Trabalho de vibrações - digitado - janderson antunes da silva-011444, Trabalhos de Engenharia Mecânica
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Trabalho de vibrações - digitado - janderson antunes da silva-011444, Trabalhos de Engenharia Mecânica

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Vibrações mecânicas
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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ – FEPI

Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

Janderson Antunes da Silva – 011444

VIBRAÇÕES

ITAJUBÁ

2016

Janderson Antunes da Silva – 011444

VIBRAÇÕES

Trabalho apresentado ao professor Tulio Paiva, para obtenção

de nota parcial no primeiro semestre da disciplina de Vibrações

do curso de Engenharia Mecânica do Centro Universitário de

Itajubá-FEPI.

ITAJUBÁ

2016

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................3

2 DEFINIÇÃO DE VIBRAÇÃO LIVRE COM AMORTECIMENTO

VISCOSO ....................................................................................................................................

.................4

3 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO ..........................................................................................5

3.1 Primeiro caso – sistema subamortecido................................................................................5

3.2 Segundo Caso: Sistema criticamente amortecido.................................................................6

3.3 Terceiro Caso: Sistema superamortecido .............................................................................7

4 DECREMENTO LOGARÍTMICO ....................................................................................8

5 ENERGIA DISSIPADA EM AMORTECIMENTO VISCOSO ....................................10

5.1 Exemplo: Resposta da bigorna de um martelo de forja .....................................................11

5.2 Exemplo: Amortecedor de choque para uma motocicleta .................................................13

5.3 Exemplo: Análise de um canhão ........................................................................................16

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................20

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................21

1. INTRODUÇÃO

Neste trabalho da disciplina de vibrações do curso de Engenharia Mecânica do Centro

Universitário de Itajubá MG – FEPI, será apresentado o assunto de vibração livre com

amortecimento viscoso, equações, três casos de amortecimento (sistema subamortecido,

criticamente amortecido e superamortecido), além de alguns exemplos práticos referente ao amortecimento viscoso.

Podemos levar em consideração varias fórmulas dentro de um contexto muito

abrangente da vibração mecânica com amortecimento viscoso.

Desta forma, o trabalho realizado tem como base conceitos do livro de Vibrações

Mecânica / Singiresu S. Rao 4ª edição, Pearson Prentice Hall, 2008.

2. DEFINIÇÃO DE VIBRAÇÃO LIVRE COM AMORTECIMENTO VISCOSO

5

Vibração livre ocorre quando o movimento é mantido somente pelas forças

restauradoras, sem que haja interferência externa. Alguns sistemas tem a necessidade de um

componente de amortecimento.

Para se fazer um sistema amortecido, há dois tipos básicos de amortecimento: um a

seco e outro viscoso.

O sistema de amortecimento viscoso citado acima descreve uma forma de dissipação

de energia através de um fluido. Esta dissipação é resultante do atrito viscoso entre a peça ou

sistema com um fluido viscoso, deste fluido podemos analisar as características do sistema,

como velocidade de amortecimento, quantidade de compressão do fluido e características de

ambiente de trabalho.

A resistência viscosa é diretamente proporcional a velocidade relativa entre o sólido e

fluido.

3. EQUAÇÃO DE MOVIMENTO

Para representar matematicamente, temos a fórmula abaixo:

6

Onde:

F = resistência viscosa

X = velocidade relativa entre solido e fluido

C = coeficiente de amortecimento de viscoso

Observação: o sinal negativo indica que a força de amortecimento é oposta ao

sentindo da velocidade.

Um sistema com um grau de liberdade com um amortecedor viscoso: se X for medida

em relação à posição de equilíbrio da massa m, a aplicação da lei de Newton dá a equação de

movimento:

ou

3.1 Primeiro caso – sistema subamortecido

Para essa condição e negativo, e as raízes s1 es2 podem ser expressas como:

Isso é denominada a frequência de vibração amortecida. A frequência de vibração

amortecida Wd é sempre menor do que a frequência natural não amortecida Wn. A redução na

frequência de vibração amortecida com o aumento da quantidade de amortecimento (fórmula

abaixo).

7

O caso subamortecido é muito importante no estudo de vibrações mecânicas, uma vez

que é o único que resulta em movimento oscilatório.

3.2 Segundo Caso: Sistema criticamente amortecido

Nesse caso, as duas raízes s1 e s2 da equação são iguais:

Por causa das raízes repetidas, a solução da equação é dada por:

8

E a solução torna-se:

Pode-se ver que o movimento representado pela equação é aperiódico (isto é, não

periódico).

3.3 Terceiro Caso: Sistema superamortecido

A equação mostra que as raízes s1 e s2 são reais e distintas e são dadas por:

9

Com s2<s1. Nesse caso a equação pode ser expressa como:

A equação mostra que o movimento é aperiódico, independe das condições iniciais

impostas ao sistema. Tendo em vista que ambas as raízes s1 e s2 são negativas, o movimento

diminui exponencialmente com o tempo.

4. DECREMENTO LOGARÍTMICO

O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração

livremente amortecida. É definido como logaritmo natural da razão entre duas amplitudes

sucessivas

O decremento logarítmico pode ser obtido pela equação:

10

Para sistemas com amortecimento muito baixo (<<1), a expressão pode ser aproximada para

2 (2.45)

A Fig. 2.25 mostra graficamente a relação entre e de onde se pode ver que a curva (2.44) se aproxima da reta descrita por (2.45) quando < 0.3.

Basicamente, então, o método funciona a partir de duas medidas do movimento, e seguindo- se o cálculo do decremento logarítmico por (2.44), e a seguir, o fator de amortecimento é calculado por

(2.46)

Como, em uma grande quantidade de casos, é difícil distinguir entre dois deslocamentos separados por um único período, o decremento logarítmico, seguindo o mesmo raciocínio apresentado acima pode ser obtido a partir de duas medidas e .

Tem-se

11

de onde se obtém o decremento logarítmico

=

5 ENERGIA DISSIPADA EM AMORTECIMENTO VISCOSO

Em um sistema amortecido viscosamente, a taxa de variação da energia com o tempo

(dw/dt) é dada por:

12

Isso mostra que a energia dissipada é proporcional ao quadrado da amplitude do

movimento. Observe que ela não é uma constante para valores de amortecimento e amplitude

determinados, visto que também é função da frequência Wd.

A equação é válida quando há uma mola de rigidez K em paralelo ao amortecedor

viscoso.

Se admitirmos um MHS:

Se substituirmos os valores, veremos que a energia dissipada em um ciclo total será:

Podemos ver que é idêntica a primeira equação. Esse resultado é esperado, visto que a

força da mola não realiza nenhum trabalho durante um ciclo completo ou qualquer número

inteiro de ciclos.

5.1 Exemplo: Resposta da bigorna de um martelo de forja

13

A bigorna de um martelo de forja pesa 5.000N e está montada sobre uma base que tem

uma rigidez de 5x10^6 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 Ns/m. Durante

determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo

pilão) com peso de 1.000N é acionado e cai de uma altura de 2m sobre a bigorna. Se a

nigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o

impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0.4.

Fig 01

Assim a equação torna-se:

14

Isto é:

A definição do coeficiente de restituição (r) dá:

A solução das equações dá:

Assim, as condições iniciais da bigorna são dadas por:

O fator de amortecimento é igual a:

15

As frequências naturais não amortecidas e amortecidas da bigorna são dadas por:

A resposta ao deslocamento da bigorna é dada pela equação:

5.2 Exemplo: Amortecedor de choque para uma motocicleta

O projeto de absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200Kg de

massa deve atender as seguintes especificações: quando o amortecedor estiver a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo

resultante deve ser como a indicada. Determine as constantes de rigidez e amortecimento

16

necessários para o amortecedor se o período de vibração amortecida for de 2s e amplitude x1

tiver de ser reduzida a um quarto em um meio-ciclo. Determine também a velocidade inicial

mínima que resultado em um deslocamento máximo de 250 mm.

A constante de amortecimento critico pode ser obtida por:

Assim, a constante de amortecimento é dada por:

E a rigidez por:

O deslocamento da massa atingirá seu valor máximo no tempo t1, dado por:

17

18

O envelope que passa pelos pontos máximos é dado por:

Já que x=250mm a equação dá, em t1:

A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento:

19

5.3 Exemplo: Análise de um canhão

O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na figura. Quando

a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma

velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao

projétil. Visto que é desejável que o canhão volte a posição de repouso no menor tempo

possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema

mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. E num caso

particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo tem uma massa de 500kg com uma mola

de recuo de rigidez 10.000n/m. O recuo do canhão após um disparo é 0.4m. Determine (1) o

coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do

canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0.1m de sua posição

inicial.

1 - A frequência natural não amortecida do sistema é:

20

E o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor é:

2 - A resposta de um sistema criticamente amortecido é dada pela equação:

21

Nesse caso, X0=c1=0 por consequência a equação resulta em T1=1/Wn,v, visto que o

valor máximo de X(t) ou a distância de recuo é dada como Xmax=0.4m, temos:

22

3.Se t2 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 0.1m em

relação a sua posição inicial, temos:

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

23

Este trabalho de vibrações mecânicas é de interesse de muitos, porém pesquisado por

poucos.

O veiculo que utilizamos, desde o automóvel coletivo como o particular, depende de

um sistema de amortecimento que seja capaz de dissipar a energia vibratória do sistema, para

que possa nos proporcionar conforto e, principalmente, segurança. A segurança por trás de vibrações e amortecimentos existe para que o sistema não

sofra um colapso em função de sua frequência natural com a frequência do sistema. Se o

equipamento ou sistema estiver com defeito ou erro do projeto de amortecimento, pode

ocorrer a ruptura e a quebra do mesmo.

Para que isso não apresente um prejuízo financeiro ou até mesmo um prejuízo físico

para o operador, temos que ser cuidadosos e responsáveis pelo correto dimensionamento do

sistema.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

24

Fonte: Livro de Vibrações Mecânicas / Singiresu S. Rao 4ª edição, Pearson Prentice Hall,

2008.

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