Trabalho de vibrações - digitado - felipe augusto franco-011799, Trabalhos de Engenharia Mecânica
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Trabalho de vibrações - digitado - felipe augusto franco-011799, Trabalhos de Engenharia Mecânica

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Vibrações mecânicas
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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI

Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

Felipe Augusto Franco

011799

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

ITAJUBÁ 2017

Vibração livre com amortecimento viscoso

Equação de movimento

A força de amortecimento viscoso, F, é proporcional à velocidade x ou v e pode ser expressa como

Onde c é a constante de amortecimento ou coeficiente de amortecimento viscoso, e o sinal negativo indica que a força de amortecimento é oposta ao sentido da velocidade. Se x for medida em relação à posição de equilíbrio da massa m, a aplicação da lei de Newton dá a equação de movimento:

ou

Solução

Para resolver a Equação, admitimos uma solução na forma

Onde C e s são constantes indeterminadas. A inserção dessa função na Equação resulta na equação característica

cujas raízes são

Assim, a solução geral da Equação é dada por uma combinação das duas soluções x1(t) e x2(t):

onde C1 e C2 são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema.

Constante de amortecimento crítico e fator de amortecimento. O amortecimento crítico Cc é definido como o valor da constante de amortecimento sendo assim a equação torna-se zero:

Ou

Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento é definido como a razão entre a constante de amortecimento e a constante de amortecimento crítico:

Pelas equações, podemos escrever

Assim, a solução, pode ser escrita como

A natureza das raízes s1 e s2 e, por consequência, o comportamento da solução, depende da magnitude do amortecimento. Pode-se perceber que o caso ȶ = 0 resulta nas vibrações não amortecidas discutidas na Seção 2.2. Por consequência, admitimos que ȶ ≠ 0 e consideramos os três casos seguintes.

Caso1.Sistema subamortecido

(ȶ < 1 ou c < cc ou c/2m < ). Para essa condição,

(ȶ² - 1) é negativo e as raízes s1 e s2 podem ser expressas como

e a solução, pode ser escrita de formas diferentes:

onde (C’1, C’2), (X, Ø) e (X0, Ø0) são constantes arbitrárias a ser determinadas pelas condições iniciais.

Capitulo 2 – Vibrações livre de sistemas com um grau de liberdade

O movimento descrito pela Equação (2.72) é um movimento harmônico amortecido de frequência angular; porém, por causa do fator , a amplitude diminui exponencialmente com o tempo.

Pode-se ver que a frequência de vibração amortecida wd é sempre menor do que a frequência natural wn. A redução na frequência de vibração amortecida com o aumento da quantidade de amortecimento. Ocaso subamortecido é muito importante no estudo de vibrações mecânicas porque é o único que resulta em um movimento oscilatório.

Caso 2. Sistema criticamente amortecido

(ȶ = 1 ou c = cc ou c/2m = ).Nesse caso, as duas raízes s1 e s2 da Equação são iguais:

Por causa das raízes repetidas a solução da Equação é dada por

A aplicação das condições iniciais x(t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ0 para esse caso dá

E a solução torna-se

Pode- se ver que o movimento representado pela Equação é aperiódico. Visto que → 0 quando t → ∞, o movimento eventualmente diminuirá até zero, como indicado na Figura.

1 A Equação (2.78) também pode ser obtida fazendo ȶ →1, wn→0; por consequência, coswdt→1 e senwdt→wdt. Assim a Equação (2.72) dá

onde C1= C’1 e C2 = C’2wd são novas constantes.

Caso 3. Sistema superamortecido

(ȶ > 1 ou c >cc ou c/2m > ) >0, a Equação mostra que as raízes s1 e s2 são reais e distintas e são dadas por

Com s2 << s1. Nesse caso a solução, pode ser expressa como

Para as condições iniciais x(t=0) =x0 e ẋ(t=0) = ẋ0, podemos obter as constantes C1 e C2:

A Equação mostra que o movimento é aperiódico, independente das condições iniciais impostas ao sistema. Visto que as raízes s1 e s2 são ambas negativas, o movimento diminui exponencialmente com o tempo, como mostra a figura.

Observe os seguintes aspectos desse sistema:

1. A natureza das raízes s1 e s2 com a variação dos valores da amortecimento c ou ȶ pode ser mostrada em um plano complexo. Os eixos horizontal e vertical são escolhidos como eixo real e imaginário. O semi-circulo representa o lugar geométrico das raízes s1 e s2 para diferentes valores de ȶ na faixa 0 < ȶ < 1. Essa figura parmite-nos ver instantaneamente o efeito do parâmetro ȶ no comportamento do sistema. Constamos que, para ȶ =0, obtemos as raízes imaginárias s1 = + iwn e s2 = -iwn. Para 0< ȶ < 1, as raízes s1 e s2 são conjugadas complexas e localizadas simetricamente em relação ao eixo real. À medida que o valor ȶ aproxima-se do ponto –wn no eixo real. Se ȶ > 1, ambas as raízes estão no eixo real, uma crescendo e outra descrescendo. No limite quando ȶ → ∞, s1 → 0 e s2 → -∞. Pode-se ver que o valor ȶ = 1 representa um estágio de transição, abaixo do qual ambas as raízes são complexas e acima do qual ambas as raízes são reais.

2. Um sistema criticamente amortecido terá o menor amortecimento requerido para o movimento aperiódico; por consequência a massa retorna à posição de repouso no menor tempo possível, sem ultrapassar o limite. A propriedade de amortecimento crítico é usada em muitas aplicações práticas. Por exemplo, armas de fogo de grande porte tem amortecedores de mola com valor de amortecimento crítico, para que voltem a sua posiçaõ inicial após o recuo no tempo mínimo, sem vibrar. Se o amortecimento fornecido fosse maior que o valor crítico, haveria alguma demora antes do próximo tiro.

3. A resposta amortecida livre de um sistema com um grau de liberdade pode ser representada em plano de fase ou espaço de estado como indicado na Figura.

Decremento Logarítmico

FIGURA 2.24 - Comparação entre movimentos com tipos diferentes de amortecimento.

O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida. É definido como o logaritmo natural da razão entre duas amplitudes sucessivas. Vamos representar por t1 e t2 os tempos correspondentes e duas amplitudes (deslocamentos) consecutivas medidas com um ciclo de diferença entre uma e outra para um sistema não amortecido.

Porém, t2=t1+Ƭd onde Ƭd=2/ῳd é o período de vibração amortecida. Por consequência, cos(ῳdt2-ϕ) = cos(2+ῳdt1-ϕ) = cos(ῳdt1-ϕ).

O decremento logaritimo pode ser obtido por:

FIGURA 2.25 - Lugar geométrico de s1 e s2.

Para pequeno amortecimento, a Equação pode ser aproximada:

se

A Figura mostra a variação do decremento logarítmico com como dado pelas equações. Pode-se observar que, para valores até =0,3, é difícil distinguir uma curva da outra.

O decremento logarítmico é adimensional e, na realidade, é outra forma do fator do fator de amortecimento adimensional .Uma vez conhecido , pode ser determinado resolvendo- se a Equação:

Se usarmos a Equação em vez da equação, temos:

Se o amortecimento no sistema dado não for conhecido, podemos determiná-lo por experimentais medindo quaisquer dois deslocamentos consecutivos x1 e x2.Tomando o logaritmo natural da razão entre x1 e x2, obtemos . Podemos calcular o fator de amortecimento .

Na verdade, o fator de amortecimento também pode ser determinado medindo-se dois

deslocamentos separados por qualquer número completo de ciclos. Se denotarem as amplitudes correspondentes aos tempos onde é um número inteiro, obtemos:

FIGURA 2.27 - Variação do decremento logarítmico com amortecimento.

Visto que quaisquer dois deslocamentos sucessivos separados por uma ciclo satisfazem a equação

A Equação torna-se

que pode ser substituído para obter o fator de amortecimento viscoso .

Energia dissipada em amortecimento viscoso

Em um sistema amortecido viscosamente, a taxa de variação de energia com o tempo(dW/dt) é dada por

O sinal negativo na Equação denota que a energia dissipa-se com o tempo. Suponha um movimento harmônico simples como x(t)=X sem ῳdt, onde X é a amplitude do movimento e a energia dissipada em um ciclo completo é dada por².

No caso de um sistema amortecido, o movimento harmônico simples x(t)=X cos ῳdt só é possível quando a resposta de regime permanente é

considerada sob uma força harmônica de frequência ῳd. A perda de energia devida ao amortecedor é fornecida pela excitação sob vibração forçada em

regime permanente.

Isso mostra que a energia dissipada é proporcional ao quadrado da amplitude do movimento. Observe que ela não é uma constante para valores de amortecimento e amplitude determinados, visto que ΔW também é função da frequência ῳd.

A Equação é válida mesmo quando há uma mola de rigidez em paralelo ao amortecedor viscoso. A força total resistente ao movimento pode ser expressa como

Se admitirmos movimento harmônico simples

como antes, a Equação torna-se

A energia dissipada em um ciclo completo será

Esse resultado é esperado, visto que a força da mola não realizará nenhum trabalho durante um ciclo completo ou qualquer número inteiro de ciclos.

Também podemos calcular a fração da energia total do sistema vibratório que é dissipada em cada ciclo de movimento ΔW/W, como segue. A energia total do sistema W pode ser expressa

como a máxima energia potencial ou como a máxima energia cinética

. As duas serão aproximadamente iguais para valores pequenos de amortecimento. Assim,

FIGURA 2.28 - Mola e amortecedor em paralelo.

A quantidade * é denominada capacidade de amortecimento específico e é útil para comparar a capacidade de amortecimento de materiais de engenharia. Outra quantidade, conhecida como coeficiente de perda, também é usada para comparar. O coeficiente de perda é definido como a razão entre a energia dissipada por radiano e a energia total de deformação:

coeficiente de perda

Sistemas torcionais com amortecimento viscoso

Os métodos apresentados para vibrações lineares com amortecimento viscoso podem ser estendidos diretamente para vibrações por torção (angulares) viscosamente amortecidas. Para isso, considere um sistema torcional com um grau de liberdade com um amortecedor viscoso. O torque de amortecimento viscoso é dado por :

Onde ct é a constante de amortecimento viscoso por torção, é a velocidade angular do disco, e o sinal negativo denota que o torque de amortecimento está no sentido oposto ao da velocidade angular.

Onde J0= momento de inércia de massa do disco, Kt= constante elástica do sistema (torque restaurador por unidade de deslocamento angular), e deslocamento angular do disco. Pode ser determinada exatamente como no caso de vibrações lineares. Por exemplo, no caso de um sistema subamortecido, a frequência de vibração amortecida é dada por

FIGURA 2.29 - Amortecedor viscoso por torção.

Onde

e

Onde ctc é a constante crítica de amortecimento por torção.

Resposta da bigorna de um martelo de forjar

A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000 N e está montada sobre urna base que tem urna rigidez de 5 x 106 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 N.s/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão com peso de 1.000 N é acionado

e cai de uma altura de 2 m sobre a bigorna. Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0,4.

Solução: Em primeiro lugar, usamos o princípio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto contra a bigorna por Vt1 e Vt2, respectivamente. De maneira semelhante, Va1 e Va2 representam, respectivamente, as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto. Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação a sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O princípio de conservação de momento dá

(E.1)

onde Va1 = 0 (a bigorna está em repouso antes do impacto) e Vt1 pode ser determinada igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura de h = 2 m:

ou

Assim, a Equação (E.1) torna-se

isto é,

A definição do coeficiente de restituição (r) dá:

isto é,

isto é,

A solução

Assim as condições iniciais da bigorna são dadas por

O fator de amortecimento é igual a

As frequências naturais não amortecidas e amortecidas da bigorna são dadas por

A resposta ao deslocamento da bigorna é dada pela Equação:

EXEMPLO 2.11

Amortecedor de choque para uma motocicleta

O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg de massa deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada. Determine as Constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecida for de 2 s e a amplitude X1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio-ciclo (isto é, X1,5 = X1/4). Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm.

Abordagem: usamos a equação para o decremento logarítmico em termos do fator de amortecimento, equação para o período de vibração amortecida, tempo correspondente ao deslocamento máximo para um sistema subamortecido e envelope que passa pelos pontos máximos de um sistema subamortecido.

Solução: Visto que X1,5 = X1/4, X2 = X1,5/4 = X1/16. Por consequência, o decremento logarítmico torna-se

pela qual o valor de pode ser determinado como =0,4037. O período de vibração amortecida é dado como 2 s. Por consequência,

A constante de amortecimento crítico pode ser obtida por:

Assim a constante de amortecimento é dada por

e a rigidez por

O deslocamento da massa atingirá seu valor máximo no tempo t1, dado por

Isso dá

FIGURA 2.31 - Amortecedor para uma motocicleta.

ou

O envelope que passa pelos pontos máximos é dado por

Já que X = 250 mm,

ou

A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento

como

(E.3)

Quando t = 0, a Equação (E.3) dá

EXEMPLO 2. 12

Análise de um canhão

O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura 2.32 [2.8]. Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao do projétil. Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10.000 N/m. O recuo do canhão após um disparo é 0,4 m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1 m de sua posição inicial.

Solução:

1. A frequência natural não amortecida do sistema é

e o coeficiente de amortecimento crítico (Equação 2.65) do amortecedor é

2. A resposta de um sistema criticamente amortecido é dada pela Equação :

onde

.O tempo t1 no qual x(t) alcança um valor máximo pode ser obtido fazendo X(t) = 0.

Por consequência, X(t) = 0 dá

FIGURA 2.32 - Recuo de canhão

Nesse caso, X0 = C1 = 0; por consequência, resulta em t1 = 1/ῳn. Visto que o valor máximo de x(t) ou a distância de recuo é dada como Xmáx = 0,4 m, temos

ou

3. Se t2 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 0,1 m em relação à sua posição inicial, temos

A solução da Equação dá t2 = 0,8258 s.

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