Trabalho de vibrações - digitado - helder higor d. dos santos-010645, Trabalhos de Engenharia Mecânica
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Trabalho de vibrações - digitado - helder higor d. dos santos-010645, Trabalhos de Engenharia Mecânica

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Vibrações mecânicas
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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ – FEPI

Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

HELDER HIGOR D. DOS SANTOS

010645

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

ITAJUBÁ

2017

2.6- Vibração Livre de Sistemas com Amortecimento Viscoso

O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia. Como modelo mais simples de amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso, assim chamado por representar a força dissipativa proporcionada por um fluido viscoso. Esta força tem como característica principal ser proporcional à velocidade relativa entre as superfícies em

movimento quando existe um fluido separando-as. Esta proporcionalidade garante que a equação diferencial do movimento não perderá nenhuma de suas características. A força de amortecimento viscoso Fa tem como expressão

onde c é a chamada constante de amortecimento.

2.6.1- Equação do movimento

A Fig. 2.21a mostra o esquema de um sistema de um grau de liberdade com amortecimento. Se a força de amortecimento for de natureza viscosa, é igual à expressão (2.24), o diagrama de corpo livre da Fig. 2.21b, ao se aplicar a 2ª Lei de Newton, permite que se escreva a equação

que pode ser escrita na forma:

A solução da equação (2.25) tem forma xt = Cest que, introduzida na equação, resulta em:

que tem solução não trivial quando a equação característica

for satisfeita. Isto só é possível se as raízes forem

Como as duas raízes satisfazem a equação diferencial (2.25), a solução resultante será uma combinação linear das mesmas na forma

2.6.2- Sistemas sub-amortecido, criticamente amortecido e super- amortecido.

A forma funcional de (2.28) depende fundamentalmente da natureza das raízes (2.27): complexas ou reais. Para facilitar a notação, antes de estudar a influência da natureza das raízes na forma funcional, deve-se definir alguns parâmetros auxiliares.

Constante de Amortecimento Crítico

A constante de amortecimento crítico cc é definida como o valor de c que faz com que o discriminante da expressão (2.27) se anule. Isto porque, é do sinal deste discriminante que depende a natureza das raízes: 0 implica em raízes reais enquanto que para 0 as raízes formarão um par complexo. 0, se apresenta como o limite entre estas duas situações distintas. Tem-se então

de forma que

Fator de Amortecimento

A constante de amortecimento c dá uma indicação da relação entre a força de amortecimento e a velocidade relativa entre as partes em movimento. Ela, porém não proporciona uma visão da quantidade de amortecimento que atua sobre o sistema real, uma vez que uma força de amortecimento pode ser grande para um sistema e pequena para outro, dependendo, fundamentalmente das massas envolvidas e da rigidez. Define-se, então o fator

de amortecimento que é uma quantidade adimensional e não depende da ordem de grandeza dos parâmetros do sistema, indicando expressamente o quanto o sistema está sendo amortecido. O fator de amortecimento é definido como a relação entre a constante de amortecimento do sistema e a constante de amortecimento crítica

Com o valor de cc dado na expressão (2.29) tem-se que

Considerando que w = k/m, com a expressão (2.31), as raízes (2.27) podem ser escritas na forma

Introduzindo (2.32) em (2.28), chega-se a

A expressão (2.33) pode ser considerada como a expressão geral para o movimento vibratório de um sistema de um grau de liberdade. Pode-se se mostrar facilmente que, para = 0 esta expressão se transforma em (2.17), que representa o movimento de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento.

A forma do movimento representado por (2.33) depende expressamente dos expoentes presentes (ou da natureza das raízes (2.32) como já foi dito antes). A seguir serão apresentadas as possibilidades de movimento em função da natureza destes expoentes (reais, complexos ou nulos). E, como pode ser facilmente averiguado em (2.33), a natureza dos expoentes depende do fator de amortecimento .

Caso 1: Sistema sub-amortecido -

No primeiro caso analisado o sistema possui um fator de amortecimento menor que a unidade, o que significa que sua constante de amortecimento é

menor que a constante de amortecimento crítico, como pode ser observado em (2.30). Como consequência tem-se que

Então (2.33) pode ser escrita na forma

que, considerando as fórmulas de Euler, e±iα cos sen , pode ser modificada para

e, através das relações trigonométricas cosa b cosa cosb ± sena senb , chega-se a

As constantes de integração X e , são obtidas aplicando-se as condições iniciais xt 0 x0 e xt 0 v0 diretamente à expressão (2.36), resultando em

e

A forma do movimento representado pela expressão (2.36) é mostrada na Fig. 2.22. Trata-se de um movimento harmônico com forma cos √1 2 n t ), e amplitude decrescente exponencialmente segundo a relação Xe n t . Observa- se que o efeito do amortecimento está presente na amplitude decrescente, representando a dissipação da energia vibratória. Para grandes valores de t o termo Xen t 0.

O movimento continua sendo harmônico pois apenas uma freqüência está presente. A freqüência de oscilação agora não é mais a freqüência natural e sim a chamada freqüência da vibração livre amortecida, dada por

d se aproxima de n para pequenos valores de . A variação de d com está mostrada na Fig. 2.23.

Caso 2 - Sistema Criticamente Amortecido -

Quando a constante de amortecimento c é igual à constante de amortecimento crítico cc , implicando que as raízes dadas em (2.32) são reais e iguais, a saber

Para o caso de raízes reais repetidas, a solução da equação diferencial (2.25) assume a forma

Aplicando-se as condições iniciais xt 0 x0 e xt 0 v0 diretamente à expressão (2.40), as constantes de integração são obtidas como C1 = x0 e C2 v0 + n x0 , resultando em

A Fig. 2.24 mostra o movimento criticamente amortecido, juntamente com os outros tipos de movimentos amortecidos. Em função do termo exponencial negativo o movimento tende a zero com o crescimento do tempo. Como o movimento não é mais harmônico, neste tipo de sistema não ocorrem oscilações completas: a massa retorna rapidamente à sua posição de equilíbrio.

Caso 3 - Sistema Super-Amortecido -

Quando 1 a constante de amortecimento c é maior que a constante de amortecimento crítico Cc , implicando que as raízes dadas em (2.32) são reais e diferentes, a saber

e a solução da equação diferencial retorna à forma dada em (2.33).

Introduzindo-se as condições iniciais xt 0 x0 e xt 0 v0, em (2.33), determinam-se as constantes de integração, que se tornam

O movimento super-amortecido também está mostrado na Fig. 2.24 e se pode ver que não é oscilatório. Se pode comparar os três casos descritos acima e concluir que movimento oscilatório só acontece em sistemas subamortecidos (< 1). Sistemas criticamente amortecidos e super-amortecidos apresentam como característica principal, o fato de que toda a energia vibratória inicial se dissipa antes que ocorra um ciclo vibratório. Conseqüência: não há vibração. Uma conclusão que se tira da observação da Fig. 2.24 é que o sistema retorna mais rapidamente à posição de equilíbrio quando está criticamente amortecido do que quando está super-amortecido. Portanto, quando se desejar fazer com que um sistema retorne rapidamente, sem vibrar, à sua posição inicial depois de deslocado dela, se deve escolher uma quantidade de amortecimento que torne o sistema criticamente amortecido. Na prática, como vai ser visto mais adiante, valores menores do que o amortecimento crítico ( = 0.7) permitem o retorno à posição de equilíbrio mais rapidamente ainda, permitindo-se que ocorra apenas uma oscilação. Este valor é usado em amortecedores de veículos, pois os mesmos, quando submetidos às irregularidades de ruas e estradas, devem retornar o mais rapidamente à sua posição original.

2.6.3- Decremento Logarítmico

Um problema que se apresenta normalmente para quem estuda sistemas vibratórios é estimar o fator de amortecimento . Quando se possui um registro, resultado de uma medição, de um movimento vibratório, é possível

observar a queda exponencial da amplitude de vibração com o tempo. O método do decremento logarítmico se fundamenta na comparação entre dois deslocamentos medidos de um movimento vibratório livre amortecido.

A Fig. 2.22 mostra o registro de um movimento vibratório livre de um sistema de um grau de liberdade. Em se tratando de movimento oscilatório, então o sistema é sub-amortecido, e a expressão que descreve o movimento é a (2.36). Se x1 é o deslocamento medido no tempo t1 e x2 é o deslocamento medido no tempo t2, a relação entre x1 e x2 é

Se os dois deslocamentos são medidos em tempos separados por um período inteiro, então t2=t1+2d com d = 2/d, de forma que

o que torna (2.43)

e o decremento logarítmico é definido então como

Para sistemas com amortecimento muito baixo (<<1), a expressão (2.44) pode ser aproximada para

A Fig. 2.25 mostra graficamente a relação entre e de onde se pode ver que a curva (2.44) se aproxima da reta descrita por (2.45) quando < 0.3.

Basicamente, então, o método funciona a partir de duas medidas do movimento, x1 e x2 seguindo-se o cálculo do decremento logarítmico por (2.44), e a seguir, o fator de amortecimento é calculado por

Como, em uma grande quantidade de casos, é difícil distinguir entre dois deslocamentos separados por um único período, o decremento logarítmico, seguindo o mesmo raciocínio apresentado acima pode ser obtido a partir de duas medidas x1 e xm+1 .

Tem-se

de onde se obtém o decremento logarítmico

2.6.4- Energia Dissipada no Amortecimento Viscoso

Como o amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia, é útil se estabelecer uma relação entre a energia dissipada e a constante de amortecimento (ou o fator de amortecimento) do sistema. Em se tratando de vibração livre, toda a variação de energia resulta da dissipação: o movimento possui inicialmente uma quantidade de energia que vai diminuindo progressivamente. A taxa de variação da energia com o tempo é dada por

onde assumiu-se que a força responsável pela variação é a força de amortecimento viscoso. O sinal negativo representa a variação negativa da energia, em virtude do sistema ser dissipativo.

Quando o fator de amortecimento é pequeno, pode-se considerar que a amplitude permanece constante em um ciclo da vibração sendo x(t) = X cos dt. A energia dissipada no ciclo de vibração é, portanto

resultando em

Da expressão (2.49) se conclui que a energia dissipada depende, além da constante de amortecimento c, também da freqüência da vibração livre amortecida d, e do quadrado da amplitude do movimento vibratório X.

A capacidade específica de amortecimento do sistema é definida como a relação entre a energia que é dissipada durante um ciclo e a energia total que estava presente no início do referido ciclo. Escolhendo-se o início do ciclo, o instante de tempo em que o sistema possui a máxima energia cinética (também poderia ser potencial), esta pode ser dada por

A capacidade específica de amortecimento é dada relacionando-se (2.49) e (2.50)

O coeficiente de perda também é utilizado para representar a capacidade de amortecimento de materiais. É obtido a partir de (2.51) como

Exemplo 2.10 – A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000N e está montada sobre uma base que tem rigidez de 5 x 106 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 N.s/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é o martelo de queda, martelo o pilão) com peso de 1.000 N é acionado e cai de uma altura de 2m sobre uma bigorna (figura 2.30 a). Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja de 0,4.

Solução: Em primeiro lugar, usamos o principio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto contra a bigorna por vt1 e vt2, respectivamente. De maneira semelhante, va1 e va2 representam, respectivamente, as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto (figura2. 30b). Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação a sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O principio da conversão de momento da

Onde va1 = 0 (a bigorna esta em repouso antes do impacto) e vt1 pode ser determinada igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura de h = 2m:

Ou

Assim, a Equação (E1) torna-se

Isto é,

A definição do coeficiente de restituição (r) dá:

Isto é,

Isto é,

A solução das equações (E3) e (E5) dá

Assim, as condições iniciais da bigorna são dadas por

O fator de amortecimento é igual a

As frequências naturais não amortecidas e amortecidas da bigorna são dadas por

A resposta ao deslocamento da bigorna é dada pela Equação (2.72)

Exemplo 2.11 - Um absorvedor de choque é projetado para uma moto de massa igual a 200 kg (Fig. 2.26a). Quando o absorvedor é submetido a uma velocidade inicial devido a uma irregularidade no caminho, a curva resultante deslocamento x tempo é como a mostrada na Fig. 2.26b. Determinar as constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o absorvedor se o período de vibração amortecida é 2 seg e a amplitude x1 deve ser reduzida para ¼ em meio ciclo (x1,5=x1/4). Determinar também a velocidade inicial mínima que produz um deslocamento máximo de 250 mm.

Solução: Inicialmente deve ser determinado o fator de amortecimento, que pode ser obtido a partir do decremento logarítmico . A constante de amortecimento pode então ser obtida. A rigidez é determinada através da freqüência da vibração livre amortecida. A velocidade inicial é obtida a partir da determinação do tempo correspondente ao máximo deslocamento.

Se x1,5 = x1/4, então o deslocamento x2, correspondente a um período após x1 será x2 = x1,5/4 = x1/16. O decremento logarítmico é então

Através da expressão (2.46) determina-se o fator de amortecimento por

A frequência natural é obtida a partir do período da oscilação amortecida d = 2 segs.

Sendo m = 200 kg constante de amortecimento crítico é obtida por

A constante de rigidez é dada por

O tempo em que ocorre o máximo deslocamento é o mesmo tempo em que a velocidade se anula. A equação da velocidade é obtida diferenciando-se a expressão (2.36) em relação ao tempo, resultando

que será nula se o termo entre colchetes se anular. Considerando as expressões (2.37), sendo o deslocamento inicial nulo, com, consequentemente, e X = v0/d e as relações trigonométricas

Chega-se a:

A expressão (2.36), para o presente caso torna-se

Como este valor máximo é 0,25 m tem-se

é, substituindo os respectivos valores, chega-se a

Exemplo 2.12 - O diagrama esquemático de um canhão é mostrado na Fig. 2.27. Quando a arma é disparada, gases a alta pressão aceleram o projétil dentro do cano até o mesmo atingir uma alta velocidade. A força de reação empurra o corpo do canhão na direção oposta à do projétil. Como é desejável trazer o corpo do canhão para a posição original no menor tempo possível, sem oscilar, coloca-se um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido no mecanismo de recuo. Em um caso particular o mecanismo de recuo e o corpo do canhão possuem uma massa de 500 kg com uma mola de rigidez 10000 N/ m. O canhão recua 0,4 m após o tiro. Determinar:

1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor;

2) a velocidade inicial de recuo do canhão;

3) o tempo gasto pela arma para retornar à posição situada a 0,1 m de sua posição inicial.

Solução:

1) A constante de amortecimento crítico é obtida pela expressão (2.29). Para tanto é necessário, inicialmente, determinar a freqüência natural

A constante de amortecimento crítico será, então

2) Para determinar a velocidade inicial de recuo é necessário recorrer à resposta do sistema criticamente amortecido, dada em (2.41). Se o sistema parte da posição de equilíbrio, x0 = 0, e (2.41) transforma-se em

que deve ser derivada para se terminar o tempo em que ocorre o máximo deslocamento

que se verifica quando

de onde se chega a

3) O tempo gasto para o canhão voltar à posição original é determinado usando a expressão do deslocamento

Resultando em:

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