Trabalho de vibrações - digitado - joão marco pereira e silva-011938, Trabalhos de Engenharia Mecânica
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Trabalho de vibrações - digitado - joão marco pereira e silva-011938, Trabalhos de Engenharia Mecânica

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Vibrações mecânicas
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CENTRO UNIVERSITARIO DE ITAJUBÁ-FEPI Curso de Engenharia Mecânica-7 Período

João Marco Pereira e Silva

011938

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

Itajubá

2017

1. Vibração Livre com Amortecimento Viscoso

1.1. Equação do Movimento

A força de amortecimento viscos F é proporcional a velocidade X ou V que se expressa como:

F = -c

Onde a constante de amortecimento ou coeficiente de amortecimento viscoso C. O sinal negativo indica que a força do amortecimento e oposta a força da velocidade.

Se X for a medida em relação a posição de equilíbrio da massa m, a equação do movimento da lei de Newton é aplicada:

m=-c-kx

ou

m+c+kx=0 (2.59)

1.2. Solução

x(t)= C

Onde C e s são constantes indeterminadas. A inserção dessa função na equação (2.59) resulta na equação característica

ms² + cs + k = 0

(2.61)

=

= -± )² -

(2.62)

Com estas raízes saem duas soluções para Equação (2.59)

(t) = e (t) = (2.63)

Assim ,a solução da Equação ( 2.59) é uma combinação das duas soluções (t) e (t) :

x(t) = +

= + (2.64)

Onde C1 e C2 são constantes arbitrarias a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema

² - = 0

Constante de amortecimento crítico e fator de amortecimento. O amortecimento critico Cc é definido como o valor da constante de amortecimento c para qual o radical na equação (2.62) torna-se zero :

Cc = 2m = 2 = 2m

(2.65)

Ou para qualquer sistema amortecido o fator de amortecimento é definido como a razão entre a constante de amortecimento e a constante de amortecimento crítico

Figura 2.21 Sistema com um grau de liberdade de amortecimento viscos.

(2.67) Pelas equações (2.66) e (2.65), podemos escrever

E por consequência

(2.68)

Assim a solução, da Equação (2.64), pode ser escrita como

A natureza das raízes s1 e s2 e, por consequência, o comportamento das solução, equação ( 2.69), depende da magnitude do amortecimento. Pode

se perceber que o caso =0 resulta nas vibrações não amortecidas discutidas na seção 2.2 . Por consequência, admitimos que ≠ 0 e consideramos os três casos seguintes.

Caso1. Sistema Subamortecido

E a solução da Equação (2.69) pode ser escrita de formas diferentes

(2.70)

Onde (C’1 , C’2 ), (X, ᴓ) e (X0, ᴓ0) São constantes arbitrarias a ser determinadas pelas condições iniciais. Para as condições iniciais x(t=0) = x0 e (t=0) = 0 , podemos determinar C’1 e C’2

O movimento descrito pela equação (2.72) é um movimento harmônico amortecido de frequência angular ; porém por causa do fator a amplitude diminui exponencialmente com o tempo, como mostra a figura2.22.A quantidade

(2.76)

É denominada frequência de vibração amortecida. Pode-se ver que a frequência da vibração amortecida é sempre menor do que a frequência natural Wn. A redução na frequência de vibração amortecida com o aumento da quantidade de amortecimento, dado pela Equação (2.76), é mostrada em gráfico na Figura 2.23. O caso subamortecido é muito importante no estudo de vibrações mecânicas porque é o único que resulta em um movimento oscilatório

Caso 2. Sistema Criticamente Amortecido

(2.77)

Por causa das raízes repetidas a solução da equação (2.59) é dada por

(2.78)

X(t) =

(2.80)

E a solução torna-se

Pode- se ver que o movimento representado pela equação (2.80) é periódico (isto é não periódico). Visto que t→ 0quando t→ , o movimento eventualmente diminuirá ate zero, com indicado na figura 2.24

Caso3. Sistema superamortecido

Figura 2.23. variação de com amortecimento

A Equação ( 2.81) mostra que o movimento é aperiódico, independente das condições iniciais impostas ao sistema. Visto que as raízes S1 e S2 ão ambas negativas, o movimento diminui exponencialmente com o tempo, como mostra a figura 2.24.

Observe os seguintes aspectos desse sistema:

1 . A natureza das raízes S1 e S2 com a variação dos valores do amortecimento c ou pode ser mostrada em um plano complexo. Na figura 2.25 os eixos horizontal e vertical sõ escolhidos com eixo real e imaginário. O semicírculo representa o lugar geométrico das raízes S1 eS2 para diferentes valores de na faixa de 0 < < 1. Essa figura permite-nos ver instantaneamente o efeito do parâmetro no comportamento do

sistema. Constatamos que , para = 0, Obtemos as raízes imaginarias S1 = + iwn e S2 = - iwn o que resulta na solução dada na Equação (2.15). Para 0< < 1as raízes S1 e S2 são conjugadas complexas e localizadas simetricamente em relação ao eixo real. À

medida que o valor aproxima-se do ponto –wn no eixo real .Se > 1 , ambas as raízes estão no eixo real , uma crescendo e outa decrescendo no limite quando →

, S1 → 0 e S2 → - , pode-se ver que o valor = 1 representa um estagio de transição, abaixo do qual ambas as raízes são complexas e acima do ambas as raízes são reais.

1. Um sistema criticamente amortecido terá o menor amortecimento requerido para o movimento periódico, por consequência a massa retorna à posição de repouso no menor tempo possível sem ultrapassar o limite. A propriedade de amortecimento critica é usada em muitas aplicações praticas. Por exemplo, armas de fogo de grande porte tem amortecedores de mola com valor de amortecimento critico, para que voltem a sua posição inicial após o recuo no tempo mínimo sem vibrar. Se o

amortecimento fornecido fosse maior que o valor critico, haveria alguma demora do próximo tiro.

2. A resposta amortecida livre de um sistema com uma grau de liberdade poder ser representada em plano de fase ou espaço de estado como indicado na figura 2.26

1.3 Decremento Logarítmico

Figura 2.24 _ Comparação entre o movimento com tipos diferentes de amortecimento

O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida. E definida com logaritmo natural da razão entre duas amplitudes sucessivas. Vamos representar por T1 e T2 os tempos correspondentes e duas amplitudes( deslocamentos) consecutivos mediadas com um ciclo de amortecido, como na Figura 2.22 Pela Equação ( 2.70), podemos expressar a razão

Para pequeno amortecimento a Equação (2.85) pode ser aproximada

(2.86)

A figura 2.77mostra a variação do decremento logarítmico como dado pelas equações (2.85) e (2.86). Pode-se observar que, para valores até = 0,3, édificil distinguir uma curva da outra.

O decremento logarítmico é adimensional e, na realidade é outra forma do fator de

amortecimento adimensional . Uma vez conhecido б pode ser determinado resolvendo-se a Equação (2.85):

Se o amortecimento no sistema dado não for conhecido, podemos determina-la por experimentos medindo quaisquer dos deslocamentos consecutivos X1, e X2. Tomando o logaritmo natural da razão entre X1 e X2, Obtemos б. Pela Equação (2.87), podemos calcular o fator de amortecimento

Figura 2.26 – Plano de fase de um sistema amortecido. Na verdade o fator de amortecimento também pode ser determinado medindo-se dois deslocamentos separados por qualquer numero completo de ciclos. Se e denotarem as amplitudes correspondentes aos tempos e = + Onde m é um numero inteiro obtemos

Figura 2.27 - Variação do decremento logarítmico com amortecimento

Que pode ser substituído na Equação (2.87) ou Equação (2.88) para obter o fator de amortecimento viscoso

2.6.4 Energia dissipada em amortecimento viscoso Em um sistema amortecido viscosamente, a taxa de variação de energia com o tempo é dada por:

=força x velocidade = Fv = - (cv)v= -c)²

(2.93)

Pela Equação (2.58). O sinal negativo na Equação(2.93) denota que a energia dissipa-se com o tempo. Suponha simples com x(t)=X sem ω,t, onde X é a amplitude do movimento e a energia dissipada em um ciclo completo é dada por.

²NO caso de um sistema amortecido, o movimento harmônico simples x(t)= X cos ω,t só e possível quando a resposta de regime permanente é considerada sob uma força harmônica de frequência ω (ver solução 3.4). A perda de energia devida ao amortecimento é formada pela excitação sob vibração orçada em regime permanente

Isso mostra que a energia dissipada é proporcional ao quadrado da amplitude do movimento. Observe que ela não é uma constante para valores de amortecimento e amplitude determinados, visto que ∆w também é função de frequência ω

A Equação (2.94) é valida mesmo quando há uma mola de rigidez k em paralelo ao amortecedor viscoso. Para ver isso considere o sistema mostrado na Figura 2.28. A força total resistente ao movimento pode ser expressa como

F= -Kx – cv = -Kx - c (2.95)

Se admitirmos o movimento harmônico simples

x(t) = X sen ω t (2.96)

Como antes, a Equação (2.95) torna-se

F= - Kx sen ωt – cωXcosωt (2.97)

A energia dissipada em um ciclo complete será

Podemos ver que é idêntica a Equação (2.94). Esse resultado é esperado visto que a força da mola não realizará nenhum trabalho durante um ciclo completo ou qualquer numero inteiro de ciclos.

Também podemos calcular a fração da energia total do sistema vibratório que e dissipada em cada ciclo de movimento ∆w/w, como segue. A energia total do sistema W pode ser expressa como a máxima energia potencial ou como a máxima energia cinética . As duas serão aproximadamente iguais para valores pequenos de amortecimento. Assim

Figura 2.28 – Mola e Amortecimento em Paralelo. Pelas equações (2.85) e (2.88). A quantidade é denominada capacidade de amortecimento especifica e é útil para comparar a capacidade de amortecimento dos materiais de engenharia. Outra quantidade conhecida como coeficiente de perda também é usada para comparar. O coeficiente de perda é definido com a razão entre a energia dissipada por radiano e a energia total de deformação:

Coeficiente de perda

1.4 Energias Dissipada em Amortecimento Viscoso Os métodos apresentados nas seções 2.61 a 2.64 para vibrações lineares com amortecimento viscoso podem ser estendidos diretamente para vibrações por torção (angulares)viscosamente amortecidas. Para isso. Considere um sistema viscoso, como mostrado na Figura 2.29(a). O torque de amortecimento viscoso é dado por ( Figura 2.29b):

T= -

Onde é a constante de amortecimento viscoso por torção, = dØ/dt é a velocidade angular do disco , e o sinal negativo denota que o torque de amortecimento esta no

sentido oposto ao da velocidade angular .A equação de movimento pode ser derivada como

Onde = momento de inercia da massa do disco, K= constante elástica do sistema (torque restaurador por unidade de deslocamento angular), e Ø = deslocamento angular do disco. A solução da Equação ( 2.102) pode ser determinada exatamente como no caso de um sistema subamortecido, a frequência de vibração amortecida é dada por

Figura 2.29 – Amortecedor viscoso por torção. Onde

Onde é a constante critica de amortecimento por torção.

EXEMPLO 2.10

Resposta da Bigorna de um Martelo de Forjar A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000N e esta montada sobre uma base que tem uma rigidez de 5x10^6 N/m .Durante determinada operação de forjamento o martelo-pilão (isto e o martelo de queda, martelo ou pilão ) com peso de 1.000N é acionado e cai de uma altura de 2 m sobre a bigorna após o impacto . Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0.4

SOLUÇÃO

Em primeiro lugar usamos o principio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar do impacto contra a bigorna por Vt1 e Vt2 respectivamente. De maneira semelhante , Va1 e Va2 representam, respectivamente as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto ( Figura 2.30(b)). Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação a sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O principio de conservação de momento da

(E.1)

Onde Va1 = 0 ( a bigorna esta em repouso antes do impacto) e Vt1 pode ser determinado igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura h- 2 m:

(E.2)

EXEMPLO 2.11

Amortecedor de Choque para uma Motocicleta O projeto de um absorvedor de choque subamortecedor para uma motocicleta de 200kg de massa ( Figura 2.31(a)) Deve atender as seguintes especificações: Quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento- tempo resultante deve ser como indicada na (Figura 2.31(b)). Determine as constantes de rigidez e amortecimento necessários para o

amortecedor se o período de vibração amortecido for de 2s e a amplitude X1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio ciclo ( Isto é X1,5 = X/4). Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm

Abordagem : Usamos a equação para o decremento logarítmico em termos do fator de amortecimento, equação para o período de vibração amortecida, tempo correspondente ao deslocamento máximo para um sistema subamortecido e envelope que passa pelos pontos máximos de um sistema subamortecido

EXEMPLO 2.12Analise de um Canhão

O diagrama esquemático de um canhão de grande porte e mostrado na Figura 2.32 (2.8). Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projetil no interior

do cano ate uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrario ao do projetil . Visto que e desejável que o canhão volte a posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação , ele e forçado a fazer uma transição para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular , o cano do canhão e o mecanismo de recuo tem uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10.000N/m. O recuo do canhão após um disparo é 0,4 m . Determine (1) o coeficiente de amortecimento critico do amortecedor (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e ( 3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1 m de sua posição inicial.

1.A frequência natural não amortecida do sistema é

.

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