Trabalho de vibrações - digitado - celso ricardo de faria-011487, Trabalhos de Engenharia Mecânica
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Trabalho de vibrações - digitado - celso ricardo de faria-011487, Trabalhos de Engenharia Mecânica

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Vibrações mecânicas
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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ – FEPI Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

CELSO RICARDO DE FARIA 011487

VIBRAÇÕES

ITAJUBÁ 2017

O movimento é um movimento harmônico de frequência igual a n. Esta é a

frequência com que o sistema oscila quando está livre, sem amortecimento. Esta frequência

natural é muito importante na vibração forçada sendo uma das principais características de

um sistema dinâmico.

xt X0 cosn t

onde

e

Figura 2.13 - Vibração livre sem amortecimento (movimento harmônico)

Exemplo 2.5 - Encontrar a frequência natural de vibração na direção vertical do sistema de

elevação mostrado na Fig. 2.6a

Solução: O sistema pode ser resumido em equivalência de molas:

onde kb é a rigidez da viga em balanço sob flexão e kr é a rigidez do cabo de aço sob tração.

e

Rigidez equivalente

Frequência natural

Exemplo 2.6 - Determinar a frequência natural do sistema de polias mostrado na Fig. 2.14.

Assumir que não há atrito entre cabo e polias e as massas das polias e do cabo são

desprezíveis.

Figura 2.14 - Sistema de elevação com polias.

Solução: Conceito de rigidez equivalente. Despreza se o atrito entre polias e cabo e as polias

não possuem massa, a tensão na corda é constante e igual ao peso P da massa m. Então a

força que atua na polia 1, puxando-a para cima é 2P, e a força que atua na polia 2, puxando-a para baixo também é 2P. O centro da polia 1 se desloca 2P/k1 para cima, e o centro da polia

2 se desloca 2P/k2, para baixo. O deslocamento total da massa m é

A constante de mola equivalente do sistema é obtida considerando

peso da massa = deslocamento da massa, portanto Keq

e

Se a equação do movimento da massa é escrita como

então a frequência natural é dada por

Exemplo 2.7 – Um rolo compactador de solo consiste de um cilindro de massa m e raio r, que

está conectado a um trator por uma mola de constante k como mostra a Fig. 2.15. Encontrar a

equação diferencial do movimento. Assumir que o rolo está livre para rolar sobre a superfície

horizontal, sem deslizamento.

Solução: Aplicando a 2ª Lei de Newton ao movimento do cilindro, usando como coordenada

o movimento do centro de massa do mesmo,

(a)

ou

(b)

Ff é a força de atrito

Figura 2.15 – Rolo compactador de solo.

Usando a equação, (c)

ou

(d)

e, portando, Ff = - ½ mx . Substitui-se esta expressão para Ff na equação das forças para obter

(e) ou

(f)

2.3.2 - Método da energia de Rayleigh

Uma das mais importantes contribuições de Lord Rayleigh no campo das vibrações

foi o método apresentado para determinação da frequência natural do sistema de um grau de

liberdade. Mais tarde Ritz estendeu o método para determinação da primeira frequência

natural de um sistema de mais de um grau de liberdade. O Método de Rayleigh se fundamenta

no Princípio da Conservação da Energia, se aplicando, portanto, apenas a sistemas

conservativos (sem amortecimento). Como a energia total E é constante, a soma das energias

cinética e potencial em dois instantes de tempo quaisquer são iguais

T1 + U1 = T2 + U2 = E (2.22)

onde T1 e U1 são as energias cinética e potencial no tempo 1 e T2 e U2 são as energias cinética

e potencial no tempo 2.

Estabelecendo-se a posição de equilíbrio estático como a posição referencial de

energia potencial e o tempo 1 for o tempo em que o sistema passa por esta posição, então U1

= 0 e, como a energia total é constante e igual à soma das energias cinética e potencial, a

energia cinética neste tempo deve ser máxima, ou T1 = Tmax . Por outro lado, ao se escolher o

tempo 2 como o tempo em que o sistema atinge seu máximo deslocamento, isto produz uma

energia potencial máxima U2 = Umax e, como o movimento é oscilatório, a velocidade neste

mesmo tempo é nula e T2 = 0 . Utilizando a expressão (2.22), isto se traduz em

Tmax = Umax

Exemplo 2.8 – Resolver o problema do exemplo 2.7 utilizando o Método de Energia.

Solução: Energia cinética do movimento de translação do centro de massa do rolo

(a)

Energia cinética do movimento de rotação do rolo

(b)

Momento de inércia do rolo (c)

Pela condição de rolamento sem deslizamento (d)

Energia cinética total (e)

A energia potencial se concentra na mola, sendo (f)

Aplicando o Princípio da Conservação da Energia (g)

Simplificando, chega-se à equação (h)

Exemplo 2.9 – Estruturas compostas. Determinar a freqüência natural da vibração vertical de uma massa ligada a uma estrutura flexível como mostrado na Fig. 2.16.

Solução: A estrutura da Fig. 2.16 é considerada como duas molas associadas em série. O

modelo é mostrado na Fig. 2.16a. Para uma viga bi-apoiadaa constante de mola para a

deflexão lateral no meio é

(a)

Passo 1: O sistema possui um grau de liberdade. Seleciona-se a coordenada x.

Passo 2: Assume-se que a massa é deslocada x. As forças aplicadas são mostradas na Fig.

2.16d. F é ainda desconhecida. A compatibilidade dos deslocamentos exige que

(b)

Então (c)

Passo 3: A 2ª Lei de Newton estabelece

(d)

Figura 2.16 – Estrutura composta.

Passo 4: A frequência natural é

(e)

Exemplo 2.10 – Uma viga engastada, de aço, com comprimento igual a 1 m possui uma seção

transversal retangular de 0,01 x 0,12 m2. Uma massa de 100 kg é anexada à sua extremidade

livre como mostra a Fig. 2.17. Determinar a frequência natural do sistema para vibração

vertical.

Figura 2.17 – Viga engastada.

Solução: Assume-se que a massa da viga é pequena. mviga = 7800 x 1 x 0,01 x 0,12 = 9,36 kg,

mas se sabe que a sua massa efetiva é cerca de 1/3 deste valor, 3,12 kg, o que representa 3,12

% da massa colocada na extremidade. A deflexão na extremidade livre da viga engastada,

devida a uma força lateral P ali aplicada é = PL3 /3EI. Portanto, para pequenas oscilações, a

constante de mola é k = P/ = 3EI/L 3 .

Momento de inércia da viga: I = bh3 /12 = 0,12 x 0,013 /12 = 10-8 m4

Módulo de elasticidade do aço: E = 2,1 x 1011 N/m2 . Portanto, k = 3 x 2,1 x 1011 x

10-8 /13 = 6300 N/m.

A equação do movimento livre não amortecido é

(a)

Se a massa da viga não for considerada a frequência natural será

(b)

Se a massa efetiva da viga (1/3) for acrescida, a frequência natural torna-se

(c)

A diferença de 0,12 rad/s equivale a 1,51 % da frequência natural, correspondendo a

uma diferença de 9,36 % na massa total. Isto demonstra a importância em se considerar a

massa efetiva da mola.

Exemplo 2.11 – A corda mostrada na Figura 2.18 está sob uma tensão T, que permanece

constante para pequenos deslocamentos. Determinar a frequência natural da vibração vertical

da massa m considerando pequenas oscilações. Despreze os efeitos da gravidade e a massa da

mola.

Figura 2.18 – Massa suportada por uma corda tensionada.

Solução: Assumir que a massa está deslocada x na direção vertical. A tensão na corda é a

força de restauração. Como a tensão é constante, as componentes verticais da tensão sobre a

massa resultam emTx/a x/La.Aplicando a 2ª Lei de Newton, a equação do movimento é

(a)

e

(b)

Exemplo 2.12 – Um cilindro sólido de raio r está imerso parcialmente em água destilada como ilustra a Fig. 2.19. Determinar a frequência natural de oscilação do cilindro na direção

vertical, assumindo que permanece na posição vertical. As densidades do cilindro e da água

são c e w.

Figura 2.19 – Vibração de corpos flutuantes Solução: O deslocamento vertical do cilindro medido a partir de sua posição de equilíbrio é x.

O peso da água deslocada (empuxo) é Agwx. Esta é força restauradora, de acordo com o

Princípio de Arquimedes. A massa do cilindro é Ahc . Da 2ª Lei de Newton, a equação do

movimento é

(a)

ou (b)

portanto (c)

Como parte da água se move junto com o cilindro, a frequência natural real será um

pouco menor. A massa de água acrescida é:

Exemplo 2.13– Um corpo de massa m1 está suportado por uma mola de rigidez k (Fig. 2.20).

Uma massa m cai de um altura h sobre o corpo ocorrendo um impacto perfeitamente plástico.

Determinar a expressão da vibração resultante e a frequência natural do sistema após o

impacto.

Figura 2.20 – Vibração devida ao impacto. Solução: Primeiro lugar: determina-se a velocidade da massa m no momento do impacto.

Segundo lugar: calcula-se a velocidade do conjunto após o impacto, que é a velocidade inicial

do movimento das duas massas se vibrando como um corpo rígido.

Quando a massa m atinge o corpo m1, possui velocidade . O princípio da conservação da quantidade de movimento estabelece que mu = (m1 + m) u0 onde u0 é a

velocidade das duas massas após o impacto.

Neste instante o sistema não estará na sua posição de equilíbrio estático. Se a massa

m1 for carregada com uma carga adicional mg, a posição de equilíbrio estático estaria 0 mg/

k abaixo da posição do impacto. Se o movimento é medido a partir desta posição (impacto),

as condições iniciais são

(a)

A equação do movimento é similar à Eq. (2.15) (b)

com (c)

A solução, em função das condições iniciais, é dada pela Eq. (2.20), resultando em

2.4 - Vibração Livre de Sistemas com Amortecimento Viscoso

O amortecimento é a dissipação de energia de um sistema. Um dos modelos mais

simples de amortecimento é o amortecimento viscoso, assim chamado por representar a força

dissipativa proporcionada por um fluido viscoso. Esta força tem como característica principal

ser proporcional à velocidade relativa entre as superfícies em movimento quando existe um

fluido separando-as.

(2.24)

C: constante de amortecimento.

2.4.1 - Equação do movimento

Figura 2.21 - Sistema de um grau de liberdade com amortecedor viscoso

A Fig. 2.21a mostra o esquema de um sistema de um grau de liberdade com

amortecimento. Se a força de amortecimento for de natureza viscosa, é igual à expressão

(2.24), o diagrama de corpo livre da Fig. 2.21b, ao se aplicar a 2ª Lei de Newton, permite que

se escreva a equação

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

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