Trabalho de vibrações - digitado - francis rainer-011735, Trabalhos de Engenharia Mecânica
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Trabalho de vibrações - digitado - francis rainer-011735, Trabalhos de Engenharia Mecânica

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Vibrações mecânicas
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Fepi - Centro Universitário de Itajubá

Engenharia Mecânica 7° Período

LISTA DE VIBRAÇÕES

Francis Rainer 011735

Itajubá-MG

2017

Vibração Livre de Sistemas com Amortecimento Viscoso O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia. Como modelo mais simples de

amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso, assim chamado por representar a força dissipativa proporcionada por um fluido viscoso. Esta força tem como característica principal ser proporcional à velocidade relativa entre as superfícies em movimento quando existe um fluido separando-as. Esta proporcionalidade garante que a equação diferencial do movimento não perderá nenhuma de suas características enunciadas na seção 2.3.1. A força de amortecimento viscoso Fa tem como expressão:

(2.24)

Onde c é a chamada constante de amortecimento.

Equação do movimento

A Fig. 2.21a mostra o esquema de um sistema de um grau de liberdade com amortecimento. Se a força de amortecimento for de natureza viscosa, é igual à expressão (2.24), o diagrama de corpo livre da Fig. 2.21b, ao se aplicar a 2ª Lei de Newton, permite que se escreva a equação:

for satisfeita. Isto só é possível se as raízes forem

(2.27)

Como as duas raízes satisfazem a equação diferencial (2.25), a solução resultante será uma combinação linear as mesmas na forma

(2.28)

A forma funcional de (2.28) depende fundamentalmente da natureza das raízes (2.27): complexas ou reais. Para acilitar a notação, antes de estudar a influência da natureza das raízes na forma funcional, deve-se definir alguns arâmetros auxiliares.

Sistemas sub-amortecido, criticamente amortecido e super-amortecido.

A forma funcional de (2.28) depende fundamentalmente da natureza das raízes (2.27): complexas ou reais. Para facilitar a notação, antes de estudar a influência da natureza das raízes na forma funcional, deve-se definir alguns arâmetros auxiliares A constante de amortecimento crítico cc é definida como o valor de c que

faz com que o discriminante expressão27) se anule. Isto porque, é do sinal deste discriminante que depende a natureza das raízes: implica em raízes reais enquanto que para as raízes formarão um par complexo.

se apresenta como o limite entre estas duas situações distintas. Tem-se então

de forma que

(2.29)

Fator de Amortecimento A constante de amortecimento c dá uma indicação da relação entre a força de amortecimento e a velocidade relativa entre as partes em movimento. Ela, porém não proporciona uma visão da quantidade de amortecimento que atua sobre o sistema real, uma vez que uma força de amortecimento pode ser grande para um sistema e pequena para outro, dependendo, fundamentalmente das massas envolvidas e da rigidez. Define-se, então o fator de amortecimento que é uma quantidade adimensional e não depende da ordem de grandeza dos parâmetros do sistema, indicando expressamente o quanto o sistema está sendo amortecido. O fator de amortecimento é definido como a relação entre a constante de amortecimento do sistema e a constante de amortecimento crítica

(2.30)

Com o valor de cc dado na expressão (2.29) tem-se que

(2.31)

Considerando que com a expressão (2.31),as raízes (2.27) podem ser escritas na forma

(2.32)

Introduzindo (2.32) em (2.28), chega-se a

(2.33)

A expressão (2.33) pode ser considerada como a expressão geral para o movimento vibratório de um sistema

de um grau de liberdade. Pode-se se mostrar facilmente que, para esta expressão se transforma em (2.17), que representa o movimento de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento. A forma do movimento representado por (2.33) depende expressamente dos expoentes presentes (ou da natureza das raízes (2.32) como já foi dito antes). A seguir serão apresentadas as possibilidades de movimento em função da natureza destes expoentes (reais, complexos ou nulos). E, como pode ser facilmente averiguado em (2.33),

a natureza dos expoentes depende do fator de amortecimento

Caso 1: Sistema sub-amortecido - No primeiro caso analisado o sistema possui um fator de amortecimento menor que a unidade, o que significa que sua constante de amortecimento é menor que a constante de amortecimento crítico, como pode ser observado em (2.30). Como conseqüência tem-se que

Então (2.33) pode ser escrita na forma

através das relações trigonométricas chega-se a

As constantes de integração X e são obtidas aplicando-se as condições iniciais

diretamente à expressão (2.36), resultando em

A forma do movimento representado pela expressão (2.36) é mostrada na Fig. 2.22. Trata-se de um

movimento harmônico com forma e amplitude decrescente exponencialmente

segundo a relação Observa-se que o efeito do amortecimento está presente na amplitude decrescente, representando a dissipação da energia vibratória. Para grandes valores de t o termo

O movimento continua sendo harmônico pois apenas uma freqüência está presente. A freqüência de oscilação agora não é mais a freqüência natural e sim a chamada freqüência da vibração livre

amortecida, dada por F 0 2 0se aproxima de para pequenos valores de A

variação de com está mostrada na Fig. 2.23.

Caso 2 - Sistema Criticamente Amortecido

Quando F 0 2 0a constante de amortecimento c é igual à constante de amortecimento crítico cc

implicando que as raízes dadas em (2.32) são reais e iguais, a saber

Para o caso de raízes reais repetidas, a solução da equação diferencial (2.25) assume a forma

Aplicando-se as condições iniciais diretamente à expressão

(2.40), as constantes de integração são obtidas como , resultando em

A Fig. 2.24 mostra o movimento criticamente amortecido, juntamente com os outros tipos de movimentos amortecidos. Em função do termo exponencial negativo o movimento tende a zero com o crescimento do tempo. Como o movimento não é mais harmônico, neste tipo de sistema não ocorrem oscilações completas: a massa retorna rapidamente à sua posição de equilíbrio.

Caso 3 - Sistema Super-Amortecido

Quando 1 a constante de amortecimento c é maior que a constante de amortecimento crítico cc implicando que as raízes dadas em (2.32) são reais e diferentes, a saber

e a solução da equação diferencial retorna à forma dada em (2.33). Introduzindo-se as condições

iniciais , em (2.33), determinam-se as

constantes de integração, que se tornam

O movimento super-amortecido também está mostrado na Fig. 2.24 e se pode ver que não é oscilatório. Se pode comparar os três casos descritos acima e concluir que movimento oscilatório

só acontece em sistemas subamortecidos ). Sistemas criticamente amortecidos e super- amortecidos apresentam como característica principal, o fato de que toda a energia vibratória inicial se dissipa antes que ocorra um ciclo vibratório. Consequência: não há vibração. Uma conclusão que se tira da observação da Fig. 2.24 é que o sistema retorna mais rapidamente à posição de equilíbrio quando está criticamente amortecido do que quando está super-amortecido. Portanto, quando se desejar fazer com que um sistema retorne rapidamente, sem vibrar, à sua posição inicial depois de deslocado dela, se deve escolher uma quantidade de amortecimento que torne o sistema criticamente amortecido. Na prática, como vai ser visto mais adiante, valores menores do

que o amortecimento crítico permitem o retorno à posição de equilíbrio mais rapidamente ainda, permitindo-se que ocorra apenas uma oscilação. Este valor é usado em amortecedores de veículos, pois os mesmos, quando submetidos às irregularidades de ruas e estradas, devem retornar o mais rapidamente à sua posição original.

Decremento Logarítmico

Um problema que se apresenta normalmente para quem estuda sistemas vibratórios é estimar o

fator de amortecimento Quando se possui um registro, resultado de uma medição, de um movimento vibratório, é possível observar a queda exponencial da amplitude de vibração com o tempo. O método do decremento logarítmico se fundamenta na comparação entre dois deslocamentos medidos de um movimento vibratório livre amortecido.

A Fig. 2.22 mostra o registro de um movimento vibratório livre de um sistema de um grau de liberdade. Em se tratando de movimento oscilatório, então o sistema é sub-amortecido, e a expressão que descreve o movimento é a (2.36). Se x1 é o deslocamento medido no tempo t1 e x2 é o deslocamento medido no tempo t2, a relação entre x1 e x2.

o decremento logarítmico é definido então como

(2.44)

Para sistemas com amortecimento muito baixo , a expressão (2.44) pode ser aproximada

para .(2.45)

Basicamente, então, o método funciona a partir de duas medidas do movimento, x1 e x2 seguindo-

se o cálculo do decremento logarítmico F 0 2 0por (2.44), e a seguir, o fator de amortecimento é

calculado por (2.46)

Energia Dissipada no Amortecimento Viscoso Como o amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia, é útil se estabelecer uma relação entre a energia dissipada e a constante de amortecimento (ou o fator de amortecimento) do sistema. Em se tratando de vibração livre, toda a variação de energia resulta da dissipação: o movimento possui inicialmente uma quantidade de energia que vai diminuindo progressivamente. A taxa de variação da energia com o tempo é dada por

onde assumiu-se que a força responsável pela variação é a força de amortecimento viscoso. O sinal negativo representa a variação negativa da energia, em virtude do sistema ser dissipativo.

Quando o fator de amortecimento é pequeno, pode-se considerar que a amplitude permanece

constante em um ciclo da vibração sendo A energia dissipada no ciclo de

vibração é, portanto

Da expressão (2.49) se conclui que a energia dissipada depende, além da constante de

amortecimento c, também da freqüência da vibração livre amortecida e do quadrado da amplitude do movimento vibratório X. A capacidade específica de amortecimento do sistema é definida como a relação entre a energia que é dissipada durante um ciclo e a energia total que estava presente no início do referido ciclo. Escolhendo-se o início do ciclo, o instante de tempo em que o sistema possui a máxima energia cinética (também poderia ser potencial), esta pode ser dada por

O coeficiente de perda também é utilizado para representar a capacidade de amortecimento de

materiais. É obtido a partir de (2.51) como coeficiente de perda

Exemplo 2.12

O diagrama esquemático de um canhão é mostrado na Fig. 2.27. Quando a arma é disparada, gases a

alta pressão aceleram o projétil dentro do cano até o mesmo atingir uma alta velocidade. A força de reação empurra o corpo do canhão na direção oposta à do projétil. Como é desejável trazer o corpo do canhão para a posição original no menor tempo possível, sem oscilar, coloca-se um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido no mecanismo de recuo. Em um caso particular o mecanismo de recuo e o corpo do canhão possuem uma massa de 500 kg com uma mola de rigidez 10000 N/m. O canhão recua 0,4 m após o tiro. Determinar:

1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor;

2) a velocidade inicial de recuo do canhão;

3) o tempo gasto pela arma para retornar à posição situada a 0,1 m de sua posição inicial.

Solução:

1) A constante de amortecimento crítico é obtida pela expressão (2.29). Para tanto é necessário, inicialmente,determinar a freqüência natural

A constante de amortecimento crítico será, então

2) Para determinar a velocidade inicial de recuo é necessário recorrer à resposta do sistema criticamente amortecido, dada em (2.41). Se o sistema parte da posição de equilíbrio, x0 = 0, e (2.41) transforma-se em

que deve ser derivada para se terminar o tempo em que ocorre o máximo deslocamento

que se verifica quando

de onde se chega a

3) O tempo gasto para o canhão voltar à posição original é determinado usando a expressão do deslocamento

resultando em

Exemplo 2.11

Um absorvedor de choque é projetado para uma moto de massa igual a 200 kg (Fig. 2.26a). Quando o absorvedor é submetido a uma velocidade inicial devido a uma irregularidade no caminho, a curva resultante deslocamento x tempo é como a mostrada na Fig. 2.26b. Determinar as constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o absorvedor se o período de vibração amortecida é 2 seg e a amplitude x1 deve ser reduzida para ¼ em Unidade 2 - Vibrações Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 36 meio ciclo (x1,5=x1/4). Determinar também a velocidade inicial mínima que produz um deslocamento máximo de 250 mm.

Solução: Inicialmente deve ser determinado o fator de amortecimentoF 0 2 0 que pode ser obtido a partir do

decremento logarítmico . A constante de amortecimento pode então ser obtida. A rigidez é determinada através da freqüência da vibração livre amortecida. A velocidade inicial é obtida a partir da determinação do tempo correspondente ao máximo deslocamento.

Através da expressão (2.46) determina-se o fator de amortecimento por

A frequência natural é obtida a partir do período da oscilação amortecida

Sendo m = 200 kg constante de amortecimento crítico é obtida por

A constante de rigidez é dada por

O tempo em que ocorre o máximo deslocamento é o mesmo tempo em que a velocidade se anula. A equação da velocidade é obtida diferenciando-se a expressão (2.36) em relação ao tempo, resultando

que será nula se o termo entre colchetes se anular. Considerando as expressões (2.37), sendo o deslocamento

inicial nulo, com, consequentemente e as relações trigonométricas.

chega-se a

A expressão (2.36), para o presente caso torna-se

Como este valor máximo é 0,25 m tem-se

e, substituindo os respectivos valores, chega-se a

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