x0 e ẋ(t=0) = ẋ0, podemos obter as constantes C1 e C2:

Visto que as raízes s1 e s2 são ambas negativas, o movimento diminui exponencialmente com o tempo. Observe os seguintes aspectos desse sistema:

1. A natureza das raízes s1 e s2 com a variação dos valores da amortecimento c ou ȶ pode ser mostrada em um plano complexo. O semicirculo representa o lugar geométrico das raízes s1 e s2.. Para ȶ =0, obtemos as raízes imaginárias s1 = + iwn e s2 = -iwn. Para 0< ȶ < 1, as raízes s1 e s2 são complexas e localizadas no eixo real. À medida que o valor ȶ aproxima-se do ponto –wn no eixo real. Se ȶ > 1, ambas as raízes estão no eixo real, uma crescendo e outra descrescendo. No limite quando ȶ → ∞, s1 → 0 e s2 → -∞. Pode-se ver que o valor ȶ = 1 representa um estágio de transição, abaixo do qual ambas as raízes são complexas e acima do qual ambas as raízes são reais.

2. Um sistema amortecido terão menor amortecimento para o movimento aperiódico; por consequência a massa retorna à posição de repouso no menor tempo possível. Por

exemplo, armas de fogo de grande porte tem amortecedores de mola com valor de amortecimento crítico, para que voltem a sua posição inicial após o recuo no tempo mínimo, sem vibrar. Se o amortecimento fornecido fosse maior que o valor crítico, haveria alguma demora antes do próximo tiro.

3. A resposta amortecida livre de um sistema com um grau de liberdade pode ser representada em plano de fase ou espaço de estado como indicado na Figura 2.26.

2.63 Decremento Logarítmico

FIGURA 2.24 - Comparação entre movimentos com tipos diferentes de amortecimento.

Vamos representar por t 1 e t2 os tempos correspondentes e duas amplitudes (deslocamentos) consecutivas.

(2.83)

(2.84) O decremento logaritmo pode ser obtido pela Equação (2.84):

(2.85)

FIGURA 2.25 - Lugar geométrico de s1 e s2. se (2.86)

O decremento logarítmico é adimensional

(2.87)

(2.88) Tomando o logaritmo natural da razão entre x1 e x2, obtemos . Podemos calcular o

fator de amortecimento .

Equação (2.87), FIGURA 2.26 - Plano de fase de um sistema amortecido.

Se denotarem as amplitudes correspondentes aos tempos onde é um número inteiro, obtemos

FIGURA 2.27 - Variação do decremento logarítmico com amortecimento.

(2.89)

(2.90)

(2.91)

(2.92)

2.6.4 Energia dissipada em amortecimento viscoso

Em um sistema amortecido viscosamente, a taxa de variação de energia com o tempo(dW/dt) é dada por

(2.93) Suponha um movimento harmônico simples como x(t)=X sem ῳdt, onde X é a amplitude do movimento e a energia dissipada em um ciclo completo é dada por².

(2.94) Observe que ela não é uma constante para valores de amortecimento e amplitude determinados, visto que ΔW também é função da frequência ῳd.

A Equação (2.94) é válida mesmo quando há uma mola de rigidez em paralelo ao amortecedor viscoso.

(2.95) A energia dissipada em um ciclo completo será

(2.96) Também podemos calcular a fração da energia total do sistema vibratório que é dissipada em cada ciclo de movimento ΔW/W, como segue. A energia total do sistema W pode ser expressa

como a máxima energia potencial ou energia cinética . As duas serão aproximadamente iguais para valores pequenos de amortecimento. Assim,

FIGURA 2.28 - Mola e amortecedor em paralelo. pelas equações (2.85) e (2.88). A quantidade * é denominada capacidade de amortecimento específico e é útil para comparar a capacidade de amortecimento de materiais de engenharia.

(2.100) 2.6.5 Sistemas torcionais com amortecimento viscoso

(2.101)

(2.102) Onde J0= momento de inércia de massa do disco, Kt= constante elástica do sistema (torque restaurador por unidade de deslocamento angular), e deslocamento angular do disco

(2.103)

FIGURA 2.29 - Amortecedor viscoso por torção. Onde

(2.104) e

(2.105) Onde ctc é a constante crítica de amortecimento por torção. EXEMPLO 2.10

Resposta da bigorna de um martelo de forjar A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000 N e está montada sobre urna base que

tem urna rigidez de 5 x 106 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 N.s/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo ou pilão) com peso de 1.000 N é acionado e cai de uma altura de 2 m sobre a bigorna (Figura 2.30(a)). Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0,4. Solução: Em primeiro lugar, usamos o princípio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto contra a bigorna por Vt1 e Vt2, respectivamente. De maneira semelhante, Va1 e Va2 representam, respectivamente, as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto (Figura 2.30(b)). Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação a sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O princípio de conservação de momento dá

(E.1)

onde Va1 = 0 (a bigorna está em repouso antes do impacto) e Vt1 pode ser determinada igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura de h = 2 m:

(E.2)

ou

EXEMPLO 2.11

Amortecedor de choque para uma motocicleta O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg

de massa (Figura 2.31(a)) deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada na Figura 2.31(b). Determine as Constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecida for de 2 s e a amplitude X1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio- ciclo (isto é, X1,5 = X1/4). Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm.

(E.1)

FIGURA 2.31 - Amortecedor para uma motocicleta.

(E.3)

EXEMPLO 2. 12

Análise de um canhão O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura 2.32

[2.8]. Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao do projétil. Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10.000 N/m. O recuo do canhão após um disparo é 0,4 m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1 m de sua posição inicial. Solução:

(E.1) onde .

X(t) = 0

FIGURA 2.32 - Recuo de canhão

Nesse caso, X0 = C1 = 0; t1 = 1/ῳn. Xmáx = 0,4 m, temos

Se t2 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 0,1 m em relação à sua posição inicial, temos

(E.3)

Até o momento nenhum comentário
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 12 páginas